(SKKN 2022) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GHÉP TRỤC ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN HÀM HỢP

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

NGUYÊN TẮC GHÉP TRỤC XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM HỢP g  f u x    

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm g  f u x     , giả sử ta được tập xác định

Bước 2: Xét sự biến thiên của u  u x   và hàm y  f x ( ) (B2 có thể làm gộp trong bước 3 nếu nó đơn giản).

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa   x u ;  u x     và

Bảng này thường có 3 dòng dạng

Trong BBT, bước đầu tiên là xác định các điểm kỳ dị của hàm u = u(x) và sắp xếp chúng theo thứ tự tăng dần từ trái qua phải Giả sử các điểm này được ký hiệu là a1 < a2 < < an-1 < an (xem chú ý 1).

Dòng 2: Điền các giá trị u i u a   i với  i  1, , n 

Trên mỗi khoảng  u u i ; i  1 ,i1,n1 cần bổ xung các điểm kỳ dị b b 1; ; ;2 b k của của hàm y  f x ( )

Trên mỗi khoảng  u u i ; i  1 ,i1,n1 cần sắp xếp các điểm u b i ; k theo thứ tự chẳng hạn:

Dòng 3: Xét chiều biến thiên của hàm g  f u x     dựa vào BBT của hàm

( ) y  f x bằng cách hoán đổi: u đóng vai trò của x ; f u   đóng vai trò của f x  

Sau khi hoàn thiện BBT hàm hợp g  f u x     ta thấy được hình dạng đồ thị hàm này.

Bước 4: Dùng BBT hàm hợp g  f u x     giải quyết các yêu cầu đặt ra trong bài toán và kết luận.

- Các điểm kỳ dị của u  u x ( ) gồm: Điểm biên của tập xác định D , các điểm cực trị của u  u x  

- Nếu xét hàm u  u x   thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt u x    0 (là hoành độ giao điểm của u  u x ( ) với trục Ox ).

- Nếu xét hàm u  u x   thì trong dòng 1 các điểm kỳ dị còn có số 0 (là hoành độ giao điểm của u  u x ( ) với trục Oy ).

- Có thể dùng thêm các mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của u  u x  

- Điểm kỳ dị của y  f x ( ) gồm: Các điểm tại đó f x ( ) và f x  ( ) không xác định; các điểm cực trị hàm số y  f x ( )

- Nếu xét hàm g  f u x     thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có nghiệm của pt f x    0 (là hoành độ giao điểm của u  u x ( ) với trục Ox ).

- Nếu xét hàm g  f u x     thì trong dòng 2 các điểm kỳ dị còn có số 0(là hoành độ giao điểm của y  f x ( ) với trục Oy ).

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Kể từ năm 2017, kì thi THPT Quốc Gia đã có sự thay đổi quan trọng, trong đó bài toán về hàm số chiếm 20% tỉ lệ đề thi Các đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào tạo đã xuất hiện nhiều bài toán về hàm số hợp Trước khi thực hiện chuyên đề này, nhiều học sinh thường mất khoảng 7 phút để giải quyết bài toán hàm hợp, nhưng nếu chăm chỉ luyện tập, thời gian này có thể rút ngắn xuống còn 1 phút Đây chính là mục tiêu mà tôi hướng tới khi thực hiện chuyên đề này.

Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Câu 46-MH-BGD-L1 Năm 2020: Cho hàm số bậc bốn y  f x ( ) có đồ thị như hình bên

Số điểm cực trị của hàm số g x ( )  f x  3  3 x 2  là

Cách 1: Tự luận truyền thống Từ đồ thị ta có bảng biến thiên của hàm số y  f x ( ) như sau

Đồ thị của hàm số h(x) = x³ + 3x² cho thấy rằng đường thẳng y = a cắt đồ thị tại một điểm, đường thẳng y = b cắt đồ thị tại ba điểm, và đường thẳng y = c cắt đồ thị tại một điểm.

Như vậy phương trình g x  ( ) 0  có tất cả 7 nghiệm đơn phân biệt.

Vậy hàm số g x ( )  f x  3  3 x 2  có 7 cực trị.

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Xét hàm số u  x 3  3 x 2 ta có 2 2

Gọi a, b, c là các điềm cục trị của hàm số y  f x ( ) khi đó a0b4c

Và ta cũng có f a ( )  f c ( )  0; ( ) f b  0 Suy ra g x ( )  f x  3  3 x 2  có 7 điểm cực trị.

Câu 45-MH-BGD-L1 năm 2020: Cho hàm số f x ( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thuộc đoạn [   ; 2 ]  của phương trình 2 (sin ) 3 f x   0 là

Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt t sinx Do x   [  ; 2 ]  nên t   [ 1;1] Khi đó ta có phương trình 2 ( ) 3 0 ( ) 3 f t    f t  2 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình ( ) 3 f t  2 có 2 nghiệm t    a ( 1; 0) và t   b (0;1)

Trường hợp 1: t    a ( 1;0) Ửng với mỗi giá trị t   ( 1;0) thì phương trình có 4 nghiệm

Trường hợp 2: t   b (0;1) Ứng với mỗi giá trị t  (0;1) thì phương trình có 4 nghiệm 0  x 5  x 6   Hiển nhiên cả 6 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc đoạn [   ; 2 ] 

Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt t  sin x   [ 1;1] vì

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 6

Câu 46-MH-BGD-L2: Cho hàm số f x ( ) có bảng biến thiên như sau

  của phương trình f (sin ) 1 x  là

Cách 1: Tự luận truyền thống Đặt 5 sin , 0; [ 1;1] t x x  2 t

Khi đó phương trình f (sin ) 1 x  trở thành f t ( ) 1,     t [ 1;1]

Dựa vào bảng biến thiên, ta có ( 1;0)

     Trường hợp 1: t    a ( 1; 0) Ứng với mỗi giá trị t   ( 1;0) thì phương trình sinx t có 2 nghiệm x x 1 , 2 thỏa mãn

Trường hợp 2: t   b (0;1) Ửng với mỗi giá trị t  (0;1) thì phương trình có 3 nghiệm x x x 1 , , 2 3 thỏa mãn

Hiển nhiên cả 5 nghiệm trong 2 trường hợp trên đều khác nhau Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm thuộc đoạn 5

  Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt 5 sin , 0; [ 1;1] t x x  2 t

Khi đó phương trình f (sin ) 1 x  trở thành f t ( ) 1,     t [ 1;1]

Do đó tổng số nghiệm của phương trình đã cho là 5

Bài tập ứng dụng

Câu 1: Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên , f   2   7 và có bảng biến thiên như dưới đây x   1 0 1 

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

 2 1 2  f x   m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

 2 2 2 2 Để phương trình f x  2  1 2    m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt thì

Để xác định số giá trị nguyên của tham số m trong hàm số bậc bốn y = f(x) với đồ thị đã cho, cần tìm số lượng nghiệm phân biệt của phương trình f(x + 3(x - 1)) = log m Phương trình này yêu cầu có ít nhất năm nghiệm phân biệt, do đó, việc phân tích đồ thị và tính chất của hàm số là rất quan trọng để xác định các giá trị m phù hợp.

Ta có BBT của hàm số y  f x   y m Đặt u   x 3  x  1    x  3   2 x  1 

Ta có BBT của hàm số u u x   

  log f u  m có ít nhất 5 nghiệm phân biệt 4 log 0

Câu 3: Cho y  f x ( ) có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số ( )g x h f x( ( )) với h t( ) t 2 2t 8 là:

Ta có BBT của hàm số h t( ) t 2 2t 8 là:

Từ bảng biến thiên của hàm số y  f x ( ) và h t( ) t 2 2t 8, ta có bảng biến thiên của hàm số g x ( )  h f x ( ( ))  f x ( ) 2  2 ( ) 8 f x  qua phương pháp ghép trục là:

Do đó ( )g x h f x( ( )) có 7 điểm cực trị.

Câu 9: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên và có bảng biến thiên như sau

Số điểm cực đại của hàm số g x    f x  2  8 x  7  x 2  3  là

Tập xác định của hàm số là 

 Đặt t  x 2  8 x  7  x 2  3 Khi đó bảng biến thiên của hàm số y  f t  là

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y  f t   cho có 7 điểm cực đại.

Câu 16: Cho hàm số y = f x ( ) có đạo hàm trên ¡ và f x ' ( )có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x ( ) = f e ( 2 x - 2 x - 2 )có bao nhiêu điểm cực trị?

Dựa vào bảng biến thiên của f x ' ( )

Nên ta có bảng biến thiên sau:

Sử dụng phương pháp ghép trục, ta có bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số g x ( ) = f e ( 2 x - 2 x - 2 ) có 9 điểm cực trị.

Câu 1: Cho hàm số y  f x   liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình bên.

Xác định số nghiệm của phương trình f x  3  3 x 2   3 2 ,biết f    4  0

Theo bài ra ta có bảng biến thiên tổng hợp: Đồ thị hàm số y  f x  3  3 x 2  là phần nét liền.

Câu 2: Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 f x ( 3 - 3 x ) = m có 8 nghiệm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 3 f x ( 3 - 3 x ) = m có 8 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 3 3 9

Câu 3: Cho hàm số y  f x    x 2  2 x Số điểm cực trị của hàm số g x ( )  f f x     1  là

Từ hai BBT trên ta có BBT của hàm số g x ( )  f f x     1   f u  

Vậy hàm số ban đầu có 3 điểm cực trị.

Câu 4: Cho f x( ) là hàm đa thức bậc 6 sao cho đồ thị hàm số yf x( ) như hình vẽ

Tìm số điểm cực trị của hàm số y  g x ( )  f x  2  4 x  5 

Cách 1: PP tự luận truyền thống

 Đầu tiên ta nhận xét tại x3 và x4 đồ thị f x    tiếp xúc trục Ox nên ta có

  trong đó x3,x4 là nghiệm kép.

,ta loại hai nghiệm t 3 và t4 do nghiệm kép không là điểm cực trị.

 Tóm lại hàm số g x   có ba điểm cực trị là x  1; x  2; x  3.

BBT cùa hàm số y  f x   Đặt ux 2 4x5

Vậy hàm số y  g x ( )  f x  2  4 x  5  có ba điểm cực trị.

Câu 5: Cho hàm số y  f x   liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ. x y

Tìm số nghiệm của phương trình f  sin x  cos x    2 0 trên đoạn  0; 2 .

Cách 1: PP tự luận truyền thống

Ta có  sin cos  2 0 2 sin 2 f x x f  x 4

Dựa vào đồ thị ta có

Xét đồ thị hàm số sin y x 4

Ta thấy phương trình sin 1

  có 2 nghiệm trên đoạn  0; 2 ; phương trình sin 3

  có 2 nghiệm trên đoạn  0;2  và các nghiệm là khác nhau.

Vậy của phương trình f  sin x  cos x    2 0 có 4 nghiệm trên đoạn  0; 2 .

Cách 2: Phương pháp ghép trục

Ta có f  sin x  cos x     2 0 f  sin x  cos x   2 Đặt u  sin x  cos x

Ta có u   cos x  sin x ; cos sin 0 sin cos tan 1

Hàm số u có 2 điểm cực trị là 4

Từ đồ thị hàm số y  f x   và từ bảng biến thiên của hàm số u  sin x  cos x ta có bảng sau:

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u    2 có 4 nghiệm x

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x

Câu 6: Cho hàm số y  f x   có bảng biến thiên như sau:

  của phương trình f  2 cos x  1   2 1   là

Cách 2: PP tự luận truyền thống Đặt 2 1, ; 2 u cosx x 3

  của phương trình f  2 cos x  1   2 là 6

Câu 7: Cho hàm số y  f x   liên tục và xác định R và có đồ thị như hình vẽ Hàm số

 2 4  y  f x  x có tất cả bao nhiêu điểm cực trị?

Cách 2: PP tự luận truyền thống Đặt u x    x 2  4 x  u   2 x  4 0   x  2 Đặt t u x     x 2  4 x

Vẽ đồ thị hàm số u x    x 2  4 x , từ đó suy ra đồ thị t  u x  

Suy ra hàm số y  g x    f x  2  4 x  có tất cả 5 diểm cực trị.

Câu 8: Cho hàm số yf x   liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ Phương trình

 1    0 1   f  f x  có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Cách 1: Phương pháp tự luận

Dễ thấy 7 nghiệm phân biệt Vậy phương trình đã cho có đúng 7 nghiệm.

Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u   1 f x  

Từ đồ thị của hàm y  f x   ta suy ra BBT của hàm u   1 f x   và hàm f u   như sau ( Với f   4   3 và  3  f   0  0 )

Từ bảng trên ta thấy phương trình f u    0 có 7 nghiệm phân biệt.

Câu 9: Cho hàm số y  f x   có đạo hàm trên R và có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Đặt g x    3 f f x      4 Số điểm cực trị của hàm số g x   là

Cách 1: Phương pháp tự luận

+ f x  0 có 3 nghiệm đơn phân biệt x 1, x 2, x 3 khác 0 và a.

+ Vì 2  a  3 nên f x    a có 3 nghiệm đơn phân biệt x 4, x 5, x 6 khác x 1, x x 2, 3, 0 , a. Suy ra g x     0 có 8 nghiệm đơn phân biệt.

Do đó hàm số g x    3 f f x      4 có 8 điểm cực trị.

Cách 2: Phương pháp ghép trục Đặt u  f x  

Từ đồ thị của hàm y  f x   ta suy ra BBT của hàm u  f x   và hàm g x    3 f f x      4 như sau (với 2  a  3; f   5     5 f a     4).

Từ BBT của hàm hợp ta có hàm số g x    3 f f x      4 có 8 điểm cực trị.

Câu 10: Cho hàm số bậc bốn y  f x   có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Số điểm cực trị của hàm số g x    f x  3  3 x  1  là

Cách 1: Phương pháp tự luận truyền thống

Do y  f x  là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục và có đạo hàm luôn xác định tại x

Theo đồ thị hàm số ta có được f x     0

   , từ đó ta có BBT của y h x    như sau

Từ BBT của hàm số h x    x 3  3 x  1 nên ta có h x    x 1   0;1  có ba nghiệm phân biệt,

Hàm số h(x) có đúng 3 nghiệm phân biệt trong khoảng (1; 3), và tất cả các nghiệm này đều khác nhau cũng như khác 1 và -1 Do đó, phương trình g'(x) = 0 có 11 nghiệm phân biệt, tất cả đều là nghiệm đơn, dẫn đến hàm số y = g(x) có 11 cực trị.

Từ đồ thị hàm số ta có được f x     0

Ta sử dụng phương pháp ghép trục để lập bảng biến thiên cho hàm số g x    f x  3  3 x  1 

Từ bảng biến thiên trên ta thấy hàm số g x    f x  3  3 x  1  có 11 điểm cực trị.

Hàm số y = f(x) là một hàm liên tục trên tập số thực và có đồ thị là đường cong trơn, không bị gãy khúc Đặt g(x) = [f(f(x))] Câu hỏi đặt ra là tìm phương trình liên quan đến hàm g(x).

'  0 g x  có bao nhiêu nghiệm phân biệt?

Từ đồ thị ta có f a    M M ,  3 và f b    m m ,   0;1 . Đặt u  f x  , ta có hàm số g x    f u  .

Số nghiệm phân biệt của phương trình g x '    0 chính là số cực trị của hàm số g x    f u  

Dựa vào đồ thi hàm số y  f x   ta có bảng biến thiên sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số g x    f u   có 12 cực trị.

Vậy phương trình g x '    0 có 12 nghiệm phân biệt.

Câu 19: Cho hàm số liên tục trên  có đồ thị y f x( ) như hình vẽ

Phương trình f  2  f e   x   1 có bao nhiêu nghiệm?

Ta có bảng biến thiên sau

 Phương trình f t    1 có 2 nghiệm phân biệt.

Câu 20: Cho hàm số liên tục trên  có đồ thị y f x( ) có bảng biến thiên như sau:

  của phương trình 5 f  cos 2 x  cos x   1 là

Lời giải Đặt 2 sin 0 cos cos ' 2.sin cos sin ; ' 0 1

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy PT có 10 nghiệm.

Câu 21: Cho hàm số f x   thỏa mãn f   0  0 Đồ thị hàm số y  f x '  cho bởi hình vẽ dưới đây.

Hàm số g x    f x    3 x có bao nhiêu điểm cực tiểu?

Từ đồ thị hàm y  f x '  ta có BBT:

Số điểm cực trị dương của hàm h x   là2.

Do đó số điểm cực tiểu của g x   là: 2.2 1 5 

  có đúng 8nghiệm phân biệt thuộc  0;3 

Câu 23: Cho hàm số y  f x  có bảng biến thiên như sau:

Ta có bảng biến thiên hàm số yf t( )

Số nghiệm phương trình f f   cos x    2bằng số giao điểm của đường thẳng y  2và đồ thị hàm số y  f t ( ), từ bảng biến thiên  phương trình ( ) 2f t  có 9 nghiệm.

Vậy phương trình f f   cos x    2có 9 nghiệm.

Cho hàm số y = f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e với a ≠ 0, có đồ thị như hình vẽ Phương trình f(f(x)) = log2(m) (với m là tham số thực dương) có tối đa bao nhiêu nghiệm?

Phương trình trở thành: f t   log2 m

Số nghiệm phương trình f f x     log2 mbằng số giao điểm của đường thẳng y  log 2 m và đồ thị hàm số y  f t ( ) , từ bảng biến thiên  phương trình có tối đa 18 nghiệm.

Câu 25: Cho hàm số y f x    có đồ thị như hình dưới Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình f  2 x 3  6 x  2   2 m  1 có 6 nghiệm phân biện thuộc đoạn 1;2 ?

Vậy có duy nhất 1 số nguyên m thoả mãn bài toán.

Câu 26: Cho hàm số y  f x  , hàm số y  f x    có đồ thị như hình bên Hàm số

  có bao nhiêu điểm cực trị trên khoảng  0;2  ?

Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

SL % SL % SL % SL % SL %