Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Đáp án chuyên đề: Tổ hợp - Giải tích 11 Vấn đề Quy tắc đếm Bài 1 Cơng việc ta cần thực tốn mua ao sơ mi cỡ 30 32 Để thực cơng việc ta có hai phương án Phương án 1: Mua áo cỡ 30: Phương án ta có cách chọn (chọn ba màu) Phương án 2: Mua áo cỡ 32: Phương án ta có cách chọn Vậy ta có thảy + = cách lựa chọn Để chọn sách sách ta có phương án sau Phương án 1: Cuốn sách chọn sách Tốn: Ta có 10 cách chọn Phương án 2: Cuốn sách chọn sách Văn: Ta có 11 cách chọn Phương án 3: Cuốn sách chọn sách anh văn: Ta có cách chọn Vậy có 10 + 11 + = 28 cách lựa chọn Ta xếp sách mơn thành nhóm Trước hết ta xếp nhóm lên kệ sách có: 3! = cách xếp Với cách xếp nhóm lên kệ ta có 5! cách hốn vị sách Toán, 6! cách hoán vị sách Lý 8! cách hoán vị sách Hóa Vậy theo quy tắc nhân có tất cả: 6.5!.6!.8! cách xếp Bài Để xếp A ta có cách lên ba toa Với cách xếp A ta có cách xếp B lên toa tàu Với cách xếp A,B ta có cách xếp C lên toa tàu Với cách xếp A,B,C ta có cách xếp D lên toa tàu Vậy có 3.3.3.3 = 81 cách xếp người lên toa tàu Cứ đội phải thi đấu với 19 đội cịn lại nên có 19.20 trận đấu Tuy nhiên theo cách tính trận đấu chẳng hạn A gặp B tính hai 19.20 lần Do số trận đấu thực tế diễn là: = 190 trận Để từ A đến D ta có cách sau A → B → D : Có 10.6 = 60 A → C → D : Có 9.11 = 99 Vậy có tất 159 cách từ A đến D Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Chọn chủ tịch có 10 cách chọn, phó chủ tịch có cách thư kí có cách Do có tất 10.9.8 = 720 cách chọn Bài a) Có cách chọn người tuỳ ý ngồi vào chỗ thứ Tiếp đến, có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ Lại có cách chọn người khác phái ngồi vào chỗ thứ 3, có cách chọn vào chỗ thứ 4, có cách chọn vào chỗ thứ 5, có cách chọn vào chỗ thứ Vậy có : 6.3.2.2.1.1 = 72 cách b) Cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ chỗ thứ hai, có cách Tiếp đến, chỗ thứ ba có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Bây giờ, cho cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ hai chỗ thứ ba Khi đó, chỗ thứ có cách chọn, chỗ thứ tư có cách chọn, chỗ thứ năm có cách chọn, chỗ thứ sáu có cách chọn Tương tự cặp nam nữ A, B ngồi vào chỗ thứ ba thứ tư, thứ tư thứ năm, thứ năm thứ sáu Vậy có : 5.2.2.2.1.1 = 40 cách c) Số cách chọn để cặp nam nữ khơng ngồi kề số cách chọn tuỳ ý trừ số cách chọn để cặp nam nữ ngồi kề Vậy có : 72 − 40 = 32 cách Ta đánh số liên tiếp 12 chỗ ngồi số từ đến thuộc dãy từ đến 12 thuộc dãy 12 11 a) Vị trí Số cách 12 xếp 10 5 7 Vậy có 12.6.52.42.32.22.1 = 1036800 cách xếp b) Vị trí 12 11 10 Số cách 12 10 xếp Vậy có: 33177600 cách xếp Bài Gọi số cần lập x = abcd , a,b,c,d 1,2,3,4,5,6,7,8,9 10 11 12 a) Có 9.8.7.6 = 3024 số Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b) Vì x chẵn nên d 2,4,6,8 Đồng thời x  2011  a = • a =  a có cách chọn, d có cách chọn; b,c có 7.6 cách Suy có: 1.4.6.7 = 168 số Gọi số in vé có dạng a1a2a3a4a5 Số cách chọn a1 10 ( a1 0) Số cách chọn a Số cách chọn a Số cách chọn a Số cách chọn a Vậy số vé gồm chữ số khác : 10.9.8.7.6 = 30240 Có 120 số có chữ số lập từ chữ số cho Bây ta xét vị trí chữ số số 1, 2, 3, 4, chẳng hạn ta xét số Số xếp vị trí khác nhau, vị trí có 4!=24 số nên ta nhóm ( ) các vị trí lại có tổng : 24 105 + 104 + 103 + 102 + 10 + = 24.11111 Vậy tổng số có chữ số : 24.11111(1 + + + + 5) = 5599944 Bài Gọi số cần lập x = abcd ; a,b,c,d 1,2,3,4,5,6,7 a,b,c,d đôi khác Công việc ta cần thực lập số x thỏa mãn x số chẵn nên d phải số chẵn Do để thực cơng việc ta thực qua công đoạn sau Bước 1: Chọn d : Vì d số chẵn nên d số 2,4,6 nên d có cách chọn Bước 2: Chọn a : Vì ta chọn d nên a chọn số tập 1,2,3,4,5,6,7\{d} nên có cách chọn a Bước 3: Chọn b : Tương tự ta có cách chọn b Bước 4: Chọn c : Có cách chọn Vậy theo quy tắc nhân có: 3.6.5.4 = 360 số thỏa yêu cầu toán Vì số x cần lập số lẻ nên d phải số lẻ Ta lập x qua công đoạn sau Bước 1: Có cách chọn d Bước 2: Có cách chọn a Bước 3: Có cách chọn b Bước 4: Có cách chọn c Vậy có 480 số thỏa u cầu tốn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Vì x chia hết d  có cách chọn d Có cách chọn a, cách chọn b cách chọn c Vậy có 1.6.5.4 = 120 số thỏa yêu cầu toán Bài Xét tập B = 1,4,5,6,7,8 , ta có B không chứa số X tập A thỏa yêu cầu toán X\2 tập B Do đo, số tập A thỏa yêu cầu toán số tập B 26 = 64 Xét số x = abcde lập từ chữ số thuộc tập A Vì x lẻ nên e 1,3,5,7 , suy có cách chọn e Bốn chữ số còn lại chọn từ chữ số tập A\e nên có A74 = 840 cách Suy ra, có 4.840 = 3360 số lẻ gồm năm chữ số khác Mà số x bắt đầu 123 có A 25 = 20 số Vậy số x thỏa yêu cầu toán : 3360 − 20 − 3340 số Vấn đề Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp Bài toán 01: Giải phương trình – Bất phương trình Bài n  Điều kiện:  n  Ta có A 2n − A1n =  n! n! − =  n(n − 1) − n = (n − 2)! (n − 1)!  n2 − 2n − =  n = n  Điều kiện:  n  Ta có: A6n = 10A 5n  n! n! 10 = 10 1= (n − 6)! (n − 5)! n−5  n = 15 n  Điều kiện:  n  Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có: Pn−1 A4n+4  15Pn +2  (n − 1)! (n + 4)!  15(n + 2)! n! (n + 4)(n + 3)  15  n2 − 8n + 12    n   n = 3,4,5 n Bài Với n  2,n  ta có:  ( n + 3)!  n! 5 Cnn−+12 + Cnn+  A2n  Cnn+  A2n  2 n!3! ( n − 2)! ( )  n n − 9n + 26 +  với n  Vậy nghiệm bất phương trình n  2,n  Điều kiện n  ,n  Với điều kiện bất phương trình tương đương ( 2n )! ( 3n )! ( n!)3 n!n! 2n !n!  720  ( 3n )!  720 ( ) Ta thấy ( 3n ) ! tăng theo n mặt khác 6! = 720  ( 3n ) ! Suy bất phương trình có nghiệm n = 0,1,2 n  Điều kiện:  n  (n + 1)n 10 n(n − 1) Bpt   n 2n5 Đáp số:  n  Đáp số :  n  Đáp số:  n  Bài x  Điều kiện:  x  (x + 1)! x! + 2x = 2!(x − 1)! (x − 2)!  3(x + 1)x + 4x = 8x(x − 1)  3x + + = 8x −  x = Phương trình  x  Điều kiện  x  Ta có phương trình  5.x!(5 − x)! 2.x!(6 − x)! 14.x!(7 − x)! − = 5! 6! 7! 1  − (6 − x) = (6 − x)(7 − x)  x2 − 14x + 33 =  x = 3 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí x  Điều kiện:  x  Phương trình  A 2x ( Px − ) − 12(Px − 6) = Px = x =  x! =   (Px − 6)(A x2 − 12) =     Ax = 12 x =  x(x − 1) = 12 x  Điều kiện:  x  Ta có: Cxx − = Cx2 Cxx−3 = C3x nên phương trình cho tương đương với: (C ) + 2C C + (C ) = 100  ( C + C ) = 100  C + C x 2 x  x x x x 2 x x = 10 x(x − 1) x(x − 1)(x − 2) + = 10  x3 − x − 60 =  (x − 4)(x2 + 4x + 15) =  x = x  Điều kiện:  x  Phương trình  x + 3x(x − 1) + x(x − 1)(x − 2) = 9x2 − 14x Giải phương trình ta tìm được: x = x5 Điều kiện:  x  Phương trình  x2 − 9x − 22 =  x = 11 x  Điều kiện:  x  Phương trình  x2 − 6x + =  x = x  Điều kiện:  1  x  Phương trình  (3x − 1)!(5 − x)! = (x2 − 2x + 3)!(1 − x2 + 4x)!  x = 1,x = Đáp số : x = Bài Điều kiện x, y  ;x  y Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 2A x + 5Cx = 90 A x = 20 y  y  y Ta có:   x x x 5A y − 2C y = 80 C y = 10 20 Từ Axy = x!Cxy suy x! = =2x=2 10  y = −4 (loai) Từ A2y = 20  y ( y − 1) = 20  y − y − 20 =   y = Vậy x = 2; y = Điều kiện x, y  ;x  y  (x + 1)! (x + 1)!  (y + 1)!(x − y)! = y!(x − y + 1)! Cy +1 = Cy  x +1 Ta có:  x+1  y +1 y −1 (x + 1)! (x + 1)! 3Cx+1 = 5Cx +1 3 =5  (y + 1)!(x − y)! (y − 1)!(x − y + 2)!  1 y + = x − y + x = 2y    3(y + 1)(y + 2) = 5y(y + 1)  =  y(y + 1) (x − y + 1)(x − y + 2) x = 2y x =   nghiệm hệ 3y + = 5y y = Bài Đáp số:  x  k,x  Điều kiện:  k  x Bpt  (x + 4)(x + 5)(x + − k)  60 • x   bất phương trình vơ nghiệm •  x  ta có cặp nghiệm: (x; k) = (0; 0),(1; 0),(1;1),(2; 2),(3; 3) Bài toán 02: Bài toán đếm Bài 1 Mỗi số cần lập thỏa yêu cầu toán ứng với chỉnh hợp chập phần tử Do đó, có A75 = 2520 Gọi số cần lập x = a1a2 a6 Vì x chia hết a6 =  a6 có cách chọn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Số cách chọn chữ số a1 ,a2 , ,a số chỉnh hợp chập phân tử A 65 Vậy số số cần lập 1.A65 = 720 Đặt x = 23 Số số cần lập có dạng abcd với a,b,c,d 1,x,4,5,6,7 Có A64 = 360 số Mặt khác hoán vị hai số ta thêm số thỏa u cầu tốn Vậy có 360.2 = 720 số thỏa yêu cầu toán Xét số tự nhiên có bảy chữ số lập từ 1,2,2,2,3,4,5,6,7 Ta thấy có A 79 số Tuy nhiên hốn vị vị trí ba số cho số thu khơng thay đổi Vậy có A79 3! = 30240 số thỏa yêu cầu toán Bài Gọi x = abcde với a,b,c,e  A;a  Để lập x ta chọn số a,b,c,d,e theo tứ thự sau Chọn a : Vì a  A,a  nên ta có cách chọn a Vì b  A b trùng với a nên với cách chọn a ta có cách chọn b Tương tự : với cách chọn a, b có cách chọn c với cách chọn a,b,c có cách chọn d với cách chọn a,b,c,d có cách chọn e Vậy theo quy tắc nhân ta có: 6.7.7.7.7 = 14406 số thỏa yêu cầu toán Gọi x = abcd số cần lập với a,b,d,c  A đôi khác a  Ta chọn a,b,c,d theo thứ tự sau Chọn a : Vì a  A,a  nên có cách chọn a Với cách chọn a ta thấy cách chọn b,c,d cách lấy ba phần tử tập A\a xếp chúng theo thứ tự, nên cách chọn b,c,d ứng với chỉnh hợp chập phần tử Suy số cách chọn b,c,d là: A 63 Theo quy tắc nhân ta có: 6.A63 = 720 số thỏa yêu cầu toán Gọi x = abcd số cần lập với a,b,c,d  A đôi khác nhau, a  Vì x số lẻ nên d 1,3,5  d có cách chọn Với cách chọn d ta có a  A\0,d  a có cách chọn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Với cách chọn a,d ta có A 25 cách chọn bc Theo quy tắc nhân ta có: 3.5.A25 = 300 số thỏa yêu cầu toán Gọi x = abcde số cần lập với a,b,c,d,e  A đơi khác a  Vì x số lẻ nên e 0,2,4,6 Ta xét trường hợp sau • e =  e có cách chọn Vì a   a có cách chọn Số cách chọn chữ số cịn lại: A 35 Do trường hợp có tất 1.6.A35 = 360 số • e   e có cách chọn Với cách chọn e ta có a  A\0,e  a có cách chọn Số cách chọn số lại là: A 35 Do trường hợp có tất 3.5.A35 = 900 số Vậy có thảy 360 + 900 = 1260 số thỏa yêu cầu toán Bài Có C346 cách chọn ba học sinh lớp Có C326 cách chọn ban cán khơng có nam (ta chọn nữ cả) = 12580 cách chọn ban cán có Do đó, có C346 − C26 nam chọn Có C326 cách chọn ban cán khơng có nam Có C320 cách chọn ban cán khơng có nữ 3 + C20 ) = 11440 cách chọn thỏa yêu cầu tốn Vậy có C346 − (C26 Bài = 30240 cách Số cách lấy sách đem tặng cho học sinh: S = A10 Số cách chọn cho không còn sách Đại số: S1 = C72 5! = 2520 cách Số cách chọn cho khơng cịn sách Giải tích: S2 = C16 5! = 720 cách Số cách chọn cho khơng cịn sách Hình học: S3 = C72 5! = 2520 cách Vậy số cách tặng thỏa yêu cầu toán:: S − S1 − S2 − S3 = 24480 cách tặng Có C12 cách phân cơng nam tỉnh thứ Với cách phân công có C84 cách phân cơng nam tỉnh thứ hai có C44 cách phân cơng nam cịn lại tỉnh thứ ba Khi phân cơng nam xong có 3! cách phân cơng ba nữ ba tỉnh Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Vậy có tất C12 C84 C44 3! = 4989600 cách phân công TH 1: học sinh chọn thuộc lớp: • A: có C45 = cách chọn • B: có C44 = cách chọn Trường hợp có: cách chọn TH 2: học sinh chọn thuộc hai lớp: • A B: có C94 − (C45 + C44 ) = 120 • B C: có C94 − C44 = 125 • C A: có C94 − C54 = 121 Trường hợp có 366 cách chọn Vậy có 372 cách chọn thỏa u cầu tốn Vì người chọn phải có nữ phải có nam nên số học sinh nữ gồm hoặc nên ta có trường hợp sau: • chọn nữ nam +) Số cách chọn nữa: cách +) Số cách chọn nam làm đội trưởng đội phó: A15 +) Số cách chọn nam cịn lại: C13 2 C13 Suy có 5A15 cách chọn cho trường hợp • chọn nữ nam +) Số cách chọn nữ: C25 cách +) Số cách chọn nam làm đội trưởng đội phó: A15 cách +) Số cách chọn lại: 13 cách C52 cách chọn cho trường hợp Suy có 13A15 • Chọn nữ nam +) Số cách chọn nữ : C35 cách +) Số cách chọn làm đội trưởng đội phó: A15 cách C35 cách chọn cho trường hợp Suy có A15 2 2 C13 + 13A15 C25 + A15 C53 = 111300 cách Vậy có 5A15 Bài Mỗi véc tơ thỏa yêu cầu toán ứng với chỉnh hợp chập 2010, nên số véc tơ cần tìm là: A 22010 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Hệ số x khai triển (1 − x)8 = Hệ số x khai triển (1 + x)9 =  C8k (−1)k xk k =0  C9k xk k =0 : C78 ( −1)7 = −8 : C79 = 36 Vậy hệ số chứa x khai triển g(x) thành đa thức là: 29 Chú ý: * Với a  ta có: a − n = với n an m * Với a  ta có: Ta có f(x) = n a m = a n với m,n  10 10 k =0 k =0 ; n   Ckn 310−k (2x)k =  C10k 310−k (−2)k xk Số hạng chứa x ứng với giá trị k = 8 32.( −2)8 = 103680 Vậy hệ số x là: C10 Ta có (1 − 2x)9 =  C9k 19−k (−2x)k = k =0  h(x) =  C9k (−2)k xk k =0  C9k (−2)k xk+1 k =0 Số hạng chứa x ứng với giá trị k thỏa k + =  k = Vậy hệ số chứa x là: C79 ( −2)7 = −4608 n Ta có: (1 + ax ) =  Ckn a k xk nên ta suy hệ số x k khai triển n i =0 n (1 + ax) Ckn a k Do đó: Hệ số x khai triển (1 + x)8 : C88 Hệ số x khai triển (1 + 2x)9 : C89 28 38 Hệ số x khai triển (1 + 3x)10 : C10 Vậy hệ số chứa x khai triển g(x) thành đa thức là: 8C88 + 9.28.C89 + 10.38.C10 = 22094 Bài Ta có: f(x) = (x − 2.x−1 )12 = 12  C12k x12−k (−2x−1 )k k =0 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 12  C12k (−2)k x12−2k k =0 Số hạng không chứa x ứng với giá trị k thỏa mãn: 12 − 2k =  k =  số hạng không chứa x là: C12 26 = 59136 Vì =x x2 − 3; x3 = x nên ta có 17 − k k 17k −136  −2   3 17 k x  f(x) =   x  =  C17 x 12     k =0 k =0     Hệ số không chứa x ứng với giá trị k thỏa: 17k − 136 =  k = 17 k C17 = 24310 Vậy hệ số không chứa x là: C17 Bài 3: ( ) Ta có: Cnn ++14 − Cnn + = ( n + )  Cnn + + Cnn ++13 − Cnn + = ( n + )  Cnn ++13 = ( n + )  ( n + )( n + 3) = 2!  n + = 7.2! = 14  n = 12 ( n + 3) 12 − k 60 −11k  5 12 k   x =  C12 x   k =0   60 − 11k Số hạng chứa x ứng với k thỏa: =8  k = 12! = = 495 Do hệ số số hạng chứa x là: C12 4! ( 12 − ) ! n ( ) 12   k + x5  =  C12 x−3 Khi đó:   x3  k =0 k (2x)20 − k a Ta có: Tk +1 = C20 k k k = C 20 20 −k.x 20 −2k x b Số hạng không chứa x ứng với k: 20 − 2k =  k = 10 10 Số hạng không chứa x: C10 20 ( f ( x ) = + 2x + 3x2 = 10 k k =0 i =0 ) 10 =  C10k ( 2x + 3x2 ) 10 k k =0  C10k  Cik (2x)k−i (3x2 )i = 10 k k =0 i =0  C10k  Cik 2k−i.3i xk+i với  i  k  10 Do k + i = với trường hợp i = 0,k = i = 1,k = i = k = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Vậy hệ số chứa x : 24 C10 C04 + 22 31 C10 C13 + 32 C10 C22 = 8085 2n +1 k 2n +1   C2n +1 = n  +1 2n   C2i = 1024  n = Ta có:  k =0 2n +1 = n n  i =0 2i +1 2i   C2n +1 =  C2n +1 i =0 i = Suy (2 − 3x)2n = 10  C10k 210−k.(−3)k xk k =0 23.( −3)7 = −2099520 Hệ số x C10 9 9 + C11 + C12 + C13 + C14 = 3003 Hệ số x : C99 + C10 Bài 4: Ta có: C3n + 2n = An2 +1 n     n ( n − 1)( n − ) + 2n = ( n + 1) n    n    n =8  n − 9n + = Theo nhị thức Newton ta có: ( ) 8 1 1   1  x − x + x  =  x − x (1 + x ) = C8 − C8 (1 + x ) +     x x +C82 (1 + x )2 − C83 12 (1 + x )3 + C84 (1 + x )4 − + C88 x8 (1 + x )8 x x Số hạng không phụ thuộc vào x có hai biểu thức −C83 (1 + x )3 C84 (1 + x )4 x Trong có hai số hạng khơng phụ thuộc vào x là: −C83 C32 C84 C04 Do số hạng không phụ thuộc vào x là: −C83 C32 + C84 C04 = −98 a,Ta có: f(x) = 10  C10k 3k x2k , số hạng chứa x ứng với k = nên hệ số x k =0 là: C10 34 = 17010 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí b,Ta có: f(x) =  C8k 28−k (−5)k x4k−8 , số hạng chứa x k =0 x số là: C84 24.( −5)4 = 700000 12 k 12 −k −k 2k −12 c, Ta có: f(x) = C12 x k =0  −10 hệ số x là: C10 = 12 d, Ta có: f(x) = ứng với k = nên hệ , số hạng chứa x ứng với k = 10 nên 297 512 10 10 k k =0 k =0 j=0  C10k (2x2 )10−k (1 + x)k =   C10k Ckj 210−k x20−2k+ j 0  j  k  10 Số hạng chứa x ứng với cặp (k, j) thỏa:   j = 2k − 12 Nên hệ số x là: C10 C6 + C10 C7 + C10 C8 + C10 C9 + C10 10 C10 = 37845  C8k 88−k x8−k e, Ta có: (1 + 8x)8 = k =0 (1 + 9x)9 =  C9k 99−k x9−k k =0 10 (1 + 10x)10 =  C10k 1010−k x10−k k =0 108 Nên hệ số chứa x là: 8.C08 88 − 9.C19 98 + 10.C10 Bài 5: Đáp số: C340 = 9880 = 48620 Đáp số : C18 Đáp số: ( −3)4 C12 = 55 Đáp số: C10 15 = 3003 Đáp số: a15 = 20  kC15k = 400995 k =15 Đặt f(x) = (1 + x + x2 + x3 )5 = (1 + x)5 (1 + x2 )5 a) Do hệ số x10 bằng: a10 = C05 C55 + C52 C54 + C54 C53 b) T = f(1) = 45 ; S = f( −1) = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Đặt f(x) = (1 + 2x + 3x2 )10 = 10  C10k 3k x2k (1 + 2x)10−k k =0 = = a) Ta có: 10 −k 10  C10k 3k x2k  C10i −k 210−k−i x10−k−i k =0 10 10 −k i =0   C10k C10i −k 3k 210−k−i x10+k−i k =0 i =0 a = C10 24 C10 b) Ta có S = f(2) = 17 Ta có ( 3+32 ) + 10 =  C9k ( k =0 ) ( 2) k 9−k Số hạng số nguyên ứng với giá trị k thỏa: k = 2m  9 − k = 3n  k = 0,k = k = 0, ,9  Các số hạng số nguyên: C09 ( 2) = C69 ( 3) ( 2) 3 n Bài toán 2: Bài toán liên quan đến tổng  ak Cnk bk k =0 Bài : Xét khai triển: 2 2n 2n (1 + x)2n = C02n + C12n x + C2n x + + C2n x Cho x = −1 ta có được: −1 2n = C02n − C12n + C22n − C32n + − C2n 2n + C2n 2n −1 2n + + C2n = C02n + C2n + + C2n Hay C12n + C2n Xét f(x) = (1 + x)m+n Ta khai triển f(x) theo hai cách Cách 1: f(x) = m+n  Ckn+m xk k =0  hệ số x k C km + n (1) n m i =0 j=0 j j Cách 2: f(x) = (1 + x)n (1 + x)m =  Cin xi  C m x Hệ số x k khai triển ứng với cặp (i,j) thỏa i + j = k Do ta có hệ số chứa x k bằng: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí k k −1 C0n Cm + C1n Cm + + Ckn−1C1m + Ckn C0m (2) Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Xét khai triển: 2011 2011 (1 + x)2011 = C02011 + xC12011 + x2 C22011 + + x2010 C2010 C2011 2011 + x Cho x = ta có được: 2011 2011 32011 = C02011 + 2.C12011 + 22 C22011 + + 22010 C2010 C2011 (3) 2011 + Cho x = −2 ta có được: 2011 2011 −1 = C02011 − 2.C12011 + 22 C22011 − + 22010 C2010 C2011 2011 − Lấy (3) + (4) ta có: ( (4) ) 2011 C02011 + 22 C22011 + + 22010 C2010 −1 2011 = C02011 + 22 C22011 + + 22010 C2010 2011 = 32011 − Bài Ta có: 1 n! (n + 1)! Ckn = = k+1 k + k!(n − k)! n + (k + 1)![(n + 1) − (k + 1))! =  S1 = Ck+1 (*) n + n +1  n +1 − 1 n k +1  n +1 k Cn +1 =   Cn +1 − C0n +1  =   n + k =0 n +  k =0 n+1  Ta có: kC kn = k =n n! n! = k!(n − k)! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! (n − 1)! = nCkn−−11 , k  (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! n n −1 k =1 k =0  S2 =  nCnk−−11 = n  Cnk −1 = n.2n −1 Ta có k(k − 1)C kn = n! = n(n − 1)C nk −−22 (k − 2)!(n − k)! n  S3 = n(n − 1)  Cnk−−22 = n(n − 1)2n −2 k=2 Bài 3: Ta có S = S1 − S2 , S1 = C0n + 32 33 3n +1 n Cn + Cn + + C n +1 n Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí 1 S2 = C1n + C2n + + Cn n +1 n n +1 − −1 n+1 Tính S1 = ? Ta có S = Ta có: 3k+1 k n! C = 3k+1 k+1 n (k + 1)!(n − k)! =  S1 = 3k +1 (n + 1)! k +1 k + = C n + (k + 1)![(n + 1) − (k + 1)]! n + n +1 n k +1 k +  Cn+2 − 2C0n n + k =0 = Vậy S =   n +1 k k 4n +1 − −2   Cn +1 − C0n  − 2C0n =  n +  k =0 n+1  4n +1 − 2n +1 −1 n+1 Bài Ta có: S = S1 − S2 Trong S1 = k +1 Mà n 2k +1 n Ck  Cnk k + 1; S2 =  k +n1 = k =0 k +1 k =0 n +1 2n +1 − −1 n +1 2 −1 Ckn = Ckn++11  S1 = −1 k+1 n +1 n +1 Suy ra: S = Đặt S = 3n +1 − 2n +1 n+1 2n +1 Ta có: ( −1)  (−1)k−1.k.2k−1 Ck2n+1 k =1 k −1 k.2k−1 Ck2n +1 == ( −1)k−1.(2n + 1).2 k−1 Ck2n−1 Nên S = (2n + 1)(C02n − 2C12n + 22 C22n − + 22n C2n 2n ) = 2n + Vậy 2n + = 2005  n = 1002 Ta có: VT = n  k.3k−1.5n−k Cnn−k k =1 k −1 n − k n −k Mà k.3 Cn = n.3k −1.5n −k.Ckn−−11 Suy ra: VT = n(30.5n −1 C0n −1 + 31.5n −2 C1n −1 + + 3n −150 Cnn −−11 ) = n(5 + 3)n−1 = n.8n−1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí Ta có: S = n  k(k − 1)Ckn k =2 Mà k(k − 1)Ckn = n(n − 1)Ckn−−22 Suy S = n(n − 1)(C0n −2 + C1n −2 + Cn2 −2 n n 2n Ta có: ( x + 1) (1 + x ) = ( x + 1) + + Cnn −−22 ) = n(n − 1)2n −2 Vế trái hệ thức là: (C x n n )( + C1n xn −1 + + Cnn C0n + C1n x + + Cnn xn ) Và ta thấy hệ số x n vế trái (C ) + (C ) + (C ) n n Còn hệ số x n vế phải ( x + 1) ( ) + (C ) + (C ) Do C0n n 2 n 2 n 2n ( ) + + Cnn 2 ( ) + + Cnn Cn2n n = C2n Bài 5: Ta có: S1 = (5 + 3)n = 8n Xét khai triển: 2011 2011 (1 + x)2011 = C02011 + xC12011 + x2 C22011 + + x2010 C2010 C2011 2011 + x Cho x = ta có được: 2011 2011 32011 = C02011 + 2.C12011 + 22 C22011 + + 22010 C2010 C2011 (1) 2011 + Cho x = −2 ta có được: 2011 2011 −1 = C02011 − 2.C12011 + 22 C22011 − + 22010 C2010 C2011 2011 − Lấy (1) + (2) ta có: ( ) 2011 C02011 + 22 C22011 + + 22010 C2010 −1 2011 = Suy ra: S2 = C02011 + 22 C2011 + + 22010 C2010 2011 = Ta có: kC kn = k =n  S3 = 32011 − n! n! = k!(n − k)! (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! (n − 1)! = nCkn−−11 , k  (k − 1)![(n − 1) − (k − 1)]! n n −1 k =1 k =0  nCnk−−11 = n  Cnk −1 = n.2n−1 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ (2)