C¡c h m Nevanlinna
Vợi mội số thỹc x > 0, kẵ hiằu: log + x = max{logx,0} Khi õ logx = log + x−log + (1/x).
BƠy giớ ta ành nghắa h m ám, h m xĐp x¿, h m °c trững cừa mởt h m phƠn hẳnh.
Cho f l mởt h m phƠn hẳnh trản D R v mởt số thỹc r > 0, trong õ
0 log + f(re iϕ ) dϕ ữủc gồi l h m xĐp x¿ cừa h m f.
Kẵ hiằu n(r,1/f) là số khổng lồ được xác định bởi f, trong khi n(r,f) là số cực tiểu được xác định bởi f trong D r Với một số nguyên dương k, n k (r, f) là số cực tiểu được chọn bởi k của f, cụ thể là cực tiểu được xác định khi l > k trong tên n k (r, f) trong D r.
0 n(t, f)−n(0, f) t dt+n(0, f) logr ữủc gồi l h m ám kº cÊ bởi cừa f (cỏn gồi l h m ám tÔi cĂc cỹc iºm).
0 n(t, f)−n(0, f) t dt+n(0, f) logr ữủc gồi l h m ám khổng kº bởi.
0 n k (r, f)−n k (0, f) t +nk(0, f) logr ữủc gồi l h m ám bởi ch°n bði k, trong õ n(0, f) = lim t→0n(t, f); n(0, f) = lim t→0n(t, f); nk(0, f) = lim t→0nk(r, f) Số k trong nk(r, f) ữủc gồi l ch¿ số bởi bà ch°n Ta kẵ hiằu:
Hàm T(r, f) được định nghĩa là tổng của hàm m(r, f) và hàm N(r, f), thể hiện mối quan hệ giữa các hàm trong lý thuyết phân bố giá trị Các hàm T(r, f) là các hàm có độ trễ và liên quan đến hàm m(r, f) cùng với hàm N(r, f), tạo thành ba hàm cỡ bên trong lý thuyết Nevanlinna Lý thuyết Nevanlinna nghiên cứu mối quan hệ giữa tốc độ tăng trưởng của ba hàm này, đồng thời khám phá các tính chất cỡ bên của hàm T(r, f), hàm N(r, f) và hàm m(r, f).
Bờ ã 1.1 Cho cĂc h m phƠn hẳnh f 1 , f 2 , , f p , khi õ :
Ta kỵ hiằu A(C) l v nh cĂc h m ch¿nh hẳnh trản C, M(C) l trữớng cĂc h m phƠn hẳnh trản C.
Bờ ã 1.2 Cho f, g ∈ M(C), a ∈ C v P(f) ∈ C [x] l mởt a thực bêc q Khi â
Hỡn nỳa, cho Q∈ C[x] cõ bêc q Thẳ
T(r, f) +N(r, f) +Sf(r) Hỡn nỳa, náu f ∈ M(C) thẳ
Bờ ã 1.5 Cho f ∈ M(C) Khi õ m(r, 1 f 0 ) ≥ m(r, 1 f) +Sf(r) Hìn núa
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các số phức p-adic và tính chất của chuỗi lũy thừa f(z) = Σ ∞ n=0 a_n z^n với a_n ∈ C_p, thỏa mãn điều kiện lim n→∞ |a_n|r^n = 0, thuộc A_r(C_p) M(C_p) là tập hợp các hàm phân thức của các hàm phân tích C_p, trong đó một phần tỷ của tập hợp M(C_p) được gọi là hàm phân hình thành trên C_p Quy ước các số thực ρ_0, r, ρ thỏa mãn 0 < ρ_0 < r < ρ ≤ ∞ Hàm f ∈ M(ρ(C_p)) là một hàm phân hình khi tồn tại hai hàm f_0, f_1 ∈ A_r(C_p) sao cho f_0, f_1 không có nhân tỷ chung trong A_r(C_p) và f = f_1 f_0 Với a ∈ C_p ∪ {∞}, chúng ta định nghĩa hàm âm số không im n r, f −a^1 của f tại a (hay còn gọi là hàm âm số a− im của f) bằng n r, 1 f −a.
1 −af 0) : a 6= ∞. ành nghắa h m ám N(r, f −a 1 ) cừa f tÔi a bði
Tữỡng tỹ ta cụng ành nghắa ữủc cĂc h m n(r, f), N(r, f), n(r, f −a 1 ),
X n=m 0 b n z n , trong õ m 0 , m 1 ∈ N v a m 1 6= 0, b m 0 6= 0 Theo cổng thực Jensen ta cõ
= logà(r, f)−log|f ∗ (0)| (1.1) trong â f ∗ (0) = a m 1 b m 0 Câ thº th§y f ∗ (0) = lim z→0z m 0 −m 1 f(z) ∈ C p ∗ Hỡn nỳa, sỷ dửng cổng thực Jensen cho cĂc h m f 1 v f 0 ta cõ
Cổng thực (1.1) v (1.2) cụng ữủc gồi l cổng thực Jensen.
Tiáp theo ta ành nghắa h m bũ (hay cỏn gồi l h m xĐp x¿) cừa h m f bði cổng thực m(r, f) = log + à(r, f) = max{0,logà(r, f)}. °c biằt m(r, 1 f) = log + à(r, 1 f) = log + 1 à(r, f) = max{0,−logà(r, f)}.
Tiáp theo ta xem x²t mởt số tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa h m ám v h m x§p x¿.
Mằnh ã 1.1 GiÊ sỷ f i ∈ M (p (C),(i = 1,2, , k) Khi õ vợi mội r > 0, ta câ
Tiáp theo ta ành nghắa h m °c trững bði cổng thực
Chú ỵ rơng logà(r, f) = log + à(r, f)−log + 1 à(r, f) = m(r, f)−m r, 1 f
Nản cổng thực (1.2) ữủc viát lÔi l
Náu h m f l h m phƠn hẳnh khĂc hơng trảnC p thẳf phÊi cõ cĂc khổng iºm ho°c cüc iºm, do â
Trong mội trữớng hủp n y ta luổn cõ T(r, f) → ∞ Mằnh ã sau Ơy l mởt tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa h m °c trững.
Mằnh ã 1.2 GiÊ sỷ f, f i ∈ M (p (C p )(i = 1, , k) Khi õ vợi mội r > 0 ta câ
Hỡn nỳa T(r, f) l mởt h m tông theo r.
GiÊ sỷ f ∈ M (p (C p ) v ta viát f = f 1 f0, trong â f 0 , f 1 ∈ A (p (C p ), ¡nh x¤ f˜= (f 0 , f 1 ) : C p (0;ρ) →C 2 p , ữủc gồi l mởt biºu diạn cừa f Náu f 0 v f 1 khổng cõ nhƠn tỷ chung thẳ f˜ữủc gồi l mởt biºu diạn tối giÊn cừa f Kẵ hiằu
Chú ỵ rơng f k (z) = P n=1 a n z n thẳ k à(|z|, f k ) = max n≥1 |a kn ||z| n = |f k (z)| (k = 0; 1).
GiÊ sỷ f˜l mởt biºu diạn dừa f Chú ỵ rơng logà(r,f˜) = max{logà(r, f0),logà(r, f1)}
Theo cổng thực Jensen ta cõ
= logà(r, f 0 )−logà(ρ 0 , f 0 ), ta thu ữủc
T(r, f) =m(r, f) +N(r, f) = logà(r,f˜)−logà(ρ 0 , f 0 ), (1.5) tữỡng ữỡng vợi
Tứ cổng thực (1.5) ta cõ
||T(|z|, f) = logà(|z|,f˜)−logà(ρ 0 , f 0 ) = log|f˜(z)| −logà(ρ 0 , f 0 ) (1.7) Cụng tứ cổng thực (1.5) ta dạ d ng chựng minh ữủc
Mằnh ã 1.3 GiÊ sỷ f ∈ M (p (C p ) Khi õ f ∈ M ∗ (p (C p ) náu v ch¿ náu
Hai ành lþ cì b£n
ành lþ 1.1 (ành lþ cì b£n thù nh§t cho h m phùc) Gi£ sû f(z) l h m phƠn hẳnh trản D¯R, 0< R ≤ ∞, a l số phực tũy ỵ Khi õ ta cõ m(r, 1 f −a) +N(r, 1 f −a) = T(r, f)−log|f(0)−a|+ε(a, r), trong â ε(a, r) ≤ log + |a|+ log 2.
N ram (r, f) được xác định bởi công thức N(r, f) = N(r, 1 f 0) + 2N(r, f) − N(r, f 0), trong đó N ram (r, f) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 Hình ảnh 1.2 minh họa cho hằng số phù hợp với hàm phân hạng khác nhau Số hạng f là hàm phân hạng khác với trần C, với a1, a2, , aq ∈ C (q > 2) là các hằng số phân biệt, khi tồn tại ε > 0, bắt buộc phải thỏa mãn điều kiện thực tế.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các hàm phân hình khác nhau trên không gian C_p(0, ρ) Đối với hàm f, nếu r ≥ r_0, ta có công thức T(r, f) + O(1) liên quan đến logarit và các yếu tố khác Đặc biệt, với mỗi a ∈ C_p, ta có m(r, 1/f - a) + N(r, 1/f - a) = T(r, f) + O(1) Hơn nữa, chúng ta cũng xác định δ = min{i ≠ j} {1, |a_i - a_j|} cho các số phân biệt a_1, , a_q trong C_p, giúp cung cấp cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các hàm p-adic.
VĐn ã duy nhĐt cho h m phƠn hẳnh
2.1 Mởt số kián thực bờ sung
Khi xét không gian E và R thuộc [0,+∞], ta định nghĩa bầu tròn d(a, R) = {x ∈ E | |x−a| ≤ R} và bầu tròn mở d(a, R) = {x ∈ E | |x−a| < R} Theo định nghĩa 2.1, một hàm thực Q(X) trong E[X] được gọi là hàm thực duy nhất cho một hộp hàm F xác định trong tập con của E nếu Q(f) = Q(g) khi và chỉ khi f = g.
Trong suốt luên vôn, chúng ta s³ biºu diạn bði P(X) l mởt a thực trong E[X] sao cho P 0 (X) câ d¤ng
Trong lĩnh vực lý thuyết đồ thị, chúng ta xem xét các điều kiện liên quan đến sự tồn tại của các đồ thị có trọng số Cụ thể, nếu k1 ≥ k + 2 đối với M(Cp) và k1 ≥ k + 3 đối với M(C), thì có thể xác định M(d(a, R−)) Theo định nghĩa 2.2, nếu P(a1) = 0 và P0(X) = bΠ li=1 (X−ai) ki với l > 2, thì tồn tại các giá trị thực sao cho P(a_i) + P(a_j) ≠ 0.
∀i 6= j. ành nghắa 2.3 ([11]) Cho L l mởt trữớng õng Ôi số v P ∈ L[X]\L.Kẵ hiằu Ξ(P) l têp cĂc 0 iºm cừa P 0 sao cho P(c) 6= P(d) cho mội c°p khổng iºm c, d cừa P 0 sao cho c 6= d Kẵ hiằu Φ(P) l số phƯn tỷ cừa Ξ(P).
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến trữớng số và các hàm phân hình Trữớng số E được định nghĩa là A(E), với M(E) là tập hợp các hàm phân hình tương ứng Đặc biệt, E(X) đại diện cho trữớng của các hàm hữu tỉ trong E Chúng ta cũng xem xét A(d(a, R−)) như là K-Ôi số của chuỗi lũy thừa P∞ n=0 a_n (x−a)^n, trong khi M(d(a, R−)) chứa các hàm phân hình tương ứng Cuối cùng, A_b(d(a, R−)) là K-Ôi số con của A(d(a, R−)), bao gồm các hàm giải tích và chọn trong d(a, R−), đảm bảo thỏa mãn điều kiện sup n∈ N.
Kẵ hiằu M b (d(a, R − )) l trữớng thữỡng cĂc phƯn tỷ cừa A b (d(a, R − )). Kẵ hiằu A u (d(a, R − )) têp hủp cĂc h m giÊi tẵch khổng bà ch°n trong d(a, R − ), tùc l
Tữỡng tỹ ta kẵ hiằu
Bài viết này trình bày về khái niệm hàm nhọ trong toán học, đặc biệt là trong không gian M(E) Để xác định hàm S_f(r) thuộc M(E), cần có điều kiện f(0) khác 0 và vô cực Hàm nhọ này được xem xét trong giới hạn khi r tiến đến vô cùng dương, nhằm tìm hiểu tính chất và ứng dụng của nó trong các bài toán liên quan đến hàm phức và phân tích hàm.
Chúng ta biºu diạn bði M f (E) (tữỡng ựng M f (d(0, R − ))) têp cĂc h m phƠn hẳnh nhọ ối vợi f trong E (tữỡng ựng trong d(0, R − )).
Chú ỵ 2.1 ([5]) Tứ tẵnh chĐt cừa h m Nevanlinna T(r, f) ta cõ
T(r, f g) ≤ T(r, f) +T(r, g) +O(1) ối vợif, g ∈ M(E)v r > 0, dạ d ng chựng minh rơngM f (E)(tữỡng ựng
M f (d(0, R − )) là một trường con của M(E), trong đó M(E) là không gian chứa các hàm số Theo định nghĩa 2.5, nếu f, g, α thuộc M(E) và cũng thuộc M(d(0, R − )), thì chúng ta nói rằng f và g chung hàm α kề cận, nếu f − α và g − α đều là số khổng lồ trong E Hơn nữa, theo định lý 2.1, với a1, , an thuộc C p và n > 2, n ∈ N, cùng với hàm số f thuộc M(C p), ta có thể xác định một tập S = {a1, , an} Khi đó, với r > 0, ta có thể tiếp tục nghiên cứu các tính chất của hàm số trong không gian này.
Z(r, f −a j ) +N(r, f) +S f (r)). ành lþ 2.2 ([11]) Cho f ∈ A(C p ) (t÷ìng ùng f ∈ A(d(0, R − )), t÷ìng ùng f ∈ A(C)) v u ∈ f ∈ A f (C p )(t÷ìng ùng u ∈ A f (d(0, R − ))), t÷ìng ùng u ∈ f ∈ A f (C) Sao cho
T(r, f) ≤ Z(r, f) +Z(r, f −u) +S f (r). ành nghắa 2.6 ([11]) GiÊ sỷ f ∈ M(d(a, R − )) v r ∈ [0, R] Ta kẵ hiằu
Bờ ã 2.1 ([11]) Vợi mội r ∈ [0.R], Ănh xÔ |.|(r) l mởt chuân vợi ph²p nhƠn trản M(d(0, R − )).
Bờ ã 2.2 (cổng thực p-adic Schwarz) GiÊ sỷ f ∈ A(C p ) (tữỡng ựng f ∈ A(d(0, R − ))) v r 0 , r 00 ∈ [0,+∞] (tữỡng ựng r 0 , r 00 ∈ [0, R]) thọa mÂn r 0 < r 00 Khi â log(|f|(r 00 ))−log|f|(r 0 )) = Z(r 00 , f)−Z(r 0 , f).
Bờ ã 2.3 ([11]) Cho f ∈ M(C p ) (tữỡng ựng f ∈ M(d(0, R − ))) GiÊ sỷ cõ tỗn tÔi a ∈ C p v dÂy khoÊng cĂch I n = [u n , v n ] sao cho u n < v n < u n+1 , n→+∞lim u n = +∞ v n→+∞lim ( inf r∈I n qT(r, f)−Z(r, f −a)) = +∞. °t L = ∪ +∞ n=0 In Gi£ sû b ∈ C p , b6= a Khi â
Chứng minh rằng các hàm Nevanlinna có sự tương đồng với hàm phân hình trong không gian mở rộng Đặc biệt, giá trị tuyệt đối của hàm Nevanlinna trong không gian mở có thể được xác định rõ ràng Nếu xem xét các thuộc tính của M(Cp), chúng ta có thể nhận thấy rằng hàm này có thể đạt được trong không gian này Tiếp theo, với Cp mở rộng, nếu xem xét các thuộc tính của M(d(0, R−)), chúng ta cũng có thể xác định rõ ràng các hàm trong không gian này và không có chung khối lượng Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng các hàm này có sự liên kết chặt chẽ với nhau trong các không gian tương ứng.
Theo giÊ thiát chúng ta cõ n→+∞lim ( inf r∈I n
T(r, f)−Z(r, f −a)) = +∞, ho°c n→+∞lim ( inf r∈I n max(Z(r, g), Z(r, h))−Z(r, g −ah)) = +∞.
Do dÂy B n →+∞, theo Bờ ã 2.2, dÂy (D n ) ữủc xĂc ành l
|g −ah|(r) max(|g|(r),|h|(r)) dƯn tợi 0 Do õ theo Bờ ã 2.1, ta cõ |g|(r) =|ah|(r) trong I n , khi n ừ lợn Do õ, theo Bờ ã 2.2, ta cõ
Theo giÊ thiát ta cõ n→+∞lim ( inf r∈I n
Z(r, g −bh) = Z(r, g −ah+ (a−b)h), ta câ n→+∞lim ( inf r∈I n
Theo Bờ ã 2.2, dÂy õ dƯn tợi khổng v do õ, khi r ừ lợn trong L, theo Bờ ã 2.1 chúng ta cõ |g − bh|(r) = |(a −b)h|(r) Do õ, khi n ừ lợn trong L, ta cõ
Hỡn nỳa, ta thĐy rơng
Z(r, g) = Z(r, h) + O(1) trong L, tứ Ơy max(Z(r, g), Z(r, h)) = max(Z(r, g −bh), Z(r, h)) = Z(r, h)) +O(1), t÷ìng ùng
T(r, f) = T(r, f −b) + O(1) trong L. ành lþ 2.3 ([11]) Cho f ∈ M(C p ) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R − ))) v a 1 , , a q ∈ C p l phƠn biằt Khi õ
Chùng minh Gi£ sû ph£n chùng Tùc l f ∈ M(C p ) (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R − ))) v a1, a2, , aq sao cho
Z(r, f −a j ) dƯn tợi +∞ Vẳ vêy, tỗn tÔi mởt dÂy khoÊng cĂch J s = [ω s , y s ] sao cho ω s < y s < ω s+1 , lim s→+∞ω s = +∞ (t÷ìng ùng lim s→+∞ω s = R) v s→+∞lim ( inf r∈J s
GiÊ sỷ M = ∪ ∞ s=0 J s ối vợi mội j = 1, , q, ta cõ
Z(r, f −ai) ≤ T(r, f) +O(1) trong R + v vẳ vêy (2.1) ch¿ ra rơng tỗn tÔi mởt ch¿ số t v a dÂy khoÊng c¡ch I n = [u n , v n ] trong M, sao cho u n < v n < u n+1 , lim n→+∞u n = +∞
(t÷ìng ùng lim n→+∞u n = R) v n→+∞lim ( inf r∈I n
(T(r, f)−Z(r, f −at)) = +∞ (2.2) GiÊ sỷ L = ∪ ∞ n=1 I n Khi õ bði Bờ ã 2.3, trong L ta cõ
Z(r, f −aj) > (q −1)T(r, f) +O(1) trong L, mƠu thuăn vợi (2.1) Do õ ành lỵ úng.
Chú ỵ 2.2 đề cập đến các hàm giải tích trong không gian A(Cp) hay A(d(0, R−)) Ta có T(r, f) = Z(r, f) cho các hàm này Một trường hợp khác là các hàm phân hình trong C, trong đó ta xem xét hàm phân hình f có hai giá trị a và b.
Bờ ã 2.4 ([11]) GiÊ sỷ Q ∈ C p [x] (tữỡng ựng Q ∈ C[x]), cõ bêc n v gi£ sû f ∈ M(C p ), (t÷ìng ùng f ∈ M(d(0, R − )), t÷ìng ùng f ∈ M(C)) l siảu viằt Khi õ
(t÷ìng ùng nT(r, f) ≤ T(r, f 0 Q(f)) ≤ (n+ 2)T(r, f) +O(1), t÷ìng ùng nT(r, f) ≤ T(r, f 0 Q(f)) +m(r, 1 f 0 ) ≤(n+ 2)T(r, f) + S f (r)). °c biằt, náu f ∈ A(C p )
(t÷ìng ùng f ∈ A(d(0, R − ))), khi â nT(r, f) ≤ T(r, f 0 Q(f)) ≤ (n+ 1)T(r, f)−logr +O(1),
A u (d(0, R − ))) sao cho Q(f)−Q(g) bà ch°n Khi â f = g.
Chựng minh a thực Q(X) − Q(Y) ữủc biºu diạn dữợi dÔng (X −
Y)F(X, Y) vợi F(X, Y) ∈ C p [X, Y] Về Q(f) − Q(g) và chọn, với hai yếu tố n y ãu l nỷa chuẩn |.|(r) và phương pháp nhân trản A(C p ) Do f − g là một hằng số c, và A u (d(0, R − )) là một tập hợp mở Do đó, F(f, g) = F(f, f + c) là tương đương.
F(f, g) = F(f, f +u)) Gi£ sû n = deg(Q) Khi â chóng ta câ thº kiºm tra rơng F(X, X+c) l a thực trong X bêc n−1 Do õ náu f ∈ A(C p ),
F(X, X+c) là một hàm nguyển khắc hơn v do đó không xác định trong C p Tưởng tượng, f ∈ (0, R − ), F(X, X + u) là một hàm thực trong X bậc n−1 với các hằng số trong A(d(0, R − )) và do đó F(f, f + u) là không xác định trong d(0, R − ), điều này phải chứng minh Giả sử P, Q ∈ C p [x] thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
X a i ∈F 0 ki > s−m+ 2 (t÷ìng ùng X a i ∈F ” ki > s−m + 3), X b j ∈F 00 q j > 2 (t÷ìng ùng X b i ∈F” q j > 3).
Náu hai hàm phức f, g ∈ M(C p ) thỏa mãn P(f(x)) = Q(g(x)), với x ∈ C p, thì f và g là hàm số thuộc Mb(d(a, R − )) Giả sử P, Q ∈ C[X] thỏa mãn một trong hai điều kiện sau.
X a i ∈F 0 k j > s−m+ 3, X b j ∈F 00 q i > 3, v náu a thực P(X)−Q(Y) khổng cõ nhƠn tỷ chung bêc 1, khi õ khổng tỗn tÔi cĂc h m khĂc hơng f, g ∈ M(C) sao cho P(f(x)) −Q(g(x)) = 0,
Tứ ành lỵ 2.5 ta cõ thº rút ra ành lỵ 2.6 ành lỵ 2.6 ([11]) GiÊ sỷ P, Q ∈ C[X] thọa mÂn mởt trong hai iãu kiằn sau:
Khi õ khổng tỗn tÔi cĂc h m khĂc hơng f, g ∈ M(C) sao cho
Chứng minh rằng F(X, Y) = P(X) − Q(Y) là một hàm khả vi trong không gian metric Đồng thời, nếu C là một không gian mở với các đặc điểm tương tự như Cp, thì chúng ta có thể chuyển đổi bài toán liên quan đến không gian này.
Cp Vẳ vêy, Ênh cừa a thực F trong Cp[X, Y] l a thực F˜(X, Y).
Giả sử P a i ∈ F 0 k i > s−m+ 3 và P b j ∈ F 00 q j > 3, ta có thể khẳng định rằng P a i ∈ F 0 k i > s−m+ 3 Theo hình ảnh 2.5, tồn tại các hàm kháng khác hằng g ∈ M(C) sao cho P(f(x))−Q(g(x)) = 0 Cũng có thể xem xét F˜(X, Y) như một nhân tỷ chung trong C p [X, Y] Trong trường hợp này, F(X, Y) cũng là một nhân tỷ chung trong C[X, Y] hoặc là các nhân tỷ được bảo tồn trong chuyển giao Hiện tại, chúng ta có thể áp dụng hình ảnh 2.5 để chứng minh rõ ràng khi hai hàm f, g ∈ M(C) thỏa mãn điều kiện này.
P(f(x))−Q(g(x)) = 0, ∀x ∈ C, thể hiện rằng hàm số này có nghiệm Giả sử f ∈ M(C) với f(0) khác 0 và vô cực Chúng ta biểu diễn bội Z [2] (r, f) như là hàm mũ đối với các khối lượng bề mặt, với điều kiện rằng nó là mũ đối với mỗi khối lượng, nếu nhỏ hơn hoặc bằng 2, và lớn hơn 2 thì là hàm bậc 2.
CĂc vĐn ã sau Ơy Ăp dửng cho hai h m phực v h m phƠn hẳnh Mởt chựng minh ữủc ữa ra trong [2] vợi cĂc h m phƠn hẳnh p-adic v trong
[3] ối vợi cĂc h m phƠn hẳnh phực. ành lþ 2.7 ([11]) Cho P(x) = (x−a i ) n l
P i=2 ki, gi£ sû f, g ∈ M(E) cõ giĂ trà siảu viằt (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(a, R − ))) v θ = P(f)f 0 ∩
M g (d(a, R − ))) thẳ ta cõ nhỳng iãu sau :
Hỡn nỳa, náu f, g ∈ M(C p ) v náu θ l hơng số thẳ n = k + 1 Hỡn nỳa náu f, g ∈ A(E), thẳ θ 6∈ A f (E).
Bờ ã 2.6 ([11]) GiÊ sỷ f ∈ M(C p ) (tữỡng ựng f ∈ M(d 0 (0, R − )), tữỡng ùng f ∈ M(C)) Khi â
T(r, f)−Z(r, f) ≤ T(r, f 0 )−Z(r, f 0 ) + 0(1). º ìn gi£n, ta câ thº gi£ sû a1 = 0 °t F = f 0 P 0 (f) α v G = g 0 P 0 (g) α
Ró r ng F v G chung mởt giĂ trà kº cÊ bởi.
Vẳ f,g l siảu viằt, chúng ta chú ỵ án F v G. °t ΨF,G = F”
Ta s³ chựng minh rơng theo cĂc giÊ thiát cừa cĂc ành lỵ, Ψ F,G l ỗng nhĐt khổng.
Bờ ã 2.7 ([11]) GiÊ sỷ f, g ∈ M(C) (tữỡng ựng f, g ∈ M(C p )), chung mởt giĂ trà kº cÊ bởi Náu Ψ f,g l khổng ỗng nhĐt khổng, khi õ max(T(r, f), T(r, g)) ≤N [2] (r, f) +Z [2] (r, f) +N [2] (r, g) +Z [2] (r, g)
Bờ ã 2.8 ([11]) GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l siảu viằt (tữỡng ựng f, g ∈
M u (d(0, R − )), tữỡng ựng f, g ∈ M(C)) GiÊ sỷ P(x) = x n+1 Q(x) l mởt a thực sao cho n > deg(Q) + 2 (tữỡng ựng n > deg(Q) + 3 ) Náu
Bờ ã 2.9 ([11]) Cho f, g ∈ M(E) (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(0, R − ))) l khổng ời v chung giĂ trà kº cÊ bởi GiÊ sỷ Ψ f,g = 0 v r→+∞lim
Mằnh ã 2.1 ([11]) Cho P ∈ C p [X] thọa mÂn giÊ thiát (G) v n > 2 (tữỡng ựng n > 3) Náu h m phƠn hẳnh f, g ∈ M(C p ) (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(a, R − ))) thọa mÂn P(f(x)) = P(g(x))+C (C ∈ C ∗ p ), ∀x ∈ C p (tữỡng ựng ∀x ∈ d(a, R − )), thẳ cÊ f v g l hơng số (tữỡng ựng f v g thuởc v o
Chựng minh GiÊ sỷ rơng hai h m f, g ∈ M(C p ) (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(a, R − ))) thọa mÂnP(f(x)) =P(g(x)) +C(C ∈ C p ), ∀x∈ C p (tữỡng ựng ∀x ∈ d(a, R − )) Chúng ta cõ thº Ăp dửng ành lỵ 2.4 bơng cĂch °t
Q(X) = P(X) +C Vẳ vêy, chúng ta cõ h = l v bi = ai, i = 1, , l GiÊ sỷ Γ l ữớng cong cừa phữỡng trẳnh P(X)−P(Y) = C Theo giÊ thiát chúng ta cõ n> 2, vẳ vêy Γ l bêc > 3.
VĐn ã duy nhĐt cho h m phƠn hẳnh
Nôm 2014 Escassut, Boussaf, Ojeda đã chứng minh rằng cho P(X) ∈ C p [X] là một hàm thực duy nhất của A(C p) với P 0 (X) = bΠ l i=1 (X −a i ) k i Họ cũng chỉ ra rằng nếu f, g ∈ A(K) là hai hàm số khả vi thì f 0 P 0 (f) và g 0 P 0 (g) tồn tại một hàm nhọ α ∈ A f (C p) ∩ A g (C p).
A g (d(a, R−))) kº cÊ bởi Náu P l i=1 k i > 2l + 2 thẳ f = g Hỡn nỳa, náu f,g ∈ A(C p ), α l mởt hơng số v P l i=1 k i > 2l + 1 thẳ f = g.
Chựng minh Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, chúng ta cõ thº giÊ sỷ b = 1. °t
Nếu f, g thuộc A(Cp) và F v G chung α, thì (F − α)/(G − α) là hàm phân hình không có cực trị trong Cp Điều này có nghĩa là nó là một hàm số liên tục trong C p − 0, và nó cũng là một hàm nghịch đảo có nghĩa trong A(d(0, R −)).
Cho r > 0 Tứ õ α(1ưu) ∈ A f (C p )(tữỡng ựng α(1ưu) ∈ A f (d(0, R ư ))). Vẳ vêy Ăp dửng ành lỵ 2.2 cho F, ta ữủc
Chúng ta nhên thĐy rơng náu f, g ∈ A(C p ) v náu α ∈ C p , ta cõ
T(r, F) ≤Z(r, F) +Z(r, F ưα(1ưu))ưlogr +O(1) v do â, ta câ
BƠy giớ, trð lÔi trữớng hủp tờng quĂt Vẳ f l nguyản, theo Bờ ã 2.4 ta câ
T(r, f 0 ) ≤T(r, f)−logr +O(1), vẳ vêy P l j=1 k j ≤ 2l mƠu thuăn giÊ thiát u 6= 1 khi P l j=1 k j > 2l.
Trong trường hợp hủp tờng quĂt, nếu tổng P l j=1 kj lớn hơn 2l + 1, ta có thể kết luận rằng u = 1 và P(f) = P(g) Theo Bờ ã 2.5, nếu P(f) = P(g), điều này chứng tỏ rằng f và g là hai hàm số đồng nhất trong không gian A(C p) Hơn nữa, nếu f và g thuộc A(C p) và α là hằng số khác không, thì khi tổng P l j=1 kj lớn hơn 2l, chúng ta cũng có thể kết luận tương tự.
Hằ quÊ 2.1 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] sao cho Φ(P) ≥ 2 v P 0 (X) bΠ l i=1 (X −a i ) k i GiÊ sỷ f, g ∈ A(C p ) l h m số siảu viằt sao cho f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung mởt h m nhọ α ∈ A f (C p )∩A g (C p ) kº cÊ bởi Náu P l i=1 k i >
2l+ 2 thẳ f = g Hỡn nỳa, náu α l mởt hơng số v náu P l i=1 k i > 2l+ 1 thẳ f = g.
Vẵ dử 2.1 ([11]) Cho c ∈ C p l mởt nghiằm cừa phữỡng trẳnh Ôi số :
Ta cõ thº kiºm tra rơng P 0 (X) = X 7 (X −1)(X + 1)(X −c), P(1) P(c) 6= 0 v P(1) 6= 0, P(−1) 6= 0, P(1) +P(−1) = c(1
Do õ, chúng ta cõ thº Ăp dửng Hằ quÊ 2.1 v ch¿ ra rơng náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung mởt h m nhọ α ∈ A f (C p )∩ A g (C p ) thẳ f = g.
Hằ quÊ 2.2 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] sao cho Φ(P) ≥ 3, °t P 0 (X) bΠ l i=1 (X−ai) k i Gồi f, g ∈ A u (d(a, R − )) sao cho f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung mởt h m nhọα ∈ A f (d(a, R−))∩A g (d(a, R − ))kº cÊ bởi Náu P l i=1 k i > 2l+2 thẳ f = g.
Hằ quÊ 2.3 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] sao cho Φ(P) ≥ 2 (tữỡng ựng Φ(P) ≥ 3), °t P 0 (X) = bX n Π l i=2 (X − a i ) k i vợi l > 3, gồi f, g ∈ A(C p ) (t÷ìng ùng f, g ∈ A u (d(a, R − )) sao cho f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g)) chung mởt h m nhọ α ∈ Af(C p) ∩ Ag(C p) (tữỡng ựng α ∈ Af(d(a, R − )) ∩
A g (d(a, R − ))) kº cÊ bởi Náu n > l + 3 thẳ f = g Hỡn nỳa, náu f, g ∈ A(C p ), α l hơng số v n ≥l + 2 thẳ f = g.
Nôm 2014 đã trình bày các kết quả liên quan đến hình học p-adic, cụ thể là các định lý 2.9 đến 2.13, cho thấy mối quan hệ giữa các hàm phân hình và các đặc điểm của chúng Định lý 2.9 chỉ ra rằng với P là một hàm thực duy nhất cho M(C p ) và l > 2, thì P 0 (X) có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các yếu tố (X - a i ) k i, với b thuộc C ∗ p và các chỉ số k i được sắp xếp theo thứ tự giảm dần Các điều kiện này tạo nên một cấu trúc chặt chẽ cho các hàm phân hình trong không gian p-adic.
P i=2 k i , gồi u 5 l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4 v s 5 = max(0, u 5 − 3), vợi mội m ∈ N, u m l lợn nhĐt sao cho k i > m v s m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(2) ho°ck 1 > k+ 2 (tữỡng ựng k 1 > k + 3) ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) (tữỡng ựng f, g ∈ M(d(a, R − ))) l h m siảu viằt v giÊ sỷ α ∈ M f (C p ) ∩ M g (C p ) (tữỡng ựng α ∈ M f (d(a, R − ) ∩
M g (d(a, R − )))) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Chó þ 2.3 ([11]) Têng P ∞ m=5 s m l hiºn nhiản l hỳu hÔn.
Hằ quÊ 2.4 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] thọa mÂn Φ(P) ≥3 v thọa mÂn giÊ thiát (G), °t P 0 (X) = bΠ l i=1 (X −a i ) k i vợi b ∈ C ∗ p , l > 3, k i > k i+1 ,
P i=2 ki, vợi mộim ∈ N, gồi um l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho ki > 4, s5 = max(0, u5 −3) v vợi mồi m > 6, °t sm = max(0, um −2). GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v giÊ sỷ α ∈ M f (C p)∩ M g (C p) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
11 Chóng ta câ thº kiºm tra P 0 (X) = X 10 (X −1) 5 (X + 1) 4 v
Do đó, chúng ta có Φ(P) = 3 và kiểm tra giả thiết (G) là thỏa mãn Bây giờ, giả sử f, g ∈ M(Cp) là hai hàm số liên tục và giả sử α ∈ Mf(Cp) ∩ Mg(Cp) là không rỗng duy nhất Nếu P0(f) và P0(g) chung nhau hàm α, thì f = g.
P i=2 k i , vợi mội m ∈ N, gồi u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4, s 5 = max(0, u 5 −3), vợi mồi m > 6, sm = max(0, um −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau :
(2) ho°c k 1 > k+ 2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v α l h m Moebius Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Hằ quÊ 2.5 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] sao cho Φ(P) ≥ 3 v P 0 (X) bΠ l i=1 (X−a i ) k i vợib ∈ C ∗ p , l > 3, k i > k i+1 ,2≤ i ≤ l−1, °t k l
P i=2 k i , vợi mội m ∈ N, gồi u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4, s 5 = max(0, u 5 −3), vợi mồi m > 6, s m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau :
(2) ho°c k 1 > k + 2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v α l mởt h m Moebius Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Tứ ành lỵ 2.9 chúng ta cõ Hằ quÊ 2.6
Hằ quÊ 2.6 ([11]) ChoP(X) ∈ C p [X]sao cho P 0 (X) = b(x−a 1 ) n (x−a 2 ) k vợi k ≤ n, min(k, n) > 2 v vợi b ∈ C ∗ p GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(2) ho°c n > k + 2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G)
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v α l mởt h m Moebius Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g. ành lþ 2.11 ([11]) Cho P(X) l a thùc duy nh§t cõa M(C p ) v
P i=2 ki, vợi mội m ∈ N, gồi um l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho ki > 4, s5 = max(0, u5−4), vợi mồi m > 6, sm = max(0, um−3) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(1) ho°c k 1 > k + 2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v α l mởt hơng số khĂc 0 Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Hằ quÊ 2.7 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] sao cho Φ(P) ≥ 3, P 0 (X) bΠ l i=1 (x−a i ) k i vợi b ∈ C ∗ p , l > 3, k i > k i+1 ,2 ≤ i ≤ l −1, k l
P i=2 k i , vợi mội m ∈ N, gồi u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4, s 5 = max(0, u 5 −3),vợi mồi m > 6, s m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(1) k 1 > k+ 2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v α l mởt hơng số khĂc Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Hằ quÊ 2.8 ([11]) Cho P(X) ∈ C p [X] sao cho P 0 (X) cõ dÔng b(x − a 1 ) n (x − a 2 ) k vợi min(k, n) > 2 v vợi b ∈ C ∗ p GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(2) ho°c n > k + 2 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C p ) l h m siảu viằt v α l mởt hơng số khĂc 0 Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Chúng ta cõ thº kiºm tra rơng P 0 (X) =X 10 (X −2) 5 (X + 1) 4 (X −1) 4 Tiáp theo chúng ta cõ P(2)< −134378, P(1) ∈ [−2,11,−2,10], P(−1) ∈
[2,18,2,19] Do õ P(0), P(1), P(−1), P(2) l cĂc số phƠn biằt, do õ Φ(P) = 4 Ngo i ra, giÊ thiát (G) l thọa mÂn.
B¥y gií, cho f, g ∈ M(C p ) (t÷ìng ùng f, g ∈ M u (d(a, R − )), t÷ìng ùng f, g ∈ M(C)) v gi£ sû α ∈ M(C p ) (t÷ìng ùng α ∈ M(d(a, R − )), t÷ìng ựng α ∈ M(C) l khổng ỗng nhĐt khổng) Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi, thẳ f = g.
Trữớng hủp phực ành lỵ 2.12 ([11]) Cho P l l a thực duy nhĐt cho M(C), vợi l > 2, °t P 0 (X) = b l
P i=2 k i , gồi u 5 l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4 v S 5 = u 5 −3, vợi mội m ∈ N, u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > m v S m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ
P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(2) ho°c k 1 > k+ 3 ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C) l h m siảu viằt v α ∈ M f (C)∩ M g (C) l khĂc
0 Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m nhọ α kº cÊ bởi, thẳ f = g. Hằ quÊ 2.9 ([11]) Cho P ∈ C[X] thọa mÂn Φ(P) > 4 v thọa mÂn giÊ thiát (G), °t P 0 (X) = b l
P i=2 k i , vợi mội m ∈ N, gồi u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4, s 5 = max(0, u 5 −3), vợi mồi m > 6, s m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C) v α ∈ M f (C)∩ M g (C) l khổng ỗng nhĐt khổng. Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi thẳ f = g. ành lỵ 2.13 ([11]) Cho P l a thực duy nhĐt cừa A(C) vợi l > 2 v k i > k i + 1, 1 ≤ i ≤ l−1 khi l > 2, °t k l
P i=2 k i , gồi u 5 l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4 v s 5 = max(0, u 5 −3), vợi mội m ∈ N, u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > m v s m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(1) k1 > k + 2ho°c P thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ A(C) l h m siảu viằt v α ∈ A f (C)∩ A g (C) khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi thẳ f = g. Bơng Mằnh ã 2.2, chúng ta cõ cĂc Hằ quÊ 2.10 v Hằ quÊ 2.11.
P i=2 k i , giÊ sỷ u 5 l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > 4 v t 5 = u 5 −3, vợi mội m ∈ N, u m l ch¿ số i lợn nhĐt sao cho k i > m v t m = max(0, u m −2) GiÊ sỷ P thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
(1) ho°c k 1 > k+ 2 ho°c thọa mÂn giÊ thiát (G),
GiÊ sỷ f, g ∈ M(C) l h m siảu viằt v α ∈ M f (C)∩ M g (C) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung nhau h m α kº cÊ bởi thẳ f = g.
Hằ quÊ 2.11 ([11]) Cho P ∈ C[x] v P 0 = b(X − a 1 ) n (X − a) k vợi min(k, n) > 2 v max(n, k) > 3 GiÊ sỷ P thọa mÂn n > 5+max(0,5−k). GiÊ sỷ f, g ∈ A(C) l h m số siảu viằt v α ∈ M f (C)∩M g (C) l khổng ỗng nhĐt khổng Náu f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung α kº cÊ bởi thẳ f = g. Vẵ dử 2.4 ([11]) Cho
6 Thẳ P 0 (X) = X 5 (X + 1) 5 Chúng ta cõ thº Ăp dửng Hằ quÊ 2.11 cho f, g ∈ A(C) l h m siảu viằt sao cho f 0 P 0 (f) v g 0 P 0 (g) chung mởt h m nhọ α ∈ M(C) kº cÊ bởi, chúng ta cõ f = g.
Chựng minh cĂc ành lỵ tứ 2.9 án 2.13
Fb = P(f), Gb = P(g) GiÊ sỷ F 6= G °t P(x) = x n+1 Q(x) vợi Q ∈ E[x] cõ bêc l k BƠy giớ, theo Bờ ã 2.6, chúng ta cõ
Do õ, tứ (Fb) 0 = αF, chúng ta cõ
T(r,Fb) ≤ T(r, F) +Z(r,Fb)−Z(r, F) +T(r, α) + O(1), (2.4) do õ tứ (2.4), ta cõ
BƠy giớ, bưt nguỗn tứ ành nghắa F v G ta cõ
GiÊ sỷ Ψ F,G l khổng ỗng nhĐt khổng °t v o phÔm vi p-adic: E = C p , theo Bờ ã 2.7, ta cõ
T(r, F) ≤ Z [2] (r, F) +N [2] (r, F) + Z [2] (r, G) +N [2] (r, G)−3 logr, do â theo (2.5), ta câ
Hỡn nỳa, náu k i = 1,∀i ∈ {2, , l}, do õ theo (2.9) v (2.10) chúng ta câ
BƠy giớ, trð lÔi trữớng hủp tờng quĂt Theo Bờ ã 2.4 chúng ta cõ thº viát Z(r, f 0 ) +Z(r, g 0 ) ≤ Z(r, f−a 2 ) +Z(r, g−a 2 ) +N(r, g)−2 logr Nhữ vêy, theo (2.13) chúng ta cõ
−8 logr +O(1) v do õ, vẳ T(r, Q(f)) =kT(r, f) +O(1) v T(r, Q(g)) = kT(r, g) +O(1),
Tứ Fb l mởt a thực trong f bêc n+k + 1, ta cõ T(r,Fb) = (n+ k+1)T(r, f) +O(1) v ta câ, T(r,G) = (nb +k+ 1)T(r, g) +O(1), do â theo
T(r, g)) +O(1) v ẵt nhĐt vợi mội i = 3, , l, ta cõ
Bởi giới hạn sỹ số k i lớn hơn 5, có nghĩa là tồn tại một giá trị rỗng k i > 5 với mọi i từ 3 đến u 5 Điều này cho thấy rằng số i phải lớn hơn hoặc bằng 2 để k i > 5 l u 5 - 2 Tương tự, với mọi m lớn hơn 5, tồn tại một giá trị cao hơn hoặc bằng 1 sao cho k i > m l u m - 1.
Gi£ sû E = C p Theo ành lþ 2.3, khi â ta câ u 5
Do â, theo (2.17) chóng ta câ n(T(r, f) +T(r, g)) ≤9(T(r, f) +T(r, g)) + max(0,5−k 2 )(Z(r, f −a 2 )
X m=5 s m , mƠu thuăn vợi giÊ thiát cừa ành lỵ 2.9.
B¥y gií trong c¡c ành lþ 2.10 v 2.11 Trong ành lþ 2.10, ta câ
T(r, α) ≤ logr + O(1) v trong ành lþ 2.11, T(r, α) = 0 Do â theo
X m=5 s m , những iãu n y mƠu thuăn vợi giÊ thiát n > 9 + max(5−k 2 ) + l
Tiếp theo, chúng ta xem xét trường hợp phức tạp: E = C Cố gắng áp dụng các biến thực để thay thế mọi biểu thức - qlogr bði S f, (r) + S g (r) Tuy nhiên, trong trường hợp này, không áp dụng ảnh hưởng ở 2.3 mà chúng ta áp dụng ảnh hưởng ở 2.1 Vậy nên, điều này sẽ ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
Vẳ vêy ta thu ữủc n ≤9 + max(5−k 2 ) + l
Cuối cũng x²t trữớng hủp trong ành lỵ 2.13 Vẳ N(r, f) =N(r, g) = 0, theo (2.16) ta thu ữủc
M°t khĂc bơng cĂch Ăp dửng ành lỵ 2.1 cho f v g, bƠy giớ l h m nguyản, ta cõ u 5
X m=1 s m , mƠu thuăn vợi cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ 2.13
Nhữ vêy, trong cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ 2.9 án 2.13 Ta  chựng minh rơng Ψ F,G l ỗng nhĐt khổng Tứ õ, chúng ta cõ thº giÊ thiát rơng ΨF,G = 0 trong méi ành lþ.
Lữu ỵ rơng chúng ta cõ thº viát Ψ F,G = φ 0 φ vợi φ = ( F 0
Vẳ Ψ F,G = 0, tỗn tÔi A, B ∈ E sao cho
Tữỡng tỹ cho g v g 0 Hỡn nỳa, náu E = C p theo Bờ ã 2.4 chúng ta cõ
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các điều kiện cần thiết cho việc áp dụng F = G trong mọi ngành nghề Đặc biệt, theo thứ tự các điều kiện thiết lập trong các công thức 2.9-2.11, chúng ta có yêu cầu n+k > 2l + 7 (2.22) Ngoài ra, trong ngành lý thuyết được trình bày ở công thức 2.13, điều kiện n+k > 2l + 5 (2.23) cũng cần được xem xét.
GiÊ sỷ A 6= 1 Sau õ theo (2.19), ta cõ F = AG+ (1−A) Trữớng hủp
E = C p p dửng ành lỵ 2.1 cho F, ta cõ
+N(r, f) +Z(r, g 0 ) +Z(r, f 0 )−logr +O(1) (2.26) Khi õ, theo Bờ ã 2.4, ta rút ra iãu kiằn sau Ơy tứ (2.26)
(n+k)T(r, f) ≤(l + 3)T(r, f) + (l+ 2)T(r, g)−3 logr +O(1) (2.27) Vẳ f v g cũng mởt giÊ thiát, ta cụng cõ
Do õ, kát hủp (2.27) v (2.28), ta cõ
(n+k)[T(r, f) +T(r, g)] ≤ (2l+ 5)[T(r, f) +T(r, g)]−6 logr +O(1), vẳ vêy n+k < 2l + 5 (2.29) mƠu thuăn vợi (2.23) Â chựng minh rơng A 6= 1 l khổng xÊy ra khi
Tiáp theo ta x²t trữớng hủp E = C Theo (2.21), chúng ta cõ
Z(r, g −a i ) + Z(r, g 0 ) +N(r, f) +S f (r) + S g (r). é Ơy chúng ta nhên thĐy
+N(r, f) +Z(r, g 0 ) +T(r, f 0 ) +S f (r) +S g (r) (2.30) Khi â x²t b§t ¯ng thùc trong (2.30), t÷ìng tü ta suy ra
(n+k)T(r, f) ≤(l+ 3)T(r, f) + (l+ 2)T(r, g) +S f (r) +S g (r) (2.31) Vẳ f v g thọa mÂn cũng mởt giÊ thiát, chúng ta cõ
Do õ kát hủp (2.31) v (2.32), ta cõ
(n+k)[T(r, f) +T(r, g)] ≤ (2l+ 5)[T(r, f) +T(r, g)] +S f (r) + S g (r), do õ n+ k ≤ 2l + 5, mƠu thuăn vợi (2.23) chựng minh rơng A 6= 1 l khổng xÊy ra khi B = 0, trong ành lỵ 2.12.
BƠy giớ x²t trữớng hủp trong ành lỵ 2.13 Bơng giÊ thiát chúng ta cõ k 1 > 5 + max(0,5−k 2 ) + l
N(r, f) = N(r, g) = 0, sỷ dửng ành lỵ 2.1, cho to n bở h m v ta cõ u 5
X m=5 s m , mƠu thuăn giÊ thiát n+ k > 2l + 5 cừa ành lỵ 2.13 Do õ, giÊ thiát
A 6= 1 l sai khi B = 0 B¥y gií chóng ta gi£ sû B 6= 0
X²t trữớng hủp Ưu tiản khi E = C p , tực l , trong ành lỵ 2.9 v trong c¡c ành lþ 2.10 v 2.11 Theo (2.20) chóng ta câ
Hỡn nỳa, theo (2.19), T(r, F) = T(r, G) + O(1) v theo Bờ ã 2.4, ta câ
BƠy giớ, theo cĂc giÊ thiát trong cĂc ành lỵ 2.9 ,2.10, 2.11 theo( 2.22), chúng ta cõ n+k > 2l+ 7 Do õ theo quan hằ (2.34b) ta cõ
T(r, α) +O(1), (2.36) vẳ vêy r→∞lim sup(Z(r, F) +Z(r, G) + N(r, F) +N(r, G) max(T(r, F), T(r, G)) ) < 1.
Do õ, theo Bờ ã 2.9 v cĂc ành lỵ 2.9, 2.10, 2.11, chúng ta cõ F = G, ho°c F G = 1.
Giả sử F G = 1 Khi a f 0 P 0 (f)g 0 P 0 (g) = α² Trong các hình lý 2.9, 2.10, 2.11, chúng ta thiết lập rằng n ≠ k + 1 và nếu l = 2, thì n ≠ 2k, 2k + 1, 3k + 1; nếu l = 3, thì n ≠ k, 3k² - k, 3k³ - k Do đó, mẫu thuẫn hình lý 2.7 cho thấy rằng F G = 1 là không thể xảy ra và do đó chúng ta có F = G.
BƠy giớ x²t trữớng hủp khi E = C, tực l trong ành lỵ 2.12 v 2.13. Chựng minh tữỡng tỹ vợi trữớng hủp khi E = C p Ta cõ
N(r, F) ≤ N(r, f) +Sf(r), v tữỡng tỹ cho G, vẳ vêy chúng ta cõ thº suy ra
≤(l + 2)[T(r, f) +T(r, g)] +S f (r) +S g (r) (2.37) Hỡn nỳa, theo (2.19), T(r, F) = T(r, G) + 0(1) v theo Bờ ã 2.4, ta cõ
Z(r, F) +Z(r, G) +N(r, F) + N(r, G) ≤ 2l + 6 n+kT(r, F) + S f (r) + S g (r). B¥y gií, nh÷ trong c¡c ành lþ 2.9, 2.10, 2.11, chóng ta câ thº kiºm tra n+k > 2l+ 7 trong ành lỵ 2.12 Do õ, bĐt ¯ng thực trản cõ nghắa l
Theo công thức 2l + 7T(r, G) + S f (r) + S g (r), chúng ta có thể xác định rằng F = G hoặc F G = 1 Dựa vào hình ảnh trong các biểu thức 2.9, 2.10 và 2.11, giá trị thị trường của biểu thức 2.12 sẽ được thiết lập trong trường hợp F G = 1 và do đó F = G.
BƠy giớ x²t trong trữớng hủp ành lỵ 2.13 kát hủp (2.37) nghắa l
Z(r, F) +Z(r, G) ≤ (l + 2)[T(r, f) +T(r, g)] +S f (r) +S g (r) (2.38) Hỡn nỳa, theo (2.19), T(r, F) = T(r, G) + 0(1) v theo Bờ ã 2.4, ta cõ
Z(r, F) +Z(r, G) ≤ 2l+ 4 n+kT(r, F) +S f (r) +S g (r), do â theo (2.23) ta câ
Mởt cĂch tữỡng tỹ, chựng minh rơng F = G ho°c F G = 1 Những theo ành lỵ 2.7, F G = 1 l khổng thº xÊy ra Do õ F = G.
Trong các đoạn 2.9 - 2.13, chúng ta chứng minh rằng F = G, với điều kiện f 0 P 0 (f) = g 0 P 0 (g) Kết quả cho thấy |P(f) − P(g)| là hằng số C Theo Bảng 2.8, Định lý 2.1 và trong các đoạn 2.9, 2.10, 2.11, ta có P(f) = P(g) Tương tự, dựa vào Bảng 2.8, Định lý 2.2 và trong các đoạn 2.12, 2.13, chúng ta cũng có P(f) = P(g) Cuối cùng, trong mỗi đoạn, P là một đại lượng duy nhất cho tập hợp các hàm mà chúng ta đang xét.
Trong luên vôn n y chúng tổi nghiản cựu vĐn ã duy nhĐt cừa h m phƠn hẳnh khi hai a thực chựa Ôo h m bêc nhĐt cừa chúng chung nhau mởt h m nhọ.
Chương 1 giới thiệu và mở đầu một số vấn đề đã được khám phá trong lý thuyết phân bố giá trị, bao gồm hai lĩnh vực: lý thuyết Nevanlinna trong trường số phức và trường số p-adic, cùng một số kết quả Bài viết sẽ chứng minh các kết quả chính trong chương 2 Chương 2 trình bày bài toán duy nhất khi f0 P0(f) và g0 P0(g) chung nhau một hàm nhân trong hai trường số phức và trường số p-adic Các hình 2.9, 2.10 và 2.11 cung cấp các điều kiện hàm phân hình trong trường số p-adic, trong khi hình 2.12 và 2.13 trình bày các điều kiện hàm phân hình trong trường số phức.
[1] AN, T T H., DIEP, N T N (2013), "Genus one factor of curves dened by separated variable polynomials", J Number Theory, 133, pp 2616-2634.
[2] BOUSSAF, K., ESSCASSUT, A., OJEDA, J (2012), "p-adic mero- morphic functions f'P'(f), g'P'(g) sharing a small function", Bulletin des Scienes Mathesmatiques, 136(2), pp 172-200
[3] BOUSSAF, K., ESSCASSUT, A., OJEDA, J (2013), "Complex meromorphic functions f'P'(f), g'P'(g) sharing a small function", Indagationes, 24(1), pp 15-41.
[4] BOUTABAA, A (1990), Theorie de Nevanlinna p-adique, Manuscripta Math., 67, pp 251-269.
[5] ESCASSUT, A.(2008), "P-adic value distribution, Some Topics on Value Distribution and Differentability in Complex and P-Adic Anal- ysis", 42-138 Mathematics Monograph, Series 11, Science Press, Bei- jing.
[6] FUJIMOTO,H.(2000), "On uniqueness of meromorphic functions sharing finite sets", Amer.J.Math.,122(6),1175-1203.
[7] HAYMAN,W.K.(1975),"Meromorphic Functions", Oxford University Press.
[8] Hu,P.C and YANG,C.C.(2000), "Meromorphic Functions over Non- Archimedean Fields", Kluwer Academic Publishers.
[9] HUA,X, YANG,C.C (1997), "Uniqueness and value-sharing of mero- morphic functions",Ann Acad.Sci.Fenn.Math.,22,395-406.
