(SKKN 2022) hướng dẫn cách giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối cho học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi tốt nghiệp THPT

NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Dạng toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối là một thách thức lớn đối với học sinh, đòi hỏi tư duy linh hoạt và khả năng phán đoán để tìm ra phương pháp giải quyết hiệu quả Nhiều học sinh, đặc biệt tại trường THPT Lê Lợi, thường gặp khó khăn với các bài tập đa dạng và phong phú liên quan đến dạng toán này Sáng kiến kinh nghiệm của tôi nhằm giúp học sinh nắm vững cách giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có dấu trị tuyệt đối.

Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Trong quá trình ôn thi học sinh giỏi và thi tốt nghiệp THPT, học sinh gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, đặc biệt là các bài toán có hàm chứa dấu trị tuyệt đối Hầu hết các em chỉ có thể xử lý những bài toán đơn giản, trong khi đó, khi đối diện với các bài toán yêu cầu cao hơn, nhiều em không tìm ra được hướng giải quyết ngay lập tức Ngay cả khi có em đưa ra được phương pháp, việc giải quyết vẫn diễn ra chậm và chưa triệt để.

Trong quá trình giảng dạy và ôn thi học sinh giỏi cũng như ôn thi tốt nghiệp THPT, tôi đã tổng hợp các phương pháp giải bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối Mục tiêu là giúp học sinh tự tin hơn khi đối mặt với dạng bài này, từ đó đạt được kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi tốt nghiệp THPT sắp tới.

1 Định nghĩa giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất của hàm số: a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x   trên tập D nếu f x    M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0  D sao cho f x   0  M

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên tập D nếu f x    m với mọi x thuộc D và tồn tại x 0  D sao cho f x   0  m

Kí hiệu m  min D f x   b) Cho hàm số y  f x   xác định trên tập D

Số M là giá trị lớn nhất của hàm số y  f x   trên D

Số m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên D

2 Một số tính chất a) ax a;b  

Từ (1) và (2), suy ra điều phải chứng minh. b)  a;b 

Chứng minh tương tự 2.1. c) Bất đẳng thức trị tuyệt đối a  b   a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab  0 a 1  a 2  a 3   a n  a 1  a 2  a 3   a n

Dấu bằng xấy ra khi và chỉ khi a a a 1 ; ; ; ; 2 3 a n cùng dấu hoặc cùng bằng

2.3.3 Bài toán và một số ví dụ minh họa :

1 Bài toán: Cho hàm số y  f x   liên tục trên đoạn a b ;  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f x   trên đoạn  a b ; 

Để giải bài toán này, có nhiều phương pháp khác nhau Nếu hàm số không chứa tham số, chúng ta có thể vẽ đồ thị hàm số trên đoạn \[a, b\] hoặc lập bảng biến thiên của hàm số trong khoảng này để xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.

Trong bài này chúng ta đưa ra giải pháp cho bài toán chứa tham số nên giải bài toán theo cách sau:

Bước 1 Tìm max, min của hàm số f x   trên đoạn  a b ; 

. +) Min  a b ;  y phụ thuộc vào dấu của M và m

Nếu m   0 M thì khi đó tồn tại x 0 sao cho f x   0  0 Suy ra Min  a b ;  y 0 

2 Một số ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối là hàm bậc hai, cho phép áp dụng tính chất đồ thị đã học Đỉnh của đồ thị nằm tại hoành độ x=1, thuộc đoạn [-1; 2] Để xác định giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn này, ta cần xem xét các giá trị tại x=-1, x=1 và x=2.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn   1;2 

Xét hàm số f x    x 2  2 x m  là hàm số liên tục trên   1; 2  ta có: f   1   m 1, f   1    m 3, f   2  m Đến đây tùy theo giá trị tham số ta xét tìm giá trị lớn nhất hàm số.

Nếu m  1 0   m  1 thì: max   1;2  y m     3 5 m  2 (thỏa mãn).

Nếu m  3 thì: max   1;2  y   1 m   5 m  4 (thỏa mãn).

           m  2. Vậy với m  2 thì hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên đoạn   1; 2  bằng 5.

Ví dụ 2 Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số

Chúng ta có thể áp dụng phương pháp giải ví dụ 2 tương tự như ví dụ 1 Bên cạnh đó, việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn cũng đã được trình bày trong chương I của giải tích 12.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn   2;1 

Ta thấy m  5  m  4  m  1 với mọi m   , suy ra max   2;1  y chỉ có thể là m  5 hoặc m  1

Ví dụ 3 Cho hàm số

( m là tham số ) Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn   2;1  đạt giá trị nhỏ nhất?

Khi sử dụng các phương pháp như trong ví dụ 1 hoặc ví dụ 2, chúng ta có thể tìm giá trị lớn nhất của hàm số theo tham số m, sau đó xác định giá trị nhỏ nhất của giá trị lớn nhất này Tuy nhiên, cách giải này có thể trở nên phức tạp và dễ dẫn đến sai sót do sự kết hợp các trường hợp khác nhau Thay vào đó, nếu áp dụng tính chất phù hợp, việc giải quyết bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Dấu bằng xảy ra khi a  b a  b   a b Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab  0

Cách 1: Theo ví dụ 2 ta có:

 Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:

1 5 1 5 1 5 4 m  m m   m m   m  Đẳng thức xảy ra khi    

Do đó giá trị nhỏ nhất của max   2;1  y là 2 khi m  3

Chúng ta có thể xác định giá trị lớn nhất của hàm số bằng cách sử dụng ẩn phụ, chuyển đổi hàm số thành dạng bậc nhất Phương pháp này cho phép áp dụng tính đơn điệu của hàm số bậc nhất để tìm ra giá trị tối đa một cách hiệu quả.

Lúc đó hàm số trở thành: f t     t m  5 với t   0;4 

 Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có: m  1  m  5  m  1 5   m  m    1 5 m  4 Đẳng thức xảy ra khi    

Do đó giá trị nhỏ nhất của max   2;1  y là 2 khi m  3

Khi giải hàm số bậc hai có chứa giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp như phân tích đồ thị hàm bậc hai, sử dụng ẩn phụ, và khai thác tính đơn điệu của hàm bậc nhất Ngoài ra, việc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn cũng là một kỹ thuật hữu ích.

Tương tự ví dụ 3, có thể áp dụng đặt ẩn phụ đối các hàm số khác Ta xét hàm số chứa ẩn dưới dấu căn như sau:

Ví dụ 4 Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số

2 3 3 4 y  x x   m  đạt giá trị nhỏ nhất?

Hàm số chứa ẩn dưới dấu căn học sinh không được xét trong chương trình, bằng việc đặt ẩn phụ ta có thể đưa về hàm số đã học.

Khi đó hàm số được viết lại là y   t 3 m  4 với t   0;1  ta suy ra

        Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có:

Giá trị nhỏ nhất của max D y là

Tuy nhiên, một số bài toán không thể dễ dàng áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ, mà cần phải dựa vào giá trị của tham số để xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất Ví dụ minh họa cho trường hợp này là

Ví dụ 5 Cho hàm số y  x 2  ax b  Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn   1;3  Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức a  2 b ?

Hàm số f(x) = x² + ax + b có đồ thị là một parabol, trong đó hoành độ đỉnh phụ thuộc vào tham số a Do đó, không thể giải bài toán này bằng cách đặt ẩn phụ như trong các ví dụ trước Thay vào đó, chúng ta có thể áp dụng các tính chất bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối để tìm ra lời giải.

Hay M    a b 5 Từ đó suy ra:

+) Từ (1) và (2), suy ra min M  2 Dấu "=" xảy ra

Vậy a  2 b  4 Đối với các hàm số có hàm số trong dấu giá trị tuyệt đối là hàm bậc ba, bậc bốn chúng ta áp dụng cách giải tương tự.

Ví dụ 6 Cho hàm số y  x 4  2 x 3  x 2  m Tìm m sao cho m  -1;2 ax  y  3 ?

Sử dụng cách tìm GTLN-GTNN của hàm số không chứa dấu giá trị tuyệt đối trên đoạn rồi sau đó áp dụng theo bài toán 1.

Ví dụ 7 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Xét hàm số f x  x 3 3x 2 9x m trên đoạn   2; 4 

(Không thỏa mãn điều kiện   ** ). Vậy m11 thỏa mãn điều kiện

Ví dụ 8 Cho hàm số

Có bao nhiêu số nguyên m sao cho ax 100. m-1;2 y

Tương tự ví dụ 6 ta có:

Mà m thuộc khoảng từ 95 đến 100, vì vậy có 197 số nguyên m Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f(x, m) trên một đoạn, chúng ta cần xác định GTLN và GTNN của hàm số này, sau đó dựa vào điều kiện tham số để tìm GTLN Tuy nhiên, khi tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f(x, m) trên đoạn, cần chú ý đến dấu của GTLN và GTNN, đây là một sai lầm phổ biến mà học sinh thường mắc phải Ví dụ minh họa sẽ được đưa ra để làm rõ vấn đề này.

Ví dụ 9 Cho hàm số

Có bao nhiêu số nguyên m sao cho min 3

Ta tìm GTLN- GTNN của hàm số f x    x 4  2 x 3  x 2  m như ví dụ 6, 7.

Theo bài toán cơ bản , ta phải xét dấu của GTLN, GTNN hàm số f x   để tìm GTNN của hàm số y  f x   , cụ thể:

Vậy có 2 số nguyên m để min  -1;2  y  3

Ví dụ 10 Cho hàm số y  x 4  4 x 3  4 x 2  a Có bao nhiêu số nguyên a    4; 4  để

Với ví dụ này chúng ta tìm GTLN-GTNN của hàm số

( ) 4 4 / 0;2 f x  x  x  x  a theo tham số a, rồi tùy theo giá trị a ta tìm GTLN- GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

+) Đặt f x    x 4  4 x 3  4 x 2  a Tìm Tìm m  0;2 ax  f x   và     min 0;2 f x

So sánh với a  0 , ta có a  1 thỏa mãn điều kiện đầu bài (1)

So sánh với a  1 , ta có a  2 thỏa mãn điều kiện đầu bài (2)

, điều này vô lý vì

. Vậy với   1 a  0 không thỏa mãn điều kiện đầu bài (3)

 thỏa mãn điều kiện M  0;2 axy 2 min    0;2  y

Mà a    4; 4  , nên a    4; 3; 2;1; 2;3;4    Suy ra có 7 số nguyên a thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Ví dụ 11 Cho hàm số

Có bao nhiêu số nguyên a để 1; 3Min y 3

Từ (1), (2) và (3), suy ra có 4 4 31 39    số a thỏa mãn điều kiện đầu bài.

Trong các bài toán trắc nghiệm, chúng ta không nhất thiết phải so sánh từng giá trị để tìm ra đáp án Thay vào đó, có thể xem xét tập giao giữa các điều kiện thỏa mãn của đề bài để đưa ra kết luận chính xác hơn.

Ví dụ 12 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

4 2 y  x  x  x m   trên đoạn  0;2  không vượt quá 20 Tính tổng các phần tử của S ?

(Ta không so sánh rõ ràng m  20 và m  6 ) Để     max 0;2 g x  20 thì

Vậy tổng các phần tử của S là 105 Đáp án C

Ví dụ 13 Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

1 4 14 2 48 30 y  4 x  x  x m   trên đoạn  0;2  không vượt quá 30. Tính tổng tất cả các phần tử của S

(Ta không so sánh rõ ràng m  30 và m  14 ) Để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn  0;2  không vượt quá 30 thì:

Ví dụ 14 Cho hàm số f x    8 x 4  ax 2  b

, trong đó a , b là tham số thực Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số f x   trên đoạn   1;1  bằng 1 Hãy chọn khẳng định đúng?

TH1 a  0 Ta có g   1  g    1     8 a b 1 Suy ra max  1;1  f x   1

  không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

  không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Cách 2: Đặt t x  2 khi đó ta có g t    8 t 2  at b 

Theo yêu cầu bài toán, hàm số g(t) thỏa mãn điều kiện 0 ≤ g(t) ≤ 1 với mọi t thuộc đoạn [0; 1] và có thể đạt giá trị bằng Đồ thị của hàm số g(t) là một parabol có bề lõm quay lên trên, do đó dẫn đến một hệ điều kiện cần thiết phải xảy ra.

Từ     1 ; 3 ta có :  64  a 2  64 do đó  8   a 8

Khi đó ta có a  8 và b  1

Ví dụ 15 Cho hàm số f x    x 3  3 x a  Có bao nhiêu số nguyên a    20;20  để mọi bộ ba số thực n k t , ,    2;1  thì f n f k   ,   , f t   là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn?

Vai trò của n k t , , là như nhau, nên vai trò của f n f k   ,   , f t   cũng như nhau.

Vì f n f k   ,   , f t   là độ dài ba cạnh một tam giác, nên theo định lý hàm số cosin ta có:

. Để f n f k   ,   , f t   là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn khi và chỉ khi:

Không mất tính tổng quát, ta giả sử: f n    f k    f t   ,  n k t , ,    2;1  Để (1) đúng với mọi bộ ba số thực n k t , ,    2;1  khi và chỉ khi (1) đúng với

    thì f n f k   ,   , f t   là ba cạnh của một tam giác nhọn (3).

Thay (4) vào điều kiện (3), ta được:

Thay (5) vào điều kiện (3), ta được:

Vậy để mọi bộ ba số thực n k t , ,    2;1  thì f n f k   ,   , f t   là độ dài ba cạnh một tam giác nhọn

Theo giả thiết a    20; 20 ,  a    a    19; 18; ; 12;12;13; 19    Có 16 số nguyên a thỏa mãn Đáp án B.

Ví dụ 16 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

  trên  1;2  bằng 2 Tìm số phần tử của tập S ?

Vậy tập S có 2 phần tử.

Ví dụ 17 Cho hàm số

  Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên

 1;2  đạt giá trị nhỏ nhất ?

Dấu bằng xảy ra khi ( m 2  m  1)(  m 2  m  2) 0     1 m  2

Vậy m  1;2 ax  y có giá trị nhỏ nhất là

Khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y    f x     2 n , n   * thì ta cũng làm tương tư như đối với hàm số y  f x  

Ví dụ 18 Cho hàm số y   x 2   x a  2 Tính tổng các giá trị của a để  min  2;2  y  4

Từ (1) và (2), suy ra với

9 ; 8 a  4 a  thì min   2;2  y  4 Tổng các giá trị thực của tham số a là:

3 Một số bài toán trắc nghiệm

  Giá trị lớn nhất của hàm số trên  1;2  có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 2 Cho hàm số y  x 4  4 x 3  4 x 2  a , có bao nhiêu số nguyên a    4; 4  sao cho

Câu 3 Có bao nhiêu số nguyên a đề hàm số y  x 4  2 x 3  m có min   1;2  y  3

Câu 4 Có bao nhiêu số thực a để hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  a có giá trị lớn nhất trên đoạn   3; 2  bằng 150.

Câu 5 Có bao nhiêu số thực a để hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  a có giá trị lớn nhất trên đoạn   3;2  bằng 275 2

Câu 6 Giá trị lớn nhất của hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  a trên đoạn   3;2  có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 7 Có bao nhiêu số nguyên a    2019;2019 , để hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  a có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn   3;2  thỏa mãn  -3;2   -3;2  axy 2 y

Câu 8 Có bao nhiêu số thực a để hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  a có giá trị nhỏ nhất trên đoạn   3; 2  không vượt quá 100.

Câu 9 Có bao nhiêu số thực a để hàm số y  3 x 4  4 x 3  12 x 2  a có tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn   3;2  bằng 300.

Câu 10 Cho hàm số y  x 2   x a Tổng tất cả các giá trị thực của a sao cho

  Có bao nhiêu giá trị thực của tham số a để

Câu 12 Cho hàm số y   2 x 3  3 x 2  a  2 Có bao nhiêu số nguyên a để min   1;3  y  100

Câu 13 Cho hàm số y  2 x 2   a  4  x b   3 Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn   2;3  Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức a  4 b

Câu 14 Giá trị lớn nhất của hàm số y  x 2  ax b  trên đoạn  m n m n ;     có giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 15 Cho hàm số y  x 2  ax b  Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

  2;1 , khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức a  8 b bằng

Câu 16 Cho hàm số y  sin 3 x  sin x a  Có bao nhiêu số nguyên a để giá trị lớn nhất của hàm số không vượt quá 30.

Câu 17 Cho hàm số f x    x 3  3 x  1 Có bao nhiêu số nguyên a để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  f  2sin x  1   a không vượt quá 10.

Câu 18 Cho hàm số y  c x ac os  os2 x bc  os3 x , với a b ,   Khi giá trị lớn nhất của hàm số đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức 2 a  3 b bằng.

Câu 19 Cho hàm số f x    2 x 3  9 x 2  12 x a  Có bao nhiêu số nguyên a    20;20  để với mọi bộ ba số thực n k t , ,   1;3  thì f n f k   ,   , f t   là độ dài ba cạnh một tam giác.

Câu 20 Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 2  4 x   3 4 mx lớn hơn 2 Tìm số phần tử của S?

Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

* Trước khi thực hiện đề tài : Tôi cho học sinh lớp 12A10 có lực học khá, giỏi làm bài kiểm tra sau trong 15 phút : ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG :

Cho hàm số y  2 x 3  3 x 2  a , có bao nhiêu số nguyên a sao cho Min  -1;3  y 3 

Kết quả không khả quan lắm như sau : Điểm Giỏi Khá TB Yếu

* Sau khi thực hiện đề tài:

Cuối cùng, tôi đã tổ chức cho lớp 12A10 thực hiện một bài kiểm tra 15 phút với độ khó cao hơn, tập trung vào việc tìm điều kiện của tham số để hàm số chứa giá trị tuyệt đối đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, phù hợp với các tiêu chí đã đề ra trong đề tài.

Cho hàm số y  x 4  2 x 3  x 2  a , có bao nhiêu số nguyên a sao cho M  -1;2 axy 100  

Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau: Điểm Giỏi Khá TB Yếu

Việc hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối đã tạo ra sự khác biệt rõ rệt trong khả năng làm bài của các em Điều này không chỉ giúp học sinh làm bài tốt hơn mà còn phát triển khả năng tư duy, đồng thời khơi dậy niềm say mê và hứng thú học tập, đánh dấu một thành công quan trọng của người giáo viên.