Phân hoạch nguyên và các kí hiệu
Trong phần này giới thiệu một số kí hiệu về các phân hoạch và hệ số đa thức Bây giờ ta giải thích các kí hiệu này.
Phân hoạch π của số nguyên dương n là phép biểu diễn n thành tổng của các số nguyên dương.
Chẳng hạn như, ta có các phân hoạch π của 4 là
Trong phân hoạch π của số nguyên n, được biểu diễn dưới dạng n = p1 + p2 + + pm, các số hạng pi (i = 1, 2, , m) được gọi là các bộ phận của phân hoạch Thứ tự của các số hạng không được coi là quan trọng, ví dụ, trong phân hoạch của số 4, các cách phân hoạch như 4 = 1 + 1 + 2, 4 = 1 + 2 + 1 và 4 = 2 + 1 + 1 đều được xem là tương đương.
Số phân hoạch π củankí hiệu là p(n) Số các số hạng của của phân hoạch π kí hiệu là l(π) Vì vậy, với n= p 1 +p 2 + +p m thì l(π) = m.
Xét phân hoạch π của 55 như sau
Hơn nữa, phân hoạchπ của ncó thể được viết ở dạng π = {p 1 , p 2 , , p m }.
Ví dụ như phân hoạch π của 55 ta viết là π = {1,1,1,1,1,1,2,2,2,6,6,7,7,7,10}.
Trong một phân hoạch π của số n, mỗi số i (1 ≤ i ≤ n) có số lần xuất hiện được ký hiệu là π i, được gọi là tính bội của phần i trong π Ví dụ, trong phân hoạch π của số 55, ta có π 1 = 6, π 2 = 3 và π 3 = 0.
Kí hiệu tiêu chuẩn cho phân hoạch được biểu diễn là π = [1 π 1 ,2 π 2 , , n π n ], trong đó các số hạng có tính bội bằng 0 sẽ được loại bỏ Ví dụ, phân hoạch π của số 55 trong kí hiệu tiêu chuẩn là một trường hợp cụ thể.
Chẳng hạn như, phân hoạch dẫn xuất δ(π) của phân hoạch π của 55 là phân hoạch của l(π) = 15 sau δ(π) ={1,2,3,3,6} = 1 1 ,2 1 ,3 2 ,6 1
Xét phân hoạch π = {p 1 , p 2 , , p m } của n Chúng ta dùng kí hiệu π! m
(p i !) và dùng kí hiệu ( n π ) cho hệ số đa thức n p 1 , p 2 , , p m
Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày công thức Faá di Bruno, sử dụng các ký hiệu đã giới thiệu để nghiên cứu các đạo hàm liên tiếp của hàm 1 f(x) Đồng thời, chúng tôi cũng sẽ giới thiệu một số dãy số nguyên liên quan đến các đạo hàm liên tiếp này.
Đạo hàm liên tiếp của hàm f (x) 1
Định lý 1.2.1 trình bày công thức Faá di Bruno một cách ngắn gọn và hữu ích, theo phương pháp của Vella Nếu y = g(u) và u = f(x) khả vi đến cấp n, thì hàm hợp y = (g◦f)(x) cũng khả vi đến cấp n.
[f (i) (x)] π i (1.1) trong đó Ωn là tập tất cả các phân hoạch của n.
Nếu f = f(x) thì ta quy ước f = f (0)
Ta có định lí tổng quát sau. Định lí 1.2.2 Các đạo hàm liên tiếp của hàm (1.2) thỏa mãn công thức sau
= P n f n+1 ,(n≥ 0) (1.3) trong đó P n là đa thức hệ số nguyên của các biến số f, f (1) , , f (n)
Chứng minh Đặt g(u) = 1 u = u −1 Lưu ý rằng g (n) (u) = (−1) n n! u n+1 (1.6)
Thế phương trình (1.6) vào phương trình (1.1) ta nhận được
Sử dụng (1.5) ta được những đa thức P n đầu tiên.
(1.12) Định lí sau nêu ra một số tính chất chung của đa thức P n Định lí 1.2.3 Đa thức P n (n ≥1) có các tính chất sau:
Mỗi số hạng trong đa thức P n có n nhân tử và tổng chỉ số trên là n, thể hiện qua dạng f (i 1 ) f (i 2 ) f (i n ) với điều kiện i 1 +i 2 + +i n = n Do đó, có thể thiết lập phép tương ứng giữa mỗi đơn thức và một phân hoạch của n Số lượng số hạng trong đa thức P n, ký hiệu là p(n), cũng chính là số phân hoạch của n.
(ii) Đa thức P n có tổng hệ số là 1 nếu n chẵn và có tổng hệ số là −1 nếu n lẻ Như vậy, tổng các hệ số của đa thức P n là (−1) n
(iii) Nếu n chẵn thì đơn thức với số chẵn của f có hệ số dương và đơn thức với số lẻ của f có hệ số âm.
Nếu n lẻ thì đơn thức với số chẵn của f có hệ số âm và đơn thức với số lẻ của f có hệ số dương.
(iv) Nếu A n là tổng giá trị tuyệt đối của hệ số trong đa thức P n thì ta luôn có công thức sau (A 0 = 1): q(x) = 1
A k k! x k (1.13) trong đó, A k (k ≥ 0) là đạo hàm cấp k của hàm q(x) = 1
Bán kính hội tụ của (1.13) là R = log 2 Ngoài ra,
(v) Hệ số của đơn thức f f f (n) là −1 Hệ số của đơn thức f (1) f (n) là (−1) n n! Vì vậy A n ≥ n! (xem phần (iv)).
Chứng minh (i) Từ (1.5) ta suy ra được kết quả phần (i).
(ii) Ta áp dụng (1.7) trong trường hợp f (x) = e x Để ý rằng f (i) (0) = 1 với mọi i ≥0 Vì thế, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành
Mặt khác, vế phải của (1.7) tại x = 0 trở thành
(−1) l(π) ( n π ) l(π) δ(π) , là tổng hệ số của đa thức P n
(iii) Từ (1.5) ta suy ra được kết quả phần (iii).
(iv) Áp dụng (1.7) trong trường hợp f (x) = 2 −e x Chú ý là f (0) = 1 và f (i) (0) = −1 với mọi i ≥ 0 Vì thế, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành
(1.15) Để ý rằng (1.15) (xem tử số của (1.7)) là tổng A n trong số các giá trị tuyệt đối của hệ số trong đa thức P n Mặt khác, vế trái của (1.7) tại x = 0 trở thành
Lưu ý là hàm biến phức q(z) = 1
2−e x là hàm giải tích trong hình tròn
|z| < log 2 và vì vậy bán kính hội tụ của (1.13) là R = log 2 Cũng theo định nghĩa hàm sinh (xem tham khảo [6]) ta chứng minh được q(x) = 1
2−e x là hàm sinh mũ của dãy A n Phần d) được chứng minh.
Hệ quả trực tiếp từ phương trình (1.5) đã được chứng minh trong phần e) Các giá trị đầu tiên của dãy số nguyên A n có thể được tìm thấy qua các phương trình (1.4), (1.8), (1.9), (1.10), (1.11) và (1.12), hoặc bằng cách sử dụng trực tiếp phương trình (1.14).
Trong phần tiếp theo chúng ta chứng minh công thức truy hồi tổ hợp sau:
( n k )A k (n≥ 1) (1.16) Một hệ quả đơn giản của công thức này là bất đẳng thức
Đạo hàm liên tiếp của hàm f h(x) (x)
Để xây dựng công thức tính đạo hàm liên tiếp của hàm h(x) f(x), chúng ta cần biết đến công thức khai triển nhị thức nổi tiếng sau
(n−k)!k! và 0! = 1. Chúng ta cũng cần đến kết quả nổi tiếng sau của Leibnitz về các đạo hàm liên tiếp của hàm f g = f(x)g(x).
Bổ đề 1.3.1 Xét hàm f g, ta luôn có công thức sau
Chứng minh Ta chứng minh công thức này bằng quy nạp, với n = 0 và n= 1, ta có
1 1 f (0) g (1) , là những kết quả ta đã biết.
X k=0 n k f (k) g (n−k) Vậy (1.18) đúng theo nguyên lí quy nạp. Định lí 1.3.2 Xét hàm h(x) f(x) = h f ta luôn có công thức sau h f
Chứng minh Ta có h f = h1 f. Theo Bổ đề 1.3.1 và phương trình (1.3) ta có kết quả h f
( n k )h (n−k) f n−k Pk f n+1 Đó là phương trình (1.19).
Sử dụng (1.19), (1.4), (1.8), (1.9) và (1.10) ta có được các đa thức Q n đầu tiên là
Trong định lý 1.3.3, chúng ta xem xét đa thức Q n với n ≥ 0 Đối với đa thức Q n (n ≥ 1), tổng các hệ số bằng 0 Hơn nữa, nếu C n là tổng giá trị tuyệt đối của các hệ số trong đa thức Q n, thì luôn có một công thức xác định cho giá trị này.
( n k )Ak, (n ≥ 0) (1.20) iii) Nếu n chẵn thì đơn thức với số chẵn f có hệ số dương và đơn thức với số lẻ f có hệ số âm.
Nếu n là số lẻ, thì đơn thức với số lẻ f có hệ số dương, trong khi đơn thức với số chẵn f có hệ số âm Đối với tổng giá trị tuyệt đối của hệ số trong đa thức Q n, ta có công thức p(x) = e^x.
Vì vậy, Ck (k ≥ 0) là đạo hàm cấp k của hàm p(x) = e x
2−e x tại x = 0 (Ck = p (k) (0)) Bán kính hội tụ của (1.21) là R = log2. v) Ta có
C n = 2A n (n ≥ 1). vii) Mỗi số hạng (đơn thức) trong đa thức Q n có (n+ 1) nhân tử và có tổng chỉ số trên là n Nghĩa là, mỗi đơn thức có dạng h (i 1 ) f (i 2 ) f( i (n+1)) trong đó i 1 +i 2 + +i (n+1) = n và h = h (0) , f = f (0)
Số các số hạng (đơn thức) trong đa thức Q n là n
P k=0 p(k), trong đó p(k) là số phân hoạch của k (p(0) = 1).
Chứng minh i) Tổng hệ số trong đa thức P k là (−1) k (xem phần (ii) của Định lí 1.2.3) Vì vậy, tổng hệ số trong đa thức Q n (xem (1.19) và (1.17)) là n
Giá trị của biểu thức ( n k ) (−1) k được tính là (1−1) k, dẫn đến kết quả bằng 0 Tổng giá trị tuyệt đối của các hệ số trong đa thức P k được ký hiệu là A k, theo phần (iv) của Định lý 1.2.3 Do đó, tổng giá trị tuyệt đối của các hệ số trong đa thức Q n cũng được xác định, như đã nêu trong (1.19).
Hàm số f(x) = e^x - 2 có giá trị f(0) = -1, và từ đạo hàm n lần f^(n)(x) = e^x với n ≥ 1, ta suy ra f^(n)(0) = 1 Đồng thời, hàm h(x) = e^x có giá trị h(0) = 1, và từ đạo hàm n lần h^(n)(x) = e^x với n ≥ 1, ta cũng có h^(n)(0) = 1 Đây là những hệ quả trực tiếp từ Định lý 1.2.3 và công thức (1.19).
Hàm p(x) = −h(x) f(x) = − e^x / (e^x − 2) thỏa mãn điều kiện p(n)(0) = Cn với n ≥ 0, như đã chỉ ra ở phần iii) và phương trình (1.19) Đồng thời, hàm phức p(z) = −h(z) f(z) = − e^z / (e^z − 2) là hàm giải tích trong hình tròn |z| < log 2, dẫn đến bán kính hội tụ R = log 2 cho (1.21) Theo phần (iv) của Định lý 1.2.3, ta có p(x) = e^x.
Mặt khác, ta lại có p (n) (x) = 2q (n) (x),(n ≥ 1).
C n = p (n) (0) = 2q (n) (0) = 2A n ,(n ≥1). vi) Là một hệ quả trực tiếp của phần ii) và phần v). vii) Là một hệ quả trực tiếp của (1.19) và phần i) của Định lí 1.2.3.
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ DÃY SỐ
Trong chương này trình bày kết quả tiệm cận về dãy số nguyên A n , qua đó đưa ra một số công thức gần đúng về dãy A n
Kết quả tiệm cận về dãy A n
Bổ đề 2.1.1 Ta xét chuỗi lũy thừa (1.13)
Tiêu chuẩn tỉ số đối với chuỗi luỹ thừa này áp dụng được, tức là có giới hạn sau: k→∞lim
A n ≤ 1 n (2.3) Áp dụng (2.3) nhiều lần chúng ta có được
Từ phương trình cuối và (1.16) ta được
Cuối cùng, từ (2.2) và (2.4) cho ta kết quả
Giả sử ta luôn có bất đẳng thức sau từ một giá trị n= n 0 + 1 nào đó.
Từ phương trình (1.16) và (2.8) ta suy ra kết quả
Từ (2.9) ta có bất đẳng thức (từ một giá trị n xác định)
Giả sử rằng ta luôn có bất đẳng thức sau từ một giá trị n = n 0 + 1 xác định.
Từ phương trình (1.16) và (2.13) ta có kết quả
Phương trình (2.4) cho (từ một giá trị n xác định)
Xét bất đẳng thức (2.5) Đó là, h 1 = 1 = e 0 −1
1 = e−1 = p 1 (2.16) Đây là bất đẳng thức thứ nhất của chúng ta.
Bất đẳng thức bên phải (tức là (2.11) cho ta bất đẳng thức (xem (2.15)) h 2 = e p 1 1 −1
Chú ý rằng do p 1 > 0, chúng ta có bất đẳng thức e p 1 1 −1
Giả sử λ 2 là số bé nhất giữa 1
Từ bất đẳng thức (2.17) (tức là phương trình (2.6)) ta có (xem phương trình (2.10)) bất đẳng thức
Lưu ý là do h2 > 1 (xem (2.18)), chúng ta có bất đẳng thức e h 1 2 −1
Giả sử ε 2 là số bé nhất giữa 1
Mặt khác, từ bất đẳng thức (2.17) và (2.19) ta có bất đẳng thức thứ hai sau h 2 = e p 1 1 −1
Từ bất đẳng thức (2.19) (tức là phương trình (2.11)) ta có bất đẳng thức (xem (2.15)) h 3 = e p 1 2 −1
Như vậy, phương trình (1.20) trở thành e p 1 2 −1
Giả sử λ 3 là số bé nhất giữa 1
Vậy thì h 3 > h 2 > h 1 = 1 (2.23) Bất đẳng thức (2.22) (tức là phương trình (2.6)) cho chúng ta (xem 2.10) bất đẳng thức
Do đó, phương trình (2.23) trở thành e h 1 3 −1
Giả sử ε 3 là số bé nhất giữa 1
Trong dạng này ta xây dựng các bất đẳng thức sau (xem (2.16), (2.21), (2.26)). h 1 = 1 = e 0 −1
Trong dãy bất đẳng thức, h n là một dãy tăng ngặt và bị chặn, trong khi p n là dãy giảm ngặt và cũng bị chặn Do đó, dãy h n có giới hạn là l 1 và dãy p n có giới hạn là l 2.
Tiếp theo, ta sẽ chứng minh rằng l 1 = l 2 = l = 1 log 2 Vì vậy, ta có được giới hạn mong muốn là (2.1) hay x→∞lim
Lưu ý là từ λ n ≤ 1 n suy ra dãy λ n có giới hạn là 0 và từ ε n ≤ 1 n suy ra dãy ε n cũng có giới hạn là 0.
Dãy h n thỏa mãn (xem dãy các bất đẳng thức) quan hệ truy hồi sau h n = e
Vì vậy nếu lấy giới hạn trong cả hai vế ta được l 1 thỏa mãn phương trình l1 = e
Dãy p n thỏa mãn (xem dãy các bất đẳng thức) quan hệ truy hồi sau p n = e hn 1 −1
Vì vậy, nếu lấy giới hạn trong cả hai vế ta được l 2 thỏa mãn phương trình l 2 = e
Vậy l 1 và l 2 cùng thỏa mãn phương trình (xem (2.27) và (2.28)) e
Phương trình này có nghiệm l = 1 log 2. Chúng ta sẽ chứng minh rằng nghiệm này là nghiệm dương duy nhất của phương trình (2.29).
Vì vậy l 1 = l 2 = l = 1 log 2. Phương trình (2.29) trở thành l = e
1−e − 1 l = 1. Đặt x = 1 l và xét hàm f(x) =e ex−1 x 1−e −x Chúng ta phải chứng minh rằng nghiệm dương duy nhất của phương trình f(x) = e ex−1 x 1−e −x = 1 là x = log 2.
Chú ý rằng f(0) = 0 và nếu x > 0 thì f(x) > 0.
Nếu x > 0 thì đạo hàm của f(x) là f 0 (x) =e ex−1 x −x+ 2−2e −x e x −1 Xét hàm g(x) = −x+ 2−2e −x
Ta có g(0) = 0, g(log 2)> 2, x→∞lim g(x) =−∞. Đạo hàm của nó là g 0 (x) = 2e −x −1.
Trên khoảng [0,log2), ta có g 0 (x) > 0.
Tại x = log 2, ta có g 0 (x) = 0. đó, f(x) là tăng ngặt trong khoảng [0, a) và f(x) là giảm ngặt và lớn hơn 1 trong khoảng [a,∞).
Vì vậy, nghiệm dương duy nhất của phương trình (2.29) là x= log 2.
Một số công thức gần đúng về dãy A n
Định lí 2.2.1 Ta có các công thức gần đúng sau:
Ta có k→∞lim ak a k−1 = 1 log 2 (2.38)
Ta thấy, khi n → ∞ thì n log 2 → ∞ Do đó lim n→∞
Ta thấy, với n đủ lớn thì A n là vô cùng bé so với A n+1 Vì vậy
(A n+1 −A n ) ∼A n+1 Để chứng minh các phương trình (2.33), (2.34), (2.35) ta cần biết đến các bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.2 Nếu S n là dãy số dương có giới hạn là s thì dãy
√n s 1 s 2 s n cũng có giới hạn là s.
Bổ đề 2.2.3 Ta có giới hạn sau n→∞lim
Do đó, từ (2.38), (2.39) và Bổ đề 2.2.2, ta có k→∞lim
Từ (3.40), Bổ đề 2.2.3 và (2.30), ta được pn
Mặt khác, ta có pn
Từ (2.41) và (2.42) ta được kết quả n→∞lim n qA 1
1 nlogA n = logn−1−log log 2 +o(1) hay logA n = nlogn−(1 + log log 2)n+o(n).
7) Phương trình (2.36) là một hệ quả trực tiếp của phương trình (2.35).
8) Nếu ta liên kết A n với chuỗi
P k=0 a k x k và chứng minh như phần 4), sử dụng (2.30) ta được điều cần phải chứng minh.