Một số khái niệm
Một hệ ẩn của các phương trình vi phân cấp 1 trên một đa tạp trơn n chiều được xác định bởi cấp 0, được gọi là mặt hệ của một ánh xạ trơn F từ chùm tiếp xúc của đa tạp này đến không gian Đề-các n chiều.
Trong các tọa độ địa phương x = (x₁, , xₙ) gần một điểm trên đa tạp, một hệ có thể được diễn đạt dưới dạng chuẩn F(x,x) = 0 Định nghĩa 1.1.2 chỉ ra rằng một hệ ẩn có các đạo hàm bị chặn địa phương nếu sự hạn chế của phép chiếu chùm đến mặt hệ là một ánh xạ riêng, và sự hạn chế này được gọi là sự gấp hệ.
Trong luận văn này, chúng tôi chỉ xem xét các hệ thống có đạo hàm bị chặn địa phương Đồng thời, chúng tôi đồng nhất không gian của những hệ thống này với không gian của các ánh xạ F tương ứng.
Hệ đủ tổng quát là một hệ được hình thành từ các tập con mở trù mật trong không gian của những hệ có đạo hàm bị chặn địa phương với Topo mịn Whitney Một ánh xạ khả vi x: t7→ x(t) từ một khoảng của đường thẳng thực đến đa tạp cơ sở, với ảnh của nó (x(t), x˙(t)) đến chùm tiếp xúc thuộc bề mặt hệ, được gọi là đường cong Đường cong pha là kết quả của ánh xạ khả vi x(t), trong khi quỹ đạo là ảnh của lực nâng ánh xạ đó Hệ 1−gấp là sự thu hẹp của phép xạ ảnh của chùm tiếp xúc tới mặt hệ Cuối cùng, một hệ ẩn được gọi là dạng Clairaut nếu mặt hệ là trơn và tại mỗi điểm tới hạn của sự gấp hệ, vận tốc tương ứng khác 0 và nằm trong ảnh của không gian tiếp xúc đến mặt hệ theo đạo hàm của sự gấp, tương tự như các phương trình Clairaut cổ điển.
Bằng cách giảm bớt điều kiện, bất kỳ hệ ẩn dạng Clairaut nào có thể được chuyển đổi về hệ dạng Clairaut thông qua phép chiếu các quỹ đạo trơn đến các đường cong nghiệm không kì dị Theo định nghĩa 1.1.6, đối với ánh xạ F tổng quát, khi F(x,x) = 0 và x˙ 6= 0, hệ thống có thể được chiếu đến phương trình vi phân ẩn cấp 1.
Với {F = 0} → P TR 2 = 3 thì xuất hiện ô Whitney.
Các dạng chuẩn tắc của phương trình vi phân ẩn trên ô Whitney:
2 Dạng phương trình: dx dy
Các điểm kì dị đơn giản
Điểm nút ổn định, điểm nút không ổn định, điểm yên ngựa
Các nghiệm của phương trình (1.4) là thực và khác nhau, dẫn đến ba trường hợp khác nhau Trường hợp đầu tiên xảy ra khi k1 < 0 và k2 < 0, lúc này điểm kỳ dị sẽ ổn định tiệm cận, tức là điểm nút ổn định (Hình 1.1a).
Hình 1.1: ii k 1 > 0;k 2 > 0 Điểm cân bằng sẽ không ổn định (điểm nút không ổn định, Hình 1.1b). iii k 1 > 0;k 2 < 0 Điểm cân bằng không ổn định (điểm yên ngựa, Hình1.2a).
Tiêu điểm ổn định, tiêu điểm không ổn định, tâm điểm
Các nghiệm của phương trình (1.4) là số phức, với k1 = p + qi và k2 = p - qi, dẫn đến ba trường hợp khác nhau Thứ nhất, khi p < 0 và q ≠ 0, điểm cân bằng ổn định tiệm cận được hình thành (tiêu điểm ổn định, như thể hiện trong Hình 1.2b) Thứ hai, khi p > 0 và q ≠ 0, điểm cân bằng trở nên không ổn định (tiêu điểm không ổn định, theo Hình 1.3a).
Hình 1.3: iii p = 0;q 6= 0 Điểm cân bằng là ổn định, nhưng không ổn định tiệm cận (tâm điểm, Hình 1.3b).
Điểm nút (suy biến) ổn định, điểm nút (suy biến) không ổn định
Phương trình (1.4) có nghiệm kép với hai trường hợp chính: Thứ nhất, khi k1 = k2 < 0, điểm cân bằng ổn định xuất hiện trên tiệm cận, được thể hiện qua hình 1.4a-b Thứ hai, khi k1 = k2 > 0, điểm cân bằng trở nên không ổn định, như minh họa trong hình 1.4c.
Nếu cả hai nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) có phần thực âm, điểm cân bằng sẽ ổn định tiệm cận Ngược lại, nếu ít nhất một nghiệm có phần thực dương, điểm cân bằng sẽ không ổn định.
2 Những kết luận tương tự cũng đúng với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng dxi dt n
3 Để ngắn gọn đôi khi viết x˙ (y,˙ z, ) thay cho˙ dx dt (dy dt,dz dt, ).
Phôi và điểm kì dị
Hai đối tượng có tính chất tương đồng, như các tập hợp, trường véctơ, họ đường cong hay phép ánh xạ, được xem là tương đương tại một điểm nếu chúng trùng nhau trong một lân cận của điểm đó.
Lớp tương đương của một đối tượng tại một điểm được gọi là phôi của nó tại điểm đó.
Ví dụ 1.3.2 Các hàm số một biến g 1 (x) = x và g 2 (x) = x+ |x|
Mỗi điểm trên nửa trục x dương đều có một phôi chung, trong khi các điểm khác có những phôi khác nhau Theo định nghĩa 1.3.3, hai phôi có tính chất tương tự được gọi là phép.
C k −vi đồng phôi xảy ra khi tồn tại một phôi cho phép dịch chuyển từ phôi thứ nhất sang phôi thứ hai Các phôi thuộc phép C k −vi đồng phôi được gọi là điểm C k −kì dị, hay còn gọi là kì dị.
Một phép C k−vi đồng phôi là ánh xạ một-một, trong đó cả phép biến đổi và nghịch đảo của nó đều khả vi k lần Trong khi đó, phép C 0−vi đồng phôi được định nghĩa là phép đồng phôi.
Ví dụ 1.3.5 Tập hợp y = x 2 −1 trong mặt phẳng có điểm kì dị như nhau tại các điểm (−1,0)và (1,0)trùng với điểm kì dị của tập hợp y = |x| tại O (Hình 1.5).
Hai sự biến dạng phôi được coi là tương đương trơn nếu chúng tạo thành một trong các phép vi đồng phôi trơn khác Sự biến dạng phôi của phương trình vi phân ẩn được gọi là quy nạp từ phôi khác khi phôi đầu tiên từ các phôi nhận được ánh xạ trơn của phôi cơ sở trong phôi cơ sở thứ hai.
Các dạng chuẩn tắc
Các ánh xạ đối hợp tốt
Một trường hướng trên một mặt được gọi là trơn nếu trong lân cận của mỗi điểm trên mặt, nó có thể được biểu diễn bởi một phương trình vi phân trơn dạng a(u,w)du + b(u,w)dw = 0, trong đó u và w là các tọa độ địa phương.
Các điểm mà ở đó các hệ số a và b đồng thời triệt tiêu được gọi là các điểm kì dị của trường hướng.
Trường hướng được coi là không suy biến khi có thể chọn các hàm số a và b sao cho mỗi giá trị riêng của sự tuyến tính hóa trường véctơ (−b, a) tại điểm đó đều khác 0 và tỉ số giữa các giá trị riêng không bằng ±1 Các hướng tương ứng với các véctơ riêng sẽ được gọi là các hướng riêng của trường hướng.
Cho v là một trường hướng có điểm kỳ dị không suy biến tại O Tại ánh xạ đối hợp, một đường của các điểm cố định đi qua O được gọi là tương thích với trường v nếu và chỉ nếu các hướng của trường và ảnh của nó dưới ánh xạ đối hợp trùng nhau trên đường thẳng này Định nghĩa 1.4.1: Một ánh xạ đối hợp tương ứng với trường v được gọi là v−tốt nếu các hướng riêng của trường v và đạo hàm của ánh xạ đối hợp tại O là riêng biệt từng đôi.
Giả sử x và p là các tọa độ trên mặt của phương trình 2y = p² + χx², với 0 < χ < 1/4 O là một điểm kì dị không suy biến trong trường hướng v của phương trình Ánh xạ đối hợp (x, p) 7→ (x,−p) của mặt này được coi là v−tốt.
Hai đối tượng, bao gồm các phôi của phép đối hợp, các đường cong và các hướng tại điểm, được gọi là tương đương dọc trường v hoặc v−tương đương nếu chúng có thể biến đổi thành nhau thông qua một phép C ∞ −vi đồng phôi của mặt phẳng Điều kiện cần thiết là mỗi đường cong tích phân của trường phải ánh xạ vào chính nó.
Bổ đề 1.4.3 Trường véctơ h là trường của sự biến dạng vi phân của phép đối hợp σ nếu và chỉ nếu σ ∗ h = −h.
Bổ đề 1.4.4 nêu rõ rằng nếu g là biến dạng của phép biến đổi đồng nhất với vận tốc h, thì phép đối hợp biến dạng sẽ có vận tốc h−σ ∗ h, trong trường hợp phép vi đồng phôi g đối hợp σ dẫn đến phép đối hợp ghg −1.
Bổ đề 1.4.5 Các phôi của hai phép đối hợp v−tốt tại O với một và chỉ một đường của các điểm cố định là các v−tương đương.
Chứng minh Cho σ 1 và σ 2 là các đối hợp v−tốt có một đường của các điểm cố định Lấy hàm số trơn ϕ, ϕ(0) = 0, có đạo hàm khác không tại
Các phép đối hợp σ1 và σ2 có dạng σ1: (x, y) 7→(x,−y) và σ2: (x, y) 7→(x+y 2 r(x, y),−y +y 2 s(x, y)), với r và s là các hàm số trơn, có một đường duy nhất của các điểm cố định Đạo hàm của các phép đối hợp này giống nhau trên đường của các điểm cố định khi x và y nhỏ, và cả hai đều là v− tốt Từ đó, tồn tại tọa độ ξ = x + y 2 R(x, y) và η = y+y 2 S(x, y), với R và S là các hàm số trơn, dẫn đến phép đối hợp có dạng σ2: (ξ, η) 7→ (ξ,−η).
Xét sự biến dạng trơn γ t : (ξ t , η t ) 7→(ξ t ,−η t ) địa phương trong lân cận
O của đối hợp σ 1 trong σ 2 với ξ t = x+ty 2 R(x, y), η t = y+ty 2 S(x, y) Ta có γ0 = σ1, γ1 = σ2 Ký hiệu Vt là vận tốc của sự biến dạng này.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét trường véctơ trơn ˜v với điểm kì dị không suy biến tại O Bổ đề 1.4.5 được chứng minh khi địa phương xung quanh đoạn [0,1] trên trục t, trong đó vận tốc của sự biến dạng cần tìm được biểu diễn dưới dạng cụ thể.
V t = f t v˜−(γ t ∗ f t ) γ t ∗ v,˜ (1.6) với ft là hàm số trơn phụ thuộc t của các biến x, y Chỉ ra rằng, sự biểu diễn như vậy quả thực xảy ra.
Sự giải được của phương trình đồng điều (1.6) liên quan đến hàm f t được xây dựng trên trường ˜v, cho thấy ảnh của trường dưới phép đối hợp γ t không cộng tuyến ở ngoài đường của các điểm cố định.
Vận tốc của sự biến dạng V (chỉ số t bỏ đi), ta thấy có O trên đường cong y = 0(η = 0) Do Bổ đề 1.4.3, ta có γ ∗ V = −V nên
∂η, (1.7) với p và q là các hàm số trơn.
Trên đường của các điểm cố định với phép đối hợp γ ta có γ ∗ v˜ = −˜v.
Giả sử f là tổng của các hàm chẵn và không lẻ theo η, với điều kiện f(ξ, η^2) = u(ξ, η^2) + ηω(ξ, η^2), trong đó u và ω là các hàm số trơn Các biểu thức (1.7) và (1.8) trong phương trình (1.6) dẫn tới một hệ phương trình mới liên quan đến u và ω.
Chia cả hai vế của phương trình thứ nhất trong hệ trên choη, nhận được hệ tuyến tính đối vớiu, ω Định thức của hệ này có dạngη 2 (4l(0,0)m η (0,0)+
H(ξ, η^2) là một hàm số trơn, với m(0,0) = 0 và l(0,0)m η(0,0) ≠ 0, cho thấy điểm kỳ dị này không suy biến Tiếp theo, khi xét đến vế phải của hệ phương trình sau khi chia cho η^2, có thể xác định rằng trong lân cận của đoạn [0,1] trên trục t tồn tại nghiệm trơn u và ω của hệ này Bổ đề 1.4.5 đã được chứng minh.
Bổ đề 1.4.6 nêu rõ rằng hai phôi tại điểm O của hai đường cong trơn nhúng tiếp xúc nhau tại O là v−tương đương nếu có một đường cong trơn của trường v theo hướng riêng không tiếp xúc với các đường cong này tại O.
Chứng minh rằng với trường véctơ v có các hướng v và một điểm kì dị suy biến tại O, ánh xạ g t của luồng pha tại thời gian t sẽ được xác định.
Tồn tại một quá trình σ với trung tâm tại O, trong đó hai đường cong được thể hiện qua các đường cong trơn, đi qua một điểm trên trục hoành và tạo thành cặp phép chiếu trực tiếp Trường vectơ kéo dài tại điểm chính quy này và tiếp tuyến được dính trực tiếp Do đó, thời gian cong khác được xác định là hàm số trơn τ của đường cong thứ nhất V−tương đương cần tìm có ánh xạ g T (.) (.), với T là kéo dài trơn của hàm số τ trong mặt phẳng Bổ đề 1.4.6 đã được chứng minh.
Bổ đề 1.4.7 khẳng định rằng hai hướng tại điểm O của các v-tương đương khác nhau chỉ có thể nối với nhau nếu chúng có thể kết nối thông qua một đường cong liên tục, không đi qua các hướng riêng của trường v tại O.
Các điểm kì dị chuẩn tắc
Số mũ của điểm kỳ dị không suy biến của trường hướng được xác định bằng tỷ số giữa giá trị riêng và các môđun cực đại của sự tuyến tính trường vectơ tương ứng, cũng như giá trị riêng với các môđun cực tiểu tại yên ngựa hoặc điểm nút Tỷ số này liên quan đến phần ảo và phần thực của giá trị riêng tại một tiêu điểm Đặc biệt, các số mũ này được bảo tồn dưới các phép vi đồng phôi.
Một điểm kì dị không suy biến của trường hướng được gọi là C k −chuẩn tắc nếu tại điểm này, các đường cong tích phân của trường là phép C k −phép vi đồng phôi đến phôi tại O Các quỹ đạo pha của các trường vectơ tuyến tính v 2, v 2 hoặc v 3 tương ứng với yên ngựa, điểm nút hoặc tiêu điểm Trong đó, v 2 (x, y) = 1 0.
Trong nghiên cứu này, α đại diện cho số mũ của các điểm kỳ dị, trong khi các ký hiệu v2 và v3 được sử dụng để biểu thị các trường hướng xác định bởi các phương trình vi phân tương ứng với các trường vectơ này.
Phép đối hợp θ1 : (x, y) 7→ (((α + 1)x−2αy)/(α−1),(2x−(α+ 1)y)/(α −1)) là v2−tốt và phép đối hợp θ2 : (x, y) 7→ (x−2αy/α,−y) là v3−tốt.
Điểm O là một điểm kì dị C ∞ −chuẩn tắc của trường v với số mũ α Theo Định lý 1.4.11, các phôi tại O của trường hướng v có thể rút gọn nhờ một phép C ∞ −vi đồng phôi từ mặt phẳng tới các phôi tại O của trường các hướng v 2 (v 3) Điều này cho phép các đường cong tích phân và ánh xạ đối hợp v−tốt được đồng thời rút gọn đối với các yếu tố θ 1 (θ 2) liên quan đến yên ngựa và điểm nút, tương ứng với tiêu điểm.
Nhận xét 1.4.12 Các điều kiện của C ∞ −chuẩn tắc yêu cầu trong Định lý 1.4.11 hầu như luôn được thỏa mãn Nghĩa là:
1 Theo Định lý Siegel, một yên ngựa là C ∞ −chuẩn tắc nếu (1, α) là một điểm của dạng (M, v) (nghĩa là min{|1−m 1 −m 2 α|},|1−m 1 −m 2 α| ≥M/|m| v đối với tất cả các vectơ tích phân m = (m 1 , m 2 ) với các số mũ không âm, m 1 + m 2 ≥ 2) Độ đo của tập hợp các điểm mà không là các điểm dạng (M, v) với M > 0 bất kì là bằng 0 nếu v > 1.
2 Một điểm nút là C ∞ −chuẩn tắc nếu số mũ của nó không là số tự nhiên Đối với một trường vectơ trơn trong mặt phẳng thuộc về tập trong không gian của các trường như vậy (trong tôpô mịn Whitney), tập này là mở trong tôpô C 1 và trù mật hầu khắp nơi trong tôpô C ∞ , điều kiện này được thực hiện tại mỗi điểm nút của trường.
3 Các tiêu điểm không suy biến luôn là C ∞ −chuẩn tắc Sử dụng các phép đồng phôi (hoặc các phépC 0 −vi đồng phôi) cũng có thể "khử bỏ" số mũ α của điểm kì dị không yêu cầu C ∞ − chuẩn tắc của điểm Giả sử
Điểm O là một điểm kì dị không suy biến của trường v, theo định lý 1.4.13 Các phôi tại O của trường hướng v có thể được rút gọn thành các phôi tại O của trường hướng v2 hoặc v3 thông qua phép đồng phôi của mặt phẳng, đồng thời tương ứng với các đường cong tích phân hoặc phép đối hợp θ1.
(θ 1 hoặc θ 2 ) với α = −2 (α = 2, α = 1) đối với yên ngựa (tương ứng điểm nút và tiêu điểm).
Các điểm kì dị gấp và lùi
Các ánh xạ gấp của phương trình F(x, y, p) = 0 xác định phép đối hợp gấp trong lân cận điểm tới hạn, được gọi là gấp Whitney Trên mặt của phương trình, phép đối hợp này hoán đổi vị trí các điểm mà ảnh của chúng trùng nhau dưới ánh xạ gấp Một điểm kì dị không chính quy của phương trình F(x, y, p) = 0, nơi gấp có điểm tới hạn, được gọi là yên ngựa gấp, nút gấp hoặc tiêu điểm gấp nếu thỏa mãn hai điều kiện đồng thời.
1 Trường hướng v của phương trình có điểm yên ngựa không suy biến, điểm nút không suy biến, tiêu điểm không suy biến tương ứng tại điểm này.
2 Phép đối hợp gấp của phương trình xác định trong lân cận của điểm kì dị đó là v−tốt.
Các điểm kì dị của ba dạng trên được gọi là các điểm kì dị gấp. Ở Ví dụ 1.4.2 có
4χ = 0 do đó có yên ngựa gấp với χ < 0 , nút gấp với 0< χ < 1/4 và tiêu điểm gấp với tại O tương ứng 1/4< χ.
Phôi của phép đối hợp gấp tại một điểm kì dị gấp của phương trình ngược lại cũng đúng Định lý 1.4.14 cho biết rằng trong trường hợp có một điểm kì dị không suy biến tại O và phép đối hợp v−tốt, phôi tại O của v và v−tốt sẽ là phép.
C ∞ −vi đồng phôi tới phôi tại điểm kì dị gấp của trường hướng và phép đối hợp gấp của phương trình F (x, y, p) = 0.
Điểm kì dị không chính quy của phương trình F(x, y, p) = 0 được gọi là điểm kì dị lùi, hay tính kì dị điểm lùi của phương trình Điều này liên quan đến xếp li Whitney của phương trình gấp và phôi của mặt phương trình.
F(x, y, p) = 0 tại điểm kì dị lùi tương ứng với mặt phẳng x = pf(x, p), trong đó f là hàm trơn với điều kiện f(0,0) = f_p(0,0) = 0 và f_pp(0,0) > 0 Điểm kì dị lùi được phân loại là elliptic nếu fy(0,0) < 0 và hyperbolic nếu fy(0,0) > 0 Cả hai loại điểm kì dị lùi này không phụ thuộc vào hệ tọa độ được chọn.
1.4.4 Các tính kì dị gấp chuẩn tắc Điểm kì dị gấp của phương trình F (x, y, p) = 0 được gọi là C ∞ −chuẩn tắc nếu nó là một điểm kì dị C ∞ −chuẩn tắc của trường hướng của phương trình. Định lý 1.4.15 Ảnh phôi của họ các đường cong tích phân của phương trình F (x, y, p) = 0 tại một điểm kì dị gấp C ∞ −chuẩn tắc là yên ngựa, điểm nút hoặc tiêu điểm nếu ánh xạ gấp của phương trình là phép C ∞ −vi đồng phôi tới phôi tại O của họ các đường cong
,0≤ c ≤ 2π, (1.13) trong đó R q x±√ y 2 +α 2 y, ở đây α là số mũ của điểm kì dị (tỉ số của các đường cong trong nghịch ảnh và ảnh có thể đồng nhất)
Phôi của phương trình F = 0 được gọi là phép C k −vi đồng phôi tới phôi của phương trình F 1 = 0 nếu tồn tại phép C k −vi đồng phôi trong lân cận phép chiếu quỹ đạo các điểm này trên mặt phẳng (x, y) Điều này biến đổi các phôi của họ các quỹ đạo pha thành các phôi khác, với k ≥ 0, và khi k = 0, các phôi này được coi là tương đương tôpô Dạng chuẩn tắc trơn p 2 = x của phôi trong trường hợp giải tích đã được tìm thấy bởi Cibrario và được trình bày lại bởi Bruce I W và Dara L., trong đó Bruce I W đã sử dụng dạng p 2 = xE(x, y) với E là một hàm trơn được xây dựng bởi Thom Định lý 1.4.16 đề cập đến phôi của phương trình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp.
C ∞ −chuẩn tắc là một phép C ∞ −vi đồng phôi tại điểm O của phương trình (p+kx)² = y, với k được xác định bởi k = α(α + 1) − 2 / 2 và k = 1 + α² / 8 Trong đó, α là số mũ liên quan đến điểm kì dị của yên ngựa, tương ứng với điểm nút (tiêu điểm).
Trong các mục trước, chúng ta đã xác định rằng các điều kiện của Định lý 1.4.15 và Định lý 1.4.16 luôn được thỏa mãn Cụ thể, tất cả các nút gấp và tiêu điểm gấp của phương trình điển hình F(x, y, p) = 0 đều là C ∞ -chuẩn tắc.
2 Sự thay đổi các biến số x˜= x, y˜= 2 y +kx 2 /2 quy về dạng chuẩn tắc (p+kx) 2 = y đến dạng chuẩn tắc Dara y = p 2 +χx 2 /2 với χ = 2k, trong đó k < 0, 0 < k < 1/8 và 1/8< k tương ứng đối với yên ngựa, điểm nút, tiêu điểm.
3 Phương trình vi phân của họ các đường cong trong Định lý 1.4.15 được quy về dạng chuẩn tắc được chỉ ra trong Định lý 1.4.16 bởi sự kéo căng x˜ = ax,y˜= ay với a = 4(α+ 1) 2 α −2 (tương ứng, a = 16 1 +α 2 −2 ). Định lý 1.4.18 Các phôi của phương trình F (x, y, p) = 0 tại điểm kì dị gấp của phương trình là tương đương tôpô tới phôi tại 0 của phương trình (p−x) 2 = y đối với yên ngựa, (p+x/9) 2 = y đối với điểm nút hoặc(p+x/4) 2 = y đối với tiêu điểm.
Phân loại tính kì dị
Chương này trình bày các tính chất kỳ dị điểm của hệ ẩn cấp 1 trên các đa tạp 2 chiều, liên quan đến việc chuyển đổi về một quỹ đạo trơn Nghiên cứu được thực hiện cho cả trường hợp tổng quát và trường hợp Clairaut tổng quát, từ đó cho phép phân loại địa phương hệ thống trên mặt phẳng R².
2.1 Các phương trình dạng Clairaut và lý thuyết kì dị Legendre
Legendrian không gấp
Xét chùm 1 −tia J 1 (R×R,R) và 1 −dạng chính tắc Θ trên không gian, với tọa độ chính tắc (t, x) trên R ×R và (t, x, y, q, p) trên J 1 (R×R,R) 1 −dạng chính tắc được biểu diễn bởi Θ = dy − pdx − qdt = θ − qdt Phép chiếu tự nhiên Π : J 1 (R×R,R) → R×R×R được xác định bởi Π (t, x, y, q, p) = (t, x, y) Chùm 1 −tia này được gọi là chùm 1 −tia không gấp Đối với (à, f) là một phương trình với tích phân đầy đủ, tồn tại duy nhất một phôi hàm h : R 2,0 → R sao cho f ∗ θ = hdà, và xác định một phụ ánh xạ.
Khi đú, nếu (à, f) là một phương trỡnh dạng Clairaut, thỡ ` (à,f ) là một phụi nhỳng chỡm Legendrian Gọi ` (à,f ) là Legendrian khụng gấp đầy đủ liờn kết với (à, f).
Mệnh đề 2.1.1 Cho (à, f) : R²,0 → RìJ 1 (R,R) ⊂ P T ∗ R² là một phương trình với tích phân đầy đủ Khi đó, (à,f) được coi là một phương trình dạng Clairaut nếu và chỉ nếu (à,f) là một phụ hình những chỗ Legendrian không kỳ dị Legendrian.
Legendrian khụng gấp đầy đủ ` (à,f ) liờn kết với (à, f) được gọi là Leg- endrian khụng gấp dạng Clairaut nếu` (à,f ) là phương trỡnh dạng Clairaut.
Tính tổng quát
Quay trở lại nghiên cứu về các phương trình có tích phân đầy đủ, chúng ta xây dựng khái niệm của tích phân tổng quát Định nghĩa 2.1.2 cho rằng, với U ⊂ R² là một tập mở, Int U, R×J¹(R, R) được xác định là tập hợp các hệ có tích phân đầy đủ (à, f) : U → R trong J¹(R, R).
L U, J 1 (RìR,R) là tập Legendrian khụng gấp đầy đủ ` (à,f ) : U →
Các không gian Tôpô được trang bị Tôpô Whitney C ∞ bao gồm các tập hợp, trong đó một tập con được gọi là tổng quát nếu nó là tập con mở trù mật trong không gian đó.
Tính chất tổng quát của các phôi được định nghĩa như sau:
Giả sử P là một tính chất của các phôi phương trình với tích phân đầy đủ (à, f) : R 2 ,0 → R ì J 1 (R,R) (tương ứng, Legendrian khụng gấp ` (à,f ) : R 2 ,0 → J 1 (RìR,R)) Với mỗi tập mở U ⊂ R 2 , kớ hiệu
P (U) là một tập của (à, f) ∈ Int U,RìJ 1 (R,R) (tương ứng, ` (à,f ) ∈
L U, J 1 (RìR,R) sao cho tại điểm x có biểu diễn (à, f) và có tính chất P với x ∈ U bất kỳ Tính chất P được định nghĩa là tổng quát nếu với mọi lân cận U của 0 trong R², tập P(U) là tập con trong Int U, R×J 1 (R,R) Ánh xạ này thể hiện tính liên tục trong không gian này.
(Π ) :L U, J 1 ( × , ) → Int U, ×J 1 ( , ) được xác định bởi bởi
(Π 1 ) ∗ ` (à,f ) = Π 1 ◦` (à,f ) = (à, f) trong đó Π 1 : J 1 (R×R,R) → J 1 (R,R) là phép chiếu chính tắc Định nghĩa trên đã chứng tỏ định lý cơ bản sau: Định lý 2.1.4 Ánh xạ liên tục
(Π 1 ) ∗ :L U, J 1 (R×R,R) → Int U,R×J 1 (R,R) là một phép đồng phôi.
Trong định nghĩa 2.1.5, hai phương trình f và f 0 từ R^2,0 đến P T ∗ R^2 được coi là tương đương đối với nhóm các phép biến đổi điểm nếu tồn tại một phép vi đồng phôi φ từ P T ∗ R^2, π(f(0)) đến P T ∗ R^2, π(f 0(0)) Điều này có nghĩa là lực nâng chính tắc φˆ từ P T ∗ R^2, f(0) đến P T ∗ R^2, f 0(0) sẽ biến đổi f thành f 0, cụ thể là φˆ◦f = f 0◦ψ với ψ là phép vi đồng phôi từ R^2,0 đến R^2,0.
Mệnh đề 2.1.6 nêu rằng giả sử f và f 0 là các phương trình tích phân đầy đủ không phụ thuộc vào biến đầu vào, và π ◦f cùng π ◦f 0 có các tập kì dị không đâu trù mật Khi đó, f và f 0 sẽ được coi là tương đương đối với nhóm các phép biến đổi nếu và chỉ nếu các sơ đồ tích phân cảm sinh (à, π ◦f) và (à 0 , π ◦f 0) cũng tương đương.
Chứng minh Giả thiết (à, π ◦f) và (à 0 , π ◦f 0 ) là tương đương bởi cỏc phép vi đồng phôi (k, ψ, φ) Khi đó ánh xạ các đường cong tích phân φ: π f à −1 (à(u, v)) qua π(f (u, v)) đến π f 0 à 0− 1 (k(à(u, v)))
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phép chiếu π f 0 và các điểm kì dị liên quan đến nó, với ψ(u, v) là một hàm quan trọng Các điểm kì dị này được xác định trong tập hợp các điểm tới hạn của phép chiếu π, dẫn đến sự tương đương giữa f và f 0 thông qua mối quan hệ φˆ◦f = f 0 ◦ψ Điều này cho thấy rằng f và f 0 có thể được coi là tương đương trong ngữ cảnh của các phép biến đổi điểm.
Trong trường hợp ` (à,f ) là một phụi nhỳng chỡm Legendrian, tồn tại một họ sinh tự nhiên của ` (à,f ) theo định lý Arnol’d – Zakalyukin Họ sinh này được hình thành từ một họ 1.
−tham số của cỏc họ sinh liờn kết với (à, `) Cho F : (RìR)ìR k ,0 → (R,0) là một phôi hàm sao cho d 2 F|0×R ×R k là không kì dị, trong đó d 2 F (t, x, q) = ∂q ∂F
1 (t, x, q), , ∂q ∂F k (t, x, q) Gọi F là một họ Morse thì
C(F) = d 2 F −1 (0) là một phôi mặt trơn và π F : (C(F),0) → R là một phôi nhúng chìm, trong đó π F (t, x, q) =t Ta gọi đa tạp con C(F) là một tập catastrophe của F. Định nghĩa Φ˜F : (C(F),0) →J 1 (R,R) bởi Φ˜ F (t, x, q) x, F (t, x, q),∂F
Khi đó ∂F ∂q i = 0 trên C(F) và Φ˜ F ∗ θ = ∂F ∂t |C (F).dt|C(F) = 0 Bằng định nghĩa, Φ F là một Legendrian không gấp liên kết với họ Legendrian π F ,Φ˜ F Do đó có nhận xét sau:
Nhận xét 2.1.7 Tất cả các phôi Legendrian không gấp đều được xây dựng bằng phương pháp tương tự định lý Arnol’d-Zakalyukin ([1]).
Giả sử (à, f) là một phương trỡnh dạng Clairaut Theo Mệnh đề 2.1.1,
(à,f) là một sự nhúng chỗm Legendrian Có thể chọn một họ các phụ hàm F : (R²,0) → (R,0) sao cho ảnh j¹F t = f⁻¹(t) với t ∈ bất kỳ, trong đó F t(x) = F(t, x) Phôi ánh xạ j¹F : (R×R,0) → J¹(R,R) xác định bởi j¹F(t, x) = j¹F t(x) không nhất thiết là phôi nhúng chìm Trong trường hợp này, (C(F),0) = (R×R,0) và Φ F = j¹F : (R×R,0) → J¹(R×R,R) là Legendrian không gấp đầy đủ liên kết với π¹, j¹F Do đó, họ sinh của một Legendrian không gấp dạng.
Cho (à, g) và (à 0 , g 0 ) là cỏc sơ đồ tớch phõn Khi đú (à, g) và (à 0 , g 0 ) là
R + −tương đương xảy ra khi có một phôi vi đồng phôi Ψ: (R×(R×R),0)→ (R×(R×R),0) với Ψ(t, x, y) = (t+α(x, y), ψ(x, y)) và một phôi vi đồng phụi Φ: R 2 ,0 → R 2 ,0 thỏa mãn điều kiện Ψ ◦(à, g) (à 0 , g 0 )◦Φ Nếu (à, g) và (à 0 , g 0 ) là R + −tương đương qua các vi đồng phụi đã nêu, thì ta có (u)+α◦g(u) = à 0 ◦Φ(u) và ψ◦g(u) = g 0 ◦Φ(u) với u ∈ R 2 ,0 bất kỳ Do đó, sơ đồ (à+ α◦g, g) là tương đương chặt chẽ với (à 0 , g 0 ) Định nghĩa quan hệ tương đương trong số các Legendrian không gấp được đưa ra như sau: Giả sử ` (à,f) , ` (à 0 ,f 0 ): R 2 ,0 → J 1 (RìR,R), z 0 là các Legendrian không gấp, thì ` (à,f) và ` (à 0 ,f 0 ) được coi là S.P + −tương đương Legendrian (hoặc S.P−tương đương Legendrian) nếu tồn tại một phôi vi đồng phôi tiếp xúc.
K : J 1 (R×R,R), z 0 → J 1 (R×R n ,R), z 0 0 , một phôi vi đồng phôi Φ : R 2 ,0 → R 2 ,0 và một phôi vi đồng phôi Ψ : (R×(R×R),Π (z 0 )) → (R×(R×R),Π (z 0 0 )) sao cho Ψ (t, x, y) = (t+α(x, y), ψ(x, y))
(tương ứng Ψ (t, x, y) = (t, ψ(x, y)) thỏa mãn Π◦K = Ψ◦Π và K ◦L L 0 ◦ Φ Khi đú, nếu ` (à,f ) và ` (à 0 ,f 0 ) là S.P + −tương đương Legendrian (tương ứng, S.P−tương đương Legendrian) thỡ (à, π ◦f) và (à 0 , π ◦f 0 ) là
R + −tương đương (tương ứng tương đương chặt).
Theo [15], sự ổn định của các Legendrian không gấp đối với S.P + −tương đương Legendrian tương tự như khái niệm ổn định của các phôi nhúng chìm Legendrian Quan hệ tương đương này có thể được giải thích qua các số hạng và các họ sinh Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ sử dụng một số kí hiệu và kết quả từ [1] Định nghĩa 2.1.9 nêu rõ rằng cho F ,˜ G˜ : (R×(R×R),0) →(R,0) là các họ sinh của Legendrian không gấp dạng Clairaut, thì F˜ và G˜ được gọi là
P − C + −tương đương (tương ứng P − C −tương đương) nếu tồn tại một phôi vi đồng phôi Φ : (R×(R×R),0) →(R×(R×R),0) sao cho Φ (t, x, y) = (t+α(x, y), φ1(x, y), φ2(x, y))
(tương ứng, Φ (t, x, y) = (t, φ 1 (x, y), φ 2 (x, y))) thỏa mãn hF ◦Φi ε
(t,x,y) iđean sinh bởi G trong vành địa phương của các phôi hàm ε (t,x,y) với các biến (t, x, y).
F˜(t, x, y)gọi làC + (tương ứngC)−sự biến dạng riêng lẻ củaf = F|R×0 nếu εt df dt
). Định lý 2.1.10 Giả sử F ,˜ G˜ : (R×(R×R),0) → (R,0) là các họ sinh của các Legendrian không gấp dạng Clairaut Φ F ,Φ G tương ứng Khi đó:
(1) ΦF và ΦG là S.P + (tương ứng, S.P ) −tương đương Legendrian nếu và chỉ nếu F˜ và G˜ là C + (tương ứng, C) −tương đương.
F là S.P + (tương ứng, S.P) − ổn định Legendrian nếu và chỉ nếu F˜ là P − C + (tương ứng, C) − sự biến dạng riêng lẻ của f = F|R× {0} Định lý 2.1.11 chỉ ra rằng nếu F và G là các họ sinh của Legendrian không gấp dạng Clairaut với Φ F và Φ G là S.P + (tương ứng S.P) − ổn định Legendrian, thì Φ F và Φ G cũng sẽ là S.P + (tương ứng S.P).
−tương đương Legendrian nếu và chỉ nếu f = F|R× {0}, g = G|R× {0} là C −tương đương (hfi = hgi ). Đối với mỗi phôi hàm f : (R,0)→ (R,0), ta đặt
Khi đó, ta có phân loại dưới đây (xem [18]).
Bổ đề 2.1.12 Cho f : (R,0)→ (R,0) là một phôi hàm với κ−cod(f)