XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa: Gọi A, B hai biến cố phép thử Xác suất có điều kiện biến cố B với điều kiện biến cố A xảy ra, kí hiệu P(B/A) với P(A) > P  AB  P(B / A)  P(A) *Công thức cộng xác suất P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) *Công thức nhân xác suất P(AB)  P(A)P(B / A) P(ABC)  P(A)P(B / A)P(C / AB) Mở rộng cho tích n biến cố: P(A1A A n )  P(A1 )P(A / A1 ) P(A n / A1A A n 1 ) *Tính chất P(B / A)   P(B / A) A, B độc lập  P(B / A)  P(B)  P(AB)  P(A)P(B) * Công thức Bernoulli: Định nghĩa: Dãy phép thử Bernoulli dãy n phép thử thỏa mãn điều kiện sau đây: + Các phép thử dãy độc lập với Nghĩa là, kết phép thử sau khơng phụ thuộc vào phép thử trước đó; + Trong phép thử có hai biến cố A A xảy ra; + Xác suất để biến cố A xảy phép thử dãy P(A) = p với  p  nên P(A)   p  q Công thức: Xác suất để n phép thử, biến cố A xảy k lần với xác suất lần A xảy p Được ký hiệu Pn (k)  Ckn p k q n  k (k  0; n) gọi công thức Bernoulli Các ví dụ: 2.1 Ví dụ 1: Một bình đựng bi xanh bi trắng Lấy ngẫu nhiên lần viên bi (không bỏ vào lại), lần viên bi Tính xác suất để lần lấy viên bi xanh, lần lấy viên bi trắng Lời giải: Gọi A biến cố lấy bi xanh lần thứ P(A)  Gọi B biến cố lấy bi trắng lần thứ hai Gọi C biến cố lấy lần viên bi xanh, lần viên bi trắng Nếu A xảy bình cịn bi xanh, bi trắng Khi P(B / A)  Mà C  AB Do theo cơng thức nhân ta có: 3 P(C)  P(AB)  P(A)P(B / A)    10 2.2 Ví dụ 2: Trong kì thi Thí sinh phép thi lần Xác suất lần đầu vượt qua kì thi 0,9 Nếu trượt lần đầu xác suất vượt qua kì thi lần hai 0,7 Nếu trượt hai lần xác suất vượt qua kì thi lần thứ ba 0,3 Tính xác suất để thí sinh thi đậu DeThiMau.vn Lời giải Gọi Ai biến cố thí sinh thi đâu lần thứ i (i = 1;2;3) Gọi B biến cố để thí sinh thi đậu Ta có: B  A1  (A1A )  (A1 A A ) Suy ra: P(B)  P(A1 )  P(A1A )  P(A1 A A ) P(A1 )  0,9  Trong đó: P(A1A )  P(A1 ).P(A / A1 )  0,1.0,  P(A1 A A )  P(A1 ).P(A / A1 ).P(A / A1 A )  0,1.0,3.0,3 Vậy: P(B)  0,9  0,1.0,  0,1.0,3.0,3  0,979 2.3 Ví dụ 3: Trong hộp có 20 nắp khoen bia Tiger, có nắp ghi “Chúc mừng bạn trúng thưởng xe FORD” Bạn chọn lên rút thăm hai nắp khoen, tính xác suất để hai nắp trúng thưởng Lời giải : Gọi A biến cố nắp khoen đầu trúng thưởng B biến cố nắp khoen thứ hai trúng thưởng C biến cố nắp trúng thưởng Khi bạn rút thăm lần đầu hộp có 20 nắp có nắp trúng  P(A)  20 Khi biến cố A xảy cịn lại 19 nắp có nắp trúng thưởng Do đó: P  B / A   19 1    0, 0053 Từ ta có: P(C) = P(A) P(B/A) = 20 19 190 Vậy xác suất để hai nắp trúng thưởng 0,0053 2.4 Ví dụ 4: Phải gieo lần súc sắc để xác suất có lần xuất mặt lớn hay 0,9? Lời giải Giả sử số lần gieo n Gọi Aj biến cố gieo lần thứ j mặt (1  j  n) Gọi A biến cố có lần gieo mặt Theo yêu cầu toán: P(A)  0,9 Ta có: A  A1 A A n  P(A)  P(A1 ).P(A ) P(A n ) (vì A1 , A , , A độc lập nhau) 5 5        6 6  n n lần n 5 Do đó:    0,1  n  13 6 Vậy ta phải gieo 13 lần 2.5 Ví dụ 5: Có hai hộp: (I) (II) Hộp (I) có bi đỏ bi vàng Hộp (II) có bi đỏ bi vàng Chọn ngẫu nhiên hộp từ lấy ngẫu nhiên bi Tính xác suất để lấy bi đỏ DeThiMau.vn Lời giải: Gọi A biến cố chọn hộp (I) B biến cố chon hộp (II) H biến cố chọn bi đỏ hộp (I) hộp (II) Cần tính: P(C)  P((AH)  (BH)) Suy ra: P(C)  P(AH)  P(BH)  P(A).P(H / A)  P(B).P(H / B) 1  P(A)  ; P(B)  47  P(C)      Trong đó:  10 90 P(H / A)  ; P(H / B)   10 47 Vậy xác suất cần tìm 90 2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có bi trắng bi đỏ,lấy lần viên khơng trả lại,hãy tính: a)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ biết viên bi lấy lần thứ màu đỏ b)Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ biết viên bi lấy lần thứ màu trắng Lời giải a)Nếu viên bi lấy lần thứ màu đỏ hộp cịn lại viên:trong có bi trắng bi đỏ Vậy xác suất cần tính  b)Nếu biết viên bi lấy lần thứ màu trắng,thế hộp lại viên,gồm hai viên bi trắng bi đỏ Vậy xác suất cần tính Nhận xét:Trong toán nêu ta gọi A biến cố:viên bi lấy lần thứ màu đỏ,B biến cố:viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ xác suất câu a P(B / A) xác suất câu b P(B / A) 2.7 Ví dụ 7: Một bình đựng bi xanh bi đỏ khác màu sắc,lấy ngẫu nhiên bi,rồi lấy bi nữa.Tính xác suất biến cố “lấy lần thứ hai bi xanh” Lời giải Gọi A biến cố “lấy lần thứ bi xanh” B biến cố “lần thứ hai lấy bi xanh” Vì B xảy với A A ,nên C  (BA)  (BA) Cần tính: P(C)  P((BA)  (BA)) Áp dụng cơng thức xác suất có điều kiện, ta có: P( C)=P(A) P(B / A) +P( A ) P(B / A) 5 Do P(A)= ,P( A )= , P(B / A) = , P(B / A) = 8 7 5 Suy P(C)      8 DeThiMau.vn 2.8 Ví dụ 8: Một súc sắc cân đối, đồng chất gieo lần Gọi X số lần xuất mặt chấm Hãy tính xác suất để có hai lần xuất mặt chấm Lời giải: Áp dụng cơng thức Bernoulli, ta có: 1 5 P(X  2)  C4     6 6 1 P(X  3)  C34    6 6 1 P(X  4)    C44 6 1 5 1 1 19 Vậy xác suất cần tính là: C14      C34        C44  6 6 6 6 6 144 III.Bài tập đề nghị 1)Trong lơ sản phẩm có 95% sản phẩm đạt tiêu chuẩn có 60% sản phẩm loại một.ta lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lơ sản phẩm này.Tính xác suất để lấy sản phẩm loại 2) Một lô hàng gồm sản phẩm có sản phẩm giả Người ta lấy sản phẩm kiểm tra gặp phế phẩm dừng Tính xác suất dừng lại lần kiểm tra thứ 1;2;3;4 3) Có hai hộp bút: hộp I có bút đỏ 10 bút xanh; hộp II có bút đỏ bút xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp bút Tính xác suất để có bút xanh bút đỏ 4) Biết xác suất để học sinh thi đậu lần thi thứ nhất, thứ hai 0,9 0,6 Tính xác suất để học sinh thi đậu kì thi, biết học sinh phép thi tối đa lần 5) Trong thùng có 30 bi: 20 bi trắng 10 bi đen Lấy liên tiếp bi bi lấy hồn lại trước lấy bi bi trộn lại Hỏi xác suất để bi lấy có bi trắng 6) Xác suất xuất biến cố A 0,4 Hỏi xác suất để 10 phép thử biến cố xuất không lần 7) Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh cho bệnh nhân 0,8 Có người nói 10 người đến chữa bệnh có chắn người khỏi bệnh Điều có khơng? Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Nho-Phương Pháp Giải Các Dạng Tốn Đại Số GiảiTích11,NXBĐHSP,2007 [2] Tống Đình Quỳ-Giáo Trình Xác Suất Thống Kê,NXB Bách Khoa Hà Nội-Hà Nội [3] Trần Minh Quang-Đào Bảo Dũng- 206 Bài Tập Nâng Cao 171 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Đại Số Giải Tích 11,NXBĐHQG Hà Nội [4] Lê Khánh Luận-Lý thuyết xác suất thống kê,NXB Tổng Hợp TPHCM,2008 DeThiMau.vn ... lấy có bi trắng 6) Xác suất xuất biến cố A 0,4 Hỏi xác suất để 10 phép thử biến cố xuất không lần 7) Một bác sỹ có xác suất chữa khỏi bệnh cho bệnh nhân 0,8 Có người nói 10 người đến chữa bệnh có. .. I có bút đỏ 10 bút xanh; hộp II có bút đỏ bút xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp bút Tính xác suất để có bút xanh bút đỏ 4) Biết xác suất để học sinh thi đậu lần thi thứ nhất, thứ hai 0,9 0,6 Tính xác. .. 47 Vậy xác suất cần tìm 90 2.6 Ví dụ 6:Trong hộp có bi trắng bi đỏ,lấy lần viên khơng trả lại,hãy tính: a )Xác suất để viên bi lấy lần thứ hai màu đỏ biết viên bi lấy lần thứ màu đỏ b )Xác suất để