Lời giới thiệu
Hình học vectơ là một chủ đề mới mẻ đối với học sinh lớp 10, khiến nhiều em gặp khó khăn trong việc giải quyết các bài tập hình học.
Sáng kiến kinh nghiệm “Một số bài toán về tích của vectơ với một số” cung cấp cho học sinh đa dạng dạng bài tập và phương pháp giải liên quan đến hình vectơ, đặc biệt là bài tích của vectơ với một số Đề tài được trình bày dưới dạng phân loại bài tập, kèm theo phương pháp, bài tập minh họa và bài tập trắc nghiệm, giúp học sinh mở rộng kiến thức về bài tập hình vectơ Các bài tập hình phẳng được giải bằng phương pháp vectơ trở nên đơn giản và hiệu quả hơn Đề tài cũng sử dụng nhiều tài liệu tham khảo nâng cao nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi.
Tên sáng kiến
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc
E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn
IV Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc
E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn
Đề tài “Một số bài toán về tích của vectơ với một số” tập trung vào việc giải quyết các bài toán liên quan đến tích của vectơ, giúp học sinh lớp 10 có cái nhìn sâu sắc hơn và hướng giải quyết các bài toán hình học vectơ một cách đơn giản Nội dung này nhằm bổ sung và nâng cao kiến thức hình học vectơ cho học sinh, đặc biệt là trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
VI Ngày sáng kiến đƣợc áp dụng lần đầu: Tháng 9 năm 2015.
VII Mô tả bản chất của sáng kiến download by : skknchat@gmail.com 2
1 Cơ sở lý luận a, Định nghĩa: cùng hướng với bằng k a
Tích của vectơ a với số thực k0 là một vectơ, kí hiệu là ka , a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0 và có độ dài
Qui ước: 0.a 0 v¯ k 0 0 b, Tính chất: i) k m a ka ma ii) k a b ka kb iii) k m a km a k 0 iv) ka 0 a 0 v) 1a a , 1 a a c, Tính chất trung điểm:
M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 0
M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM (Với O là điểm tuỳ ý) d, Tính chất trọng tâm:
G là trọng tâm của tam giác ABC GA + GB + GC = O
G là trọng tâm của tam giác ABC, với OA + OB + OC = OG, trong đó O là điểm tùy ý Điều kiện cần và đủ để ba véc tơ cùng phương là b phải cùng phương với vectơ.
Để phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương A và B, cần xác định số k sao cho vectơ AB có thể biểu diễn dưới dạng bậc k của vectơ C Điều này chỉ xảy ra khi có số k thỏa mãn điều kiện b = k * a Khi A, B, và C thẳng hàng, tồn tại một số k thích hợp để thực hiện phép phân tích này.
Cho a không cùng phương với vectơ b Khi đó với mọi vectơ x luôn biểu diễn được x ma nb và m, n là các số thực duy nhất.
2 Các bài toán cơ bản download by : skknchat@gmail.com 3
Bài toán 1 Chứng minh đẳng thức vectơ
Sử dụng kiến thức để chuyển đổi các vế trong biểu thức thành một biểu thức mới hoặc tạo ra sự tương đương giữa hai biểu thức thông qua một biểu thức thứ ba, đảm bảo rằng các đẳng thức vẫn đúng.
Các tính chất phép toán vectơ
Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 0
M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)
G là trọng tâm của tam giác ABC GA+ GB + GC = O
G là trọng tâm của tam giác ABC OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)
2 Các bài tập minh họa: Bài 1.
Cho tứ giác ABCD với I và J là trung điểm của các đoạn AB và CD, và O là trung điểm của IJ Cần chứng minh rằng: a) a, ABDC AC BD IJ; b) OA, OB, OC, OD đều bằng 0; c) MA, MB, MC, MD đều bằng 4MO, với M là điểm bất kỳ.
)AB DC AD DB DA AC
AC DB ( AD DA) AC DB (1)
+) Theo quy tắc ba điểm ta có
AC AI IJ AI IJ JC BD BD IJ JD download by : skknchat@gmail.com 4
M¯ I , J lần lợt l¯ trung điểm cða AB v¯ CD nên AI BI 0 ; JC JD 0
VËy AC BD ( AI BI ) ( JC JD ) IJ 2 IJ
Tõ (1) v¯ (2 ta cã: AB DC AC BD IJ (®pcm). b,
Theo hệ thức trung điểm ta có OA OB 2 OI ; OC OD 2 OJ Mặt kh²c O l¯ trung điểm IJ nên ta có OI OJ 0 Suy ra OA OB OC OD
Theo c©u 2 ta cã OA OB OC OD 0
OM MA OM OB OM OC OM OD 0
MA MB MC MD 4 OM (®fcm)
Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD Chứng minh rằng AB CD 2IJ
Ta cã 2 IJ IB ID B
VËy AB CD 2IJ (®pcm).
Cho ngũ giác ABCDE Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ Chứng minh rằng: a) RS 1 2 MN PQ b) RS 1 ED
D download by : skknchat@gmail.com 5 a) Ta cã MN PQ
MR RS SN PR RS SQ 2RS MR
PR SN SQ 2RS b) Theo c©u a) ta cã
Cho ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh rằng AM BN CP 0.
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên ta có
AM BN CP 1 2 AB AC 1 2 BA BC 1 2 CA CB
Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì trên cạnh BC Chứng minh rằng
Lời giải. download by : skknchat@gmail.com 6 a cã: MB M B
C AB AM MB AC AM MB MC
Cho tam giác ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác Chứng minh rằng a, AH 2 3 AC 1 3 AB CH 3 1 AB 1 3 AC b, MH 6 1
AB , víi M l¯ trung ®iÓm cða BC.
Lời giải. a, Ta cã AH AG AB 2 3 AC AB AB 2 3 AC 3 1
CH AH AC 1AB 1 AC
Cho tam giác ABC, với M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng MN Cần chứng minh rằng AK = 1/2 AB + 1/2 AC.
4 6 b, Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD = 1 AB + 1 AC
C a, Vì K là trung điểm MN nên:
AK = 1 (AM + AN)= 1 (1 AB + 1 AC)= 1 AB + 1 AC , đpcm.
2 22346 b, Vì D là trung điểm BC nên: AD 1 (AB+AC)
KD =AD-AK = 1 (AB+AC)-( 1 AB+1 AC)= 1 AB+1AC
Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D' có chung đỉnh A
B'B CC' D'D AB AB' AC' AC AD AD'
AB AD AC AB' AD' AC 0
Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
DC , AB ; P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN , DB
Chứng minh rằng DM NB và DP PQ QB
Lời giải. download by : skknchat@gmail.com 8
Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì
DM NB AB, DM/ /NB.
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / /QC do đó
P là trung điểm của DQ
Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của P
B Vì vậy DP PQ QB từ đó suy ra DP PQ QB
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác ạ
MD, ME, MF, lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: MD ME MF 3
Gọi AA’, BB’, CC’, là đường cao của tam giác ABC.
Theo b¯i ta cã: S a MA S b MB S C MC 0 (1)
Mặt kh²c MD MD AA' 3 S a AO (víi S S )
Tơng tự nh vậy ta có
2 S 2 S download by : skknchat@gmail.com 9
S a MO - MA S b MO - MB S c MO - MC S
Câu 1:Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho
A AM 4AB 1AC B AM 4 AB AC.
C AM 4 AB 1AC D AM 1AB 4AC.
AM AB BM AB 4 BC
AB 4 BA AC 1 AB 4 AC
5 5 5 download by : skknchat@gmail.com 10
Câu 2: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
2AN 2 CM B AB 4 AN 2CM
C AB 4AN 4 CM D AB 4 AN 2CM
AN 1 AB AC 1AB 1AC CM CA AM 1 CM 1CA 1 AM
AN 1 CM 1AB 1AC 1CA 1 AM
1 AB 1 AC 1 AC 1 1 AB 3AB
Do đó AB 4 AN 2 CM
Câu 3: Cho tam giác ABC Gọi I , J là hai điểm xác định bởi IA 2IB ,
3 JA 2 JC 0 Hệ thức nào đúng?
A IJ 5 AC 2AB B IJ 5 AB 2AC.
C IJ 2 AB 2AC D IJ 2 AC 2AB.
Ta có: IJ IA AJ
I download by : skknchat@gmail.com 11
Câu 4: Cho tam giác ABC biếtAB 8, AC 9, BC 11 Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN x (0 x 9) ệ thức nào sau đây đúng?
Ta có: MN AN AM x
Câu 5: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CD, DE Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và
NQ Khẳng định nào sau đây đúng?
A IJ 1 AE B IJ 1 AE C IJ 1AE D IJ 1 AE
Ta có: 2IJ IQ IN IM MQ IP PN MQ PN
PN 1 BD Suy ra: 2IJ 1 1BD 1 AE IJ 1AE
2 2 2 2 4 download by : skknchat@gmail.com 12
Câu 6: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác
ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?
A AC BD BC AD 4MN.
D MN AC BD BC AD.
Ta có: AC BD BC AD
AM MN NC BM MN ND BM MN NC AM MN ND 2 AM BM 2 NC
Câu 7: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD Đẳng thức nào sau đây sai ?
A AC DB 2MN B AC BD 2MN.
Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD MA 0
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN MC MB Nên
D đúng. download by : skknchat@gmail.com 13
2MN MC MB MD DC MA AB AB DC MD MA AB DC
Vậy AB DC 2MN Nên C đúng
Mà AB DC AC CB DC AC DB 2MN Nên A đúng.
Câu 8: Cho tứ giác ABCD , trên cạnh AB , CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3 AM 2 AB và 3 DN 2 DC Tính vectơ MN theo hai vectơ
Ta có MN MA AD DN
Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và CD Biết MN a AB b AD Tính a b
D N C download by : skknchat@gmail.com 14
MN MO ON 1AC 1AD
Câu 10: Cho tam giác đều ABC có tâm O Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC ạ ID, IE , IF tương ứng vuông góc với BC , CA, AB
Giả sử ID IE IF a IO (với a là phân số tối giản) Khi đó a b bằng: b b
Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC, NR / /CA Vì
ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS
ID IE IF 1 (IM IN) 1 (IP IQ) 1(IR IS)
(IQ IR) (IM IS) (IN IP) 1 (IA IB IC)
22 download by : skknchat@gmail.com 15
Bài toán 2: Các bài toán về trọng tâm tam giác , tứ giác.
Sử dụng các kiến thức sau để chuyển đổi giữa các vế, có thể biến đổi một vế thành vế khác hoặc cả hai vế thành một biểu thức thứ ba, đảm bảo rằng các biến đổi này tương đương và đúng về mặt đẳng thức.
Các tính chất phép toán véc tơ
Các qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành và qui tắc trừ
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB 0 ;
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB thì OA OB 2OM (Với O là điểm tùy ý) Tính chất trọng tâm:
+ G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0 ,
+ G là trọng tâm tam giác ABC thì OA OB OC 3OG (Với O là điểm tùy ý)
2 Các bài tập minh họa : Bài 1.
Trong tam giác ABC, O, G, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm, trong khi I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh Cần chứng minh các hệ thức sau: a) OA, OB, OC, OH có tỉ lệ 3: OG; b) HA, HB, HC, HO có tỉ lệ 3: HG; c) GH có tỉ lệ 2: GO; d) OH có tỉ lệ 2: OI.
Lời giải. a, Gọi A ’ là điểm đối xứng của A qua
O Dễ thấy HBCA’ là hình bình hành
Ta có : OB OC 2 OD
Mặt khác OD là đường trung bình của HAA' nên A'
Suy ra OB OC AH Ta l³i cã : AH OH - OA
Từ đó suy ra : OB OC OH - OA hay OA OB OC OH
Mặt khác do Glà trọng tâm tam giác ABC nên ta có
OA OB OC 3OG , O bÊt kú
Vậy OA OB OC OH 3 OG
(Nhận xét: Từ OH 3 OG suy ra H, O , G thẳng hàng) download by : skknchat@gmail.com 16 b, Ta cã: HA HB HC HG 3 HO OG 3 HO 3OG
Vậy: HA HB HC HO 3 HG c, TõOH 3 OG OH 3 OG OH OG OG 0 GH GO 0 Vậy GH 2 GO 0 d, Chú ý rằng : O là trực tâm DEF
I là tâm đường tròn ngoại tiếp DEF
G là trọng tâm DEF Áp dụng câu a, ta có:
IO 3 IG 3 IO OG 3 IO OH Hay OH IO 3IO 2IO 2OI
( Nhận xét : Từ OH 2 OI suy ra H, O, I thẳng hàng ).
Cho tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm G Gọi G 1 , G 2 , G 3 là trọng tâm các tam giác BCA 1 , CAB 1 , ABC 1 Chứng minh G là trọng tâm tam giác
G l¯ trọng tâm cða tam gi²c BCA 3GG
G 2 l¯ trọng tâm cða tam gi²c ACB 1 :3GG 2
G 3 l¯ trọng tâm cða tam gi²c ABC 1 3GG 3
Cộng vế với vế ta có :
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A 1 B 1 C 1 nên ta có
Vậy G là trọng tâm tam giác G 1 G 2 G 3
Bài 3. lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 Điểm G và G 1
Giải sử O là điểm bất kỳ ta có
OG OA OB OC ; OG 1
OG 1 -OG 1 OA 1 -OA OB 1 -OB OC 1 -OCGG 1 1 AA 1 BB 1 CC 1
Nhận xét : Hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
1 1 1 download by : skknchat@gmail.com
17 download by : skknchat@gmail.com
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có B N C download by : skknchat@gmail.com a,Theo tính chất đờng phân gi²c ta có A
DB AB DB c b DB c DC
DC AC DC b b DB c DC 0 b AB AD c AC AD 0 O b c AD b AB c AC B
IC DC IB c IC b IB (1)
Mặt kh²c có ID BD CD a ID a IA
Tõ (1) v¯ (2) ta cã : a IA c IB b c b c b c a IA b IB c IC 0 (®fcm). download by : skknchat@gmail.com
Trong tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, và AB = c, gọi AM, BN, CP là các đường phân giác trong của tam giác Ta cần chứng minh rằng: \( \frac{a}{b} \cdot AM + \frac{b}{c} \cdot BN + \frac{c}{a} \cdot CP = 0 \).
AB AC P N b c b c b c AM bAB cAC bcBC hay a b c AM abAB acAC
Tơng tự :b a b BN abBA B M C c a b CP caCA cbCB
Từ đó suy ra: a b c AM b c a BN c a b CP 0
Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng : tan AHA tan B.HB tan C.HC 0
Ta có : tan B AM ; tan C AM ;
MB MC suy ra tan C MB tan B MC
Tương tự : tan A NB tan B NA Dựng Bx song song với NC cắt AM tai
F Dựng By song song với MA cắt CN tai
BE MB tan C ; BE tan C HC
BF NB tan A ; BF tan A HA
BH BE BF tan C HC tan A HA tan B tan B suy ra: tan A.HA tan B.HB tan C.HC 0 download by : skknchat@gmail.com 19
Bài 8. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh
BC, CA , AB tại D, E, F Chứng minh rằng: aID bIE cIF 0
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC , ta có:
ID CD IB BD IC a ID ( p - c)IB ( p - b)IC (1)
Tơng tự :b IE ( p - c)IA ( p - a)IC (2) c IF ( p - b)IA ( p - a)IB (3)
Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta có a ID bIE cIF 2 p - b - c IA 2 p - a - b IB 2 p - a - c IC a IA bIB cIC 0
Với J là điểm bất kì trong tam giác ABC , hạ JM ; JN ; JP lần lượt vuông góc víi BC, CA, AB Ta cã : a IM b JN c JP 0
CM: Ta cã ID IA
Tương tự ta có: IE r JN ; IF r JP
Do đó: a ID b.IE c.IF 0 ar JMbr JN cr JP 0
JM JN JP a JM b JN c JP 0 (dfcm).
JM JN JP download by : skknchat@gmail.com 20
Bài 9. tiếp xúc với các cạnh BC, Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự
CA , AB tại D, E, F Chứng minh rằng: a.AD b.BE c.CF 0
Theo bài 11 ta có : Lời giải. a ID ( p - c ) IB ( p - b )IC (1) A bIE ( p - c)IA ( p - a)IC (2) cIF ( p - b)IA ( p - a)IB (3) F E
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được :
I aID bIE cIF aIA b IB c IC
B D C a ID IA b IE IB c IF IC 0 a AD bBE cCF 0 dfcm
Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác Đặt S MBC = S a ,S MCA =
S b , S MAB = S c Chứng minh rằng: S a MA S b MB S c MC 0
Gọi A’ là giao điểm của đường thẳng MA với BC.
Ta có MA A'C MB A' B MC
Mặt khác : Thay vào (*) ta được:
-S a MA S b MB S c MC S a MA S b MB S c MC 0 dpcm
- Cho M trùng với trọng tâm ta được kết quả GA GB GC 0
- Cho M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta được kết quả bài 9
- Nếu tam giác ABC đều thì với mọi điểm M bất kì trong tam giác ta có xMA yMB zMC 0 Trong đó x, y, z là khoảng cách từ M đến BC , CA, AB
- Nếu M nằm ngoài tam giác ABC , chẳng hạn M thuộc góc BAC , chứng minh tương tự ta có kết quả S a MA S b MB - S c MC 0 download by : skknchat@gmail.com 21
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ m n 1 khi tồn t³i c²c số m, n sao cho
M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng
BM / / BCk : BM k BC k : AM AB k AC AB k :AM 1 k AB kAC m n 1 m, n : (đặt m = 1 - k; n = k).
Cho ba véc tơ a ; b; c đôi một không cùng phơng v¯ thàa m±n điều kiện : ma nb pc 0 m 0 m ' a n ' b p ' c 0 m' 0
Từ gi° thiết m m' suy ra n, p, n ', p ' củng kh²c 0 vì chàng h³n n 0 thì ma pc 0 m p 0 do a v¯ c không cùng phơng , tr²i với gi° thiết. a n b p c
Theo định lí ta có n n' m m' m m' m' n' p '
Nhận xét các trường hợp đặc biệt: n n' a nb pc
2,NÕu a b c 0 a b c 0 download by : skknchat@gmail.com 22
Trong tam giác ABC, cho điểm M nằm bên trong tam giác H, I, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các cạnh BC, CA, và AB Cần chứng minh rằng điểm M chính là trọng tâm của tam giác ABC.
ABC khi v¯ chỉ khi a 2 MH b 2 MI c 2 MK 0.
Với mọi tam giác ABC và điểm M trong tam giác ta có
Do đó M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi K
MH MI MK a 2 MH b 2 MI c 2 MK 0.
Trong tam giác ABC, nếu M là một điểm nằm trong tam giác và H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB, thì ta có thể chứng minh rằng M chính là trọng tâm của tam giác Việc xác định trọng tâm này có thể thực hiện thông qua các tính chất hình học liên quan đến các hình chiếu và vị trí của điểm M trong tam giác.
ABC khi v¯ chỉ khi 2 a 2 MA b 2 MB c 2 MC 0.
M l¯ trọng tâm tam gi²c ABC download by : skknchat@gmail.com 23
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M nằm trong tam giác khi và chỉ khi tồn tại duy nhất bộ ba số (x, y, z ) x, y , z 0
Giả sử M nằm trong tam giác ABC, ta có
Giả sử có các số x’ , y’, z’ cũng thỏa mãn (*) A' C
Ta có x' MA y ' MB z ' MC 0
V ì MA , MB , MC đôi một không cùng phơng nên x y z x y zx x '; y y '; z z' y' y' z' x' y ' z'
Tính duy nhất được chứng minh.
Bây giờ giả sử tồn tại x, y ,z thoả mãn (*) ta phải chứng minh điểm M nằm trong tam giác ABC
Vì y 0; z 0 nên A' thuộc đo³n BC
Khi đó xMA yMB zMC x ( y z)MA' x (1 x)MA'
Vì x > 0; 1 – x >0 nên M thuộc đoạn AA’
Vậy M nằm trong tam giác ABC.
Bằng cách biểu diễn: MA OA- OM,
Kết hợp với nhận xét cuối ta rút ra kết luận quan trọng sau đây:
Cho tam giác ABC và điểm O Chứng minh rằng điểm
M tại duy nhất bộ ba số (x, y, z ) sao cho x y z 1
(*) trong mặt phẳng tồn sao cho download by : skknchat@gmail.com 24
Trong tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp, và A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Cần chứng minh rằng điểm I nằm trong miền nội tại của tam giác ABC.
Ta đã biết : a IA b IB c IC 0 p a p c IA p c p a IB p a p b IC 0 p a IB IC p b IA IC p c IAIB 0
2 p a IA 2 p b IB 2 p c IC 0 b c a IA 1 a c b IB 1 b IC 1 0 (1) a c b c a 0
Vì a c b 0 nên I n´m trong tam gi²c A 1 B 1 C 1 a b c 0
Mặt kh²c ta có S IB C IA 1 IB S IB A IC 0
Câu 1: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
Lời giải download by : skknchat@gmail.com 25
2 Mặtkhác AM và AG cùng hướng G
Câu 2: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Câu nào sau đây đúng?
C AB AC 2AG D AB AC 3AM
Do M là trung điểm của
Câu 3: Nếu G là trọng tam giác
BC nên ta có: GB GC 2GM
ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng.
Gọi M là trung điểm của BC nên ta có
MàAM 3AG AB AC 2 3 AG 3AG AG ABAC
2 2 3 download by : skknchat@gmail.com
26 download by : skknchat@gmail.com
Câu 4: Cho hai tam giác ABC và lần lượt có trọng tâm là G và G
A B C Đẳng thức nào sau đây là sai?
A 3GG' AA' BB' CC' B 3GG' AB' BC' CA'.
C 3GG' AC' BA' CB' Lời giải D 3GG' A'A B'B C'C
Do G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A B C nên
A AA' BB' CC' AG BG CGGA GB GC 0 3GG'.
B AB' BC' CA' AG BG CGGA GB GC 0 3GG'.
C AC' BA' CB' AG BG CGGA GB GC 0 3GG'.
Câu 5: Cho tam giác ABC , có trọng tâm G GọiA , B , C lần lượt là trung
1 1 1 điểm của BC, CA, AB Chọn khẳng định sai?
A GA GB GC 0 B AG BG CG 0.
Ta xét tính đúng sai của từng mệnh đề ta có:
GAGBGC 1 GA 1 GB 1GC 1 GA GB GC 0 A
AG BG CG GA GB GC 0 0 B đúng
AA BB CC 3 GA GB GC 3
GC 2GC 1 là biểu thức sai vì GC và GC 1 là hai vectơ ngược hướng. download by : skknchat@gmail.com 27
Câu 6: Cho G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A' B ' C ' Khi đó tổng AA' BB ' CC ' bằng:
(AG GG' G' A') (BG GG' G' B') (CG GG' G'C ') 3GG' (AG BG
Trong tứ giác ABCD, G là trọng tâm của tam giác ABD Điểm I nằm trên đoạn thẳng GC và thỏa mãn điều kiện IC = 3IG Đối với mọi điểm M, ta luôn có mối quan hệ MA, MB, MC.
Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên
IA IB ID 3IG IA IB ID IC IA IB IC ID 0
MA MB MC MD MI IA MI IB MI IC MI ID
4MI (IA IB IC ID) 4MI 0 4MI
Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm của tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A OH 4OG B OH 3OG C OH 2OG D 3OH OG
Gọi D là điểm đối xứng với A qua O
Ta có: HA HD 2 HO(1)
Vì HBDC là hình bình hành nên HD HB HC (2)
HA HB HC 2HO (HO OA) (HO OB) (HO OC) 2HO download by : skknchat@gmail.com 28
3HO (OA OB OC) 2HO OA OB OC HO 3OG OH
Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A AH 2AC 1AB B AH 1AC 1AB
C AH 2AC 1AB D AH 2AB 1AC
Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC
Ta thấy AHCG là hình bình hành nên
AHAGAC AH2 AMAC AH2 1AB AC AC
Trong tam giác ABC với trọng tâm G, các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB Hãy xác định khẳng định nào sau đây là đúng.
A AG 1AE 1AF B AG 1AE 1AF
C AG 3 AE 3AF D AG 2 AE 2AF
Ta có: AG 2 AD 2 1 AB AC 1 2AF 2AE 2 AE 2 AF
3 32 3 3 3 download by : skknchat@gmail.com 29
Bài toán 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song.
Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, cần chứng minh hai véc tơ AB và AC cùng phương, tức là tồn tại số thực k sao cho AB = kAC Để xác định đường thẳng AB đi qua một điểm cố định, ta chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng, trong đó H là điểm cố định Đường thẳng AB và MN sẽ song song khi AB = kMN và điểm A không thuộc đường thẳng BC.
Cho a , b là hai vectơ không cùng phương khi đó:
Với mọi vectơ x luôn tồn tại duy nhất các số thực m, n sao cho x ma nb ma nb 0 m n 0
Nếu c ma nb, c ' m ' a n ' b, m '.n' 0 và c , c ' là hai vectơ cùng phương thì m n m ' n'
2 Các bài tập minh họa : Bài 1.
Cho ABC lấy các điểm I, J thoả mãn IA 2IB , 3 JA 2 JC 0 Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ABC
3JA 2JC 0 3IA 2IC 5IJ.
Suy ra 2( IA IB IC ) 5IJ 6 IG 5IJ I, J, G thẳng hàng. download by : skknchat@gmail.com 30
Chotam giácABCvàhaiđiểmI,Jxácđịnhbởi: IA 3IC 0 , FA 2FB 3FC 0 Chứng minh rằng ba điểm I, F, B thẳng hàng.
Tõ gi° thiÕt : IA 3IC 0 ta cã IF FA 3 IF FC 0 FA 3 FC 4 FI.
Thay v¯o gi° thiết FA 2FB 3FC 0 ta đợc: 2 FB 4 FI 0 FB - 1
Nh vậy FB v¯ FI cùng phơng , suy ra ba điểm I, F, B thàng h¯ng.
Cho hình bình hành ABCD , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc
AE 2 đoạn AC thỏa mãn Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng. Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho
Chủ đầu tƣ tạo ra sáng kiến
- Họ và tên: NGUYỄN THỊ THẢO
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Quang Hà – TT Gia Khánh – huyện Bình Xuyên – tỉnh Vĩnh Phúc
E_mail: nguyenthithao.gvquangha@vinhphuc.edu.vn
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Đề tài “Một số bài toán về tích của vectơ với một số” nhằm mục đích giúp học sinh lớp 10 hiểu rõ hơn về tích của vectơ với một số, từ đó phát triển khả năng giải quyết các bài toán hình học vectơ một cách đơn giản và hiệu quả Nội dung bài viết không chỉ bổ sung kiến thức mà còn nâng cao kỹ năng cho học sinh, đặc biệt là những em có nhu cầu bồi dưỡng và đạt thành tích cao trong học tập.
Mô tả bản chất của sáng kiến
download by : skknchat@gmail.com 2
Nội dung
Cơ sở lý luận
a, Định nghĩa: cùng hướng với bằng k a
Tích của vectơ a với số thực k0 là một vectơ, kí hiệu là ka , a nếu k > 0, ngược hướng với vectơ a nếu k < 0 và có độ dài
Qui ước: 0.a 0 v¯ k 0 0 b, Tính chất: i) k m a ka ma ii) k a b ka kb iii) k m a km a k 0 iv) ka 0 a 0 v) 1a a , 1 a a c, Tính chất trung điểm:
M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 0
M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM (Với O là điểm tuỳ ý) d, Tính chất trọng tâm:
G là trọng tâm của tam giác ABC GA + GB + GC = O
G là trọng tâm của tam giác ABC, với OA + OB + OC = OG (O là điểm tùy ý) Để hai véc tơ b cùng phương với véc tơ, cần có điều kiện cần và đủ cho ba véc tơ này.
Để phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương, cần xác định điều kiện AB kBC a0, mà chỉ xảy ra khi tồn tại số k thỏa mãn b ka Điều này cho thấy rằng các điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có thể được biểu diễn thông qua một số k nhất định.
Cho a không cùng phương với vectơ b Khi đó với mọi vectơ x luôn biểu diễn được x ma nb và m, n là các số thực duy nhất.
Các bài toán cơ bản
download by : skknchat@gmail.com 3
Bài toán 1 Chứng minh đẳng thức vectơ
Sử dụng kiến thức để chuyển đổi giữa hai vế hoặc đồng thời biến đổi cả hai biểu thức thành một biểu thức thứ ba, hoặc thực hiện các biến đổi tương đương để đạt được đẳng thức chính xác.
Các tính chất phép toán vectơ
Các quy tắc: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành và quy tắc phép trừ
M là trung điểm đoạn thẳng AB MA MB 0
M là trung điểm đoạn thẳng AB OA OB 2OM (Với O là điểm tuỳ ý)
G là trọng tâm của tam giác ABC GA+ GB + GC = O
G là trọng tâm của tam giác ABC OA + OB + OC = OG (Với O là điểm tuỳ ý)
2 Các bài tập minh họa: Bài 1.
Cho tứ giác ABCD với I và J là trung điểm của AB và CD, O là trung điểm của IJ Cần chứng minh các mệnh đề sau: a) a, ABDC AC BD IJ; b) OA + OB + OC + OD = 0; c) MA + MB + MC + MD = 4MO, với M là điểm bất kỳ.
)AB DC AD DB DA AC
AC DB ( AD DA) AC DB (1)
+) Theo quy tắc ba điểm ta có
AC AI IJ AI IJ JC BD BD IJ JD download by : skknchat@gmail.com 4
M¯ I , J lần lợt l¯ trung điểm cða AB v¯ CD nên AI BI 0 ; JC JD 0
VËy AC BD ( AI BI ) ( JC JD ) IJ 2 IJ
Tõ (1) v¯ (2 ta cã: AB DC AC BD IJ (®pcm). b,
Theo hệ thức trung điểm ta có OA OB 2 OI ; OC OD 2 OJ Mặt kh²c O l¯ trung điểm IJ nên ta có OI OJ 0 Suy ra OA OB OC OD
Theo c©u 2 ta cã OA OB OC OD 0
OM MA OM OB OM OC OM OD 0
MA MB MC MD 4 OM (®fcm)
Cho tứ giác ABCD Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BD Chứng minh rằng AB CD 2IJ
Ta cã 2 IJ IB ID B
VËy AB CD 2IJ (®pcm).
Cho ngũ giác ABCDE Các điểm M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các đoạn EA, AB, BC, CD, MP, NQ Chứng minh rằng: a) RS 1 2 MN PQ b) RS 1 ED
D download by : skknchat@gmail.com 5 a) Ta cã MN PQ
MR RS SN PR RS SQ 2RS MR
PR SN SQ 2RS b) Theo c©u a) ta cã
Cho ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh rằng AM BN CP 0.
Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB nên ta có
AM BN CP 1 2 AB AC 1 2 BA BC 1 2 CA CB
Cho tam giác ABC, M là một điểm bất kì trên cạnh BC Chứng minh rằng
Lời giải. download by : skknchat@gmail.com 6 a cã: MB M B
C AB AM MB AC AM MB MC
Cho tam giác ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua G với G là trọng tâm tam giác Chứng minh rằng a, AH 2 3 AC 1 3 AB CH 3 1 AB 1 3 AC b, MH 6 1
AB , víi M l¯ trung ®iÓm cða BC.
Lời giải. a, Ta cã AH AG AB 2 3 AC AB AB 2 3 AC 3 1
CH AH AC 1AB 1 AC
Cho tam giác ABC, với M là trung điểm của cạnh AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA K là trung điểm của đoạn MN Cần chứng minh rằng AK = 1/2 AB + 1/2 AC.
4 6 b, Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh rằng KD = 1 AB + 1 AC
C a, Vì K là trung điểm MN nên:
AK = 1 (AM + AN)= 1 (1 AB + 1 AC)= 1 AB + 1 AC , đpcm.
2 22346 b, Vì D là trung điểm BC nên: AD 1 (AB+AC)
KD =AD-AK = 1 (AB+AC)-( 1 AB+1 AC)= 1 AB+1AC
Cho hai hình bình hành ABCD và AB ' C ' D' có chung đỉnh A
B'B CC' D'D AB AB' AC' AC AD AD'
AB AD AC AB' AD' AC 0
Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
DC , AB ; P là giao điểm của AM, DB và Q là giao điểm của CN , DB
Chứng minh rằng DM NB và DP PQ QB
Lời giải. download by : skknchat@gmail.com 8
Ta có tứ giác DMBN là hình bình hành vì
DM NB AB, DM/ /NB.
Xét tam giác CDQ có M là trung điểm của DC và MP / /QC do đó
P là trung điểm của DQ
Tương tự xét tam giác ABP suy ra được Q là trung điểm của P
B Vì vậy DP PQ QB từ đó suy ra DP PQ QB
Cho tam giác đều ABC tâm O, M là điểm bất kì trong tam giác ạ
MD, ME, MF, lần lượt vuông góc với các cạnh BC, CA, AB.
Chứng minh rằng: MD ME MF 3
Gọi AA’, BB’, CC’, là đường cao của tam giác ABC.
Theo b¯i ta cã: S a MA S b MB S C MC 0 (1)
Mặt kh²c MD MD AA' 3 S a AO (víi S S )
Tơng tự nh vậy ta có
2 S 2 S download by : skknchat@gmail.com 9
S a MO - MA S b MO - MB S c MO - MC S
Câu 1:Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho
A AM 4AB 1AC B AM 4 AB AC.
C AM 4 AB 1AC D AM 1AB 4AC.
AM AB BM AB 4 BC
AB 4 BA AC 1 AB 4 AC
5 5 5 download by : skknchat@gmail.com 10
Câu 2: Gọi AN, CM là các trung tuyến của tam giác ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
2AN 2 CM B AB 4 AN 2CM
C AB 4AN 4 CM D AB 4 AN 2CM
AN 1 AB AC 1AB 1AC CM CA AM 1 CM 1CA 1 AM
AN 1 CM 1AB 1AC 1CA 1 AM
1 AB 1 AC 1 AC 1 1 AB 3AB
Do đó AB 4 AN 2 CM
Câu 3: Cho tam giác ABC Gọi I , J là hai điểm xác định bởi IA 2IB ,
3 JA 2 JC 0 Hệ thức nào đúng?
A IJ 5 AC 2AB B IJ 5 AB 2AC.
C IJ 2 AB 2AC D IJ 2 AC 2AB.
Ta có: IJ IA AJ
I download by : skknchat@gmail.com 11
Câu 4: Cho tam giác ABC biếtAB 8, AC 9, BC 11 Gọi M là trung điểm BC và N là điểm trên đoạn AC sao cho AN x (0 x 9) ệ thức nào sau đây đúng?
Ta có: MN AN AM x
Câu 5: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N , P , Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CD, DE Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và
NQ Khẳng định nào sau đây đúng?
A IJ 1 AE B IJ 1 AE C IJ 1AE D IJ 1 AE
Ta có: 2IJ IQ IN IM MQ IP PN MQ PN
PN 1 BD Suy ra: 2IJ 1 1BD 1 AE IJ 1AE
2 2 2 2 4 download by : skknchat@gmail.com 12
Câu 6: Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD của tứ giác
ABCD Mệnh đề nào sau đây đúng?
A AC BD BC AD 4MN.
D MN AC BD BC AD.
Ta có: AC BD BC AD
AM MN NC BM MN ND BM MN NC AM MN ND 2 AM BM 2 NC
Câu 7: Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BC của tứ giác ABCD Đẳng thức nào sau đây sai ?
A AC DB 2MN B AC BD 2MN.
Do M là trung điểm các cạnh AD nên MD MA 0
Do N lần lượt là trung điểm các cạnh BC nên 2MN MC MB Nên
D đúng. download by : skknchat@gmail.com 13
2MN MC MB MD DC MA AB AB DC MD MA AB DC
Vậy AB DC 2MN Nên C đúng
Mà AB DC AC CB DC AC DB 2MN Nên A đúng.
Câu 8: Cho tứ giác ABCD , trên cạnh AB , CD lấy lần lượt các điểm M , N sao cho 3 AM 2 AB và 3 DN 2 DC Tính vectơ MN theo hai vectơ
Ta có MN MA AD DN
Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và CD Biết MN a AB b AD Tính a b
D N C download by : skknchat@gmail.com 14
MN MO ON 1AC 1AD
Câu 10: Cho tam giác đều ABC có tâm O Gọi I là một điểm tùy ý bên trong tam giác ABC ạ ID, IE , IF tương ứng vuông góc với BC , CA, AB
Giả sử ID IE IF a IO (với a là phân số tối giản) Khi đó a b bằng: b b
Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC, NR / /CA Vì
ABC là tam giác đều nên các tam giác IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS
ID IE IF 1 (IM IN) 1 (IP IQ) 1(IR IS)
(IQ IR) (IM IS) (IN IP) 1 (IA IB IC)
22 download by : skknchat@gmail.com 15
Bài toán 2: Các bài toán về trọng tâm tam giác , tứ giác.
Sử dụng các kiến thức sau để chuyển đổi giữa các vế hoặc đồng thời biểu diễn cả hai vế bằng một biểu thức thứ ba, hoặc thực hiện các biến đổi tương đương để đạt được đẳng thức chính xác.
Các tính chất phép toán véc tơ
Các qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành và qui tắc trừ
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB 0 ;
+ M là trung điểm đoạn thẳng AB thì OA OB 2OM (Với O là điểm tùy ý) Tính chất trọng tâm:
+ G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi GA GB GC 0 ,
+ G là trọng tâm tam giác ABC thì OA OB OC 3OG (Với O là điểm tùy ý)
2 Các bài tập minh họa : Bài 1.
Trong tam giác ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp, G là trọng tâm, H là trực tâm, và I là tâm đường tròn đi qua các trung điểm của ba cạnh Cần chứng minh các mối quan hệ sau: a) OA, OB, OC, OH có tỉ lệ 3:OG; b) HA, HB, HC, HO có tỉ lệ 3:HG; c) GH bằng 2 lần GO; d) OH bằng 2 lần OI.
Lời giải. a, Gọi A ’ là điểm đối xứng của A qua
O Dễ thấy HBCA’ là hình bình hành
Ta có : OB OC 2 OD
Mặt khác OD là đường trung bình của HAA' nên A'
Suy ra OB OC AH Ta l³i cã : AH OH - OA
Từ đó suy ra : OB OC OH - OA hay OA OB OC OH
Mặt khác do Glà trọng tâm tam giác ABC nên ta có
OA OB OC 3OG , O bÊt kú
Vậy OA OB OC OH 3 OG
(Nhận xét: Từ OH 3 OG suy ra H, O , G thẳng hàng) download by : skknchat@gmail.com 16 b, Ta cã: HA HB HC HG 3 HO OG 3 HO 3OG
Vậy: HA HB HC HO 3 HG c, TõOH 3 OG OH 3 OG OH OG OG 0 GH GO 0 Vậy GH 2 GO 0 d, Chú ý rằng : O là trực tâm DEF
I là tâm đường tròn ngoại tiếp DEF
G là trọng tâm DEF Áp dụng câu a, ta có:
IO 3 IG 3 IO OG 3 IO OH Hay OH IO 3IO 2IO 2OI
( Nhận xét : Từ OH 2 OI suy ra H, O, I thẳng hàng ).
Cho tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm G Gọi G 1 , G 2 , G 3 là trọng tâm các tam giác BCA 1 , CAB 1 , ABC 1 Chứng minh G là trọng tâm tam giác
G l¯ trọng tâm cða tam gi²c BCA 3GG
G 2 l¯ trọng tâm cða tam gi²c ACB 1 :3GG 2
G 3 l¯ trọng tâm cða tam gi²c ABC 1 3GG 3
Cộng vế với vế ta có :
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và tam giác A 1 B 1 C 1 nên ta có
Vậy G là trọng tâm tam giác G 1 G 2 G 3
Bài 3. lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 Điểm G và G 1
Giải sử O là điểm bất kỳ ta có
OG OA OB OC ; OG 1
OG 1 -OG 1 OA 1 -OA OB 1 -OB OC 1 -OCGG 1 1 AA 1 BB 1 CC 1
Nhận xét : Hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm khi và chỉ khi
1 1 1 download by : skknchat@gmail.com
17 download by : skknchat@gmail.com
Theo tính chất đường trung bình của tam giác ta có B N C download by : skknchat@gmail.com a,Theo tính chất đờng phân gi²c ta có A
DB AB DB c b DB c DC
DC AC DC b b DB c DC 0 b AB AD c AC AD 0 O b c AD b AB c AC B
IC DC IB c IC b IB (1)
Mặt kh²c có ID BD CD a ID a IA
Tõ (1) v¯ (2) ta cã : a IA c IB b c b c b c a IA b IB c IC 0 (®fcm). download by : skknchat@gmail.com
Trong tam giác ABC với các cạnh BC = a, CA = b, và AB = c, gọi AM, BN, CP lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác Cần chứng minh rằng: \( \frac{a}{AM} = \frac{b}{BN} = \frac{c}{CP} \).
AB AC P N b c b c b c AM bAB cAC bcBC hay a b c AM abAB acAC
Tơng tự :b a b BN abBA B M C c a b CP caCA cbCB
Từ đó suy ra: a b c AM b c a BN c a b CP 0
Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm của tam giác Chứng minh rằng : tan AHA tan B.HB tan C.HC 0
Ta có : tan B AM ; tan C AM ;
MB MC suy ra tan C MB tan B MC
Tương tự : tan A NB tan B NA Dựng Bx song song với NC cắt AM tai
F Dựng By song song với MA cắt CN tai
BE MB tan C ; BE tan C HC
BF NB tan A ; BF tan A HA
BH BE BF tan C HC tan A HA tan B tan B suy ra: tan A.HA tan B.HB tan C.HC 0 download by : skknchat@gmail.com 19
Bài 8. Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự tiếp xúc với các cạnh
BC, CA , AB tại D, E, F Chứng minh rằng: aID bIE cIF 0
Gọi p là nửa chu vi tam giác ABC , ta có:
ID CD IB BD IC a ID ( p - c)IB ( p - b)IC (1)
Tơng tự :b IE ( p - c)IA ( p - a)IC (2) c IF ( p - b)IA ( p - a)IB (3)
Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta có a ID bIE cIF 2 p - b - c IA 2 p - a - b IB 2 p - a - c IC a IA bIB cIC 0
Với J là điểm bất kì trong tam giác ABC , hạ JM ; JN ; JP lần lượt vuông góc víi BC, CA, AB Ta cã : a IM b JN c JP 0
CM: Ta cã ID IA
Tương tự ta có: IE r JN ; IF r JP
Do đó: a ID b.IE c.IF 0 ar JMbr JN cr JP 0
JM JN JP a JM b JN c JP 0 (dfcm).
JM JN JP download by : skknchat@gmail.com 20
Bài 9. tiếp xúc với các cạnh BC, Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC theo thứ tự
CA , AB tại D, E, F Chứng minh rằng: a.AD b.BE c.CF 0
Theo bài 11 ta có : Lời giải. a ID ( p - c ) IB ( p - b )IC (1) A bIE ( p - c)IA ( p - a)IC (2) cIF ( p - b)IA ( p - a)IB (3) F E
Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được :
I aID bIE cIF aIA b IB c IC
B D C a ID IA b IE IB c IF IC 0 a AD bBE cCF 0 dfcm
Cho tam giác ABC và một điểm M bất kì trong tam giác Đặt S MBC = S a ,S MCA =
S b , S MAB = S c Chứng minh rằng: S a MA S b MB S c MC 0
Gọi A’ là giao điểm của đường thẳng MA với BC.
Ta có MA A'C MB A' B MC
Mặt khác : Thay vào (*) ta được:
-S a MA S b MB S c MC S a MA S b MB S c MC 0 dpcm
- Cho M trùng với trọng tâm ta được kết quả GA GB GC 0
- Cho M trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ta được kết quả bài 9
- Nếu tam giác ABC đều thì với mọi điểm M bất kì trong tam giác ta có xMA yMB zMC 0 Trong đó x, y, z là khoảng cách từ M đến BC , CA, AB
- Nếu M nằm ngoài tam giác ABC , chẳng hạn M thuộc góc BAC , chứng minh tương tự ta có kết quả S a MA S b MB - S c MC 0 download by : skknchat@gmail.com 21
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ m n 1 khi tồn t³i c²c số m, n sao cho
M thuộc đường thẳng BC khi và chỉ khi B, C, M thẳng hàng
BM / / BCk : BM k BC k : AM AB k AC AB k :AM 1 k AB kAC m n 1 m, n : (đặt m = 1 - k; n = k).
Cho ba véc tơ a ; b; c đôi một không cùng phơng v¯ thàa m±n điều kiện : ma nb pc 0 m 0 m ' a n ' b p ' c 0 m' 0
Từ gi° thiết m m' suy ra n, p, n ', p ' củng kh²c 0 vì chàng h³n n 0 thì ma pc 0 m p 0 do a v¯ c không cùng phơng , tr²i với gi° thiết. a n b p c
Theo định lí ta có n n' m m' m m' m' n' p '
Nhận xét các trường hợp đặc biệt: n n' a nb pc
2,NÕu a b c 0 a b c 0 download by : skknchat@gmail.com 22
Trong tam giác ABC, cho điểm M nằm bên trong tam giác H, I, K lần lượt là các hình chiếu của điểm M lên các cạnh BC, CA, và AB Cần chứng minh rằng điểm M chính là trọng tâm của tam giác ABC.
ABC khi v¯ chỉ khi a 2 MH b 2 MI c 2 MK 0.
Với mọi tam giác ABC và điểm M trong tam giác ta có
Do đó M là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi K
MH MI MK a 2 MH b 2 MI c 2 MK 0.
Trong tam giác ABC, nếu M là một điểm nằm bên trong và H, I, K lần lượt là hình chiếu của M trên các cạnh BC, CA, AB, thì có thể chứng minh rằng M chính là trọng tâm của tam giác ABC.
ABC khi v¯ chỉ khi 2 a 2 MA b 2 MB c 2 MC 0.
M l¯ trọng tâm tam gi²c ABC download by : skknchat@gmail.com 23
Cho tam giác ABC Chứng minh rằng điểm M nằm trong tam giác khi và chỉ khi tồn tại duy nhất bộ ba số (x, y, z ) x, y , z 0
Giả sử M nằm trong tam giác ABC, ta có
Giả sử có các số x’ , y’, z’ cũng thỏa mãn (*) A' C
Ta có x' MA y ' MB z ' MC 0
V ì MA , MB , MC đôi một không cùng phơng nên x y z x y zx x '; y y '; z z' y' y' z' x' y ' z'
Tính duy nhất được chứng minh.
Bây giờ giả sử tồn tại x, y ,z thoả mãn (*) ta phải chứng minh điểm M nằm trong tam giác ABC
Vì y 0; z 0 nên A' thuộc đo³n BC
Khi đó xMA yMB zMC x ( y z)MA' x (1 x)MA'
Vì x > 0; 1 – x >0 nên M thuộc đoạn AA’
Vậy M nằm trong tam giác ABC.
Bằng cách biểu diễn: MA OA- OM,
Kết hợp với nhận xét cuối ta rút ra kết luận quan trọng sau đây:
Cho tam giác ABC và điểm O Chứng minh rằng điểm
M tại duy nhất bộ ba số (x, y, z ) sao cho x y z 1
(*) trong mặt phẳng tồn sao cho download by : skknchat@gmail.com 24
Trong tam giác ABC, I là tâm đường tròn nội tiếp, và A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Cần chứng minh rằng điểm I nằm trong miền của tam giác ABC.
Ta đã biết : a IA b IB c IC 0 p a p c IA p c p a IB p a p b IC 0 p a IB IC p b IA IC p c IAIB 0
2 p a IA 2 p b IB 2 p c IC 0 b c a IA 1 a c b IB 1 b IC 1 0 (1) a c b c a 0
Vì a c b 0 nên I n´m trong tam gi²c A 1 B 1 C 1 a b c 0
Mặt kh²c ta có S IB C IA 1 IB S IB A IC 0
Câu 1: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Đẳng thức vectơ nào sau đây đúng?
Lời giải download by : skknchat@gmail.com 25
2 Mặtkhác AM và AG cùng hướng G
Câu 2: Cho tam giác ABC , gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm của tam giác ABC Câu nào sau đây đúng?
C AB AC 2AG D AB AC 3AM
Do M là trung điểm của
Câu 3: Nếu G là trọng tam giác
BC nên ta có: GB GC 2GM
ABC thì đẳng thức nào sau đây đúng.
Gọi M là trung điểm của BC nên ta có
MàAM 3AG AB AC 2 3 AG 3AG AG ABAC
2 2 3 download by : skknchat@gmail.com
26 download by : skknchat@gmail.com
Câu 4: Cho hai tam giác ABC và lần lượt có trọng tâm là G và G
A B C Đẳng thức nào sau đây là sai?
A 3GG' AA' BB' CC' B 3GG' AB' BC' CA'.
C 3GG' AC' BA' CB' Lời giải D 3GG' A'A B'B C'C
Do G và G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A B C nên
A AA' BB' CC' AG BG CGGA GB GC 0 3GG'.
B AB' BC' CA' AG BG CGGA GB GC 0 3GG'.
C AC' BA' CB' AG BG CGGA GB GC 0 3GG'.
Câu 5: Cho tam giác ABC , có trọng tâm G GọiA , B , C lần lượt là trung
1 1 1 điểm của BC, CA, AB Chọn khẳng định sai?
A GA GB GC 0 B AG BG CG 0.
Ta xét tính đúng sai của từng mệnh đề ta có:
GAGBGC 1 GA 1 GB 1GC 1 GA GB GC 0 A
AG BG CG GA GB GC 0 0 B đúng
AA BB CC 3 GA GB GC 3
GC 2GC 1 là biểu thức sai vì GC và GC 1 là hai vectơ ngược hướng. download by : skknchat@gmail.com 27
Câu 6: Cho G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A' B ' C ' Khi đó tổng AA' BB ' CC ' bằng:
(AG GG' G' A') (BG GG' G' B') (CG GG' G'C ') 3GG' (AG BG
Trong tứ giác ABCD, G được xác định là trọng tâm của tam giác ABD Điểm I nằm trên đoạn GC sao cho IC gấp ba lần IG Đối với mọi điểm M, ta luôn có mối quan hệ MA, MB, MC.
Do G là trọng tâm của tam giác ABD nên
IA IB ID 3IG IA IB ID IC IA IB IC ID 0
MA MB MC MD MI IA MI IB MI IC MI ID
4MI (IA IB IC ID) 4MI 0 4MI
Câu 8: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi H là trực tâm của tam giác Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A OH 4OG B OH 3OG C OH 2OG D 3OH OG
Gọi D là điểm đối xứng với A qua O
Ta có: HA HD 2 HO(1)
Vì HBDC là hình bình hành nên HD HB HC (2)
HA HB HC 2HO (HO OA) (HO OB) (HO OC) 2HO download by : skknchat@gmail.com 28
3HO (OA OB OC) 2HO OA OB OC HO 3OG OH
Câu 9: Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A AH 2AC 1AB B AH 1AC 1AB
C AH 2AC 1AB D AH 2AB 1AC
Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC và AC
Ta thấy AHCG là hình bình hành nên
AHAGAC AH2 AMAC AH2 1AB AC AC
Trong tam giác ABC với trọng tâm G, các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB Cần xác định khẳng định nào trong số các khẳng định đưa ra là đúng.
A AG 1AE 1AF B AG 1AE 1AF
C AG 3 AE 3AF D AG 2 AE 2AF
Ta có: AG 2 AD 2 1 AB AC 1 2AF 2AE 2 AE 2 AF
3 32 3 3 3 download by : skknchat@gmail.com 29
Bài toán 3: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song.
1 Phương pháp: Để chứng minh ba điểm A,B,C thẳng hàng ta chứng minh hai véc tơ AB và AC cùng phương, tức là tồn tại số thực k sao cho: AB kAC Để chứng minh đường thẳng AB đi qua điểm cố định ta đi chứng minh ba điểm A, B, H thẳng hàng với H là một điểm cố định. ai đường thẳng AB và MN song song khi AB kMN và điểm A không thuộc đường thẳng BC.
Cho a , b là hai vectơ không cùng phương khi đó:
Với mọi vectơ x luôn tồn tại duy nhất các số thực m, n sao cho x ma nb ma nb 0 m n 0
Nếu c ma nb, c ' m ' a n ' b, m '.n' 0 và c , c ' là hai vectơ cùng phương thì m n m ' n'
2 Các bài tập minh họa : Bài 1.
Cho ABC lấy các điểm I, J thoả mãn IA 2IB , 3 JA 2 JC 0 Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của ABC
3JA 2JC 0 3IA 2IC 5IJ.
Suy ra 2( IA IB IC ) 5IJ 6 IG 5IJ I, J, G thẳng hàng. download by : skknchat@gmail.com 30
Chotam giácABCvàhaiđiểmI,Jxácđịnhbởi: IA 3IC 0 , FA 2FB 3FC 0 Chứng minh rằng ba điểm I, F, B thẳng hàng.
Tõ gi° thiÕt : IA 3IC 0 ta cã IF FA 3 IF FC 0 FA 3 FC 4 FI.
Thay v¯o gi° thiết FA 2FB 3FC 0 ta đợc: 2 FB 4 FI 0 FB - 1
Nh vậy FB v¯ FI cùng phơng , suy ra ba điểm I, F, B thàng h¯ng.
Cho hình bình hành ABCD , I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc
AE 2 đoạn AC thỏa mãn Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng. Định hướng: Để chứng minh D, E, I thẳng hàng ta đi tìm số k sao cho
Để tìm giá trị k2, chúng ta sẽ phân tích các vectơ DE và DI thông qua hai vectơ không cùng phương là AB và AD Bằng cách áp dụng nhận xét rằng "ma nb = 0" với a và b là hai vectơ không cùng phương, chúng ta có thể xác định được k2 một cách chính xác.
Ta có DI DC CI DC 1 CB AB 1 AD (1)
Mặt khác theo giả thiết ta có AE 2 AC suy ra
DE DA AE DA 2AC AD
Từ (1) và (2) suy ra DE DI
3 Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.
3 3 3 download by : skknchat@gmail.com 31
Trong hình bình hành ABCD, điểm E là điểm đối xứng của D qua điểm A, điểm F là điểm đối xứng của tâm O qua điểm C, và K là trung điểm của đoạn OB Cần chứng minh rằng ba điểm E, K, F nằm trên một đường thẳng và K là trung điểm của đoạn EF.
Ta có: EF 5 AD 3 AB , EK 5 AD 3 AB
EF 2EK Vì vậy K là trung điểm EF
Cho tam giác ABC Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC sao cho AM 1
AC Gọi O là giao điểm của CM và BN Trên đường
3 4 thẳng BC lấy E Đặt BE xBC Tìm x để A, O, E thẳng hàng.
Vậy x 9 là giá trị cần tìm.
Cho ba điểm thẳng hàng A, B, C Chứng minh rằng bao giờ ta cũng có thể viết
SC 1- k SA kSB, k l¯ sè thùc, S l¯ ®iÓm bÊt k× download by : skknchat@gmail.com
32 download by : skknchat@gmail.com
Vì A, B, C, thàng h¯ng nên tồn t³i k sao cho
AC kAB AS SC k AS Bài 7.
Cho tam giác ABC và các điểm M
AC , P là điểm đối xứng
SB SC 1 - k SA kSB dfcm là trung điểm AB, N thuộc cạnh AC sao cho với B qua C Chứng minh rằng M, N, P thẳng hàng 3
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC suy ra
MN MA MB MC MN GA GB GC 3MG 3MG
Suy ra M, N , G thẳng hàng hay MN đi qua điểm cố định G. b) P là trung điểm AM MP 1
Gọi I là trung điểm BC, J là trung điểm AI suy ra 2 JA JB JC
0 Do đó MP 2MJ suy ra MP đi qua điểm cố định J.
; A.B ,C lần lượt là trọng tâm các tam giác
Cho hai tam giác ABC và A B C 1
BCA , CAB , ABC Gọi G,G 1 1 ,G 2 lần lượt là trọng tâm các tam giác 2 2
ABC, AB C , A B C Chứng minh rằng G,G ,G thẳng hàng và tính
Vì G,G là trọng tâm tam giác ABC, AB C suy ra 3GG GA GB GC
3GG GA GB GC AA BB CC
3GG AA BB CC,1 download by : skknchat@gmail.com
33 download by : skknchat@gmail.com
Tương tự G, G 2 là trọng tâm tam giác ABC , A 2 B 2 C 2 suy ra
3GG 1 GA 1 GB 1 GC 1 3GG 2 AA 2 BB 2 CC 2
Mặt khác AA BB CC 2 AA BB CC AA BB CC 2
Mà A B ,C lần lượt là trọng tâm các tam giác BCA , CAB , ABC
Suy ra 3AA BB CC 2 AB AC BC BA CA CB
AA AB AA AC BB BC BB BA CC CA CC CB
AA 1 BB 1 CC 1 AA 1 BB 1 CC 1
3.GG 3 AA BB CCGG AA BB CC, 2
Trong hình bình hành ABCD, điểm M nằm bên trong Đường thẳng đi qua M, song song với AB, cắt cạnh AD tại R và cắt cạnh BC tại S Đồng thời, đường thẳng qua M, song song với AD, cắt AB tại P và cắt DC tại Q.
MP.MS = MQ.MR Chứng minh rằng ba điểm A, M, C thẳng hàng.
Tõ MP.MS MQ.MR MP MR k
Theo bài ta có các tứ giác MRAP, MSCQ là các hình bình hành Áp dụng qui tắc hình bình hành ta có: kMC
MC MS MQ ; MA MP MR k MS MQ
Cho tam giác ABC ai điểm M, N được xác định bởi các hệ thức :
BC MA 0 , AB - NA- 3AC 0 Chứng minh MN và AC song song. download by : skknchat@gmail.com 34
Hay AB BC MA AN - 3AC 0 ; AC MN - 3AC 0 nên MN
2AC Do đó MN cùng phơng với AC
M¯ M không thuộc đờng thàng AC nên MN v¯ AC song song.
, BB ,CC của đường tròn (O) Chứng minh rằng
Cho ba dây cung song song AA
1 1 1 nằm trên một đường thẳng. trực tâm của ba tam giác ABC , BCA ,CAB
Gọi H , H , H lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC , BCA ,CAB
Ta có: OH 1 OA OB OC 1 , OH 2 OB OC OA 1 và OH 3
Suy ra H H OH OH OC OC OA OA CC AA
H 1 H 3 OH 3 OH 1 OC OC 1 OB 1 OB C 1 C BB 1
Vì các dây cung AA , BB ,CC song song với nhau
Nên ba vectơ AA 1 , BB 1 ,CC 1 có cùng phương
Do đó hai vectơ H 1 H 2 và H 1 H 3 cùng phương hay ba điểm H 1 , H 2 , H 3 thẳng hàng.
Cho tam giác ABC có trọng tâm G, M là một điểm tùy ý Gọi A , B ,C