CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT
PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ
Trong thực tế, chúng ta thường gặp nhiều thí nghiệm và quan sát mà kết quả không thể dự đoán trước, và những hiện tượng này được gọi là các phép thử ngẫu nhiên.
Trong phép thử gieo con xúc xắc 6 mặt, mặc dù không thể dự đoán kết quả cụ thể, chúng ta có thể liệt kê tất cả các kết quả có thể xảy ra, bao gồm các mặt có số chấm 1, 2, 3, 4, 5 và 6 Các kết quả này được xem là các biến cố sơ cấp, và tập hợp tất cả những biến cố sơ cấp này được gọi là không gian mẫu, ký hiệu là Ω.
Không gian mẫu của phép thử gieo con xúc xắc là Ω={1,2,3,4,5,6}
Phép thử tung đồng xu có không gian mẫu là Ω={ S, N }
Phép thử tung đồng thời 2 đồng xu có không gian mẫu là
Trong lý thuyết xác suất, bản chất của các biến cố sơ cấp không có vai trò đặc biệt Ví dụ, chúng ta có thể mã hóa các kết quả và xác định không gian mẫu cho phép thử tung đồng xu.
{ }0,1 Ω , trong đó 0 là biến cố sơ cấp chỉ mặt sấp xuất hiện và 1 để chỉ mặt ngửa xuất hiện
Trong phép thử C, chúng ta thường xem xét các biến cố, hay còn gọi là sự kiện, mà việc xảy ra hay không của các biến cố này hoàn toàn phụ thuộc vào kết quả của phép thử C.
Mỗi kết quả ω của phép thử C được gọi là kết quả thuận lợi cho biến cố A nếu A xảy ra khi kết quả của phép thử C là ω
Ví dụ 1.2: Nếu gọi A là biến cố “số chấm xuất hiện là chẵn” trong phép thử tung xúc xắc (6 mặt) thì A có các kết quả thuận lợi là 2, 4, 6
Tung hai đồng xu, biến cố xuất hiện một mặt sấp một mặt ngửa (xin âm dương) có các kết quả thuận lợi là (S,N);(N,S)
1 Có thể đồng nhất mỗi biến cố A với một tập con của không gian mẫu Ω bao gồm các kết quả thuận lợi đối với A
2 Mỗi biến cố chỉ có thể xảy ra khi một phép thử được thực hiện, nghĩa là gắn với không gian mẫu nào đó
Có hai biến cố đặc biệt sau:
• Biến cố chắc chắn là biến cố luôn luôn xảy ra khi thực hiện phép thử Không gian mẫu Ω là một biến cố chắc chắn
• Biến cố không thể là biến cố nhất định không xảy ra khi thực hiện phép thử Biến cố không thể được ký hiệu ∅
Khi tung một con xúc xắc, biến cố xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơn hoặc bằng 6 là biến cố chắc chắn, trong khi biến cố xuất hiện mặt có 7 chấm là biến cố không thể xảy ra.
1.1.3 Quan hệ giữa các biến cố
Trong lý thuyết xác suất, các phép toán của tập hợp tương ứng với các quan hệ giữa các biến cố trong cùng một phép thử Một trong những quan hệ quan trọng là quan hệ kéo theo, cho phép xác định mối liên hệ giữa các biến cố.
Biến cố A kéo theo biến cố B, ký hiệu A⊂ B, nếu khi A xảy ra thì B xảy ra
Nếu A⊂B và B⊂ A thì ta nói hai biến cố A,B trùng nhau, ký hiệu A B= b) Quan hệ biến cố đối
Mỗi biến cố A đều có một biến cố đối, ký hiệu là A, được định nghĩa là A xảy ra khi và chỉ khi A không xảy ra.
Ví dụ 1.3: Bắn một phát đạn vào bia Gọi A là biến cố “bắn trúng bia” Biến cố đối của A là A
“bắn trượt bia” c) Tổng của hai biến cố
Tổng của hai biến cốA,B là biến cố được ký hiệu A∪B Biến cố A∪B xảy ra khi và chỉ khi có ít nhất A hoặc B xảy ra
Tổng của một dãy các biến cố { A 1 ,A 2 , ,A n } là biến cố ∪ n i
Biến cố này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cốA i xảy ra (i=1, ,n)
Trong một mạng điện có hai bóng đèn mắc nối tiếp, gọi A1 là biến cố "bóng đèn thứ nhất bị cháy" và A2 là biến cố "bóng đèn thứ hai bị cháy" Biến cố A đại diện cho "mạng mất điện", xảy ra khi ít nhất một trong hai bóng đèn bị cháy Do đó, ta có A = A1 ∪ A2.
Tích của hai biến cố A,B là biến cố được ký hiệu AB Biến cố AB xảy ra khi cả hai biến cố A,Bcùng xảy ra
Tích của một dãy các biến cố { A 1 ,A 2 , ,A n } là biến cố ∏
Biến cố này xảy ra khi tất cả các biến cố A i cùng xảy ra (i=1, ,n)
Trong một mạng điện có hai bóng đèn mắc song song, chúng ta định nghĩa các biến cố như sau: A1 là biến cố "bóng đèn thứ nhất bị cháy", A2 là biến cố "bóng đèn thứ hai bị cháy", và A là biến cố "mạng mất điện".
Ta thấy rằng mạng bị mất điện khi cả hai bóng bị cháy Vậy A A A= 1 2
Trong ví dụ 1.6, hai xạ thủ A và B lần lượt bắn một viên đạn vào bia Biến cố A biểu thị việc A bắn trúng bia, trong khi biến cố B thể hiện việc B bắn trúng bia Khi kết hợp hai biến cố này, A ∪ B đại diện cho biến cố "có ít nhất một người bắn trúng bia", và AB mô tả biến cố "cả hai người cùng bắn trúng bia" Điều này minh họa cho khái niệm biến cố xung khắc trong xác suất.
Hai biến số A được gọi là xung khắc khi hai biến cố này không thể xảy ra đồng thời Nói cách khác, hai biến số A là xung khắc khi biến cố tích B AB là một biến cố không thể xảy ra.
Trong một bình có ba loại cầu: cầu màu trắng, màu đỏ và màu xanh, khi rút ngẫu nhiên một quả cầu, ta định nghĩa các biến cố A_t, A_đ và A_x tương ứng với việc rút được cầu trắng, cầu đỏ và cầu xanh Các biến cố này là xung khắc từng đôi một, vì mỗi quả cầu chỉ có một màu duy nhất.
Các biến cố trong một phép thử, thông qua các phép toán tổng, tích và lấy biến cố đối, tạo thành đại số Boole Điều này cho thấy rằng các phép toán này có những tính chất tương tự như các phép toán hợp, giao và lấy phần bù đối với các tập con của không gian mẫu.
A A B= ∪B = AB∪AB … f) Hệ đầy đủ các biến cố
Hệ đầy đủ các biến cố A1, A2, , An được định nghĩa khi chúng xung khắc từng đôi một, tức là A_i ∩ A_j = ∅ với mọi i ≠ j, và tổng của chúng tạo thành biến cố chắc chắn, nghĩa là ∑A_i = Ω.
Đặc biệt với mọi biến cố A, hệ gồm hai biến cố { } A A , là hệ đầy đủ
Trong một nhà máy có ba phân xưởng sản xuất cùng một loại sản phẩm, mỗi sản phẩm chỉ được sản xuất bởi một trong ba phân xưởng này Khi chọn ngẫu nhiên một sản phẩm, ta định nghĩa các biến cố A1, A2, A3 tương ứng với sản phẩm được sản xuất bởi phân xưởng thứ nhất, thứ hai và thứ ba Hệ ba biến cố {A1, A2, A3} là một hệ đầy đủ Để đánh giá tính độc lập của các biến cố này, cần phân tích mối quan hệ giữa chúng trong quá trình sản xuất.
ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT VÀ CÁC TÍNH CHẤT
Biến cố ngẫu nhiên trong một phép thử không thể được dự đoán hay biết trước Tuy nhiên, chúng ta có thể định lượng khả năng xảy ra của biến cố đó thông qua xác suất xuất hiện.
Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng khả năng khách quan xuất hiện biến cố đó khi thực hiện phép thử
Xác suất của biến cố A ký hiệu ( )P A Trường hợp biến cố chỉ gồm một biến cố sơ cấp { } a ta ký hiệu P a( ) thay cho P a ( { } )
Dựa vào bản chất của phép thử đồng khả năng, chúng ta có thể suy luận về khả năng xuất hiện của biến cố Từ đó, chúng ta định nghĩa xác suất theo phương pháp cổ điển.
Khi thực hiện nhiều lần lặp lại độc lập một phép thử, ta có thể tính tần suất xuất hiện của một biến cố Tần suất này phản ánh khả năng xảy ra của biến cố, từ đó dẫn đến định nghĩa xác suất theo thống kê.
1.2.1 Định nghĩa cổ điển về xác suất Định nghĩa 1.1: Giả sử phép thử C thoả mãn hai điều kiện sau:
(i) Không gian mẫu có một số hữu hạn phần tử
(ii) Các kết quả xảy ra đồng khả năng
Khi đó ta định nghĩa xác suất của biến cố A là thÓ cã hợp tr−êng sè víi èi lợi thuËn hợp tr−êng sè A
Nếu xem biến cố A như là tập con của không gian mẫu Ω thì
P sốphầntửcủa của tử phÇn ) sè
Ví dụ 1.10: Biến cố A xuất hiện mặt chẵn trong phép thử gieo con xúc xắc ở ví dụ 1.2 có 3 trường hợp thuận lợi ( A =3) và 6 trường hợp có thể (Ω =6) Vậy
Khi gieo hai đồng xu cùng lúc, có hai mặt sấp và ngửa xuất hiện, tạo ra 2 kết quả thuận lợi trong tổng số 4 kết quả có thể Điều này cho thấy xác suất xuất hiện của biến cố này là 1.
Trong bài toán xác suất này, chúng ta xem xét việc gieo hai con xúc xắc 4 mặt và tính xác suất cho các biến cố khác nhau Biến cố A là tổng số chấm xuất hiện là chẵn, biến cố B là số chấm của hai con xúc xắc bằng nhau, biến cố C là số chấm của xúc xắc thứ nhất lớn hơn xúc xắc thứ hai, và biến cố D là ít nhất một trong hai xúc xắc xuất hiện mặt 4 chấm.
Gi ả i : Có thể biểu diễn không gian mẫu của phép thử và các biến cố tương ứng dưới dạng biểu đồ sau:
Các biến cố sơ cấp được biểu diễn bởi các chấm • hoặc ♦
Các biến cố sơ cấp thuận lợi đối với biến cố A được ký hiệu bởi ♦
Số trường hớp thuận lợi của các biến cố B, C, D là số các chấm • hoặc ♦ được đánh dấu tương ứng trong biểu đồ
Theo định nghĩa xác suất (1.1a) ta có: a ( ) 8 1
Xúc xắc lần gieo thứ nhất
Xúc xắc lần gieo thứ hai
Hình 1.1: Phép thử gieo 2 xúc xắc 4 mặt
Ví dụ 1.12: Sơ đồ cây
Nhiều phép thử nối tiếp tạo thành dãy, như việc tung đồng xu ba lần, theo dõi chỉ số chứng khoán trong năm ngày liên tiếp, hoặc nhận tám ký số liên tiếp từ một bộ nhận thông tin Trong những trường hợp này, không gian mẫu và các biến cố tương ứng có thể được biểu diễn bằng sơ đồ cây.
Không gian mẫu và biến cố B của ví dụ 1.11 có thể được biểu diễn dưới dạng sơ đồ cây Để tính xác suất cổ điển, chúng ta áp dụng phương pháp đếm trong giải tích tổ hợp.
1.2.2 Các qui tắc đếm a) Qui tắc cộng
Nếu có m1 cách chọn loại đối tượng x1, m2 cách chọn loại đối tượng x2, , mn cách chọn loại đối tượng xn, và các cách chọn đối tượng xi không trùng với cách chọn xj khi i ≠ j, thì tổng số cách chọn một trong các đối tượng đã cho là m1 + m2 + + mn Đây là nội dung của qui tắc nhân trong xác suất.
Giả sử công việc H gồm nhiều công đoạn liên tiếp H 1, H 2, , H k và mỗi công đoạn
Hi có n i cách thực hiện thì có tất cả n 1×n 2× ×n k cách thực hiện công việc H c) Hoán vị
Mỗi phép hoán vị n phần tử là việc đổi chỗ hoặc sắp xếp n phần tử vào n vị trí Bằng cách áp dụng quy tắc nhân, chúng ta có thể tính toán số lượng hoán vị này một cách chính xác.
Hình 1.2: Sơ đồ cây của phép thử gieo 2 xúc xắc 4 mặt
Có !n hoán vị n phần tử
Quy ước 0!=1 d) Chỉnh hợp có lặp
Khi chọn lần lượt k phần tử từ tập n phần tử, ta thu được một chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử Áp dụng quy tắc nhân, số lượng các chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử được tính là n^k.
Khi chọn lần lượt k phần tử không hoàn lại từ tập n phần tử, ta tạo ra một chỉnh hợp chập k của n phần tử Sử dụng quy tắc nhân, số lượng chỉnh hợp chập k của n phần tử có thể được tính toán một cách chính xác.
Một tổ hợp chập k (1 ≤ k ≤ n) của n phần tử là cách chọn đồng thời k phần tử từ một tập hợp có n phần tử Do đó, một tập con k phần tử của n phần tử cũng có thể được xem là tổ hợp chập k của n phần tử.
Chỉnh hợp chập k của n phần tử được coi là khác nhau khi thỏa mãn một trong hai điều kiện: thứ nhất, có ít nhất một phần tử trong chỉnh hợp này không xuất hiện trong chỉnh hợp kia; thứ hai, các phần tử giống nhau nhưng thứ tự sắp xếp khác nhau.
Mỗi tổ hợp chập k của n phần tử sẽ tương ứng với k! chỉnh hợp khác nhau Điều này có nghĩa là hai chỉnh hợp khác nhau sẽ xuất phát từ hai tổ hợp khác nhau, dẫn đến sự khác biệt giữa chúng.
Vậy số các tổ hợp chập k của n phần tử là
Ví dụ 1.13: Tung một con xúc xắc (6 mặt) hai lần Tìm xác suất để trong đó chỉ có 1 lần ra 6 chấm
Trong 2 lần tung con xúc xắc, có tổng cộng 36 trường hợp xảy ra Gọi A là biến cố "trong 2 lần tung con xúc xắc chỉ có 1 lần ra mặt 6" Nếu lần đầu tiên ra mặt 6, thì lần thứ hai chỉ có thể ra các mặt từ 1 đến 5.
XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN
1.3.1 Định nghĩa và các tính chất của xác suất có điều kiện
Xác suất của biến cố B được tính trong điều kiện biến cố A xảy ra được gọi là xác suất của B với điều kiện A Ký hiệu P B A ( | )
= P A (1.13) ắ Khi cố định A với P(A)>0 thỡ xỏc suất cú điều kiện P B A( | ) cú tất cả cỏc tớnh chất của xác suất thông thường (công thức (1.7)-(1.12)) đối với biến cố B
Khi gieo hai con xúc xắc 6 mặt, ta cần tính xác suất để tổng số chấm trên hai con xúc xắc đạt ít nhất 10, với điều kiện là ít nhất một trong hai con đã ra chấm 5.
Gi ả i : Gọi A là biến cố “ít nhất một con ra chấm 5”
P A = −P A = −⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ = Gọi B là biến cố “tổng số chấm trên hai con ≥10”
Biến cố AB có 3 kết quả thuận lợi là (5,6) , (5,5), (6,5)
Ví dụ 1.28: Xét phép thử gieo đồng xu liên tiếp 3 lần ở ví dụ 1.12
Gọi A là biến cố lần thứ nhất ra mặt sấp
B là biến cố lần thứ hai ra mặt ngửa
C là biến cố số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn hoặc bằng số lần mặt ngửa
Trong phép thử gieo liên tiếp hai lần con xúc xắc 4 mặt, ký hiệu X và Y lần lượt là số chấm xuất hiện khi gieo lần thứ nhất và lần thứ hai Chúng ta sẽ tính xác suất có điều kiện P(Y|X).
Và m nhận một trong các giá trị 1, 2, 3, 4
Gi ả i : Có thể biểu diễn không gian mẫu của phép thử và các biến cố tương ứng dưới dạng sau:
Trong một nhà máy sản xuất có hai phân xưởng sản xuất cùng một loại sản phẩm, Phân xưởng I sản xuất 1000 sản phẩm với 100 phế phẩm, trong khi Phân xưởng II sản xuất 2000 sản phẩm với 150 phế phẩm Khi lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra và phát hiện đó là phế phẩm, cần tính xác suất phế phẩm này do Phân xưởng I sản xuất.
Để tính xác suất có điều kiện P(A|B), ta định nghĩa B là biến cố sản phẩm được chọn để kiểm tra là phế phẩm và A là biến cố sản phẩm do phân xưởng I sản xuất Việc xác định xác suất này giúp đánh giá chất lượng sản phẩm từ phân xưởng I trong bối cảnh kiểm tra sản phẩm phế phẩm.
Biến cố AB có 100 kết quả thuận lợi đồng khả năng do đó 100 1
Trong 3000 sản phẩm sản xuất ra có 250 phế phẩm, do đó 250 1
P B = = Áp dụng công thức (1.13) ta được
Hình 1.4: Phép thử gieo liên tiếp 2 lần xúc xắc 4 mặt
Ta có thể tính trực tiếp xác suất ( | )P A B như sau:
Có 250 trường hợp đồng khả năng có thể lấy được phế phẩm của nhà máy nhưng chỉ có
Xác suất để lấy được phế phẩm do phân xưởng I sản xuất trong tổng số phế phẩm là 100 kết quả thuận lợi.
1.3.2 Quy tắc nhân xác suất
NếuA, là hai biến cố B độc lập thì xác suất của biến cố B không phụ thuộc vào A có xảy ra hay không (xem mục 1.1.3–g), nghĩa là ( | )P B A =P B( ) Theo (1.13) ta có
Nếu { A A 1, 2, , A n } là các biến cố độc lập thì
Thông thường tính độc lập của các biến cố được suy ra từ ý nghĩa thực tế Chẳng hạn nếu
A và B là biến cố xạ thủ 1, 2 bắn trúng mục tiêu thì A, là hai biến cố độc lập (xem ví dụ 1.11) B
Với hai biến cố A, bất kỳ, áp dụng công thức (1.13) ta có B
Với n biến cố bất kỳ A A 1 , 2 , , A n :
Ví dụ 1.31: Túi I chứa 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh
Túi II chứa 10 bi trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh
Từ mỗi túi lấy ngẫu nhiên 1 bi Tìm xác suất để 2 bi được rút từ 2 túi là cùng mầu
Gi ả i : Gọi A t , A đ , A x lần lượt là biến cố bi được rút từ túi I là trắng, đỏ, xanh
B t , B đ , B x lần lượt là biến cố bi được rút từ túi II là trắng, đỏ, xanh
Các biến cố A t , A đ , A x xung khắc, B t , B đ , B x xung khắc;
Các biến cố A t , A đ , A x độc lập với các biến cố B t , B đ , B x
Biến cố 2 bi được rút cùng mầu là A B t t ∪A B đ đ ∪A B x x
Vậy xác suất cần tìm:
Trong một tình huống có hai máy bay ném bom cùng nhắm vào một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả bom với xác suất trúng mục tiêu lần lượt là 0,7 và 0,8 Để tính xác suất mục tiêu bị trúng bom, ta cần xem xét khả năng ít nhất một trong hai máy bay thành công trong việc ném bom trúng mục tiêu.
Giả sử A1 và A2 lần lượt là các biến cố liên quan đến việc "máy bay thứ nhất và máy bay thứ hai ném trúng mục tiêu" Biến cố A đại diện cho tình huống "mục tiêu bị đánh trúng".
Rõ ràng A A= 1 ∪A 2 và A A 1 , 2 độc lập
Ví dụ 1.33: Rút ngẫu nhiên 2 quân bài từ cỗ bài tú lơ khơ Tính xác suất cả 2 quân bài rút được là
Gi ả i : : Gọi A A 1 , 2 lần lượt tương ứng là biến cố lần thứ nhất và lần thứ hai rút được con át
Trong ví dụ này, có một hộp chứa 100 con chíp bán dẫn, trong đó có 20 chíp là phế phẩm Khi lấy ngẫu nhiên không hoàn lại 2 chíp, ta cần tính xác suất cho các trường hợp khác nhau Đầu tiên, xác suất để con chíp lấy được lần đầu là phế phẩm được tính dựa trên tỷ lệ chíp phế phẩm trong hộp Tiếp theo, xác suất để con chíp lấy được lần thứ hai cũng là phế phẩm, với điều kiện con chíp đầu tiên cũng là phế phẩm, sẽ phụ thuộc vào số lượng chíp còn lại trong hộp Cuối cùng, xác suất để cả hai con chíp lấy được đều là phế phẩm sẽ được tính bằng cách nhân xác suất của từng lần lấy chíp.
Gi ả i : a) Gọi A 1 là biến cố con chíp lấy được lần đầu là phế phẩm, ta có
Xác suất để con chíp lấy được lần thứ hai là phế phẩm, với điều kiện rằng con chíp lấy lần đầu cũng là phế phẩm, được ký hiệu là A2.
Trong một tình huống, một thủ kho sở hữu 9 chiếc chìa khóa giống hệt nhau, nhưng chỉ có 2 chiếc có khả năng mở kho Khi anh ta thử từng chìa khóa một cách ngẫu nhiên và loại bỏ những chìa không phù hợp, câu hỏi đặt ra là xác suất để mở kho thành công ở lần thử thứ ba.
Gi ả i : Ký hiệu A i là biến cố “thử đúng chìa ở lần thứ i” 1, ,8i Ký hiệu B là biến cố “mở được kho ở lần thử thứ ba”
Vậy xác suất cần tìm là P A A A ( 1 2 3 ) ( )=P A P A A P A A A 1 ( 2 1 ) ( 3 1 2 )
Trong ví dụ 1.36, chúng ta thực hiện việc rút ngẫu nhiên không hoàn lại 3 quân bài từ cỗ bài tú lơ khơ và cần tính xác suất cho các trường hợp sau: a) Tính xác suất để cả 3 quân bài rút được không phải là quân bích b) Tính xác suất để lần rút đầu tiên không phải là quân bích và lần rút thứ hai là quân bích c) Tính xác suất để hai lần rút đầu tiên không phải là quân bích và lần rút thứ ba là quân bích.
Giả sử A A A 1, 2, 3 lần lượt đại diện cho các biến cố khi rút quân bài không phải là quân bích trong ba lần rút Biến cố mà cả ba quân bài rút được đều không phải là quân bích được ký hiệu là A A A 1 2 3.
Vậy xác suất cần tìm là P A A A( 1 2 3 )=P A P A A P A A A( ) ( 1 2 | 1 ) ( 3 | 1 2 )
P A A A = ⋅ ⋅ b) Xác suất lần thứ nhất rút được không phải quân bích và lần thứ hai rút được quân bích là
P A A =P A P A A = ⋅ c) Xác suất hai lần đầu rút được không phải quân bích và lần thứ ba rút được quân bích là
Giống như trong ví dụ 1.12 và 1.24, chúng ta có thể biểu diễn các biến cố và xác suất tương ứng của phép thử rút liên tiếp 3 quân bài thông qua sơ đồ cây.
1.3.3 Công thức xác suất đầy đủ Định lý 1.2: Giả sử { A A 1 , 2 , , A n } là một hệ đầy đủ các biến cố Khi đó, với mọi biến cố B của cùng một phép thử ta có
Trong một túi có 4 bi trắng và 6 bi đen, người thứ nhất rút ngẫu nhiên 3 bi mà không hoàn lại, sau đó người thứ hai rút tiếp 2 bi Để tính xác suất mà người thứ hai lấy được 1 bi trắng, cần phân tích các trường hợp có thể xảy ra sau khi người thứ nhất đã rút bi.
Gi ả i : Gọi lần lượt A 0 ,A 1 ,A 2 ,A 3 là biến cố người thứ nhất lấy được 0, 1, 2, 3 bi trắng
Gọi B là biến cố người thứ hai lấy được 1 bi trắng
Ta có bảng tổng hợp của các kết quả sau khi người thứ nhất chọn ngẫu nhiên 3 bi:
Hình 1.8: Sơ đồ cây rút liên tiếp 3 quân bài
Số bi màu trắng người thứ nhất lấy được 0 1 2 3
Số bi màu trắng còn lại sau khi người thứ nhất lấy 4 3 2 1
Từ đó ta tính được các xác suất có điều kiện
BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA CHÚNG
ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN
Gieo một con xúc xắc 6 mặt Ký hiệu A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , A 5 , A 6 lần lượt là biến cố “mặt 1 chấm xuất hiện”, “mặt 2 chấm xuất hiện”, …, “mặt 6 chấm xuất hiện”
Nếu X là đại lượng biểu diễn số chấm xuất hiện khi gieo con xúc xắc thì X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4, 5, 6 một cách ngẫu nhiên và X nhận giá trị k là biến cố A k , nghĩa là { X =k }= A k , với k=1, 2, , 6
Ta gọi X là một biến ngẫu nhiên có miền giá trị R X ={ 1, 2, ,6 }
Một cách tổng quát ta có khái niệm biến ngẫu nhiên như sau
2.1.1 Định nghĩa biến ngẫu nhiên Định nghĩa 2.1: Biến ngẫu nhiên X là đại lượng nhận các giá trị nào đó phụ thuộc vào các yếu tố ngẫu nhiên, nghĩa là với mọi giá trị thựcx∈ thì “X nhận giá trị nhỏ hơn bằng x ”, ký hiệu
Biến cố ngẫu nhiên { X ≤ x } liên quan đến biến ngẫu nhiên, trong đó người ta chú trọng đến xác suất mà biến này nhận được một giá trị cụ thể hoặc nằm trong một khoảng giá trị nhất định.
Tập hợp tất cả các giá trị của X được gọi là miền giá trị của X , ký hiệu R X
Ví dụ 2.1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc Ký hiệu A k , k=2,3, ,12 là biến cố tổng số chấm xuất hiện của hai con xúc xắc là k
Nếu gọi X là tổng số chấm xuất hiện khi gieo hai con xúc xắc thì X là một biến ngẫu nhiên có miền giá trị R X ={ 2,3, ,12 } và { X = k } = A k với k = 2,3, ,12
Ví dụ 2.2: Các đại lượng sau là biến ngẫu nhiên
• Tuổi thọ của một thiết bị đang hoạt động
• Số khách hàng vào một điểm phục vụ trong một khoảng thời gian nào đó
• Số cuộc gọi đến một tổng đài trong một khoảng thời gian nào đó
Sai số trong đo lường đại lượng vật lý là một khái niệm quan trọng Hai biến ngẫu nhiên X và Y được coi là độc lập nếu giá trị của X không phụ thuộc vào giá trị của Y và ngược lại Điều này có nghĩa là với mọi số thực x và y, hai biến cố tương ứng là độc lập.
Trong chương 3 ta sẽ đưa ra các tiêu chuẩn để nhận biết tính chất độc lập của hai biến ngẫu nhiên
2.1.2 Hàm phân bố xác suất
Các biến ngẫu nhiên có thể được khảo sát trong các phép thử khác nhau với các không gian xác suất khác nhau, nhưng phân bố xác suất của chúng có thể giống nhau Ví dụ, xác suất bắn trúng bia của một xạ thủ là 0,8 Khi xạ thủ này bắn 10 viên, ta ký hiệu X là số viên bắn trúng bia, và xác suất để xạ thủ bắn trúng k viên có thể được tính toán dựa trên phân phối xác suất.
(xem dãy phép thử Bernoulli mục 1.4 chương 1 và phân bố nhị thức, mục 2.2.2.2)
Giả sử tỷ lệ chính phẩm trong lô hàng là 0,8, khi chọn 10 sản phẩm kiểm tra, ký hiệu Y là số chính phẩm phát hiện được Từ đó, xác suất để chọn được k chính phẩm có thể được tính toán dựa trên tỷ lệ này.
Vậy P X { = k } = P Y { = k } , 0 ≤ ≤ k 10 Nói cách khác phân bố xác suất của X và Y như nhau
Hàm phân bố xác suất, hay còn gọi là hàm phân bố tích lũy (CDF), là một khái niệm quan trọng trong xác suất Định nghĩa 2.3 nêu rõ rằng CDF của biến ngẫu nhiên X được xác định bởi hàm số F(x) cho mọi giá trị x thuộc tập hợp của X.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X, được ký hiệu là F x X, với công thức F x X = P(X ≤ x) cho mọi x trong khoảng từ -∞ đến ∞ Hàm phân bố này có những đặc điểm quan trọng: đầu tiên, giá trị của F x X luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (0 ≤ F x X ≤ 1) cho mọi x; thứ hai, F x X là hàm không giảm và liên tục bên phải, nghĩa là nó không giảm theo giá trị của x.
Với mọi a b, ∈: a b< ( )⇒F a X ≤F b X ( ) Với mọi a∈, ta có
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì F x X ( ) là hàm liên tục c) X ( ) lim X ( ) 0; X ( ) lim X ( ) 1 x x
Nhận xét 2.1: Một số tài liệu coi
G x X =P X 0
2.4.5 Moment, hệ số bất đối xứng, hệ số nhọn (*)
3) Hệ số bất đối xứng 3 3 3 σ
Nhận xét 2.5: m 1 =EX,μ 1 =0, μ 2 =DX α 3 đo mức độ bất đối xứng của luật phân bố :
Khi 0 < α3 < thì phân bố xác suất và đồ thị hàm mật độ xác suất sẽ lệch về bên trái Nếu α3 = 0, phân bố xác suất và đồ thị hàm mật độ xác suất sẽ có tính đối xứng Ngược lại, khi α3 > 0, phân bố xác suất và đồ thị hàm mật độ xác suất sẽ lệch về bên phải.
Hệ số nhọn α 4 đặc trưng cho độ nhọn của đồ thị hàm mật độ xác suất so với đồ thị hàm mật độ xác suất của phân bố chuẩn
Với biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn thì α 4 =3
4 >3 α thì đồ thị hàm mật độ xác suất sẽ nhọn hơn so với đồ thị hàm mật độ xác suất chuẩn
4 0 λe −λ x , x>0 1/λ 1/λ 2
Phân bố Erlang tham số ( ; )k λ
Hình 2.19b: Hệ số bất đối xứng α > 3 0 x
Hình 2.19a: Hệ số bất đối xứng α < 3 0
“Khi bình phương” n bậc tự do ( / 2) / 2 1 1 ( / 2), 0
Biến ngẫu nhiên X được nghiên cứu qua hàm phân bố xác suất F x X ( )=P X { ≤x }
• Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc với hàm khối lượng xác suất ( ),p x X k x k ∈R X
Hàm phân bố được xác định theo công thức ( ) ( ) k
• Nếu biến ngẫu nhiên X liên tục với hàm mật độ ( )f X x thì
Phương sai DX =E(X −E )X 2 =EX 2 −(E )X 2 , trong đó
Phân vị mức α của biến ngẫu nhiên X, ký hiệu v α , là giá trị thỏa mãn F v X ( α − ≤ α ≤) F v X ( ) α
0 Mod ( ) max0 ( ),1 ( ), 2 i X i X X x = X ⇔ p x = p x p x (trường hợp rời rạc)
Mod X ( ) max X ( ), c= X ⇔ f c = f x x∈ (trường hợp liên tục)
CÂU HỎI ÔN TẬP VÀ BÀI TẬP
2.1 Biến ngẫu nhiên luôn luôn nhận giá trị dương Đúng Sai
2.2 Biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị Đúng Sai
2.3 Nếu biến ngẫu nhiên X rời rạc chỉ nhận các giá trị x 1 , ,x n thì hệ các biến cố { X =x 1 }, …,
{ X = x n } lập thành một hệ đầy đủ Đúng Sai
2.4 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên rời rạc là giá trị nó lấy thường xuyên nhất Đúng Sai
2.5 Kỳ vọng của tổng hai biến ngẫu nhiên luôn luôn bằng tổng các kỳ vọng của nó Đúng Sai
2.6 Hai biến ngẫu nhiên có cùng kỳ vọng sẽ có cùng phương sai Đúng Sai
2.7 Phương sai của tổng hai biến ngẫu nhiên rời rạc luôn luôn bằng tổng phương sai của nó Đúng Sai
2.8 Biến ngẫu nhiên tồn tại phương sai thì cũng tồn tại kỳ vọng Đúng Sai
2.9 Hàm mật độ xác suất )f(x của biến ngẫu nhiên liên tục có tính chất 0f(x)≥ Đúng Sai
2.10 Tổng của hai biến ngẫu nhiên phân bố theo phân bố nhị thức bất kỳ luôn luôn là một biến ngẫu nhiên phân bố theo phân bố nhị thức Đúng Sai
2.11 Biến ngẫu nhiên phân bố theo phân bố Poisson là biến ngẫu nhiên rời rạc nên chỉ nhận một số hữu hạn các giá trị Đúng Sai
2.12 Nếu X là biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tham số λ >0 thì kỳ vọng, phương sai và Mốt của X đều bằng λ Đúng Sai
2.13 Nếu biến ngẫu nhiên X phân bố theo phân bố chuẩn N( ;μ σ 2 ) thì xác suất sai lệch giữa X và kỳ vọng của nó thỏa mãn { } 2 ⎟−1
2.14 Nếu biến ngẫu nhiên X phân bố theo phân bố chuẩn N( ;μ σ 2 ) thì X − μ σ có phân bố chuẩn tắc (0;1)N Đúng Sai
2.15 Biến ngẫu nhiên có phân bố Student chỉ nhận những giá trị dương Đúng Sai
2.16 Xác định các hằng số a, b sao cho hàm số sau là hàm phân bố của biến ngẫu nhiên X nào đó
2.17 Biến ngẫu nhiên X có bảng phân bố
Tính kỳ vọng EX và phương sai DX
2.18 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận ba giá trị có thể có là x x x 1 2 , , 3 Biết x 1 =0,6,x 2 =4 với xác suất tương ứng p 1 =0,3, p 2 =0,5 và có kỳ vọng EX =8 Tìm x 3 và p 3
2.19 Cho X 1 và X 2 là hai biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân bố xác suất như sau:
P 0,3 0,5 0,2 P 0,2 0,8 a) Tính EX 1 ; EX 2 ; DX 1 ; DX 2 b) Tính E(X 1 +X 2 ) và D(X 1 + X 2 )
2.20 Cho X 1 ,X 2 ,X 3 là ba biến ngẫu nhiên độc lập có bảng phân bố xác suất như sau:
2.21 Hai biến ngẫu nhiên X , Y độc lập Tính D(Z) với: a) Z =2X +3Y b) Z =−3X +Y
2.22 Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận các giá trị có thể có là x 1 =−1;x 2 =0;x 3 =1 Tìm các xác suất tương ứng p 1 ;p 2 ;p 3 biết rằng E(X)=0,1 và D(X)=0,89
