Nhưc lÔi cĂc kián thực vã vectỡ
Trong không gian vectơ, vectơ được định nghĩa là một đối tượng có hướng và độ dài, với điểm đầu gọi là điểm gốc và điểm cuối là điểm đích Tại một điểm trong không gian, vectơ thể hiện hướng và chiều từ điểm gốc đến điểm cuối Phép cộng hai vectơ cho phép tạo ra một vectơ mới, được xác định bởi quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc ba điểm Phép nhân một vectơ với một số thực λ tạo ra một vectơ mới có cùng hướng với vectơ ban đầu nếu λ > 0, và ngược lại nếu λ < 0.
Trong không gian vectơ, vectơ được hiểu là một phần tử của không gian vectơ, với K thuộc tập hợp số thực R hoặc số phức C Không gian vectơ K là một tập hợp V không rỗng, trong đó các vectơ có thể được cộng với nhau và nhân với một số vô hướng Để minh họa, cho các vectơ u, v, w thuộc V và λ, β là các số vô hướng thuộc K.
(3) Tỗn tÔi vectỡ khổng (kỵ hiằu l 0) sao cho u+ 0 = 0 +u = u;
(4) Vợi mồi vectỡ u, tỗn tÔi vectỡ ối (kỵ hiằu l −u) sao cho u+ (−u) (−u) + u = 0;
(6) 1.u = u, ð Ơy 1 l số ỡn và thuởc trữớng K;
V không gian vectơ là một khái niệm quan trọng trong toán học cao cấp, phát triển từ các không gian khác như không gian chuẩn, không gian tổ hợp và không gian Banach Các không gian này giúp xây dựng lý thuyết vectơ, từ đó rút ra các đặc trưng của vectơ, bao gồm các thành phần như độ dài (norm) và các thuộc tính khác như phương và chiều của vectơ.
V mửc n y ta cõ hai loÔi Ôi lữủng: Ôi lữủng vổ hữợng (ch¿ cõ ở lợn) v Ôi lữỡng vectỡ (cõ ở lợn v hữợng).
Vẵ dử: • CĂc Ôi lữủng vêt lẵ nhữ: khối lữủng, thº tẵch, cổng, nông lữủng, l Ôi lữủng vổ hữợng.
Các ôi lưỡng vectơ có vai trò quan trọng trong việc mô tả các khía cạnh như tốc độ, gia tốc và lực Chúng giúp chúng ta hiểu rõ hơn về các hiện tượng vật lý liên quan đến chuyển động Đặc biệt, các vectơ này thường được biểu diễn bằng các thành phần trong không gian, tạo thành một hệ thống để phân tích các lực tác động Việc nắm vững các vectơ này là cần thiết để áp dụng vào các bài toán vật lý phức tạp.
Trong luên vôn n y vectỡ ỡn và ữủc phƠn biằt vợi vectỡ khĂc bơng mởt dĐu mụ; vẵ dử −→ ˆ a l Ôi diằn cho mởt vectỡ ỡn và theo hữợng cừa vectỡ ⃗a
Rã r ng, −→a = a.−→ ˆ a, ð Ơy a l ở d i cừa vectỡ⃗a. Trong hằ trửc tồa ở Descartes vuổng gõc trản m°t ph¯ng Oxy, cĂc vectỡ ỡn và trản cĂc trửc Ox, Oy lƯn lữủt l ⃗i,⃗j.
Trong hệ tọa độ Descartes với các trục Ox, Oy, Oz trong không gian Oxyz, các vectơ đơn vị được ký hiệu lần lượt là \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), và \(\vec{k}\) Các vectơ này có vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí và hướng trong không gian ba chiều Vectơ là đại lượng có độ lớn và hướng, giúp mô tả các hiện tượng vật lý một cách chính xác và rõ ràng.
Vectơ ối cừa vectơ \(\vec{a}\) là vectơ biểu diễn mối quan hệ giữa vectơ \(\vec{a}\) và các vectơ khác Các vectơ được gọi là bàng nhau nếu chúng có cùng độ dài và hướng Phép cộng hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) được thực hiện bằng cách biểu diễn các vectơ này lần lượt và kết hợp chúng để tạo thành vectơ mới.
QR Khi õ vectỡ biºu diạn bði −→
P Rữủc ành nghắa l tờng cừa −→a v −→ b , kỵ hiằu l −→a +−→ b
Quy tắc xác định tường cừa hai vectơ liên quan đến quy tắc ba điểm của phép cộng vectơ Để hiểu rõ hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\), ta cần biết rằng \(\overrightarrow{a} - \overrightarrow{b}\) tương ứng với phép cộng vectơ, được biểu diễn qua \(\overrightarrow{a} + (-\overrightarrow{b})\).
QR ′ s³ biºu diạn cho−−→ b , vợi QR ′ = QR V theo quy tưc ba iºm thẳ⃗a−⃗b = −−→
QR ′ ành nghắa 1.1.7 (Tờng cừa nhiãu vectỡ) GiÊ sỷ cõnvectỡ−→a 1 ,−→a 2 , ,−→a n Cho −→a1 ữủc biºu diạn bði −→
OA1,−→a2 ữủc Ôi diằn bði −−−→
Một vectơ n−1 A n được xác định bởi tổng các vectơ −→a 1, −→a 2, −→a 3, , −→a n Định nghĩa 1.1.8 (Phép nhân một vectơ với một số) cho biết rằng với số thực m ∈ R, m khác 0 và vectơ ⃗a khác ⃗0, khi nhân m với vectơ ⃗a, ta thu được vectơ mới m−→a Vectơ này có hướng giống với ⃗a nếu m > 0 và ngược lại nếu m < 0.
Ta nhưc lôi kát quế sau ơn liên quan tới phép cộng vectơ và phép nhân một số với một vectơ Nếu các vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) được biểu diễn lần lượt bằng \(\vec{a} = (a_1, a_2)\) và \(\vec{b} = (b_1, b_2)\), thì phép cộng vectơ sẽ cho kết quả là \(\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)\) Trong khi đó, phép nhân một số với vectơ \(\vec{a}\) sẽ được tính bằng cách nhân từng thành phần của vectơ với số đó, tức là \(k \cdot \vec{a} = (k \cdot a_1, k \cdot a_2)\).
OQ v m, n l cĂc hơng số dữỡng, khi õ m−→a +n−→ b = (m+n)−→c , vợi −→c ữủc biºu diạn bði vectỡ −→
P Q sao cho mP R = nRQ. ành nghắa 1.1.9 (Tồa ở vectỡ trong m°t ph¯ng) Cho vectỡ ⃗r trong hằ trửc tồa ở Oxy °t ⃗r = −→
OP Gồi A, B lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa P lản cĂc trửc tồa Ox, Oy °t OA = x, OB = y Khi õ, ta cõ −→
C°p(x, y)gồi l tồa ở cừa vectỡ⃗r trong hằ tồa ởOxy Kỵ hiằu l ⃗r = (x, y). °t (Ox, ⃗r) = α,(⃗r, Oy) = β Ta câ
Tứ Ơy suy ra cos 2 α+ cos 2 β = 1. ành nghắa 1.1.10 (Tồa ở vectỡ trong khổng gian) Cho vectỡ ⃗r trong hằ trửc tồa ở Oxyz °t ⃗r = −→
OP Gồi A, B, C lƯn lữủt l cĂc hẳnh chiáu vuổng gõc cừa P lản cĂc trửc tồa ở Ox, Oy, Oz °t OA = x, OB y, OC = z Khi â ta câ −→
Bở (x, y, z) gồi l tồa ở cừa vectỡ ⃗r trong hằ tồa ở Oxyz Kỵ hiằu ⃗r (x, y, z). °t (⃗r, Ox) = α,(⃗r, Oy) = β,(⃗r, Oz) = γ Khi â ta câ
Tứ Ơy suy ra rằng tổng các cosin bình phương của ba góc α, β và γ bằng 1: cos²α + cos²β + cos²γ = 1 Để hiểu rõ hơn, ta cần phân tích các vectơ −→r1, −→r2, −→r3, được biểu diễn theo các thành phần của chúng trong các trục vuông góc Ox, Oy và Oz.
Kết quả cho thấy phép cộng các vectơ thực hiện bằng cách cộng các thành phần của chúng Phép cộng này cho phép tổng hợp các vectơ một cách hiệu quả Đặc biệt, trong trường hợp hai vectơ −→a và −→b, việc tách vỏ hưởng cho phép phân tích và hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa chúng.
→b tÔo vợi nhau mởt gõc θ ữủc ành nghắa l Ôi lữủng vổ hữợng a.b.cosθ v ữủc kỵ hiằu l −→a −→ b
Ró r ng, ph²p nhƠn vổ hữợng cừa cĂc vectỡ l cõ tẵnh giao hoĂn vẳ:
• Biºu thực tồa ở cừa tẵch vổ hữợng trong m°t ph¯ng: Cho cĂc vectỡ
⃗a = (x 1 , y 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 ) Khi õ tẵch vổ hữợng cừa⃗a v ⃗b l
• Biºu thực tồa ở cừa tẵch vổ hữợng trong khổng gian: Cho cĂc vectỡ
⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 , z 2 ) Khi õ ta cõ biºu thực tồa ở l
Tứ ành nghắa 1.1.12 ta cõ kát quÊ sau Ơy. ành lþ 1.1.2 Cho c¡c vectì⃗a,⃗b Khi â ta câ
−||⃗a||||⃗b|| ≤⃗a⃗b ≤ ||⃗a||||⃗b||. ¯ng thực cừa bĐt ¯ng thực thự nhĐt v thự hai xÊy ra khi lƯn lữủt hai vectỡ
⃗a v ⃗b l cũng phữỡng ngữủc chiãu v cũng phữỡng cũng chiãu. ành nghắa 1.1.13 (Tẵch cõ hữợng)
Tích có hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) tạo với nhau một góc \(\theta\), được định nghĩa là một vectơ (gọi là vectơ tích) có độ lớn là \(a.b.\sin\theta\) Vectơ này vuông góc với mặt phẳng chứa hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\), và có chiều tuân theo quy tắc bàn tay phải Cụ thể, nếu bạn đặt bàn tay phải sao cho các ngón tay chỉ theo chiều từ vectơ \(\vec{a}\) đến vectơ \(\vec{b}\), thì chiều của vectơ tích sẽ là chiều của ngón cái Tích có hướng của hai vectơ \(\vec{a}\) và \(\vec{b}\) thường được ký hiệu là \(\vec{a} \wedge \vec{b}\) hoặc \([\vec{a}, \vec{b}]\).
•Biºu thực tồa ở cừa tẵch cõ hữợng: Cho⃗a = (x 1 , y 1 , z 1 ),⃗b = (x 2 , y 2 , z 2 ). khi â
!. ành nghắa 1.1.14 (Tẵch hộn tÔp) Tẵch hộn tÔp cừa ba vectỡ ⃗a,⃗b, ⃗c l biáu thực sau
• Biºu thực tồa ở cừa tẵch hộn tÔp: Cho ba vectỡ ⃗a = (x1, y1, z1),⃗b (x 2 , y 2 , z 2 ), ⃗c= (x 3 , y 3 , z 3 ) Khi õ tẵch hộn tÔp ữủc xĂc ành bði
Giợi hÔn v liản tửc cừa h m vectỡ mởt bián số
bián số ành nghắa 1.2.1 (H m vectỡ mởt bián số) GiÊ sỷ T l mởt têp hủp sè thùc (T ⊂ R).
H m (Ănh xÔ) −→r : t 7→ −→r tứ têp hủp T v o khổng gian cĂc vectỡ hai chiãu ho°c ba chiãu gồi l mởt h m vectỡ.
Têp T gồi l têp xĂc ành cừa h m vectỡ ⃗r(t).
Sau ơn, ta có thể xác định yếu tố ảnh hưởng đến hình véctơ trong không gian ba chiều Trong không gian hai chiều, hình véctơ có thể được xem xét theo từng trục.
Giá trị sỹ −→r (T) là một tập hợp trong không gian các vectơ ba chiều, với mỗi t ∈ T, vectơ −→r (t) có các thành phần là x(t), y(t), z(t) Khi x = x(t), y = y(t), z = z(t) là những hàm số thực xác định trên T, ta gọi chúng là các hàm số thành phần của vectơ −→r (t).
Vectơ vị trí r(t) được biểu diễn dưới dạng r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)−→ i + y(t)−→ j + z(t)−→ k, với t thuộc T Trong không gian ba chiều, vectơ r bao gồm các thành phần x, y và z, cho phép xác định vị trí của điểm trong không gian Khi nghiên cứu vectơ r(t), ta cần phân tích các thành phần x(t), y(t), z(t) để hiểu rõ hơn về sự giao nhau của các đường thẳng trong không gian.
Trường hợp vectơ vị trí \(\vec{r}(t)\) trong không gian vectơ hai chiều được biểu diễn bằng các thành phần x(t) và y(t), trong khi thành phần z(t) không tồn tại.
Nhên x²t 1.2.1 Cho y = f(x) l h m số mởt bián số xĂc ành trản têp
D ⊂R Khi â, h m sè ¢ cho câ thº chuyºn th nh h m vectì x¡c ành bði cổng thực sau
Vẵ dử 1.2.1 Cho h m vectỡ −→r (t) = t−→ i + √ t+ 1−→ j + ln (2−t)−→ k Tẳm têp hủp xĂc ành cừa h m vectỡ −→r
Gi£i: C¡c h m sè th nh ph¦n cõa h m vectì −→r l x(t) =t, y(t) = √ t+ 1, z(t) = ln(2−t).
Têp hủp xĂc ành cừa h m vectỡ −→r l têp hủp tĐt cÊ cĂc t ∈ R sao cho cĂc h m th nh phƯn x(t), y(t), x(t) ỗng thới xĂc àn Vêy ta cõ iãu kiằn l :
Vêy têp hủp xĂc ành cừa h m vectỡ −→r l khoÊng [−1,2).
Sau khi phân tích, ta có thể hiểu rằng vectơ \(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) là một đại lượng xác định trong không gian ba chiều Đối với một vectơ \(\vec{l} = l_1\vec{i} + l_2\vec{j} + l_3\vec{k}\), nó được coi là một vectơ không giới hạn Khi xem xét giới hạn của \(\vec{r}\) khi \(t\) tiến tới \(t_0\), ta có thể xác định rõ hơn về mối quan hệ giữa các vectơ này trong không gian.
Náu h m vectỡ −→r xĂc ành trản khoÊng (α, t 0 ) ho°c trản khoÊng (t 0 , β) thẳ lim t→t − 0 (t→t + 0 )
GiÊi Têp hủp xĂc ành cừa −→r l (−∞,0)∪(0,1). limt→0⃗r(t) = lim t→0 limt→0
Tứ ành nghắa 1.2.2 cho thấy rằng rỗng giới hạn của hàm vectơ được chuyển qua giới hạn của các hàm số thực phân Dựa vào tính chất giới hạn của hàm số thực mởt biến và phép toán tổ hợp ở giới hạn hàm vectơ, ta có thể chứng minh được giới hạn sau đây: Nếu hai hàm vectơ −→u và −→v có giới hạn tại t0 ∈ R thì lim t→t0 [−→u(t) + −→v(t)] = lim t→t0.
Sau ơn, ta nhận thấy rằng hàm vectơ có thể được xác định trên một miền nhất định trong không gian R Đặc biệt, chúng ta có thể nói rằng hàm vectơ này liên tục tại điểm t0 nếu giới hạn của hàm vectơ khi t tiến gần đến t0 là bằng giá trị của hàm vectơ tại t0.
→r (t) = −→r (t 0 ). b) H m vectỡ −→r xĂc ành trản khoÊng (α, t0] ho°c trản khoÊng [t0, β) ữủc gồi l liản tửc trĂi (liản tửc phÊi) tÔi iºm t 0 náu lim t→t − 0
⃗ r(t) =⃗r(t 0 ). c) H m vectỡ ⃗r(t) ữủc gồi l liản tửc trản têp T náu nõ liản tửc tÔi mồi iºm thuởc T.
Tứ ảnh nghĩa và giới hạn của hàm vectơ ⃗r(t) = x(t)⃗i + y(t)⃗j + z(t) cho phép xác định trần mởt lớn hơn cận iêm tại t = 0 Khi t tiến gần về 0, hàm ⃗r(t) liên tục tại t = 0 nếu và chỉ nếu các hàm số x(t), y(t), z(t) cũng liên tục tại t = 0.
Ôo h m cừa h m vectỡ mởt bián số
ành nghắa 1.3.1 GiÊ sỷ h m vectỡ−→r xĂc ành trản mởt lƠn cên cừa iºm t 0 ∈ R.Ôo h m cừa h m vectỡ −→r tÔi iºm t 0 , kẵ hiằu l −→r ′ (t 0 ) ho°c d⃗ dt r | t=t 0 , ữủc cho bði cổng thực
Để xác định sự biến thiên của vectơ trong không gian, ta cần xem xét sự khác biệt giữa các giá trị tại thời điểm t0 cộng với h và t0 Điều này cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về hành vi của vectơ khi cánh cửa mở ra và đóng lại Khi h tiến gần về 0, các giá trị sẽ hội tụ, giúp chúng ta hình dung được sự thay đổi của vectơ trong không gian tại thời điểm t0.
Bài viết này thảo luận về ý nghĩa và vai trò của vectơ trong không gian ba chiều Cụ thể, vectơ được biểu diễn dưới dạng hàm số, với các thành phần x(t), y(t) và z(t) phụ thuộc vào tham số t Khi t tiến tới 0, các giá trị x, y, z sẽ cho ta thông tin về vị trí của vectơ tại thời điểm đó, từ đó giúp hiểu rõ hơn về các mối quan hệ trong không gian.
Náu h m vectỡ −→r cõ Ôo h m tÔi iºm t0 thẳ cổng thực o h m cho bði
Vẵ dử 1.3.1 Tẵnh Ôo h m cừa h m vectỡ sau
GiÊi: p dửng ành lỵ 1.3.1 ta cõ
CĂc quy tưc tẳm Ôo h m
Có thể mở rộng các quy tắc tầm ô h m của h m số thực cho h m vectơ Giả sử u và v là hai h m vectơ có ô h m, ϕ là một h m số thực có ô h m và c là một số thực không âm.
Chựng minh CĂc cƠu a), b), d), f) suy ra tứ cổng thực Ôo h m cừa cĂc h m th nh phƯn é Ơy ta s³ chựng minh hai cổng thực c) v e). c) Gi£ sû −→u(t) = (x(t), y(t), z(t)) Khi â φ(t)−→u(t) = (φ(t)x(t), φ(t)y(t), φ(t)z(t)).
Dạ thĐy khi h →0 thẳ vá phÊi cừa ¯ng thực trản dăn án −→u ′ (t)∧ −→v (t) +
→u ′ (t)∧ −→v (t) +−→u(t)∧ −→v ′ (t). ành lỵ 1.4.2 GiÊ sỷ h m vectỡ −→r cõ Ôo h m trản khoÊng I Náu
∥−→r (t)∥ = c vợi mồi t ∈ I, trong õ c l mởt hơng số thẳ vectỡ −→r ′ (t) vuổng gõc vợi vectỡ −→r (t) vợi mồi t ∈ I.
Chựng minh Vẳ∥−→r (t)∥ 2 = c 2 = −→r (t).−→r (t)nản−→r (t).−→r (t) =c 2 vợi mồit ∈
I LĐy Ôo h m hai vá cừa ỗng nhĐt thực trản, ta ữủc: 0 = [−→r (t).−→r (t)] ′ −
→r (t).−→r (t) +−→r (t).−→r (t) = 2−→r (t).−→r (t),do õ −→r (t).−→r (t) = 0vợi mồi t ∈ I. Vêy −→r ′ (t) vuổng gõc vợi −→r (t).
Từ đoạn 1.4.2, ta có thể suy ra rằng đường cong Γ mô tả mối quan hệ giữa các điểm trên mặt phẳng, với các điểm này được xác định bởi các tọa độ tương ứng Mối liên hệ này cho phép ta hiểu rõ hơn về hình dạng và tính chất của các đường cong trong không gian.
Tẵch phƠn cừa h m vectỡ mởt bián số
Tính toán các phép toán vector là một lĩnh vực quan trọng trong toán học, giúp hiểu rõ hơn về các hàm số và biến đổi Cụ thể, hàm vector \(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) được định nghĩa trên khoảng [a, b] Việc tính tích phân của hàm \(\vec{r}\) trên khoảng [a, b] là một bước quan trọng để xác định các giá trị thực tế trong ứng dụng của toán học.
GiÊi: Theo ành nghắa, ta cõ
2(e 2 −1)−→ k ành nghắa 1.5.2 Náu−→r l mởt h m vectỡ liản tửc trản oÔn[a, b] v h m vectì−→
R l mởt nguyản h m cừa−→r trản oÔn[a, b](tực l −→
R(a) Kẵ hiằu R −→r (t)dt ch¿ mởt nguyản h m bĐt kẳ cừa h m vectỡ −→r
Vẵ dử 1.5.2 Tẳm nguyản h m cừa h m vectỡ sau
GiÊi: Theo ành nghắa 1.5.2 ta cõ
C = c 1 ⃗i+c 2 ⃗j +c 3 ⃗k l mởt vectỡ hơng tũy ỵ. ành lỵ 1.5.1 GiÊ sỷ −→u ,−→v l hai vectỡ liản tửc trản oÔn [a, b], c l mởt hơng số v −→
C l mởt vectỡ khổng ời Khi õ a) R b a
Chựng minh Chựng min p dửng ành nghắa tẵch phƠn cừa h m vectỡ, dạ d ng chựng minh ữủc cĂc cổng thực a), b), c) Ta chựng minh d). °t −→
∥−→u(t)∥ vợi mồi t ∈ [a, b] nản tứ ¯ng thực trản suy ra
> 0 Chia hai vá cừa bĐt ¯ng thực trản cho
, ta cõ ữủc bĐt ¯ng thực cƯn chựng min
C = 0 thẳ hiºn nhiản ta cõ bĐt ¯ng thực cƯn chựng min
Sỡ lữủc vã h m vectỡ nhiãu bián số
Mức độ hiện tại của hàm vectơ hai biến số nguyên giá trị trong không gian ba chiều đang được nghiên cứu Trường hợp hàm vectơ nhiều hơn hai biến số và nguyên giá trị trong các không gian khác ba chiều được xem xét tương tự Định nghĩa 1.6.1 nêu rõ rằng cho D là một tập con của R² (D ⊂ R²), hàm vectơ (Ảnh xÔ)⃗r: D −→ R³, với (u, v) 7→⃗r(u, v), được gọi là hàm vectơ xác định trản.
• Trữớng hủp R 3 ữủc trang bà hằ tồa ở ba chiãu Oxyz thẳ ta cõ biºu thực tồa ở cừa h m vectỡ l
⃗r(u, v) =x(u, v)⃗i+y(u, v)⃗j+ z(u, v)⃗k = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) trong õ x(u, v), y(u, v), z(u, v) l cĂc h m số hai bián xĂc ành trản D v gồi l cĂc h m số th nh phƯn cừa h m vectỡ.
Náu h m vectỡ ⃗r(u, v) là biểu thức toán học mô tả các điểm trong không gian, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự giao cắt của các tập xác định trong hình học số Việc phân tích các tập xác định này là rất quan trọng để nắm bắt các khía cạnh khác nhau của hình học phẳng và không gian.
• Cho z = f(x, y) l h m số hai bián số xĂc ành vợi (x, y) ∈ D ⊂ R 2 Khi â, ta câ h m vectì t÷ìng ùng l
Tứ biểu thực tổn ở cửa hàng mỹ phẩm tại Việt Nam thể hiện các phương thức giao hàng linh hoạt, liên tục cửa hàng mỹ phẩm được chuyển đổi cách thức tưởng tượng qua các phương thức giao hàng trực tuyến ứng dụng đối với hàng hóa tổn ở thị trường phân phối Cụ thể như sau: Áp dụng ánh lược sau đây: Ánh lược 1.6.1 Cho hàng mỹ phẩm.
(a) H m vectỡ ⃗r cõ giợi hÔn tÔi iºm (u 0 , v 0 ) khi v ch¿ khi cĂc h m th nh phƯn x(u, v), y(u, v), z(u, v) ãu cõ giợi hÔn tÔi (u0, v0) v ta cõ cổng thực
Hàm vector \(\vec{r}\) liên tục được định nghĩa bởi các hàm số thành phần \(x(u, v)\), \(y(u, v)\), \(z(u, v)\) trong không gian ba chiều Khi các hàm này liên tục, chúng tạo thành một hàm riàng cừa, cho phép chúng ta áp dụng các phép toán hình học và phân tích Điều này có ý nghĩa quan trọng trong việc nghiên cứu các đối tượng hình học phức tạp và ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như đồ họa máy tính và mô phỏng vật lý.
CĂc Ôo h m riảng cĐp cao ho n to n ữủc thỹc hiằn tữỡng tỹ.
Mởt số ựng dửng cừa ph²p tẵnh vi phƠn cừa h m vectì
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày một số ứng dụng của toán học trong việc nghiên cứu và xử lý vectơ trong không gian và trường vectơ Bài viết sẽ tập trung vào các khái niệm cơ bản và những ví dụ cụ thể trong toán học Các nội dung của bài viết được tham khảo từ các tài liệu uy tín.
Ùng dửng h m vectỡ trong cĂc b i toĂn hẳnh hồc ành lữủng 24
ở d i cung
Ta biát rơng cung ph¯ng C thuởc lợp C 1 vợi biºu diạn tham số x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b], cõ ở d i l l b
V cung C trong khổng gian thuởc lợp C 1 vợi biºu diạn tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b] cõ ở d i l l b
Cõ thº viát gồn hai cổng thực (1) v (2) dữợi cĂc dÔng sau Ơy:
DÔng 1: Cung C thuởc lợp C 1 biºu diạn h m vectỡ −→r trản oÔn [a, b] cõ ở d i l l b
Vợi cung ph¯ng C, ta cõ
Vợi cung C trong khổng gian, −→r (t) = x(t)−→ i +x(t)−→ j +z(t)−→ k , t ∈ [a, b] v
DÔng 2: GiÊ sỷ C l mởt cung thuởc lợp C 1 vợi phữỡng trẳnh vectỡ
Khi õ, ở d i cừa cung cõ iºm Ưu A(x(a), y(a), z(a)) v iºm cuối
Vẳ h m số ∥−→r ′ ∥ liản tửc trản [a, b] nản s ′ (t)
DÔng 3: Náu C l mởt cung trỡn thẳ cõ thº lĐy ở d i cung s l m tham số trong biºu diạn tham số cừa C.
Để xác định tính khả thi của các kẽ hiằn trong không gian 2, ta cần đảm bảo rằng độ lớn của đạo hàm vectơ r' (t) luôn lớn hơn 0 với mọi t thuộc đoạn [a, b] Điều này cho thấy hàm số s(t) là đồng biến trên đoạn [a, b] Hơn nữa, hàm ngược t(s) cũng đồng biến và liên tục trên đoạn [0, l] Cuối cùng, phương trình vectơ của cung C theo tham số s sẽ được thiết lập dựa trên các điều kiện này.
→R(s) =−→r (t(s)) = x(t(s))−→ i +y(t(s))−→ j +z(t(s))−→ k , s ∈ [0, l]. Theo cổng thực Ôo h m cừa h m hủp v h m số ngữủc, ta cõ
Tứ õ ta cõ ành nghắa sau Ơy: ành nghắa Ta nõi rơng cung C cõ biºu diạn tham số x = x(t), y = y(t), z = z(t), t ∈ [a, b].
Theo ở d i cung náu ∥−→r ′ (t)∥ = px ′ 2 (t) +y ′ 2 (t) +z ′ 2 (t) = 1 vợi mồi t∈ [a, b].
Vẳ ∥−→r ′ (t)∥ = 1 nản ở d i cung AM cõ iºm Ưu A(x(a), y(a), z(a)) v iºm cuèi M(x(a), y(a), z(a)) l t
Hiºn nhiản mồi cung trỡn ãu cõ biºu diạn tham số theo ở d i cung. Vẵ dử 2.1.1 Cho cung C vợi biºu diạn tham số x √3
2, t ∈ [0,2π] (1)Chựng tọ rơng (1) l biºu diạn tham số theo ở d i cung cừa C.
Gi£i Phữỡng trẳnh vectỡ cừa C l
Vêy (1) l biºu diạn tham số theo ở d i cung cừa C.
Vẵ dử 2.1.2 Cho ữớng xoưn ốc trỏn C vợi phữỡng trẳnh vectỡ
HÂy viát mởt biºu diạn tham số cừa C theo ở d i cung tứ iºm A(a,0,0) theo hữợng xĂc ành bði cĂc giĂ trà tông cừa t.
Gi£i iºm Ưu cừa cung tữỡng ựng vợi t = 0.
Do â ∥−→r ′ (t)∥ = √ a 2 +b 2 ở d i cung AM tứ iºm Ưu A(a,0,0) −
→r (0) án iºm M(acost, asint, bt) = −→r (t), t > 0 l s = s(t) t
Do â t= √ s a 2 +b 2 v biºu diạn tham số theo ở d i cung cừa C l
ở cong cừa mởt ữớng
Ta biát rơng náuC l mởt ữớng trỡn thẳ tÔi mội iºm cừa nõ,C ãu cõ tiáp tuyán Gồi −→
T l vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa C tÔi iºm M Trản hẳnh 6, ta thĐy khi iºm di chuyºn trản C thẳ hữợng cừa vectỡ −→
T bián ời ẵt ð nhỳng nỡi ẵt cong n y bián ời nhiãu ð nhỳng nỡi m C cong nhiãu iãu n y ữủc thº hiằn trong ành nghắa ở cong dữợi Ơy.
GiÊ sỷ C l mởt ữớng trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
→r (s) =x(s)−→ i +y(s)−→ j +z(s)−→ k , trong õ tham số s l ở d i cung Kẵ hiằu −→
T (s) l vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừaC tÔi iºm M(x(s), y(s), z(s)) Náu h m vectỡ −→
T ′ (s) ữủc gồi l ở cong cừa ữớng C tÔi iºm
Nản ở cong cừa C tÔi iºm M biºu thà t¿ suĐt bián thiản cừa vectỡ tiáp tuyán ỡn và ối vợi ở d i cung tÔi iºm M. b) Vẳ ∥−→r ′ (s)∥= 1 nản
2.1.2 ành lẵ Cho ữớng trỡn C vợi phữỡng trẳnh vectỡ
GiÊ sỷ h m vectỡ −→r cõ Ôo h m cĐp hai Khi õ, ở cong cừa C tÔi iºm
Chựng minh Ta biát rơng ở d i cung cõ iºm Ưu M 0 (x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) v iºm cuèi M (x(t), y(t), z(t)) l s = s(t) t
GiÊ sỷ phữỡng trẳnh vectỡ cừa C vợi tham số s l −→
T (s) l vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa ữớng C tÔi iºm M xĂc ành bði −−→
R(s(t)) = −→r (t) Khi õ, theo ành nghắa, ở cong cõa ÷íng C t¤i iºm M l
Vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa ữớng C t¤i iºm M(x(t), y(x), z(t)) l −→
Tứ õ suy ra rơng ở cong cừa ữớng C tÔi iºm M l
∥−→r ′ (t)∥. Vẵ dử 2.1.3 Tẳm ở cong cừa ữớng trỏn bĂn kẵnh a.
Phữỡng trẳnh vectỡ cừa ữớng trỏn tƠm O bĂn kẵnh a l
= 1. ở cong cừa ữớng trỏn tÔi iºm M(acos t, a sin t) l
Nhữ vêy, ở cong cừa ữớng trỏn bĂn kẵnh tÔi a tÔi mội iºm cừa nõ ãu l 1 a
BĂn kẵnh cừa ữớng trỏn c ng lợn thẳ ữớng trỏn c ng ẵt cong hỡn.
Tứ ảnh nghĩa cửa ở cong suy ra rộng ở cong cửa mởt hướng thông, tạo điểm cừa nó ở bờng 0 (và vectỡ tiáp tuyến ơn và cửa nó khổng ời) Tắm ở cong cửa mởt hướng trong không gian, người ta thường áp dụng ảnh lẵ sau Ơy.
2.1.2 ành lẵ GiÊ sỷ C l mởt ữớng trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
Náu h m vectỡ −→r cõ Ôo h m cĐp hai thẳ ở cong cừa C t¤i iºm M(x(t), y(t), z(t)) l
0 vợi mồi t M°t khĂc, ta biát rơng vẳ
T ′ (t) vuổng gõc vợi nhau Do õ
∥−→r ′ (t)∥ 3 Vẵ dử 2.1.4 Tẳm ở cong cừa ữớng xoưn ốc
5 + 4t 2 ở cong cừa ữớng xoưn ốc tÔi iºm M l
Vectỡ phĂp tuyán ỡn và
GiÊ sỷ C l mởt ữớng trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
V h m vectỡ −→r cõ Ôo h m cĐp hai Gồi −→
T (t) l vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa C tÔi iºm M(x(t), y(t), z(t)) Tứ ∥T(t)∥ = 1 vợi mồi t dạ d ng suy ra −→
T (t) Náu ở cong K(t) cừa C tÔi iºm M khĂc 0 thẳ −→
L vectỡ ỡn và vuổng gõc vợi vectỡ −→
T vector gồi l vectỡ phĂp tuyán chẵnh ỡn và cừa ữớng C tÔi iºm M Ví dụ, với hàm x(t) = 2 cos(t) và y(t) = 3 sin(t) tại điểm (0,3), ta có thể phân tích các vectỡ tiáp tuyán ỡn và phĂp tuyán ìn liên quan đến elip.
Gi£i Phữỡng trẳnh vectỡ cừa elip l
→i iºm M(0; 3) ữủc xĂc ành bði −−→
OM = −→r π 2 Vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa elip tÔi iºm M(0; 3) l −→
T π 2 = −−→ i ở cong cừa elip tÔi iºm M(0,3) l
4. Vectỡ phĂp tuyán ỡn và cừa elip tÔi iºm M(0,3) l
Náu −→r ′ (s) = x(s)−→ i +y(s)−→ j + z(s)−→ k l biºu diạn tham số cừa ữớng trỡn C, trong õ s l ở d i cung v K(s) ̸= 0 thẳ vectỡ phĂp tuyán ỡn và cõa C t¤i iºm M = −→r (s) l
Vectỡ trũng phĂp tuyán
GiÊ sỷ C l mởt ữớng trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
N(t),theo thự tỹ, l vectỡ tiáp tuyán ỡn và v vectỡ phĂp tuyán ỡn và cừa ữớng C tÔi iºm M(x(t), y(t), z(t)).
N(t) ữủc gồi l vectỡ trũng phĂp tuyán cừa ữớng C tÔi iºm M õ l vectỡ ỡn và vuổng gõc vợi cÊ hai vectỡ −→
Vẵ dử 2.1.6 Tẳm cĂc vectỡ tiáp tuyán ỡn và, phĂp tuyán ỡn và v trũng phĂp tuyán cừa ữớng cong
Ta câ −→r ′ (t) = cos 2t−→ i + sin 2t−→ j −sint−→ k ;∥−→r ′ (t)∥= p1 + sin 2 t;
Do õ vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa ữớng cong C Â cho tÔi iºm −→r (t) (tùc l iºm P x¡c ành bði −→
Vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa C tÔi iºm M 1 2 , 1 2 ,
2−→ k Vectỡ phĂp tuyán ỡn và cừa C tÔi iºm M l
Vectỡ trũng phĂp tuyán cừa C tÔi iºm M l
PhĂp diằn, m°t ph¯ng mêt tiáp v ữớng trỏn mêt tiáp 35
GiÊ sỷ C l mởt ữớng trỏn cõ ở cong khĂc 0 vợi phữỡng trẳnh vectỡ
B(t) theo thự tỹ, l cĂc vectỡ tiáp tuyán ỡn và, phĂp tuyán ỡn và v trũng phĂp tuyán cừaC tÔi iºm−→r (t) =M (x(t), y(t), z(t)). M°t ph¯ng i qua iºm M v chùa hai vectì −→
B(t) ữủc gồi l phĂp diằn cừa ữớng C tÔi M õ l m°t ph¯ng vuổng gõc vợi tiáp tuyán C t¤i M.
M°t ph¯ng i qua iºm M v chùa hai vectì −→
N(t) ữủc gồi l m°t ph¯ng mêt tiáp cừa ữớng tÔi
Tứ ảnh nghĩa vứa nảu, có thể thấy rõ trong các mặt phẳng khi nhìn từ một góc độ Một mặt phẳng mêt tiáp của tôi mở ra một hướng cong phẳng, trong khi mặt phẳng mêt tiáp của tôi ở mỗi điểm của nó là một phẳng chứa hướng.
C TÔi cĂc iºm cừa ữớng m ở cong bơng 0, ữớng khổng cõ m°t ph¯ng mêt tiáp °c biằt, ữớng th¯ng khổng cõ m°t ph¯ng mêt tiáp tÔi mội iºm cõa nâ.
GiÊ sỷ ữớng C cõ ở congK(t) ̸= 0 tÔi iºm M = −→r (t) Khi õ, ữớng trỏn nơm trong m°t ph¯ng mêt tiáp cừa C tÔi iºm M cõ cũng tiáp
Tuyán tÔi M vợi C, nơm vã phẵa lóm cừa C (tực l phẵa theo hữợng cừa vectỡ phĂp tuyán ỡn và −→
N(t) vặn kẽnh ρ(t) = K(t) 1, được gợi ý là luồng tròn mêt tiáp của luồng C tại điểm M Luồng tròn cũng tiềm ẩn tuyến, pháp tuyến và ở công tại điểm M với C hiện nhận luồng tròn mêt tiáp của một luồng tròn Γ cho trước tại mọi điểm của Γ, chính là luồng tròn.
Vẵ dử 2.1.7 Viát phữỡng trẳnh phĂp diằn v m°t ph¯ng mêt tiáp cừa ữớng C trong vẵ dử 6 tÔi iºm −→r π 4 = M
√ 2 2 v tẵnh bĂn kẵnh ữớng trỏn mêt tiáp cừa C tÔi iºm M.
PhĂp diằn cừa ữớngC tÔi iºmM vuổng gõc vợi vectỡ−→
→k , do õ vuổng gõc vợi vectỡ √
M°t ph¯ng mêt tiáp cừa C tÔi iºm M chựa vecỡ −→
N π 4 nản vuổng gõc vợi vectỡ −→
2−→ k ; do õ vuổng gõc vợi vectỡ −−→ i + 2−→ j + 2√
2 = 0. ở cong cừa ữớng C tÔi iºm M l
BĂn kẵnh ữớng trỏn mêt tiáp cừa ữớng C tÔi iºm M l ρ π 4
ở cong v ữớng trỏn mêt tiáp cừa ữớng cong ph¯ng
Gi£ sû C l ÷íng cong ph¯ng y = f(x), trong â h m sè f câ ¤o h m c§p hai trản khoÊng I LĐy x l m tham số, phữỡng trẳnh vectỡ cừa C l
= f ′′ (x)−→ k v ∥−→r ′ (x)∥ = p1 +f ′2 (x). Theo ành lẵ 3.7, ở cong cừa ữớng C tÔi iºm M(x, f(x)) l
Náu f ′′ (x) ̸= 0 thẳ bĂn kẵnh ữớng trỏn mêt tiáp cừa ữớng cong C tÔi iºm M l ρ(x) = 1
∥f ′′ (x)∥ Vẵ dử 2.1.8 Cho ữớng cong ph¯ng C vợi phữỡng trẳnh y = e x a) Tẵnh ở cong cừa C tÔi iºm M(0,1). b) Viát phữỡng trẳnh ữớng trỏn mêt tiáp cừa C tÔi iºm M.
GiÊi a) Ta cõ y ′ = e x , y ′′ = e x ; do õ ở cong cừa ữớng C tÔi iºm (x, e x ) l
1 +e 2x Vectỡ tiáp tuyán ỡn và cừa C tÔi iºm (x;e x ) l
−−→ i +−→ j Vectỡ phĂp tuyán ỡn và cừa C tÔi iºm M l
BĂn kẵnh cừa ữớng trỏn mêt tiáp cừa C tÔi iºm M l ρ(0) = K(0) 1 2√
2 TƠm I cừa ữớng trỏn mêt tiáp cừa C tÔi iºm M ữủc xĂc ành bði
N(0) = −→ j + 2 −−→ i +−→ j = −2−→ i + 3−→ j ữớng trỏn mêt tiáp cừa C tÔi iºm M cõ tƠm I(−2,3) v bĂn kẵnh l
Ùng dửng trong nghiản cựu trữớng vectỡ
Trữớng vectỡ v trữớng vổ hữợng
ành nghắa 2.1.1a GiÊ sỷ D l mởt têp hủp con cừa R 2 D ⊂ R 2 H m vectì (x, y) 7→ −→
F (x, y) tứ têp hủp D v o khổng gian vectỡ hai chiãu gồi l mởt trữớng vectỡ hai chiãu.
F l mởt trữớng vectỡ hai chiãu xĂc ành trản D ⊂ R 2 thẳ vợi mội iºm M(x, y) ∈ D,−→
F(x, y) l mởt vectỡ hai chiãu Do õ ta cõ
F(M) =P(M)−→ i +Q(M)−→ j Trong õ P v Q l hai h m số thỹc xĂc ành trản D ¯ng thực trản ữủc viát gồn dữợi dÔng −→
F = P−→ i + Q−→ j ành nghắa 2.1.1b GiÊ sỷ E l mởt têp hủp con cừa khổng gian
F (x, y, z) tứ têp hủp E v o khổng gian vectỡ ba chiãu gồi l mởt trữớng vectỡ ba chiãu.
F l mởt trữớng vectỡ ba chiãu xĂc ành trản E ∈ R 3 thẳ vợi méi iºm M (x, y, z) ∈ E,−→
F (x, y, z) l mởt vectỡ ba chiãu Do õ ta cõ
F (M) =P (M)−→ i +Q(M)−→ j +R(M)−→ k trong â P, Q v R l ba h m số thỹc xĂc ành trản E. ¯ng thực trản viát gồn dữợi dÔng −→
F = P−→ i +Q−→ j +R−→ k º dạ hẳnh dung trữớng vectỡ ba chiãu −→
F xĂc ành trản têp hủp E ∈ R 3 , ngữới ta thữớng v³ mởt số vectỡ −→
F(M), câ iºm ¦u M(x, y, z) ∈ E. ành nghắa 2.1.1c Náu U l têp hủp con cừa R 2 ho°c R 3 thẳ mội h m số f : U →R xĂc ành trản U ữủc gồi l mởt trữớng vổ hữợng.
Mởt số vẵ dử vã trữớng vectỡ
Vẽ một hình phẳng ngang, oxy được phân bổ đều trên bề mặt, với dòng chảy xoáy quanh điểm gốc O Vận tốc dòng chảy được định nghĩa là ω radian/giây theo hướng ngược chiều kim đồng hồ Hãy xác định vectơ vận tốc tại mỗi điểm (x, y) của mặt phẳng này.
GiÊi TÔi mội iºm (x, y) cừa m°t ph¯ngOxy, nữợc chuyºn ởng vợi tốc ở v = Rω theo tiáp tuyán tÔi iºm (x, y) cừa ữớng trỏn tƠm O bĂn kẵnh
R = px 2 +y 2 , hữợng ngữủc vợi chiãu quay cừa kim ỗng hỗ Vectỡ vên tốc cừa nữợc tÔi iºm (x, y) ữủc cho bði cổng thực.
→v (x, y) = ω(−y−→ i +x−→ j ) (1) (Dạ d ng thĐy rơng vectỡ−→v (x, y)xĂc ành bði (1) cõ ở d i l ωpx 2 + y 2 Rω, hữợng ngữủc vợi chiãu quay cừa kim ỗng hỗ Vẳ −→v −→r = ω(−y−→ i + x−→ j ).(x−→ i + y−→ j ) = 0 nản −→v (x, y) l vectỡ tiáp tuyán cừa ữớng trỏn tƠm
O bĂn kẵnh OM tÔi iºm M(x, y).
Trường vectơ là một khái niệm quan trọng trong vật lý, đặc biệt là trong việc mô tả các lực tác động trong không gian Trường vectơ trong R² được xác định bởi một cổng thực, tạo thành một trường vectơ hai chiều Trường vectơ này thể hiện sự chuyển động của chất lỏng xung quanh một điểm gốc, giúp hình dung rõ nét hơn về các hiện tượng vật lý liên quan Trường vận tốc được minh họa qua hình vẽ, cung cấp cái nhìn trực quan về cách mà các vectơ vận tốc phân bố trong không gian.
Trong một ống dẫn chất lỏng, ta có thể hình dung một điểm M(x, y, z) nằm trong ống dẫn Tại điểm này, vectơ vận tốc của chất lỏng được ký hiệu là −→v (M) = −→v (x, y, z), thể hiện tốc độ và hướng chuyển động của chất lỏng tại điểm M Vectơ này thuộc một trường vectơ ba chiều, được gọi là trường vận tốc của chất lỏng Mỗi điểm trong trường này biểu diễn tốc độ của chất lỏng tại vị trí tương ứng, với độ lớn của vectơ vận tốc tại điểm M được tính bằng ∥−→v (M)∥.
Trong hẳnh ta thĐy chĐt lọng chÊy nhanh hỡn trong oÔn ống hàp
Theo định luật hấp dẫn của Newton, hai vật có khối lượng M và m sẽ hút nhau với cường độ lực hút F = G * (m * M) / d², trong đó d là khoảng cách giữa hai vật và G là hằng số hấp dẫn.
Giá sỉ trái đất có khối lượng M và tôm trái đất được cho là nguồn gốc của R3 Một vật có khối lượng mởt ở trên và độ tỉ lệ P(x, y, z) ngoài trái đất chịu tác động của lực hút của trái đất với cường độ ở M và G r2, trong đó r = ∥−→r ∥.
OP = x−→ i +y−→ j +z−→ k l vectỡ xĂc ành và trẵ cừa iºm P ).
Lực hút của Trái Đất tác động lên các vật thể, tạo ra sự ổn định và giữ cho chúng ở vị trí cố định Sự tương tác này không chỉ ảnh hưởng đến các vật thể trên bề mặt mà còn liên quan đến nhiều hiện tượng tự nhiên khác Lực hút của Trái Đất đóng vai trò quan trọng trong việc duy trì sự cân bằng trong hệ sinh thái và ảnh hưởng đến các quá trình vật lý diễn ra trên hành tinh.
F xĂc ành bði cổng thực trản l mởt trữớng vectỡ ba chiãu, gồi l trữớng hĐp dăn Cõ thº viát cổng thực trản dữợi dÔng
Vẵ dử 2.2.4 GiÊ sỷ mởt diằn tẵch Qữủc °t tÔi iºm gốc O cừa R 3 Theo ành luêt Culổng (Coulomb), lỹc iằn −→
F(P) tĂc dửng lản mởt diằn tẵch q °t tÔi iºm P(x, y, z) khĂc gốc O ữủc cho bði cổng thực
OP = x−→ i + y−→ j + z−→ k , r = ∥−→r ∥ v ε l mởt hơng số(phử thuởc v o cĂc ỡn và ữủc dũng).
Nhữ vêy lỹc iằn (do iằn tẵch Q°t tÔi iºm gốc) tĂc dửng lản iằn tẵch mởt ỡn và °t tÔi iºm P(x, y, z) khĂc iºm gốc ữủc cho bði cổng thực
E xĂc ành bði cổng thực trản l mởt trữớng vectỡ ba chiãu, ữủc gồi l iằn trữớng cừa iằn tẵch Q.
Gradian cừa mởt trữớng vổ hữợng
ành nghắa 2.2.1 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 v f : Ω → R l mởt trữớng vổ hữợng thuởc lợp C 1 trản Ω (tực l h m số cõ cĂc Ôo h m riảng liản tửc trản Ω).
Trữớng vectỡ ∇f xĂc ành trản Ω bði
∂z(M)−→ k , M ∈ Ω, ữủc gồi l gradian cừa trữớng vổ hữợng f tÔi iºm M Trữớng vectỡ ∇f cỏn ữủc kẵ hiằu l −−−→ gradf Cõ thº viát cổng thực trản dữợi dÔng
Gradian là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt trong việc nghiên cứu các hàm số Giả sử \( D \) là một tập hợp trong \( R^2 \) và \( f: D \rightarrow R \) là một hàm số có đạo hàm liên tục cấp 1 trên \( D \) Vectơ gradian \( \nabla f \) tại điểm \( M \) thuộc \( D \) được xác định bởi công thức \( \nabla f(M) = \frac{\partial f}{\partial x}(M) \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}(M) \vec{j} \), hay có thể viết lại dưới dạng \( \nabla f(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) \vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) \vec{j} \).
∂y(x, y)−→ j ,(x, y) ∈ D ữủc gồi l gradian cừa trữớng vổ hữợng f.
Cổng thực trản ữủc viát gồn dữợi dÔng ∇f = ∂f ∂x −→ i + ∂f ∂y −→ j ành nghắa 2.2.2 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 (ho°c R 2 ), f, g l hai trữớng vổ hữợng thuởc lợp C 1 trản Ω Khi õ a) ∇(f +g) =∇f +∇g, b) ∇(λf) = λ∇f, c) ∇(f g) =f∇g +g∇f.
Ta chựng minh c) cho trữớng hủp Ω l mởt têp hủp mð rởng trong R 3 Theo ành nghắa cừa gradian, ta cõ
Quan hằ giỳa gradian v vi phƠn cừa mởt trữớng vổ hữợng
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá ý nghĩa của việc mở rộng hàm số ba biến số Giả sử rằng Ω là một tập hợp trong R³, f: Ω → R là một hàm số (trừu tượng hóa hữu hạn) có độ khả vi C¹ trên Ω, và M(x, y, z) là một điểm thuộc Ω Chúng ta sẽ xem xét tính liên tục của hàm số này.
→u = (h, l, m) 7→ ∂f ∂x (M)h+ ∂f ∂y (M)l + ∂f ∂z (M)m trản R 3 ữủc gồi l vi phƠn cừa h m số f tÔi iºm M, kẵ hiằu l dMf ho°c trản df(M).
Nhữ vêy, df(M) : R 3 → R l h m số trản R 3 xĂc ành bði df(M)(−→u) df(M)(h, l, m) = ∂f ∂x (M)h+ ∂f ∂x (M)l + ∂f ∂x (M)m(1)
(xem GiÊi tẵch têp 1, Chữỡng VI, B, 2.1, trang 263).
Tứ cổng thực (1) suy ra df(M)(−→u) = df(M)(h, l, m) = ∂f ∂x (M)h +
∂x(M)l+ ∂f ∂x (M)mtrong õ∇f(M).−→u l tẵch vổ hữợng cừa hai vectỡ∇f(M) v −→u = (h, l, m).
Quan hằ giỳa gradian v Ôo h m theo hữợng
Ta nhưc lÔi ành nghắa v cổng thực tẳm Ôo h m theo hữợng cừa mởt h m sè
* GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 , f : Ω → R l mởt h m số xĂc ành trản Ω, M(x 0 , y 0 , z 0 ) l mởt iºm cừa Ω v −→u = (a, b, c) l mởt vectỡ ìn và trong R 3 (a 2 +b 2 +c 2 = 1).
Khi õ phữỡng trẳnh vectỡ cừa ữớng th¯ng i qua iºm M v nhƠn −→u l m vectì ch¿ ph÷ìng l −→r (t) = (x 0 +at, y 0 + bt, z 0 + ct).
Náu tỗn tÔi giợi hÔn lim t→0 f (x 0 +at,y 0 +bt,z 0 +ct)−f (x 0 ,y 0 ,z 0 ) t (1) thẳ gợi hÔn õ ữủc gồi l Ôo h m theo hữợng −→u cừa h m số f tÔi iºm
* Náu h m số f : Ω → R thuởc lợp C 1 trản Ω v M(x0, y0, z0) l mởt iºm cừa Ω thẳ vợi mồi vectỡ ỡn và →−u = (a, b, c), h m số f cõ Ôo h m theo hữợng −→u tÔi iºm M v ∂ ∂f − → u(M) = ∇f(M).−→u = df(M)(−→u).
Thêt vêy, h m số t 7→ F(t) = f (x 0 +at, y 0 +bt, z 0 +ct) cõ Ôo h m trản mởt lƠn cên cừa iºm t = 0 v F ′ (t) = a ∂f ∂x +b ∂f ∂y +c ∂f ∂z
CĂc Ôo h m riảng ð vá phÊi cừa ¯ng thực trản ữủc lĐy tÔi iºm (x 0 +at, y 0 +bt, z 0 +ct) Vợi t = 0, ta cõ
Dạ thĐy giợi hÔn trong (1) bơng lim t→0
Tứ õ suy ra rơng ∂ ∂f − → u (M) = ∇f(M).−→u = df(M)(−→u).
Vẵ dử 2.2.5 Cho h m số f(x, y, z) = 3x 2 +xy −2y 2 −yz +z 2 a) Tẳm ∇f. b) Tẳm Ôo h m cừa h m f tÔi iºm M(1,−2,−1) theo hữợng 2−→ i −
Gi£i a)∇f(x, y, z) = (6x+y)←− i +(x−4y−z)−→ j +(2z−y)−→ k vợi(x, y, z) ∈ R 3 b) ∇f(M) = 4−→ i + 10−→ j + 0−→ k vectỡ ỡn và cũng hữợng vợi 2−→ i −2−→ j −−→ k l −→u = 2 3 −→ i − 2 3 −→ j − 1 3 −→ k Ôo h m cừa h m số f tÔi iºm M theo hữợng −→u l
= −4. b) Nhên x²t Ôo h m theo hữợng −→u cừa h m số f tÔi iºm M biºu thà tốc ở bián thiản cừa h m số f tÔi iºm M theo hữợng −→u Theo hữợng n o giĂ trà cừa h m số f tông nhanh nhĐt?
Gi£ sû ∇f(M) ̸= 0 Khi â ∂ ∂f − → u(M) = ∇f(M).−→u ≤ ∥∇f(M)∥ ∥−→u∥ ∥∇f(M)∥ vẳ ∥−→u∥ = 1 Dạ thĐy ta cõ ¯ng thực vợi −→u = ∥∆f ∇f (M (M ) )∥
Vêy ∇f(M) l hữợng theo õ giĂ trà cừa f tông nhanh nhĐt.
Hiºn nhiản −∇f(M) l hữợng theo õ giĂ trà cừa f giÊm nhanh nhĐt.
Với bài toán 2.2.6, chúng ta cần xác định nhiệt độ tại điểm (x, y) trong không gian ba chiều với hàm thực T(x, y) = x² + y² Đầu tiên, ta sẽ tính toán đạo hàm riêng của nhiệt độ tại điểm (1, 2) theo hướng tạo với trục Ox một góc π/6 Sau đó, chúng ta sẽ xác định hướng theo đạo hàm riêng của nhiệt độ tại điểm này để có được giá trị cụ thể.
Gi£i. a) Vectỡ ỡn và xĂc ành hữợng  cho l −→u √ 3 2
3−→ j l hữợng theo õ t¿ suĐt bián thiản cừa nhiằt ở tÔi iºm
Hữợng n y tÔo vợi trửc Ox gõc α xĂc ành bði tanα = −√
GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 v −→
F l mởt trữớng vectỡ trản Ω. Náu tỗn tÔi mởt h m số f : Ω → R thuởc lợp C 1 (tực l f cõ cĂc Ôo h m riảng liản tửc) trản Ω sao cho
F ữủc gồi l mởt trữớng thº trản Ω.
(Tứ ành nghắa suy ra trữớng vectỡ −→
Khổng phÊi mồi trữớng hủp ãu vectỡ l trữớng thá Tuy nhiản, trong Vêt lẵ, ta thữớng g°p nhỳng trữớng thá Ch¯ng hÔn, trữớng hĐp dăn−→
F trong Vẵ dử 3 trong 1.2 l mởt trữớng thá H m số f(x, y, z) = √ M G x 2 +y 2 +z 2 l mởt h m số thá và cừa trữớng vectỡ −→
Rổta cừa mởt trữớng vectỡ
ành nghắa 2.2.3 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 v h m số th nh ph¦n P, Q cõa −→
F thuởc lợp C 1 trản Ω Rổta cừa trữớng vectỡ −→
F , l trữớng vectỡ xĂc ành trản Ω bði rot−→
F = ∂R ∂y − ∂Q ∂z −→ i + ∂P ∂z − ∂R ∂x −→ j + ∂Q ∂x − ∂P ∂y −→ k º dạ nhợ, ta ữa v o mởt kẵ hiằu hẳnh thực
∇ = −→ i ∂x ∂ +−→ j ∂y ∂ +−→ k ∂z ∂ (ồc l el0 Ta lêp mởt cĂch hẳnh thực tẵch vectỡ cừa hai vectỡ ∇ v
F Vẵ dử 2.2.7 Cho trữớng vectỡ−→
Tứ ành nghắa cừa rổta, dạ d ng suy ra ành nghắa 2.2.4 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 ,−→
G l hai trữớng vectỡ thuởc lợp C 1 trản Ω v λ l mởt số thỹc khổng ời Khi õ a) rot
F ành lỵ 2.2.1 GiÊ sỷΩ l mởt têp hủp mð trongR 3 Náu h m sốf : Ω → R thuởc lợp C 2 trản Ω (tực l f cõ Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc trản Ω) thẳ rot(∇f) = −→
Chựng min Vẳ f cõ Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc trản Ω nản cĂc Ôo h m riảng ∂f ∂x , ∂f ∂y , ∂f ∂z l nhỳng h m số thuởc lợp C 1 trản Ω Do õ ∇f ∂f
→i + ∂f ∂y −→ j + ∂f ∂z −→ k l mởt trữớng vectỡ thuởc lợp C 1 trản Ω Ta cõ rot(∇f)
Vẳ h m số f cõ cĂ Ôo h m riảng cĐp hai liản tửc trản Ω nản, theo ành lẵ Svac (Schawars), tứ õ suy ra rot(∇f) =−→
Tứ ành nghắa cừa trữớng thá v ành lẵ trản suy ra. ành nghắa 2.2.5 GiÊ sỷ −→
F l mởt trữớng vectỡ thuởc lợp C 1 trản têp hủp mð Ω trong R 3 Náu −→
F l mởt trữớng thá thẳ rot−→
Tứ 3.4 suy ra rơng náu rot−→
F khổng phÊi l mởt trữớng thá. Vẵ dử 2.2.8 Trữớng vectỡ −→
F(x, y, z) =xy−→ i −y 2 z−→ j + (2x+y +z)−→ k câ phÊi l mởt trữớng thá trản R 3 khổng?
F khổng phÊi l mởt trữớng thá trản R 3 ¯ng thùc rot−→
0 trong 3.4 ch¿ l iãu cƯn chự khổng phÊi l iãu kiằn ừ º trữớng vectỡ −→
F l mởt trữớng thá Tuy nhiản, náu °t thảm giÊ thiát cho têp hủp Ω (ch¯ng hÔn Ω l mởt têp hủp lỗi mð) thẳ õ cụng l iãu kiằn ừ.
Têp hủp lỗi E trong không gian R^3 được xác định bởi hai điểm A và B, với đường thẳng AB nối hai điểm này Têp hủp lỗi này đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu hình học không gian.
F l mởt trữớng thuởc lợp C 1 trản Ω Náu rot−→
F l mởt trữớng thá. ành lẵ n y l mởt trữớng hủp °c biằt cừa ành lẵ IV.7.3 m ta s³ chựng minh trong ch÷ìng IV.
Vẵ dử 2.2.9 Cho trữớng vectỡ
Vợi mồi (x, y, z) ∈ V, trong õ V l hẳnh cƯu mð cõ tƠm l iºm gốc v bĂn kẵnh a > 0. a) Chựng minh rơng − →
F l mởt trữớng thá trản V. b) Tẳm h m số thá và f cừa trữớng vectỡ − →
= 0 vợi mồi (x, y, z) ∈ V Tữỡng tỹ, ta cõ ∂P ∂z − ∂R ∂x = 0 v ∂Q ∂x − ∂P ∂y = 0 Do õ rot − →
Vẳ V l mởt têp hủp lỗi mð nản theo ành lẵ 3.5, tứ õ suy ra rơng − →
F l mởt trữớng thá. b) Ta tẳm h m số f : V → R sao cho ∇f = − →
∂z (x, y, z) = √ −z a 2 −x 2 −y 2 −z 2 (3) LĐy nguyản h m (1) theo x, ta ữủc f (x, y, z) = p a 2 − x 2 − y 2 − z 2 +ω(x, y) (4) Vợi mồi (x, y, z) ∈ V, trong õ φ l mởt h m số thuởc lợp C 1 trản hẳnh trỏn y 2 +z 2 < a 2 trong m°t ph¯ng x = 0.
LĐy Ôo h m hai vá cừa (4) theo y, ta ữủc ∂f ∂y (x, y, z) = √ −y a 2 −x 2 −y 2 −z 2 + ∂φ ∂y (y, z) (5)
Tứ (5) v (2) suy ra ∂φ ∂y (y, z) = 0 Do õ φ(x, y) = ψ(z), trong õ ψ l h m số thuởc lợp C 1 trản khoÊng (−a, a) v tứ (4), ta cõ f(x, y, z) = p a 2 − x 2 − y 2 − z 2 + ψ(z).
Tứ (3) v (6) suy ra ψ ′ (z) = 0 , do õ ψx(z) =λλ l mởt hơng số thỹc. Cuối cũng ta ữủc f (x, y, z) = pa 2 −x 2 −y 2 −z 2 +λ,(x, y, z) ∈ V, λ = const.
ivecgiông cừa 1 trữớng
ành nghắa 2.2.6 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 v −→
Q−→ j +R−→ k l mởt trữớng vectỡ thuởc lợp C 1 trản Ω. ivecgiông cừa trữớng vectỡ −→
F ,l h m sè thüc x¡c ành trản Ω bði div−→
Ta viát mởt cĂch chẵnh thực nhữ sau: div−→
F l tẵch vổ hữợng cừa vectỡ ∇ = −→ i ∂x ∂ +−→ j ∂y ∂ + −→ k ∂z ∂ v vectì −→
Vẵ dử 2.2.10 Cho trữớng vectỡ
Tứ ành nghắa cừa ivecgiông suy ra ành nghắa 2.2.7 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 ,−→
G : Ω → R 3 l hai trữớng hủp vectỡ thuởc lợp C 1 trản Ω v λ l mởt số thỹc Khi õ a) div(−→
Ta cõ kát quÊ sau Ơy liản quan tợi toĂn tỷ div v toĂn tỷ rot. ành lỵ 2.2.3 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 Náu −→
Q−→ j +R−→ k l mởt trữớng vectỡ thuởc C 2 trản Ω thẳ div(rot−→
Chùng minh Ta câ rot−→
Theo ành lþ Svac suy ra div(rot−→
F) = 0. ành nghắa 2.2.8 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong R 3 v −→
F l mởt trữớng vectỡ thuởc lợp C 1 trản Ω Náu tỗn tÔi mởt trữớng vectỡ −→
G thuởc lợp C 2 trản Ω sao cho rot−→
F = 0 trản Ω Hệ thống này có khả năng hoạt động hiệu quả Tuy nhiên, nếu chúng ta không cẩn thận, nó có thể dẫn đến một số lỗi trong quá trình sử dụng Đặc biệt, việc quản lý tệp hợp lỗi trong R 3 v là rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác và hiệu suất của hệ thống.
F l mởt trữớng vectỡ thuởc lợp C 1 trản Ω Náu div−→
F = 0 trản Ω thẳ tỗn tÔi mởt trữớng vectỡ
→G : Ω → R 3 thuởc lợp C 2 trản Ω sao cho rot−→
F trản Ω (1) ành lẵ n y l trữớng hủp °c biằt cừa mởt ành lẵ m ta s³ chựng minh trong phƯn b i têp Chữỡng VI.
F trản Ω v f : Ω → R l mởt h m số thỹc thuởc lợp C 2 trản Ω thẳ rot −→
F Vẳ, theo ành lẵ 3.3, rot(∇f) = −→
0 Do õ, náu vợi mởt trữớng vectỡ −→
F cho trữợc, phữỡng trẳnh (1) trong 4.5 cõ nghiằm−→
G thẳ nghiằm õ khổng phÊi l duy nh§t.
F(x, y, z) 2xy−→ i + (y 2 −3z)−→ j +xyz−→ k cõ phÊi l rổta cừa mởt trữớng vectỡ trản R 3 hay khổng?
Theo ành lẵ 4.4, tứ õ suy ra rơng −→
F khổng phÊi l rổta cừa bĐt kẳ mởt trữớng vectỡ n o trản R 3
Vẵ dử 2.2.12 Cho trữớng vectỡ −→
→F(x, y, z) = (y 2 −z 2 )−→ i + (z 2 −x 2 )−→ j + (x 2 −y 2 )−→ k a) Chựng minh rơng tỗn tÔi mởt trữớng −→
F c) Tứ õ tẳm tĐt cÊ cĂc trữớng −→
F(x, y, z) = ∂x ∂ y 2 −z 2 + ∂y ∂ z 2 −x 2 + ∂z ∂ x 2 −y 2 0 vợi mồi (x, y, z) ∈ R 3 Vẳ R 3 l mởt têp hủp lỗi mð nản, theo ành lẵ 4.5, tỗn tÔi mởt trữớng vectỡ −→
F tữỡng ữỡng vợi hằ phữỡng trẳnh sau
∂x − ∂P ∂y = x 2 −y 2 (4) Thêt vêy, ta cõ rot−→
0 trản R 3 Theo ành lẵ 3.6, tứ õ suy ra rơng −→
G 0 l mởt trữớng thá trản R 3 , tực l tỗn tÔi mởt h m số thuởc lợp C 2 trản R 3 sao cho ∇f = −→
Trong không gian R³, hàm số f: R³ → R có thể được xác định thông qua đạo hàm bậc hai và tính chất của nó liên quan đến toán tử Laplace Để hiểu rõ hơn về hàm số này, chúng ta cần xem xét các trường vectơ liên quan và các điều kiện cần thiết cho sự tồn tại của chúng trong miền Ω Thông qua các nghiên cứu về tính liên tục và khả năng khả vi, chúng ta có thể áp dụng các định lý toán học để phân tích sâu hơn về đặc điểm của hàm số trong không gian ba chiều.
(1) Vá phÊi cừa (1) ữủc gồi l Laplaxian cừa h m số f v ữủc kẵ hiằu l ∇ 2 f Nhữ vêy, ta cõ
Phương trình ∇²f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z² = 0 được gọi là phương trình Laplace Hàm số liên quan đến phương trình Laplace được gọi là hàm số điều hòa Các hàm số điều hòa được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như cơ học, lý thuyết truyền nhiệt, và lý thuyết trường Từ ý nghĩa của Laplacian, ta có thể suy ra các ứng dụng thực tiễn quan trọng trong các lĩnh vực này.
GiÊ sỷ f, g : Ω →R l hai h m số thuởc lợp C 2 trản têp hủp mð Ω trong
Ta chùng minh ¯ng thùc cuèi Ta câ ∂x ∂ (f g) = f ∂g ∂x + g ∂f ∂x Do â
∂z 2 Cởng ba ¯ng thực trản theo tứng vá ta ữủc cổng thực cƯn chựng minh.
Ùng dửng trong cĂc b i toĂn vêt lẵ
Vectỡ vên tốc, tốc ở v vectỡ gia tốc cừa chĐt iºm 53
Hãy quan sát chuyển động của chất lỏng trong không gian tọa độ Giả sử tại thời điểm t, chất lỏng có các tọa độ x(t), y(t) và z(t) Vectơ vị trí −→r (t) = x(t)−→i + y(t)−→j + z(t)−→k xác định và mô tả chất lỏng tại thời điểm t Khi thời gian thay đổi, chất lỏng M(x(t), y(t), z(t)) di chuyển theo hướng C, gọi là quỹ đạo của chất lỏng Hàm vectơ −→r : t → −→r (t) được gọi là hàm vectơ mô tả.
Náu h m vectỡ −→r cõ Ôo h m tÔi iºm t thẳ vectỡ
∆t = −→r ′ (t) ữủc gồi l vectỡ vên tốc cừa chĐt iºm tÔi thới iºm t.
Náu m l khối lữủng cừa chĐt iºm thẳ lỹc −→
F(t) tĂc dửng lản chĐt iºm tÔi thới iºm t ữủc cho bði cổng thực −→
F(t) =m−→a(t). õ l ành luêt thự hai vã chuyºn ởng cừa Newton.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ nghiên cứu chuyển động của một vật theo một hướng xoắn ốc trong không gian ba chiều, được mô tả bởi phương trình r(t) = a cos(ωt) i + a sin(ωt) j + bωt k, với a, b, và ω là các hằng số Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định vectơ vận tốc, vectơ gia tốc và mối quan hệ giữa chúng tại thời điểm t Tiếp theo, chúng ta sẽ tính toán góc giữa vectơ vận tốc và vectơ gia tốc tại thời điểm t, từ đó hiểu rõ hơn về đặc điểm chuyển động của vật.
Gi£i. a) Vectỡ vên tốc v tốc ở cừa chĐt iºm tÔi thới iºm t, theo thự tỹ, l
Vectỡ gia tốc v ở d i cừa vectỡ gia tốc tÔi thới iºm t, theo thự tỹ, l
∥−→a(t)∥ = aω 2 b) Gõc θ giỳa hai vectỡ −→v (t) v −→a(t) ữủc cho bði cosθ = ∥− → v − → v (t)∥.∥− (t) − → a → a (t) (t)∥ = a 2 ω 3 sin ωt cos ωt−a 2 ω 3 cos ωt sin ωt aω 3 √ a 2 +b 2 = 0.
Nhên x²t Dạ d ng thĐy rơng tứ ¯ng thực ∥−→v (t)∥ = ω√ a 2 +b 2 vợi mồi t suy ra −→r (t) = e −2t −→ i + 3e t −→ j
Véc tơ vận tốc của chất điểm tại thời điểm t được biểu diễn bởi công thức \( \vec{v}(t) = e^{-2t} \vec{i} + 3e^{t} \vec{j} \) Để xác định các vectơ vận tốc, vận tốc và gia tốc, ta cần tính đạo hàm của vectơ vận tốc Gia tốc tại thời điểm t là \( \vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt} \) Tại thời điểm t = 1, ta có thể tính được giá trị của vectơ vận tốc và vectơ gia tốc để phân tích chuyển động của chất điểm.
16e −4t + 9e 2t b) Biºu diạn tham số cừa quÿ Ôo l x = e −2t ;y = 3e t ; Khỷ t tứ hai phữỡng trẳnh trản, ta ữủc hằ thực giỳa x v y : e t = y 3 ;x = (e t ) −2 = y 3 −2 ;
Quÿ ¤o l ph¦n cõa ÷íng cong xy 2 = 9 trong gâc ph¦n t÷ thù nh§t (h.9).
Vẵ dử 2.3.3 XĂc ành quÿ Ôo chuyºn ởng cừa mởt chĐt iºm cõ khối lữủng m ̸= 0 biát rơng chĐt iºm chuyºn ởng tỹ do (tực l lỹc −→
F(t) t¡c dửng lản nõ tÔi mội iºm t ãu bơng−→
GiÊi Vẳ m ̸= 0 nản theo ành luêt thự hai vã chuyºn ởng cừa Niutỡn ta câ −→a(t) =−→
0 vợi mồi t Do õ −→v (t) =R −→a(t)dt = −→c = c 1 −→ i +c 2 −→ j +c 3 −→ k vợi mồi t.
Quÿ Ôo chuyºn ởng cừa chĐt iºm l mởt ữớng th¯ng Nhữ vêy, chĐt iºm chuyºn ởng trản mởt ữớng th¯ng vợi vên tốc khổng ời.
Vẵ dử 2.3.4 Mởt chĐt iºm chuyºn ởng vợi vectỡ gia tốc tÔi thới iºm t, l
Tọa độ của vectơ vận tốc và vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 0 được xác định như sau: vectơ vận tốc ban đầu của chất điểm là −→v (0) = −→i + 2−→j −−→k, trong khi vectơ gia tốc ban đầu là −→r (0) = −→i + −→k.
→λ l mởt vectỡ khổng ời Do õ −→v (0) = −→ i −−→ k +−→ λ
Tứ giÊ thiát −→v (0) = −→ i + 2−→ j − −→ k suy ra −→ λ = 2−→ j Do â −→v (t) e t −→ i + 2−→ j −e −t −→ k Vẳ −→r ′ (t) = −→v (t) nản −→r (t) = R −→v (t)dt= e t −→ i + 2→− j −e −t −→ k +−→à ,
→à l mởt vectỡ khổng ời Do õ −→r (0) = −→ i +−→ k +−→à Theo giÊ thiát,
→r (0) = −→ i +−→ k Tứ õ suy ra −→à = 0 v ta cõ −→r (t) = e t −→ i + 2t−→ j +e −t →− k
Với bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khía cạnh quan trọng của viễn ôn, bao gồm việc xác định vectơ và trọng tâm của viễn ôn tại thời điểm t, cũng như việc xác định giá trị tối đa của trọng tâm viễn ôn Chúng ta sẽ viết phương trình cho các cửa quỹ của viễn ôn và tìm ra tầm cao lớn nhất của viễn ôn.
GiÊi a) Ta chồn iºm °t súng l m gốc tồa ở O, trửc Oy th¯ng ựng hữợng tứ dữợi lản v trửcOx nơm trản m°t Đt v trong m°t ph¯ng chựa v náng sóng.
Vẳ viản Ôn chàu tĂc dửng cừa trồng lỹc hữợng tứ trản xuống nản −→
Theo ành luêt II Niutỡn, ta cõ−→
F(t) = m−→a (t),trong â−→a(t)l vectì gia tốc cừa viản Ôn tÔi thới iºmt.Tứ õ suy ra−→a(t) =−g−→ j Vẳ−→v ′ (t) =−→a(t) nản −→v (t) =R −→a(t)dt = R (−g−→ j )dt = −gt−→ j +−→ λ
Do â −→v (0) = −→ λ Gồi −→v 0 = −→v (0) l vectỡ vên tốc ban Ưu cừa viản ¤n.
Theo giÊ thiát ∥−→v 0 ∥ = v 0 ; do õ −→v 0 = v 0 cosα−→ i + v 0 sinα−→ j
Vêy−→v (t) = −gt−→ j +v0cosα−→ i +v0sinα−→ j = v0cosα−→ i + (v0sinα −gt)→− j Vẳ −→r ′ (t) =−→v (t) nản
2gt 2 −→ j b) Viản Ôn chÔm Đt khi y = 0, tực l
TƯm bưn cừa viản Ôn l d = x(t 0 ) = v 0 cosα 2v 0 g sin α = v 0 2 sin g α
TƯm bưn cừa viản Ôn lợn nhĐt khi sin 2a = 1, tực l α = π 4 c) Biºu diạn tham số cừa quÿ Ôo viản Ôn l x = v 0 tcosα, y = v 0 tsinα−
Ta khỷ t tứ hai phữỡng trẳnh trản º tẳm hằ thực giỳa x v y : t = v x
2v 0 2 cos 2 αx 2 Qụy Ôo cừa viản Ôn trong chuyºn ởng l mởt cung cừa parabol. d) Viản Ôn Ôt ở cao lợn nhĐt khi y ′ (t) = 0.
Thời gian bay của viên đạn được tính bằng công thức \( t = \frac{v_0 \sin \alpha}{g} \) Chiều cao tối đa mà viên đạn đạt được là \( h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} \) Các yếu tố này liên quan đến vận tốc ban đầu và góc bắn của viên đạn, cũng như tác động của trọng lực.
Trữớng vectỡ mởt chiãu trong vêt lỵ
GiÊ sỷ mởt chĐt iºm chuyºn ởng dồc theo mởt ữớng cong kẵn ỡn trỡn tứng khúc C dữợi tĂc dửng cừa mởt lỹc −→
F liản tửc trản C thẳ cổng cừa lỹc −→
F l m chĐt iºm chuyºn ởng dồc theo C l
Gồi D l miãn õng bà ch°n cõ biản ∂D l C Khi õ, náu −→
F l mởt trữớng thá trản mởt têp hủp mð U chựa D thẳ cổng õ bơng 0.
Náu chuyºn ởng cừa mởt chĐt iºm ữủc gƠy ra bði mởt trữớng lỹc −→
F l mởt trữớng thá tỗn tÔi mởt h m số thỹc f thuởc lợp C 1 sao cho
F;−E l mởt h m số thá và cừa trữớng lüc −→
F GiĂ trà E(M) cừa h m số E tÔi iºm M(x, y, z) ữủc gồi l thá nông cõa ch§t iºm t¤i iºm n y. ành luêt bÊo to n nông lữủng
F tĂc dửng lản mởt chĐt iºm cõ khối lữủng m l m nõ dàch chuyºn theo mởt cung C ⌢
AB trỡn tứng khúc tứ iºm Ưu A án iºm cuối B cừa cung v và trẵ cừa chĐt iºm tÔi thới iºm t ữủc xĂc ành bði
Khi õ cổng thỹc hiằn bði trữớng lỹc −→
F º l m ch§t iºm dàch chuyºn dồc theo cung C l
→F(−→r (t)).−→v (t)dt, trong õ −→v (t) l vectỡ vên tốc cừa chĐt iºm tÔi thới iºm t.
Theo ành luêt thự hai vã chuyºn ởng cừa Niu-tỡn, ta cõ
→F(−→r (t)) = m−→a(t) =m−→v ′ (t), trong â −→a (t) l vectì gia tèc cõa ch§t iºm t¤i thíi iºm t.
2mv 2 (a) (1) trong õ v(a) v v(b) l tốc ở cừa chĐt iºm tÔi thới iºm a v b.
Trong vật lý, người ta thường sử dụng các hàm M(x(t), y(t), z(t)) để mô tả các đặc tính của một vùng không gian Nếu K(M) là một hàm thể hiện các thuộc tính của vùng không gian đó, thì nó có thể được coi là cổng thực cho các đặc tính của vùng nông cừa chất.
Cổng thực (2) cho thấy cổng ữủc thực hiện sự chuyển chất lỏng từ điểm A sang điểm B qua tông ởng nông Bây giờ, giê sỷ trữớng lỹc được áp dụng trong quá trình này.
−E l mởt h m số thá và cừa trữớng vectỡ −→
F Khi õ, theo ành lẵ chỡ bÊn cừa tẵch phƠn ữớng, ta cõ
Cổng thực (3) cho thĐy cổng thực ữủc thỹc hiằn º l m dàch chuyºn chĐt iºm dồc theo cung C tứ iºm A án iºm B bơng ở giÊm thá nông cừa chĐt iºm tứ A sang B.
(ở tông ởng nông bơng ở giÊm thá nông).
Như vậy, tổng thể nông của véc tơ ở vị trí nông của đường cong có chiều từ điểm A đến điểm B Việc thay B bằng một điểm bất kỳ M(x(t), y(t), z(t)) trên đường cong cho chúng ta thấy rằng: tổng thể nông của véc tơ ở vị trí nông của đường cong không đổi khi điểm chuyển động Đó là một luật bảo toàn quan trọng trong lý thuyết động học.
Trữớng vectỡ hai chiãu trong vêt lỵ
a) Ta x²t b i toĂn Vêt lẵ ỡn giÊn sau:
GiÊ sỷ S l mởt bÊn ph¯ng ành hữợng cõ diằn tẵch |S|,−→n l trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và xĂc ành phẵa cừa S.
Mởt dòng chất lỏng có mật độ ở khối lửng thể tích lớn chảy qua một sàng phía xác ảnh bồi trữ trường vectơ Biết rằng trường vên tốc của chất lỏng lớn, hãy tính khối lửng của chất lỏng chảy qua một sàng.
S trong mởt ỡn và thới gian.
Thº tẵch cừa chĐt lọng chÊy qua mởt ỡn và diằn tẵch cừa m°t S trong mởt ỡn và thới gian −→v ,−→n
Thº tẵch cừa chĐt lọng chÊy qua m°t S trong mởt ỡn và thới gian l
(−→v ,−→n)|S| Do õ khối lữủng cừa chĐt lọng chÊy qua m°t S trong mởt ỡn và thíi gian l ρ(−→v ,−→n)|S| = ((ρ−→v ),−→n)|S|. b) Ta x²t b i to¡n phùc t¤p hìn.
GiÊ sỷ S l mởt m°t ành hữợng ỡn trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
→r (u, v) = x(u, v)−→ i +y(u, v)−→ j +z(u, v)−→ k ,(u, v) ∈ D, trong õ D l mởt miãn õng o ữủc trong R 2
Mởt dỏng chĐt lọng cõ mêt ở khối lữủng thể tích ρ(x, y, z) và vectỡ vận tốc −→v (x, y, z) tÔi iºm (x, y, z) Biết rằng h m số ρ và trường vận tốc −→v ãu liản tửc, hãy tính khối lữủng của chất lỏng chảy qua một S trong một thời gian nhất định Ở đây, ta x²t trường hợp D là một hình chữ nhật R: π {∆R 1 ,∆R2, ,∆Rn}.
∆S 1 ,∆S 2 , ,∆S n l cĂc mÊnh cừa m°tStữỡng ựng vợi cĂc hẳnh chỳ nhêt
∆R1,∆R2, ,∆Rn.M°tS ữủc chia th nh cĂc mÊnh m°t∆S1,∆S2, ,∆Sn. Diằn tẵch mÊnh ∆S i l |∆S i | = RR
Vẳ h m số (u, v) → ∂ ∂u − → r ∧ ∂ ∂v − → r (u, v) liản tửc trản hẳnh chỳ nhêt ∆R i nản, theo ành lẵ vã giĂ trà trung bẳnh cừa tẵch phƠn hai lợp, tỗn tÔi mởt iºm (u i , v i ) ∈ ∆R i sao cho
OM i = −→r (u i , v i ) Náu ữớng kẵnh d(π) cừa ph²p phƠn hoÔch π khĂ nhọ thẳ cõ thº xem mÊnh m°t ∆S i l mởt mÊnh ph¯ng cõ vectỡ phĂp tuyán ỡn và −→n(u i , v i ) cừa m°t S tÔi iºm Mi Vẳ trữớng vên tốc −→v v h m số ρ ãu liản tửc trản.
S nản chúng thay ời rĐt ẵt trản ∆S i Vẳ vêy cõ thº xem trữớng vên tốc −→v v h m số ρ l khổng ời trản ∆S i , theo thự tỹ, bơng
Do õ khối lữủng cừa chĐt lọng qua m°t ∆S i trong mởt ỡn và thới gian xĐp x¿ bơng
∆R i l giĂ trà gƯn úng cừa khối lữủng chĐt lọng chÊy qua m°t S trong mởt ỡn và thới gian Vẳ h m số
∂v (u, v) liản tửc trản R nản nõ cõ khÊ tẵch trản R, v lim d(x)→0σ Z Z
Mởt cĂch tỹ nhiản, ta gồi tẵch phƠn n y l khối lữủng chĐt lọng chÊy qua m°t S trong mởt ỡn và thới gian. °t −→
F = ρ−→v v thay hẳnh chỳ nhêt R bði miãn õng o ữủc D trong
R 2 , ta ữủc tẵch phƠn hai lợp
Mởt số b i toĂn Vêt lẵ khĂc cụng dăn án viằc tẵnh tẵch phƠn hai lợp cõ dÔng trản Ta gồi nõi l tẵch phƠn m°t cừa trữớng vectỡ −→
F trản m°t ành hữợng S. ành nghắa 2.3.1 GiÊ sỷ S l mởt m°t ành hữợng ỡn trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
→r (u, v) = x(u, v)−→ i +y(u, v)−→ j +z(u, v)−→ k ,(u, v0 ∈ D, trong õ D l mởt miãn õng o ữủc trong R 2 v −→
F l mởt trữớng vectỡ liản tửc trản S Khi õ, tẵch phƠn m°t cừa trữớng vectỡ −→
→F d−→ S v ữủc cho bði cổng thực
→F ∂ ∂u − → r ∧ ∂ ∂v − → r dudv (1) trong õ phẵa cừa m°t ành hữợngS ữủc xĂc ành bði trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và −→n ∂ − → r
Tẵch phƠn m°t cừa trữớng vectỡ −→
F qua m°t ành hữợngS cỏn ữủc gồi l thổng lữủng cừa trữớng vectỡ −→
Quan hằ giỳa tẵch phƠn m°t cừa mởt trữớng vectỡ v tẵch phƠn m°t cừa mởt h m số.
Ta giỳ nguyản cĂc giÊ thiát v kẵ hiằu trong 4.2 Vẳ trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và xĂc ành phẵa cừa m°t ành hữợng S l
∥ ∂ ∂u − → r ∧ ∂ ∂v − → r ∥ nản tứ cổng thực (1) trong 4.2 suy ra
F −→n)dS (2) Nhữ vêy tẵch phƠn m°t cừa mởt tr÷íng vectì −→
F trản S bơng tẵch phƠn m°t cừa th nh phƯn phĂp tuyán cừa nõ trản S.
Chó þ a) Trong tẵch phƠn m°t RR
S náu ời phẵa cừa m°t ành hữợng thẳ tẵch phƠn m°t s³ ời dĐu Náu kẵ hiằu S l m°t ành hữợng vợi trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và −→n v S − l m°t ành hữợng vợi trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và −−→n thẳ.
S cừa mởt h m số f (ho°c trữớng vổ hữợng f ), khổng cƯn ành hữợng m°t S, cỏn trong tẵch phƠn m°t RR
GiÊi Phữỡng trẳnh vectỡ cừa m°t cƯu  cho l
→r (θ, φ) =asinθcosφ−→ i +asinθcosφ−→ j +acosθ−→ k ,
D = [0, π] ì[0,2π] Phẵa ngo i cừa m°t cƯu ữủc xĂc ành bði trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và
∥ ∂ ∂θ − → r ∧ ∂ ∂φ − → r ∥. p dửng cổng thực (1) trong ành nghắa tẵch phƠn m°t cừa mởt trữớng vectỡ, ta ữủc
→F(−→r (θ, φ)) = acosθ−→ i +asinθcosφ−→ j +asinθcosφ−→ k ,
∂φ = a 2 sinθ(sinθcosφ−→ i + sinθsinφ−→ j + cosθ−→ k ).
0 sin 2 θcosθcosφ+ sin 3 θsin 2 φ+ sin 2 θcosθcosφ dθdφ
Náu S l ỗ thà cừa h m số z = g(x, y),(x, y) ∈ D trong õ g l mởt h m số thuởc lợp C 1 trản miãn õng o ữủc D thẳ S l mởt m°t tham số ỡn trỡn vợi cĂc tham số x, y Phữỡng trẳnh vectỡ cừa m°t S l
Náu S l m°t ành hữợng vợi phẵa trản thẳ phẵa cừa S ữủc xĂc ành bði trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và
F = P−→ i +Q−→ j +Q−→ k l mởt trữớng vectỡ liản tửc trản S thẳ
Náu S l m°t ành hữợng vợi phẵa dữợi thẳ
Vẵ dử 2.3.7 Tẵnh thổng lữủng cừa trữớng vectỡ
→F(x, y, z) =y−→ i −x−→ j + 4−→ k qua m°t trản cừa m°t S, trong õ S l phƯn cừa m°t parabổlổit z 1−x 2 −y 2 trong gâc ph¦n t¡m thù nh§t.
GiÊi Ta khổng Ăp dửng cổng thực 4.5 m giÊi trỹc tiáp b i toĂn nhữ ối vợi Vẵ dử 1.
Hàm số r(x, y) = x−→ i −y−→ j + (1−x²−y²)−→ k, với (x, y) thuộc tập D, mô tả một phần tử hình tròn trong không gian ba chiều và nằm trong góc phần tử thực nhất của một mặt phẳng Oxy Một tràn S được xác định bởi biên giới vectơ pháp tuyến ở điểm đó.
Thổng lữủng cừa trữớng vectỡ −→
Kẵ hiằu khĂc cừa tẵch phƠn m°t cừa mởt trữớng vectỡ
GiÊ sỷ S l mởt m°t ỡn trỡn vợi phữỡng trẳnh vectỡ
→r (u, v) = x(u, v)−→ i +y(u, v)−→ j +z(u, v)−→ k ,(u, v) ∈ D, trong õD l mởt miãn õng o ữủc trongR 2 v −→
F = P−→ i +Q−→ j +R−→ k l mởt trữớng vectỡ liản tửc trản S Theo ành nghắa tẵch phƠn m°t cừa mởt tr÷íng vectì, ta câ
Ta nhợ lÔi rơng D(y,z) D(u,v) l giacổbian cừa Ănh xÔ
(u, v) 7→ϕ(u, v) = (y(u, v), z(u, v)),(u, v) ∈ D. iãu n y l m ta liản tữðng án cổng thực bián ời số trong tẵch phƠn hai lợp v ngữới ta  dũng kẵ hiằuRR
P dydx º ch¿ tẵch phƠn Ưu ð vá phÊi cừa
Tữỡng tỹ, ngữới ta dũng cĂc kẵ hiằu RR
Rdxdy º ch¿ tẵch phƠn thự hai v thự ba trong tờng ð vá phÊi cừa (1) v dũng kẵ hiằu RR
S xdydz +ydzdx+zdxdy trong â S l m°t ngo i cừa cừa m°t ngo i cừa m°t elipxổit x a 2 2 + y b 2 2 + z c 2 2 = 1.
Phữỡng trẳnh vectỡ cừa m°t elipxổit  cho l
→r (θ, φ) =asinθcosφ−→ i +bsinθsinφ−→ j +ccosθ−→ k , (3) (θ, φ) ∈ D = [0, π]×[0,2π]. é cuối b i giÊi, ta s³ ch¿ ra rơng trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và
XĂc ành phẵa ngo i cừa m°t elipxổit Vẳ vêy, theo ành nghắa tẵch phƠn m°t cừa mởt trữớng vectỡ, ta cõ
D asinθcosφ−→ i +bsinθsinφ−→ j +ccosθ−→ k
→i −→ j −→ k acosθcosφ bcosθsinφ −csinθ
= bcsin 2 θcosφ−→ i +acsin 2 θsinφ−→ j + absinθcosθ−→ k (4)
D sin 3 θcos 2 φ+ sin 3 θsin 2 φ+ sinθcos 2 θ dθdφ
BƠy giớ ta chựng minh trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và −→n xĂc ành phẵa ngo i cừa m°t elipxổit Thêt vêy, tứ (3) v (4) suy ra
OM = −→r (θ, φ))(cũng hữợng vợi vectỡ phĂp tuyán ỡn và−→n(θ, φ) tÔi iºmM ) tÔo vợi vectỡ
OM mởt gõc nhồn Tứ õ suy ra rơng trữớng vectỡ −→n hữợng ra ngo i elipxổit.
Dạ thĐy vợi mồi φ ∈ (0,2π), lim θ→0 +
Do õ vectỡ phĂp tuyán ỡn và tÔi iºm (0,0, c) l →− k t¤i iºm (0,0,−c) l −−→ k
Mặt trời trên tường mệnh ảnh hưởng đến sự biến đổi của một ảnh hưởng S có biên l mởt hoặc hợp của một số hữu hạn hướng trên tường khúc v Vectơ pháp tuyến ơn và xác định phía của một ảnh hưởng S Khi hướng dữ dướng của mỗi hướng C (có thể là biên của S) cảm sinh bởi một ảnh hưởng S được xác định như sau: Nếu một người đứng trước một S, ưu hướng theo vectơ −→n i hướng C theo hướng dữ dướng thẳng một S luôn ở bên trái người đó Mặt trời trên tường mệnh ảnh hưởng đến sự hợp của các ảnh hưởng S1, S2, , Sm Hai mặt Si và Sj có thể không có điểm chung hoặc có giao tuyến là phần biên chung ∂Si ∩ ∂Sj của chúng, với các vectơ pháp tuyến −→n1, −→n2, , −→nm, xác định phía của S1, S2, , Sm.
Sự giao nhau của các đường thẳng trong không gian tạo ra những điểm giao cắt quan trọng, phản ánh mối quan hệ giữa chúng Để xác định các điểm này, ta cần sử dụng phương pháp hình học và vectơ, từ đó có thể phân tích và mô tả chính xác vị trí cũng như hướng đi của các đường thẳng Việc hiểu rõ về sự giao nhau này không chỉ giúp trong việc giải quyết các bài toán hình học mà còn có ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực khác nhau.
Chứng hôn một S, biểu cửa hình lệch phương là một mặt trơn tứng mệnh, gồm sau một trơn (ở là sâu hình vuông); hai mặt bậc kẳ hoặc khổng có iêm chung hoặc có một công chung Nếu các vectơ pháp tuyến ở n của chúng hướng ra ngoài hình lệch phương hoặc hướng vào trong hình lệch phương thì S biểu cửa hình lệch phương được ảnh hưởng Khi S là một mặt trơn tứng mệnh, ảnh hưởng xảy ra.
Náu m°t trỡn tứng mÊnh ành hữợng S gỗm cĂc m°t ành hữợng ỡn trỡn S1, , Sm thẳ ta ành nghắa
Vẵ dử 2.3.9 Tẵnh thổng lữủng cừa trữớng vectỡ−→
F(x, y, z) =x−→ i +y−→ j +z−→ k qua m°t ngo i cừa hẳnh trử x 2 +y 2 ≤ a 2 ,0≤ z ≤h.
Giới thiệu về ngôi S của hình trụ là biên của hình trụ với phía xác định bởi trục vectơ pháp tuyến Ngôi S của hình trụ bao gồm ba mặt: một mặt xung quanh S1 của hình trụ với trục vectơ pháp tuyến và hướng ra ngoài hình trụ, và mặt tròn S2 ở trên cùng.
Trong một không gian oxy với vectơ pháp tuyến hướng lên và xuống, ta có một hình bán kính a nằm trong mặt phẳng z = h có tâm nằm trên trục Oz, hình bán kính a có vectơ pháp tuyến hướng lên và xuống Phương trình vectơ của hình bán kính a là S1.
Trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và
→ i +a sin φ − → j a = cosφ−→ i + sinφ−→ j cừa m°t S1 hữợng ra ngo i hẳnh trử Do õ
0 a cos φ − → i + a sin φ − → j + z − → k a cos φ − → i + a sin φ − → j dφdz
0dS = 0. p dửng cổng thực (2) trong 4.3, ta ữủc
Thổng lữủng cừa trữớng vectỡ − →
F qua m°t ngo i cừa hẳnh trử l
= 2πa 2 h + 0 + πa 2 h = 3πa 2 h. Ùng dửng vêt lẵ cừa tẵch phƠn m°t cừa trữớng vectỡ
E l mởt iằn trữớng trản m°t ành hữợng S (xem vẵ dử 4 trong 1.2, chữỡng II) thẳ tẵch phƠn m°t
→ F d − → S ữủc gồi l thổng lữủng cừa iằn trữớng − →
Ta nhưc lÔi ành lẵ Gao-xỡ (Gauss), mởt ành lẵ quan trồng cừa Tắnh iằn hồc: Náu
Q l iằn tẵch bản trong mởt m°t kẵn S v − →
E l iằn trữớng cừa iằn tẵch Q thẳ thổng lữủng cừa iằn trữớng − →
0 , trong õ ε 0 l hơng số iằn mổi cừa chƠn khổng.
Nhữ vêy, náu biát iằn trữớng − →
E trản m°t S thẳ, Ăp dửng ành lẵ Gao-xỡ, cõ thº tẵnh ữủc iằn tẵch bản trong m°t S Êo lÔi, cõ thº Ăp dửng ành lẵ Gao-xỡ º tẳm iằn trữớng sinh ra bði mởt vêt tẵch iằn phƠn bố iằn tẵch mởt cĂch ối xựng Để thực hiện điều này, ta cần xác định trục của hệ tọa độ Oxyz sao cho trục Oz nằm song song với mặt phẳng chứa đường thẳng.
GiÊ sỷ M (x, y, z) l mởt iºm bĐt kẳ khổng nơm trản sủ dƠy M°t ph¯ng i qua iºm
M v vuổng gõc vợi sủ dƠy nõ chia th nh hai nỷa ổi xựng Gồi − →
E 2 (x, y, z) là một đại lượng vật lý thể hiện lực tác động lên một vật thể trong không gian ba chiều Lực này được sinh ra từ sự tương tác giữa các yếu tố trong môi trường, gây ra sự thay đổi trong trạng thái chuyển động của vật thể Đặc biệt, lực này có thể phân bố không đồng đều và ảnh hưởng đến nhiều khía cạnh của hệ thống, bao gồm cả sự phân bố năng lượng và động lực học Việc hiểu rõ về lực tác động này là rất quan trọng trong các nghiên cứu về vật lý và kỹ thuật.
E (x, y, z) do to n bở sủi dƠy gƠy ra, tĂc dửng lản mởt ỡn và iằn tẵch °t tÔi iºm M l hủp cừa hai lỹc iằn
E (x, y, z) vuổng gõc vợi sủi dƠy Do õ − →
E (x, y, z) câ th nh phƯn trản trửc Oz bơng 0 Tứ tẵnh ối xựng cừa sỹ phƠn bố iằn tẵch trản dƠy suy ra rơng hai lỹc iằn − →
E 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) cõ cữớng ở bơng nhau náu hai iºm (x 1 , y 1 , z 1 ) v (x 2 , y 2 , z 2 ) cĂch ãu sủi dƠy Do õ lỹc iằn − →
E (x, y, z) ch¿ phử thuởc v o khoÊng cĂch tứ iºm (x, y, z) án sủi dƠy Tứ õ suy ra rơng tỗn tÔi mởt h m số thỹc f xĂc ành trản têp {(x, y, z) : x 2 + y 2 > 0} sao cho
√ j x 2 +y 2 (1) Gồi (x 0 , y 0 , z 0 ) l mởt iºm bĐt kẳ khổng nơm trản sủi dƠy º tẵnh f p x 0 2 + y 0 2 ta x²t hẳnh trử trỏn xoay B cõ chiãu cao bơng 1:
M°t S, biản cừa hẳnh trử gỗm ba m°t:
M°t xung quanh S 1 cừa hẳnh trà (hiºn nhiản (x 0 , y 0 , z 0 ) ∈ S 1 );
M°t S 2 hẳnh trỏn Ăy dữợi cừa hẳnh trử;
M°t S 3 hẳnh trỏn Ăy trản cừa hẳnh trử.
Thổng lữủng cừa iằn trữớng qua − →
E vuổng gõc vợi Oz nản − →
√ j x 2 +y 2 l trữớng vectỡ phĂp tuyán ỡn và cừa S 1 hữợng ra ngo i hẳnh trử Tứ (1) v (2), ta cõ
Vẳ f p x 2 + y 2 khổng ời trản S 1 nản ta cõ f p x 2 + y 2
Gồi Q l iằn tẵch trong hẳnh trử B Theo ành lẵ Gao-xỡ, ta cõ
Trong hình trụ B, có sự hiện diện của các đường thẳng cắt nhau, tạo thành một mặt phẳng Đối với một mặt phẳng cụ thể, ta có thể mô tả nó bằng phương trình Q = λ.1 = λ, trong đó λ là một tham số đại diện cho đường thẳng cắt mặt phẳng Điều này cho thấy rằng các đường thẳng này có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các yếu tố trong không gian ba chiều.
0 √ 1 x 0 2 +y 0 2 Vêy iằn trữớng cừa sủi dƠy tẵch iằn ữủc cho bði cổng thực − →
Cổng thực trản cho ph²p tẳm iằn trữớng − →
E cừa sủ dƠy tẵch iằn náu biát iằn tẵch riảng λ cừa sủi dƠy b) Sau Ơy l mởt ựng dửng cừa tẵch phƠn m°t Nhiằt hồc.
GiÊ sỷ nhiằt ở tÔi iºm (x, y, z) trong mởt vêt thº u(x, y, z) Khi õ mêt ở dỏng nhiằt l trữớng vectỡ − →
F = −K∇u, trong đó K là một hằng số, gọi là hằng số dẫn nhiệt của chất liệu Sự truyền nhiệt (nhiệt lượng truyền) qua một diện tích S trong vật thể được cho bởi bức tường phân mạch.
Ta Ăp dửng cổng thực trản º x²t b i toĂn sau:
Nhiệt độ ở vùng tôi thường xuyên biến đổi, đặc biệt trong khu vực cưu kim loại, nơi có sự chênh lệch rõ rệt giữa các mùa Tình trạng lũ lụt cũng thường xảy ra, ảnh hưởng đến cuộc sống của người dân nơi đây.
S cõ tƠm trung vợi tƠm cừa quÊ cƯu kim loÔi v bĂn kẵnh R nhọ hỡn bĂn kẵnh cừa quÊ c¦u kim lo¤i.
LĐy tƠm cừa quÊ cƯu kim loÔi l m gốc tồa ở Khi õ, nhiằt ở tÔi iºm (x, y, z) l u(x, y, z) = C(x 2 + y 2 + z 2 ), trong õ C l mởt hơng số Mêt ở dỏng nhiằt ữủc xĂc ành bði
Thổng lữủng nhiằt qua m°t ngo i S l
Vẳ vectỡ phĂp tuyán ỡn và ngo i cừa m°t cƯu tÔi iºm (x, y, z) l
Ùng dửng trong nghiản cựu dÔng vi phƠn
Vi phƠn cừa h m vectỡ mởt bián số
GiÊ sỷ I l mởt khoÊng mð chựa iºm t 0 v h m f : I → R q cõ Ôo h m f ′ (t 0 ) tÔi iºm t 0 Khi â h→0 lim f(t 0 + h) − f (t 0 ) h = f ′ (t 0 ).
Gồi A : R → R q l Ănh xÔ xĂc ành bði A(h) = f ′ (t 0 )h.
Dạ thĐy A l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh v (1) trð th nh h→0 lim f (t 0 + h) − f(t 0 ) − A(h) h = 0 (2)
Náu tỗn tÔi Ănh xÔ tuyán tẵnh A : R → R q thọa mÂn (2) thẳ ta nõi rơng h m f khÊ vi t¤i iºm t 0 v A l vi ph¥n cõa h m f t¤i iºm t 0 ành nghắa vi phƠn cừa h m vectỡ mởt bián
GiÊ sỷ I l mởt khoÊng mð chựa iºm t 0 v f : I → R q l mởt h m Náu tỗn tÔi mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh A : R → R q sao cho h→0 lim f (t 0 + h) − f(t 0 ) − A(h) h = 0
Thẳ ta nõi rơng h m f khÊ vi tÔi iºm t 0 v Ănh xÔ A ữủc gồi l vi phƠn cừa h m f tÔi iºm t 0 , kẵ hiằu l df (t 0 ).
Nhữ vêy df (t 0 ) l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh tứ R v o R q v h→0 lim f (t 0 + h) − f(t 0 ) − df (t 0 )(h) h = 0.
Quan hằ giỳa Ôo h m v vi phƠn cừa h m vectỡ mởt bián số
Giả sử hàm f: I → R có một khoảng mở I và t 0 ∈ I, thì đạo hàm của hàm f tại điểm t 0 được định nghĩa là giới hạn df(t 0): R → R, với df(t 0)(h) = h f′(t 0) Điều này cho thấy rằng, nếu hàm f: I → R khả vi tại điểm t 0, thì df(t 0) là vi phân của hàm f tại điểm t 0 Hơn nữa, df(t 0) thuộc không gian L(R, R q), nơi L(R, R q) là không gian các ánh xạ tuyến tính từ R đến R q.
Vẳ df (t 0 ) l Ănh xÔ tuyán tẵnh nản tứ (3) suy ra h→0 lim f(t 0 + h) − f (t 0 ) h = df (t 0 ) (1).
Vêy h m f cõ Ôo h m tÔi iºm t 0 v f ′ (t 0 ) = df (t 0 ).
Tóm lại, ta có một khoảng mở I ⊆ R và hàm f : I → R là một hàm Hàm f khả vi tại điểm t₀ ∈ I khi và chỉ khi f có đạo hàm tại điểm t₀ Vi phân của hàm f tại điểm t₀ được xác định bởi df(t₀) : R → R, với df(t₀)(h) = h f′(t₀).
Vẵ dử 2.4.1 Cho h m f : R → R 2 xĂc ành bði f(t) = (cos t, sin t) Tẳm Ôo h m v vi ph¥n cõa h m f t¤i iºm t = π 6
GiÊi Ta cõ f ′ (t) = −(sin t, cos t) vợi mồi t ∈ R ; f ′ π 6
Vi phƠn cừa h m f tÔi iºm t = π 6 l Ănh tuyán tẵnh df π 6
Vi phƠn cừa mởt h m vectỡ nhiãu bián số
Trong mảng trản, ta sẽ khám phá ý nghĩa của hàm vectơ một biến số Tiếp theo, chúng ta sẽ áp dụng ý tưởng này vào hàm vectơ nhiều biến số, cụ thể là các hàm xác định trản một tập hợp trong không gian R^p (với p nguyên, p > 1) và từ đó tìm ra các giá trị cực trị trong không gian R^q.
CĂc h m số th nh phƯn cừa h m vectỡ nhiãu bián số
GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp trong khổng gian R p ( p nguyản , p > 1 ) v f : Ω → R q ( q nguyản dữỡng) l mởt h m (Ănh xÔ).
Vợi mội x = (x 1 , x 2 , , x p ) ∈ Ω, f (x) = f (x 1 , x 2 , , x p ) l mởt vectỡ cừa khổng gian
Trong hàm f 1 (x) = f 1 (x 1 , , x p ), với i = 1, , q, các hàm số f 1 , f 2 , , f q là những hàm số thực và xác định trên tập hợp Ω, trong đó Ω là một tập hợp mở trong không gian R p (với p lớn hơn 1) Hàm f được biểu diễn dưới dạng vectơ f = (f 1 , f 2 , , f q ) Nếu các hàm số f 1 , f 2 , , f q là các hàm số liên tục, thì đạo hàm riêng ∂f/∂x 1 i (x 0 ), ∂f/∂x 2 i (x 0 ), , ∂f/∂x q i (x 0 ) sẽ được xác định theo biến số thực x i (i ∈ {1, 2, , p}) tại điểm x 0 thuộc Ω.
R q ữủc gồi l Ôo h m riảng theo bián số thự i cừa f tÔi iºm x 0 , kẵ hiằu l
Gồi {e 1 , e 2 , , e p } l cỡ sð tỹ nhiản cừa khổng gian R p Vẳ Ω l têp hủp mð v x 0 ∈ Ω nản vợi t ∈ R , |t| ừ nhọ, x 0 + te i ∈ Ω Dạ thĐy
Đạo hàm theo hướng của hàm vectơ một biến số được định nghĩa là giới hạn khi x tiến tới vô cùng của tỉ số giữa sự chênh lệch giá trị hàm tại điểm x0 cộng với một vectơ hướng và giá trị hàm tại x0 Định nghĩa này cũng có thể mở rộng cho trường hợp hàm vectơ nhiều biến số, giúp hiểu rõ hơn về sự thay đổi của hàm theo các hướng khác nhau trong không gian đa chiều.
Giả sử Ω là một tập hợp trong R^p (p biến số thực) và f: Ω → R^q (q biến số thực) là một hàm Ta nói rằng hàm f khái niệm tại điểm a ∈ Ω nếu tồn tại một ảnh số tuyến tính A: R^p → R^q sao cho lim h→0.
Khi õ, Ănh xÔ tuyán tẵnh A ữủc gồi l vi phƠn cừa h m f tÔi iºm a, kẵ hiằu l df(a).
Hàm f: Ω → R^q được gọi là một hàm khả vi tại điểm a ∈ Ω nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: (a) f khả vi tại điểm a và đạo hàm df(a) = A ∈ L(R^p, R^q) (b) Tồn tại một hàm r: V → R^q xác định trên một lân cận V của điểm 0 ∈ R^p sao cho với mọi h ∈ V, f(x + h) - f(a) - Ah = ∥h∥ r(h) và lim h→0 r(h) = 0, hoặc f(a + h) - f(a) - Ah = 0(∥h∥) khi h → 0 (c) Với một số dương ε đã cho trước, tồn tại một số dương δ sao cho
(ð Ơy ta  sỷ dửng kẵ hiằu Ah thay cho A(h)).
Chùng minh a) ⇒ b) Ta câ h→0 lim
Vẳ Ω l mởt têp hủp mð trong R p nản vợi ∥h∥ ừ nhọ (h ∈ R p ), ta cõ a + h ∈ Ω °t r(h) =
0 (h = 0) ta ữủc h m r xĂc ành trản mởt lƠn cên ừ nhọ V cừa 0 ∈ R p v lĐy cĂc Ênh trong
R q Tứ õ suy ra f (a + h) − f (a) − Ah = ∥h∥ r(h) v lim h→0 f(h) = 0.
Giới hạn của hàm f(h) khi h tiến tới 0 là 0 nếu với mỗi số dương ε đã cho, tồn tại một số dương δ sao cho nếu ∥h∥ ≤ δ thì ∥f(h)∥ ≤ ε Bên cạnh đó, nếu f: Ω → R^q là một hàm xác định trên tập hợp Ω trong không gian R^p và f khả vi tại điểm a ∈ Ω, thì đạo hàm df(a) của hàm f tại điểm a là duy nhất.
Chứng minh rằng hai ánh xạ tĩnh A, B: R^p → R^q là vi phân của hàm f tại điểm a Khi tồn tại hai hàm r và s xác định trên V chứa điểm a, thỏa mãn f(a + h) − f(a) − Ah = ∥h∥ r(h) và f(a + h) − f(a) − Bh = ∥h∥ s(h), với điều kiện lim h→0 r(h) = 0 và lim h→0 s(h) = 0 Từ đó, ta suy ra rằng (A − B) = ∥h∥ [s(h) − r(h)].
GiÊ sỷ A ̸= B Khi õ tỗn tÔi h 0 ∈ R p sao cho (A − B)h 0 ̸= 0 Hiºn nhiản th 0 ∈ V vợi số dữỡng t ừ nhọ Trong (1) thay h bði th 0 ta ữủc
Vẳ lim t→0 r(th 0 ) = 0 v lim t→0 s(th 0 ) = 0 nản tứ (2) suy ra (A − B )h 0 = 0.
Vẵ dử 2.4.2 GiÊ sỷ Ω l mởt têp hủp mð trong khổng gian R p , b l mởt phƯn tỷ cố ành cừa R q v f : Ω → R q l h m xĂc ành bði f(x) = b vợi mồi x ∈ Ω.
Náu x ∈ Ω v A : R p → R q l Ănh xÔ khổng, tực l Au = 0 vợi mồi u ∈ R p thẳ vợi mồi h ∈ R p , ∥h∥ ừ nhọ, ta cõ f(x + h) − f(x) − Ah = b − a − 0 = 0.
Do õ h m hơng f khÊ vi tÔi mội iºm x ∈ Ω v df (x) l Ănh xÔ khổng tứ R p v o R q
Trong không gian R^p, giả sử A: R^p → R^q là một ánh xạ tuyến tính, với f = A | Ω, thì f: Ω → R^q là hàm xác định bởi f(x) = Ax cho mọi x ∈ Ω Khi đó, đối với mọi x ∈ Ω và h ∈ R^p, nếu ∥h∥ nhỏ, ta có f(x + h) − f(x) − Ah = A(x + h) − Ax − Ah = 0.
Nhữ vêy h m f, thu hàp cừa mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh A : R p → R q trản mởt têp hủp mð Ω trong R p , l khÊ vi trản Ω v ∀x ∈ Ω, df (x) = A.
KT LUN ã t i nghiản cựu "Ph²p tẵnh vi phƠn cừa h m vectỡ v mởt số ựng dửng" Â Ôt ữủc mởt số kát quÊ sau Ơy:
• Hằ thống hõa mởt số khĂi niằm v cĂc kát quÊ liản quan tợi vectỡ, h m vectỡ, giợi hÔn v liản tửc cừa h m vectỡ, Ôo h m cừa h m vectỡ.
Trạng thái mở rộng của một số ứng dụng của hình thức vector trong nghiên cứu và trường vector đã được khám phá, đặc biệt là trong một số bài toán và lĩnh vực trong nghiên cứu động viên phương trong toán học.
Ngoài ra, qua nghiên cứu, chúng ta cũng thấy rõ các hình thức dạy học có thể được cải thiện và mô hình hình thức học vectơ Như vậy, đây là cách tiếp cận cần thiết để nâng cao chất lượng giáo dục toán học ở các trường phổ thông Kết quả của nghiên cứu này sẽ có sự quan trọng cho việc đổi mới nội dung và phương pháp dạy học toán ở phổ thông theo hướng của chương trình giáo dục phổ thông 2018.
Mặc dù đã có nhiều nỗ lực để thực hiện vốn, nhưng do nông lực của bên thứ ba và quy trình thời gian gặp nhiều khó khăn, việc duy trì vốn trở nên khó khăn hơn Tôi rất mong nhận được ý kiến phản biện và góp ý của quý Thầy trong Hội đồng để luôn cải thiện tình hình.
Xin trƠn trồng cÊm ỡn Hởi ỗng!
[1] Nguyạn XuƠn Liản (2009), GiÊi tẵch vectỡ, NXB GiĂo dửc Viằt Nam.
[2] Nguyạn XuƠn Liản (1998), GiÊi tẵch (têp 1, 2), NXB GiĂo dửc Viằt Nam.
[3] o n Quýnh (2000), Hẳnh hồc vi phƠn, NXB GiĂo dửc Viằt Nam.
[4] TrƯn Bẳnh (2000), Ph²p tẵnh vi phƠn v tẵch phƠn (Têp 1, 2), NXB Khoa hồc - Kÿ thuêt.
[5] James Stewart (2008), Calculus (2nd edition), Books/Cole Publishing Company.
[6] George F Simmons (1996), Calculus with analytic geometry, McGraw Hill Inc. ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
BẢN TƯỜNG TRÌNH BỔ SUNG, SỬA CHỮA LUẬN VĂN
Họ và tên học viên: VŨ THỊ THÙY VÂN
Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Khóa: K38
Tên đề tài luận văn: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM VECTO VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Người hướng dẫn khoa học: TS HOÀNG NHẬT QUY
Ngày bảo vệ luận văn: 28 tháng 11 năm 2021
Sau khi tiếp thu ý kiến của Hội đồng bảo vệ luận văn họp ngày 28/11/2021, chúng tôi giải trình một số nội dung sau:
Những điểm đã bổ sung, sửa chữa:
1- Chỉnh sửa những sai sót về câu chữ, lỗi chính tả trong luận văn.
2- Trong chương II, đã đánh số các định lí, ví dụ, phương trình theo yêu cầu của giáo viên phản biện Cụ thể:
Trang 26, Đánh lại ví dụ 1 thành ví dụ 2.1.1
Trang 27, Đánh lại ví dụ 2 thành ví dụ 2.1.2
Trang 29, Đánh lại ví dụ 3 thành ví dụ 2.1.3
Trang 31, Đánh lại ví dụ 4 thành ví dụ 2.1.4
Trang 32, Đánh lại ví dụ 5 thành ví dụ 2.1.5
Trang 34, Đánh lại ví dụ 6 thành ví dụ 2.1.6
BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ
1 Tên đề tài: Phép tính vi phân của hàm véctơ và một số ứng dụng
2 Ngành: Toán giải tích Lớp K38.TGT
3 Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2054/QĐ-ĐHSP ngày 28 tháng 10 năm 2021
4 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021
5 Danh sách các thành viên Hội đồng:
STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG
1 TS Phạm Quý Mười Chủ tịch
2 TS Tôn Thất Tú Thư ký
3 TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện 1
4 TS Lê Quang Thuận Phản biện 2
5 PGS.TS Nguyễn Văn Đức Ủy viên a Thành viên có mặt: 05 b Thành viên vắng mặt: 0
6 Thư ký Hội đồng báo cáo quá trình học tập, nghiên cứu của học viên cao học và đọc lý lịch khoa học (có văn bản kèm theo)
7 Học viên cao học trình bày luận văn
8 Các phản biện đọc nhận xét và nêu câu hỏi (có văn bản kèm theo)
9 Học viên cao học trả lời các câu hỏi của thành viên Hội đồng
10 Hội đồng họp riêng để đánh giá
11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết quả
12 Kết luận của Hội đồng a) Kết luận chung:
- Luận văn được trình bày rõ ràng, nội dung phù hợp, kiến thức được trình bày có hệ thống, nhiều kết quả ứng dụng ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng được đề nghị công nhận kết quả bảo vệ và cấp bằng thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích cho học viên Đồng thời, cần yêu cầu chỉnh sửa nội dung để đảm bảo tính chính xác và hoàn thiện.
Chỉnh sửa theo góp ý của hội đồng Đặc biệt theo ý kiến của hai phản biện
Học viên đã gửi bản luận văn đã chỉnh sửa cho cô Nguyễn Thị Thùy Dương để xác nhận Các ý kiến khác không có Điểm đánh giá cho luận văn là 8.5, tương đương với "Tám phẩy năm".
13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến
14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự do – Hạnh phúc
BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ
(dùng cho thành viên hội đồng là phản biện)
Tên đề tài luận văn: Phép tính vi phân của hàm vecto và một số ứng dụng Chuyên ngành: Toán giải tích Mã ngành: 8.46.01.02
Họ và tên học viên: Vũ Thị Thùy Vân
Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN
Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương đã được duyệt
1 Tính cấp thiết của đề tài: Lý do chọn đề tài phù hợp với nhu cầu nghiên cứu.
2 Cơ sở khoa học và thực tiễn: Luận văn được tổng hợp từ các tài liệu khoa học đáng tin cậy và có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và những độc giả quan tâm đến lĩnh vực này.
3 Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết.
4 Kết quả nghiên cứu: Tổng quan các kết quả trước đây Tác giả đã hệ thống lại các kiến thức cơ sở: hàm vecto, phép tính vi phân của hàm vecto và ứng dụng.