NỘI DUNG
Biểu diễn trên đường tròn lượng giác (ĐTLG)
Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác (ĐTLG) Các điểm này có thể là hai điểm đối xứng qua tâm O, hoặc ba điểm cách đều nhau tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều nội tiếp ĐTLG Hơn nữa, có thể có n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh của một đa giác đều nội tiếp ĐTLG.
+ Ta biểu diễn trên ĐTLG những điểm không thoả mãn điều kiện (đánh dấu “x”) và những điểm nghiệm tìm được (đánh dấu “o”) Những điểm đánh dấu
“o” mà không trùng với những điểm đánh dấu “x” chính là những điểm thoả mãn điều kiện
1.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 : Trên đường tròn lượng giác, ta lấy điểm A làm gốc Định những điểm M biết sđ ( )
Trong bài viết này, chúng ta có thể nhận thấy rằng có bốn điểm ngọn cung phân biệt ứng với sđ Đặc biệt, trên đường tròn lượng giác, các điểm ngọn cung này chính là đỉnh của hình vuông.
Nhận xét : Trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung là đỉnh của một đa giác đều m cạnh.
Biểu diễn góc (cung) dưới dạng công thức tổng quát :
Ta biểu diễn từng góc (cung) trên đường tròn lượng giác Từ đó suy ra công thức tổng quát.
Ví dụ 2 : Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau dưới dạng một công thức tổng quát:
Ta biểu diễn các điểm ngọn cung của
Ta biểu diển các điểm ngọn cung của
Trên đường tròn lượng giác, ta nhận thấy có 6 điểm ngọn cung phân biệt, Do đó công thức tổng quát là:
Bài toán này nhấn mạnh tầm quan trọng của việc kết hợp các góc lượng giác thông qua một công thức tổng quát đơn giản hơn Đồng thời, nó cũng đề cập đến việc giải hệ phương trình lượng giác cơ bản bằng cách sử dụng phương pháp biểu diễn trên đường tròn lượng giác.
Bài toán giải PTLG dùng phương pháp kết hợp nghiệm bằng đường tròn lượng giác để loại các nghiệm ngoại lai.
Ta xét một số bài toán sau :
Ví dụ 3: Giải phương trình :
Với điều kiện đó phương trình tương đương :
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : và ,( )
Bài viết này giới thiệu một công thức nghiệm đơn giản, giúp biểu diễn chính xác trên đường tròn lượng giác Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét thêm một bài toán khác, nhằm làm nổi bật các khía cạnh của việc biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác.
Ví dụ 4 : Giải phương trình sau :
Lời giải Điều kiện để phương trình có nghĩa là :
Với điều kiện (1) phương trình tương đương :
So sánh các nghiệm này với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của phương trình là : và ,
Nhận xét : Ta nhận thấy đối với bài toán này việc biểu diễn bằng đường tròn lượng giác đã trở nên khó khăn và khó chính xác
Ví dụ 5: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2011, khối D)
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Ví dụ 6: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối A)
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Ví dụ 7: Giải phương trình sau:
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác (như hình bên) ta được nghiệm của phương trình là
Kết hợp với điều kiện trên đường tròn lượng giác ta được nghiệm của phương trình là o y x
Ta biến đổi phương trình thành hay
Trên đường tròn lượng giác biểu diễn và điều kiện ta thu được nghiệm
Ví dụ 8: Giải phương trình sau:
Biểu diễn nghiệm trên ĐTLG và lấy những nghiệm thoả mãn đk ta được
Biểu diễn nghiệm trên ĐTLG và lấy những nghiệm thoả mãn điều kiện ta được
Vậy PT cho có nghiệm
Các bài tập tương tự
3/ (đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2009, khối A).
Biểu diễn nghiệm (của phương trình hệ quả) và điều kiện (của phương trình ban đầu) qua cùng một hàm số lượng giác
Trong phần này cần sử dụng tốt các công thức Từ đó ta có các kết quả cần chú ý sau
2.2 Một số ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2010, khối A)
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ 2006, khối B)
Ví dụ 3: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ 11/2009)
Khi đó Đối chiếu với điều kiện ta được
Vậy phương trình có nghiệm là
Ví dụ 4: (Bài giảng trọng tâm ôn luyện môn Toán_Tập 2, trang 246_Trần
Nhận thấy , do đó phương trình đã cho trở thành Đối chiếu điều kiện ta được
Ví dụ 5: Giải phương trình
Khi đó phương trình đã cho trở thành Đối chiếu điều kiện ta được
Các bài tập tương tự
Thử trực tiếp và xét mệnh đề đối lập
+ Các nhận xét về tính chu kì của hàm số lượng giác
+ Các công thức về giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (sách giáo khoa Đại số 10)
3.2 Một số ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1: Giải phương trình
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh ĐH – CĐ, 2011, khối A)
Khi đó phương trình đã cho trở thành
Giả sử , khi đó (vô lí)
Do đó phương trình tương đương với
Vậy phương trình có nghiệm là
Ví dụ 3: Giải phương trình
Khi đó thoả mãn điều kiện, do đó ta được
Tiếp theo giả sử , thay vào (2) ta được (vô lí)
Tức là các nghiệm của (2) đều thoả mãn điều kiện.
Vậy phương trình có nghiệm
Ví dụ 4: Giải phương trình
Giả sử , thay vào (*) ta được (vô lí)
Tức là các nghiệm của (*) đều thoả mãn điều kiện.
Ví dụ 5: Giải phương trình
Lời giải: Điều kiện phương trình tương đương với
Từ đó Suy ra với thoả mãn phương trình
Ta thấy vế trái của (3) chẵn, vế phải của (3) lẻ nên không tồn tại thoả mãn (3)
Từ đó suy ra điều kiên (2) luôn được thoả mãn.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là
Các bài tập tương tự
II Một số chú ý khi áp dụng chuyên đề vào thực tế
Khi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy có thể nảy sinh một vài vấn đề cần chú ý như sau
1/ Nếu một bài toán PTLG có thể kết hợp nghiệm với điều kiện theo cả ba phương pháp trên thì nên áp dụng theo phương pháp nào?
Phương pháp 1 là lựa chọn tối ưu cho học sinh vì nó yêu cầu ít thao tác hơn Việc "biểu diễn nghiệm của phương trình hệ quả và điều kiện của phương trình ban đầu qua cùng một hàm số lượng giác" giúp giải quyết bài toán một cách ngắn gọn và hiệu quả.
2/ Khi làm bài thi nếu áp dụng phương pháp 3: “Biểu diễn trên ĐTLG”, do yêu cầu thẩm mỹ và tính chính xác nên sẽ mất rất nhiều thời gian trình bày Vậy có được phép bỏ qua phần vẽ hình ở khâu kết hợp điều kiện
Học sinh có thể không cần trình bày hình vẽ trong bài làm, nhưng phải phác hoạ ra nháp và thực hiện đúng các thao tác theo phương pháp đã hướng dẫn để đạt được kết luận chính xác Khi trình bày trong bài làm, cần nêu rõ rằng nghiệm của phương trình được xác định dựa trên ĐTLG.
3/ Có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện không? Làm sao biết mỗi bài toán nên kết hợp nghiệm theo phương pháp nào?
Câu trả lời là không có phương pháp nào có thể áp dụng cho tất cả các bài toán PTLG có điều kiện.
Trong trường hợp không thể áp dụng phương pháp 1 cho bài toán, ta có thể sử dụng phương pháp 2 hoặc 3 Mặc dù phương pháp 3 thường được ưa chuộng hơn, nhưng trong những bài toán yêu cầu quá nhiều điểm biểu diễn hoặc các điểm trên ĐTLG quá gần nhau, phương pháp 3 có thể gặp khó khăn và không khả thi trong thời gian và năng lực của học sinh Do đó, phương pháp 2 trở nên phù hợp hơn trong những tình huống này, như được minh họa trong ví dụ 1 và ví dụ 5 của phương pháp 2.
III Hướng phát triển sáng kiến:
Sáng kiến kinh nghiệm này tập trung vào các phương pháp cơ bản để kết hợp nghiệm với điều kiện của phương trình lượng giác có điều kiện Ngoài ra, nó cũng mở rộng nghiên cứu đến các bài toán giải hệ phương trình lượng giác, hệ lượng giác hỗn hợp, và các phương trình kết hợp giữa hàm số lượng giác với hàm số mũ, lôgarít, cũng như hàm số dưới dấu căn.
Kết quả thực hiện
5.1/ Kết quả từ thực tiễn.
Ban đầu, học sinh gặp khó khăn trong việc làm quen với phương pháp kết hợp nghiệm và điều kiện trong phương trình đại số có điều kiện Tuy nhiên, sau khi được rèn luyện và củng cố hệ thống kiến thức, các em đã trở nên tự tin và linh hoạt hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình đại số có điều kiện.
- Cái hay của phương pháp này là học sinh không bị mất điểm trong giải PTLG có điều kiện
- Tránh được việc không biết kết luận nghiệm.
Ngoài việc sử dụng bài tập trong sách giáo khoa, tôi khuyến khích học sinh luyện tập thêm các đề thi cao đẳng, đại học hàng năm và tham khảo tài liệu chuyên đề lượng giác từ nhà xuất bản ĐHQG để nâng cao khả năng giải toán trong chương I của sách Đại số và Giải tích 11.
Nhận xét: Học sinh đã làm được một số lượng tương đối lớn bài tập mà ít mắc sai lầm trong lời giải.
Sáng kiến được áp dụng trong năm học 2018-2019 tại lớp 11A1 trường THPT Bến Tre, Thành phố Phúc Yên, tỉnh Vĩnh Phúc.
Bài kiểm tra với 2 lớp: lớp 11a4 (Nhóm1) không áp dụng sáng kiến và với lớp 11a1 (nhóm2) áp dụng sáng kiến như sau:
Xếp loại Đối tượng Giỏi Khá TB Yếu
