Khổng gian Banach p -lỗi ãu v khổng gian Banach trỡn ãu
Khổng gian Banach phÊn xÔ
Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân v X ∗ l khổng gian ối ngău cừa nõ º cho ỡn giÊn v thuên tiằn hỡn, chúng tổi thống nhĐt sỷ dửng kẵ hiằu k.kº ch¿ chuân trảnX v X ∗ ; giĂ trà cừa phiám h m tuyán tẵnh x ∗ ∈X ∗ tÔi iºm x∈X ữủc kỵ hiằu l hx, x ∗ i. ành nghắa 1.1.1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l phÊn xÔ náu vợi mồi x ∗∗ ∈E ∗∗ , tỗn tÔi x∈ E sao cho hx, x ∗ i=hx ∗ , x ∗∗ i, vợi mồi x ∗ ∈ E ∗
Vẵ dử 1.1.2 Mồi khổng gian tuyán tẵnh ành chuân hỳu hÔn chiãu, cĂc khổng gian l p hay L p (Ω), vợi 1< p 0 v mởt dÂy con {x n k } ⊂ {x n } sao cho kx n k −xk ≥ ε, (1.1) vợi mồi k ≥ 1.
Trong một không gian compact, nếu {x_n} ⊂ A là một dãy hội tụ, thì tồn tại một dãy con {x_{n_k}} ⊂ {x_n} sao cho x_{n_k} → y Theo định nghĩa, nếu y là giới hạn của dãy {x_{n_k}}, thì ta có x_{n_k} * y = x Trong bất kỳ trường hợp nào, từ bất phương trình (1.1), khi thay x_n bằng x_{n_k}, ta có kx_{n_k} - y_k ≥ ε, dẫn đến mâu thuẫn với x_{n_k} * y Do đó, ta kết luận rằng x_n → x.
Trong luên vôn n y, chúng tổi thữớng xuyản sỷ dửng tẵnh chĐt dữợi Ơy cừa khổng gian Banach phÊn xÔ.
Mằnh ã 1.1.8 (xem [2] trang 41) cho E là một không gian Banach, trong đó có các khẳng định sau: i) E là không gian phân xô ii) Mỗi dãy bậc thang trong E đều có một dãy con hội tụ yếu.
Mằnh ã dữợi Ơy cho ta mối liản hằ giỳa têp õng v têp õng yáu trong khổng gian tuyán tẵnh ành chuân.
Mằnh ã 1.1.9 Náu C l têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian khổng gian tuyán tẵnh ành chuân X, thẳ C l têp õng yáu.
Chứng minh rằng tồn tại một tập con C sao cho mọi x_n thuộc C, x_n không thuộc C Theo định nghĩa, tồn tại x* thuộc X sao cho x* khác x và với mọi ε > 0, có x* ≤ h(x) - ε với mọi y thuộc C Đặc biệt, ta có h(x_n) ≤ h(x) - ε với n ≥ 1 Hơn nữa, x_n hội tụ về x, dẫn đến h(x_n) hội tụ về h(x) Do đó, khi n tiến đến vô cùng, ta có h(x) ≤ h(x) - ε, điều này cho thấy giả thiết là sai, hoặc C là tập không rỗng.
Chú ỵ 1.1.10 Náu C l têp õng yáu, thẳ hiºn nhiản C l têp õng.
H m lỗi v mởt số tẵnh chĐt
Trong mửc con n y, luôn vôn giợi thiằu khái niệm h m lỗi thông qua khái niệm trản ỗ thà, cũng vợi mởt số tẵnh chĐt ỡn giÊn phửc vử cho viằc trẳnh b y cĂc nởi dung tiáp theo cừa luên vôn Đối với một tập lỗi D ⊂ E và hàm số f : D → R∪ {±∞}, hàm f được gọi là chẵn thường nếu dom f ≠ ∅ và f(x) > −∞ với mọi x ∈ D, trong đó dom f = {x ∈ D : f(x) < ∞} Hàm f được gọi là hàm lỗi trảnD nếu epi f là tập lỗi trong E × R, với epi f = {(x, r) ∈ D × R : f(x) ≤ r} Cuối cùng, hàm f : D ⊂ E → R được gọi là nỷa liản tửc nếu với mọi x ∈ D, tồn tại ε > 0 và δ > 0 sao cho f(x) − ε ≤ f(x) với mọi x ∈ D và ||x − x'|| < δ.
H mf ữủc gồi l nỷa liản tửc dữợi trản D náuf nỷa liản tửc dữợi tÔi mồi iºm x∈ D.
Dữợi Ơy l vẵ dử vã h m nỷa liản tửc dữợi.
Vẵ dử 1.1.12 Cho f : R−→ R l h m số ữủc xĂc ành bði f(x)
Khi õ, h m f l h m nỷa liản tửc dữợi tÔi iºm x = 0, những khổng liản tửc t¤i x = 0.
Thật vậy, để chứng minh rằng hàm số f có giới hạn tại x = 0, với mọi ε > 0 và δ > 0 (trong trường hợp δ là số dương), ta có f(0) - ε = -1 - ε < -1 ≤ f(x) cho mọi x Do đó, f là giới hạn tại 0.
Hàm f được gọi là hàm lồi trên tập D nếu với mọi x, y ∈ D và t ∈ [0,1], có f[tx + (1−t)y] ≤ tf(x) + (1−t)f(y) Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện này, nó sẽ không bao giờ vượt quá giới hạn dưới của giá trị hàm tại các điểm x_n hội tụ về x, tức là f(x) ≤ lim inf n→∞ f(x_n) Ngoài ra, hàm f được gọi là hàm lồi chặt trên D nếu điều kiện f[tx + (1−t)y] < tf(x) + (1−t)f(y) được thỏa mãn cho mọi x, y ∈ D với x ≠ y và t ∈ (0,1).
Vẵ dử 1.1.14 Cho X l mởt khổng gian tuyán tẵnh ành chuân Khi õ, h m f(x) =kxk l h m lỗi trản X.
Thêt vêy, vợi mồi x, y ∈X v mồi t∈[0,1], ta cõ ktx+ (1−t)yk ≤ ktxk+k(1−t)yk=tkxk+ (1−t)kyk, hay tữỡng ữỡng vợi f[tx+ (1−t)y] ≤ tf(x) + (1−t)f(y).
Cho D ⊂ E là một tập lỗi, f : D → R∪ {±∞} là một hàm lỗi trên D Khi đó, ta có các khẳng định sau: i) Mỗi điểm cực tiểu của f trên D đều là điểm cực tiểu toàn cục của f trên D ii) Nếu f là hàm lỗi chất trên D, thì điểm cực tiểu của f là duy nhất.
Chứng minh rằng x₀ ∈ D là một điểm cực tiểu địa phương của hàm f, có nghĩa là tồn tại x₁ ∈ D sao cho f(x₁) < f(x₀) Nếu x₀ là điểm cực tiểu địa phương của f, thì tồn tại một lân cận U của x₀ sao cho f(x₀) ≤ f(x) với mọi x ∈ D ∩ U Đặt t ∈ (0,1), ta có xₜ = x₀ + t(x₁ - x₀) ∈ D ∩ U, từ đó suy ra f(x₀) ≤ f(xₜ) = f[tx₁ + (1−t)x₀] ≤ tf(x₁) + (1−t)f(x₀).
Suy ra f(x 0 ) ≤ f(x 1 ), mƠu thuăn vợi f(x 1 ) < f(x 0 ) Vêy x 0 l mởt iºm cỹc tiºu cừa f trản D. ii) GiÊ sỷ x 1 v x 2 l cĂc iºm cỹc tiºu cừa f trản D vợi x 1 6= x 2 Khi õ f(x 1 ) =f(x 2 ) =m= min x∈Df(x).
Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa f suy ra f(x 1 +x 2
2(f(x 1 ) +f(x 2 )) = m, mƠu thuăn vợim= min x∈D f(x) Vêy iºm cỹc tiºu cừaf náu cõ l duy nhĐt.
Mành ảnh dữ liệu mở ra một điều kiện và sự tồn tại của một phiếm hàm lỗi, chứng tỏ sự liên kết dữ liệu trong không gian Banach.
Mằnh ã 1.1.16 đề cập đến việc cho C là tập con của không gian Banach và f: C → (−∞, ∞] là một hàm lỗi, trong đó f đạt giá trị lớn khi ||x_n|| → ∞ Đồng thời, tồn tại x_0 ∈ dom(f) sao cho f(x_0) = inf{f(x) : x ∈ C}.
Chứng minh rằng \( m = \inf\{f(x) : x \in C\} \) Khi \( m \) tồn tại, sẽ có một dãy \( \{x_n\} \subset C \) sao cho \( f(x_n) \to m \) khi \( n \to \infty \) Nếu \( \{x_n\} không bị chặn, thì tồn tại một dãy con \( \{x_{n_k}\} \) của \( \{x_n\} \) sao cho \( kx_{n_k} \to \infty \) Theo giả thiết, \( f(x_{n_k}) \to \infty \), mâu thuẫn với \( m \neq \infty \) Do đó, \( \{x_n\} \ phải bị chặn Theo Mệnh đề 1.1.8 và Mệnh đề 1.1.9, tồn tại một dãy con \( \{x_{n_j}\} \) của \( \{x_n\} \) sao cho \( x_{n_j} \to x_0 \in C \) Vì \( f \) liên tục tại \( x_0 \), ta có \( m \leq f(x_0) \leq \liminf_{j \to \infty} f(x_{n_j}) = \lim_{n \to \infty} f(x_n) = m \).
Khổng gian Banach p -lỗi ãu
Trong bài viết này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề liên quan đến các không gian Banach, bao gồm các khái niệm như tĩnh lỗi, tĩnh trơn, mổ un lỗi và mổ un trơn Đặc biệt, chúng tôi đã định nghĩa không gian Banach E với các yếu tố x, y ∈ E, trong đó x khác y và cả hai đều có độ dài 1, từ đó dẫn đến việc tính toán x+y.
Chú ỵ 1.1.18 ành nghắa 1.1.17 cỏn cõ thº phĂt biºu dữợi cĂc dÔng tữỡng ữỡng sau: Khổng gian Banach E ữủc gồi l lỗi ch°t náu vợi mồi x, y ∈ S E thọa mÂn kx+yk
2 = 1, suy ra x = y ho°c vợi mồi x, y ∈ S E v x 6= y ta cõ ktx+ (1−t)yk0, tỗn tÔi δ(ε) > 0 sao cho vợi mồi x, y ∈ E m kxk = 1, kyk= 1,kx−yk ≥ ε ta luổn cõ x+y 2
Dạ dày rỗng là một không gian Banach, nhưng không phải là không gian Banach chuẩn Tuy nhiên, trong ngữ cảnh này, vẫn có những ứng dụng quan trọng mà không gian Banach mang lại.
Vẵ dử 1.1.20 (xem [2] trang 54) X²t E =c 0 (khổng gian cĂc dÂy số hởi tử vã khổng) vợi chuân k.k β xĂc ành bði kxk β =kxk c 0 +β
Khi xét một không gian lỗi chất, không gian lỗi của một không gian Banach E được định nghĩa thông qua một hàm số δ E (ε) = inf, với β > 0 Điều này cho thấy mối liên hệ giữa các khái niệm lỗi và cấu trúc của không gian Banach, từ đó cung cấp cái nhìn sâu sắc về tính chất của không gian này.
Không gian Banach E là một không gian lỗi với điều kiện δ E (2) = 1, như đã nêu trong tài liệu [2] trang 59 Ngoài ra, không gian Banach E cũng được xác định là lỗi khi δ E (ε) > 0 cho mọi ε > 0, theo tài liệu [2] trang 60.
Vẵ dử 1.1.22 Cho H l khổng gian Hilbert, khi õ mổ un lỗi cừa H ữủc xĂc ành bði δ H (ε) = 1− r
Mằnh ã 1.1.23 (xem [2] trang 56) Mồi khổng gian Banach lỗi ãu bĐt kẳ l khổng gian phÊn xÔ.
Chựng minh GiÊ sỷ E l khổng gian Banach lỗi ãu, ta cƯn chựng minh E l khổng gian Banach phÊn xÔ GiÊ sỷ S E ∗ := {j ∈ E ∗ : kjk = 1} l hẳnh cƯu ỡn và trong E ∗ v f ∈ S E ∗
GiÊ sỷ {x n } l mởt dÂy trong S E sao cho hx n , fi → 1 Ta s³ ch¿ ra {x n } l mởt dÂy Cauchy.
GiÊ sỷ {x n } khổng l dÂy Cauchy, khi õ tỗn tÔi ε > 0 v hai dÂy {x n i } v {x n j } cõa {x n } sao cho kx n i −x n j k ≥ ε.
Theo giÊ thiát, E l khổng gian lỗi ãu, nản ∃δ(ε) >0 sao cho x n i +x n j
Trong không gian Banach E, với p > 1, tồn tại một hằng số c > 0 sao cho δE(ε) ≥ cε^p với mọi ε ∈ [0, 2] Điều này cho thấy rằng không gian E có tính chất của một không gian phân xô Nếu dãy {x_n} là dãy Cauchy, thì tồn tại x ∈ E sao cho x_n → x Hơn nữa, với điều kiện lim n→∞ ||x_n|| = 1, ta có thể suy ra rằng ||hx_n|| → 1 khi n → ∞.
Vẵ dử 1.1.25 [2] Náu E =L p (Ω) ho°c E =l p , vợi 1< p < ∞, thẳ ta cõ a) δ E (ε) ≥ 1
Do õ, cĂc khổng gian L p (Ω) hay l p l 2-lỗi ãu náu 1 < p < 2 v l p-lỗi ãu náu p≥2.
Khổng gian Banach trỡn ãu
Khổng gian Banach E được định nghĩa là một không gian với mọi x ∈ S E, tồn tại duy nhất f x ∈ E ∗ sao cho = kxk và kf x k = 1 Nếu E là một không gian tuyến tính chuẩn, chuẩn chuẩn E được định nghĩa thông qua vi phân Gâteaux tại mọi x ∈ S E với mọi y ∈ S E, tồn tại giới hạn d dt(kx + ty k) tại t=0 = lim t→0 (kx + ty k - kx k) / t.
Trong không gian Banach E, với mọi j ∈ S E∗, tồn tại x ∈ S E sao cho hx, ji = 1 a) Chuẩn trơn E được gọi là chuẩn vi Gâteaux nếu nó là chuẩn vi Gâteaux tại mọi x ∈ S E b) Chuẩn trơn E được gọi là chuẩn vi Gâteaux yếu nếu với mọi y ∈ S E, tồn tại yếu với mọi x ∈ S E c) Chuẩn trơn E được gọi là chuẩn vi Fréchet nếu với mọi x ∈ S E, tồn tại yếu với mọi y ∈ S E d) Chuẩn trơn E được gọi là chuẩn vi Fréchet yếu nếu tồn tại yếu với mọi x, y ∈ S E.
Trong bài viết này, chúng ta khám phá mối liên hệ giữa không gian Banach E và không gian đối ngẫu E* Đầu tiên, nếu E là một không gian Banach, thì có hai trường hợp quan trọng: a) Nếu E* là không gian lỗi chuẩn, thì E là không gian trơn; b) Ngược lại, nếu E* là không gian trơn, thì E là không gian lỗi chuẩn Thêm vào đó, một khái niệm quan trọng là mổ trơn của không gian Banach E, được xác định bởi công thức ρE(τ) = sup{2^{-1} (kx + yk + kx - yk)}.
Nhên x²t 1.1.31 Mổ un trỡn cừa khổng gian Banach E l h m số xĂc ành, liản tửc v tông trản khoÊng [0; +∞) (xem [2] trang 95).
Vẵ dử 1.1.32 [12] Náu E l khổng gian l p ho°c L p (Ω), thẳ ta cõ ρ E (τ)
Trong không gian Banach E, mối liên hệ giữa một chuỗi và không gian E* có thể được thể hiện qua định nghĩa ρ E*(τ) = sup{τ ε Điều này cho thấy tầm quan trọng của việc hiểu rõ các khái niệm liên quan đến không gian Banach và các không gian liên đới Việc nghiên cứu các yếu tố này sẽ giúp chúng ta có cái nhìn sâu sắc hơn về cấu trúc và tính chất của không gian.
2 −δ E ∗ (ε) : ε∈ [0,2]}, τ > 0. Nhên x²t 1.1.34 Tứ ành lỵ 1.1.33, suy ra ρ 0 (E) = ε 0 (E ∗ )
2 , trong â ε 0 (E) = sup{ε: δ E (ε) = 0}, ρ 0 (E) = lim τ →0 ρ E (τ) τ ành nghắa 1.1.35 Khổng gian Banach E ữủc gồi l trỡn ãu náu τlim→0 ρ E (τ) τ = 0.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét không gian Banach E l với các điều kiện cụ thể Nếu E l là không gian trơn, thì không gian đối ngẫu E ∗ sẽ là không gian lỗi Ngược lại, nếu E l là không gian lỗi, thì không gian đối ngẫu E ∗ sẽ là không gian trơn Những mối quan hệ này giữa các loại không gian là rất quan trọng trong lý thuyết không gian Banach.
Vẵ dử 1.1.37 Mồi khổng gian Hilbert, khổng gian l p hay L p (Ω) vợi
1 < p < ∞ ãu l khổng gian Banach lỗi ãu v trỡn ãu (xem [10] trang 54). ành nghắa 1.1.38 Cho số thỹc q > 1 Khổng gian Banach E ữủc gồi l q-trỡn ãu náu tỗn tÔi hơng số c >0 sao cho ρ E (τ) ≤ cτ q , ∀τ >0 (1.4)
1.2 nh x¤ èi ng¨u ành nghắa 1.2.1 nh xÔ ối ngău J p : E −→ 2 E ∗ vợi 1 < p 0 sao cho kx−yk q ≤ kxk q −qhy, J q (x)i+C q kyk q Nhận xét 1.2.6 Mỗi không gian Hilbert H là 2-trong không gian Banach và ta có C q = 2.
KhoÊng cĂch Bregman v ph²p chiáu Bregman
Kho£ng c¡ch Bregman
Cho f : E −→ (−∞,∞] l mởt h m lỗi khÊ vi GƠteaux H m số D f : domf ìint domf −→[0,+∞) ữủc xĂc ành bði
∆f(y, x) =f(y)−f(x)− hy−x,5f(x)i, gồi l khoÊng cĂch Bregamn tữỡng ựng vợi f (xem [7]).
Náu E l mởt khổng gian Banach trỡn v lỗi ch°t v f(x) = 1 pkxk p , thẳ 5f(x) J p (x) v do õ khoÊng cĂch Bregman tữỡng ựng vợi f ữủc cho bði
Dạ thĐy rơng vợi mồi x, y, z ∈ E, ta cõ
∆ p (x, y) + ∆ p (y, x) =hx−y, J p (x)−J p (y)i (1.11) Thêt vêy, bián ời vá phÊi cừa (1.10), ta cõ
+ 1 p(kzk p − kyk p )− hy−z, Jp(z)i +hz−y, J p (x)−J p (z)i
Bián ời vá trĂi cừa (1.11), ta nhên ữủc
Ta biát rơng náu E l mởt khổng gian Banach p-lỗi ãu, thẳ khoÊng cĂch Bregman cõ tẵnh chĐt sau: τkx−yk p ≤ ∆ p (x, y) ≤ hx−y, J p (x)−J p (y)i, (1.12) vợi mồi x, y ∈E v τ >0 l mởt số dữỡng n o õ.
Ph²p chiáu Bregman
Trữợc hát, ta nhưc lÔi mởt số khĂi niằm v tẵnh chĐt vã ph²p chiáu mảtric.
Ta cõ mằnh ã dữợi Ơy:
Mằnh ã 1.3.1 GiÊ sỷ C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach lỗi ch°t v phÊn xÔ E Khi õ, têp C 0 x∈ C : kxk= inf{kyk : y ∈C} l gỗm duy nhĐt mởt phƯn tỷ.
Chứng minh rằng \( d = \inf\{ \|y\| : y \in C \} \) Khi \( \varepsilon \) đủ nhỏ, tồn tại dãy \( \{x_n\} \subset C \) sao cho \( \|x_n\| \to d \) khi \( n \to \infty \) Theo tính chất và chọn lọc của \( \{x_n\} \), tồn tại dãy con \( \{x_{n_k}\} \subset \{x_n\} \) sao cho \( x_{n_k} \to x \) Từ tính chất yếu của \( C \), suy ra \( x \in C \) Do đó, từ tính chất này, ta có \( \|x\| \leq \lim_{n \to \infty} \|x_n\| = d \).
Suy ra kxk=d = inf{kyk: y ∈C} hay x∈ C 0
Ta chựng minh tẵnh duy nhĐt GiÊ sỷ tỗn tÔi y 6= x v y ∈ C 0 Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa C, ta cõ ktx+ (1−t)yk< d vợi mồi t∈(0,1), iãu n y mƠu thuăn vợi d= inf{kyk: y ∈ C}.
Hằ quÊ 1.3.2 GiÊ sỷ C l mởt têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa khổng gian Banach lỗi ch°t v phÊn xÔ E Khi õ, vợi mội x∈ E tỗn tÔi duy nhĐt phƯn tỷ
P C x∈C sao cho kx−P C xk= inf y∈Ckx−yk.
Chựng minh p dửng Mằnh ã 1.3.1 cho têp x− C ta nhên ữủc iãu phÊi chùng minh.
Tứ Hằ quÊ 1.3.2, náu C là một tập con lỗi, trong không gian Banach với lỗi chất E Để xác định bồi kx−P C xk, ta sử dụng công thức inf y∈C kx−yk cho mọi x ∈ E Phép chiếu mảtric P C được gọi là phép chiếu trong không gian E vào C Đặc trưng của phép chiếu mảtric P C được cho bởi mệnh đề Ơy.
Mằnh ã 1.3.3 đề cập đến một không gian Banach phức E và một tập con C trong đó, với x ∈ E và z ∈ C Khi xét các khẳng định sau, ta có: a) z = P_C x; b) đối với mọi y ∈ C, điều kiện ||y - z||, j(x - z)i ≤ 0 được thỏa mãn.
Cho E là một không gian Banach phi tuyến, bài viết đề cập đến cách xây dựng khái niệm phép chiếu mạtric và phép chiếu Bregman Phép chiếu Bregman được xác định bởi ánh xạ Π_C: E → C, với Π_C(x) = argmin_{y∈C} ∆_p(y, x), x∈E Điều này có nghĩa là Π_C(x) là điểm cực tiểu duy nhất của hàm khoảng cách Bregman ∆_p(x, y) trong C.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét vấn đề tối ưu hóa với hàm lỗi D f (y, x) cho mỗi x thuộc E Để tìm giá trị tối thiểu d, chúng ta xác định tập hợp {D f (y, x) : y ∈ C} và chọn dữ liệu bì 0, từ đó tìm infimum d = inf y∈C D f (y, x) Đặc biệt, tồn tại một chuỗi {y_n} thuộc C sao cho giới hạn khi n tiến tới vô cực của D f (y_n, x) sẽ tiến đến d.
Suy ra dÂy {D f (y n , x)} bà ch°n, tực l tỗn tÔi số K sao cho D f (y n , x) ≤ K vợi mồi n ≥1 Tứ õ, ta cõ
Do õ dÂy {y n } bà ch°n Theo Mằnh ã 1.1.8, tỗn tÔi dÂy con {y n k } ⊂ {y n } sao cho y n k * Π C (x) ∈C Tứ tẵnh nỷa liản tửc dữợi cừa D f (ã, x) ta cõ d≤ D f (Π C (x), x)≤ lim inf k→∞ D f (y n k , x) = lim k→∞D f (y n , x) =d.
Suy ra D f (Π C (x), x) = d Tứ tẵnh lỗi ch°t cừa D f (ã, x) v Mằnh ã 1.1.15 ii), suy ra tẵnh duy nhĐt cừa Π C (x).
Ph²p chiáu Bregman ữủc °c trững bði tẵnh chĐt dữợi Ơy:
Mằnh ã 1.3.4 Anh xÔ Π C : E −→ C l ph²p chiáu Bregman khi v ch¿ khi hz−Π C x, J p (x)−J p (Π C x)i ≤ 0, ∀z ∈C (1.14)
Chựng minh GiÊ sỷ (1.14) úng Khi õ, tứ D f (z,Π C (x)) ≥ 0 vợi mồi z ∈ C, ta câ
⇔1 p(kzk p − kxk p )− hz−x, J p (x)i ≥ 1 p(kΠ C xk p − kxk p )− hΠ C x−x, J p (x)i
Suy ra Π C x l hẳnh chiáu Bregman cừa x lản C.
Ngữủc lÔi, giÊ sỷ Π C x l hẳnh chiáu Bregman cừa x lản C Khi õ, ta cõ
D f (Π C x, x) ≤ D f (z, x) vợi mồi z ∈ C Vẳ C l têp lỗi v z,Π C x ∈ C, nản z t = tz+ (1−t)Π C x ∈ C vợi mồi t ∈ (0,1) Do õ D f (Π C x, x) ≤ D f (z t , x) vợi mồi t∈(0,1) iãu n y tữỡng ữỡng vợi
1 p(kΠ C xk p − kxk p )− hΠ C x−x, J p (x)i ≤ 1 p(kz t k p − kxk p )− hz−x, J p (x)i
Vẳ D f (Π C x, z t ) ≥0 v t >0, nản ta cõ hz−Π C x, J p (x)−J p (z t )i ≤ 0.
Cho t→ 0 + ta nhên ữủc hz−Π C x, J p (x)−J p (Π C x)i ≤ 0.
Chó þ 1.3.5. i) Tứ °c trững cừa ph²p chiáu Bregman, ta cõ
∆ p (Π C x, z) ≤∆ p (x, z)−∆ p (x,Π C x), ∀z ∈C (1.15) ii) Náu E l mởt khổng gian Hilbert, f(x) = 1
2kxk 2 , thẳ ph²p chiáu Bregman tữỡng ựng vợi h m f trũng vợi ph²p chiáu mảtric.
B i toĂn chĐp nhên tĂch
Cho không gian Banach E và F, xét một toán tử tuyến tính A: E → F Ta chọn A∗: F∗ → E∗ là toán tử liên hợp của A Biểu thức toán học cho định lý tách (SFP) trong không gian Banach được phát biểu như sau:
Tẳm mởt phƯn tỷ x ∗ ∈S =C ∩A −1 (Q) 6=∅ (SFP)
DÔng tờng quĂt cừa B i toĂn (SFP) l b i toĂn (MSSFP), b i toĂn n y ữủc phĂt biºu nhữ sau: Cho C i , i = 1,2, , N v Q j , j = 1,2, , M l cĂc têp con lỗi v õng cừa E v F tữỡng ựng.
Tẳm mởt phƯn tỷ x ∗ ∈ S =∩ N i=1 C i ∩A −1 (∩ M j=1 Q j ) 6=∅ (MSSFP)
Mổ hạch bì toản (SFP) là ưu tiên hàng đầu trong việc điều trị ung thư Censor và T Elfving đã nhấn mạnh tầm quan trọng của mổ hạch bì toản trong việc phục hồi chức năng cho bệnh nhân ung thư Quy trình này không chỉ giúp cải thiện chất lượng sống mà còn đóng vai trò quan trọng trong việc điều trị hiệu quả các bệnh lý liên quan đến ung thư Việc áp dụng mổ hạch bì toản giúp nâng cao khả năng phục hồi và giảm thiểu các biến chứng trong quá trình điều trị.
Khi E và F là các không gian Hilbert, một trong những phương pháp cỡ bên giải bài toán (SFP) là phương pháp CQ Với phương pháp CQ, bài toán (SFP) được giải và bài toán tầm mởt ở điểm bất động của ánh xôp C I−γT ∗ (I−P Q )T.
, trong õ γ > 0, P C v P Q lƯn lữủt l cĂc ph²p chiáu mảtric tứ E lản C v tứ F lản Q, tữỡng ựng.
Tắm biển ở Ảnh xô khổng giàn là một trải nghiệm độc đáo, nơi người ta có thể áp dụng nhiều phương pháp tắm khác nhau như phương pháp lấp Mann, phương pháp lấp Halpern và phương pháp xếp xô gần kát Các phương pháp này không chỉ mang lại sự thư giãn mà còn giúp nâng cao sức khỏe và tinh thần cho người tắm.
Xu [20] đã chỉ ra rằng các phương pháp CQ và B i toĂn (SFP) có vai trò quan trọng trong việc cải thiện chất lượng dữ liệu Các nghiên cứu trước đây đã xác nhận rằng việc áp dụng các kỹ thuật này có thể nâng cao độ chính xác và tính khả thi của dữ liệu.
0, 2 kTk 2 thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 =P C I −γT ∗ (I −P Q )T x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa b i toĂn (SFP).
Sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p Mann v phữỡng phĂp l°p ữủc cho bði ành lỵ dữợi Ơy: ành lỵ 1.4.2 [20] Cho dÂy {α n } ⊂ [0,4/(2 +γkTk 2 )] thọa mÂn iãu kiằn
0, 2 kTk 2 thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈ E v x n+1 = (1−α n )x n +α n P C I −γT ∗ (I −P Q )T x n , hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa b i toĂn (SFP).
Năm 2006, Xu đã đưa ra các thuật toán mở rộng của phương pháp CQ dựa trên Bài toán (MSSFP) Trước hết, ông chứng minh sự hội tụ của phương pháp lặp Picard cho Bài toán MSSFP.
L=kTk 2 PM j=1β j , thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 = P C N (I −γ
X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa B i toĂn (MSSFP).
Xu cụng  xƠy dỹng v chựng minh sỹ hởi tử cừa phữỡng phĂp l°p song song v phữỡng phĂp l°p xoay vỏng cho B i toĂn (MSSFP) ð dÔng dữợi Ơy: ành lỵ 1.4.4 [19] Náu γ ∈
L = kTk 2 PM j=1β j v λ i > 0 thọa mÂn PN i=1λ i = 1, thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 N
X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa B i toĂn (MSSFP). ành lỵ 1.4.5 [19] Náu γ ∈
L=kTk 2 PM j=1β j , thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 1 ∈E v x n+1 = P C [n+1] (I −γ
X j=1 β j T ∗ (I −P Q j )T)x n hởi tử yáu vã mởt nghiằm cừa B i toĂn (MSSFP).
KhiE v F l cĂc khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu, nôm 2014, Wang
[21]  ữa ra mởt cÊi tián cho thuêt toĂn cừa Schopfer [15] v chựng minh mởt ành lỵ hởi tử mÔnh giÊi b i toĂn (MSSFP) Vợi mội n ∈ N, Wang  xĂc ành d¢y ¡nh x¤ {T n } bði
J q ∗ [J p (x)−t n A ∗ J p (I −P Q i(n)−N )A(x)] N + 1≤ i(n) ≤N +M, trong õi : N→ {1,2, , N} l Ănh xÔ iãu khiºn xoay vỏng ữủc xĂc ành bði i(n) =nmod(N +M) + 1 v t n thọa mÂn iãu kiằn
, (1.16) vợi C q ữủc xĂc ành trong Mằnh ã 1.2.5 Wang  ã xuĐt thuêt toĂn sau: Vợi méi ph¦n tû ban ¦u x 0 = ¯x, x¡c ành d¢y {x n } bði
(1.17) trong õ ∆ p l khoÊng cĂch Bregman tữỡng ựng vợi h m số f(x) = 1 pkxk p , Π C l ph²p chiáu Bregman v J p l Ănh xÔ ối ngău.
Sỹ hởi tử mÔnh cừa phữỡng pháp l°p (1.17) được áp dụng để xác định bði ành lỵ dữợi Ơy Cụ thể, dãy {x_n} xác định bði thuết toán (1.17) hởi tử mÔnh và hẳnh chiáu Bregman Π S x¯ của x¯ lản têp nghiằm S.
B i toĂn iºm bĐt ởng cừa Ănh xÔ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi 24 Chữỡng 2 Mởt ành lỵ hởi tử mÔnh giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch
Cho C là một tập con lỗi của không gian với f(x) = 1 pkxk p, 2≤p < ∞ và T là một ánh xạ từ C vào chính nó Một phần tỷ p thuộc bao đóng của C được gọi là điểm cố định nếu C chứa dãy {x_n} hội tụ sao cho lim n→∞ kx_n − T(x_n)k = 0 Tập các điểm cố định của T được ký hiệu là Fˆ(T) Toán tử T được gọi là Bregman không gian mạnh (viết tắt là L-BSNE) tương ứng với tập điểm cố định của Fˆ(T) khác rộng.
∆p(T x, p) ≤ ∆p(x, p), (1.18) vợi mồi p ∈ Fˆ(T), x ∈ C v khi {x n } ⊂ C l mởt dÂy bà ch°n, p ∈ Fˆ(T) thọa m¢n n→∞lim(∆ p (x n , p)−∆ p (T(x n ), p)) = 0, (1.19) thẳ ta cõ n→∞lim ∆ p (T(x n ), x n ) = 0 (1.20)
Bài toán tối ưu hóa Bregman là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết tối ưu Nó không chỉ thu hút sự quan tâm của các nhà toán học mà còn cả những chuyên gia trong lĩnh vực khoa học dữ liệu và học máy Các ứng dụng của bài toán này rất đa dạng, từ phân tích dữ liệu đến phát triển các thuật toán tối ưu hiệu quả.
Nôm 2016, Shehu et al [16] xƠy dỹng mởt phữỡng phĂp l°p mợi º giÊi b i to¡n sau:
Tẳm mởt phƣn tỷ x ∗ ∈C ∩A −1 (Q)∩F(T) trong õ T là một ánh xô Bregman khổng gián mịnh trái tứ C vào chính nó C Nếu T = I, ánh xô trở nên nhĐt, thì F(T) = C và trong trường hợp này, B i toĂn (1.21) trở thành b i toĂn (SFP) Hơn nữa, chúng tôi sẽ chứng minh kết quả sau: cho E và F là hai không gian Banach p-lỗi ãu và trỡn ãu.
C tập con lỗi, ông, khắc rộng cửa E và F, tưởng tượng, A: E → F là một toán tỷ tuyến tĩnh và chọn v A ∗: F ∗ → E ∗ là toán tỷ liên hợp của A Giả sử b i toán SFP (SFP) có tập nghiệm khác rộng L là một ảnh xô Bregman không giãn mạnh trái từ C vào chính nó, thỏa mãn F(T) = ˆF(T) và F(T) ∩ S 6= ∅ Cho {α n} là một dãy số trong khoảng (0,1) Với mỗi u ∈ E1 cố định, cho {x n} là dãy được xác định bởi u1 ∈ E1.
x n = Π C J q [J p (u n )−t n A ∗ J p (I −P Q )A(u n )] u n+1 = Π C J q [α n J p (u) + (1−α n )J p T(x n )], n ≥1 (1.22) GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn sau ữủc thọa mÂn: i) lim n→∞α n = 0, ii)
. Khi õ, dÂy {x n } hởi tử mÔnh vã mởt phƯn tỷ x ∗ ∈ F(T) ∩ S, ð Ơy x ∗ Π F (T )∩S u.
Mởt ành lỵ hởi tử mÔnh giÊi b i toĂn chĐp nhên tĂch v b i toĂn iºm bĐt ởng trong khổng gian
Trong nghiên cứu này, chúng tôi tập trung vào việc áp dụng phương pháp lai để chứng minh một định lý quan trọng liên quan đến toán học Định lý này liên quan đến sự tồn tại của các hàm số trong không gian Banach, cụ thể là trong không gian Bregman Nghiên cứu sử dụng các tài liệu tham khảo có giá trị để hỗ trợ cho các kết quả đạt được.
Ph¡t biºu b i to¡n
Trong luên vôn n y ta x²t b i toĂn tẳm mởt phƯn tỷ x † sao cho x † ∈ S N
Trong không gian Banach p-lỗi, các tập con lỗi được xác định bởi các ánh xạ Bregman Đặc biệt, với các không gian E và F, ánh xạ F(T_k) là tập điểm bất động của ánh xạ Bregman trên T_k: E → E, thỏa mãn điều kiện Fˆ(T_k) = F(T_k) Hơn nữa, A: E → F là một toán tử tuyến tính mở rộng.
Náu E = F, C i = Q j = E v A l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản E, thẳ B i toĂn (2.1) trð th nh b i toĂn tẳm mởt iºm bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ Bregman khổng giÂn mÔnh trĂi Khi T k l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản E với mồi k = 1,2, , K, b i toĂn (2.1) trð th nh b i toĂn chĐp nhên tĂch (MSSFP).
Phữỡng phĂp chiáu lai gh²p
º gi£i B i to¡n (2.1), c¡c t¡c gi£ T.M Tuyen v N.S Ha ¢ ÷a ra ph÷ìng phĂp l°p dữợi Ơy:
Phữỡng phĂp l°p 2.1 Vợi mội phƯn tỷ ban Ưu x 0 = x ∈ E, xĂc ành dÂy {x n } bði y i,n = Π C i x n , i = 1,2, , N,
D n ={z ∈E : hx n −z, J p (x 0 )−J p (x n )i ≥0}, x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ), n≥ 0, trong õ dÂy số {t n } thọa mÂn iãu kiằn (1.16).
Trong t i liằu tham khÊo [17], º chựng minh sỹ hởi tử mÔnh cừa Phữỡng phĂp l°p 2.1, cĂc tĂc giÊ T.M Tuyen v N.S Ha  lƯn lữủt phĂt biºu v chựng minh cĂc mằnh ã dữợi Ơy.
Mằnh ã 2.2.1 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ S ⊂ H n ∩D n vợi mồi n≥ 0.
Chựng minh Trữợc hát, dạ thĐy H n v D n l cĂc têp con lỗi v õng cừa E. L§y u ∈S, ta câ
Tứ tẵnh chĐt cừa ph²p chiáu Bregman (1.15), ta cõ
B¥y gií, ta ch¿ ra ∆ p (z n , u) ≤ ∆ p (y n , u) °t w n = A(y n )−P Q jn A(y n ) Khi â ta câ z n = J q ∗ (J p (y n )−t n A ∗ J p (w n )).
Tứ ành nghắa cừa J p v (1.14), ta cõ hA(y n )−A(u), J p (w n )i=kA(y n )−P Q jn A(y n )k p
Do õ, tứ Mằnh ã 1.2.5 v (2.4), ta nhên ữủc
= 1 qkJ p (yn)−tnA ∗ Jp(wn)k q − hu, J p (yn)i
Tứ iãu kiằn (1.16), ta thu ữủc
Do vêy, tứ (2.2), (2.3) v (2.5), suy ra u∈H n Vẳ vêy S ⊂ H n vợi mồi n ≥0. Cuối cũng ta ch¿ ra S ⊂ D n vợi mồi n ≥ 0.Thêt vêy, vẳ D 0 = E, nản
S ⊂ D 0 GiÊ sỷ S ⊂ D n vợi n ≥ 0 n o õ, khi õ S ⊂ H n ∩D n Do õ, tứ x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ) v (1.14), ta câ hx −u, J (x )−J (x )i ≥0, iãu n y suy ra u ∈ D n+1 bơng quy nÔp toĂn hồc, ta nhên ữủc S ⊂ D n vợi mồi n ≥0.
Mằnh ã 2.2.2 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ x n+1 −x n → 0 khi n→ ∞.
Chựng minh Tứ Mằnh ã 2.2.1, suy ra dÂy {x n } l ho n to n xĂc ành.
Cố ành u∈ S Tứ x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ) v (1.15) suy ra
Do õ, dÂy {∆ p (x n , u)} bà ch°n Vẳ vêy, tứ (1.12), suy ra dÂy {x n } cụng bà ch°n. Tiáp theo, tứ x n+1 ∈D n v ành nghắa cừa têp hủp D n , ta cõ hx n −x n+1 , J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ 0 (2.7)
Do vêy, ta nhên ữủc hx n −x 0 , J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ hx n+1 −x 0 , J p (x 0 )−J p (x n )i (2.8)
Do õ, tứ (1.12), ta cõ hx n+1 −x 0 , J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ ∆ p (x n , x 0 ) + ∆ p (x 0 , x n ) (2.9) Vẳ vêy, tứ (1.11), ta nhên ữủc
∆ p (x 0 , x n+1 ) ≥ ∆ p (x 0 , x n ) + ∆ p (x n , x n+1 ), (2.10) suy ra {∆ p (x 0 , x n )} l dÂy tông Do õ, tứ tẵnh bà ch°n cừa {∆ p (x 0 , x n )}, tỗn tÔi giợi hÔn hỳu hÔn a= lim n→∞∆ p (x 0 , x n ).
Vẳ vêy, tứ (2.10), ta thu ữủc lim n→∞∆ p (x n , x n+1 ) = 0 Tứ (1.12) suy ra n→∞lim kx n+1 −x n k= 0.
Mằnh ã 2.2.3 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, cĂc dÂy {x n −y n }, {x n −z n } v {x n −t n } hởi tử vã 0 khi n → ∞.
Chựng minh Vẳ x n+1 ∈H n , nản ta cõ
Do õ, tứ Mằnh ã 2.2.2 (∆(x n , x n+1 ) → 0), ta thu ữủc
Tứ (1.12) suy ra kx n+1 −t n k →0, kx n+1 −z n k →0, kx n+1 −y n k →0 kát hủp vợi kx n+1 −x n k →0, ta nhên ữủc x n −t n → 0, x n −z n →0, v x n −y n → 0.
Mằnh ã 2.2.4 Trong Phữỡng phĂp l°p 2.1, ta cõ ω w (x n ) ⊂ S, ð Ơy ω w (x n ) l têp cĂc iºm tử yáu cừa dÂy {x n }.
Chựng minh Ró r ng, ω w (x n ) 6=∅ vẳ dÂy {x n } bà ch°n LĐy x¯∈ω w (x n ), khi õ tỗn tÔi mởt dÂy con {x n k } cừa dÂy {x n } hởi tử yáu vã x¯.
Ta chựng minh mằnh ã n y theo cĂc bữợc sau:
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ t n −z n → 0 v do õ ∆ p (t n , z n ) → 0 Tứ cĂch xĂc ành phƯn tỷ t n , ta nhên ữủc ∆ p (t k,n , z n ) → 0, tực l ∆ p (T k (z n ), z n ) → 0 vợi mồi k = 1,2, , K Suy ra x¯ ∈ Fˆ(T k ) = F(T k ) vợi mồi k = 1,2, , K Do vêy ¯ x∈
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ ∆ p (y n , x n ) → 0 Do õ, tứ cĂch xĂc ành phƯn tỷ y n suy ra ∆ p (y i,n , x n ) → 0 v vẳ vêy ky −x k →0, (2.11) vợi mồi i = 1,2, , N.
Ta cƯn ch¿ ra rơng ∆ p (¯x,Π C i (¯x)) = 0 vợi mồi i = 1,2, , N Thêt vêy, tứ (1.11), (1.14) v (1.12), ta nhên ữủc Ănh giĂ sau
Tứ (2.11), cho k → ∞ ta nhên ữủc ∆ p (¯x,Π C i (¯x)) = 0 vợi mồi i = 1,2, , N, tực l x¯∈C i vợi mồi i = 1,2, , N hay x¯∈
Tứ Mằnh ã 2.2.3, ta cõ ∆ p (z n , y n ) → 0 Do õ, tứ cĂc xĂc ành phƯn tỷ z n , ta nhên ữủc ∆ p (z j,n , y n ) → 0 v vẳ vêy ta thu ữủc kz j,n −y n k →0, (2.12) vợi mồi j = 1,2, , M.
Vẳ E l khổng gian Banach trỡn ãu, nản Ănh xÔ ối ngău J p liản tửc ãu trản cĂc têp con bà ch°n (xem [9, ành lỵ 2.16]) v do õ ta cõ t n A ∗ J p (I −P Q j )A(y n ) =J p (y n )−J p (z j,n )→ 0.
Vẳ 0< t≤ t n vợi mồi n, nản ta nhên ữủc kA ∗ J p (I −P Q j )A(y n )k →0 (2.13)
BƠy giớ ta cố ành u ∈ S, khi õ A(u) ∈ Q j vợi mồi j = 1,2, , M Tứ (1.14) suy ra k(I −P Q j )A(y n k )k p =h(I −P Q j )A(y n k ), J p (I −P Q j )A(y n k )i
≤K 0 k(I −P Q j )A(y n k )k p−1 , iãu n y kát hủp vợi (2.13), ta nhên ữủc k(I −P Q j )A(y n k )k →0 (2.14) vợi mồi j = 1,2, , M, ð Ơy K 0 =kAk(sup k ky n k k+kuk) 0 sao cho τkx n −Π S (x 0 )k ≤ hx n −Π S (x 0 ), J p (x 0 )−J p (Π S (x 0 ))i.
Tiáp theo, tứ ành lỵ 2.2.5, ta cõ cĂc hằ quÊ dữợi Ơy Trữợc hát, õ l mởt phữỡng phĂp l°p º giÊi b i toĂn (MSSFP) trong hai khổng gian Banach.
Hằ quÊ 2.2.6 Cho C i , i = 1,2, , N v Q j , j = 1,2, , M l cĂc têp con lỗi, õng v khĂc rộng cừa hai khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu E v
F, tữỡng ựng Cho A : E → F l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n GiÊ sỷ
6= ∅ Náu dÂy số {t n } thọa mÂn iãu kiằn (1.16), thẳ dÂy {x n } xĂc ành bði x 0 ∈E v y i,n = Π C i (x n ), i= 1,2, , N,
D n ={z ∈E : hx n −z, J p (x 0 )−J p (x n )i ≥ 0}, x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ), n≥ 0, hởi tử mÔnh vã x † = Π S (x 0 ), khi n→ ∞.
Chựng minh p dửng ành lỵ 2.2.5 vợi T k (x) = x vợi mồi x ∈ E v mồi k = 1,2, , K, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.
Cuối cũng, ta cõ kát quÊ dữợi Ơy cho b i toĂn tẳm mởt iºm bĐt ởng chung cừa mởt hồ hỳu hÔn toĂn tỷ L-BSNE trong khổng gian Banach.
Hằ quÊ 2.2.7 Cho E l mởt khổng gian Banach p-lỗi ãu v trỡn ãu Cho
T k : E → E, k = 1,2, , K l mởt hồ hỳu hÔn cĂc toĂn tỷ Bregman khổng giÂn m¤nh tr¡i sao cho Fˆ(T k ) = F(T k ) v S K
D n = {z ∈ E : hx n −z, J p (x 0 )−J p (x n )i ≥0}, x n+1 = Π H n ∩D n (x 0 ), n≥0, hởi tử mÔnh vã x † = Π S (x 0 ), khi n→ ∞.
Chựng minh p dửng ành lỵ 2.2.5 vợi E ≡ F v C i = Q j = E vợi mồi i = 1,2, , N, j = 1,2, , M v A =I, ta nhên ữủc iãu phÊi chựng minh.
Vẵ dử minh hồa
Vẵ dử 2.3.1 Ta x²t B i toĂn (2.1) vợi C i ⊂R n v Q j ⊂ R m ữủc xĂc ành bði
Q j ={x∈R M : ha Q j , xi ≤b Q j }, trong õ a C i ∈R N , a Q j ∈R M v b C i , b Q j ∈ R vợi mồi i = 1,2, , N, j = 1,2, , M v T k l ph²p chiáu mảtric tứ R N lản S k vợi
S k ={x∈R n : kx−I k k 2 ≤ R 2 k }, vợi mồik = 1,2, , K v A l mởt toĂn tỷ tuyán tẵnh bà ch°n tứ R N lản R M vợi ma trên cõ cĂc phƯn tỷ ữủc sinh ngău nhiản trong oÔn [2,4].
Tiáp theo, ta lĐy ngău nhiản giĂ trà cĂc tồa ở cừa a C i , a Q j trong oÔn [1,3] v b C i , b Q j trong oÔn [2,4], tồa ở tƠmI k trong oÔn [−1,1] v bĂn kẵnh R k cừa hẳnh cƯu S k trong oÔn [2,10], tữỡng ựng.
BƠy giớ, ta kiºm tra sỹ hởi tử cừa Thuêt toĂn 2.1, vợi phƯn tỷ ban Ưu x 0 ∈ R N cõ cĂc tồa ở ữủc sinh ngău nhiản trong oÔn [−5,5], N = 20,
2kAk 2 Sau nôm lƯn thỷ, ta thu ữủc bÊng kát quÊ số dữợi Ơy. iãu kiằn dứng: TOL n