Định nghĩa hình thức của biến đổi Laplace và các ví dụ
Định nghĩa hình thức
Biến đổi Laplace của f(t) một cách hình thức được định nghĩa bởi công thức:
Biến đổi Laplace của hàm f(t) được định nghĩa bởi công thức 0 e −st f (t)dt, với điều kiện Re > 0 Trong đó, e −st là hạt nhân của biến đổi, s là biến số phức Dưới những điều kiện rộng rãi về f(t), biến đổi Laplace f(s) sẽ là một hàm giải tích theo s trong nửa mặt phẳng, với Re > a, trong đó a là một hằng số thực dương.
Sử dụng công thức (1.1), chúng ta có thể tính toán các biến đổi Laplace của một số hàm cấp thấp đơn giản.
Các ví dụ
Ví dụ 1.1 Nếu f (t) = e at , trong đó a là một hằng số thực thì
Ví dụ 1.2 Nếu f (t) = sin at, trong đó a là hằng số thực thì
Ví dụ 1.3 Nếu f (t) = sinh athoặc cosh at, trong đó a là hằng số thực thì
Ví dụ 1.4 Nếu f (t) = t n , trong đó n là một số nguyên dương thì f (s) = L {t n } = n! s n+1 (1.7)
Trở lại công thức (1.2) với a = 0, lấy đạo hàm theo s hai vế, một cách hình thức, ta có:
Z ∞ 0 te −st dt = 1 s 2 (1.8) Điều đó có nghĩa là
L {t} = 1 s 2 (1.9) Đạo hàm theo s hai vế của (1.8) ta được:
Tương tự như vậy, vớia = 0, lấy đạo hàm theoshai vế của (1.2) n lần, ta được công thức:
Ví dụ 1.5 Nếu a > −1 và là một số thực thì
Lúc này, đặt st = x, thì
Z ∞ 0 x a e −x dx = Γ(a + 1) s a+1 Ở đây Γ(a) là hàm Gamma được định nghĩa bởi tích phân Γ(a) =
Hàm Gamma có tính chất: Γ(a + 1) = aΓ(a) (1.14)
Kết quả (1.12) là một phần mở rộng của (1.11) và là trường hợp đặc biệt khi a là một số nguyên dương, đặc biệt là khi a = −1.
Điều kiện tồn tại của biến đổi Laplace
Một hàm f(t) được gọi là hàm cấp mũ a > 0 trên (0 ≤ t < ∞), nếu tồn tại một hằng số dương K, sao cho t > T,
|f (t)| ≤ Ke at , (1.17) và chúng ta viết điều này một cách tượng trưng như sau: f(t) = O(e at ), khi t → ∞ (1.18)
Hàm f(t) được gọi là hàm cấp mũ khi giới hạn khi t tiến tới vô cùng không tăng nhanh hơn Ke^at, với điều kiện b > a Định lý 1.1 chỉ ra rằng nếu f(t) là hàm liên tục hoặc liên tục từng khúc trên khoảng (0; T) và có dạng e^at, thì biến đổi Laplace của f(t) tồn tại với mọi s, miễn là phần thực Res lớn hơn a.
Chứng minh Chúng ta có f (s)
Chứng minh đã hoàn thành.
Lưu ý rằng điều kiện nêu trong Định lý 1.1 chỉ là một điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần.
Cũng theo (1.20), thì s→∞ lim |f (s)| = 0 ⇒ lim s→∞ f(s) = 0.
Kết quả này phản ánh tính chất giới hạn của biến đổi Laplace Cụ thể, f(s) = s hoặc s² không phải là biến đổi Laplace của bất kỳ hàm liên tục nào, vì f(s) không tiến tới 0 khi s → ∞ Thêm vào đó, hàm f(t) = at² với a > 0, mặc dù là hàm liên tục, nhưng không phải là hàm cấp mũ, nên cũng không thể có biến đổi Laplace.
Các tính chất đơn giản của biến đổi Laplace
1 Tính chất về dịch chuyển Định lý 1.2 (Định lý thứ nhất về chuyển dịch Heaviside).
L {e −at f (t)} = f (s + a), trong đó a là một hằng số thực (1.21) Chứng minh Theo định nghĩa, chúng ta có
0 e −(s+a)t f (t)dt = f(s + a). Định lý 1.3 Nếu L {f (t)} = f (s) thì
L {f(t − a)H(t − a)} = e −as f (s) = e −as L{f(t)}, a > 0, (1.22) hay tương đương:
L {f (t)H(t − a)} = e −as L {f(t + a)} (1.23) Ở đây H(t) là hàm Heaviside.
Suy ra công thức (1.23). Đặc biệt, nếu f (t) = 1 thì:
Chứng minh Theo định nghĩa, ta có
0 e −st f (at)dt. Đổi biếnu = at, ta có
3 Biến đổi Laplace của đạo hàm Định lý 1.4 (Biến đổi Laplace của các đạo hàm)
L {f 00 (t)} = s 2 L {f (t)} − sf(0) − f 0 (0) = s 2 f(s) − sf (0) − f 0 (0) (1.27) Tổng quát hơn:
L {f n (t)} = s n f (s) − s n−1 f(0) − s n−2 f 0 (0) − − s.f n−2 (0) − f n−1 (0) (1.28) Ở đây f (r) (0) là giá của f (r) (t) tại t = 0, r = 0, 1, , (n − 1.)
Chứng minh Theo định nghĩa, chúng ta có:
0 e −st f 0 (t)dt. Đó là kết quả của lấy tích phân từng phần:
Trong đó, chúng ta giả định f(t).e −st → 0 khi t → ∞.
= s 2 f (s) − sf (0) − f 0 (0). Ở đây, chúng ta có giả định e −st f 0 (t) → 0 khi t → ∞.
Một quy trình tương tự có thể được sử dụng để chứng minh các kết quả tổng quát (1.28).
Ví dụ 1.6 Sử dụng (1.28) để tìm L {t n } Ở đây, f (t) = t n , f 0 (t) = nt n−1 , , f n (t) = n!
Tích chập Laplace
Định lý 1.5 (Định lí chập).
L {f (s)g(s)} = f (t) ∗ g(t) (1.30) Ở đây, f (t) ∗ g(t) được gọi là tích chập của f(t) và g(t) và được xác định bởi tích phân: f(t) ∗ g(t) =
Tích phân trong (1.31) thường được gọi là tích phân chập và được kí hiệu đơn giản bằng (f ∗ g)(t).
Chứng minh Theo định nghĩa, ta có:
Bây giờ chúng ta thay đổi trật tự của các tích phân, ta được
Lúc này, bằng cách đổi biến t − τ = x, ta có:
Chứng minh (Cách chứng minh thứ 2.)
Theo định nghĩa, chúng ta có: f (s)g(s) =
Tích phân hai lớp được thực hiện trên toàn bộ góc phần tư thứ nhất R của mặt phẳng σ − à, giới hạn bởi σ = 0 và à = 0, như được mô tả trong hình Chúng ta thực hiện phép biến đổi các biến à = τ, σ = t − à = t − τ, khiến cho trục σ = 0 và à = 0 trở thành τ = 0 và τ = t trong mặt phẳng τ − t Kết quả là công thức (1.33) trở thành f (s)g(s) =.
Tích chập có tính giao hoán, tính kết hợp và tính phân phối đối với phép cộng và phép trừ f (t) ∗ g(t) = g(t) ∗ f (t), (1.34) f (t) ∗ {g(t) ∗ h(t)} = {f (t) ∗ g(t)} ∗ h(t), (1.35) f(t) ∗ {ag(t) + bh(t)} = af (t) ∗ g(t) + bf (t) ∗ h(t) (1.36)
Ví dụ 1.7 Sử dụng định lí chập (1.29), chứng minh rằng:
B (m, n) = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n) , (1.37) Ở đây, Γ(m) là hàm gamma và B (m, n) là hàm beta được định nghĩa bởi:
Z 1 0 x m−1 (1 − x) n−1 dx.(m > 0, n > 0) (1.38) Để chứng minh (1.37), chúng ta xem xét: f(t) = t m−1 (m > 0) và g(t) = t n−1 (n > 0).
Hiển nhiên, f(s) = Γ(m) s m và g(s) = Γ(n) s n Chúng ta có: f ∗ g =
= Γ(m)Γ(n)L −1 {s −(m+n) } = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n) t m+n−1 Để t = 1, chúng ta có kết quả:
Z 1 0 τ m−1 (1 − τ ) n−1 dτ = Γ(m)Γ(n) Γ(m + n) Trên đây là chứng minh cho công thức (1.37)
Đạo hàm của biến đổi Laplace và biến đổi Laplace của tích phân
Đạo hàm của biến đổi Laplace
Nếu f (t) = O(e at ) khi t → ∞ thì Laplace thiếu
Z ∞ 0 e −st f(t)dt (1.39) là hội tụ đều với mọi s thỏa mãn điều kiện s ≥ a 1 , trong đó a 1 > a.
|e −st f (t)| ≤ Ke −t(s−a) ≤ Ke −t(a 1 −a) , với mọi s ≥ a 1 và
Bằng kiểm tra tiêu chuẩn Weierstrass, tích phân Laplace là hội tụ đều với mọi s > a 1 > a Định lý được chứng minh.
Vì (1.39) hội tụ đều, đạo hàm (1.1) theo s ta được d ds f(s) = d ds
Chúng ta có thể tổng quát hóa các công thức liên quan đến đạo hàm của hàm f(s) như sau: d^n/ds^n f(s) = (-1)^n L{t^n f(t)} Kết quả này được xác định trong Định lý 1.7, là một biến thể của biến đổi Laplace.
(s 2 + a 2 ) 2 , (d) L {tf 0 (t)} = −{s d ds f(s) + f (s)}. (a) Áp dụng định lí (1.40), cho:
(s 2 + a 2 ) 2 Kết quả (c) và (d) được chứng minh tương tự. Định lý 1.8 (Tích phân của biến đổi Laplace)
Chứng minh Theo quan điểm của sự hội tụ (1.39), f (s) có thể được tích hợp đối với s trong (s, ∞) Vì vậy mà:
= 2 a exp(−a √ s). (a) Sử dụng (1.45), chúng ta có:
Bằng cách đặt a √ s = x, ta được:
Biến đổi Laplace của tích phân Volterra
Định lý 1.9 (Biến đổi Laplace của một tích phân).
Chứng minh Chúng ta viết: g(t) =
Từ công thức f(s) = 1 s tanh as
Chia cả hai vế cho s, ta được (1.46).
Biến Laplace của một tích phân liên quan đến việc phân chia biến đổi của tích phân cho biến s Kết quả này thường được sử dụng để đánh giá biến đổi Laplace ngược.
Ví dụ 1.10 Sử dụng kết quả (1.46) để tìm:
= n! s(s + a) n+1 (b) Sử dụng công thức (1.46) và ví dụ (1.9)(a), chúng ta có:
Biến đổi Laplace ngược
Công thức Mellin
Định lý 1.10 Cho hàm gốc f trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0 , chỉ số tăng là α 0 Khi đó, f (t) = L −1 [f(s)] = 1
Z x−i∞ e st f (s) ds, x > α 0 (1.47) Tích phân trong (1.47) được hiểu theo nghĩa giá trị chính, và công thức này có tên là công thức Mellin.
Chứng minh Với x > α 0 , đặt g (t) = e −xt f (t) , ta có g cũng trơn từng khúc trên mọi khoảng hữu hạn của nửa trục t ≥ 0. Ngoài ra, ta có
Chọn ε > 0 sao cho x − α 0 − ε > 0, thì có g khả tích Sử dụng công thức tích phân Fourier ở chương 3 và lưu ý g(u) triệt tiêu khi u < 0, ta có g (t) = 1
Định lý 1.11 khẳng định rằng nếu f và g là các hàm gốc trơn từng khúc trên nửa trục t ≥ 0 với chỉ số tăng lần lượt là α₀ và β₀, thì tích f g cũng là một hàm gốc với chỉ số tăng là α₀ + β₀ Áp dụng định lý này vào phép biến đổi Laplace, ta có thể chứng minh các tính chất quan trọng liên quan đến hàm F(x + iλ).
Chứng minh Hiển nhiên f g là hàm gốc với chỉ số tăng làα 0 + β 0 Sử dụng công thức Mellin, ta có:
Dựa trên định lý đã nêu, chúng ta có thể rút ra công thức Mellin từ giả thiết, trong đó F là biến đổi Laplace của một hàm gốc nào đó Vấn đề quan trọng là xác định các điều kiện mà F cần thỏa mãn để có thể là biến đổi Laplace của một hàm gốc Định lý 1.12 đưa ra các điều kiện cần thiết cho hàm F, tuy nhiên phần chứng minh sẽ được bỏ qua.
(i) F giải tích trong miền Res > α 0
(ii) Khi |s| → ∞ trong mỗi miền Rep > α 0 thì hàm F tiến đều về 0 theo arg s ∈ −π
|F (x + iy)| dy ≤ M trong đó M là hằng số (1.49)
Khi đó hàm F xác định trên Res > α 0 là biến đổi Laplace của hàm f định bởi f (t) = 1
Định lý 1.13 cho phép xác định hàm gốc của một hàm chính qui tại vô cực thông qua công thức Z x−i∞ e st F (s) ds, với điều kiện x > α 0 Giả sử rằng thác triển giải tích của F trên nửa mặt phẳng trái là một hàm giải tích đơn trị, và L(f) = F, trong đó s = ∞ là điểm chính qui của hàm.
F, i.e, F có khai triển tại vô cực như sau:
Nhận xét 1.1 Trong các ví dụ trước ta đã biết rằng L [t n ] = s n+1 n! Do đó, định lý trên cũng có nghĩa là
Chứng minh Ta khảo sát sự hội tụ của chuỗi (1.51).
Giả sử chuỗi (1.50) hội tụ bên ngoài đường tròn bánh kính R 0 Khi đó,
Từ đó ta có đánh giá hệ số c n+1 của chuỗi (1.50) như sau:
Vậy chuỗi (1.51) hội tụ tuyệt đối và hội tụ đều trên đoạn [−N, N] với N > 0 tùy ý Hơn nữa, tổng của chuỗi này là hàm gốc.
Do tính hội tụ đều, ta có:
Ta khảo sát chuỗi thứ hai ở trên với Res = R 1 > R 0 , ta có
Suy ra với Res = R 1 > R 0 , chuỗi
N e −st t n dt hội tụ đều theoN Mặt khác, từng số hạng của chuỗi này tiến về0 khiN → ∞ nên từ (1.52), ta suy ra:
Phương pháp tìm biến đổi Laplace ngược dựa vào các công thức đã biết
Biến đổi Laplace f(s) của hàm f(t) có thể được tính qua tích phân trực tiếp Tuy nhiên, vấn đề ngược lại là làm thế nào để xác định hàm f(t) từ biến đổi Laplace f(s) khi hàm này chưa biết Đây là một vấn đề quan trọng liên quan đến việc giải phương trình tích phân.
Trong bài toán biến đổi Laplace, công thức Z ∞ 0 e −st f (t)dt = f(s) thể hiện sự phức tạp trong việc xử lý Tuy nhiên, đối với những trường hợp đơn giản, chúng ta có thể tìm thấy biến đổi ngược thông qua bảng biểu biến đổi Laplace của các hàm đơn giản Cụ thể, khi f(s) = p(s) q(s), với p(s) và q(s) là các đa thức của s, điều kiện bậc của p(s) phải nhỏ hơn bậc của q(s).
Các phương pháp phân tích từng phần cho phép biểu diễn f(s) dưới dạng tổng các số hạng, có thể được đảo ngược thông qua bảng biến đổi Laplace.
Minh họa phương pháp này bằng các ví dụ đơn giản.
1 s(s − a) ở đây a là một hằng số, chúng ta viết:
Ví dụ 1.12 Chứng minh rằng:
Phương pháp vận dụng tích chập
Áp dụng định lý chập để tìm các biến đổi Laplace ngược.
2a 3 (sin at − at cos at).
Tích phân theo chu tuyến kín và thặng dư tìm biến dổi
Trong phần (1.1), ở biến đổi Laplace ngược đã được xác định bởi công thức tích phân phức:
Trong đó, c là một hằng số thực thích hợp, và f(s) là một hàm phân tích của biến phức s, có giá trị trong nửa mặt phẳng Res > a Các chi tiết về việc đánh giá của hàm này sẽ được trình bày cụ thể.
Phụ thuộc vào bản chất của sự kì dị của hàm f(s), thường f(s) có giá trị cá biệt tại một số hữu hạn hoặc vô hạn đếm được của các điểm kì dị Hàm này thường xuất hiện các điểm chi nhánh Đường dẫn tích phân được xác định là dòng L thẳng trong mặt phẳng phức s, với phương trình s = c + iR.
-∞
