Lời giới thiệu
Trong chương trình toán THPT, số phức được giảng dạy ở lớp 12, gây khó khăn cho học sinh do tài liệu tham khảo hạn chế Các bài tập trong sách giáo khoa chủ yếu là những bài toán đơn giản như cộng, trừ, tìm phần thực, phần ảo, mô-đun và giải phương trình bậc hai Tuy nhiên, đề thi gần đây có nhiều bài toán số phức ở mức độ phức tạp hơn, đặc biệt là các bài toán về cực trị Để giải quyết các bài toán này, học sinh cần có kiến thức vững về số phức, bao gồm phần thực, phần ảo, biểu diễn hình học, mô-đun và số phức liên hợp, cùng với kiến thức về điểm, đường thẳng, đường tròn và elip.
Nhằm hỗ trợ học sinh trong việc giải quyết các bài toán về cực trị số phức, tôi đã thu thập và phân loại các bài toán từ các đề thi THPTQG trong những năm gần đây Mục tiêu của tôi là giúp các em tiếp cận dễ dàng hơn với các bài toán cực trị về số phức và cung cấp cái nhìn tổng quát về dạng toán này Do đó, tôi đã chọn đề tài: Một số dạng toán cực trị số phức giải bằng phương pháp hình học.
Mặc dù thời gian có hạn, sự phân dạng trong tài liệu này có thể chưa hoàn thiện và chỉ mang tính chất tương đối Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ các đồng nghiệp để cải thiện chất lượng tài liệu.
Tôi xin chân thành cám ơn.
Mô tả bản chất sáng kiến
- Về nội dung của sáng kiến:
Trong nghiên cứu khoa học, xác định quy luật và phương pháp chung để giải quyết vấn đề là rất quan trọng, giúp định hướng tìm kiếm lời giải cho các bài toán tương tự Trong dạy học, giáo viên cần thiết kế và hướng dẫn học sinh thực hiện các hoạt động phù hợp với nội dung bài học, đồng thời tạo động lực, mục tiêu rõ ràng, cung cấp kiến thức về phương pháp và tạo cơ hội cho học sinh trải nghiệm thành công Vì vậy, việc trang bị phương pháp cho học sinh là nhiệm vụ quan trọng của giáo viên.
Sáng kiến trình bày một số dạng toán số phức về tìm cực trị hay gặp trong các đề thiTHPTQG bằng phương pháp hình học
MỘT SỐ DẠNG TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
NỘI DUNG
Dạng 1 Điểm và đường thẳng
Ví dụ 1: Trong các số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
Giả sử , số phức có điểm biểu diễn là điểm
Ta thấy điểm di chuyển trên đường thẳng nên nhỏ nhất khi và chỉ khi là hình chiếu của điểm lên đường thẳng
Phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với là
Do đó, tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn và nhỏ nhất Mô-đun của số phức bằng
Lời giải Đặt và là điểm biểu diễn của số phức
Suy ra thuộc đoạn kéo dài ( nằm giữa và ) Lại có nên nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất (với ).
Ví dụ 3 Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của bằng
Lời giải Đặt và là điểm biểu diễn số phức
Từ suy ra tập hợp điểm là đường thẳng
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 4 Xét các số phức thỏa mãn Môđun lớn nhất của số phức là
Lời giải Đặt và là điểm biểu diễn số phức
Từ ta suy ra Do đó tập hợp điểm là đường thẳng
Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra
Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
TH 2 Với Đặt và là điểm biểu diễn số phức z
Từ ta suy ra tập hợp điểm là đường thẳng
Dựa vào hình vẽ ta thấy suy ra
So sánh hai trường hợp ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần tô đậm như trên đồ thị có tính biên
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức là phần gạch chéo như trên đồ thị có tính biên
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Dấu xảy ra khi và chỉ khi , và
Dạng 2 Điểm và đường tròn
Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức Tính
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính
Ví dụ 2: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức lần lượt là
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm
Ví dụ 3: Xét các số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của Tính
Ta có tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm , bán kính
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng
Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 5: Xét các số phức thỏa mãn và Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
Từ suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính
Theo giả thiết ta có với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Xét các số phức thỏa mãn, chúng ta xác định số phức có môđun nhỏ nhất và môđun lớn nhất Khi đó, ta có thể so sánh các giá trị môđun này để rút ra kết luận về sự phân bố của các số phức trong tập hợp đã cho.
Từ tập hợp các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn có tâm bán kính
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 7: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất của là
Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường tròn tâm bán kính
Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường tròn.
Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn: nên
Tính độ dài ta lấy kết quả
Lưu ý: Cho số phức thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức là đường tròn ) và
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là
Gọi , Theo giả thiết, ta có
Khi đó nên tập hợp các điểm là đường elip
Do đó, phương trình chính tắc của là
Ví dụ 2 Cho số phức thỏa mãn Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng
Gọi với và là điểm biểu diễn số phức
Suy ra điểm thuộc vào elip
Cho số phức thay đổi thỏa mãn, trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn được gọi là và Cần tính giá trị lớn nhất của diện tích tam giác được tạo thành từ các điểm này.
Gọi là điểm biểu diễn số phức và là điểm biểu diễn số phức thì đối xứng nhau qua Diện tích tam giác là
Do nên tập hợp biểu diễn là Elip Do đó:
Câu 4 Cho số phức thỏa mãn Tìm khi đạt giá trị lớn nhất.
Suy ra điểm di chuyển trên đường tròn tâm có tâm
Dạng 4 Đường thẳng và đường tròn
Ví dụ 1: Xét các số phức thỏa mãn và các số phức thỏa mãn
Giá trị nhỏ nhất của bằng
Gọi Ta có tập hợp các số phức là đường thẳng
tập hợp các số phức là đường tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc
Ví dụ 2: Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn Gọi là tập hợp các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
Lời giải Đặt Ta có
tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như hình vẽ) Gọi miền này là
tập hợp điểm biểu diễn số phức là hình tròn có tâm bán kính
Khi đó biểu thức là khoảng cách từ một điểm thuộc đến một điểm thuộc
Ví dụ 3: Xét các số thức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng
tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ , kể cả bờ (miền tô đậm) Gọi miền này là
tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn có tâm bán kính
Tập hợp điểm biểu diễn số phức là giao của hai tập hợp, tạo thành phần cung tròn nét liền trong hình vẽ, bao gồm cả hai điểm đầu mút của cung.
Khi đó với và là khoảng cách từ điểm đến một điểm thuộc cung tròn
Ví dụ 4: Xét các số phức thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của hai số phức
tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc nửa mặt phẳng bờ và kể cả bờ (miền tô đậm như hình vẽ).
suy ra thuộc phần chung của hai hình tròn và (phần gạch sọc như hình vẽ).
Ta có nên nhỏ nhất khi ngắn nhất Dựa vào hình vẽ ta thấy ngắn nhất khi và
Ví dụ 5: Cho là số phức thỏa mãn Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của Giá trị bằng
Suy ra tập hợp các điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán nằm trong miền tô đậm, được giới hạn bởi đường thẳng và đường tròn có tâm bán kính, bao gồm cả biên, như hình vẽ.
Gọi giao điểm của và là là giao điểm của đoạn với
Dựa vào hình vẽ ta thấy
Ví dụ 6: Xét các số phức thoả mãn và là số thực Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Tính
Gọi lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức
Do đó từ Suy ra đường thẳng có VTPT
tập hợp các điểm là đường tròn có tâm bán kính
tập hợp các điểm là đường thẳng
Gọi là góc giữa và , ta có
Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm GTLN và GTNN của
Do nên suy ra không cắt Gọi là hình chiếu của trên , ta có
Câu 1: Xét các số phức thỏa mãn Tính , biết rằng đạt giá trị nhỏ nhất
Vì đồng dạng với nhau nên
Câu 2: Cho hai số phức thỏa mãn và Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Từ giả thiết, ta có Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính Điểm biểu diễn số phức thuộc vào đường tròn tâm , bán kính
Câu 3 Xét các số phức thỏa mãn Tính khi đạt giá trị nhỏ nhất.
Giả sử có điểm biểu diễn là
Gọi Khi đó, ta có
Gọi Ta có nên có
Suy ra Vậy thẳng hàng
Câu 4 Cho các số phức thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chọn lần lượt là các điểm biểu diễn số phức
Dựa vào điều kiện, ta có tam giác vuông cân tại có độ dài ,
Phép quay tâm , góc quay ta có
Suy ra (do tam giác đều).
Khi đó tam giác có và
Câu 5 Cho số phức thay đổi thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng (với là các số nguyên tố) Tính
Gọi là điểm biểu diễn của số phức
Ta có suy ra các điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm
Xét điểm và Ta có
Lấy điểm : thuộc đường tròn tâm , bán kính
Do và đỉnh chung nên suy ra
Câu 6 Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Gọi điểm biểu diễn của là Khi đó nằm trên đường tròn tâm Gọi tọa độ các điểm do đó:
Gọi khi đó ta có:
Vậy và là hai tam giác đồng dạng Khi đó:
Theo bất đẳng thức tam giác:
Câu 7 Với hai số phức và thoả mãn và tìm giá trị lớn nhất của
Vì hai số phức và thoả mãn và nên
Hai điểm biểu diễn của hai số phức được gọi là A và B Khi đó, điểm C nằm trên đường tròn có tâm O, bán kính r và đường kính AB.
Dấu bằng xảy ra khi
Câu 8 Giả sử là hai trong số các số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của bằng
Ta có Điểm biểu diễn thuộc đường tròn tâm ,
Gọi , là điểm biểu diễn , nên là đường kính Dựng hình bình hành ta có
Ta có Dấu bằng xảy ra khi
Câu 9 Cho là số phức thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Gọi là điểm biểu diễn số phức
Do suy ra thuộc đường tròn tâm , bán kính
. Đặt là trung điểm của Khi đó
Do nằm ngoài đường tròn, nên
Suy ra tọa độ điểm thỏa mãn
Câu 10 Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện và Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là Parabol
Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bamns kính x y
M nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất.
- Về khả năng áp dụng của sáng kiến: Dành cho học sinh có học lực từ trung bình khá trở lên.
8 Những thông tin cần được bảo mật:
9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Học sinh lớp 12.
10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến của tác giả:
Sau khi hoàn thành chương trình học, học sinh lớp 12 đã tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán tìm cực trị số phức, một dạng toán mà trước đây thường bị bỏ qua Điều này giúp các em có những hướng đi cụ thể để xử lý các bài toán trong phần này một cách hiệu quả.
11 Dang sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có)
STT Tên tổ chức, các nhân Địa chỉ Phạm vi , Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 1
…, ngày … tháng … năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Yên Lạc, ngày 10 tháng 03 năm 2020
Đường thẳng và đường tròn
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được
Sau khi hoàn thành chương trình học, học sinh lớp 12 đã tự tin hơn trong việc giải quyết bài toán tìm cực trị số phức, một dạng bài thường bị bỏ qua trước đây Điều này giúp các em có được những phương pháp tiếp cận hiệu quả để xử lý các bài toán trong phần này.
Dang sách tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử
STT Tên tổ chức, các nhân Địa chỉ Phạm vi , Lĩnh vực áp dụng sáng kiến 1
…, ngày … tháng … năm CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ
Yên Lạc, ngày 10 tháng 03 năm 2020
