XÁC SUẤT THỐNG kê

Bổ túc về tập hợp và giải tích tổ hợp

1.1.1 Tập hợp và các phép toán

Tập hợp là khái niệm cơ bản trong toán học, không có định nghĩa chính xác Nó thể hiện sự gom góp các đối tượng lại với nhau, trong đó các đối tượng này được gọi là phần tử của tập hợp Tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ cái in hoa như A, B, C, trong khi phần tử được ký hiệu bằng các chữ cái thường như a, b, c Nếu x là một phần tử thuộc tập hợp A, ta ký hiệu x ∈ A; ngược lại, nếu x không thuộc A, ta ký hiệu x ∉ A.

Có ba phương pháp xác định tập hợp: Phương pháp liệt kê, phương pháp trưng tính và sử dụng biểu đồ Veen

Phương pháp liệt kê: Các phần tử của tập hợp được viết giữa dấu   và được phân cách với nhau bởi dấu phẩy thỏa mãn hai điều kiện sau:

- Không chú ý đến thứ tự liệt kê,

- Mỗi phần tử chỉ liệt kê một lần không lặp lại

Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn 5

Phương pháp trưng tính: Đưa ra một tính chất mà chỉ có phần tử của tập hợp đó được thỏa, hay dùng khi số phần tử là vô hạn

Phương pháp sử dụng biểu đồ Venn: Biểu đồ Venn là một đường cong khép kín không tự cắt

Ví dụ: Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1 và nhỏ hơn 5

Trong một lớp học có 40 sinh viên, có 20 sinh viên thành thạo phần mềm Word, 15 sinh viên thành thạo Excel và 10 sinh viên thành thạo cả hai phần mềm Để xác định số sinh viên biết sử dụng ít nhất một trong hai phần mềm, ta tính tổng số sinh viên biết Word và Excel, sau đó trừ đi số sinh viên biết cả hai phần mềm Kết quả cho thấy có 25 sinh viên biết sử dụng ít nhất một phần mềm Đồng thời, số sinh viên không biết sử dụng phần mềm nào là 15.

Các phép toán tập hợp: Cho   , ,A B là hai tập con bất kì của 

- Phép bù của A trong X , kí hiệu là A , A   x   , x A 

Một số tính chất thường dùng: i Luật phân phối

 ii Luật De Morgan: A B A B , A B A B iii A A  , A A  

1.1.2 Giải tích tổ hợp a) Quy tắc cộng

Giả sử một công việc có thể thực hiện bằng một trong k phương án, trong đó

 Phương án 1 có n 1 cách thực hiện,

 Phương án 2 có n 2 cách thực hiện,…,

 Phương án k có n k cách thực hiện, và các cách khác nhau không trùng nhau Khi đó, ta có n n 1  2  n k cách thực hiện công việc

Một sinh viên có hai trạm xe buýt để lựa chọn khi di chuyển từ nhà đến trường: trạm A với 3 xe và trạm B với 4 xe Tổng số sự lựa chọn của sinh viên là 7 xe buýt để đến trường.

Công việc: “di chuyển từ nhà đến trường” có thể thực hiện theo hai phương án, phương án chọn trạm A hoặc chọn trạm B, trong đó

 Phương án chọn trạm A có 3 cách chọn

 Phương án chọn trạm B có 4 cách chọn

Vậy, có 3+4=7 cách thực hiện công việc trên b) Quy tắc nhân

Giả sử một công việc có thể thực hiện tuần tự theo k bước, trong đó

 Bước 1 có n 1 cách thực hiện,

 Bước 2 có n 2 cách thực hiện,…,

 Bước k có n k cách thực hiện,

Khi đó, ta có n n 1    2 n k cách thực hiện công việc

Ví dụ 2 Nam có 3 áo sơ mi và 2 quần dài Nam phải chọn ra 1 bộ đồ để đi dự sinh nhật của bạn

Hỏi Nam có bao nhiêu cách kết hợp giữa áo và quần?

Công việc: “kết hợp giữa quần và áo”, phải thực hiện tuần tự theo các bước sau:

 Bước 1: chọn áo, có 3 cách chọn áo

 Bước 2: chọn quần, có 2 cách chọn quần

Khi đó, ta có 2 3 6  cách kết hợp giữa quần và áo c) Tổ hợp chập k của n phần tử

Từ n phần tử ta lấy ra k phần tử thỏa mãn hai tính chất sau:

Số tổ hợp chập k của n phần tử : !

  d) Chỉnh hợp chập k của n phần tử

Từ n phần tử ta lấy ra k phần tử thỏa mãn hai tính chất sau:

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử : !

Ví dụ 3 Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng Hỏi có bao nhiêu cách lấy 4 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi đỏ

Công việc: “lấy 4 bi trong đó có nhiều nhất hai bi đỏ” có 3 phương án thực hiện

- Phương án 1: 0 đỏ và 4 vàng có C 6 4 15 cách

- Phương án 2: 1 đỏ 3 và vàng, ta thực hiện tuần tự qua các bước:

 Bước 1: lấy 1 bi đỏ có C 5 1 5 cách

 Bước 2: lấy 3 bi vàng có C 6 3 20 cách

Theo quy tắc nhân ta có 5.200 cách

- Phương án 3: 2 đỏ và 2 vàng, ta thực hiện tuần tự qua các bước:

 Bước 1: lấy 2 bi đỏ có C 5 2 10 cách

 Bước 2: lấy 2 bi vàng có C 6 2 15 cách

Theo quy tắc nhân ta có 10.150 cách

Vậy, theo quy tắc cộng ta có 15 + 100 + 150&5 cách thực hiện công việc

Trong bài toán về tín hiệu cờ trên biển, có 7 màu cờ khác nhau và người ta sử dụng 5 màu để tạo ra các tín hiệu Đầu tiên, nếu sử dụng 5 màu khác nhau cho 5 vị trí khác nhau, số tín hiệu có thể tạo ra sẽ là một phép toán tổ hợp Tiếp theo, khi cho phép sử dụng màu tùy ý, số lượng tín hiệu sẽ tăng lên đáng kể Cuối cùng, nếu quy định rằng hai cột kế tiếp không được cùng màu, chúng ta cần áp dụng quy tắc loại trừ để tính toán số lượng tín hiệu hợp lệ.

Để giải bài toán, ta cần tính số cách chọn 5 màu cờ khác nhau từ 7 màu cờ để đặt vào 5 vị trí khác nhau, trong đó có xét đến thứ tự của các màu cờ Số cách chọn được tính bằng công thức A(7, 5) Mỗi vị trí của từng cột cờ đều có 7 cách chọn màu cờ, và ta phải chọn lần lượt cho cả 5 vị trí, do đó số cách chọn sẽ là 7^5 Cụ thể, cột cờ thứ nhất có 7 cách chọn màu cờ.

Cột cờ thứ 2 có 6 cách chọn màu cờ (vì không được trùng với màu cờ của cột thứ 1)

Vậy có 7 6 6 6 6    cách e) Hoán vị của n phần tử

Hoán vị của n phần tử là phép đổi thứ tự các phần tử trong một tập hợp gồm n phần tử Số lượng hoán vị này được tính bằng công thức P(n) = n!.

Trên một toa xe lửa chỉ còn 3 ghế trống, có 3 vị khách lên cùng một lúc, câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho cả 3 vị khách đó Ngoài ra, khi xếp ngẫu nhiên 5 cuốn sách Toán, Lý, Hóa, Văn, Anh lên một kệ sách, cần xác định số cách xếp sao cho sách Toán nằm ở giữa và số cách xếp sao cho sách Toán và Anh ở ngoài bìa.

Giải a) Đổi chỗ ngồi cho 3 vị khách ta được hoán vị của 3 phần tử P 3  3! 6

5 b1) Xếp sách Toán ở giữa: 1 cách

Xếp 4 sách còn lại vào 4 vị trí còn lại: 4!

Vậy có 4! b2) Xếp sách Toán và Anh ở ngoài bìa: 2! cách

Xếp 3 cuốn còn lại vào ba vị trí khác nhau:3! cách

Biến cố ngẫu nhiên

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Phép thử là quá trình thực hiện các điều kiện cụ thể, bao gồm quan sát, thí nghiệm và thu thập dữ liệu.

Trong phép thử , không gian mẫu được định nghĩa là tập hợp các biến cố sơ cấp liên quan đến phép thử đó Khi thực hiện phép thử, một trong các biến cố sơ cấp này chắc chắn sẽ xảy ra Không gian mẫu thường được ký hiệu là .

Ví dụ 6 Một nhà đầu tư quan sát chỉ số chứng khoán trong một ngày để so sánh với chỉ số của ngày hôm qua Gọi

A : “chỉ số chứng khoán của ngày hôm nay tăng so với ngày hôm qua”

B : “chỉ số chứng khoán của ngày hôm nay bằng với ngày hôm qua”

C : “chỉ số chứng khoán của ngày hôm nay thấp hơn so với ngày hôm qua”

Vậy, không gian mẫu của phép thử là    A B C , ,  ,   3

Khi xem xét một phép thử sẽ có nhiều kết quả có thể xảy ra, mỗi kết quả của phép thử được gọi là một biến cố

 Biến cố chắc chắn, kí hiệu là , là biến cố chắc chắn xảy ra khi thực hiện phép thử

 Biến cố không thể, kí hiệu là , là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử

Biến cố ngẫu nhiên là những sự kiện có khả năng xảy ra hoặc không xảy ra trong quá trình thực hiện một phép thử Để biểu thị các biến cố này, chúng ta thường sử dụng các ký tự in hoa như A, B, C, v.v.

1.2.2 Các phép toán trên biến cố và mối quan hệ giữa các biến cố

Xét phép thử , và A B, là hai biến cố của phép thử

Tổng của hai biến cố A và B, ký hiệu là A ∪ B, là một biến cố xảy ra khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra, hoặc cả hai cùng xảy ra.

 Tích của hai biến cố A và B là một biến cố, kí hiệu là A B A B   , biến cố này xảy ra khi

A xảy ra và B xảy ra

 Biến cố đối lập của A , kí hiệu là A , là biến cố A không xảy ra, nghĩa là:

 Biến cố hiệu của A và B , kí hiệu A B\ là biến cố A xảy ra nhưng B không xảy ra, nghĩa là A B A B\ 

 Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố A xảy ra thì B không xảy ra và ngược lại nghĩa là A B  

 A A 1 , , , 2 A n được gọi là xung khắc từng đôi nghĩa là A i A j   ,i j

 Sự kéo theo: A kéo theo B , kí hiệu là A B , nếu A xảy ra thì B xảy ra Ta còn nói A là biến cố thuận lợi cho B

Một sinh viên muốn hoàn thành khóa học cần vượt qua ba kỳ thi, với nguyên tắc rằng chỉ khi đỗ kỳ thi trước, sinh viên mới được phép tham gia kỳ thi tiếp theo Gọi A_i (i = 1, 2, 3) là biến cố "Sinh viên đỗ kỳ thi thứ i" Rõ ràng, A_3 nằm trong A_2 và A_2 nằm trong A_1, nghĩa là nếu A_3 xảy ra thì A_2 và A_1 cũng sẽ xảy ra.

 Sự tương đương: A tương đương với B , kí hiệu là A B , nếu A xảy ra thì B xảy ra và ngược lại A B  A B và B A

Ví dụ Một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi vàng Gọi A : “Lấy được 4 bi vàng”, B : “Lấy 4 bi nhưng không lấy được bi đỏ” Rõ ràng A B (A tương đương với B )

Ví dụ 7 Ba xạ thủ mỗi người bắn một viên đạn vào mục tiêu Giả sử A, B, C là các biến cố sau:

A: “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng”;

B: “Xạ thủ thứ hai bắn trúng”;

C: “Xạ thủ thứ ba bắn trúng” a) Hãy mô tả các biến cố sau ABC A BC A B C, ,   b) Xét các biến cố sau:

D : “Có đúng hai xạ thủ bắn trúng”;

E : “Có ít nhất hai xạ thủ bắn trúng”;

F : “Có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng”;

G : “Chỉ có một xạ thủ bắn trúng”;

H : “Chỉ có xạ thủ thứ ba bắn trúng”;

Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cố A B C A B C, , , , ,

Giải a) ABC là biến cố: “ ”

F  có nhiều nhất một xạ thủ bắn trúng nghĩa là có ít nhất hai xạ thủ bắn không trúng

Chú ý: i Biến cố không thể biểu diễn được thành tổng hoặc tích của các biến cố khác gọi là biến cố sơ cấp

Trong phép thử bắn một viên đạn vào mục tiêu, các biến cố A, B, C được coi là các biến cố sơ cấp Các biến cố đồng khả năng là những biến cố có khả năng xuất hiện giống nhau trong cùng một phép thử.

Trong ví dụ 7, các biến cố A, B, C được coi là đồng khả năng Mọi biến cố ngẫu nhiên W có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hoặc tích của các biến cố sơ cấp, mà những biến cố này là thuận lợi cho W Biến cố chắc chắn, ký hiệu là , là tổng của tất cả các biến cố sơ cấp có thể xảy ra, do đó,  còn được gọi là không gian các biến cố sơ cấp hoặc không gian mẫu.

Trong ví dụ 7, các biến cố D, E, F, G được thể hiện dưới dạng tổng hoặc tích của các biến cố sơ cấp Bài viết sẽ đề cập đến một số tính chất cơ bản liên quan đến các biến cố này.

Định nghĩa xác suất

Xét một phép thử với n kết quả khả thi, không gian mẫu có n biến cố sơ cấp, và biến cố A chứa k phần tử Nếu các biến cố sơ cấp có cùng khả năng xảy ra, xác suất của A được xác định bằng tỷ lệ giữa số phần tử của A và số phần tử trong không gian mẫu.

Ví dụ 8 Trở lại ví dụ 6 với câu hỏi đặt ra là tính xác suất để chỉ số chứng khoán của ngày hôm nay

Không được thấp hơn ngày hôm qua

 Phép thử  : “ ” , bằng phương pháp liệt kê ta tìm được  …

Trong một hộp có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, ta có thể tính xác suất lấy được hai phế phẩm khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm Để tính xác suất này, ta sử dụng công thức xác suất kết hợp Bên cạnh đó, nếu lấy ngẫu nhiên có hoàn lại, tức là sau khi lấy sản phẩm đầu tiên và ghi kết quả, ta trả lại sản phẩm vào hộp trước khi lấy sản phẩm thứ hai, xác suất lấy được 2 phế phẩm cũng sẽ được tính toán dựa trên tỉ lệ phế phẩm trong hộp.

Giải a) Phép thử lấy (2 sản phẩm lấy ra không kể thứ tự) Ta dùng GTTH để xác định số phần tử trong không gian mẫu   …

B được thực hiện qua… bước:

Tương tự, số khả năng để lấy lần lượt 2 sản phẩm từ hộp là 

Chú ý: Lấy lần lượt không hoàn lại k phần tử cũng chính là lấy cùng lúc k phần tử

Ví dụ 10 Một ngân hàng sử dụng 2 loại thẻ thanh toán M và N

Tỉ lệ khách hàng sử dụng thẻ M và N lần lượt là 60% và 55%, trong khi 30% khách hàng sử dụng cả hai loại thẻ Khi chọn ngẫu nhiên một khách hàng của ngân hàng, ta có thể tính xác suất như sau: a) Xác suất khách hàng sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng là 85%; b) Xác suất khách hàng chỉ sử dụng 1 loại thẻ là 85%; c) Xác suất khách hàng chỉ sử dụng loại thẻ M là 30%; d) Xác suất khách hàng không sử dụng thẻ của ngân hàng là 15%.

Phương pháp tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển

 Bước 1: Từ giả thiết xác định chính xác phép thử, có thể dùng các phương pháp liệt kê, GTTH, biểu đồ Venn để xác định 

Khi sử dụng GTTH để xác định phép thử, cần lưu ý rằng bài toán chỉ có hai loại: một lần thực hiện phép thử hoặc nhiều lần thực hiện phép thử Cần phân biệt giữa số lần thực hiện và số cách thực hiện Ví dụ, trong trường hợp chọn 5 màu cờ khác nhau từ 7 màu cờ để đặt vào 5 vị trí có thứ tự, phép thử này chỉ thực hiện 1 lần với số cách là A(7, 5).

Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá một phép thử thú vị liên quan đến 10 từ và 7 màu sắc, được đặt vào 5 vị trí khác nhau Để thực hiện phép thử này, chúng ta cần thực hiện 5 lần cho 5 vị trí, và mỗi vị trí sẽ có 7 cách chọn cờ khác nhau.

 Bước 2: Từ câu hỏi ta gọi biến cố A dùng các phương pháp liệt kê, GTTH, biểu đồ Venn để xác định A

Lưu ý: Tính P A( ) khó ta có thể tính P A( ) Khi đó, P A( ) 1 P A( ) Ƣu điểm và hạn chế của định nghĩa xác suất cổ điển

- Ưu điểm: Tính được xác suất mà không cần tiến hành phép thử

- Hạn chế: số kết quả của phép thử phải là hữu hạn và các kết quả đồng khả năng xảy ra

Định nghĩa xác suất cổ điển có những hạn chế, khiến nó không phù hợp để tính toán xác suất khi chỉ một trong hai yếu tố xảy ra Thay vào đó, ta có thể điều chỉnh định nghĩa bằng cách xem xét số trường hợp thuận lợi so với tổng số trường hợp có thể xảy ra.

Ta có thể định nghĩa xác suất bằng phương pháp thống kê như sau:

1.3.2 Định nghĩa xác suất bằng tần suất

Giả sử phép thử  có thể được lặp lại nhiều lần trong cùng một điều kiện Nếu trong n lần thực hiện phép thử, biến cố A xảy ra k lần, thì tỉ số k/n được gọi là tần suất của A trong n phép thử.

Khi n đủ lớn, tần suất xảy ra của biến cố A sẽ dao động quanh một giá trị nhất định, được gọi là xác suất của A, ký hiệu là P(A) Thực tế cho thấy, với n lớn, giá trị này có thể được sử dụng như một ước lượng gần đúng cho xác suất của biến cố A.

Thực hiện thí nghiệm tung một đồng xu cân đối hơn 10.000 lần thì tính được tần suất của biến cố mặt ngửa xuất hiện gần bằng 0,5

Từ năm 1974 đến 1981, hơn 3 triệu trẻ em được sinh ra mỗi năm ở Hoa Kỳ, với tần suất sinh ra bé trai khoảng 0,513 Định nghĩa xác suất bằng tần suất có những ưu điểm và hạn chế riêng.

- Ưu điểm: Không đòi hỏi phép thử có hữu hạn biến cố đồng khả năng, tính xác suất dựa trên quan sát thực tế

- Hạn chế: Đòi hỏi phải lặp đi lặp lại phép thử nhiều lần nên tốn kinh phí

1.3.3 Các tính chất của xác suất

Các công thức tính xác suất

1.4.1 Công thức cộng xác suất

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì P A B(  )P A( )P B( )

Nếu A A 1 , , , 2 A n xung khắc từng đôi một thì P A( 1   A n )P A( ) 1  P A( ) n

Ví dụ 12 Trở lại ví dụ 10 câu a và câu d

Giải a) M: “Khách hàng sử dụng thẻ loại M”

N: “Khách hàng sử dụng thẻ loại N”

A: “Khách hàng sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng”

P A P M N  d) A : “Khách hàng không sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng”

Ví dụ 13 Một hộp có 4 bi đỏ, 3 bi vàng, 2 bi xanh Lấy ngẫu nhiên ra 3 bi Tính xác suất cả 3 bi đều cùng màu

1.4.2 Xác suất có điều kiện, công thức nhân xác suất a) Xác suất có điều kiện

 Cho hai biến cố A B, Xác suất có điều kiện của A với điều kiện B , kí hiệu P A B   , là xác suất của A được tính sau khi B đã xảy ra P A B    AB B  P AB P B ( ( ) ) nếu P B ( ) 0 

 A B, được gọi là độc lập nếu P A B    P A ( ) hoặc P B A    P B ( )(sự xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất của biến cố kia)

Xác suất có điều kiện cho phép chúng ta dự đoán xác suất xảy ra của một biến cố khác dựa trên thông tin về sự xuất hiện của một biến cố đã biết.

 Xác suất có điều kiện cũng có tính chất như một xác suất

Khi gieo đồng thời hai con xúc xắc, xác suất để tổng số nút trên hai con không nhỏ hơn 10 với điều kiện ít nhất một con xuất hiện nút 5 có thể được tính toán Để đạt được tổng số nút lớn hơn hoặc bằng 10, các trường hợp khả thi bao gồm các tổ hợp như (5,6), (6,5), (5,5), (6,4), (4,6) và (5,4) Việc phân tích các trường hợp này sẽ giúp xác định xác suất chính xác trong bối cảnh đã cho.

 Phép thử Xúc xắc 1 có… khả năng xảy ra, xúc xắc 2 có……khả năng xảy ra Do đó,  

 P A B    P AB P B ( ( ) )  b) Công thức nhân xác suất

 A A 1 , , , 2 A n được gọi là độc lập từng đôi nếu P A A( i j )P A P A( ) ( ) i j

Các biến cố A1, A2, , An được coi là độc lập hoàn toàn nếu bất kỳ biến cố nào trong số chúng đều độc lập với các biến cố còn lại, cũng như với tích của bất kỳ số lượng biến cố nào khác.

Ví dụ 15 Một hộp có 9 bi trong đó có 3 bi đỏ được chia ngẫu nhiên thành 3 phần, mỗi phần 3 bi

Tính xác suất mỗi phần đều có bi đỏ

A: “bi của hộp được chia thành 3 phần, mỗi phần có 1 bi đỏ”

A i : “phần thứ i có 3 bi trong đó có 1 bi đỏ”

Một sản phẩm xuất xưởng trải qua ba lần kiểm tra chất lượng Xác suất để một phế phẩm bị loại ở lần kiểm tra đầu tiên là 0,8 Nếu sản phẩm không bị loại ở lần đầu, xác suất để nó bị loại ở lần kiểm tra thứ hai là 0,9 Nếu sản phẩm vẫn không bị loại sau lần thứ hai, xác suất để nó bị loại ở lần kiểm tra thứ ba là 0,95 Từ đó, ta có thể tính xác suất tổng thể để một phế phẩm bị loại qua ba lần kiểm tra.

Phương pháp tính xác suất bằng công thức cộng công thức nhân, công thức xác suất có điều kiện

 Bước 1: Xác định và đặt tên cho biến cố cần tìm

 Bước 2: Xác định và đặt tên cho biến cố đã có sẵn trong giả thiết

 Bước 3: Biểu diễn biến cố cần tìm qua các biến cố đã có sẵn

 Bước 4: Áp dụng công thức

1 A B xảy ra  ít nhất một trong hai biến cố xảy ra

2 A B xảy ra A xảy ra và B xảy ra

5 Công thức xác suất có điều kiện

1.4.3 Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes a) Họ đầy đủ các biến cố

Một họ các biến cố A1, A2, , An được coi là đầy đủ nếu chúng xung khắc với nhau và luôn có ít nhất một biến cố xảy ra khi thực hiện phép thử Điều này có nghĩa là tập hợp các biến cố không được rỗng và tổng hợp các biến cố phải bao phủ toàn bộ không gian mẫu.

Bài toán: Cho A A 1 , , , 2 A n là một họ các biến cố đầy đủ, B là một biến cố nào đó liên kết với các

A i Biết P A P B A ( ), i  i  , yêu cầu tính P B P A B ( ),  i  ? b) Công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Nếu trong một phép thử có biến cố B và một nhóm đầy đủ các biến cố A A 1 , , , 2 A n thì

 Công thức xác suất đầy đủ

Trong ví dụ này, kiện hàng thứ nhất bao gồm 5 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B, trong khi kiện hàng thứ hai có 2 sản phẩm loại A và 4 sản phẩm loại B Sau khi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm từ mỗi kiện hàng để giao cho khách, các sản phẩm còn lại sẽ được chuyển vào kiện hàng thứ ba Để tính xác suất chọn sản phẩm loại B từ kiện hàng thứ ba, ta cần xác định số lượng sản phẩm còn lại và tổng số sản phẩm trong kiện hàng này.

Để tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm loại B khi lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm từ kiện thứ 3, ta cần xác định số lượng sản phẩm loại B trong kiện đó Tiếp theo, khi từ hai kiện hàng đầu chọn một kiện bất kỳ và rút ra 1 sản phẩm giao cho khách hàng, với điều kiện sản phẩm giao là loại B, ta sẽ tính xác suất để sản phẩm đó thuộc kiện hàng thứ 1.

Giải a) Phép thử 1:  các biến cố có thể xảy ra ở phép thử này

 , các biến cố này lập thành họ các biến cố đầy đủ

Nhận xét: phép thử thứ 2 có liên quan đến phép thử thứ 1

C : “ ” Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

Phép thử 1: không thay đổi, họ các biến cố trên vẫn lập thành 1 họ các biến cố đầy đủ

P D  c) Phép thử 1:  các biến cố có thể xảy ra ở phép thử này

 , các biến cố này lập thành họ các biến cố đầy đủ

Phương pháp tính xác suất bằng công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

Để bắt đầu, bạn cần xác định tuần tự các phép thử và liệt kê các biến cố có thể xảy ra trong mỗi phép thử Những biến cố này sẽ được tổng hợp thành họ các biến cố đầy đủ.

 Bước 2: Gọi biến cố cần tính xác suất, biến cố cần tính xác suất có mối liên hệ với họ các biến cố đầy đủ ở phép thử trước

 Bước 3: Áp dụng công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes

1.4.4 Dãy phép thử Bernoulli và công thức Bernoulli

Dãy n phép thử Bernoulli là một chuỗi các phép thử đáp ứng ba điều kiện quan trọng: đầu tiên, các phép thử trong dãy phải độc lập với nhau; thứ hai, mỗi phép thử chỉ có hai kết quả có thể xảy ra, đó là A hoặc không A; cuối cùng, xác suất xuất hiện của biến cố A trong mỗi phép thử là không đổi, ký hiệu là P(A) = p.

Bài toán: Tìm xác suất xuất hiện x lần biến cố Atrong dãy phép thử Bernoulli kí hiệu là P x n ( )

Ví dụ 18 Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là

Để tính xác suất có 2 phế phẩm từ máy sản xuất 10 sản phẩm, ta áp dụng công thức xác suất Đồng thời, để đảm bảo xác suất có ít nhất một sản phẩm chính phẩm lớn hơn 0,99, cần xác định số lượng sản phẩm tối thiểu mà máy cần sản xuất.

Máy sản xuất ra n sản phẩm tương ứng là dãy n phép thử Bernoulli với xác suất xuất hiện phế phẩm P A( ) 0,01. a P 10 (2)C 10 2 (0,01) (0,98) 2 8 0,0042 b

Phương pháp giải một bài toán xác suất

 Bước 1: Xác định chính xác phép thử (trong TH chỉ có 1 phép thử) Dựa vào câu hỏi xác định biến cố cần tính

Nếu thấy biếc cố cần tính lặp đi lặp lại nhiều lần thì dùng Bernoulli Nếu không sang bước 2

 Bước 2: Phân tích biến cố cần tính và tìm mối liên hệ với các biến cố sơ cấp của bài toán

- Nếu thấy biến cố cần tính là tổng hoặc tích của nhiều biến cố sơ cấp thì áp dụng công thức cộng, nhân,…

Khi gặp phải biến cố cần tính toán trong bài toán chia thành nhiều giai đoạn, bạn nên áp dụng công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes để đưa ra kết quả chính xác.

 Bước 3: Áp dụng công thức tương ứng

Xác suất cổ điển là một khái niệm quan trọng trong xác suất học Trong bài toán này, một hộp chứa 10 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu xanh Khi lấy ngẫu nhiên 3 viên bi, xác suất để cả 3 viên bi đều màu xanh là 0,4667 Đồng thời, xác suất chỉ có 2 viên bi màu xanh cũng là 0,4667.

Trong một bài toán xác suất, một đoàn tàu gồm 3 toa tiến vào sân ga với 12 hành khách chờ lên tàu Giả sử hành khách lên tàu một cách ngẫu nhiên và độc lập, với mỗi toa có ít nhất 12 chỗ trống Xác suất cho các biến cố cụ thể được tính như sau: a) Tất cả hành khách lên toa II có xác suất là 1,8816 x 10^-6; b) Tất cả cùng lên một toa có xác suất 5,645 x 10^-6; c) Toa I có 4 người, toa II có 5 người và số còn lại lên toa III có xác suất 0,0522; d) Toa I có 4 người có xác suất 0,2384.

Trong một nhóm 12 học sinh, bao gồm 5 nữ, chúng ta cần chọn ngẫu nhiên 6 học sinh để lập tốp ca Tính xác suất để có số nam và nữ bằng nhau trong tốp ca là 0,3788 Ngoài ra, xác suất để tốp ca có ít nhất 2 nữ là 0,8788.

Một người đến cửa hàng điện để mua một hộp bóng đèn, trong đó có 10 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng Anh ta ngẫu nhiên lấy 2 bóng để kiểm tra; nếu phát hiện bóng hỏng, anh sẽ không mua hộp đèn Tính xác suất để người đó mua hộp bóng đèn, kết quả là 0,4667.

Biến ngẫu nhiên 2.1 Biến ngẫu nhiên

Biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

Trong nhiều bài toán thực tế chúng ta phải xét đồng thời nhiều biến ngẫu nhiên có quan hệ với nhau gọi là biến ngẫu nhiên nhiều chiều

Khi nghiên cứu thể lực của học sinh tiểu học cùng độ tuổi, các nhà nghiên cứu quan sát đồng thời chiều cao (X) và trọng lượng (Y) của các em Do đó, ta có thể coi đây là một đại lượng ngẫu nhiên hai chiều V = (X,Y).

2.3.2 Phân phối xác suất và ứng dụng a) Bảng phân phối xác suất

 x i i ( 1,2, , )n là các giá trị có thể nhận của thành phần X

 y i i ( 1,2, , )m là các giá trị có thể nhận của thành phần Y

 P x y( , ) i j P X x Y y(  i ,  j ) ( 1,2, , ; 1,2, , )i n j m là xác suất để X x i và Y y j

 Phân phối có điều kiện

 Của X với điều kiện Y y j khi Y đã nhận giá trị y j

 Của Y với điều kiện X x i khi X đã nhận giá trị x i

 Kỳ vọng có điều kiện

 Của X với điều kiện Y y j , kí hiệu E X Y   y j 

 Của Y với điều kiện X x i , kí hiệu E Y X   x i 

 Hiệp phương sai (covarian) của hai biến ngẫu nhiên X,Y kí hiệu là cov(X,Y) được xác định bởi cov( , )X Y E X E X y E Y(  ( )(  ( )E XY( )E X E Y( ) ( )

 Hệ số tương quan của X,Y kí hiệu là ( , ) cov( , )

 E X Y   y    ( ) y là hàm theo biến y hàm này được gọi là hàm hồi quy của X theo Y

 Nếu X, Y độc lập thì cov( , ) 0X Y   ( , ) X Y 0

Ví dụ 17 Thống kê dân số của một vùng theo hai chỉ tiêu: giới tính X và học vấn Y được kết quả cho trong bảng sau:

Nữ 1 0,15 0,22 0,12 a Lập bảng phân phối xác xuất của X, của Y b Học vấn có độc lập với giới tính không? c Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên một người, người đó không thất học d Lập bảng phân phối xác suất học vấn của nữ, tính trung bình học vấn của nữ e Tính hệ số tương quan giữa học vấn và giới tính

P b P 11 P X( 0,Y 0) 0,1 P X( 0) (P Y 0) 0,51.0,25 nên không độc lập với giới tính c

          d Lập bảng phân phối xác suất của Y với điều kiện X=1, ta có P X(  1) 0,49

Bảng phân phối có điều kiện

      e Từ bảng PPXS của X EX 0,49 X 2 0,2499 X 0,4999

Từ bảng PPXS của Y EY 1,03 Y 2 0,5291 Y 0,7274.

Bảng giá trị của Z=XY

EZ E XY  cov( , )X Y E XY( )EX EY 0,46 0,49.1,03  0,0447

     b) Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y)

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của V=(X,Y) Khi đó, hàm mật độ đồng thời là:

Phương pháp giải các bài toán liên quan đến biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

 Dạng bài tập lập bảng PPXS hoặc mô tả quy luật PPXS của biến ngẫu nhiên rời rạc

 Bước 1: Xác định được biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị nào

 Bước 2: Biểu diễn X theo các biến cố đã cho

Để tính xác suất của biến ngẫu nhiên X, bạn cần áp dụng các công thức đã học trong chương 1, bao gồm công thức xác suất cổ điển, xác suất đầy đủ, định lý Bayes và phân phối Bernoulli.

 Bước 4: Lập bảng phân phối xác suất

 Dạng bài tập biến ngẫu nhiên liên tục

Dạng bài cho hàm f(x) tìm hàm F(x) và các đại lƣợng liên quan

 Bước 1: Kiểm tra hàm f x( ) đã cho thỏa hai điều kiện sau:

 (thông thường dùng cho hàm chứa tham số)

 Bước 2: Tìm hàm F(x) dựa vào công thức F x( ) x f t dt( )

Mod(X): tìm giá trị lớn nhất của hàm f(x) trên miền xác định của nó (tính đạo hàm hàm f(x), cho đạo hàm bằng 0, lập bảng biến thiên)

Chú ý: Khi tính tích phân cận sẽ được chia theo những khoảng mà f(x) xác định

Dạng bài cho hàm F(x) tìm hàm f(x) và các đại lƣợng liên quan

 Bước 1: Kiểm tra hàm F(x) liên tục trên miền xác định (dùng cho hàm chứa tham số)

 Bước 2: Tìm hàm f(x) dựa vào công thứcf x( )F x( ), P a X b(   )F b( )F a( ).

 Dạng bài tập biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều

Dạng bài tính hệ số tương quan

 Bước 1: Lập bảng phân phối xác suất biên của X, Y tính EX, X ,EY ,  Y

 Bước 2: Lập bảng phân phốixác suất của X.Y, tính E XY( )

 Bước 4: Áp dụng công thức ( , ) cov( , )

Dạng bài lập bảng phân phối xác suất có điều kiện

 Bước 1: Tính xác suất có điều kiện (dùng công thức tính xác suất biên: cộng theo dòng hoặc cộng tương ứng)

 Bước 2: Dựa vào bảng phân phối xác suất của đề rồi áp dụng công thức ở mục phân phối có điều kiện

Để lập bảng phân phối xác suất cho biến ngẫu nhiên rời rạc trong bài toán của một xạ thủ với 4 viên đạn, ta xem xét khả năng anh ta bắn từng viên cho đến khi trúng mục tiêu Mỗi lần bắn có thể dẫn đến hai kết quả: trúng hoặc không trúng Bảng phân phối xác suất sẽ phản ánh xác suất trúng mục tiêu sau mỗi lần bắn, giúp phân tích hành vi của xạ thủ trong tình huống này.

Để lập phân phối xác suất cho số viên đạn đã bắn trúng mục tiêu, ta biết xác suất bắn trúng của mỗi viên là 0,7 Hàm phân phối xác suất sẽ tính toán xác suất để có được 1, 2, 3 hoặc 4 viên đạn trúng mục tiêu.

Bài 2 Cho đại lượng ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

P p a) Tính x p, Biết EX 8 b) Tìm hàm phân phối xác suất của X c) Tính phương sai, độ lệch chuẩn của X, Med(X) d) Tính kỳ vọng của Y=X+1 e) Tính P(4X 30), P X   2 EX  13  ĐS: a) 29,1; 0,2 c) EX=8, Med(X)=4 d) EY=9 e) 0,2; 0,5

Bài 3 bài 2.27/tr 92 sách bài tập (tham khảo bài 2.10/tr 68 sách bài tập)

Bài 4 Có 3 kiện hàng Kiện thứ nhất có 9 sản phẩm loại A và 1 sản phẩm loại B Kiện thứ hai có 5 sản phẩm loại A và 5 sản phẩm loại B Kiện thứ ba có 1 sản phẩm loại A và 9 sản phẩm loại B a) Chọn ngẫu nhiên 1 kiện rồi từ kiện đã chọn lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 sản phẩm thì được

2 sản phẩm loại A Lấy tiếp từ kiện đã chọn ra 2 sản phẩm Lập bảng PPXS số sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm lấy ra lần sau

Chọn ngẫu nhiên 2 kiện hàng và từ mỗi kiện, lấy ra một sản phẩm mà không hoàn lại Sau đó, lập bảng thống kê số lượng sản phẩm loại A có trong 2 sản phẩm đã chọn.

(tham khảo bài 2.20/tr 82 sách bài tập) ĐS: a) 0 1 2

Bài 5 Theo số liệu thống kê của một cửa hàng thì người ta thấy lượng hàng bán ra là một biến ngẫu nhiên có bảng PPXS như sau:

Để tối đa hóa lợi nhuận, cửa hàng cần xác định số tấn hàng nhập mỗi ngày Nếu bán hết hàng, cửa hàng sẽ có lợi nhuận 5 triệu đồng/tấn, trong khi nếu không bán hết, cửa hàng sẽ lỗ 8 triệu đồng/tấn Do đó, việc tính toán số lượng hàng nhập khẩu hợp lý là rất quan trọng để đạt được hiệu quả kinh doanh tốt nhất.

(tham khảo bài 2.15/tr 77 sách bài tập) ĐS: 20 tấn

Bài 6 Số tiền lời (triệu đồng) thu được trong năm tới khi đầu tư vào 2 ngành A và B tùy thuộc vào tình hình kinh tế trong nước cho như bảng sau:

Tiền lời Kém phát triển Ổn định Phát triển

Theo dự báo, xác suất nền kinh tế rơi vào các tình trạng kém phát triển, ổn định và phát triển lần lượt là 0,25; 0,45; và 0,3 Để đạt được số tiền lời kỳ vọng cao hơn và mức độ rủi ro thấp hơn, nhà đầu tư nên xem xét đầu tư vào ngành B cho lợi nhuận cao và ngành A để giảm thiểu rủi ro.

Bài 7 Trong 900.000 vé số phát hành có 20 giải trị giá 50 triệu đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng và

1.600 giải trị gái 1 triệu đồng Tính số tiền lãi kỳ vọng của một người khi mua 1 vé Biết rằng giá mỗi vé là 5 ngàn đồng ĐS: -1,27 ngàn đồng

Bài 8 (HKI 2016-2017) Một hộp gồm 4 lọ thuốc, trong đó có 2 lọ thuốc hỏng Để lấy 2 lọ thuốc hỏng ra, người ta kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt từng lọ thuốc (không hoàn lại) cho đến khi phát hiện đầy đủ 2 lọ thuốc hỏng a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số lọ thuốc phải kiểm tra b)Tính kì vọng và phương sai của X

Bài 9 (HKII 2016-2017) Một lô hàng chứa sản phẩm loại A và loại B Một khách hàng chọn ra 3 sản phẩm từ lô hàng để mua Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 3 sản phẩm được chọn ra Giả sử biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau:

Để tính kỳ vọng phương sai của biến ngẫu nhiên X, ta cần xác định giá trị kỳ vọng và phương sai tương ứng Giá của sản phẩm loại A là 10.000 đồng và sản phẩm loại B là 5.000 đồng Gọi Y là tổng số tiền khách hàng phải trả, từ đó lập bảng phân phối xác suất (PPSX) cho Y Kết quả tính toán cho thấy kỳ vọng của Y là 1,5 và phương sai là 1,05.

Dạng bài tập biến ngẫu nhiên liên tục

Bài 10 Cho X có hàm mật độ sau:

   a) Tìm hàm PPXS của X b) Tính EX,  2 , Mode(X), Med(X) c) Tính P(0 X 1 2) ĐS: b) 0,5; 0,05; 0,5; 0,5 c) 0,5

Bài 11 Cho X có hàm PPXS

 a) Tìm hàm mật độ của X b) Tính P( 6  X  4) ĐS: b) 1 3 2

Bài 12 Cho X có hàm mật độ sau:

Tính xác suất để trong 3 phép thử độc lập có 2 lần X nhận giá trị trong khoảng (1,3)

Bài 13 bài 4/tr 58 sách lý thuyết

Bài 15 Gọi X là tuổi thọ của con người Một công trình nghiên cứu cho biết hàm mật độ của X là:

Trong bài viết này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Xác định hằng số c; b) Tính trung bình và phương sai của biến ngẫu nhiên X; c) Tính xác suất cho một người có tuổi thọ lớn hơn hoặc bằng 60, với kết quả là 0,3174; d) Tính xác suất cho một người có tuổi thọ lớn hơn hoặc bằng 60, biết rằng người đó hiện nay đã 50 tuổi, với kết quả là 0,6349.

Dạng bài tập biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều Bài 16 Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có bảng phân phối xác suất sau:

1 0,2 0,2 0,2 a) Lập bảng phân phối xác suất biên của X, của Y b) Tính EX, X ,EY,  Y c) Tính hệ số tương quan  ( , ) X Y ĐS: c) 0

Bài 17 Cho biến ngẫu nhiên 2 chiều (X,Y) có bảng phân phối xác suất sau:

50 b) Tính hệ số tương quan  ( , ) X Y c) X và Y có độc lập không? d) Lập bảng PPXS của Y với điều kiện X=0 ĐS: b) 0

Bài 17 Cho BNN độc lập có bảng PPXS như sau:

  a) Hãy lập bảng phân phối đồng thời của X và Y b) Tìm hàm mật độ đồng thời V=(X,Y)

Bài 18 Cho bảng PPXS đồng thời của BNN V=(X,Y)

Tìm phân phối xác suất của X, của Y, của X+Y

Bài 19 (HKI 2017-2018) Một hộp đựng hai bi đỏ, 8 bi trắng và 2 bi vàng Người chơi chọn ngẫu nhiên từ hộp đó ra 1 bi (sau đó bỏ lại hộp) Nếu người chơi chọn được bi đỏ thì nhận thưởng 5 ngàn đồng, nếu chọn bi trắng thì bị phạt 2 ngàn đồng, còn nếu chọn bi vàng thì họ không được thưởng cũng không bị phạt a) Lập bảng phân phối của biến ngẫu nhiên chỉ số tiền người chơi nhận được sau một lượt chơi b) Ta có nên tham gia trò chơi này nhiều lần hay không? ĐS: không nên tham gia nhiều lần

Một số phân phối xác suất thông dụng 3.1 Phân phối thông dụng của biến ngẫu nhiên rời rạc

Phân phối thông dụng của biến ngẫu nhiên liên tục

3.2.1 Phân phối chuẩn a) Định nghĩa

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn với kỳ vọng  và phương sai  2 nếu hàm mật độ phân phối xác suất của X có dạng

    Khi đó ta kí hiệu

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng hình chuông, với trục x = μ là trục đối xứng Khi X có phân phối chuẩn tắc N(0,1), tức là kỳ vọng bằng 0 và phương sai bằng 1, hàm mật độ sẽ có x = 0 làm trục đối xứng.

Hàm mật độ của biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắc còn được gọi là hàm Gauss và là hàm số chẵn, nghĩa là f x( ) f x( )

Cách tính giá trị của hàm Gauss tại điểm x x 0

 Cách 1: Tính giá trị hàm Gauss tại điểm x x 0 bằng cách thế trực tiếp vào công thức (*)

 Cách 2: Tra bảng 2 bảng giá trị hàm Gauss

Ví dụ 8 Tính a) f (1,98)  b) f ( 2,5)   c) f (5)  c) Hàm Laplace

Hàm Laplace ( )x là hàm số được xác định bởi

Hàm Laplace có các tính chất sau:

1 Hàm Laplace là hàm lẻ ( )  x ( ).x

Cách tính giá trị hàm Laplace tại x x 0

 Cách 1: Tính giá trị hàm Laplace tại điểm x x 0 bằng cách thế trực tiếp vào công thức (**)

 Cách 2: Tra bảng giá trị hàm Laplace bảng 3

60 c) (5)  d)   ? 0,4896 ?  d) Các công thức tính xác suất của phân phối chuẩn tắc

3 Nếu X N(0,1) thì P X( x)  ( ) ( ) 0,5x  ( ).x e) Các công thức tính xác suất của phân phối chuẩn

  (sai khác giữa BNN X và giá trị trung bình (kì vọng) không vượt quá )

Nghĩa là sai số giữa X và  không vượt quá k là gần như chắc chắn xảy ra với xác suất gần bằng

Trong ví dụ 10, một loại chi tiết sản xuất từ nhà máy có đường kính phân phối chuẩn với kỳ vọng 20 mm và phương sai (0,2 mm)² Khi lấy ngẫu nhiên một chi tiết từ lô hàng, ta cần tính xác suất của chi tiết đó có đường kính a) trong khoảng từ 19,9 mm đến 20,3 mm, và b) sai khác với kỳ vọng không vượt quá 0,3 mm.

Gọi X là đường kính của một chi tiết, theo giả thiết X N(20,0,2) a) Xác suất chi tiết đó có đường kính trong khoảng từ 19,9 mm đến 20,3 mm

P X   b) Xác suất chi tiết đó có đường kính sai khác với kỳ vọng không vượt quá 0,3 mm

P X     e) Mối liên hệ giữa B(n,p) vàN( ,  2 )

X B n p   X N   với  np,   npq Khi đó

Các biến cố (a X b  ), (a X b  ), (a X b  ) có thể đưa về dạng (a X b  ) cụ thể như sau:

Xác suất thi đậu môn xác suất thống kê của sinh viên tại một trường đại học là 0,7, với 1200 sinh viên tham gia thi Để tính xác suất có 860 sinh viên thi đậu, ta cần áp dụng các công thức xác suất phù hợp Ngoài ra, cần xác định xác suất có từ 912 đến 1008 sinh viên thi đậu và xác suất ít nhất 860 sinh viên thi đậu Những tính toán này sẽ giúp hiểu rõ hơn về khả năng thi đậu của sinh viên trong kỳ thi này.

Gọi A: “ ” P A( ) p , q  1 p X: “số sinh viên thi đậu”X

Do np và nq đạt yêu cầu, ta có thể xấp xỉ biến ngẫu nhiên X bằng phân phối chuẩn với các tham số μ = np và σ = √(npq) a) Tính xác suất có 860 sinh viên thi đậu: P(X = 860) b) Tính xác suất có từ 912 đến 1008 sinh viên thi đậu.

Xác suất ít nhất 860 sinh viên thi đậu:

3.2.2 Một số dạng phân phối khác a) Phân phối đều U(a,b)

Biến ngẫu nhiên liên tụcX gọi là có phân phối đều trong khoảng (a,b), kí hiệu là X U a b( , ) nếu hàm mật độ của nó có dạng ( ) { ( )

Nếu bạn đến trạm ô tô lúc 10 giờ, và thời gian ô tô xuất hiện từ 10 giờ đến 10 giờ 30 phút có phân phối đều, xác suất bạn phải chờ ô tô hơn 10 phút là một vấn đề cần tính toán Trong khoảng thời gian này, bạn sẽ phải xem xét thời gian xuất hiện của ô tô để xác định xác suất chờ đợi.

X: “số phút tính từ 10 giờ đến 10 giờ 30 ô tô sẽ đến trạm”

X U , a0,b30 Ta có hàm mật độ ( ) 301 neáu (0,30)

Xác suất phải chờ ô tô hơn 10 phút là:

Biến ngẫu nhiên liên tụcX gọi là có phân phối mũ với tham số 0 , kí hiệu là X E( ) nếu hàm mật độ của nó có dạng f x x x x

Tuổi thọ X (năm) của mạch điện tử trong máy tính được mô tả bằng biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với giá trị trung bình là 6,25 năm Thời gian bảo hành cho mạch điện tử này là 5 năm Để tính toán tỷ lệ mạch điện tử cần phải thay thế, ta cần xem xét các yếu tố liên quan đến phân phối tuổi thọ và thời gian bảo hành.

Xác suất mạch điện tử bán ra phải thay thế:

3.2.3 Một số lưu ý khi nhận dạng phân phối xác suất

1 Phân phối nhị thức và phân phối siêu bội ít khi được đề cập trong giả thiết đòi hỏi phải nhận ra Muốn nhận dạng biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức phải nhận dạng được dãy phép thử Bernoulli, thực hiện n lần, còn với phân phối siêu bội thì thực hiện 1 lần lấy n phần tử trong tập N phần tử và xét đến k phần tử có tính chất A (k n )

2 Phân phối chuẩn, phân phối Poisson, phân phối đều và phân phối mũ được nêu ra trực tiếp trong giả thiết

Phân phối Poisson mô tả số lần xuất hiện của một biến cố trong một khoảng thời gian hoặc không gian cụ thể Tham số  đại diện cho số biến cố trung bình xảy ra trong khoảng thời gian hoặc không gian đó.

 Phân phối đều: cần xác định điểm bắt đầu và điểm kết thúc của biến ngẫu nhiên phân phối trong khoảng đó để xác định được hàm mật độ

3 Sơ đồ cây xấp xỉ các dạng phân phối

Phân phối nhị thức B(n,p) Giải lại các bài sau: sách lý thuyết: Ví dụ 2/tr 76, sách bài tập: 3.11/tr 108; 3.12/tr 108; 3.13/tr

Bài 1 Tỉ lệ phế phẩm của một nhà máy là 3% Chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm trong kho của nhà máy Gọi X là số phế phẩm có trong 15 sản phẩm đó Tìm phân phối xác suất của X và tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của X ĐS: EX=0,45

Bài 2 Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0,02 a) Tính xác suất trong 10 sản phẩm do nhà máy sản xuất có đúng 1 phế phẩm b) Tính xác suất trong 10 sản phẩm do nhà máy sản xuất có không quá 1 phế phẩm c) Giả sử trong 1 ngày nhà máy sản xuất được 250 sản phẩm Tính số phế phẩm trung bình của nhà máy đó trong một ngày, tìm số phế phẩm tin chắc nhất ĐS: a) 16,67% b) 98,38% c) EX=5

Bài 3 bài 3.40/tr 122 sách bài tập

Phân phối siêu bội H(N,M A ,n) Giải lại bài sau: sách bài tập: 3.23/tr 117

Bài 4 Một lô hàng có 30 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm Chọn ngẫu nhiên 5 sản phẩm Gọi X là số phế phẩm có trong 5 sản phẩm đó Tìm phân phối xác suất của X, tính kỳ vọng, phương sai của

Giải lại các bài sau: sách lý thuyết: Ví dụ 1/tr 74, sách bài tập: 3.9/tr 106; 3.10/tr 107

Giải lại các bài sau: sách lý thuyết: Ví dụ 2/tr 64; Ví dụ 3/tr 65; Ví dụ 4/tr 67, sách bài tập: 3.1/tr 100; 3.2/tr 101; 3.3/tr 102; 3.4/tr 103; 3.5/tr 103; 3.6/tr 104; 3.17/tr 112; 3.18/tr 113

Bài 10 (HKI 2016-2017) Khối lượng của một con bò trưởng thành là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 300 kg và độ lệch chuẩn là 50 kg Tính xác suất để một con bò có khối lượng: a) Nằm trong khoảng từ 275 kg đến 375 kg b) Trên 325 kg ĐS: a) 0,6247 b) 0,3085

Phân phối đều U(a,b), phân phối mũE( )

Giải lại các bài sau: sách lý thuyết: Ví dụ 5/tr 68; Ví dụ 6/tr 70 , sách bài tập: 3.7/tr 104

Xấp xỉ các dạng phân phối Xấp xỉ H(N,M A ,n) bởi B(n,p)

Giải lại bài tập: sách bài tập: 3.24/tr 117

Giải lại các bài sau: sách lý thuyết: Ví dụ 3/tr 78, sách bài tập: 3.21/tr 116

Giải lại các bài sau: sách lý thuyết: Ví dụ 4/tr 79; Ví dụ 5/tr 83, sách bài tập: 3.14/tr 110; 3.15/tr 111; 3.18/tr 113; 3.19/tr 114; 3.20/tr 114; 3.22/tr 116; 3.25/tr

Giải lại bài tập: sách bài tập: 3.25/tr 118

Lý thuyết mẫu và ước lượng tham số 4.1 Tổng thể và mẫu

Ước lượng điểm

4.2.1 Bài toán ƣớc lƣợng điểm

Khi nghiên cứu một tổng thể, giả sử người ta quan tâm đến một dấu hiệu nào đó của tổng thể và gọi

Biến ngẫu nhiên X thể hiện dấu hiệu với giá trị thay đổi giữa các cá thể Việc xác định phân bố xác suất của X thường gặp khó khăn, dẫn đến việc không thể biết chính xác các tham số như kỳ vọng, phương sai hay trung bình Do đó, chúng ta chỉ có thể ước lượng các tham số này dựa trên mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể.

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên với tham số đặc trưng θ mà chúng ta cần nghiên cứu, như kỳ vọng, phương sai hoặc trung bình Vấn đề đặt ra là dựa trên n giá trị của X được lấy từ tổng thể để tiến hành phân tích và rút ra kết luận.

1, , ,2 n x x x cần tìm một giá trị gần đúng ˆ trên mẫu lấy ra để đặc trưng cho  của tổng thể

4.2.2 Ƣớc lƣợng điểm cho các tham số đặc trƣng

Giả sử biến ngẫu nhiên X với EX  (chưa biết),  được gọi là giá trị trung bình của tổng thể

Nếu ta có một mẫu n giá trị x x 1 , , , 2 x n của X thì trung bình mẫu x 1 x 2 x n x n

Phương sai của tổng thể, ký hiệu là  2, được sử dụng để ước lượng cho biến ngẫu nhiên X Khi có một mẫu gồm n giá trị x1, x2, , xn của X, chúng ta có thể tính toán phương sai mẫu hiệu chỉnh để đánh giá độ biến thiên của dữ liệu.

  sẽ được dùng làm ước lượng cho  2 Định lý 1 Trung bình mẫu là ước lượng không chệch và vững cho trung bình của tổng thể

73 Định lý 2 Phương sai mẫu hiệu chỉnh s 2  n 1  1  i n  1  x i  x  2 là ước lượng không chệch cho  2

Ước lượng khoảng

4.3.1 Bài toán ƣớc lƣợng khoảng

Để ước lượng tham số \(\theta = (\mu, \sigma^2, p)\) của biến ngẫu nhiên \(X\), chúng ta cần xác định một khoảng \((a, b)\) sao cho việc ước lượng này là chính xác và đáng tin cậy.

 ( , ) :a b Khoảng tin cậy (khoảng ước lượng)

  : độ tin cậy (  thông thường được chọn là 0,95 hay 0,99)

4.3.2 Khoảng tin cậy cho trung bình

Ví dụ 8 Đem cân một số trái cây vừa thu hoạch, ta được kết quả sau:

Để ước lượng trọng lượng trung bình của trái cây vừa thu hoạch, chúng ta xem xét các số liệu: 12, 17, 20, 12, 15 a) Khoảng ước lượng trọng lượng trung bình với độ tin cậy 95% được xác định b) Với độ lệch chuẩn là 13 gam, khoảng ước lượng trọng lượng trung bình cũng được tính toán với độ tin cậy 95% c) Đối với trái cây loại A, có trọng lượng trên 230 gam, ước lượng trọng lượng trung bình trong vụ thu hoạch với độ tin cậy 96% cũng được thực hiện d) Cuối cùng, với tổng số lượng trái cây thu hoạch là 10.000 trái, chúng ta ước lượng tổng trọng lượng trung bình của cả mùa thu hoạch với độ tin cậy 97%.

Để ước lượng doanh số trung bình của cả vụ thu hoạch với độ tin cậy 95%, giả sử giá bán là 30.000 đồng/kg, cần tính toán kỹ lưỡng Nếu yêu cầu sai số ước lượng là 3 gam và độ tin cậy 95%, cần xác định số lượng trái cần cân thêm Ngoài ra, nếu muốn ước lượng trọng lượng trái cây của cả vụ thu hoạch với sai số ước lượng là 25kg, cần xem xét độ tin cậy tương ứng.

Vậy, c) Bảng phân phối thực nghiệm của trái cây loại A x i n i

75 d) e) Với độ tin cậy là 95% thì trọng lượng trung bình của 1 trái cây theo câu a dao động trong khoảng  (x ,x) (222,7355 ; 229,5013)  (gam)

Do đó, trọng lượng trung bình của cả mùa thu hoạch sẽ dao động trong khoảng

Doanh số trung bình của cả vụ thu hoạch sẽ dao động trong khoảng

Chủ kho cung cấp nước sơn cần ước lượng lượng sơn trong một thùng sản xuất từ dây chuyền công nghệ quốc gia Theo tiêu chuẩn của công nghệ này, độ lệch tiêu chuẩn đã được xác định.

Trong một nghiên cứu về lượng sơn, kết quả cho thấy rằng lượng sơn trung bình trong một thùng là 0,97 thùng, với độ tin cậy 99% Dựa trên mẫu 50 thùng, ước lượng lượng sơn trung bình tối thiểu chứa trong một thùng là 0,08 thùng.

Với độ tin cậy  99% thì khoảng ƯLTT (x  ; + ) (0,9436; + ).  

4.3.3 Khoảng tin cậy cho tỷ lệ

 Thay vì cho trực tiếp  đề bài có thể cho N

Ví dụ 10 Khảo sát doanh số bán hàng (triệu đồng/ngày) của một siêu thị trong một năm ta có bảng số liệu sau:

Trong năm có 365 ngày, ngày đạt định mức được xác định là những ngày có doanh số từ 60 đến 90 triệu đồng, trong khi ngày đắt hàng là những ngày có doanh số trên 90 triệu đồng Để ước lượng tỷ lệ những ngày đắt hàng với độ tin cậy 98%, cần phân tích số liệu doanh thu Tương tự, ước số ngày đắt hàng trong năm với độ tin cậy 98% cũng cần được tính toán dựa trên dữ liệu thực tế Đối với tỷ lệ những ngày đạt định mức, việc ước lượng với độ tin cậy 97% sẽ cung cấp thông tin hữu ích cho quản lý doanh thu Cuối cùng, nếu muốn ước lượng tỷ lệ những ngày đạt định mức với độ tin cậy 92%, cần xác định độ chính xác phù hợp để đảm bảo tính chính xác trong các quyết định kinh doanh.

Để ước lượng tỷ lệ ngày đạt định mức với độ chính xác 0,08, cần xác định độ tin cậy tương ứng Nếu muốn ước lượng số ngày đạt định mức trong một năm với độ chính xác 29 ngày, cũng cần tính toán độ tin cậy Để đạt được độ chính xác 0,07 với độ tin cậy 96%, cần khảo sát thêm một số ngày nhất định Tương tự, để ước lượng số ngày đạt định mức trong một năm với độ chính xác 24 ngày và độ tin cậy 97%, cần xác định số ngày khảo sát bổ sung Cuối cùng, cần ước lượng tỷ lệ tối đa những ngày đạt định mức với độ tin cậy 90%.

Bảng dữ liệu ngày đắt hàng Bảng dữ liệu ngày đạt định mức

Doanh số Doanh số a) Tỷ lệ những ngày đắt hàng f 

Với độ tin cậy  98% thì khoảng ƯLTL p( ) b) Gọi M là số ngày đắt hàng trong năm N: số ngày trong năm, N = 365 ngày

Ta có Với độ tin cậy  98% thì khoảng ƯLTL theo câu a là:

  c) Tỷ lệ những ngày đạt định mức 65 0,5372. f 121

Với độ tin cậy  97% thì khoảng ƯLTL p (f ,f  ) (0,4388 ; 0,6356) d) Gọi M là số ngày đắt hàng trong năm N: số ngày trong năm, N = 365 ngày

Ta có Với độ tin cậy  97% thì khoảng ƯLTL theo câu c là:

Bài tập chương 4 Ƣớc lƣợng trung bình Giải lại các bài tập sau: sách lý thuyết VD2/tr 138; VD3/tr 139; VD4/tr 140; VD5/tr 141

Sách bài tập: 5.14/tr 172; 5.15/tr 173; 5.16/tr 174; 5.17/tr 175; 5.19/tr 178; 5.20/tr 179 Bài 1 bài 5.24(a,c)/tr 183 sách bài tập

Bài 4 Tuổi thọ của một loại bóng đèn tuân theo phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 100 giờ a) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm thấy mỗi bóng có tuổi thọ trung bình là 1000 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy là 95% b) Chọn ngẫu nhiên 20 bóng để thử nghiệm, thấy mỗi bóng có tuổi thọ trung bình là 990 giờ Hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn với độ tin cậy là 95% c) Với độ chính xác là 15 giờ và cỡ mẫu là 100 bóng, hãy xác định độ tin cậy khi ước lượng tuổi trung bình thọ bóng đèn d) Với độ tin cậy là 96%, cỡ mẫu là 20 bóng thì độ chính xác là bao nhiêu khi ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đèn ĐS: a) (980.4 ; 1019.6) b) (943.1991 ; 1036.8009) c) 86,64% d) 49,3053 Ƣớc lƣợng tỷ lệ Giải lại các bài tập sau: sách lý thuyết VD7/tr 143

Sách bài tập: 5.8/tr 165; 5.9/tr 166; 5.10/tr 168; 5.11/tr 169; 5.12/tr 170; 5.13/tr 171

Bài 7 Để khảo sát chiều cao X của một giống cây trồng trong khu vườn A, người ta quan sát một mẫu và có kết quả sau:

Trong khu vườn A, những cây trồng có chiều cao từ 135 cm trở lên được phân loại là cây cao Để ước lượng tỷ lệ cây cao với độ tin cậy 95%, ta nhận được khoảng (0,2565 ; 0,4435) Đối với ước lượng số lượng cây cao trong khu vườn A với độ tin cậy 96%, kết quả là (2522 ; 4478), dựa trên tổng số 10.000 cây trong vườn.

Bài tập tổng hợp Bài 8 bài 5.25/tr 184 sách bài tập

Bài 10 Bài 10/tr 150 sách lý thuyết

Bài 11 Bài 15/tr 150 sách lý thuyết

Kiểm định giả thiết thống kê 5.1 Kiểm định giả thiết

Tiêu đề	Xác Suất Thống Kê
Người hướng dẫn	GV. Thái Trần Phương Thảo
Trường học	Trường Đại Học Sài Gòn
Thể loại	bài giảng
Năm xuất bản	2018
Thành phố	Sài Gòn

Định dạng
Số trang	115
Dung lượng	3,23 MB