PHƯƠNG TRÌNH bậc 2 và ĐỊNH lí VI ét

CÁC NGHIỆM THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG

Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình ax 2  bx  c  0 a   0  có hai nghiệm (phân biệt) x , x thỏa 1 2 mãn một biểu thức đối xứng đối với x , x 1 2

Bước 1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x , x 1 2

• ax 2  bx  c  0 a   0 có hai nghiệm x , x 1 2    0    ' 0 

• ax 2  bx  c  0 a   0 có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2  0 > 0  ' 

Bước 2 Biến đổi biểu thức đối xứng đối với x , x về tổng 1 2 x 1  x 2 và tích x x 1 2

Bước 3 Sử dụng định lý Viet, ta có x 1 x 2 b

 a và thay vào biểu thức chứa tổng x 1  x 2 và tích

1 2 x x ở trên Giải ra m, đối chiếu điều kiện ở bước 1

Một số phép biến đổi thường gặp

• x 1 5  x 2 5 thì tính x 1 2  x 2 2 v xà 1 3  x 2 3 rồi xét tích x1 2  x2 2 x1 3  x2 3 .

• x  x thì tính x 1 3  x v x 2 3 à 1 4  x 2 4 rồi xét tích  x 1 3  x 2 3  x 1 4  x 2 4 

Ví dụ 1 Cho phương trình x 2  2  m  3  x m  2   3 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khi    0 6m    6 0 m 1    0 6m    6 0 m 1

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Vậy m2là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Cho phương trình x 2 2  m 3  x 2  m  1  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1, 2 x x sao cho biểu thức T x 1 2 x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Vậy 5 m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 Cho phương trình x 2  2  m  1  x  4 m m  2  0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

1, 2 x x sao cho biểu thức A x 1 x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Vậy 1 m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4 Cho phương trìnhx 2 mx 3 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn

Có ac   3 0 m do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 5 Cho phương trình x 2 mx2m 4 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1  x 2 3

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khi     0 m 4

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Vậy m1,m3 là giá trị cần tìm.

KẾT HỢP ĐỊNH LÝ VIÉT ĐỂ GIẢI CÁC NGHIỆM

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x 1 , x 2

ax 2  bx c   0  a  0  có hai nghiệm x 1 , x 2      0   0 

ax 2  bx c   0  a  0  có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2      0   0 

Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có 1 2 b x x

  a và biểu thức đã cho để tìm x 1 , x 2 theo m Bước 4:Thay x 1 , x 2 vừa tìm được vào 1 2 c x x a để giải m

Ví dụ 1 Cho phương trình x 2 4x m 2  1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 phân biệt thỏa mãnx 2  5x 1

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Thay x 1  1,x 2 5 vào 1 2 c x x  a  m 2 1 , ta được m 2    4 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Cho phương trình x 2 2  k 1  x 4 k 0 Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 phân biệt thỏa mãn3x 1 x 2 2

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khi k 1

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

Vậy k 0,k  4 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 Cho phương trình x 2 6x m  3 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 phân biệt thỏa mãnx 2 x 1 2

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 khi        0 6 m 0 m 6

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b x x

 Với x 1   3 x 2 9 thay vào x x 1 2     m 3 m 30(thỏa mãn)

 Với x 1  2 x 2 4 thay vào x x 1 2    m 3 m 5(thỏa mãn)

Vậy m 30;m5là giá trị cần tìm

Ví dụ 4 Cho phương trình x 2 3x m 2  1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt thỏa mãn

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có: x 1 x 2 3, x x 1 2  m 2 1

Kết hợp x 1 x 2 3được x 2 0, x 1 3 (thỏa mãn x 1 0, x 2 0)

Kết hợp x 1 x 2 3được x 2  6, x 1 9 (không thỏa mãn x 1 0, x 2 0)

Kết hợp x 1 x 2 3được x 2 0, x 1 3 (không thỏa mãn x 1 0, x 2 0)

Kết hợp x 1 x 2 3được x 2 2, x 1 1 (không thỏa mãn x 1 0, x 2 0)

Vậy m 1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 5 Cho phương trình x 2   m  3  x   5 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 là các số nguyên

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Cách 1: (Theo định lý Viét)

Theo định lý Viét, ta có: 1 2 b m 3, 1 2 c 5 x x x x a a

Vậy m7;m 1 là giá trị cần tìm

Cách 2: (Sử dụng  phải là số chính phương)

Do đó để x x 1 , 2  thì trước hết    m  3  2  20 phải là số chính phương

Màm    3 n m 3 n và tổng  m  3 n   m  3 n 2 m 6 chẵn và tích

 m   3 n m    3 n    20 chẵn nên m   3 n m ;   3 n phải cùng chẵn, do đó:

Vậy m7, m 1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 6 Cho phương trình x 2 20x m  5 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 là các số nguyên tố

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khi   ' 0 95   m 0 m 95

Theo định lý Viét, ta có: 1 2 b 20, 1 2 c 5 x x x x m a a

Từ x 1 x 2 20 và x x 1 , 2 là các số nguyên tố, suy ra:

Vậy m46,m86 là giá trị cần tìm.

GIẢI CÁC NGHIỆM DỰA VÀO   , ' LÀ BÌNH PHƯƠNG

Khi tính giá trị của  hoặc ' và nhận được bình phương của một biểu thức, chúng ta cần tìm cả hai nghiệm x1 và x2 Trong quá trình giải, cần lưu ý xét đến hai trường hợp khác nhau để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

Ví dụ 1 Cho phương trình x 2 2  m 1  x 4 m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn x 1  3x 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khi    ' 0  m  1  2    0 m 1

Vì   '  m  1  2 nên hai nghiệm của phương trình là

Trường hợp 1: Xét x 1 2,x 2 2m thay vào x 1  3x 2 ta được

Trường hợp 2: Xét x 1 2 ,m x 2 2 thay vào x 1  3x 2 ta được

3, 3 m  m  là giá trị cần tìm

Chú ý: Bài này ta có thể giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x x 1 , 2 như trong dạng 2

Ví dụ 2 Cho phương trình x 2 4x4a a 2 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt thỏa mãn

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khi    ' 0  a  1  2    0 a 2

Vì   '  a  2  2 nên hai nghiệm của phương trình là

Trường hợp 1: Xét x 1  a 4,x 2  a thay vào x 1 x 2 2 6 ta được

Trường hợp 2: Xét x 1  a x, 2  a 4 thay vào x 1 x 2 2 6 ta được

Vậy a 1,a5 là giá trị cần tìm

Chú ý: Bài này ta có thể giải theo cách kết hợp định lý Viét để giải x x 1 , 2 như trong dạng 2

Ví dụ 3 Cho phương trình x 2 (2m5)x2m 6 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt thỏa mãn x 1  x 2 7

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khi 0  2 7  2 0 7 m m 2

Phương trình có hai nghiệm là 2 5  2 7 

Trường hợp 1: Xét x 1 2m6, x 2  1 thay vào x 1  x 2 7 ta được

Trường hợp 2: Xétx 1  1, x 2 2m6 thay vào x 1  x 2 7 ta được

 Ta có thể lập luận: “ Từ x 1  x 2 7 ta thấy x x 1 , 2 có vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, ta giả sử x 1  1, x 2 2m6”

 Ta có thể giải bài này theo cách xét  x 1  x 2  2  x 1x 2  2 2x x 1 22 x x 1 2 rồi sử dụng định lý Viét

Ví dụ 4 Cho phương trình x 2 2mx m 2  4 0 Tìm m để cho phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2 thỏa mãn

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x m 2 Điều kiện: x 1 0,x 2       0 m 2 0 m 2

Trường hợp 1: Xét x 1  m 2, x 2  m 2 thay vào

Trường hợp 2: Xét x 1  m 2, x 2  m 2 thay vào

Vậy m0; 4; 2 2 3 là giá trị cần tìm

DẠNG 4: TÍNH x 1 2 THEO x 1 VÀ x 2 2 THEO x 2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax 2 bx c

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x x 1, 2

+ ax 2 bx 1  c 0 (a0) có hai nghiệm x x 1 , 2   0 ( ' 0)

+ ax 2 bx c 0(a0) có hai nghiêm phân biệt x 1 ,x 2   0 ( ' 0)

Bước 2: Sử dụng x 1 ,x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0 nên

0 0 ax bx c ax bx c ax bx c ax bx c

Ví dụ 1 Cho phương trình x 2 mx 8 0 Chứng minh với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x 1, 2 và giá trị của biểu thức

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1, 2 phân biệt với mọi m

Theo định lý Viét, ta có 1 2 c 8 0 1 0, 2 0 x x x x

Do x x 1, 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 mx 8 0 nên

Không phụ thuộc vào m (đpcm)

Ví dụ 2 Cho phương trình x 2 2x m  1 0 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn 1 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khi '      0 2 m 0 m 2

Do x x 1 , 2 là hai nghiệm của phương trình x 2 2x m  1 0 nên

Theo định lý Viet, ta có 1 2 b 2 x x

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 Cho phương trình x 2 2mx2m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 sao cho 1 2

   đạt giá trị nhỏ nhất

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi   ' 0 (m1) 2    0 m 1

Do x 1 là nghiệm của phương trình x 2 2mx2m 1 0nên x 1 2 2mx 1 2m  1 0 x 1 2  2mx 1 2m1

Theo định lý Viet, ta có 1 2 b 2 , 1 2 c 2 1 x x m x x m a a

TÍNH x 1 2 THEO x 1 VÀ x 2 2 THEO x 2 DỰA VÀO PHƯƠNG TRÌNH ax 2  bx c

HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ VIÉT

Cho phương trình ax 2 bx c 0 (a0) có hai nghiệm x x 1 , 2 Định lý Viet: 1 2 a, 1 2 c x x x x b a

Hệ quả 1 Nếu x1 là nghiệm của phương trình thì a.1 2 b.1 c 0 hay a b c  0

Ngược lại, nếu a b c  0 thì x1 là một nghiệm, nghiệm còn lại là c x a

Hệ quả 2 Nếu x 1 là một nghiệm của phương trình thì a.( 1) 2 b.( 1)  c 0 hay a b c  0

Ngược lại, nếu a b c  0 thì x 1 là một nghiệm,nghiệm còn lại là c x a

Hệ quả 3 Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng thời hai nghiệm luôn trái dấu nhau

Hệ quả 4 Điều kiện để x 1 0, x 2 0 (cả hai nghiệm đều dương) là

Hệ quả 5 Điều kiện để x 1 0, x 2 0 (cả hainghiệm đều âm) là

Hệ quả 6 Điều kiện để x 1  0 x 2 (cả hai nghiệm trái dấu ) là x x 1 2 0 hay a và c trái dấu.

DẠNG TOÁN CÓ THÊM ĐIỀU KIỆN PHỤ

Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0

Nếu có x 1 , x 2 ta cần thêm diều kiện phụ là 1 2 1 2

Nếu x x 1 , 2 là độ dài hai cạnh đa giác ta cần thêm diều kiện phụ là: 1 2 1 2

Ví dụ 1 Cho phương trình x 2 2mx  m 1 0 Tìm m đề phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn x 1  x 2 2

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt với mọi m

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b 2 , 1 2 c 1 x x m x x m a a

       Để tồn tại x 1 ; x 2 ta cần có x 1 0;x 2 0 1 2

Có x 1 x 2  2  x 1x 2 2 x x 1 2  4 m  1 2 m Điều kiện để có bình phương hai vế của m  1 2 mlà 1 m 2

Kết hợp các điều kiện ta được 5 5 m 2

 là giá trị cần tìm

Chú ý: bài này ta càn lưu ý điều kiện 1 m 2 trong quá trình giải

Ví dụ 2 Cho phương trình x 2  2 m 5  x 2 m  1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 mà biểu thức M  x 1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt với mọi m

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b 2 5, 1 2 c 2 1 x x m x x m a a

        Để tồn tại x 1 ; x 2 ta cần có x 1 0;x 2 0 1 2

       Vậy minM  3 khi 2m   1 1 m 0 (thỏa mãn)

Ví dụ 3 Cho phương trình x 2 5x  m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 sao cho

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi 29

Theo định lý Viét ta có 1 2 b 5, 1 2 c 1 x x x x m a a

       Điệu kiện để bình phương hai vế của 2x 1  x 2 là x 1 0,x 2 0 1 2

Khi đó 2x 1  x 2 x 2 4x 1 2 thay vào x 1 x 2 5 ta được

Với x 1  1 x 2 4 thay vào x x 1 2  m 1 ta được 1.4   m 1 m 5 (thỏa mãn)

Vậy m5 là gái trị cần tìm

Chú ý: Bài này ta cần lưu ý điều kiện x 1 0,x 2 0 trong quá trình giải

Cho phương trình x^2 - (m + 5)x + 3m - 6 = 0, tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Hai nghiệm này là độ dài của hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, với độ dài cạnh huyền bằng 5.

Phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt khi    0  m  1  2    0 m 1

Theo định ký Viét, ta có 1 2 b 5, 1 2 c 3 6 x x m x x m a a

Do x x 1 , 2 là độ dài hai cạnh của một tam giác nên x 1 0,x 2 0

Do độ dài cạnh huyền bằng 5 nên x 1 2 x 2 2 25 x 1x 2  2 2x x 1 2 25

Vậy m2 là giá trị cần tìm

Chú ý: Bài này ta cần lưu ý đến điều kiện m 2 trong quá trình giải

Ví dụ 5 Cho phương trình x 2   m  2  x    m 3 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân

Phương trình có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt khi    0  m  4  2    0 m 4

Theo định ký Viét, ta có 1 2 b 2, 1 2 c 3 x x m x x m a a

Do x x 1 , 2 là độ dài hai cạnh của một tam giác nên x 1 0,x 2 0 1 2

Vì    m  4  2 nên hai nghiệm của phương trình là 2  4 

Trong một tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông không thể có độ dài khác nhau, tức là x₁ không thể bằng x₂ Nếu giả sử x₁ là độ dài cạnh huyền và x₂ là độ dài một trong hai cạnh góc vuông, theo định lý Pytago, ta có công thức x₁² = x₂² + x₂², từ đó suy ra x₁ = √2 * x₂.

Trường hợp 1 Xét x 1 1,x 2  m 3, thay vào x 1  2x 2 ta được

Trường hợp 2 Xét x 1  m 3,x 2 1 thay vào x 1  2x 2 ta được

2 m  m  là giá trị cần tìm

Chú ý: ta có thể nhận xét a  b c 0 để được hai nghiệm của phương trình   * là x  1, x   m 3

SO SÁNH NGHIỆM VỚI SỐ 0 VÀ SỐ 𝜶

Cho phương trình ax 2  bx   c 0  a  0  có hai nghiệm x x 1 , 2

Ví dụ 1 Cho phương trình x 2   m  2  x    m 4 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn x 1  0 x 2

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt với mọi m

Trường hợp 1: Xét riêng x 2 0, thay vào phương trình đã cho ta được

Thay m 4 vào phương trình đã cho ta được

Trường hợp 2: Xét x 1  0 x 2 a và c trái dấu

       Vậy m 4 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Cho phương trình x 2   m  2  x    m 5 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thỏa mãn x 1  0 x 2

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt với mọi m

Trường hợp 1: Xét riêng x 1 0, thay vào phương trình đã cho ta được

Thay m5 vào phương trình đã cho ta được x 2 3x  0 x 0,x   3 x 1 0,x 2  3 (loại)

Trường hợp 2: xét x 1  0 x 2 a và c trái dấu  1 (m   5) 0 m 5 Vậy m5 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 Cho phương trình x 2 2mx4m 4 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 thoả mãn x 1 2, x 2 2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2 khi     0  m  2  2    0 m 2

Cách 1: (sử dụng định lí viét)

Theo định lý viét ta có: 1 2 b 2 , 1 2 c 4 4 x x m x x m a a

Kết hợp với m2 ta được m0;m2 là giá trị cần tìm

Do  '  m 2  2 nên hai nghiệm của phương trình đã cho là x  m (m   2) x 2,x 2m2

Kết hợp với m2 ta được m0;m2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4 Cho phương trình x 2 (m3)x m  1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thoả mãn

Do phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt với mọi m

Theo định lý viét, ta có 1 2 b 3; 1 2 c 1 x x m x x m a a

Vậy: 23 m 10 là giá trị cần tìm.

ĐẶT ẨN PHỤ

TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG TIẾP XÚC PARABOL, TÌM TỌA ĐỘ TIẾP ĐIỂM

Giả sử đường thẳng là d y: mxn và parabol là   P : y ax  2  a  0 

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P

Bước 2 Lập luận: d tiếp xúc với   P  Phương trình (*) có nghiệm kép Δ 0 (hoặc   0) thì tìm được tham số

Bước 3 Thay giá trị tham số tìm được vào phương trình  * ta tìm được x, thay x vừa tìm vào yax 2 hoặc ymx n thì tìm được y và kết luận

Ví dụ 1 Cho parabol   P : y  x 2 và đường thẳng d y :  2  m  3  x m  2  3 Tìm m để d tiếp xúc với   P

Khi đó hãy tìm tọa độ tiếp điểm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P :

Có Δ       m  3    2  1  m 2   3  6 m  6. Để d tiếp xúc với   P  Phương trình (*) có nghiệm kép

Vậy m 1 thì d tiếp xúc với   P và tọa độ tiếp điểm là M   2; 4

Cho parabol \( P: y = x^2 \) và đường thẳng \( d: y = 2x + 3 \) Đầu tiên, cần xác định tọa độ giao điểm A và B của đường thẳng và parabol, trong đó A là điểm có hoành độ âm Sau đó, vẽ cả hai đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ Tiếp theo, tìm tọa độ điểm C nằm trên cung AB sao cho diện tích tam giác \( \Delta ABC \) đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P :

      Vậy tọa độ các giao điểm của d và   P là A   1;1 ,    B 3;9

*yx 2 x 2 1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 b) Có A   1;1 ,    B 3;9 cố định nên độ dài đoạn thẳng AB không đổi, do đó S ΔABC lớn nhất khi khoảng cách từ

C đến đường thẳng d lớn nhất, khi đó C là tiếp điểm của đường thẳng d 1 / /d và d 1 tiếp xúc   P

Gọi phương trình đường thẳng d y 1 : ax b

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d 1 và   P :

2 2 0 x  x b x  x b  (*) có Δ      1 2  1      b b 1 d 1 tiếp xúc với   P có nghiệm kép Δ0  b 1 (thỏa mãn)

Vậy C   1;1 là điểm cần tìm.

TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A B , THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI x A VÀ x B

THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI x A VÀ x B

Giả sử đường thẳng d y: mxn và parabol là   P : y  ax 2  a  0 

Bước 1 Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P

Bước 2 Tìm điều kiện để d cắt   P tại hai điểm phân biệt A và B

Phương trình  * có hai nghiệm phân biệt  Δ 0 (hoặc Δ 0)

Bước 3 Biến đổi biểu thức đối xứng với x x A , B về x A x x x B ; A B rồi sử dụng định lý Viét với x x A , B là hai nghiệm của phương trình (*)

Một số điều kiện và phép biến đổi cần nhớ

 Hai điểm A và B nằm bên phải trục Oy khi x x A , B cùng dương

 Hai điểm A và B nằm bên trái trục Oy khi x x A , B cùng âm

 Hai điểm A và B nằm cùng một phía trục Oy khi x x A , B cùng dấu

 Hải điểm A và B nằm về hai phía trục Oy khi x x A , B trái dấu

 Công thức tính y A theo x A và tính y B theo x B

Cách 1 Tính theo   P : vì A B ,    P : y  ax 2 nên y A ax 2 A ; y B ax B 2

Cách 2 Tính theo d: vì A B, d y: mxn nên y A mx A n y; B mx B n

 Gặp x 1 , x 2 thì cần thêm điều kiện phụ x 1 0;x 2  0

 Gặp x x 1 , 2 là độ dài hai cạnh tam giác ta cần thêm điều kiện phụ 1 2 1 2

 Nếu bình phương hai vế ta cần thêm điều kiện phụ là hai vế lớn hơn hoặc bằng 0.

Ví dụ 1 Cho parabol   P : y  x 2 và đường thẳng d y :  2  m  1  x  2 m  4 Tìm m để d cắt   P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x 1 , 2 sao cho biểu thức Ax 1 2 x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Phương trình hoành độ giao điểm của   P và d là

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x 1 , 2 phân biệt với mọi m

Theo định lý Viét, ta có: 1 2 b 2 2; 1 2 c 2 4 x x m x x m a a

Cho parabol P: y = -x² và đường thẳng d đi qua điểm I(0; 1) với hệ số góc k Đầu tiên, ta viết phương trình của đường thẳng d theo k Tiếp theo, cần chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol P tại hai điểm A và B phân biệt, nằm ở hai phía của trục Oy Gọi hoành độ của các điểm A và B lần lượt là x₁ và x₂, ta cần chứng minh rằng x₁ - x₂ ≥ 2 Cuối cùng, giả sử x₁ < x₂, ta tìm giá trị m để đảm bảo rằng x₁ > x₂.

Lời giải a) Gọi phương trình d là: y  ax b   a 0 

Vì d có hệ số góc k nên ak

Vậy phương trình d là: ykx1 b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P :

Có   k 2  4.1     1 k 2    4 0 k nên   * luôn có hai nghiệm phân biệt

Do đó d luôn cắt   P tại hai điể A, B phân biệt

Theo định lý Viét, ta có A B b ; A B c 1 x x k x x a a

Vậy A, B thuộc hai phía Oy c) Xét x 1x 2 2  x 1x 2   2  x 1x 2  2 4x x 1 2

1 2 4 1 4 4 1 2 2 x x  k   k    x x  đpcm d) Cách 1 : (Xét dấu của x x 1 , 2 )

Do x 1 x 2 và x x 1 , 2 trái dấu nên x 1 0, x 2 0

Vậy k 0 là giá trị cần tìm

Ví dụ 3 Cho Parabol   P : y  x 2 và d y :  mx m   1 Tìm m để   P và d cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x 1 , 2 thỏa mãn x 1  x 2 4

Phương trình hoành độ giao điểm của d và   P là:

Có      m 2  4.1  m   1  m 2  4 m   4  m  2  2 d cắt   P tại hai điểm phân biệt  Phương trình   * có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b ; 1 2 c 1 x x m x x m a a

Vậy m 1,m5 là giá trị cần tìm

Chú ý : Ta có thể giải theo cách chỉ ra hai nghiệm của   * là x  1, x   m 1 dựa vào  là bình phương hoặc dựa vào nhận xét a b c  0.

Cho hàm số P: y = x² và đường thẳng dy = 2(m - 1)x - 3 Tìm giá trị của m để đường thẳng dy cắt hàm số P tại hai điểm phân biệt x₁ và x₂, sao cho độ dài hai cạnh của hình chữ nhật có đường chéo bằng 10.

Phương trình hoành độ giao điểm của d và   P là:

Có        m  1    2  1 2  m   3   m  1  2  2 m   3 m 2  4 m   4  m  2  2 d cắt   P tại hai điểm phân biệt  phương trình   * có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có: 1 2 b 2 2; 1 2 c 2 3 x x m x x m a a

Do x x 1 , 2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật nên x 1 0, x 2 0

Do x 1 x 2 và hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 nên theo định lý Pytago ta có:

Vậy m3 là giá trị cần tìm

 Bài này ta cần lưu ý điều kiện 3 m 2 trong quá trình giải

 Ta có thể giải theo cách chỉ ra hai nghiệm của   * là x  1; x  2 m  3 dựa vào   là bình phương hoặc dựa vào nhận xét a b c  0.

TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARABOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B THỎA MÃN MỘT BIỂU THỨC KHÔNG ĐỐI XỨNG ĐỐI VỚI X A VÀ X B

Cách 1 Kết hợp điều kiện của bài toán với x 1 x 2 b

  a để giải x x 1 , 2 theo tham số rồi thay x x 1 , 2 vừa giải được vào x x 1 2 c

Cách 2 Nếu tính  hoặc  mà ra một biểu thức bình phương thì ta tìm hai nghiệm đó và phải xét hai trường hợp:

Ví dụ 1 Cho Parabol   P : y  x 2 và đường thẳng d y: mx m 1 Tìm m để d cắt   P tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x 1 , 2 thỏa mãn 2x 1 3x 2 5

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và   P :

D cắt   P tại hai điểm phân biệt  phương trình   * có hai nghiệm phân biệt

Cách 1 (Giải x x 1 , 2 dựa vào định lý Viét)

Theo định lý Viét ta có: 1 2 b , 1 2 c 1 x x m x x m a a

Cách 2: (Giải x1, x2 dựa vào  là bình phương)

Do    m  2  2 nên hai nghiệm của phương trình (*) là

Trường hợp 1: Xét x1 =-1, x2 = m+1, thay vào 2x1 - 3x2 =5 ta được 2 3  1  5 10 m m 3

Trường hợp 2: Xét x1 = m+1, x2 = -1, thay vào 2x1 - 3x2 =5 ta được 2  m   1  3       1 5 m 0 (thỏa mãn)

0, 3 m m  là giá trị cần tìm

Chú ý: Ta có thể nhận xét a - b +c =0 để được hai nghiệm của phương trình (*) là x =-1, x =m+1

Ví dụ 2: Chp parabol (P): y =x 2 và đường tròn d: y =2(m+1) + 3 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn 2 x 1  x 2 5

Xét phương trình hoành độ của d và (P): x 2 = 2(m+1)x + 3  x 2 -2 (m+1)x -3 =0 (*)

Có       m    1   2 1      3 m  1  2    3 0 m nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2, do đó d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b 2 2, x 1 2 c 3 x x m x a a

  là các giá trị cần tìm

Ví dụ 3: Cho parabol (P): y =x 2 và đường thẳng d: y = -4x +m 2 - 4 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x 2 x 1 3 4x 1 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Có    2 2   1  m 2  4   m 2 d cắt (P) tại hai điểm phân biệt  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có 1 2 b 4, 1 2 c 2 4 x x x x m a a

Cách 1: (Giải dựa vào định lí Viét)

Cách 2 (Giải x1, x2 dựa vào  là bình phương)

Do   m 2 nên hai nghiệm của phương trình (*) là x= -2  m

Trường hợp 1: Xét x 1   2 m x, 2   2 m, thay vào x 2 x 1 3 4x 1 2 ta được

Trường hợp 2: Xét x 1   2 m x, 2   2 m, thay vào x 2 x 1 3 4x 1 2 ta được

Vậy m 2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho parabol (P): y=x 2 và đường thẳng d: y = (2m-1)x -m 2 +m Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa mãn x 1  2x 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Do đó (*) luôn có hai nghiệm phân biệt nên d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Có  1 nên hai nghiệm của (*) là 2 1 1

2 x m   x m x m Để tồn tại x 1 , 2x 2 ta cần có 1 2 0

Trường hợp 1: Xét x1 = m, x2 =m -1 thay vào x1 =2x2 ta được m= 2(m-1)  m =2 (thỏa mãn)

Trường hợp 2: Xét x1 = m-1, x2 =m thay vào x1 =2x2 ta được m -1 = 2m  m = -1 (loại )

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm

Chú ý: Bài này ta cần lưu ý điều kiện m ≥ 1 trong quá trình giải

VD5 Cho parabol (P): yx 2 và đường thẳng d : y   m 3 x m 4     Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x , x 1 2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông cân

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

           d cắt (P) tại hai điểm phân biệt  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có x x m 3, x x m 4 a a

Do x , x 1 2 là độ dài hai cạnh của một tam giác nên x > 0, x 1 2 0

Vì  = (m5) 2 nên hai nghiệm của phương trình (*) là

Trong tam giác vuông cân, độ dài của hai cạnh góc vuông không thể bằng nhau Giả sử x1 là độ dài của cạnh huyền và x2 là độ dài của cạnh góc vuông, theo định lý Pythagore, ta có mối quan hệ giữa các cạnh trong tam giác này.

Trường hợp 1: Xét x =1,x 1 2  m 4, Thay vào x = 2 x ta được 1 2

Trường hợp 2: Xét x = m - 4, x 1 2 1, thay vào x = 2x ta được 1 2 m - 4 = 2.1 m 2(m 4) (thỏa mãn)

Vậy m 1 4 , m 2(m 4) là giá trị cần tìm

Chú ý: Ta có thể nhận xét a  b c 0 để được hai nghiệm của phương trình (*) là x1, x m 4.

TÌM THAM SỐ ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG CẮT PARAPOL TẠI HAI ĐIỂM PHÂN BIỆT A, B LIÊN QUAN ĐẾN TUNG ĐỘ A, B

Dạng này ta cần tính y A theo x A và tính y B theo x B theo một trong hai cách:

Cỏch 1: Tớnh theo (P): Vì A,B (P): y = ax nên y = ax , y = ax 2 A 2 A B 2 B

Cỏch 2: Tớnh theo d: Vì A,B d : ymxn nên y A mx A n, y B mx B n

Ví dụ 1: Cho paraboara (P) : y = x 2 và đường thẳng d: y= 2mx - m 2  m 1 Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x :y ), B(x ;y ) 1 1 2 2 thỏa mãn y + y + 2x + 2x = 22 1 2 1 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của dvà (P):

    dcắt (P) tại hai điểm phõn biệt  Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lý Viét, ta có x +x = - 2m, x x m -m-1 a   a

Vậy m=2 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Cho parabol (P): y=x 2 và đường thẳng d : y 2m 1 x 2m    Tìm m để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A x y  1, 1  ; b x y 2, 2  Sao cho biểu thức T  y 1 y 2 x x 1 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Có     (2 m  1)  2  4.1.2 m  (2 m  1) 2  8 m  (2 m  1) 2 d cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí Vi-et ta có x +x = - 1 2 b 2m 1, x x = 1 2 c 2m a   a 

Vậy MinT = khi 2m - 0 m (thỏa mãn)

Ví dụ 3: Cho parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng d: y= 2mx - m 2 1 Tìm mđể d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x :y ), B(x ;y ) 1 1 2 2 thỏa mãn y - y > 4 1 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Có = -m  '   2  1.(m 2     1) 1 0 m,do đó Phương trình (*) luôn có hai nghiệm x ,x 1 2 phân biệt nên d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

Do   ' 1nên hai nghiệm của (*) là x = m 1 x = m - 1, x = m + 1

Vậy m > 1 hoặc m < -1 là giá trị cần tìm

Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = - x 2 và đường thẳng d: y = 2x + m 1. Tìm mđể d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x :y ), B(x ;y ) 1 1 2 2 mà x y - x y - x x = -4 1 1 2 2 1 2

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):

Có   ' 1 2 1.(m 1)  2 m d cắt (P) tại hai điểm phân biệt Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Theo định lí vi-et ta có: x +x = 1 2 b 2, x x 1 2 c m 1 a a

Vậy 7 m 4 là giá trị cần tìm.

BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH

HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET

Bài 1 Cho phương trình x 2 – 2mx + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn

Bài 2 Cho phương trình x 2 – (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 mà biểu thức M  x 1  x 2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3 Cho phương trình x 2 – 5x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho

Bài 4 Cho phương trình x 2 – (m + 5)x + 3m + 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 :

+ Là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

+ Là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân

Bài 5 Cho phương trình x 2 + (m + 2)x – m – 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 < 0 ≤ x2

Bài 6 Cho phương trình x 2 + (m – 2)x + m – 5 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 ≤ 0 < x2

Bài 7 Cho phương trình x 2 + 2mx + 4m – 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1