Lời giới thiệu
Môn Toán trong trường phổ thông đóng vai trò quan trọng, là nền tảng cho việc học các môn học khác Học tốt Toán không chỉ giúp phát triển tư duy logic mà còn cung cấp những phương pháp làm việc hữu ích, từ đó hỗ trợ việc tiếp thu tri thức trong các lĩnh vực khác.
Môn Toán không chỉ cung cấp kiến thức và kỹ năng toán học cần thiết cho học sinh, mà còn góp phần phát triển nhân cách và rèn luyện những phẩm chất quan trọng như sự cẩn thận, tính chính xác, kỷ luật, khả năng phê phán, sự sáng tạo và óc thẩm mỹ.
Nhằm nâng cao tư duy toán học cho học sinh, tôi đã tập trung vào việc khai thác các bài toán khó từ một số đề thi thử THPTQG môn Toán Tôi hy vọng rằng bài viết này sẽ cung cấp cho các đồng nghiệp và học sinh lớp 12 một phương pháp hiệu quả để giải quyết những bài toán khó.
Tên sáng kiến
KHÓ TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THPTQG MÔN TOÁN
Tác giả sáng kiến
- Họ và tên: Nguyễn Thị Minh Huệ
- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Bình Xuyên.
- Số điện thoại: 0915727568 E_mail: minhhuec3bx@gmail.com
Lĩnh vực áp dụng sáng kiến
Tài liệu này được thiết kế dành cho học sinh giỏi lớp 12 hệ THPT và làm nguồn tham khảo cho các giáo viên trong việc ôn thi THPTQG môn Toán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng những bài toán trong tài liệu này làm cơ sở để phát triển và giải quyết các bài tập tương tự.
Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử
Mô tả bản chất của sáng kiến
- Về nội dung của sáng kiến được chia thành 5 phần
1, Một số bài tập hay về phần hàm số.
2, Một số bài tập hay về phần mũ và logarit.
3, Một số bài tập hay về phần tích phân.
4, Một số bài tập hay về phần hình học không gian.
5, Một số bài tập hay về phần phương pháp tọa độ trong không gian.
Sau đây, tác giả trình bày nội dung cụ thể của từng phần.
2 download by : skknchat@gmail.com
MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN HÀM SỐ
Bài tập 1: Có bao nhiêu số nguyên để hàm số nghịch biến trên ?
TH1: , do đó hàm số nghịch biến trên
Vậy thỏa mãn yêu cầu đề bài.
TH2: , ta có Để hàm số nghịch biến trên , điều kiện
Từ 2 trường hợp trên suy ra , và m là số nguyên nên
Vậy có 2017 giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài Chọn đáp án C.
Bài tập 2: Cho hàm số f x a x 3 bx 2 cx d với a,b,c,d ;a 0 và d 2018
Số cực trị của hàm số y f x 2018 bằng a b c d 2018 0
Ta có hàm số g x f x 2018 là hàm số bậc ba liên tục trên
Do a 0 nên lim g x ; lim g x. x x Để ý g 0 d 2018 0;g 1 a b c d 2018 0 nên phương trình g x 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt trên
Khi đó đồ thị hàm số g x f x 2018 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên hàm số y f x 2018 có đúng 5 cực trị.
Để tìm tất cả các giá trị thực của tham số m, cần xác định điều kiện để đường thẳng cắt đồ thị của hàm số tại hai điểm A và B phân biệt, đồng thời đạt giá trị nhỏ nhất Việc phân tích đồ thị và tính toán các giá trị của m sẽ giúp xác định các điểm cắt cần thiết.
(với là hệ số góc của tiếp tuyến tại A, B của đồ thị
3 download by : skknchat@gmail.com
Hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị là nghiệm PT
Ta có Đạt được khi
Một người muốn xây dựng một bể chứa nước hình hộp chữ nhật không nắp với thể tích nhất định, trong đó đáy bể có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây dựng bể là một khoản tiền cụ thể cho mỗi đơn vị Nếu người này xác định kích thước bể một cách hợp lý, chi phí thuê nhân công sẽ được tối ưu hóa, từ đó giảm thiểu chi phí xây dựng Vậy câu hỏi đặt ra là chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể chứa nước này là bao nhiêu?
A triệu đồng B triệu đồng C triệu đồng D triệu đồng.
Gọi là chiều rộng của đáy bể, khi đó chiều dài của đáy bể là và là chiều cao bể.
Bể có thể tích bằng
Diện tích cần xây là
Lập bảng biến thiên suy ra
Chi phí thuê nhân công thấp nhất khi diện tích xây dựng là nhỏ nhất và bằng
Vậy giá thuê nhân công thấp nhất là đồng.
4 download by : skknchat@gmail.com
Chú ý: Có thể sử dụng BĐT Cô si để tìm min, cụ thể khi
Bài tập 5: Cho hai hàm số , Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
Suy ra Do đó hàm số đồng biến trên
Bài tập 6: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đạt cực tiểu tại
5 download by : skknchat@gmail.com
Ta xét các trường hợp sau
Khi là điểm cực tiểu.
Khi không là điểm cực tiểu.
* Nếu Khi đó ta có
Số cực trị của hàm bằng số cực trị của hàm
Nếu là điểm cực tiểu thì Khi đó
Vậy có 4 giá trị nguyên của m.
Bài tập 7: Biết giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là 2018 Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?
Xét Do đó với thì
Bài 1 Cho hàm số có đạo hàm đến cấp hai trên Biết ; và bảng xét dấu của như sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm thuộc khoảng nào sau đây?
6 download by : skknchat@gmail.com
Bài 2 Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng
Bài 3 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
Bài 4 Giả sử đường thẳng là tiếp tuyến chung của đồ thị các hàm số và Tính
7 download by : skknchat@gmail.com
MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN MŨ VÀ LOGARIT
Bài tập 1: Biết x1 , x2 x1 x2 là hai nghiệm của phương trình log3 x 2 3x 2 2 5 x 2 3x 1 2 và x1 2x2
1 a b với a, b là hai số nguyên dương Tính a b 2
Lời giải: Điều kiện: x 1 2; Đặt t x 2 3x 2, t 0 x 2 3x 1 t 2 1 nên phương trình có dạng: log3 t 2 5 t 2 1 2 *
Xét hàm số f t log3 t 2 5 t 2 1 trên 0;
Hàm số đồng biến trên 0; và f 1 2
Bài tập 2: Biết rằng trong đó x 0 Tính giá trị của biểu thức P x 2 y 2 xy 1.
Ta có x x 2 x x 2 2 4 Lại có: x Đặt t y 1 0 Ta xét hàm số f tt 3 3t 14 trên 0;có kết quả max f t f 1 16
8 download by : skknchat@gmail.com Đặt t y 1 0 Ta xét hàm số f tt 3 3t 14 trên 0;có kết quả max f t f 1 16
Bài tập 3: Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải Chọn B. Điều kiện: dương và Đặt và Giả thiết trở thành (1)
Xét hàm số trên Ta có Do đó đồng biến trên
Vì vậy (1) tương đương với
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên
Bài tập 4: Cho , thỏa mãn Giá trị của bằng
Ta có , nên Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương ta được
9 download by : skknchat@gmail.com
Vì dấu “ ” đã xảy ra nên
Bài tập 5: Cho phương trình với là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên của để phương trình đã cho có nghiệm?
Lời giải Chọn B. Điều kiện
Do đó để phương trình có nghiệm thì
Các giá trị nguyên của là , có giá trị thỏa mãn.
Bài tập 6: Cho x, y là các số thực thỏa mãn Biết giá trị nhỏ nhất của biển thức là Giá trị là:
Từ giả thiết ta có
10 download by : skknchat@gmail.com Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương và ta được:
Bài 1: Số nghiệm của phương trình là:
Bài 2: Cho các số thực thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên để phương trình có nghiệm.
Bài 4: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình có nghiệm?
11 download by : skknchat@gmail.com
MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN TÍCH PHÂN
Bài tập 1: Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình dưới đây Đặt
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Theo hình vẽ (mỗi ô vuông có diện tích bằng 1) ta có
* Theo hình vẽ ta có
Bài tập 2: Cho hàm số thỏa mãn và với mọi
12 download by : skknchat@gmail.com
Bài 1: Cho hàm số thỏa mãn và
Bài 2: Cho là hàm số có đạo hàm liên tục trên có và Khi đó bằng
13 download by : skknchat@gmail.com
MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Trong bài tập này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hình chóp tứ giác có khả năng nội tiếp mặt cầu với bán kính xác định Mục tiêu là tính thể tích của khối chóp đạt thể tích lớn nhất.
Gọi , là trung điểm và là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều
Bài tập 2: Cho tứ diện và các điểm , , thuộc các cạnh , , sao cho
, , Tính tỉ số thể tích hai phần của khối tứ diện được phân chia bởi mặt phẳng
Trong mặt phẳng vẽ cắt tại
Trong mặt phẳng vẽ cắt tại
Theo định lý Mennelaus cho tam giác cát tuyến ta có
14 download by : skknchat@gmail.com
Theo định lý Mennelaus cho tam giác cát tuyến ta có
Bài tập 3 yêu cầu cho tam giác đều với cạnh và đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Từ điểm trên, ta có điểm và đặt , Trực tâm của các tam giác lần lượt được gọi là và Khi cắt nhau tại điểm , khối chóp sẽ có thể tích tối thiểu khi chiều dài ngắn nhất.
15 download by : skknchat@gmail.com
Xét tam giác có H là trực tâm, ta có
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Bài tập 4: Cho tứ diện có , , Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng
Xây dựng bài toán tổng quát
Từ giả thiết ta có: MNDC là hình thoi; các tam giác CAN, DAM là các tam giác cân, suy ra:
16 download by : skknchat@gmail.com
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, với tam giác vuông tại đỉnh và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi θ là góc tạo bởi đường thẳng h và mặt phẳng đáy, với h là chiều cao của hình chóp Mục tiêu là tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp.
Cho tứ diện với các điểm trên các cạnh sao cho thỏa mãn điều kiện nhất định Mặt phẳng được xác định sẽ chia khối tứ diện thành hai phần, mỗi phần có thể tích khác nhau Cần tính tỉ số giữa hai thể tích này để có được thông tin chính xác về sự phân chia.
17 download by : skknchat@gmail.com
MỘT SỐ BÀI TẬP HAY VỀ PHẦN PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến
môn Toán và nắm chắc kiến thức cơ bản lớp 12.
Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được
kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:
10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả: Đề tài của tôi được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải một số bài tập khó trong các đề thi.
10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tổ chức, cá nhân:
Vĩnh Phúc, ngày … tháng 01 năm 2019
22 download by : skknchat@gmail.com
