Hàm bessel và một số ứng dụng trong vật lí

NỘI DUNG

Chương 2: Một số ứng dụng của Hàm Bessel trong Vật lí

HÀM BESSEL

Hàm Gamma

Hàm Gamma được định nghĩa như sau

Suy ra (2)  1 (1)1 Áp dụng lần lượt công thức (1.3) ta được

Vậy hàm ( ) s tiến dần tới vô cùng khi s dần tới 0

Khi s gần tới không hoặc tới một số nguyên âm thì hàm ( ) s tiến tới dần tới vô cùng

Xét trường hợp s bán nguyên

Phương trình và hàm Bessel

Phương trình vi phân Bessel là phương trình có dạng

Với  là một số dương Để giải phương trình này, ta cần có một hàm mới, gọi là hàm Bessel

Nghiệm của phương trình được biểu diễn dưới dạng chuỗi

  Thay vào phương trình ta được

Ta có phương trình (1.7) đúng với mọi x nên tất cả các hệ số đứng trước mỗi lũy thừa của x phải bằng 0

Từ đó ta rút ra

 =0; (1 2 )c 1 0; c n  2 (n 2  2 )c n 0 với n=2,3,4… (1.8) Nếu  0thì c 0 là một số bất kì, c 1 =0 và c n  2  n c 2 n 0

4 2 4 c c  c  Vậy tổng quát ta có

Vậy ta có nghiệm của phương trình Bessel ứng với  0 là

J 0 (x) Được gọi là hàm Bessel loại một cấp không

Nếu  1, thì từ (1.8), ta rút ra c 0 =0, c 1 là tùy ý và c n  2 (n 2 1)c n 0

Ta có nghiệm của phương trình Bessel với  1 là

J 1 (x) được gọi là hàm Bessel loại một cấp một

 Nghiệm của phương trình Bessel với  bất kì

J x  được gọi là hàm Bessel loại 1 cấp 

Biểu diễn J x  ( ) qua hàm Gamma

Nếu ta lấy     ta được một nghiệm riêng của phương trình (1.5), nó suy ra từ công thức (1.9) bằng cách thay  bởi   Đó là nghiệm

Nếu  không nguyên thì các nghiệm riêng J x  ( )và J   ( )x là độc lập tuyến tính, vậy nghiệm của phương trình (1.6) được viết lại là

1 ( ) 2 ( ) y C J x    C J   x (1.11) Trong đó C 1 , C 2 là các hằng số tùy ý suy ra từ điều kiện biên

Nếu  nguyên thì hàm J x  ( ) và J   ( )x là phụ thuộc tuyến tính

Với n nguyên và m chạy từ 0 tới n-1, giá trị của m- +1 sẽ âm hoặc bằng 0 Điều này có nghĩa là n số hạng đầu tiên của khai triển (1.9) sẽ bằng 0.

Người ta đưa vào hàm

  Hàm này gọi là Hàm Bessel loại hai hoặc là hàm Neumann

Ta có giới hạn trên có dạng 0

0, áp dụng quy tắc L’Hospital người ta tính được dạng tường minh của hàm Neumann là

Với   0,5772156649 0 là hằng số Euler, 1 1

Ta có J x  ( ) và N x  ( ) là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của phương trình (1.6) khi  nguyên được viết lại là

1 ( ) 2 ( ) y C J x    C N x  (1.13) Với  nguyên dương hoặc bằng 0

Xét phương trình Bessel x y 2 ''xy' ( x 2  2 )y0

Thay x bằng ix ta được

( ) ( ) 0 d d( ) y y ix ix ix ix  ix  y

(1.14) gọi là phương trình Bessel cải tiến

I x  gọi là hàm Bessel cải tiến loại 1 cấp 

Hàm I x  ( )là nghiệm của phương trình (1.14), nếu  không là số nguyên thì I x  ( ) và I   là hai hàm độc lập tuyến tính nên nghiệm của (1.14) là

1 ( ) 2 ( ) y C I x    C J   x Nếu   n là một số nguyên thì hai hàm I x  ( ) và I   là phụ thuộc tuyến tính, ta có hàm

K x  gọi là hàm Bessel cải tiến loại 2

Lúc này nghiệm của (1.14) được viết lại y C I x  1  ( ) C K x 2  ( )

Các tính chất truy hồi của hàm Bessel

Ta chứng minh tính chất 1.15a

Trừ theo vế ta được

' ( ) ' ( ) ( ) ( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) cos( )

  Đổi dấu hai vế và lấy giới hạn   n ta được

Từ (*) và (**) ta có đpcm

Ta chứng minh tính chất 1.15b

Trừ a và b theo vế ta được tính chất c

Nghiệm của hàm Bessel

Thay vào phương trình (1.5) ta được

Khi x tiến tới dương vô cùng, hàm u(x) sẽ hội tụ về một nghiệm của phương trình u'' + u = 0, tức là một hàm lượng giác nào đó Cụ thể, có những chứng minh cho thấy rằng khi x tiến tới dương vô cùng, hàm này sẽ có những giá trị xác định.

Từ công thức trên ta thấy hàm J x  ( ) có vô số nghiệm, hơn nữa khi x  thì nghiệm của J x  ( ) xấp xỉ các nghiệm của hàm

Kí hiệu các nghiệm là  i

 ta thấy nếu  i là nghiệm thì   i cũng là nghiệm, hàm J x  ( ) có các cặp nghiệm giống nhau về giá trị tuyệt đối nên ta chỉ xét các nghiệm dương

Tính trực giao của hàm Bessel

Xét phương trình x y 2 "xy' ( k x 2 2  2 )y0 (1.17) Trong đó k là hằng số nào đó khác không Đặt tkx, khi đó phương trình (1.17) trở về dạng

(1.18) là phương trình Bessel với biến số là t, vậy nghiệm có dạng

Lấy hai giá trị khác nhau của k và viết hai phương trình tương ứng

Nhân (1.19) với J k x  ( 2 ) và (1.20) với  J k x  ( 1 ) rồi cộng theo vế ta được

Lấy tích phân 0 L ta được

Nếu k L 1   i , k L 2  j là nghiệm của hàm J x  ( ) với   i  j thì ta có

Xem (1.21) là một hàm biến số k 2 , ta có

Ta tìm giới hạn khi k 2  k 1

Vế trái có dạng vô định 0

0 nên áp dụng quy tắc L’hospital ta được

  Áp dụng công thức truy hồi (1.15)c ta được

Nếu  1 ,  2 ,…, 2 … là các nghiệm dương của hàm J x  ( ),  1 <  2