Một số kiến thức về vành và trường
1.1.1 Định nghĩa vành Vành là một tập hợp 𝑅 cùng với hai phép toán hai ngôi đã cho trong 𝑅 kí hiệu theo thứ tự bằng các dấu + và ∙ (người ta thường kí hiệu như vậy) và gọi là phép cộng và phép nhân sao cho các điều kiện sau thỏa mãn:
1) 𝑅 cùng với phép cộng là một nhóm aben
2) 𝑅 cùng với phép nhân là một nửa nhóm
3) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑅 ta có
Trong phép cộng, phần tử trung lập được biểu thị bằng số 0, thường được gọi là phần tử không Đối với mỗi phần tử 𝑥, phần tử đối xứng của nó trong phép cộng được ký hiệu là −𝑥, và được gọi là đối của 𝑥.
Nếu phép nhân có tính giao hoán, nghĩa là 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎, thì vành 𝑅 được gọi là vành giao hoán
Trong toán học, phần tử trung lập của phép nhân được gọi là phần tử đơn vị, thường được ký hiệu là 𝑒 hoặc 1 Một vành mà trong đó phép nhân có phần tử đơn vị được gọi là vành có đơn vị.
Cho vành 𝑅 có đơn vị 1 ≠ 0 Xét tập hợp
Ta nói vành 𝑅 được gọi là vành địa phương nếu tập hợp 𝐴 là một nhóm con của 𝑅 đối với phép cộng
Vành giao hoán hữu hạn 𝑅 được gọi là vành chuỗi nếu mọi iđêan của 𝑅 tạo thành một chuỗi sắp thứ tự tuyến tính theo quan hệ bao hàm.
Ví dụ Vành ℤ với 𝑝 là số nguyên tố là vành chuỗi giao hoán hữu hạn
1.1.2 Ước của không Miền nguyên
1.1.2.1 Định nghĩa Giả sử 𝑅 là một vành giao hoán Ta bảo một phần tử 𝑎 ∈ 𝑅 là bội của một phần tử 𝑏 ∈ 𝑅 hay 𝑎 chia hết cho 𝑏, kí hiệu 𝑎 ⋮ 𝑏, nếu có 𝑐 ∈ 𝑅 sao cho 𝑎 = 𝑏𝑐; ta còn nói rằng 𝑏 là ước của 𝑎 hay 𝑏 chia hết cho 𝑎, kí hiệu 𝑏|𝑎
1.1.2.2 Định nghĩa Ta gọi là ước của 0 mọi phần tử 𝑎 ≠ 0 sao cho có 𝑏 ≠ 0 thỏa mãn quan hệ a𝑏 = 0
1.1.2.3 Định nghĩa Ta gọi là miền nguyên một vành có nhiều hơn một phần tử , giao hoán, có đơn vị, không có ước của 0
Ví dụ Vành số nguyên ℤ là một miền nguyên
1.1.3.1 Mệnh đề Một bộ phận 𝐴 khác rỗng của một vành 𝑅 là một iđêan của 𝑅 nếu và chỉ nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
2) 𝑥𝑎 ∈ 𝐴 và 𝑎𝑥 ∈ 𝐴 với mọi 𝑎 ∈ 𝐴 và mọi 𝑥 ∈ 𝑅
Cho 𝑅 là một vành giao hoán có đơn vị khác không Iđêan 𝑀 của 𝑅 gọi là tối đại trong
𝑅 nếu 𝑀 ≠ 𝑅 và các iđêan của 𝑅 chứa 𝑀 chỉ là bản thân 𝑀 và 𝑅 Iđêan 𝑃 của 𝑅 gọi là nguyên tố nếu 𝑃 ≠ 𝑅 và nếu tích 𝑎𝑏 ∈ 𝑃 hoặc 𝑏 ∈ 𝑃
𝐴 được gọi là iđêan chính nếu 𝐴 là iđêan sinh bởi một tập hợp
1.1.3.2 Mệnh đề ([5]) Cho 𝑅 là vành giao hoán hữu hạn
Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:
(i) 𝑅 là vành địa phương và iđêan tối đại 𝑀 của 𝑅 là iđêan chính;
(ii) 𝑅 là vành iđêan chính, địa phương;
1.1.3.3 Mệnh đề Giả sử 𝑅 là một vành giao hoán có đơn vị và 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ∈ 𝑅 Bộ phận 𝐴 của 𝑅 gồm các phần tử có dạng 𝑥 1 𝑎 1 + 𝑥 2 𝑎 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 𝑎 𝑛 với 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ∈ 𝑅 là iđêan của 𝑅 sinh ta bởi 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛
1.1.3.4 Mệnh đề Nếu 𝑅 là một vành có đơn vị và nếu 𝐴 là một iđêan của 𝑅 chứa đơn vị của 𝑅 thì ta có 𝐴 = 𝑅
1.1.3.5 Mệnh đề Nếu 𝐴 là một iđêan của vành 𝑅, thì:
(i) Lớp 𝑥𝑦 + 𝐴 chỉ phụ thuộc vào các lớp 𝑥 + 𝐴 và 𝑦 + 𝐴 mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử 𝑥 , 𝑦 từ các lớp đó
(ii) 𝑅 𝐴⁄ cùng với hai phép toán
➢ (𝑥 + 𝐴, 𝑦 + 𝐴) ⟼ 𝑥𝑦 + 𝐴 là một vành gọi là vành thương của R trên A
1.1.4 Định nghĩa đồng cấu vành Một đồng cấu (vành) là một ánh xạ từ một vành
𝑋 đến một vành 𝑌 sao cho
𝑓(𝑎 + 𝑏) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑏) 𝑓(𝑎𝑏) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑏) Với mọi 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 Nếu 𝑋 = 𝑌 thì đồng cấu 𝑓 gọi là một tự đồng cấu của 𝑋
1.1.5 Định nghĩa trường Ta gọi là trường một miền nguyên 𝑅 trong đó mọi phần tử khác không đều có một nghịch đảo trong vị nhóm nhân 𝑅 Vậy một vành 𝑅 giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử là một trường nếu và chỉ nếu 𝑅 − {0} là một nhóm đối với phép nhân của 𝑅
Ví dụ Tập hợp ℚ các số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân các số là một trường
Ta cũng có trường số thực ℝ và trường số phức ℂ
1.1.6.1 Định nghĩa Cho 𝑅 là một vành có đơn vị khác không Một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 𝑝ℎả𝑖 𝑀 là:
2) Ánh xạ 𝑀 × 𝑅 → 𝑀, (𝑚, 𝑟) ⟼ 𝑚𝑟 được gọi là phép nhân môđun, thỏa các điều kiện sau: i) Quy tắc kết hợp: (𝑚𝑟 1 )𝑟 2 = 𝑚(𝑟 1 𝑟 2 ) ii) Quy tắc phân phối: (𝑚 1 + 𝑚 2 )𝑟 = 𝑚 1 𝑟 + 𝑚 2 𝑟),
𝑚(𝑟 1 + 𝑟 2 ) = 𝑚𝑟 1 + 𝑚𝑟 2 iii) Quy tắc unita: 𝑚1 = 𝑚 trong đó 𝑚, 𝑚 1 , 𝑚 2 là các phần tử tùy ý của 𝑀, 𝑟 1 , 𝑟 2 ∈ 𝑅
Lúc đó, 𝑅 được gọi là vành cơ sở Nếu 𝑀 là một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 𝑝ℎả𝑖 ta ký hiệu 𝑀 𝑀 𝑅 Tương tự ta cũng định nghĩa được khái niệm 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 𝑡𝑟á𝑖
Nhận xét: Từ định nghĩa ta có kết quả sau:
1.1.6.2 Định nghĩa Một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 trái 𝑀 là đơn nếu nó không có một môđun con không tầm thường nào
Một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 trái 𝑀 được gọi là nửa đơn trái nếu nó có thể được biểu diễn dưới dạng tổng trực tiếp của các môđun đơn Tương tự, một vành 𝑅 được coi là nửa đơn trái nếu nó là tổng trực tiếp của các iđêan trái cực tiểu.
1.1.7 Môđun con và môđun thương
1.1.7.1 Định nghĩa (Môđun con) Cho 𝑀 là một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 phải Tập con 𝐴 của 𝑀 được gọi là môđun con của 𝑀, ký hiệu 𝐴 ≤ 𝑀 hay 𝐴 𝑅 ≤ 𝑀 𝑅 , nếu 𝐴 là một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 phải với phép toán cộng và nhân môđun hạn chế trên 𝐴
Chú ý rằng ký hiệu 𝐴 ≤ 𝑀 để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thông thường 𝐴 ⊂
𝑀 Ngoài ra nếu ta viết
𝐴 ≤ 𝑀 có nghĩa 𝐴 là môđun con thực sự của 𝑀
𝐴 ≰ 𝑀 có nghĩa 𝐴 không phải là môđun con của 𝑀
Sau đây là dấu hiệu nhận biết một môđun con:
1.1.7.2 Định lý Giả sử 𝑀 là một 𝑅 − 𝑚ôđ𝑢𝑛 phải Nếu 𝐴 là một tập con khác ∅ của 𝑀, thì các khẳng định sau là tương đương: i) 𝐴 ≤ 𝑀, ii) 𝐴 là nhóm con của nhóm cộng của môđun 𝑀 và với mọi 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑟 ∈ 𝑅 ta có 𝑎𝑟 ∈
𝐴, iii) Với mọi 𝑎 1 , 𝑎 2 ∈ 𝐴 ta có 𝑎 1 |𝑎 2 ∈ 𝐴, và với mọi 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑟 ∈ 𝑅 ta có 𝑎𝑟 ∈ 𝐴.
Một số kiến thức về mã tuyến tính
Trường hữu hạn đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mã, một lĩnh vực bắt nguồn từ định lý của Shannon năm 1948 Để làm phong phú thêm các mã constacyclic, các nhà toán học đã mở rộng nghiên cứu về cấu trúc mã trên vành hữu hạn, qua đó tạo ra sự đa dạng trong lựa chọn bảng chữ cái khi xem xét mã.
Mục này nhằm trình bày các kiến thức cơ sở của mã tuyến tính trên vành giao hoán hữu hạn
1.2.1 Định nghĩa Cho 𝑅 là vành giao hoán hữu hạn và 𝑛 ∈ ℕ ∗
(i) Tập con 𝐶 của vành 𝑅 𝑛 được gọi là một mã có độ dài 𝑛 trên vành 𝑅
(ii) Tập con 𝐶 của vành 𝑅 𝑛 được gọi là một mã tuyến tính có độ dài 𝑛 trên vành 𝑅 nếu 𝐶 là môđun con của 𝑅 – môđun 𝑅 𝑛 Mỗi phần tử
𝑐 = (𝑐 0 , 𝑐 1 , … , 𝑐 𝑛−1 ) ∈ 𝐶 được gọi là một từ mã của mã 𝐶
1.2.2 Định nghĩa Cho vành 𝑅 giao hoán hữu hạn và mã tuyến tính 𝐶 có độ dài 𝑛 trên 𝑅 Tích trong (hay tích chấm) của hai từ mã 𝑥 = (𝑥 0 , 𝑥 1 , … , 𝑥 𝑛−1 ) và
𝑦 = (𝑦 0 , 𝑦 1 , … , 𝑦 𝑛−1 ) của 𝐶 được định nghĩa như sau:
1.2.3 Định nghĩa Hai từ mã 𝑥, 𝑦 được gọi là trực giao nếu 𝑥 ⋅ 𝑦 = 0 Với mỗi mã tuyến tính 𝐶 trên vành 𝑅, mã đối ngẫu 𝐶 ⊥ là tập hợp các phần tử của vành 𝑅 𝑛 trực giao với tất cả phần tử của 𝐶, tức là 𝐶 ⊥ = {𝑥|𝑥 ∙ 𝑦 = 0, ∀𝑦 ∈ 𝐶}
Một mã 𝐶 được gọi là tự trực giao nếu 𝐶 ⊆ 𝐶 ⊥ Mã 𝐶 được gọi là tự đối ngẫu nếu 𝐶 = 𝐶 ⊥
Trong quá trình truyền tải thông tin, "tiếng ồn" gây ra nhiễu không thể tránh khỏi, dẫn đến sự sai khác giữa mã ban đầu và mã nhận được Để xác định chính xác mã được truyền, các nhà khoa học đã đưa ra nhiều định nghĩa, bao gồm khoảng cách Hamming, khoảng cách thuần nhất, khoảng cách Lee và khoảng cách Euclid Bài viết này sẽ nhắc lại khái niệm về khoảng cách Hamming và tầm quan trọng của nó trong việc phân tích lỗi truyền tải thông tin.
1.2.4 Định nghĩa Cho 𝑅 là một vành giao hoán hữu hạn và 𝐶 là một mã có độ dài n trên vành 𝑅 Khi đó:
(i) Lượng Hamming (Hamming weight) của từ mã 𝑐, ký hiệu là 𝓌𝑡(𝑐) là số các thành phần khác 0 của 𝑐
(ii) Khoảng cách Hamming (Hamming distance) 𝑑(𝑐, 𝑐 ′ ) của hai từ mã 𝑐, 𝑐 ′ là số thành phần khác nhau giữa chúng hay chính là 𝓌𝑡(𝑐 − 𝑐 ′ )
Trong mã tuyến tính 𝐶, lượng Hamming và khoảng cách Hamming 𝑑(𝑐) là tương đương nhau, được xác định là lượng Hamming nhỏ nhất của các từ mã khác 0 trong 𝐶.
Kết luận Chương 1
Trong chương 1, em đã trình bày các vấn đề sau đây:
- Các khái niệm và tính chất cơ bản của vành, trường, iđêan, môđun, mối quan hệ giữa vành chuỗi giao hoán hữu hạn và vành iđêan chính, địa phương
- Các khái niệm về mã tuyến tính, từ mã, mã đối ngẫu.
Cấu trúc của mã negacyclic
2.1.1 Bổ đề Với bất kỳ số nguyên dương n, tồn tại đa thức ∝ 𝑛 (𝑥) ∈ ℤ[𝑥] mà (𝑥 + 1) 2 𝑛 = 𝑥 2 𝑛 + 1 + 2 ∝ 𝑛 (𝑥), và ∝ 𝑛 (𝑥) là khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚)
Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp trên n
Với 𝑛 = 1, (𝑥 + 1) 2 = 𝑥 2 + 1 + 2𝑥, 𝛼 1 (𝑥) = 𝑥 và rõ ràng là 𝛼 1 (𝑥) = 𝑥 là khả nghịch của ℛ(𝑎, 𝑚) Giả sử 𝑛 > 1 và kết luận đúng cho tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn n Tức là,
Với công thức 𝛼 𝑛 (𝑥) = 2𝛼 𝑛−1 2 (𝑥) + 𝑥 2(𝑛−1) + 2𝛼 𝑛−1 (𝑥) + 2𝑥 2(𝑛−1) 𝛼 𝑛−1 (𝑥), chúng ta có thể chứng minh rằng 𝛼 𝑛 (𝑥) là một phần tử khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚) Trong đó, x và 𝑥 2(𝑛−1) đều khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚) Với 2 là lũy linh trong ℛ(𝑎, 𝑚), ta có thể viết 𝛼 𝑛 (𝑥) dưới dạng 𝛼 𝑛 (𝑥) = 𝑥 2(𝑛−1) (1 + 𝑦), trong đó y cũng là lũy linh trong ℛ(𝑎, 𝑚) Nếu chọn k là một số nguyên lẻ mà 𝑦 𝑘 = 0, chúng ta sẽ có được kết quả mong muốn.
Nghĩa là 1 + 𝑦 khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚), do đó, 𝛼 𝑛 (𝑥) = 𝑥 2(𝑛−1) (1 + 𝑦) là khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚)
2.1.2 Mệnh đề Phần tử 𝑥 + 1 là lũy linh trong với chỉ số lũy linh 2 𝑠 𝑎
Theo Bổ đề 3.1, ta có (𝑥 + 1)²𝑠 = 𝑥²𝑠 + 1 + 2∝𝑠(𝑥), trong đó ∝𝑠(𝑥) là phần tử khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚) Từ đó, ta suy ra (𝑥 + 1)²𝑠 = 2∝𝑠(𝑥), dẫn đến chỉ số lũy thừa của 2 trong ℛ(𝑎, 𝑚) là a Như vậy, mệnh đề đã được chứng minh.
Xét trường hợp đặc biệt 𝑎 = 1, ta có 𝐺𝑅(2, 𝑚) = 𝐺𝐹(2 𝑚 ), mà Mệnh đề 3.1.2 ngụ ý rằng 𝑥 + 1 lũy linh trong ℛ(1, 𝑚) = 𝐺𝐹(2 𝑚 )[𝑥]
〈𝑥 2𝑠 +1〉 với chỉ số lũy linh 2 𝑠 Dễ thấy rằng
〈𝑥 + 1〉 là iđêan tối đại duy nhất trong ℛ(1, 𝑚) Ta có, ℛ(1, 𝑚) là vành chuỗi Bây giờ, ta chứng minh điều này đúng với mọi giá trị a
2.1.3 Mệnh đề Vành ℛ(𝑎, 𝑚) là vành chuỗi với iđêan tối đại 〈𝑥 + 1〉 trường thặng dư
Chứng minh rằng I là một iđêan trong ℛ(𝑎, 𝑚), và tập 𝐼 # gồm các phần tử của I được quy về modul 2 là một iđêan trong ℛ(1, 𝑚) ℛ(1, 𝑚) là vành chuỗi với iđêan tối đại 〈𝑥 + 1〉, có chỉ số lũy linh của 𝑥 + 1 là 2𝑠 Điều này chứng tỏ rằng
Vì thế, với mọi phần tử 𝑟(𝑥) ∈ 𝐼, tồn tại 𝛽(𝑥), 𝛾(𝑥)𝜖 ℛ(𝑎, 𝑚) mà
𝑟(𝑥) = (𝑥 + 1) 𝑖 𝛽(𝑥) + 2𝛾(𝑥) Từ Bổ đề 3.1.1, 2𝛾(𝑥) ∈ 〈(𝑥 + 1) 2 𝑠 〉, với I chứa các iđêan 〈(𝑥 + 1) 𝑖 〉 của ℛ(𝑎, 𝑚), 0 ≤ 𝑗 ≤ 2 𝑠 𝑎 Chọn k là phần tử lớn nhất trong các
Tồn tại 𝜃(𝑥) = (𝑥 + 1) 𝑘 𝜗(𝑥), với 𝜗(𝑥) thuộc ℛ(𝑎, 𝑚) và (𝑥 + 1, 𝜗(𝑥)) = 1 Do (𝑥 + 1) là bất khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚), nên 𝜗(𝑥) cũng phải khả nghịch trong ℛ(𝑎, 𝑚) Điều này dẫn đến (𝑥 + 1) 𝑘 = 𝜃(𝑥)[𝜗(𝑥)] −1 thuộc 𝐼, từ đó suy ra 𝐼 = 〈(𝑥 + 1) 𝑘 〉 Khi 𝐼 được chọn là một iđêan tùy ý trong ℛ(𝑎, 𝑚), điều này chứng tỏ rằng iđêan trong ℛ(𝑎, 𝑚) là
〈(𝑥 + 1) 𝑖 〉, 0 ≤ 𝑖 ≤ 2 𝑠 𝑎 Cho nên, ℛ(𝑎, 𝑚) là vành chuỗi với iđêan tối đại 〈𝑥 + 1〉 trường thặng dư GF(2 𝑚 )
2.1.4 Định lí Mã negacyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois GR(2 a , 𝑚) là chính xác
Chứng minh Vì mã negacyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois GR(2 a , 𝑚) là một iđêan trong ℛ(𝑎, 𝑚), kết quả này định lí dựa vào Mệnh đề 3.1.3
2.1.5 Chú thích Bổ đề 3.1.1 cho thấy rằng, trong ℛ(𝑎, 𝑚), 〈(𝑥 + 1) 2 𝑠 〉 = 〈2〉
Vì thế, mã negacyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois GR(2 a , 𝑚) có thể viết là
2.1.6 Định lí Cho C là một negacyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois GR(2 a , 𝑚) Khi đó, ta có định lí sau
(i) 𝐶 = 〈(𝑥 + 1) 𝑖 〉, 0 ≤ 𝑖 ≤ 2 𝑠 𝑎 và số lượng các từ mã trong C là |𝐶| = 2 𝑚(2 𝑠 𝑎−𝑖) (ii) Mã kép của C là 𝐶 ⊥ = 〈(𝑥 + 1) 2 𝑠 𝑎−𝑖 〉 và số lượng từ mã trong 𝐶 ⊥ là |𝐶 ⊥ | = 2 𝑚𝑖
Chứng minh rằng C là mã negacyclic có độ dài 2^s trên vành Galois GR(2^a, m) Theo Định lý 3.1.4, tồn tại số nguyên i ∈ {0, 1, …, 2^s a} sao cho C = 〈(x + 1)^i〉 Do đó, C là một iđêan trong ℛ(a, m) với |C| = 2^m(2^(s a−i)), điều này đã được chứng minh.
2 𝑚(2𝑠𝑎−𝑖) = 2 𝑚𝑖 Vì 𝐶 ⊥ cũng là một mã negacyclic, nên tồn tại
𝑗 ∈ {0,1, … 2 𝑠 𝑎} mà 𝐶 ⊥ = 〈(𝑥 + 1) 𝑗 〉 và |𝐶 ⊥ | = 2 𝑚(2 𝑠 𝑎−𝑗) Đặt 𝑖 = 2 𝑠 𝑎 − 𝑗, vì vậy, 𝐶 ⊥ = 〈(𝑥 + 1) 2 𝑠 𝑎−𝑖 〉.
Khoảng cách Hamming
2.2.1 Định lí.[6] Cho C là một negacyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois GR(2 a , 𝑚), tức là 𝐶 = 〈(𝑥 + 1) 𝑖 〉 ⊆ ℛ(𝑎, 𝑚), với 𝑖 ∈ {0, 1, … 2 𝑠 𝑎} Đặt 𝑑(𝐶) là kí hiệu khoảng cách Hamming của C Khi đó
2.2.2 Hệ quả Với 𝑠 = 2 Cho C là một mã negacyclic có độ dài 4 trong ℤ 2 𝑎 Khi đó,
2.2.3 Hệ quả Với 𝑠 = 3 Cho C là một mã negacyclic có độ dài 8 trong ℤ 2 𝑎 Khi đó,
2.2.4 Hệ quả Với 𝑠 = 4 Cho C là một mã negacyclic có độ dài 16 trong ℤ 4 Khi đó,
= 16 khi 𝑖 = 16𝑎 − 1 Để liệt kê tất cả các mã negacyclic có độ dài 16 trên ℤ 4 , em đã xây dựng bảng như sau: i Khai triển của mã Độ dài
Bảng 1 Các mã negacyclic có độ dài 16 trên ℤ 𝟒 , với kích thước và khoảng cách Hamming của chúng.
Tổng kết chương 2
Ở chương này, các kết quả được trình bày bao gồm:
- Cấu trúc mã negacyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois
- Khoảng cách Hamming, các hệ quả và bảng liệt kê cụ thể khai triển, kích thước và khoảng cách của loại mã này.
Tổng kết chương 3
Ở chương này, các kết quả đạt được bao gồm:
- Cấu trúc mã cyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 trên trường hữu hạn cùng hệ quả
- Cấu trúc và tích chất, hệ quả của mã negacyclic có độ dài 2𝑝 𝑠 trên trường hữu hạn
KẾT LUẬN CHUNG VÀ KIẾN NGHỊ
Bài nghiên cứu về lý thuyết mã cyclic và negacyclic Các kết quả được tổng quan trong bài khóa luận này như sau:
1 Chỉ ra các tính chất cơ bản của trường 𝔽 𝑝 𝑚 , phân loại các phần tử khả nghịch của nó; Tính toán các đại lượng như số lượng từ mã, mã đối ngẫu cùng điều kiện để tồn tại mã tự đối ngẫu, công thức xác định khoảng cách Hamming
2 Chỉ ra được cấu trúc của mã negacycyclic có độ dài 2 𝑠 trên vành Galois, khoảng cách Hamming và liệt kê các mã negacyclic có độ dài 16 trên ℤ 4
3 Chỉ ra các tính chất của mã negacyclic và cyclcic có độ dài 2𝑝 𝑠 trên trường hữu hạn 𝔽 𝑝 𝑚
Trong thời gian tới, em mong muốn tiếp tục nghiên cứu các vấn đề sau:
1 Nghiên cứu mã cyclic và negacyclic có độ dài 3𝑝 𝑠 trên trường 𝔽 𝑝 𝑚
2 Tiếp tục chỉ ra các tính chất của mã constacyclic và tính toán các đại lượng liên quan như khoảng cách Hamming, lượng Hamming
3 Tiếp tục nghiên cứu về điều kiện để mỗi mã tuyến tính là mã constacyclic nghiệm bội.