Một số khái niệm cơ bản của hàm số
Định nghĩa 1.1 Cho một tập hợp D ⊂ R và D khác rỗng.
Hàm số f xác định trên D là một quy tắc đặt tương ứng mỗi số x thuộc
Tập D, ký hiệu là f(x), đại diện cho giá trị của hàm số f tại x, trong đó D được gọi là tập xác định hay miền xác định, và x là biến số hay đối số của hàm số f Tập hợp tất cả các giá trị của hàm số được gọi là miền giá trị của hàm số Đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp các điểm có tọa độ (x; f(x)) trên mặt phẳng tọa độ.
Một số tính chất đặc biệt của hàm số
Hàm số chẵn và hàm số lẻ
Hàm số y = f(x) với tập xác định D ⊂ R được phân loại thành hai loại: hàm số lẻ và hàm số chẵn Hàm số f được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi x ∈ D, thì −x ∈ D và f(−x) = −f(x) Ngược lại, hàm số f được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi x ∈ D, thì −x ∈ D và f(−x) = f(x).
Hàm đồng biến và nghịch biến
Hàm số y = f(x) được coi là đồng biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) < f(x2) Ngược lại, hàm số y = f(x) được xem là nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
Hàm số được gọi là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a, b) nếu nó là hàm số đơn điệu trong khoảng đó Theo định lý 1.1, cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a, b): nếu f'(x) > 0 với mọi x ∈ (a, b), thì hàm số y = f(x) đồng biến; ngược lại, nếu f'(x) < 0 với mọi x ∈ (a, b), thì hàm số y = f(x) nghịch biến.
Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa 1.4 Hàm số y = f(x) xác định trên D ⊂ R được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có một số T 6= 0 sao cho với mọi x ∈ D ta luôn có : x+ T ∈ D; x−T ∈ D và f(x+T) =f(x−T) =f(x).
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số được gọi là một hàm số tuần hoàn với chu kỳ T.
Hàm lồi và hàm lõm
Định nghĩa 1.5 i) Hàm số f (x) được gọi là hàm lồi trên (a, b) nếu với mọi x 1 , x 2 ∈ (a, b) và với mọi cặp số dương α, β có tổng α+ β = 1 ta đều có f(αx1 +βx2) ≤ αf(x1) +βf(x2) (∗)
Nếu dấu đẳng thức (∗) chỉ xảy ra khi x1 = x2, thì hàm f(x) được coi là hàm lồi thực sự (chặt) trên khoảng (a, b) Ngược lại, hàm số f(x) được gọi là hàm lõm trên (a, b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a, b) và mọi cặp số dương α, β với tổng α + β = 1, ta có f(αx1 + βx2) ≥ αf(x1) + βf(x2) (∗ 0).
Nếu dấu đẳng thức (∗ 0 ) xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói f(x) là hàm lõm thực sự (chặt) trên (a, b)
Cực đại, cực tiểu của một hàm số
Hàm số y = f(x) được xác định trên khoảng (a;b) và tại điểm x0 ∈ (a;b) có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu Cụ thể, nếu tồn tại một số h > 0 sao cho với mọi x thuộc (x0 − h, x0 + h) và x ≠ x0, f(x) < f(x0), thì f(x) đạt cực đại tại x0 Ngược lại, nếu f(x) > f(x0) cho mọi x trong khoảng đó, thì f(x) đạt cực tiểu tại x0 Các điểm cực đại và cực tiểu thường được gọi là các điểm cực trị Ngoài ra, nếu hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng K = (x0 − h; x0 + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x0}, thì các tính chất của hàm số này có thể được phân tích thêm.
( f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (x 0 −h, x 0 ) f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (x 0 , x 0 +h) thì x 0 là một điểm cực đại của hàm số ii) Nếu
Nếu f'(x) < 0 cho mọi x trong khoảng (x0 - h, x0) và f'(x) > 0 cho mọi x trong khoảng (x0, x0 + h), thì x0 là điểm cực tiểu của hàm số Theo định lý 1.3, nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng (x0 - h, x0 + h) với h > 0 và f'(x0) = 0, thì: i) nếu f''(x0) < 0, hàm số đạt cực đại tại x0; ii) nếu f''(x0) > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x0.
Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
Định nghĩa 1.7 Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền D ⊂ R. i) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu
∃x 0 ∈ D, f(x 0 ) = M, ta kí hiệu M = max x∈D f(x) hoặc M = max
D f ii) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên D nếu
∃x 0 ∈ D, f(x 0 ) = m, ta kí hiệu m = min x∈D f(x) hoặc m = min
Các phép biến đổi đồ thị
Cho hàm số y = f(x) với đồ thị (C), khi a > 0, ta có hai trường hợp: Thứ nhất, hàm số y = f(−x) có đồ thị được tạo ra bằng cách lấy đối xứng của đồ thị (C) qua trục Oy Thứ hai, hàm số y = −f(x) có đồ thị được hình thành bằng cách lấy đối xứng của đồ thị (C) qua trục Ox.
Nhận xét 1.2.1 Từ đồ thị hàm số (C) : y = f(x) biến đổi để có đồ thị hàm số (C 0 ) : y = −f(−x) ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Từ đồ thị (C) : y = f(x) suy ra (C 1 ) : y = f(−x)
Bước 2: Từ (C 1 ) : y = f(−x) suy ra (C 0 ) : y = −f(−x). iii) Hàm số y = f(|x|) được suy ra từ (C) bằng hai bước:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy.
Để suy ra hàm số y = |f(x)| từ đồ thị (C), trước tiên, bạn cần loại bỏ phần bên trái trục Oy Sau đó, lấy đối xứng phần đồ thị (C) bên phải trục Oy qua trục Oy.
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên trục Ox.
Bước 2: Bỏ phần (C) nằm phía dưới Ox Lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua Ox.
Nhận xét 1.2.2 Từ đồ thị hàm số (C) : y = f(x) biến đổi để có đồ thị hàm số (C 0 ) : y = |f(|x|)| ta thực hiện theo hai bước:
Bước 1: Từ đồ thị(C) : y = f(x) suy ra (C 1 ) : y = f(|x|)
Hệ quả 1.1 Từ đồ thị (C) : y = u(x).v(x) suy ra đồ thị (C 0 ) : y |u(x)|.v(x) bằng hai bước:
Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị trên miền u(x) ≥ 0 của đồ thị (C) : y = u(x).v(x).
Bước 2: Bỏ phần đồ thị trên miền u(x) < 0 của đồ thị (C) và lấy đối xứng phần đồ thị bị bỏ qua qua trục Ox Hàm số y = f(x) + a (với a ∈ R) được suy ra từ (C) bằng cách tịnh tiến đồ thị lên phía trên a đơn vị nếu a > 0, hoặc tịnh tiến xuống dưới |a| đơn vị nếu a < 0 Hàm số y = f(x + a) (với a ∈ R) được suy ra từ (C) bằng cách tịnh tiến đồ thị sang phải |a| đơn vị nếu a < 0, hoặc tịnh tiến sang trái a đơn vị nếu a > 0 Định lý 1.4 (Định lý Rolle) khẳng định rằng nếu f là hàm liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm tại mọi x ∈ (a, b), với f(a) = f(b), thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f’(c) = 0 Định lý 1.5 (Định lý Lagrange) cho biết nếu f là hàm liên tục trên [a, b] và có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng (a, b), thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(b) - f(a) = f’(c)(b - a) hay f’(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA
HÀM SỐ TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP
Trong chương này, tôi trình bày một số bài toán tự luận sử dụng các tính chất cơ bản của hàm số trong chương trình toán phổ thông Các bài toán được sưu tầm từ tài liệu tham khảo, chủ yếu từ tài liệu [4], bao gồm các bài thi từ các cuộc thi toán trong nước và quốc tế Chúng có thể được phân loại theo các chủ đề như hàm số và tính tuần hoàn, tính chẵn lẻ, tiếp tuyến và đồ thị, tính liên tục, tính đơn điệu, và tính lồi lõm Nhiều bài toán liên quan đến nhiều tính chất khác nhau của hàm số.
Hàm số và tính tuần hoàn
Bài toán 2.1 Cho cặp hàm f(x), g(x) tuần hoàn trên M có các chu kỳ lần lượt là a, b với a b ∈ Q Chứng minh rằng F (x) := f (x) + g(x) và
G(x) := f (x)g(x) cũng là những hàm tuần hoàn trên M.
Theo giả thiết ∃m, n ∈ N + , (m, n) = 1 sao cho a b = m n. Đặt T = na = mb Khi đó
Vậy F (x), G(x) là những hàm tuần hoàn trên M.
Bài toán 2.2 đặt ra câu hỏi về sự tồn tại của các hàm số f: R → R và g: R → R, trong đó g là hàm số tuần hoàn Cụ thể, cần tìm các hàm số sao cho x^3 = f([x]) + g([x]), với [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x, cho mọi x thuộc R.
Giả sử có các hàm số f và g thỏa mãn đề bài.
Gọi T là chu kì của g thì T > 0.
Cho x ∈ [0,[T] + 1−T] thì vế trái (*) là hằng số nên (*) cho ta một đa thức bậc hai có vố số nghiệm, do đó T = 0, điều này vô lý.
Vậy không tồn tại hai hàm số f, g thỏa mãn đề bài.
Bài toán 2.3 Cho a > 0 và hàm số f : R →R thỏa điều kiện f(x+a) = 1
Chứng minh rằng f(x) là hàm số tuần hoàn.
Vậy tồn tại T = 2a > 0 sao cho f(x+T) = f(x),∀x ∈ R nên f(x) là hàm số tuần hoàn.
Bài toán 2.4 Cho hàm số f(x) xác định trên D và f(x+ a) = f(x)−1 f(x) + 1, a6= 0.
Chứng minh rằng f(x) là hàm số tuần hoàn.
Do đó f(x) là hàm số tuần hoàn.
Bài toán 2.5 Cho hàm số y = f(x) được xác định trên R và thỏa mãn
Chứng minh rằng g(x) =f(x)−x là hàm tuần hoàn.
Lời giải.Từ điều kiện đầu bài ta có: g(x+ 6) = f(x+ 6)−x−6
Vậy g(x) là hàm tuần hoàn.
Bài toán 2.6 Tìm tất cả các đa thức f(x) với hệ số thực sao cho cosf(x), x ∈ R là hàm tuần hoàn.
Rõ ràng nếu f(x) là đa thức bậc nhất hoặc là hằng số thì cosf(x) là hàm tuần hoàn.
Xét trường hợp đa thức f(x) có bậc ≥ 2.
Giả sử hàm cosf(x) tuần hoàn Khi đó hàm g(x) = (cosf(x)) 0 = −f 0 (x).sinf(x), cũng là hàm liên tục và tuần hoàn trên R.
Do x→∞lim |f(x)| = +∞ và f(x) là đa thức nên tồn tại dãy tăng {x n }, x n → ∞ sao cho
Kết quả này cho thấy rằng giả thiết g(x) là hàm số liên tục và tuần hoàn không đúng Do đó, hàm cosf(x) chỉ được coi là hàm tuần hoàn khi f(x) là một đa thức bậc nhất hoặc là một hằng số.
Hàm số và tính chẵn lẻ
Bài toán 2.7 yêu cầu chứng minh các tính chất của hàm số y = f(x) và y = g(x) với cùng tập xác định D Cụ thể, nếu cả hai hàm số đều là hàm lẻ, thì hàm số tổng y = f(x) + g(x) cũng là hàm lẻ Ngoài ra, nếu một hàm là chẵn và một hàm là lẻ, thì hàm số tích y = f(x) * g(x) sẽ là hàm lẻ.
Lời giải. a) Ta có hàm số y = f(x) + g(x) có tập xác định D.
Do hàm số y = f(x);y = g(x) lẻ nên ∀x, x ∈ D ⇒ −x ∈ D và f(−x) = −f(x);g(−x) =−g(x), mà f(−x) =f(−x) +g(−x) =−f(x)−g(x) =−[f(x) +g(x)] = −f(x), suy ra hàm số y = f(x) +g(x) là hàm số lẻ. b) Giả sử hàm số y = f(x) chẵn và y = g(x) lẻ.
Khi đó hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định là D nên
Do đó hàm số y = f(x).g(x) lẻ.
Bài toán 2.8 Tìm m để đồ thị hàm số y = x 3 −(m 2 −9)x 2 + (m + 3)x+m −3, nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Hàm số có tập xác định D = R, do đó với mọi x thuộc D, ta có −x cũng thuộc D Đồ thị của hàm số sẽ có gốc tọa độ O làm tâm đối xứng nếu và chỉ nếu hàm số đó là hàm số lẻ, tức là thỏa mãn điều kiện f(−x) = −f(x).
Vậy m = 3 thỏa mãn bài toán.
Bài toán 2.9 Tìm m để đồ thị hàm số y = x 4 −(m 2 −3m+ 2)x 3 +m 2 −1, nhận trục tung làm trục đối xứng.
Tập xác định của hàm số D là R, vì vậy với mọi x thuộc D, ta có −x cũng thuộc D Đồ thị của hàm số này có trục tung là trục đối xứng khi và chỉ khi hàm số là hàm chẵn, tức là f(−x) = f(x).
Vậy m = 1, m = 2 thỏa mãn bài toán.
Bài toán 2.10 Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau a) f(x) = x+√ x 2 + 1
Lời giải. a) Ta có px 2 + 1 >
√ x 2 = |x| ≥ x ⇒ p x 2 + 1−x 6= 0,∀x, suy ra tập xác định của hàm số là D = R.
√x 2 + 1−x −2x 2 −1 là hàm số lẻ. b) Tập xác định của hàm số D = R Dễ thấy với mọi x ∈ R ⇒ −x ∈ R. Với mọi x > 0 ta có −x < 0, suy ra f(−x) =−1, f(x) = 1 ⇒ f(−x) = −f(x).
Với mọi x < 0 ta có −x > 0, suy ra f(−x) = 1, f(x) = −1⇒ f(−x) = −f(x).
Do đó với mọi x ∈ R ta có f(−x) =−f(x).
1 khi x >0 là hàm số lẻ. c) Tập xác định của hàm số là D = R nên ∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Vậy hàm số đã cho là hàm số chẵn. d) Điều kiện xác định
( x−1 6= x+ 1 x−1 6= −(x+ 1) ⇔ x 6= 0, suy ra tập xác định của hàm số làD = R\ {0}, do đó∀x ∈ D ⇒ −x ∈ D.
Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.
Bài toán 2.11 Tìm m để hàm số f(x) = x 2 x 2 −2
Lời giải Điều kiện xác định √ x 2 + 1 6= m.
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn suy ra f(−x) = f(x) với mọi x thỏa mãn điều kiện √ x 2 + 1 6= m.
⇔ 2 2m 2 −2 x = 0, với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định Khi đó
2m 2 −2 = 0 ⇔ m = ±1. i) Với m = 1 ta có hàm số là f(x) = x 2 x 2 −2
√x 2 + 1−1. Điều kiện xác định px 2 + 1 6= 1 ⇔x 6= 0,
Suy ra tập xác định của hàm số là D = R\ {0}
Dễ thấy với mọi x ∈ R\ {0} ta có −x ∈ R\ {0} và f(−x) = f(x).
√x 2 + 1−1 là hàm số chẵn. ii) Với m = −1 ta có hàm số là f(x) = x 2 x 2 −2
Tập xác định của hàm số là D = R.
Dễ thấy với mọi x ∈ R ta có −x ∈ R và f(−x) = f(x).
Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm.
Bài toán 2.12 Cho hàm số f : R→ R xác định bởi y = f(x) = (1999) x + (1999) 2−x
Với giá trị nào của a thì hàm y = f(x+a) là hàm số chẵn ?
Lời giải Ta có f(x) = (1999) x + (1999) 2−x ,∀x, suy ra f(x+a) = (1999) x+a + (1999) 2−x−a ,∀x.
Như vậy, hàm y = f(x+a) là hàm số chẵn trên R, điều này có nghĩa là f(x+a) = f(−x+a),∀x
Vậy nếu a = 1 thì y = f(x+ a) là hàm chẵn trên R.
Bài toán 2.13 Giả sử f(x) là hàm lẻ tăng Chứng minh rằng nếu a, b, c thỏa mãn a+ b+ c = 0 thì f(a)f(b) +f(b)f(c) +f(c)f(a) ≤ 0.
Do hàm f là hàm lẻ nên F không thay đổi khi a, b, c cùng đổi dấu Do đó có thể giả thiết c ≤0, a≥ 0, b ≥ 0.
Vì c = −a−b và f lẻ nên điều kiện F ≤ 0 tương đương với f(a)f(b) ≤ −f(c) (f(a) +f(b)) = f(a+b)f(a) +f(a+b)f(b)(∗).
Do hàm f là hàm tăng và a ≥ 0, b ≥ 0 nên a+ b ≥ a, a+ b ≥ b, suy ra(*) đúng Vậy F ≤ 0.
Hàm số, tiếp tuyến và đồ thị
Bài toán 2.14 Cho hàm số f xác định trên R thoả f(x−sinx) = x+ sinx, ∀x ∈ R.
Hãy nêu cách xây dựng đồ thị hàm số y = f(x) khi biết đồ thị của hàm số y = sinx.
Vì g 0 (x) = 1−cosx ≥ 0 nên g(x) đồng biến và nhận mọi giá trị t ∈ R. Đặt t= g(x) ta có f(t) = g −1 (t) + sing −1 (t), trong đó g −1 là kí hiệu hàm ngược của hàm g.
Khi quay góc 45 0 ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc tọa độ thì điểm (a, b) biến thành điểm a−b
Do đó điểm (x,sinx) biến thành điểm x−sinx
Như vậy, sau khi thực hiện phép quay trên và phép vị tự có tâm là gốc tọa độ và tỉ số √
2, từ đồ thị y = sinx ta nhận được đồ thị của y = f(x).
Bài toán 2.15 yêu cầu tìm phương trình của tất cả các tiếp tuyến với đồ thị hàm số f(x) = x^3 + 1/x, trong đó mỗi tiếp tuyến cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.
Hàm số đã cho có miền xác định D = R\{0} Đạo hàm của hàm số là f'(x) = 2x^3 - \frac{1}{x^2} Giả sử A(a, f(a)) là điểm trên đồ thị thỏa mãn điều kiện đề bài, thì phương trình tiếp tuyến (D) tại A được xác định bởi y = f'(a)(x - a) + f(a).
Từ phương trình này, ta tìm được hai giao điểm B và C của (D) với hai trục tọa độ là
. Diện tích tam giác OBC là
(2) Phương trình (2) vô nghiệm, còn phương trình (1) cho ta a = 1, a= √ 3
5. Tóm lại, có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài, đó là:
• Tiếp tuyến tại điểm (1,2) có phương trình là y = x+ 1.
Bài toán 2.16 Xác định hoành độ giao điểm của đồ thị các hàm số y = 7x 2 và y = x 2 −3x+ 2 x 2 −12x+ 32
. Lời giải Hoành độ giao điểm là nghiệm của
. Bằng cách biến đổi phương trình đã cho, ta được
= 7. Đặt z = x+ 8 x, phương trình trở thành z 2 −15z + 47 = 0, giải phương trình này cho ta 2 nghiệm z là z = 15±√
Thay z vào z = x+ 8 x ta tìm được hoành độ giao điểm của x.
Bài toán 2.17 Hàm y = f(x) xác định và có đạo hàm trên toàn bộ trục số, thỏa mãn điều kiện f 2 (1 + 2x) =x−f 3 (1−x),∀x ∈ R (∗)
Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 1.
Lời giải Với x = 0 ta có f 2 (1) = −f 3 (1), suy ra f(1) = 0 hoặc f(1) = −1.
Khi lấy đạo hàm 2 vế điều kiện của (*) ta được
Từ đó, với x = 0 ta có
7. Như vậy, đường thẳng tiếp tuyến có dạng y = −1
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = 1 là x+ 7y + 6 = 0.
Bài toán 2.18 Cho f(x) =x 2 + 12x+ 30 Kí hiệu f k (x) = f f k−1 (x)
Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = f 2001 (x) với trục hoành.
Do đó vik ≥2, ta có f k (x) = (x+ 6) 2 k −6.
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = f 2001 (x) với trục hoành là nghiệm của phương trình f 2001 (x) = 0
Vậy giao điểm của đồ thị hàm số y = f 2001 (x) với trục hoành là x −6± 22001 √
Hàm số và tính liên tục
Bài toán 2.19 yêu cầu chứng minh rằng phương trình g(x) = x luôn có ít nhất một nghiệm dương cho các hàm số f, g : (0,+∞) → (0,+∞) liên tục, thỏa mãn điều kiện f(g(x)) = 1 tương đương với f(x) ≠ 1 khi g(x) ≠ x với mọi x > 0.
Giả sử g(x) 6= x với ∀x > 0 ta suy ra f [g(x)] = 1, điều này tương đương với f(x) 6= 1,∀x > 0 (2.1) Đặt h(x) =f [g(x)]−f(x), x > 0.
Ta có h(x) liên tục trên (0,+∞) (do f và g liên tục), đồng thời h(x) 6= 0,∀x > 0 (do(2.1)), suy ra h(x) > 0,∀x > 0 hoặc h(x) < 0,∀x > 0. Đặt g m (x) =g[g[ [g(x)] ]] (m hàm g) ta có:
Vậy thì theo (2.1) ta thấy rằng:
• Nếu f(x) = 1 thì f [g(x)] 6= 1 ⇒f [g2(x)] = 1, do đó f(x) = f [g 2 (x)], điều này mâu thuẫn với (2.2) và (2.3)
• Nếu f(x) 6= 1 thì f [g(x)] = 1⇒ f [g 2 (x)] 6= 1⇒ f [g 3 (x)] = 1, do đó f [g(x)] = f [g 3 (x)] cũng mâu thuẫn với (2.2) và (2.3).
Tóm lại điều giả sử là sai, suy ra phải tồn tại x 0 > 0 sao cho g(x 0 ) = x 0 Nói cách khác phương trình g(x) =x luôn có nghiệm dương.
Bài toán 2.20 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện f(0) = f(1) Chứng minh phương trình f(x) =f x+ 1 2000 có nghiệm x ∈ [0,1].
Lời giải Xét hàm số g(x) = f x+ 1 2000
Hàm số này xác định và liên tục trên
Từ đó suy ra tồn tại i, j sao cho với i, j ∈ {0,1, ,1999} ta có g i n
= 0 thì ta có điều chứng minh
> 0 thì do g liên tục nên tại x 0 ∈ i n, j n sao cho g(x 0 ) = 0 hay phương trình f(x) = f x+ 12000 luôn có nghiệm x ∈ [0,1].
Bài toán trên có thể mở rộng đến trường hợp tổng quát như sau
Bài toán 2.21 yêu cầu chứng minh rằng với hàm số liên tục f trên đoạn [0,1] thỏa mãn điều kiện f(0) = f(1), tồn tại một số c trong đoạn [0,1] sao cho f(c) = f(cn + 1/n) với mọi số tự nhiên n.
Lời giải Xét hàm số g(x) =f x+ 1 n
Từ giả thiết ta suy ra hàm số này liên tục và xác định trên
= f(1)−f(0) = 0, ta suy ra ∃i, j sao cho g i n
Vậy tồn tại c ∈ [0,1] để f(c) = f cn+ 1 n
Bài toán 2.22 yêu cầu chứng minh rằng hàm số f: R→ R là hàm liên tục trên R, với điều kiện f α (x) = f(x) + f(αx) cho mọi α ∈ [a;b] và [a;b] ⊂ R, a < b Để thực hiện điều này, chúng ta sẽ áp dụng tính chất của hàm liên tục, từ đó rút ra kết luận về tính liên tục của f(x).
(1) Tổng và hiệu các hàm liên tục là liên tục.
(2) Nếu k(x) là hàm liên tục và λ ∈ R thì hàm số f(λx) cũng liên tục. Giả sử α, β ∈ [a;b].
Theo điều kiện của bài toán các hàm f(x) +f(αx) và f(x) +f(βx) cũng là các hàm liên tục.
Thay x bởi αx hoặc βx và áp dụng (2) ta có f(βx) +f(αβx);f(αx) +f(αβx) cũng là các hàm liên tục.
−(f(αx) + f(αβx)), áp dụng (1) suy ra f(x) liên tục.
Bài toán 2.23 [VMS - 1994] Cho hàm số f : [a;b] →[a;b], với a < b thỏa điều kiện
|f(x)−f(y)| < |x−y|, với mọix, yphân biệt thuộc [a;b].Chứng minh rằng phương trìnhf(x) x có một nghiệm duy nhất thuộc [a;b].
Lời giải Xét hàm số g(x) = |f(x)−x|
Ta thấy g(x) liên tục trên [a;b] Do đó tồn tại x 0 thuộc [a;b] sao cho g(x0) = min x∈[a;b]g(x) (2.4)
Ta sẽ chứng minh g(x 0 ) = 0 Thật vậy
Giả sử g(x 0 ) 6= 0 và vì vậy f(x 0 ) 6= x 0
Từ đẳng thức đã cho ta có
|f(f(x0)) −f(x0)| < |f(x0)−x0|, suy ra g(f(x 0 )) < g(x 0 ) Điều này mâu thuẫn với (2.4), nghĩa là g(x 0 ) = 0 hay f(x 0 ) =x 0
Giả sử phương trình f(x) = x còn có nghiệm x 1 6= x 0 và x 1 thuộc [a;b], suy ra
|f(x 1 )−f(x 0 )| = |x 1 −x 0 |. Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức đã cho.
Vậy phương trình f(x) = x có duy nhất một nghiệm thuộc [a;b].
Bài toán 2.24 [VMS - 1994] yêu cầu chứng minh rằng với hàm số f liên tục và có đạo hàm trên (0; +∞), không phải là hàm hằng, và hai số thực a, b thỏa mãn 0 < a < b, thì phương trình x.f'(x) - f(x) = a.f(b) - b.f(a) / (b - a) có ít nhất một nghiệm trong khoảng (a; b).
Lời giải: Xét 2 hàm số g(x) = f(x) x ; h(x) = 1 x.
Vì f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0; +∞) nên g(x), h(x) khả vi trên (a;b) Ta có g 0 (x) = x.f 0 (x)−f(x) x 2 h 0 (x) =− 1 x 2
Theo đinh lý Lagrange, tồn tại x 0 ∈ (a, b) sao cho
⇔ (a−b) [x0.f 0 (x0)−f(x0)] bax 0 = −af(b)−bf(a) abx 2 0 Suy ra x 0 f 0 (x 0 )−f(x) = af(b)−bf(a) b−a
Vậy phương trìnhx.f 0 (x)−f(x) = a.f(b)−b.f(a) b−a có ít nhất một nghiệm thuộc (a;b).
Hàm số và tính đơn điệu
Bài toán 2.25 Cho hàm số f(x) và f 0 (x) là hàm đồng biến trên đoạn
2(b −a) Chứng minh rằng tồn tại α, β, γ phân biệt trong khoảng (a;b) sao cho f 0 (α).f 0 (β).f 0 (γ) = 1.
Từ giả thiết f 0 (x) đồng biến trên đoạn [a;b] , ta suy ra f 0 (x) < f 0 (y) khi a ≤ x < y ≤ b (2.5) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x) trên [a;b] :∃γ ∈ (a; b) sao cho f 0 (γ) = f(b)−f(a) b−a 1
Do đó f(x) liên tục trên [a;b] (vì f(x) khả vi trên [a;b] nên g(x) liên tục trên đoạn [a;b] ) ta có g(a) = 1
2 = b−a Suy ra g(a).g(b) =−(a−b) 2 < 0 Khi đó ∃x 0 ∈ (a;b) sao cho g(x 0 ) = 0 hay f(x 0 ) +x 0 − a+ b
2 −x 0 Áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x) trên [a;x 0 ] :∃α ∈ (a;x 0 ) sao cho f 0 (α) = f(x 0 )−f(a) x0 −a 1
2(a−b) x0 −a = b−x 0 x0 −a (2.7) Áp dụng định lý Lagrange cho hàm f(x) trên [x 0 ; b] :∃β ∈ (x 0 ;b) sao cho f 0 (β) = f(b)−f(x0) b−x 0 1
Từ (2.5) ta suy ra α, β, γ đôi một khác nhau.
Bài toán 2.26 [Olympic 30/4/2011] Giải phương trình sau trên tập hợp số thực x 3 −15x 2 + 18x−141 = 5√ 3
Phương trình đã cho tương đương
Xét hàm số f(t) = t 3 + 5t, t∈ R Ta có f 0 (t) = 3t 2 + 5 > 0,∀t ∈ R.
Suy ra hàm số đồng biến trên R.
Mặt khác phương trình (2.9) có dạng f(x−5) = f(√ 3
5 2 Vậy phương trình có 3 nghiệm x = 4, x = 11±√
Nhận xét 2.5.1 Bài toán trên có thể mở rộng đến trường hợp tổng quát như sau.
Bài toán tổng quát: Giải phương trình ax 3 +bx 2 +cx+d = k.√ 3 px+ q, (2.10) với a, b, c, d, k, p, q ∈ R;a 6= 0 Để giải phương trình này, ý tưởng đưa phương trình đã cho về dạng
(mx +n) 3 + k(mx+n) = (px+q)√ 3 px+q (2.11) để sử dụng phương pháp hàm số.
Phương trình (2.10) đưa về phương trình (2.11) khi và chỉ khi tồn tại m, n sao cho
Sử dụng đồng nhất thức ta thu được hệ (ẩn là m và n)
m 3 = a 3m 2 n = b 3mn 2 +km = c+p n 3 +kn = d+q. Đến đây ta có kết quả như sau:
+) Nếu hệ phương trình có nghiệm thì phương trình (2.10) đưa được về dạng phương trình (2.11).
+) Nếu hệ phương trình vô nghiệm thì phương trình (2.10) không đưa được về dạng phương trình (2.11) Vậy ta đưa (2.5) về (2.6) bằng cách nào ? Ta xét ví dụ sau
Bài toán 2.27 Giải phương trình sau trên tập số thực
Nhận xét 2.5.2 Sử dụng đồng nhất thức ta có hệ phương trình ẩn là m và n
Dễ thấy hệ phương trình trên vô nghiệm Tuy nhiên điều đó không có nghĩa chúng ta không đưa phương trình (2.7) về dạng (2.6).
Thực hiện phép nhân cả hai vế của phương trình (2.12) với 2 ta được phương trình 8x 3 + 12x 2 + 8x+ 2 = 2√ 3
Khi đó ta có hệ phương trình
m 3 = 8 3m 2 n = 12 3mn 2 + 2m = 10 n 3 + 2n = 3 có nghiệm m = 2 và n= 1 Khi đó
2x+ 1 (2.13) Xét hàm số f(x) = t 3 + 2x, t ∈ R Ta có f 0 (t) = 3t 2 + 2 > 0,∀t ∈ R
Suy ra hàm số đồng biến trên R.
Mà phương trình (2.6) có dạng f(2x+ 1) = f(√ 3
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là x = 4, x = −1, x = −1
2. Chú ý 2.1 Các hệ số của phương trình (2.10) sẽ thay đổi nếu ta nhân
2 vế phương trình (2.10) với một số khác không và hệ phương trình trên cũng thay đổi, nghĩa là hệ phương trình trên là không duy nhất.
Bài toán 2.28 [HSG Quốc gia THPT, bảng A năm 2006]
Hệ đã cho tương đương với log 3 (6−y) = x
Suy ra f(t) là hàm số đồng biến trên (−∞; 6).
Suy ra g(t) là hàm số nghịch biến trên (−∞; 6).
Khi đó hệ ban đầu có dạng
Giả sử (x;y;z) là một nghiệm của hệ phương trình.
Không mất tính tổng quát, ta giả sử x = max{x;y;z} thì xảy ra một trong 2 trường hợp sau
Vì f(t) là hàm đồng biến nên f(x) ≥ f(y) ≥ f(z) ⇒ g(y) ≥ g(z) ≥ g(x).
Hơn nữa g(t) là hàm số nghịch biến nên y ≤z ≤ x, suy ra y = z.
Thay vào (2.15) và (2.16) ta có log 3 (6−x) = log 3 (6−z) ⇔ x = z.
Vì f(t) là hàm đồng biến nên f(x) ≥ f(z) ≥f(y) ⇒ g(y) ≥ g(x) ≥ g(z). và g(t) là hàm số nghịch biến nên y ≤ x ≤z, suy ra x = z.
Thay vào (2.14) và (2.16) ta có log 3 (6−x) = log 3 (6−y) ⇔ x = y
Vậy hệ phương trình đã cho tương đương
Do f(t) là hàm đồng biến trên (−∞; 6) và g(t) là hàm số nghịch biến trên (−∞; 6), mà f(3) = g(3) nên f(x) = g(x) ⇔ x= 3.
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y; z) = (3; 3; 3).
Bài toán 2.29 [Vô địch Mỹ-Olympic sinh viên 2003]
Cho hai hàm số liên tụcf, g : [0; 1] → [0; 1]thỏa mãn điều kiệnf (g(x)) g(f(x)) với mọi x ∈ [0; 1] Biết rằng f là hàm tăng Chứng minh hệ phương trình
Ta có h(x) là một hàm liên tục trên [0; 1], và h(0) = g(0) ≥ 0, h(1) = g(1)−1 ≤0, do đó tồn tại x 0 ∈ [0; 1] sao cho h(x 0 ) = 0 ⇒ g(x 0 ) = x 0
* Nếu f(x0) = x0 thì ta có ngay điều cần phải chứng minh.
* Nếu f(x 0 ) 6= x 0 , xét dãy x n được xác định bởi x 1 = f(x 0 ), x 2 = f(x 1 ), , x n+1 = f(x n ),∀n ≥1, n ∈ N.
Hơn nữa f(x) là hàm tăng trên [0; 1] nên {x n } là dãy đơn điệu: {x n } tăng nếu x 0 < f(x 0 ) và {x n } giảm nếu x 0 > f(x 0 ).
Suy ra dãy {x n } hội tụ khi n→ +∞. Đặt x→∞lim xn = a, a∈ [0; 1]. Bằng qui nạp theo n ta sẽ chứng minh g(x n ) = x n ,∀n≥ 1.
Với n = 1 ta có x 1 = f(x 0 ) ⇒ g(x 1 ) = g(f(x 0 )) = f (g(x 0 )) =f(x 0 ) =x 1 Giả sử g(x k ) =x k với k ≥ 1, k ∈ N Khi đó x k+1 = f (x k ) = f (g(x k )) =g(f (x k )) = g(x k+1 ).
Theo nguyên lý qui nạp ta có g(x n ) =x n ,∀n ≥ 1, mà f (a) = f x→∞lim x n
Hàm số và tính lồi lõm
Bài toán 2.30 Giả sử các số thực a, b, c thỏa mãn
0≤ c ≤ b≤ a ≤ 8 a+b ≤ 13 a+b+c = 15 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức M = a 2 +b 2 +c 2
Từ giả thiết, ta có
Xét hàm số f(x) = x 2 , ta có f 00 (x) = 2 > 0,∀x ∈ R nên hàm số f(x) lồi thực sự trên R.
Do đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có f(a) +f(b) +f(c) ≤ f(8) +f(5) +f(2), hay a 2 +b 2 + c 2 ≤ 64 + 25 + 4 = 93 Đẳng thức trên xảy ra khi a = 8, b = 5, c = 2.
Vậy maxM = 93 đạt được khi a = 8, b = 5, c = 2. Áp dụng bất đẳng thức B-C-S cho hai bộ số (a, b, c) và (1,1,1), ta có
Nên ta được15 2 ≤ 3M hayM ≥ 75.Đẳng thức xảy ra khia = b = c = 5. Vậy minM = 75 đạt được khi a = b = c = 5.
Bài toán 2.31 Giả sử A, B, C là 3 góc của một tam giác nhọn Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của cosA+ cosB + cosC là 3
Không mất tính tổng quát, ta coi A ≥ B ≥ C Khi đó
0;π2 i nên hàm số f(x) lõm trên đoạn h 0; π 2 i Khi đó, theo bất đẳng thức Karamata, ta có f(A) +f(B) +f(C) ≤ 3f π 3 hay cosA+ cosB + cosC ≤ 3
Vậy giá trị lớn nhất của cosA+ cosB + cosC là 3
Bài toán 2.32 Giả sử tam giác ABC không nhọn Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của tan A
Không mất tính tổng quát, ta coi A ≥ B ≥ C Khi đó
0; π2 nên hàm số f(x) lồi trên khoảng
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Karamata, ta được tan A
Vậy giá trị nhỏ nhất của tan A
4,π 4 và các hoán vị của n.
Bài toán 2.33 [IMO - 2000] Giả sử các số dương a, b, cthỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng a−1 + 1 b b−1 + 1 c c−1 + 1 a
Lời giải Vì abc = 1 nên ta đặt a = x y;b = y z;c = z x với x, y, z > 0.
Ta viết bất đẳng thức đã cho theo x, y, z: x y −1 + z y y z −1 + x z z x −1 + y x
Để chứng minh bất đẳng thức ≤1 hay (x−y +z) (y −z +x) (z−x+y) ≤ xyz, chúng ta nhận thấy rằng tổng (x−y +z) + (y −z +x) = 2x > 0 Điều này cho thấy trong ba số x−y+z, y−z+x, z−x+y không thể có hai số âm cùng lúc Nếu trong ba số này có đúng một hoặc ba số âm, thì bất đẳng thức cần chứng minh sẽ được thỏa mãn.
Trường hợp cả 3 số đó đều dương, bằng cách lấy logarit hai vế cơ số e, ta được ln(x−y+ z) + ln(y −z+x) + ln(z −x+y) ≤ lnx+ lny + lnz.
Không mất tính tổng quát, ta coi z ≥ y ≥ z.
Ta có f 00 (x) = − 1 x 2 < 0,∀x > 0 nên hàm số f(x) lõm trên khoảng (0; +∞).
Khi đó theo bất đẳng thức Karamata, ta có ln(x−y+ z) + ln(y −z+x) + ln(z −x+y) ≤ lnx+ lny + lnz Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z hay a = b= c = 1.
BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
Chương này sẽ giới thiệu các bài toán trắc nghiệm về đồ thị hàm số, một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học bậc phổ thông hiện nay Đồ thị hàm số không chỉ là kiến thức cơ bản mà còn chiếm tỷ lệ lớn trong cấu trúc đề thi, giúp học sinh ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi hiệu quả.
Bộ Giáo dục và Đào tạo đã nỗ lực trong việc cải thiện chất lượng học tập và giảng dạy cho giáo viên trường phổ thông Bài viết này trình bày các vấn đề quan trọng như bài toán nhận dạng đồ thị, tính đơn điệu của hàm số, và các đặc điểm của hàm lồi, hàm lõm Những bài toán này được sưu tầm từ nhiều tài liệu tham khảo, chủ yếu từ tài liệu [1] và [2], nhằm phục vụ cho việc nghiên cứu và giảng dạy hiệu quả hơn.
3.1 Các bài toán nhận dạng đồ thị hàm số.
Bài toán 3.1 [Đề thi THPTQG năm 2018 - mã đề 105] Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?
Lời giải. Đồ thị của hàm số bậc ba có hệ số a > 0 nên loại đáp án B, C, D.
Do đó chọn đáp án A.
Bài toán 3.2 [Đề thi THPTQG năm 2018 - mã đề 104] Đường cong hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số nào dưới đây ?
Dựa trên hình dáng đồ thị, ta loại các đáp án B và C.
Mặt khác từ đồ thị, ta thấy lim x→+∞y = −∞ nên loại đáp án A Do đó chọn đáp án D.
Bài toán 3.3 Đồ thị hàm số y = ax 3 +bx 2 +cx+d có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào sau đây đúng.
Lời giải. Đồ thị đi xuống từ (−∞;−1) và (2; +∞) ; đi lên (−1; 2) nên a < 0.
Từ đồ thị hàm số cho x = 0 ⇒ y = d > 0. y 0 = 3ax 2 + 2bx+ c = 0 có 2 nghiệm phân biệt trái dấu x 1 và x 2 mà x 1 +x 2 = −2b
Suy ra a < 0;b > 0;c > 0;d > 0 Chọn đáp án A.
Bài toán 3.4 Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx+ d có đồ thị là đường cong như hình vẽ
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Lời giải Ta có y 0 = 3ax 2 + 2bx+ c.
Do cực tiểu của hàm số thuộc trục tung và có giá trị âm nên d < 0 và x = 0 là nghiệm của phương trình y 0 = 0 ⇒c = 0.
Bài toán 3.5 Cho hàm số y = ax 3 +bx 2 +cx+d có đồ thị như hình vẽ.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Dựa vào dáng điệu của đồ thị ta có hệ số a < 0⇒ loại phương án C.
Mà y 0 = 3ax 2 + 2bx+c = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 trái dấu nên 3a.c < 0
⇒c > 0 Khi đó loại phương án D.
Bài toán 3.6 Cho hàm số y = ax 4 +bx 2 +c có đồ thị như hình vẽ
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
2a Hàm số có ba điểm cực trị nên y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt Do đó
2a > 0 ⇔b > 0 (vì a < 0) Vậy a < 0, b >0, c < 0 Chọn đáp án B.
Bài toán 3.7 Cho hàm số y = ax 4 +bx 2 +c(a 6= 0) có đồ thị như hình vẽ.
Dựa vào đồ thị, ta xác định rằng a > 0 và b < 0, vì đồ thị có 3 điểm cực trị với a và b trái dấu Điểm cực đại có tọa độ (0;c) cho thấy rằng c < 0 Do đó, đáp án đúng là D Bài toán 3.8 liên quan đến hàm số y = ax^4 + bx^2 + c với đồ thị được minh họa như trong hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có đồ thị 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu nên a < 0, b > 0.
Mà đồ thị cắt Oy phía trên Ox nên c > 0.
Bài toán 3.9 trong đề thi THPTQG năm 2018 (mã đề 101) yêu cầu xác định hàm số tương ứng với đường cong hình vẽ Trong số bốn hàm số được đưa ra trong các phương án, thí sinh cần phân tích và chọn ra hàm số đúng phù hợp với đồ thị đã cho.
Vì lim x→+∞f (x) =−∞ nên a < 0⇒ loại đáp án y = x 4 −2x 2 −1.
Mặt khác f (1) = 1 ⇒ loại đáp án y = −2x 4 + 4x 2 −1
Bài toán 3.10 Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c (a 6= 0) có đồ thị như hình vẽ.
Kết luận nào sau đây đúng?
Parabol quay xuống nên hệ số a < 0 Do đồ thị chỉ có một điểm cực trị nên a, b cùng dấu hoặc b= 0 ⇒ b ≤ 0.
Tại x = 0 thì tung độ có giá trị dương nên c > 0 Chọn đáp án A.
Bài toán 3.11 yêu cầu xác định hàm số tương ứng với đường cong được hiển thị dưới đây từ bốn phương án A, B, C, D Hãy tìm ra hàm số chính xác trong số các lựa chọn này.
Đồ thị hàm số có nhánh sau cùng bên phải đi lên, do đó a > 0, nên loại A Ngoài ra, đồ thị có ba cực trị, dẫn đến a.b < 0, nên loại B Hơn nữa, đồ thị giao với trục Oy tại điểm có tung độ dương, do đó loại D Cuối cùng, đáp án được chọn là C.
Bài toán 3.12 Cho hàm số y = ax−b x−1 có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = a= 1 > 0.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;−2)⇒ b = −2< 0.
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên y 0 < 0⇒ −a+ b < 0⇒ b < a.
Bài toán 3.13 Đường cong ở hình bên dưới là đồ thị hàm sốy = ax+ 2 cx+b với a, b, c là các số thực.
Mệnh đề nào sau đây đúng?
Lời giải. Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại điểm (−2 ; 0) nên ta có
Vậy loại A. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1⇒ a c = 1⇒ c = a = 1.
Vậy loại D. Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 ⇒ −b c = 2 ⇒ b = −2c = −2.
Do đó chọn đáp án B.
Bài toán 3.14 Cho hàm số y = ax+ b cx+ d có đồ thị như hình vẽ
Khẳng định nào sau đây là sai ?
TCĐ x = −d c > 0 ⇒cd < 0 TCN: y = a c > 0 ⇒ac > 0. vậy ad < 0 Chọn đáp án D
Bài toán 3.15 Đồ thị của hàm số y = ax+b cx+d như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây là đúng ?
Lời giải. Đồ thị hàm số có đường tiện cận đứng là x = −d c < 0 ⇒ d.c > 0. Đồ thị hàm số có đường tiện cận ngang x = a c > 0⇒a.c > 0.
Do đó ad > 0. Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm có hoành độ dương nên
−b a > 0⇒ ab < 0. Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm có tung độ âm nên b d < 0⇒ b.d < 0.
Vậy ad > 0, ab < 0 Chọn đáp án B.
Bài toán 3.16 Cho hàm số y = ax−b x−1 có đồ thị như hình vẽ bên dưới.
Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
Lời giải Dựa vào đồ thị ta có:
+ Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = a= 1 > 0.
+ Đồ thị hàm số đi qua điểm (0;−2)⇒ b = −2< 0.
+ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định nên y 0 < 0⇒ −a+ b < 0⇒ b < a.
Bài toán 3.17 Hình vẽ bên là một phần của đồ thị hàm số nào ?
Từ đồ thị, ta có tập xác định hàm số D = R nên loại phương án B. Đồ thị hàm số đi qua điểm (1; 0) nên loại phương án C,D.
Bài toán 3.18 yêu cầu xác định hàm số tương ứng với đường cong trong hình minh họa, từ bốn lựa chọn A, B, C, D được cung cấp Người đọc cần phân tích các phương án để tìm ra hàm số chính xác.
Bài toán 3.19 Cho đồ thị hàm số y = f (x) như hình vẽ bên Đồ thị trong phương án nào sau đây là đồ thị hàm số y = |f (x)| ?
Lời giải. Để vẽ hàm số y = |f (x)| Ta thực hiện hai bước sau:
Bước 1: Vẽ đồ thị hàm số y = f (x) rồi lấy phần y ≥0.
Bước 2: Lấy đối xứng phần y < 0 qua trục Ox.
3.2 Các bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.
Bài toán 3.20 Cho hàm số y = f (x) xác định trên R và có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?
A Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng(−4; 2).
B Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (−∞;−1)
C Hàm số y = f (x) đồng biến trên khoảng (0; 2).
D Hàm số y = f (x) nghịch biến trên khoảng (−∞;−4)∪(2; +∞)
Trong khoảng (−∞;−1) đồ thị hàm số f 0 (x) nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến trên (−∞;−1).Ta chọn đáp án B.
Bài toán 3.21 Cho hàm số y = f (x) Biết f (x) có đạo hàm f 0 (x) và hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt g(x) = f (x+ 1) Kết luận nào sau đây ?
A Hàm số g(x) có hai điểm cực trị.
B Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (1; 3).
C Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (2; 4).
D Hàm số g(x) có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Ta có bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án C.
Cách 2: Đồ thị hàm số g 0 (x) = f 0 (x+ 1) là phép tịnh tiến đồ thị hàm số y = f 0 (x) theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
Ta thấy trên khoảng (2;4) đồ thị hàm sốg 0 (x) =f 0 (x+ 1) nằm dưới trục hoành nên hàm sốg(x) nghịch biến trên khoảng (2;4) , do đó ta chọn đáp án C.
Bài toán 3.22 [Đề thi minh họa THPTQG năm 2018 - câu 39 - mã đề 001]
Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) như hình bên Hàm số y = g(x) f (2−x) đồng biến trên khoảng ?
Bài toán 3.23 Cho hàm số bậc ba y = f (x), hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số g(x) = f(−x−x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
Lời giải Xét hàm g(x) =f(−x−x 2 ), có tập xác định D = R. g 0 (x) f(−x−x 2 )0
Dựa vào đồ thị ta thấy f 0 (t) = 0 ⇔
Từ bảng xét dấug 0 (x)ta được hàm số nghịch biến trên khoảng
Bài toán 3.24 Cho hàm số y = f (x) = ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e, đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y = f 0 (x) Xét hàm số g(x) = f x 2 −2
.Mệnh đề nào dưới đây sai?
A Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−∞;−2).
B Hàm số g(x) đồng biến trên khoảng (2; +∞).
C Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (−1; 0).
D Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng (0; 2).
Bài toán 3.25 Cho hàm số y = f (x) có đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ.
Hàm số g(x) = 2f (2−x) +x 2 −4x đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
Lời giải Xét hàm số g(x) = 2f (2−x) +x 2 −4x. g 0 (x) = 0 ⇔ −2f 0 (2−x) + 2x−4 = 0 ⇔f 0 (2−x) = −(2−x).
Khi đó nghiệm của phương trình f 0 (2−x) = −(2−x) là hoành độ giao điểm của đồ thị f 0 (2−x) và đường thẳng y = −x.
Dựa vào đồ thị ta suy ra f 0 (2−x) =−(2−x) ⇔
Từ đồ thị ta suy raf 0 (2−x) > 0 ⇔
Ta có bảng biến thiên
Do đó hàm số g(x) = 2f (2−x) + x 2 − 4x đồng biến trên khoảng (−2; 0)⇒ Chọn đáp án D.
Bài toán 3.26 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị của hàm số y = f 0 (x) được cho như hình vẽ.
Hàm số y = −2f(2−x) +x 2 nghịch biến trên khoảng.
Khi phương trình y' = 0 chuyển thành f'(t) = t - 2, nghiệm của phương trình này chính là hoành độ giao điểm giữa đồ thị f'(x) và đường thẳng y = t - 2 Việc vẽ thêm đường thẳng y = t - 2 sẽ tạo ra hình ảnh minh họa rõ ràng hơn cho vấn đề.
Dựa vào đồ thị ta suy ra f 0 (t) =t−2 ⇔
Từ đồ thị ta suy ra y 0 < 0 khi
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng (−1; 2−β) và (−3; 2−α).
Vì (−3; 2−α) ⊂ (−3;−2) và (−1; 0) ⊂ (−1; 2−β) nên suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 0) Chọn đáp án A.
Bài toán 3.27 Cho hàm số y = f(x) Biết hàm số y = f 0 (x) có đồ thị như hình vẽ.
Hàm số y = f(3−x 2 ) + 2018 đồng biến trong khoảng nào dưới đây? A.(2; 3) B.(−2;−1) C.(0; 1) D.(−1; 0).
Dựa vào đồ thị hàm số f 0 (x) ta có f(3−x 2 )0
Ta có bảng xét dấu của f(3−x 2 ) + 20180
Từ bảng xét dấu, ta có hàm số y = f(3−x 2 ) + 2018 đồng biến trên
Bài toán 3.28 [Đề thi THPTQG năm 2017- 2018 - câu 47 - mã đề 104]
Cho hàm số y = f(x) Đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ. Đặt g(x) = 2f(x) + (x+ 1) 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Như vậy ta có g(1) < g(3) < g(−3) Chọn câu A.
Bài toán 3.29 [Đề thi THPTQG năm 2017 - 2018 - câu 46 - mã đề 103]
Cho hàm số y = f(x) Đồ thị của hàm số y = f 0 (x) như hình vẽ. Đặt g(x) = 2f(x) +x 2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Như vậy ta có g(1) < g(3) < g(−3) Ta chọn đáp án B.
3.3 Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.
Bài toán 3.30 Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ.
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(f(x)) bằng ?
Lời giải Xét hàm số y = f [f(x)] Ta có y 0 = f 0 (x).f 0 [f(x)]. y 0 = 0 ⇔
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy hàm số y = f(f(x)) có 4 điểm cực trị
Bài toán 3.31 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ.
Hỏi hàm số y = f (f(x) + 2) có bao nhiêu điểm cực trị ?
Vậy phương trình có 3 nghiệm phân biệt. b) f’(f(x) + 2) = 0 Đặt u = f(x) + 2, khi đó phương trình f 0 (u) = 0 ⇔
Đối với hàm số f(x) = t1 - 2 trong khoảng (-1 < t1 - 2 < 0), ta có f(x) = m thuộc (-1; 0), dẫn đến phương trình f(x) = m có 4 giao điểm, tương ứng với 4 nghiệm Khi xét phương trình f(x) = 0, có 3 giao điểm, trong đó có 1 nghiệm bội chẵn tại x = 2 do đồ thị tiếp xúc với trục Ox Cuối cùng, với f(x) = t2 - 2 trong khoảng (0 < t2 - 2 < 1), phương trình f(x) = m có 2 giao điểm, tương ứng với 2 nghiệm.
Vì f 0 (x) = 0 có nghiệm bội lẻ x = 2 và f 0 (f(x) + 2) = 0 có nghiệm bội chẵn x = 2 nên x = 2 là điểm cực trị của hàm số.
Vậy tổng có 3+4+2+2 điểm cực trị.
Bài toán 3.32 Cho hàm số y f(x) xác định và liên tục trên R. Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình bên Số điểm cực trị của hàm số y = f [2f(x)−3] bằng ?
Lời giải Xét hàm số y = f [2f(x)−3] Ta có y 0 = 2f 0 (x).f 0 [2f(x)−3] = 0 ⇔
" f 0 (x) = 0 f 0 [2f(x)−3] = 0 a) Phương trình f 0 (x) = 0 có 5 nghiệm phân biệt x = −1;x = 0;x 0,1;x ≈1,7;x = 3;x ≈3,8. b) Xét phương trình f 0 [2f(x)−3] = 0 ⇔
Hàm số f(x) có các giá trị cụ thể như sau: khi 2f(x)−3 = −1, f(x) = 1; khi 2f(x)−3 = 0,1, f(x) = 1,55; khi 2f(x)−3 = 1,7, f(x) = 2,35; khi 2f(x)−3 = 3, f(x) = 3; và khi 2f(x)−3 = 3,8, f(x) = 2,4 Các phương trình tương ứng cho thấy: f(x) = 1 có 6 nghiệm đơn, f(x) = 1,55 có 6 nghiệm đơn, f(x) = 2,35 có 4 nghiệm đơn, f(x) = 3 có 4 nghiệm đơn, và f(x) = 2,4 có 4 nghiệm đơn Tổng cộng, hàm số này có 29 điểm cực trị, do đó đáp án đúng là D.
Bài toán 3.33 Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên R Đồ thị của hàm số y = f(x) như hình vẽ.
Số điểm cực trị của hàm số y = f [f (x+ 3)−1] bằng ?
Số điểm cực trị hàm y = f(x) và số điểm cực trị y = f(x+ 3) bằng nhau nên ta chỉ cần quan tâm đến hàm y 0 = 0 ⇒
" f 0 (x+ 3) = 0 f 0 [f(x+ 3)−1] = 0 a) Phương trình f 0 (x + 3) = 0 có 4 nghiệm phân biệt x = −2;x −1;x = 0;x = 2. b) Phương trình f 0 [f(x+ 3)−1] = 0 ⇔
Trong bài viết này, chúng ta phân tích các phương trình của hàm số f(x + 3) để xác định số nghiệm và các cực trị tương ứng Đầu tiên, phương trình f(x + 3) = -1 có 1 nghiệm đơn, do đó có 1 cực trị Tiếp theo, phương trình f(x + 3) = 0 cũng có 1 nghiệm đơn và 2 nghiệm bội chẵn, dẫn đến 1 điểm cực trị Thứ ba, phương trình f(x + 3) = 1 có 4 nghiệm đơn, vì vậy có 4 điểm cực trị Cuối cùng, phương trình f(x + 3) = 3 có 3 nghiệm đơn, tương ứng với 3 cực trị.
Vậy hàm số y = f [f(x+ 3)−1] có tất cả 13 điểm cực trị
Bài toán 3.34 Hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Với m ∈ [−1; 1] thì hàm sốg(x) = f x+ 2019m 2 −2019 có bao nhiêu điểm cực trị ?
Đồ thị hàm số f(|x|) được hình thành từ việc lấy đối xứng, trong khi đồ thị hàm số f(|x+m|) được suy ra từ đồ thị hàm số f(x) thông qua quá trình lấy đối xứng trước, sau đó thực hiện tịnh tiến.
Dựa vào đồ thị hàm số f (|x|) ta thấy f (|x|) có 3 điểm cực trị
⇒ f x+ 2019m 2 −2019 cũng có 3 điểm cực trị vì phép tịnh tiến không làm thay đổi số cực trị ⇒ Chọn đáp án C.
Bài toán 3.35 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên Rvà đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ. Đặt g(x) = f(x) −x − 1
3x 3 + 2 Khi đó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) trên đoạn [−1; 3] lần lượt bằng:
Vẽ thêm Parabol y = x 2 −1 như hình vẽ g 0 (x) = 0 ⇔f 0 (x) =x 2 −1 ⇔
Ta có bảng biến thiên y = g(x)
Từ bảng biến thiên, ta có min
Từ đồ thị hàm số, ta có
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [−1; 3] bằng g(−1) và giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn [−1; 3] bằng g(3)
Bài toán 3.36 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên Rvà đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ Đặt g(x) = f(x) − 1
2x 2 + 2019 Khi đó giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) trên đoạn [−2; 4] lần lượt bằng:
Vẽ thêm đường thẳng y = x như hình vẽ g 0 (x) = 0 ⇔f 0 (x) =x ⇔
Ta có bảng biến thiên, ta có y = g(x) :
Từ bảng biến thiên, ta có
Từ đồ thị hàm số, ta có diện tích
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [−2; 4] bằng g(3) và giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn [−2; 4] bằng g(0).
Bài toán 3.37 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên Rvà có đồ thị y f 0 (x) như hình vẽ, đặt g(x) = 2f(x)−(x−1) 2 Khi đó giá trị nhỏ nhất của hàm sốy = g(x) trên đoạn [−3; 3] bằng:
Vẽ thêm đường thẳng y = x−1 như hình vẽ g 0 (x) = 0 ⇔ f’(x) = x - 1 ⇔
x = −3 x = 1 x = 3Bảng biến thiên của hàm số y = g(x)
Từ bảng biến thiên, ta có M in
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) trên đoạn [−3; 3] bằng g(−3)
Bài toán 3.38 Cho hàm số y = f(x) liên tục trên Rvà đồ thị y = f 0 (x) như hình vẽ. Đặt g(x) = 4f(x) + (2x+ 1) 2 + 1 Khi đó giá trị lớn nhất của hàm số y = g(x) trên đoạn [−3; 2] bằng:
Vẽ thêm đường thẳng y = −2x−1 như hình vẽ g 0 (x) = 0 ⇔f 0 (x) =−2x−1 = 0 ⇔
x = −3 x = 0 x = 2 Bảng biến thiên của hàm số
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số g(x) trên đoạn [−3; 2] bằng g(−3).
3.4 Các bài toán liên quan đến tương giao của đồ thị hàm số.
Bài toán 3.39 Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f (|x+m|) = m có 4 nghiệm phân biệt là
Để xác định số giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình f (|x+m|) = m có 4 nghiệm phân biệt, cần tìm các giá trị của m để đường thẳng y = m cắt đồ thị y = f (|x+m|) tại 4 điểm khác nhau.
Để xây dựng đồ thị hàm số y = f(|x|) từ đồ thị hàm số y = f(x), trước tiên cần vẽ đồ thị của y = f(|x|), sau đó thực hiện tịnh tiến sang trái hoặc phải tùy thuộc vào giá trị m Để giải quyết bài toán này, có hai phương pháp có thể áp dụng: vẽ đồ thị hoặc không cần vẽ đồ thị.
Hàm số y = f(|x|) có đồ thị như hình vẽ.
Ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại 4 điểm phân biệt khi m = 3
