Nội dung đề tài
Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng đề tài
Trong chương trình toán THPT, tích phân là một phần quan trọng, chiếm tỷ lệ lớn về kiến thức, thời gian và ứng dụng trong giải tích Đây là công cụ mạnh mẽ giúp giải quyết các bài toán thực tế, như tính diện tích và thể tích.
Đề thi tốt nghiệp THPT những năm gần đây luôn có sự xuất hiện của các câu hỏi vận dụng và vận dụng cao về tích phân, đòi hỏi học sinh phải có kiến thức và kỹ năng tính toán tốt Đặc biệt, Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa cũng đã điều chỉnh và bổ sung phần nguyên hàm và tích phân vào đề thi học sinh giỏi của tỉnh, nhằm đánh giá khả năng tư duy và giải quyết vấn đề của học sinh một cách toàn diện hơn.
Qua khảo sát thực tế, tôi nhận thấy rằng việc dạy học kỹ năng giải các bài toán vận dụng cao về tích phân hiện đang gặp một số vấn đề Những đặc điểm này bao gồm sự thiếu hụt trong phương pháp giảng dạy, cũng như sự chưa đầy đủ trong việc cung cấp tài liệu học tập phù hợp Điều này dẫn đến việc học sinh gặp khó khăn trong việc áp dụng lý thuyết vào thực tiễn và phát triển tư duy phản biện.
Việc áp dụng linh hoạt các công thức đạo hàm của hàm hợp là rất quan trọng, vì nếu không, việc tìm ra hướng giải cho bài toán tích phân sẽ trở nên khó khăn.
- Thời gian giải quyết một bài tập dạng này còn lâu.
- Các học sinh học lực trung bình và yếu gần như không thể giải được các bài tập dạng này
Bộ sách giáo khoa hiện hành chủ yếu gồm các bài tập tự luận, thiết kế theo kiểu thi truyền thống Tuy nhiên, các bài tập về tích phân hàm ẩn, như trong đề thi chính thức THPT quốc gia những năm gần đây, không có trong sách giáo khoa Điều này đã gây khó khăn cho giáo viên dạy Toán ở các trường THPT khi giảng dạy phần này.
Để xây dựng một chuyên đề hiệu quả về dạng toán này, bạn nên tham khảo tài liệu và đáp án thi thử từ các trường học, đồng thời trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Điều này không chỉ giúp bạn nắm bắt kiến thức một cách sâu sắc mà còn mở rộng góc nhìn và phương pháp giải quyết vấn đề.
Để có hướng ôn tập hiệu quả, học sinh cần bám sát vào đề thi chính thức của kỳ thi THPT quốc gia trong những năm gần đây cùng với đề minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
Tận dụng thời gian trên lớp, bao gồm cả giờ học chính khóa và giờ học thêm, để hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải các bài toán tích phân vận dụng và nâng cao Đồng thời, xây dựng hệ thống bài tập phong phú giúp học sinh thực hành hiệu quả.
Chuyên đề này còn mới, dẫn đến việc số lượng bài tập dạng này còn hạn chế và phân bố không đồng đều trong các đề thi trên toàn quốc Do đó, không phải giáo viên nào cũng có đủ tài liệu giảng dạy Thêm vào đó, thời gian dành cho phần này cũng chưa nhiều, khiến giáo viên gặp khó khăn trong việc truyền đạt kiến thức.
Sau khi hoàn thành chương 3 - Giải tích 12 "Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng", tôi đã tiến hành khảo sát học sinh lớp 12A2 để đánh giá kỹ năng giải các bài toán tích phân Bài khảo sát được tổ chức dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm, yêu cầu học sinh trình bày lời giải trong thời gian 15 phút, nhằm kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức của các em.
Kết quả cho thấy hầu hết các em có kiến thức lý thuyết nhưng gặp khó khăn trong việc áp dụng vào bài làm Việc trình bày còn rối rắm và thường xuyên nhầm lẫn, đặc biệt là trong các câu hỏi yêu cầu vận dụng cao.
Bảng thống kê điểm kiểm tra:
Trước khi được giảng dạy chủ đề "Các bài toán vận dụng và vận dụng cao về tích phân", học sinh lớp 12B5 hầu như chưa thể giải quyết được các câu hỏi vận dụng cao về tích phân, cho thấy sự cần thiết của việc giảng dạy và hướng dẫn kỹ lưỡng về chủ đề này.
Biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.2.1 Cơ sở lí luận của biện pháp
Đạo hàm của hàm số hợp được xác định theo Định lý: Nếu hàm số \( u = g(x) \) có đạo hàm tại \( x \) và hàm số \( y = f(u) \) có đạo hàm tại \( u \), thì hàm hợp \( y = f(g(x)) \) cũng có đạo hàm tại \( x \) Công thức tính đạo hàm của hàm hợp là \( y' = g'(x) \cdot f'(g(x)) \).
+ Nguyên hàm Định lí: Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C kí hiệu f x dx F x ( ) C C ;
Tính chất 2: kf x dx k f x dx
Tính chất 3: f x dx g x dx f x dx g x dx
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn a b ; Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn a b ; thì ( ) b a f x dx F x b F b F a
+ Tính chất của tích phân
Tính chất 1: a b kf x dx k a b f x dx (k là hằng số)
Tính chất 2: a b f x dx g x dx a b f x dx a b g x dx
Tính chất 3: a c f x dx c b f x dx a b f x dx với a c b
+ Phương pháp tính tích phân
- Tích phân từng phần: b b b a udv uv a a vdu
Với u u x v v x , có đạm hàm liên tục trên đoạn a b ;
2.2.2 Một số phương pháp thường dùng
2.2.2 1 Phương pháp đổi biến số
Khi bài toán tính tích phân có chứa f u x ( ( )) thì ta dùng phương pháp đổi biến số
Ví dụ 1: (Đề thi THPT quốc gia năm 2017)
Lời giải: Đặt t 3x dt 3dx
Ví dụ 2: (Đề minh họa lần 2 của bộ Giáo dục năm 2020)
Cho hàm số f x có f 0 0 và f x cos cos 2 x 2 x , x Khi đó
Trong bài toán giả thiết cho hàm số đạo hàm nên tiến hành giải theo các bước sau
- Từ đạo hàm của hàm số, ta tính nguyên hàm để xác định hàm số ban đầu f x bằng phương pháp đổi biến số
- Từ giá trị ban đầu f 0 0, ta tìm giá trị hằng số.
Tính tích phân có thể áp dụng phương pháp đổi biến số, giúp đơn giản hóa quá trình tính toán Bên cạnh đó, nguyên hàm mở rộng và công thức biến đổi lượng giác cũng là những công cụ hữu ích trong việc tính nguyên hàm và tích phân.
Lời giải: Ta có f x x d cos cos 2 dx 2 x xcos 1 2sinx 2 x 2 dx Đặt u sin x thì d u cos d x x
Suy ra sin 4 sin 3 4 sin 5
Từ f 0 0 suy ra C 0 , do đó sin 4 sin 3 4 sin 5
4 4 4 4 d sin sin sin d 1 1 cos 1 cos sin d
Đặt t cos x thì d t sin d x x Đổi cận
Hướng mở rộng bài toán:
Giữ nguyên dạng toán nhưng điều chỉnh biểu thức đạo hàm để áp dụng các phương pháp tính nguyên hàm và tích phân khác nhau Việc thay đổi biểu thức tích phân cần tính cũng có thể được thực hiện để tối ưu hóa quá trình giải quyết bài toán.
- Thay đổi giả thiết, cho phương trình vi phân phức tạp hơn và sử dụng biến đổi để tìm hàm số ban đầu ta được ví dụ sau.
Ví dụ 3: (Đề tham khảo Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa năm 2018)
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
4 4 cot sin x cos sin x sin
Đặt t sin x 2 dt2sin cos dx,x x đổi cận suy ra
Ví dụ 6: Cho f x liên tục trên R và thoả mãn: f x ( ) f ( x ) 2 2cos 2 x , x R
Do đề thi trắc nghiệm nên có thể hướng dẫn học sinh giải nhanh theo hướng sau
Cách 2: Do bài toán đúng với x nên ta có thể chọn một hàm số thỏa mãn giả thuyết Chẳng hạn chọn
Chú ý: Nếu mf x nf u x h x Tính ( ) x b a
Ta có công thức tính nhanh
Ví dụ 7: Biết hàm số y f x ( ) là hàm chẵn trên 2 2 ;
Cách 1: Áp dụng công thức tính nhanh ta có
Cách 2: Do f x là hàm chẵn nên f x ( 2 ) f ( x 2 )
sẽ dẫn tới bế tắc không giải được
Cách 3: Chọn f x cosx , và do hàm chẵn nên ta có
* Chú ý: Hàm số chứa nhiều biểu thức.
+ Dựa vào biểu thức bên trong dấu tích phân, ta sử dụng phương pháp đổi biến số để xử lý bài toán.
+ Lựa chọn hàm f x thích hợp để tính giá trị tích phân.
Ví dụ 8: (ĐỀ MINH HỌA NĂM 2020-2021)
Ví dụ 10: (Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2021)
Giả sử F là nguyên hàm của f trên thỏa mãn
Lời giải: Tập xác định: D
Với x 1 hay x 1 thì hàm số f x ( ) là hàm đa thức nên liên tục.
nên hàm số f x ( ) liên tục tại điểm x 1. Suy ra hàm số f x ( ) liên tục trên
Đồng thời F x ( ) cũng liên tục trên nên: lim ( ) lim ( ) 1 1 (1) 1 1 1 x F x x F x F C
2.2.2 2 Phương pháp tính tích phân từng phần
Dấu hiệu nhận biết khi áp dụng phương pháp tích phân từng phần là hàm dưới dấu tích phân có chứa đạo hàm của một hàm số hoặc các biểu thức dạng khác.
+ Nếu tích phân có chứa các biểu thức dạng sinxf ( ) x , co f x e s x , x f ( ) x thì đặt
( ) '( ) x x( s x, x x,) osx(sinx, x u f x du f x d dv xd xd e d v c e
Thay vào công thức tích phân từng phần
+ Nếu tích phân có chứa f x lnx thì đặt ln x 1 x
Thay vào công thức tích phân từng phần
Ví dụ 11: (Đề thi THPT năm 2020)
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số g x ( ) ( x 1) '( ) f x là
Lời giải: Ta có: g ( x d ) x ( x 1) '( f x ) d x Đặt
Ví dụ 12: (Đề thi THPT quốc gia năm 2019)
Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên Biết f (4) 1 và
Lời giải: Đặt t 4x dt 4dx Đổi cận ta có
Ví dụ 15: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên R và có đồ thị như hình bên Đặt
I x f x f x x khi đó I thuộc khoảng nào sau đây?
Từ đồ thị, ta thấy:
Ví dụ 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 và thỏa mãn
Lời giải: Đặt cos sin
' cos cos sin 1 cos 0 cos 0 sin
2.2.2 3 Hàm dưới dấu tích phân có dạng f x '( ) g x h f x ( ) ( ( ))
+ Cô lập f x f x '( ), ( ) sang một bên
+ Lấy nguyên hàm hoặc tích phân hai vế
+ Thường sử dụng các công thức đạo hàm của những hàm hợp sau
Ví dụ 18: (Đề minh họa lần 1 của bộ Giáo dục năm 2020)
Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn xf x 3 f 1 x 2 x 10 x 6 2 , x x
3 3 u x du x dx du x dx Đổi cận:
Trong (1) thay x bởi – x ta được: xf x 3 f 1 x 2 x 10 x 6 2 , 3 x
Lấy (1) trừ (3) ta được: xf x 3 xf x 3 4 x x f x 2 3 x f 2 x 3 4 x 2
Cách 2: Trắc nghiệm có thể chọn hàm: f x ( ) x 3 3 x 2
Ví dụ 19: (Đề thi THPT quốc gia năm 2018)
Cho hàm số f x thỏa mãn 2 2 f 9 và f x 2 x f x 2 với mọi x Giá trị của
Ví dụ 20: (Đề thi trường THPT Triệu Sơn 2 – Thanh Hóa)
Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên , f 0 0, f 0 0 và thỏa mãn hệ thức
, với a b ; Giá trị của a b bằng.
, với C là hằng số Mặt khác theo giả thiết f 0 0 nên C 0 Khi đó 1 2 f 2 x 6 x 3 3 x 2 x f x 1 , x
Trường hợp 1: Với f x 6 , x 2 x , ta có f 0 0 (loại).
Trường hợp 2: Với f x 2 , x x , ta có:
Hình thức thi trắc nghiệm cho phép học sinh lựa chọn hàm số y = f(x) phù hợp để giải quyết bài toán Để bài toán đúng với mọi giá trị x, nó cần phải thỏa mãn các trường hợp đặc biệt Việc chọn một hàm số phù hợp sẽ giúp học sinh có học lực trung bình và yếu dễ dàng giải quyết bài toán, đồng thời tiết kiệm thời gian trong quá trình làm bài thi.
Ví dụ 21: Cho y f x liên tục trên R thỏa mãn f x f 2017 x 2016 x Tính
Lời giải: Cho y f x x suy ra f x 2017 f x x 2017 x 2016 x thỏa mãn giá trị
Ví dụ 22: Cho y f x không là hằng số thỏa mãn: f sinx f cosx 1, x Tính
Lời giải: Hệ thức f sinx f cosx 1 làm ta liên tưởng đến công thức sin 2 x c os 2 x 1 nên ta có phương pháp giải
Chọn y f x ( ) x 2 f (sinx) f c ( osx)=sin 2 x c os 2 x 1 thỏa mãn giá trị
2.3 Hiệu quả của đề tài đối với yêu cầu nâng cao chất lượng công tác giảng dạy, phù hợp với đối tượng học sinh, thực tiễn nhà trường, địa phương
Những giải pháp trên đã được tôi kiểm nghiệm qua thực tế dạy học trong năm học
2017 -2018 tại lớp 12B1, năm học 2018 -2019 tại lớp 12C1, năm học 2019 -2020 tại lớp 12A2, năm học 2020 -2021 tại lớp 12B5 (dạy ôn lớp chất lượng cao khối D) và năm học
Trong năm học 2021-2022, lớp 12C1K51 đã trở thành lớp mũi nhọn của trường, với việc tôi tập trung ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán vận dụng và vận dụng cao về tích phân Kết quả thi tốt nghiệp THPT cho thấy sự tiến bộ rõ rệt của học sinh, cụ thể lớp 12B1 có 2 học sinh đạt từ 9 điểm toán trở lên, lớp 12A2 có 19 học sinh đạt từ 9 điểm toán trở lên, và lớp 12B5 có 8 học sinh đạt từ 9 điểm toán trở lên Sự chuyển biến tích cực trong năng lực học sinh là minh chứng cho hiệu quả của quá trình ôn luyện.
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với yêu cầu nâng cao chất lượng công tác giảng dạy, phù hợp với đối tượng học sinh, thực tiễn nhà trường, địa phương… 15 1 Về phía học sinh
có kết quả môn toán luôn thuộc tốp đầu của huyện
Qua khảo sát, tất cả học sinh đều nắm vững cách giải các bài toán tích phân nâng cao và tự tin khi làm đề cả trên lớp lẫn ở nhà Những yếu tố này góp phần quan trọng trong việc trang bị kiến thức, kỹ năng và tâm lý cho học sinh, giúp các em sẵn sàng cho kỳ thi tốt nghiệp THPT với kết quả cao nhất.
Tôi đã chia sẻ kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng giải các bài toán vận dụng cao về tích phân với đồng nghiệp môn Toán cả trong và ngoài trường Đề tài này nhận được sự đánh giá cao từ các giáo viên về tính khoa học và tính thực tiễn của nó.
Các kết quả, minh chứng về sự tiến bộ của học sinh khi áp dụng biện pháp
- Điểm thi cụ thể các lớp tôi dạy qua các lần thi khảo sát như sau:
12B5 Năm 2020- 2021 Điểm lần 1 6.01 6.3 6.2 5.8 Điểm lần 2 6.50 6.45 6.3 6.4 Điểm lần 3 6.95 6.9 6.8 7.2 Điểm lần 4 7.50 7.8 7.7 7.4 Điểm thi THPT quốc gia 7.6 7.4 8.54 8.3
Trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT, lớp 12B1 có 02 học sinh đạt từ 9 điểm môn Toán, trong khi toàn tỉnh Thanh Hóa có 32 em và huyện Triệu Sơn có 5 em Đặc biệt, lớp 12A2 ghi nhận thành tích nổi bật với 19 học sinh đạt từ 9 điểm trở lên môn Toán, cho thấy sự xuất sắc trong học tập của các em.
08 học sinh đạt từ 9 điểm toán trở lên.
Trong quá trình dạy chương 3 - Giải tích 12 "Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng", giáo viên không chỉ cần hướng dẫn học sinh cách tính tích phân mà còn phải rèn luyện cho các em kỹ năng giải quyết các bài toán vận dụng cao về tích phân Kỹ năng này sẽ giúp học sinh làm bài nhanh chóng và hiệu quả trong kỳ thi THPT Quốc gia, đặc biệt khi hình thức thi trắc nghiệm khách quan và thời gian bị rút ngắn còn 90 phút Đề tài này cung cấp kinh nghiệm quý báu cho các giáo viên dạy Toán nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả trong các giờ dạy, đặc biệt là trong phần tích phân và các bài toán có tính chất vận dụng cao.
1 Trong chương trình Sách giáo khoa mới sắp tới cần đưa thêm các bài toán vận dụng cao về tích phân vào chương trình một cách hệ thống và khoa học, có thêm nhiều bài tập dạng trắc nghiệm khách quan Trong đó cần định hướng rõ hơn cho giáo viên về yêu cầu cần đạt và phương pháp thực hiện Đồng thời chương trình phải phát huy được tính chủ động, tích cực của học sinh.
2 Sở Giáo dục và đào tạo tổ chức các hội thảo Sáng kiến kinh nghiệm để các giáo viên có điều kiện trao đổi và học hỏi kinh nghiệm trong dạy học.
Trong bài viết này, tôi chia sẻ kinh nghiệm trong việc dạy học và rèn luyện kỹ năng giải các bài toán vận dụng cao về tích phân cho học sinh THPT Mặc dù đã cố gắng, tôi nhận thấy còn nhiều thiếu sót và rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ Hội đồng khoa học và các đồng nghiệp để hoàn thiện đề tài, nhằm nâng cao tính ứng dụng thực tiễn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn.
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2022
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
[1] Nhiều tác giả, SGK Giải tích 12 (Nâng cao)
[2] Nhiều tác giả, SGK Giải tích 12 (Cơ bản).
[3] Đề thi THPT quốc gia năm 2018
[4] Đề thi THPT quốc gia năm 2019.
[5] Đề thi THPT quốc gia năm 2020.
[6] Đề thi THPT quốc gia năm 2021.
[7] Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2019, năm 2020 của Bộ GD&ĐT.
[8] Đề thi thử THPT quốc gia của các trường THPT trên toàn quốc.
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO
HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Hồ Văn Quảng
Chức vụ và đơn vị công tác: Tổ trưởng tổ Toán-Trường THPT Triệu Sơn 2
Tên đề tài Sáng kiến Xếp loại Số, ngày, tháng, năm của quyết định công nhận, cơ quan ban hành QĐ
1 Phát triển tư duy học sinh qua một số bài toán gốc C Số 59/QĐ-SGDĐT, ngày 24/02/2006, Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa
Sử dụng phương pháp dạy học theo hướng nghiên cứu bài học, áp dụng cho tiết 57 – Dấu của tam thức bậc hai, Đại số lớp 10
Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa
Tăng cường các bài toán có nội dung thực tiễn trong dạy học phần Ứng dụng tích phân
– Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao C
Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa
Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán vân dụng cao về tích phân cho học sinh lớp 12 trong kì thi tốt nghiệp THPT
Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa
1 Ngân hàng đề thi về dạng toán tích phân vận dụng cao
Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) x Tính e
Câu 4: Cho hàm số f(x) có f ( π 2) =0 và f ' ( x )=sin x sin 2 2 x , ∀ x ∈ R Khi đó
Câu 5: Cho hàm f x liên tục trên 0; thỏa mãn
Câu 6: Cho hàm số f x liên tục trên R và f x 0 với mọi x R
b với a b tối giản Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 7: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn
Câu 8: Cho hàm số y f x liên tục, có đạo hàm trên 1;0 Biết
Tính giá trị biểu thức A f 0 f 1
Câu 9: Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm y = f x '
Hàm số y = f x ' liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ.
Số nghiệm thuộc đoạn [-1;4] của phương trình f(x)=f(0) là:
Câu 10: Cho hàm số f x 0 với x , f 0 1 và f x x 1 ' f x với mọi x Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Câu 11: Cho hàm số f x thỏa mãn f x ' 2 f x f '' x 15 x 4 12 , x x và
Câu 12: Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x ' e x , x và f 0 2 Tất cả các nguyên hàm của f x e 2 x là
Câu 13: Cho hàm số y f x có f x ' liên tục trên nửa khoảng 0; thỏa mãn biết 3 f x f x ' 1 3 e 2 x Giá trị 0 11 f 3
Câu 14: Cho hàm số f x có đạo hàm không âm trên [0;1] thỏa mãn
Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Câu 15: Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x 2018 x e x với mọi x và f 1 1
Hỏi phương trình 1 f x e có bao nhiêu nghiệm?
Câu 16: Cho hàm số y f x ( ) liên tục trên đoạn 0; 3
Câu 17 : Cho hàm số y = f (x) xác định và liên tục trên , thỏa mãn
Câu 18 Cho y f x là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn 6;6 Biết rằng
Câu 19: Cho hàm số f x ( ) liên tục trên và x 0;2018 , ta có f x ( ) 0 và
( ) (2018 ) 1 f x f x Giá trị của tích phân
Câu 22 : Cho hàm số f x , có f 2 0
và f x sin cos 2 , x 2 x x Khi đó
Câu 23 : Cho hàm số f x( ) liên tục trên ¡ có
Câu 24 : Cho hàm số f x ( ) liên tục trên thỏa mãn
Câu 25 : Cho y f x ( ) liên tục trên R và thõa mãn f ( ) 2017 ( ) x f x e x
Câu 26 : Cho hàm số f x liên tục trên thỏa điều kiện f x f x 2sin x
Câu 27 : Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f 0 3 và
Câu 29 : Biết F x là 1 nghiệm của f x thỏa mãn
Câu 30 : Giả sử hàm số y f x ( )liên tục, nhận giá trị dương trên (0; ) và thỏa mãn
(1) 1, ( ) '( ) 3x 1 f f x f x với mọi x 0 Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 31 : Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên khoảng
x K Giá trị f 2 gần với số nào nhất trong các số sau
Câu 32 : Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên \ 0 thỏa mãn:
Câu 33 : Cho hàm số y f x liên tục trên \ 0; 1 thỏa mãn điều kiện
1 2ln 2 f và x x 1 f x f x x 2 x Giá trị f 2 a b ln3 , với
Câu 34 : Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1;4 , đồng biến trên đoạn 1;4 và thỏa mãn đẳng thức x 2 x f x f x 2 , x 1;4 Biết rằng
Câu 35 : Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0; Biết f 0 2 e và f x luôn thỏa mãn đẳng thức f x ' sin xf x cos xe coxs x 0; Tính 0
(làm tròn đến phần trăm)
Câu 36 : Cho y f x liên tục trên R thỏa mãn f x ( ) f x ( 1) ( e 1) e x Tính
2 Hướng dẫn giải và đáp số
Câu 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên R và
3 t x dt dx dx dt Đổi cận x 1 t 2, x 3 t 8.
2x là một nguyên hàm của hàm số f (x) x nên 2 f (x) 1 x 2x
Đặt u ln x du 1dx dv f x dx v f xx
Câu 4: Ta có: f(x)= sin x sin 2 2 xdx=4 sin x ( 1−cos 2 x ) cos 2 xdx ¿−4 ( cos 2 x−cos 4 x ) d ( cosx )= −4 3 cos 3 x+ 4 5 cos 5 x + C
Câu 5: Gọi F x là nguyên hàm của f x trên 0;
9 9 9 f x kx dx f x dx k x f x dx k x dx k k
Lấy tích phân hai vế, ta có:
Câu 9: Xét hàm số g (x) = f (x) - f (0) trên đoạn [-1; 4], có: g x ' f x '
Vậy, đồ thì hàm số g (x) cắt trục Ox tại đúng 1 điểm trên đoạn [-1; 4] hay phương trình f (x) = f (0) có đúng 1 nghiệm trên đoạn [-1; 4].
Câu 10: Ta có f x x 1 ' f x Do f x 0 nên chia cả 2 vế cho f x ta được
Câu 11: Phương pháp: +) Nhận xét VT f x f x ' '
+) Lấy nguyên hàm hai vế hai lần.
Nguyên hàm 2 vế ta được f x f x ' 3 x 5 6 x 2 C Do f 0 f ' 0 1 C 1
Tiếp tục nguyên hàm 2 vế ta được: f x df x 3 x 5 6 x 2 1 dx
Lấy tích phân 2 vế ta có:
Lời giải: Xét phương trình: f x 4 f x ' 2 x 2 1 1 f x 3 1 Đặt g x 1 f x 3 g x ' 3 f x 2 ' f x
Vì f x có đạo hàm không âm trên 0;1 và f x 0 với x [ 0;1 ] nên
1 3 g x f x cũng có đạo hàm không âm trên 0;1 và g x 0 với x [ 0;1 ]
Bảng biến thiên của hàm số:
Do đó phương trình 1 f x e có đúng 2 nghiệm.
Mà f (0) 1 suy ra C = 1 Suy ra f x ( ) sin x cos x
Vì f x ( ) là hàm chẵn trên 6;6 nên
Câu 22 : Ta có I f x dx sin cos 2 x 2 xdx sin x 2cos 2 x 1 2 dx Đặt t cos x dt sin xdx
Hay 4 cos 5 4 cos 3 cos 4 cos 5 4 cos 3 cos
Đặt t sin x dt cos xdx Đổi cận 0 0; 1 x t x 2 t
đặt t x 1 nên d t d x và khi x 0 t 1, x 2 t 3 Do đó
Câu 24 : +) Đặt t 3 x t 3 x 3 t dt dx 2 Đổi cận: x 1 t 1; x 8 t 2
2 2 1 cos 2cos sin 2cos tan tan t x dt x xdx dt x xdx xdx 2 dt
2 dx dx dt t x dt xdx dt x x x t
Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh
' 2 2 xf x dx xd f x xf x f x dx f f x dx
Theo bài ra ta có:
Câu 28 : Cách 1: Đặt u x 1 du dx dv ; f x dx ’ v f x
Áp dụng tích phân từng phần ta có
là ta dùng tích phân từng phàn
Câu 32 : Từ giả thiết ta có: xf x 1 2 f x xf x ' Đặt u x f x 1 u 2 u ' u 2 ' 1 u 2 ' dx x C 1 x C u u u
Câu 33 : Từ giả thiết, ta có x x 1 f x f x x 2 x
Mặt khác, ta có f 1 2ln 2 nên C 1 Do đó
cos cos cos cos cos
' cos cos x x x x x x x f x xf x xe x f x e xf x e x f x e x f x e dx xdx
0 0 cos 1 cos cos sin 0 sin
