TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ
Tập hợp
1.1.1 Các khái niệm cơ bản
Trong ngôn ngữ hàng ngày, khái niệm tập hợp thường được sử dụng để chỉ những nhóm đối tượng cụ thể, như tập hợp sinh viên trong lớp học hay tập hợp câu hỏi trắc nghiệm môn Toán cao cấp 1 Thay vì định nghĩa chính xác, chúng ta mô tả tập hợp qua các dấu hiệu hoặc tính chất giúp nhận diện và phân biệt với các tập hợp khác Tập hợp được coi là một khái niệm nguyên thủy, tương tự như các khái niệm điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong hình học.
Các phần tử của một tập hợp được gọi là các đối tượng tạo nên tập hợp đó Thông thường, các tập hợp được ký hiệu bằng các chữ cái như A, B, C, trong khi các phần tử trong tập hợp thường được ký hiệu bằng các chữ cái nhỏ như a, b, c.
Nếu a là phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu: a A (đọc là: a thuộc A)
Nếu a không là phần tử của tập hợp A thì ta ký hiệu : a A (đọc là : a không thuộc A) Lực lượng của tập hợp:
Số phần tử của tập hợp người ta gọi là lực lượng của tập hợp
Một tập được gọi là hữu hạn nếu nó gồm một số nhất định các phần tử
Một tập hợp gồm vô hạn phần tử được gọi là tập hợp vô hạn
Tập hợp vô hạn đếm được là tập hợp tuy số phần tử vô hạn song có thể đánh số thứ tự các phần tử của nó
Tập hợp vô hạn không đếm được là tập có vô số phần tử và không có cách nào đánh số thứ tự các phần tử của nó
Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu:
Ví dụ 1.1 Tập A x R :x 2 3x 20 1,2 là tập hữu hạn
Tập các số tự nhiên N là tập vô hạn đếm được
Tập các số thực trong khoảng [0; 1] là một tập vô hạn không đếm được Theo định nghĩa, nếu mọi phần tử của tập hợp A đều thuộc tập hợp B, thì A được coi là tập con của B, ký hiệu A ⊆ B (A bao hàm trong B hoặc B chứa A).
Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu : nếu A B và B C thì A C Ví dụ
Quy ước tập rỗng là tập con của mọi tập hợp Định nghĩa 1.2 Nếu A là tập con của B và B là tập con của A thì ta nói A bằng B Ký hiệu
Cách cho một tập hợp:
Người ta thường cho một tập hợp bằng cách:
Liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp
Nêu các tính chất đặc trưng của các phần tử của tập hợp đó
1.1.2 Các phép toán trên tập hợp
Giả sử A, B, C là các tập con của một tập hợp E Có thể tạo ra một tập hợp mới trên E bằng cách sử dụng các phép toán, trong đó có phép hợp hai tập hợp.
Hợp của hai tập hợp A và B là một tập hợp (ký hiệu A B) gồm tất cả các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập đó x A
Mô tả phần tử của tập A B x: x B Định nghĩa 1.4 (giao hai tập hợp)
Giao của hai tập hợp A và B là một tập hợp (ký hiệu A B) gồm các phần tử thuộc đồng thời cả hai tập đó x A
Mô tả phần tử của tập A B x: x B
Nếu A B thì ta nói các tập hợp A, B không giao nhau hay rời nhau Định nghĩa 1.5 (hiệu hai tập hợp)
Hiệu của hai tập A và B là một tập hợp (ký hiệu A\B) gồm các phần tử thuộc A và không thuộc B x A
Mô tả phần tử của tập A \ B x: x B Đặc biệt, hiệu E\A được gọi là phần bù của A trong E, ký hiệu A Định nghĩa 1.6 (Tích đề các của hai tập hợp)
Tích đề các của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A x B, là tập hợp các phần tử có hai thành phần, trong đó thành phần đầu tiên thuộc tập A và thành phần thứ hai thuộc tập B.
Mô tả phần tử của tập A xB (a;b):a A;b B Đặc biệt, A 2 = A x A = {(a ; b) : a, b A}
Tương tự, ta có thể mở rộng cho tích đề các của n tập hợp
Các tính chất của phép toán trên tập hợp:
Giả sử A, B, C là các tập hợp con của tập E Các phép toán hợp, giao, bổ sung có các tính chất sau : t1 A A A A A
Ánh xạ
1.2.1 Khái niệm về ánh xạ
Trong toán học, ánh xạ là khái niệm dùng để xác định mối liên hệ giữa hai tập hợp A và B Cụ thể, một ánh xạ f từ A đến B, được ký hiệu là f: A → B, là quy tắc mà mỗi phần tử x của A tương ứng với một phần tử duy nhất trong B, được gọi là f(x) Ảnh của phần tử x trong tập hợp B là f(x).
Hai ánh xạ f và g từ tập A đến tập B được gọi là bằng nhau, ký hiệu f = g, nếu f(x) = g(x) với mọi x thuộc A Ví dụ, quy tắc f: R → R với f(x) = x³ + 1 là một ánh xạ Định nghĩa 1.8 nêu rõ rằng E và F là các tập con của A và B tương ứng.
Tập f(E) y B: y f(x),x E gọi là tập ảnh của E
Tập f 1 (F) x A : f(x) F gọi là tập tạo ảnh của F Khi tập F chỉ có duy nhất một phần tử y ta dùng ký hiệu f -1 (y)
Ánh xạ f: A → B được phân loại thành hai loại chính Đầu tiên, f được gọi là đơn ánh nếu với mọi x1, x2 thuộc A mà x1 khác x2 thì f(x1) khác f(x2) Thứ hai, f được gọi là toàn ánh nếu f(A) = B, tức là với mọi y thuộc B, luôn tồn tại ít nhất một x thuộc A sao cho f(x) = y.
A để f(x) = y Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu nó vừa đơn ánh lại vừa toàn ánh
1.2.2 Phép toán trên ánh xạ Định nghĩa 1.9 Giả sử A, B là các tập con của R Cho f, g: A B là các ánh xạ, khi đó các ánh xạ tổng, hiệu, tích, thương được ký hiệu tương ứng là f + g, f – g, f.g, f , đi từ A g đến
B được xác định như sau:
(f.g)(x) = f(x) g(x), với x A f (x) f(x) ,x A,g(x) 0 g g(x) Định nghĩa 1.10 Cho hai ánh xạ f : A B g B; : C Ánh xạ h: A C xác định bởi: h(x)
= g[f(x)], x A được gọi là ánh xạ hợp của f và g, ký hiệu h = gf Định nghĩa 1.11 Cho ánh xạ f: A B nếu tồn tại ánh xạ từ g: B A sao cho g(f(x)) =x, x
A và f(g(y))=y, y B thì ta nói f và g là hai ánh xạ ngược của nhau; ký hiệu: g = f -1 hoặc f = g -1
Khi ánh xạ hợp g◦f được xác định, điều này không đảm bảo rằng f◦g cũng sẽ được xác định Hơn nữa, ngay cả khi cả hai ánh xạ này đều xác định, thì g◦f và f◦g thường không tương đương Đối với ánh xạ f, nó có ánh xạ ngược chỉ khi f là một ánh xạ song ánh.
Ví dụ 1.4 Ánh xạ f : R R xác định bởi f(x) = a x (0 < a 1) là đơn ánh nhưng không toàn ánh nên không là song ánh
Ví dụ 1.5 Ánh xạ f : R R xác định bởi f(x) = x 3 là một song ánh Ví dụ
1.6 Ánh xạ f : R R xác định bởi f(x) = 2x + 1 Ánh xạ g : R R xác định bởi g(x) = x 2
Khi đó ánh xạ hợp gf xác định bởi (gf)(x) = [f(x)] 2 = (2x + 1) 2 = 4x 2 + 4x + 1.
Cấu trúc đại số
Cho một tập hợp E khác rỗng, ta có thể xác định một phép toán hai ngôi trên E, hay còn gọi là luật hợp thành, nếu với mỗi cặp phần tử (a, b) của E, tồn tại một phần tử c cũng thuộc E Phép toán này được ký hiệu bằng dấu *, và được viết dưới dạng c = a * b với a, b, c thuộc E Nếu phép toán là phép cộng, ta sử dụng dấu +, còn nếu là phép nhân, ta dùng dấu
Phép toán * có tính chất kết hợp nếu: (a *b)*c = a* (b *c), với mọi a, b, c
Phép toán * có tính chất giao hoán nếu: a * b = b * a, với mọi a, b
Phép toán * có phần tử trung hoà e nếu: a * e = e * a = a với mọi a
Phần tử a’ thuộc E được gọi là phần tử đối xứng của a nếu a * a’ = a’ * a = e
Trong toán học, phần tử đối xứng của a được ký hiệu là a -1 Đối với phép cộng, phần tử đối của a được gọi là –a, trong khi với phép nhân, phần tử nghịch đảo của a được ký hiệu là 1/a.
1.3.1 Cấu trúc nhóm Định nghĩa 1.12 Tập hợp E với phép toán * được gọi là có cấu trúc nhóm hay gọi tắt là nhóm nếu phép toán * thoả mãn các tính chất: kết hợp, luôn có phần tử trung hoà e và mọi phần tử của E luôn có phần tử đối xứng
Nếu phép toán * có tính giao hoán thì nhóm đó được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel
Ví dụ 1.7 Các tập hợp Z, Q, R cùng với phép toán + lập thành các nhóm giao hoán
Nhóm E có một số tính chất quan trọng: Thứ nhất, phần tử trung hòa e của nhóm là duy nhất Thứ hai, phần tử đối xứng a’ của phần tử a cũng là duy nhất Thứ ba, trong nhóm E, nếu a*x = a*y thì x phải bằng y, thể hiện quy tắc giản ước Cuối cùng, phương trình a*x = b trong nhóm E có nghiệm duy nhất là x = a’*b.
1.3.2 Cấu trúc vành Định nghĩa 1.13 Tập E khác rỗng, trên đó có trang bị hai phép toán, phép cộng (+) và phép nhân (.), ký hiệu (E, +, ) Bộ ba (E, +, ) được gọi là có cấu trúc vành hay gọi tắt là vành nếu thoả mãn các tính chất: t 1 (E, +) lập thành một nhóm giao hoán với phần tử trung hoà ký hiệu là 0 t 2 Phép toán nhân có tính chất kết hợp t 3 Phép nhân có tính phân phối hai phía đối với phép toán cộng nghĩa là: với mọi a, b, c E ta có: a.(b + c) = a.b + a.c (phân phối trái)
Nếu phép nhân có tính giao hoán thì vành E được gọi là vành giao hoán
Ngoài ra nếu phép nhân có phần tử trung hoà, ký hiệu là e thì vành E được gọi là vành có đơn vị
Ví dụ 1.8 Các vành (Z, +, ) (Q, +, ) (R, +, ) là các vành giao hoán có đơn vị là 1
1.3.3 Cấu trúc trường Định nghĩa 1.14 Tập E khác rỗng có trang bị hai phép toán: Phép cộng (+) và phép nhân
Bộ ba (E, +, ) được gọi là trường nếu thỏa mãn hai điều kiện: thứ nhất, (E, +, ) phải là một vành giao hoán có đơn vị 1; thứ hai, với mọi phần tử a thuộc E và a khác 0, tồn tại phần tử đối xứng a’ của phép nhân, sao cho a’.a = a.a’.
= 1 a’ được gọi là phần tử nghịch đảo của a, ký hiệu a -1 hay 1 a
Ví dụ 1.9 R và Q cùng với phép cộng (+) và phép nhân (.) thông thường là một trường
Trường E có một số tính chất quan trọng: Thứ nhất, nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0 Thứ hai, E \ {0} tạo thành một nhóm đối với phép nhân Cuối cùng, trên trường E, phương trình a.x = b (với a khác 0) luôn có nghiệm duy nhất.
Trường số thực
Tập các số thực R cùng với hai phép toán cộng và nhân thông thường có cấu trúc trường, người ta gọi là trường số thực R
Trên tập số thực, ta xét một tập con ký hiệu R + và xác định tập R - là những số đối của x theo phép toán (+) với x R sao cho:
Với mọi số thực a, b R ta có a +b, a.b R
Trường số thực R được coi là một trường có thứ tự, trong đó các số thực thuộc R+ được gọi là số thực dương, còn các số thực thuộc R- được gọi là số thực âm.
Trên tập hợp số thực R, chúng ta định nghĩa một quan hệ thứ tự ký hiệu là a < b, nghĩa là a bé hơn b, khi và chỉ khi b - a = b + (-a) thuộc R Quan hệ này có tính chất bắc cầu, tức là nếu a < b và b < c thì sẽ có a < c.
Chú ý 1.2 Nếu a < b thì người ta còn viết b > a (đọc là b lớn hơn a) Nếu a là số thực âm thì viết a < 0, còn a là số thực dương thì viết a > 0
Trường số thực có đặc tính quan trọng là với bất kỳ hai số thực a và b, với a > 0, luôn tồn tại một số tự nhiên n sao cho n.a > b Do đó, trường số thực R được gọi là trường sắp thứ tự Acsimet Ngoài ra, giá trị tuyệt đối của số thực cũng là một khái niệm cần lưu ý trong lĩnh vực này.
Giá trị tuyệt đối của một số thực x, ký hiệu là |x|, được định nghĩa như sau: |x| = x khi x ≥ 0 và |x| = -x khi x < 0 Giá trị tuyệt đối có một số tính chất quan trọng: (t1) |x| ≥ 0 với |x| = 0 khi và chỉ khi x = 0; (t2) |x| = |x|; (t3) |xy| = |x|.|y|; (t4) |x + y| ≤ |x| + |y|; (t5) |x - y| = |y - x|.
Tập số thực mở rộng: R R thoả mãn, với mọi số thực x ( x ): x + ( ) = ( ) + x = ; x + ( ) = ( ) + x = ( )
Trường số phức
Chúng ta biết rằng một số phương trình như x² + 1 = 0 không có nghiệm trong trường số thực Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng trường số thực R để tạo ra một trường mới, trong đó phương trình này có thể có nghiệm.
R như một trường con và mọi phương trình bậc hai luôn có nghiệm
Xét tập hợp C xác định bởi: C z (a;b); a R,b R , phần tử z thuộc C được gọi là số phức
Cho hai số phức z = (a; b) và z’ = (a’; b’) a a' z và z’ được gọi là bằng nhau, ký hiệu z = z’ b b'
Phép cộng hai số phức: z + z’ = (a + a’; b + b’)
Phép nhân hai số phức: z z’ = (a.a’ – b.b’; a.b’ + a’ b)
Các phép toán cộng và nhân đều có tính chất giao hoán và kết hợp Ngoài ra, phép nhân còn có tính chất phân phối đối với phép cộng Phần tử trung hòa của phép cộng là số 0.
Phép nhân trong số phức có phần tử trung tính là số phức (1; 0) Phần tử đối của số phức z được biểu diễn là –z = (-a; -b), trong khi phần tử nghịch đảo của z = (a; b) (với điều kiện a² + b² ≠ 0) là số phức 1/(a² + b²) Như vậy, tập hợp số phức z = a + bi tạo thành một cấu trúc trường và được gọi là trường số phức.
Chú ý 1.3 Có thể đồng nhất số phức (a; 0) với số thực a vì
Khi đó có thể coi trường số thực R là trường con của trường số phức C: R C Sau này ta sẽ viết a thay cho (a; 0)
1.5.2 Các phép toán trên trường số phức
1.5.2.1 Dạng chính tắc của số phức
Số phức z có thể được biểu diễn dưới dạng z = (a; b) = (a; 0) + (b; 0) Đơn vị ảo i được định nghĩa là i = (0; 1) với tính chất i² = -1 Dạng z = a + bi được gọi là dạng chính tắc của số phức, trong đó a là phần thực (ký hiệu Re(z)) và b là phần ảo (ký hiệu Im(z)) Trong thực tế, dạng đại số của số phức thường được sử dụng.
Các phép toán dưới dạng chính tắc đại số:
Cho hai số phức z = a + bi; z’ = a’ + b’i z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i z.z’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i
Số phức liên hợp của z là z a bi Môđun của số phức z là z a 2 b 2
Nghịch đảo của số phức z 0 là z 1 1 z
Phép chia số phức z’ cho số phức z 0 :
Căn bậc hai của một số phức
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của z nếu w 2 = z z 2 z z 2 z'.z z z' 1 z z'
2xy b Khái niệm căn bậc 3, 4, … , n tương tự Ví dụ
1.10 Tìm căn bậc 2 của số phức z = 3 – 4i Giải:
Gọi căn bậc 2 của z là w = x + yi
Vậy z = 3- 4i có 2 căn bậc 2 là 2- i và – 2 + i
Giải phương trình bậc hai trên trường số phức
Trên trường số phức mọi phương trình bậc hai luôn có nghiệm Thật vậy, xét phương trình bậc hai hệ số phức
2a 4a Đặt b 2 4ac Gọi là một căn bậc hai của số phức Khi đó phương trình này có b hai nghiệm z 1,2
Ví dụ 1.11 Giải phương trình sau : z 2 – (2 +i)z + 7i – 1 = 0
24i (4 3 )i 2 Nên có một căn bậc hai là 4- 3i
Do đó phương trình có 2 nghiệm: z 1 2 i 4 3i
1.5.2.2 Dạng lượng giác của số phức Định nghĩa 1.15 Cho số phức z = a + bi, z 0, số phức z có điểm biểu diễn M(a ; b) trên mặt phẳng toạ độ 0xy ; đặt r = 0M = z , gọi là góc giữa tia 0M và chiều dương của trục 0x, được gọi là argumen của số phức z, ký hiệu Arg(z) (góc này sai khác k.2 ;k Z )
Dạng lượng giác của số phức z được biểu diễn dưới dạng z = a + bi = r(cos θ + i sin θ), trong đó r là độ lớn và θ là góc Khi z = 0, ta có r = 0, còn nếu z khác 0 thì a = r.cos θ Từ đó, b = r.sin θ, cho thấy mối quan hệ 1-1 giữa số phức z và điểm trong mặt phẳng phức.
(r; ) trong toạ độ cực : r a 2 b ;tan 2 b a
Ví dụ 1.12 Đưa số phức z = - 1 - i về dạng lượng giác
Do vậy, z có dạng lượng giác là2 cos 5
Các phép toán của số phức dưới dạng lượng giác
Khi các số phức viết dưới dạng lượng giác thì các phép toán nhân, chia, luỹ thừa của các số phức tiến hành rất thuận lợi
Cho hai số phức z 1 r (cos 1 1 isin 1 );z 2 r (cos 2 2 isin 2 ) r 1 r 2 i) z 1 z 2 1 2 k2 ;k Z
2 ) isin( 1 2 ) ( z 2 0) iii) z 2 r 2 iiii) z 1 n r 1 n cos(n ) isin(n ) ;n N Đặc biệt (cos isin ) n cosn isin n , công thức này được gọi là công thức Moivre
Ví dụ 1.13 Tính giá trị biểu thức P 1 i
Giải: Đưa các số phức về dạng lượng giác
Nên 1 i 3 20 2 20 cos 20 isin 20 2 20 cos 2 isin 2 2 ( 1 19 i 3) và 3 3 3 3
Căn bậc n của số phức
Sử dụng dạng lượng giác của số phức, chúng ta có thể dễ dàng tìm căn bậc n của một số phức Giả sử số phức z được biểu diễn dưới dạng r(cos θ + i sin θ), việc tìm căn bậc n của z (với n là số nguyên dương) tương đương với việc tìm số phức w sao cho w^n = z.
Gọi w (cos isin ) w n n (cosn isin n ) Khi đó n n r w n z n rk.2 ;k Z nk.2 ;k Z
Thực tế, k chỉ cần nhận các giá trị 0, 1, , n -1 Như vậy, có n căn bậc n của số phức z là z k n r cos n k.2 isin n k.2
1.5.3 Giải phương trình Ở mục 1.5.2 ta đã chỉ ra rằng mọi phương trình bậc hai hệ số phức đều có nghiệm Hơn thế nữa, người ta đã chứng minh được kết quả sau: Định lý cơ bản của đại số: Phương trình bậc n với hệ số phức ( n N * ) anz n + an-1z n-1 +
+ a1z + ao = 0 (*) (a n 0) có đúng n nghiệm kể cả thực, phức và bội của nó
Chứng minh định lý này độc giả có thể tham khảo ở [17 ]
Ví dụ 1.14 Phương trình bậc 5: (x – 1) 3 (x 2 + 1) = 0 có đúng 5 nghiệm là x 1 bội 3 và x = i; x = - i
Đối với phương trình (*) có các hệ số thực, nếu z₀ là một nghiệm, thì z₀ cũng là nghiệm Do đó, nghiệm của phương trình này sẽ hoặc hoàn toàn là các số thực, hoặc nếu có nghiệm phức, thì sẽ tồn tại cặp nghiệm phức liên hợp.
Ví dụ 1.15 Giải phương trình z 3 + (2 - 2i)z 2 + (5 - 4i)z - 10i = 0, biết phương trình có nghiệm thuần ảo
Giải: Đặt z = iy, y R Phương trình được viết lại
0 y 2 y 2y 5y 10 0 Nên phương trình có 1 nghiệm là 2i Khi đó, ta viết được z 2i
Bài 1.1 Cho A, B, C là các tập con của E Chứng minh rằng, nếu A C A B và
Bài 1.2 Cho A, B là các tập con của E Chứng minh a) Nếu A Bthì B A b) Nếu A và B rời nhau thì mọi phần tử của E sẽ thuộc A hoặc thuộc B c) A B A B B A B E d) A B A B A A B B
Bài 1.3 Các ánh xạ f : A B sau đây là đơn ánh, toàn ánh, song ánh Xác định ánh xạ ngược nếu có: a) A = R, B = R, f(x) = x + 7 b) A = R, B = R, f(x) = x 2 + 2x – 3 c) A =[4 ; 9], B = [21 ; 96], f(x) = x 2 + 2x – 3 d) A = R, B = R, f(x) 3x 2 x e) A = R, B =(0 ; + ), f(x) = e x + 1 f) A = N, B = N, f(x) = x(x + 1)
Bài 1.4 a) Cho ánh xạ f :R R xác định bởi f(x) 2x
Hãy xác định xem ánh xạ f có phải là đơn ánh hay toàn ánh không, và tìm f(R) Đối với ánh xạ g: R * R; R * R \{0} được xác định bởi g(x) = 1, hãy xác định ánh xạ fg Bài 1.5 yêu cầu xác định ánh xạ f: E → F và A, B là các tập con của E.
2) Chứng minh rằng nếu f là đơn ánh thì f (A B) f (A) f (B)
Bài 1.6 Cho ánh xạ f :E F và A, B là các tập con của F Chứng minh rằng a) A B f 1 (A) f 1 (B) b) f 1 (A B) f 1 (A) f 1 (B)
Bài 1.7 Tìm số tập con của một tập hợp có n phần tử, kể cả tập rỗng
Bài 1.8 Thực hiện phép tính a) 1 itan
Bài 1.9 Tìm các căn bậc hai của số phức sau a) 3 - 4i b) -15 + 8i c) -3 - 4i d) – 8 + 6i
Bài 1.10 Giải các phương trình sau trên trường số phức a) z 4 + 6z 3 + 9z 2 + 100 = 0 b) z 4 + 2z 2 - 24z + 72 = 0 c) z z 1 2i d) z z 2 i e) z 2 (1i 3)z 1 i 3 0
Bài 1.11 Giải các phương trình trên trường số phức a) z 4 + z 3 + 6z 2 + 4z + 8 = 0, biết phương trình có 2 nghiệm thuần ảo b) z 4 – 2z 3 – z 2 – 2z + 1 = 0
Bài 1.14 Chứng minh rằng a) nếu z 1
2cos ;z Cthì z m 1 m 2cosm ;m N z z b) 1 i tan n 1 i tan n
Bài 1.15 Tìm a) các căn bậc 3 của i b) các căn bậc 4 của – i c) các căn bậc 6 của 1 i
Bài 1.16 Chứng minh rằng, với mọi số phức z, z’ ta có
MA TRẬN - ĐỊNH THỨC
Một số khái niệm cơ bản về ma trận
Cho m, n là các số nguyên dương; K là trường R hoặc C Định nghĩa 2.1 Một bảng số chữ nhật gồm m n phần tử được xếp thành m dòng và n cột: a 11 a 12 a 1n
a m1 a m2 a mn gọi là ma trận cấp m n Số aij là phần tử của ma trận A nằm ở giao điểm của hàng i và cột j (aij K)
Trong chương này, chúng ta tập trung vào việc nghiên cứu các ma trận thực, trong đó các phần tử aij là các số thực Để ký hiệu ma trận, thường sử dụng hai dấu ngoặc vuông hoặc hai dấu ngoặc tròn, và có thể viết gọn lại.
A = [aij]m×n hoặc A = (aij)m n hoặc Am n
Ví dụ 2.1 Cho A = 0 6 1 Đây là một ma trận cấp 2 3 có: a11 = 2, a12 = -3, a13 = 7 a21 = 0, a22 = 6, a23 = -1 Ma trận cột là ma trận chỉ có một cột
Ma trận dòng là ma trận chỉ có một dòng A1 n (m = 1)
Ma trận không là ma trận mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0 Ký hiệu ma trận không cấp m n là m n hoặc
0 là ma trận không cấp 2 3
Ma trận đối của ma trận A = (aij)m n là ma trận (-aij)m n, ký hiệu -A
A = 5 6 7 8 có ma trận đối là: -A = 5 6 7 8
Ma trận vuông là ma trận có số dòng bằng số cột
Ma trận A = (aij)m n được gọi là ma trận vuông cấp n khi số dòng m bằng số cột n Đường chéo chính của ma trận A, bao gồm các phần tử a11, a22, , ann, chạy từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải Trong khi đó, đường chéo phụ của A, với các phần tử an1, an-1 2, , a1n, đi từ góc dưới bên trái lên góc trên bên phải.
Ma trận tam giác trên là ma trận vuông có mọi phần tử nằm bên dưới đường chéo chính đều bằng 0: a 11 a 12 a 1n
Ma trận tam giác dưới là ma trận vuông có mọi phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 0: a 11 0 0
Ma trận đường chéo là ma trận vuông có mọi phần tử ở ngoài đường chéo chính đều bằng 0: a 11 0 0
Ma trận đơn vị, ký hiệu là E, là một ma trận đường chéo với tất cả các phần tử trên đường chéo chính đều bằng 1 Đối với ma trận đơn vị cấp n, nó được ký hiệu là E n.
Ma trận chuyển vị của ma trận A, ký hiệu là A^T, được tạo ra bằng cách chuyển đổi các dòng của ma trận A thành các cột tương ứng Cụ thể, phần tử a_ij của ma trận A sẽ trở thành phần tử a_ji trong ma trận A^T Việc này giúp thay đổi cấu trúc của ma trận mà không làm thay đổi giá trị của các phần tử bên trong.
Ma trận bậc thang dòng là loại ma trận trong đó phần tử khác không đầu tiên của dòng dưới luôn nằm bên phải phần tử khác không đầu tiên của dòng trên Ngược lại, ma trận bậc thang cột có phần tử khác không đầu tiên của cột bên phải nằm dưới dòng chứa phần tử khác không đầu tiên của cột bên trái.
Hai ma trận A, B được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử ở các vị trí tương ứng bằng nhau, ký hiệu A = B
Các phép toán cơ bản của ma trận
2.2.1 Phép cộng hai ma trận cùng cấp Định nghĩa 2.2 Cho hai ma trận cùng cấp A = [a ij ]m n và B = [b ij ]m n Tổng của A và B là một ma trận cùng cấp C = [c ij ]m n, ký hiệu C = A + B, trong đó: c ij = a ij + b ij (i = 1, m , j = 1, n )
Như vậy, muốn cộng hai ma trận cùng cấp, ta cộng các phần tử cùng vị trí với nhau
Từ tính chất của phép cộng hai số, ta có các tính chất sau cho các ma trận cùng cấp t1 Tính chất giao hoán: A + B = B + A t2 Tính kết hợp: (A + B) + C = A + (B
+ C) t3 A = [aij]m×n, m n: A + m n = A t4 A = [aij]m×n, ma trận đối của A là –A = [-aij]m×n thỏa mãn A + (-A) = m n Chú ý 2.1 Gọi Mat m n (K) là tập các ma trận cấp m n trên trường K Khi đó:
Mat m n (K), là một nhóm giao hoán
2.2.2 Phép nhân ma trận với một số thực Định nghĩa 2.3 Cho A = [a ij ]m n, k R
Tích kA là một ma trận C = kA cấp m nxác định bởi: c ij = k.a ij ( i = 1, m , j = 1, n )
Như vậy, muốn nhân một ma trận với một số, ta nhân tất cả các phần tử của ma trận với số đó
Với mọi A B, Mat mxn ( )R k h; , R , ta có tính chất: t1 k(hA) = (k h)A = h(kA) t2 k(A + B) = kA + kB t3
Trong trường hợp các ma trận cùng cấp, phép trừ hai ma trận được thực hiện thông qua việc cộng với ma trận đối, cụ thể là hiệu của ma trận A và B được định nghĩa là A – B = A + (-B) Đối với tích của hai ma trận, nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích thước n x p, thì tích của chúng được ký hiệu là C = AB, với các phần tử cij được xác định theo công thức cij = ∑(aik * bkj) cho i = 1 đến m và j = 1 đến p.
Quy tắc này có thể minh họa bằng hình sau:
Tích AB của hai ma trận A và B chỉ được xác định khi số cột của A bằng số dòng của B, với AB có số dòng bằng số dòng của A và số cột bằng số cột của B Để nhân BA, số cột của B phải bằng số hàng của A, do đó có thể tồn tại tích AB nhưng chưa chắc tồn tại tích BA Trong trường hợp đặc biệt, nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp, cả hai phép nhân AB và BA đều có thể thực hiện.
7 3 4 11 4 2 Khi đó tích C = A.B gồm các phần tử: Cho A = 1
Phép nhân hai ma trận không có tính chất giao hoán, điều này xuất phát từ việc trong định nghĩa ma trận tích, các ma trận A và B tham gia không bình đẳng.
Cho 3 ma trận A, B, C và k R Giả sử A, B, C thoả mãn các điều kiện để tồn tại tích các ma trận Khi đó, ta có các tính chất sau t1 Tính kết hợp: (AB)C = A(BC) t2 Tính phân phối đối với phép cộng: (A + B)C = AC + BC
A(B + C) = AB + AC t3 k(BC) = (kB)C = B(kC) a b 2 – (a + d)A + (ad – bc)E2
Ví dụ 2.8 Cho ma trận A = c d Tính A a b 2 a 2 bc b(a d) c d c(a d)d 2 bc a b a(a d) b(a d)
(ad – bc)E = (ad – bc) 0 1 = 0 ad - bc
Phép nhân hai ma trận là một luật hợp thành trong, xác định trên tập hợp các ma trận vuông cấp n Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên trường K, với các tính chất của phép cộng và phép nhân, tạo thành một vành có đơn vị (không giao hoán), được gọi là vành các ma trận vuông cấp n trên trường K.
Định thức
Để chuẩn bị cho việc nghiên cứu lý thuyết định thức, ta giới thiệu trước các khái niệm hoán vị và nghịch thế
Tập hợp n số tự nhiên đầu tiên là 1, 2, 3, , n có thể được sắp xếp theo nhiều cách khác nhau, không chỉ theo thứ tự tự nhiên từ nhỏ đến lớn Ví dụ, với các số 1, 2, 3, có tổng cộng 6 cách sắp xếp khác nhau.
123; 132; 213; 231; 312; 321 Định nghĩa 2.5 Mỗi cách sắp xếp các số 1,2, , n theo một thứ tự nào đó, gọi là một hoán vị của n số đó
Có thể chứng minh được tập n số tự nhiên đầu tiên có n! (n giai thừa) hoán vị khác nhau (n! = n.(n-1) 2.1)
Ví dụ 2.9 Với ba số 1, 2, 3 có thể lập đươc 3! = 3.2.1 = 6 hoán vị khác nhau:
Mỗi hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên được biểu diễn dưới dạng:
Trong một hoán vị gồm n số tự nhiên, mỗi số i (với i = 1, 2, , n) được xác định theo vị trí của nó Khi i < j, số i được coi là đứng trước số j, trong khi số j đứng sau số i.
Trong hoán vị của ba số tự nhiên đầu tiên, các số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần, như trong hoán vị 123 Tuy nhiên, trong các hoán vị khác, thứ tự này có thể bị thay đổi, ví dụ như hoán vị 132, nơi số 3 đứng trước số 2 Cặp số 3 và 2 trong trường hợp này được gọi là một nghịch thế Theo định nghĩa, trong hoán vị 1, 2, , n, nếu i < j nhưng i > j, thì hai số i và j tạo thành một nghịch thế Một hoán vị được xem là hoán vị chẵn nếu tổng số nghịch thế của nó là số chẵn, và được gọi là hoán vị lẻ nếu tổng số nghịch thế của nó là số lẻ.
Để đếm số nghịch thế trong một hoán vị 1, 2, , n, ta thực hiện theo các bước sau: đầu tiên, xác định số lượng số đứng trước số 1, giả sử có k1 số Tiếp theo, xóa số 1 và đếm số lượng số đứng trước số 2 (không tính số 1), gọi là k2 Tiếp tục xóa số 2 và đếm số lượng số đứng trước số 3 (không tính số 1 và 2), gọi là k3 Cuối cùng, tổng số nghịch thế trong hoán vị được tính bằng k1 + k2 + + kn.
Ví dụ 2.10 Số nghịch thế trong hoán vị 3421 được tính:
Trong hoán vị 3421, có tổng cộng 5 nghịch thế, được tính bằng cách cộng số lượng nghịch thế của từng cặp số: 3 + 2 + 0 + 0 Theo Định lý 2.1, việc đổi chỗ hai số bất kỳ trong một hoán vị sẽ làm thay đổi tính chẵn lẻ của hoán vị đó; cụ thể, hoán vị chẵn sẽ trở thành hoán vị lẻ và ngược lại.
Trong trường hợp 1, các số bị đổi chỗ đứng kề nhau, tức là hoán vị có dạng A B, với A là tập hợp các số đứng trước và B là tập hợp các số đứng sau Sau khi đổi chỗ, hoán vị vẫn giữ nguyên thứ tự của các phần tử trong nhóm A và B Số lượng nghịch thế giữa các nhóm A và B không thay đổi trước và sau phép đổi chỗ Tương tự, chúng ta chỉ cần xem xét sự thay đổi số nghịch thế giữa các phần tử trong A và B.
Nếu < thì cần đổi chỗ và tăng thêm một nghịch thế; ngược lại, nếu > thì cần đổi chỗ và giảm đi một nghịch thế Vì vậy, tính chẵn lẻ của tổng số nghịch thế trong cả hai trường hợp sẽ thay đổi, dẫn đến việc tính chẵn lẻ của hoán vị ban đầu cũng bị thay đổi.
Xét trường hợp 2, giữa và có m số, tức là hoán vị có dạng:
Chúng ta có thể thực hiện phép đổi chỗ bằng cách lần lượt thực hiện 2m+1 phép đổi chỗ các số kề nhau Cụ thể, ta sẽ đổi chỗ lần lượt với các số 1, 2, , m Sau khi thực hiện m lần đổi chỗ cho hai số đứng cạnh nhau, ta sẽ thu được một hoán vị mới.
A 1 2 m B Đổi chỗ lần lượt với , m , , 2 , 1 Sau m+1 lần đổi chỗ hai số đứng cạnh nhau như vậy, ta được hoán vị:
Sau mỗi lần biến đổi, tính chẵn lẻ của hoán vị sẽ thay đổi Cụ thể, sau 2m+1 lần biến đổi, hoán vị chẵn sẽ trở thành hoán vị lẻ và ngược lại, hoán vị lẻ sẽ trở thành hoán vị chẵn.
Nếu n = 2, trong số n! hoán vị của n số tự nhiên đầu tiên, số lượng hoán vị có số nghịch thế chẵn bằng số hoán vị có số nghịch thế lẻ, và cả hai đều bằng n!.
Gọi p là số hoán vị chẵn và q là số hoán vị lẻ Mỗi hoán vị chẵn có thể được chuyển đổi thành một hoán vị lẻ bằng cách đổi chỗ số đầu và số cuối, tạo ra p hoán vị lẻ khác nhau từ p hoán vị chẵn Tương tự, từ q hoán vị lẻ, ta cũng có thể tạo ra q hoán vị chẵn khác nhau Do đó, ta có p = q = n!.
Hệ quả 2.2 Nếu đổi chỗ các cột của ma trận 1 2
n , đưa ma trận về dạng
1 1 2 2 n n thì hai hoán vị 1 2 n và hoán vị 1 2 n có cùng tính chẵn lẻ
Mỗi phép đổi chỗ các cột của ma trận tương ứng với việc đổi chỗ hai số trong hai hoán vị ở dòng trên và dòng dưới Qua một số phép đổi chỗ, hoán vị 12 n có thể trở thành hoán vị 1 2 n, và ngược lại Do đó, hai hoán vị 1 2 n và 1 2 n có cùng tính chẵn lẻ.
2.3.2 Định thức của ma trận vuông Định nghĩa 2.7 Cho ma trận vuông cấp n: a 11 a 12 a 1n
A = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Định thức cấp n liên kết với ma trận A là một số, ký hiệu là det(A) hoặc |A| hoặc a 11 a 12
Trong đó: chỉ tổng lấy theo n! số hạng, mỗi số hạng là tích a 1 1 a 2 2 a n n tương ứng n! với n! hoán vị 1 2 n của 1, 2, …, n và N( 1 2 n) là tổng số nghịch thế của hoán vị
1 2 n; mỗi số hạng được gọi là một thành phần của định thức
Định thức của ma trận vuông A cấp n được tính bằng tổng đại số của n! thành phần, trong đó mỗi thành phần là tích của n phần tử của A lấy từ n dòng và n cột khác nhau Dấu của mỗi thành phần được xác định theo các hoán vị chỉ số cột, với dấu + cho hoán vị chẵn và dấu - cho hoán vị lẻ, trong khi chỉ số dòng được sắp xếp theo thứ tự tăng dần.
Giải: Định thức cấp 1 det([a11]) = a11 Định thức cấp 2 a 11 a 12 Định thức của ma trận A = a 21 a 22 có hai thành phần tương ứng với hai hoán vị của tập hợp {1,2}
Theo định nghĩa, ta có: a 11 a 12 det(A) = = a11a22 – a12a21 a 21 a 22
Như vậy, định thức cấp 2 bằng tích hai phần tử nằm trên đường chéo chính trừ đi tích hai phần tử nằm trên đường chéo phụ
3 4 Định thức cấp 3: Định thức của ma trận vuông cấp 3 a 11
A = a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 có 6 thành phần tương ứng với 6 hoán vị của tập hợp {1, 2, 3}
132 1 - a11a23a32 det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 Để nhớ quy tắc tính định thức cấp 3, người ta thường dùng “quy tắc Sarrus” sau:
Ngoài quy tắc Sarrus, chúng ta còn có một quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3 Quy tắc này bao gồm việc ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức, hoặc ghép thêm dòng thứ nhất và dòng thứ hai xuống bên dưới định thức Sau đó, ta nhân các phần tử trên các đường chéo theo quy tắc đã được thể hiện.
Dùng định nghĩa để tính định thức cấp lớn hơn 3 thường chỉ áp dụng với các bài toán có định thức dạng đặc biệt
Ví dụ 2.14 Tính hệ số của x 4 trong biểu thức x 2
Các thành phần chứa x 4 là: + (-1) N(1234) a11a22a33a44 = 2 x 4
Hệ số của x 4 trong f(x) bằng 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 b 1 b 2 b 3 b 4 b 5
Ví dụ 2.15 Tính định thức c 1 c 2 0 0 0 d 1 d 2 0
Định thức đã cho là tổng đại số của 5! thành phần, mỗi thành phần là tích của 5 phần tử lấy từ 5 dòng và 5 cột khác nhau Mỗi thành phần chứa thừa số 0, do đó tất cả các thành phần đều bằng 0 Kết luận, định thức đã cho bằng 0.
Ví dụ 2.16 Tính định thức của ma trận vuông cấp n trong đó tất cả các phần tử của dòng 1 đều bằng không?
Hạng của ma trận
Cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của ma trận A được gọi là hạng của ma trận A, ký hiệu là r(A), với k là một số nguyên thỏa mãn 1 ≤ k ≤ min{m,n}.
Quy ước: Hạng của ma trận không bằng 0
Ví dụ 2.32 Tính hạng ma trận A = 2 1 -2 -1
18 định thức con cấp 2 của A, đó là 2!1!
Ma trận A có tất cả 4 định thức con cấp 3 là:
Theo định nghĩa, ta có r(A) = 2
Ví dụ 2.33 Tính hạng các ma trận bậc thang:
0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 r(A) = 3; r(B) = 2; r(C) = 3 Chúng ta có nhận xét sau
Chú ý 2.6 Hạng của một ma trận bậc thang bằng số dòng khác không của nó
Cách tìm hạng của ma trận theo định nghĩa là rất phức tạp, vì vậy ta sẽ đưa ra một số cách tính hạng ma trận đơn giản hơn
2.4.2 Một số phương pháp tính hạng của ma trận
2.4.2.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận bao gồm những thao tác cơ bản như: i) Đổi chỗ hai dòng hoặc hai cột của ma trận với nhau Những phép biến đổi này là nền tảng trong việc xử lý và giải quyết các bài toán liên quan đến ma trận.
Nhân một dòng hoặc một cột với một số khác không iii) Cộng vào một dòng (hay một cột) tích một dòng (hay một cột) khác với một số
Dễ dàng nhận thấy các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận không làm thay đổi hạng của ma trận
Cách tính hạng của ma trận:
Để xác định hạng của một ma trận, ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, vì chúng không làm thay đổi hạng của ma trận Quá trình này giúp đưa ma trận về dạng ma trận bậc thang, và hạng của ma trận bậc thang chính là hạng của ma trận ban đầu cần tìm.
Ví dụ 2.34 Tính hạng của ma trận: A = 1 -3 -5 0 -7
Định lý 2.5 phát biểu rằng, với ma trận A = [aij]m n, nếu tồn tại một định thức con cấp r khác không và tất cả các định thức con cấp r+1 chứa nó đều bằng không, thì hạng của ma trận A sẽ bằng r.
Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử rằng M 12 12 r r 0, tức là: a 11 a 12 a 1r a 1n a 21 a 22 a 1r a 1n a 11 a 12 a 1r
Trong bài viết này, chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi định thức cấp r+1 đều bằng không, khi có một ma trận M với các thành phần là M 12 12 và các định thức con cấp r+1 chứa M đều bằng không Điều này áp dụng cho các chỉ số a, r1, r2, m1, m2, và các chỉ số khác liên quan trong ma trận Sự tồn tại của các thành phần này trong ma trận đảm bảo rằng mọi định thức cấp r+1 sẽ có giá trị bằng không.
Xét định thức i cấp r+1 nhận được từ định thức M 12 12 r r bằng cách bao quanh nó dòng thứ i và cột thứ h của ma trận A (1 i m, 1 h n): a 11 a 12 a 21 a 22 i a r1 a r 2 a i1 a i2 a 1r a 2r
Nếu 1 i r thì i = 0 vì có hai dòng giống nhau; nếu i>r thì i là định thức con cấp r+1 chứa
Khi M = 12 và r = 0, ta có thể khai triển định thức theo dòng cuối cùng, dẫn đến biểu thức ai1A1 + ai2A2 + + airAr + aihD = 0 Trong đó, Aj (với j = 1, 2, , r) là phần bù đại số của phần tử aih, và phần bù đại số của aih được biểu diễn bởi a11, a12, , a1r.
Đẳng thức (2.3) cho thấy rằng cột h (h=1,2, ,n) là tổ hợp tuyến tính của r cột đầu trong ma trận A Điều này có nghĩa là với mọi i = 1,2, ,m, cột h có thể được biểu diễn thông qua các cột đầu của ma trận.
C h = h C 1 + h C 2 + + r C r (2.4) với h , h , , r là r hệ số nào đó
Xét một định thức con M i i 1 2 j j 1 2
1 r 1 bất kỳ cấp r+1 của ma trận A Khi đó, theo (2.4), r+1 cột của A được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của r cột đầu tiên như sau:
Từ đó, áp dụng tính chất cộng tính, dễ dàng phân tích định thức M i i 1 2 j j 1 2
1 r 1 thành tổ hợp tuyến tính các định thức hoặc có hai cột giống hệt nhau, hoặc có một cột là tổ hợp tuyến tính của các cột khác nên M i i 1 2 j j 1 2
Nếu định thức con cấp r+1 trong ma trận A bằng 0, thì mọi định thức con cấp lớn hơn r+1 cũng sẽ bằng 0, dẫn đến việc hạng của ma trận A là r (r(A) = r) Định nghĩa hạng của ma trận A là r, mỗi định thức con cấp r khác 0 được gọi là định thức con cơ sở của A Do đó, r dòng (hoặc cột) chứa định thức con cơ sở được gọi là r dòng (hoặc cột) cơ sở.
Thuật toán tìm hạng của ma trận A bằng phương pháp định thức
Cho A = [aij]m n Nếu A = thì r(A) = 0 Nếu A thì thuật toán tìm hạng của ma trận A bằng phương pháp định thức như sau:
Bước 1: Cố định một phần tử khác không, xét các định thức cấp 2 chứa phần tử khác không đó
Bước 2: Nếu mọi định thức cấp 2 được xét đều bằng 0 thì r(A) = 1 Nếu tồn tại một định thức cấp 2 khác không (giả sử D2 * 0) thì xét các định thức cấp 3 chứa D2 *
Bước 3: Nếu mọi định thức cấp 3 được xét đều bằng 0 thì r(A) = 2 Nếu tồn tại một định thức cấp 3 khác không (giả sử D3 * 0) thì xét các định thức cấp 4 chứa D3 *
Quá trình này dừng lại sau hữu hạn bước, ta tính được hạng của ma trận A
Ví dụ 2.35 Tính hạng của ma trận sau bằng phương pháp định thức: A = 2 1 -2
Ta có D 12 12 = 1 2 = -4 ≠ 0 Ta xét các định thức cấp 3 chứa D 12 12 (có 2 định thức):
Như vậy, sử dụng phương pháp định thức thì số định thức cần tính ít hơn hẳn so với dùng định nghĩa
Nhận xét: Trong thực hành, khi tìm hạng của ma trận ta thường sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp hơn phương pháp định thức.
Ma trận nghịch đảo
Trong phần này, chúng ta sẽ khám phá điều kiện nghiệm của phương trình ma trận AX = XA = En, trong đó A và X là các ma trận vuông cấp n Bên cạnh đó, chúng ta cũng sẽ tìm hiểu cách tính nghiệm nếu phương trình này có nghiệm.
2.5.1 Khái niệm Định nghĩa 2.13 Cho A là ma trận vuông cấp n và E là ma trận đơn vị cấp n Nếu có ma trận X sao cho A.X = X.A = En thì ta nói ma trận A là khả nghịch và X được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A (hay A có ma trận nghịch đảo là X), và ký hiệu A -1 = X
Ví dụ 2.36 Ma trận A = 1 2 có ma trận nghịch đảo là
Từ định nghĩa, ta có chú ý sau:
Chú ý 2.7 Nếu X là nghịch đảo của A thì X cũng khả nghịch và X -1 = A
2.5.2 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo Định lý 2.6 Ma trận nghịch đảo A -1 của ma trận vuông A nếu tồn tại thì chỉ tồn tại duy nhất mà thôi
Giả sử X, Y đều là ma trận nghịch đảo của ma trận A, nghĩa là ta có:
2.5.3 Sự tồn tại của ma trận nghịch đảo
Để một ma trận vuông A có thể được coi là khả nghịch, điều kiện cần thiết là định thức của nó phải khác không Cụ thể, nếu ma trận A có nghịch đảo A -1, thì điều này đồng nghĩa với việc det(A) ≠ 0.
Chứng minh: Từ A.A -1 = E Áp dụng định lý 2.4 về định thức của tích hai ma trận, ta có: det(A.A -1 ) = det(I) det(A) det(A -1 ) = 1 det(A) 0, det(A -1 ) 0
Xem xét mệnh đề ngược lại của định lý 2.7, ta có định lý 2.8: Nếu A = [aij]n n và det(A) khác 0, thì ma trận A có nghịch đảo A -1, được tính theo công thức sau.
A 1n A 2n A nn trong đó Aij là phần phụ đại số của phần tử aij
Dựa vào quy tắc khai triển định thức, ta có: ak1Ai1 + ak2Ai2 + + aknAin = 0det( )A nÕukk ii nÕu và a1kA1j + a2kA2j + + ankAnj = det( )A nÕuk jj
A 12 A 22 A n2 gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A Ký hiệu A
Tích của A A và A A bằng: det( )A 0 0
2.5.4 Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
2.5.4.1 Phương pháp 1 (dựa vào ma trận phụ hợp)
Dựa vào định lý 2.7 và định lý 2.8, ta có các bước tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Nếu det(A) = 0 thì A không khả nghịch
Nếu det(A) ≠ 0 thì A có ma trận nghịch đảo
Bước 2: Tìm ma trận phụ hợp của A:
A nn trong đó Aij là phần bù đại số của a ij
Bước 3: Tính X = A Khi đó, ma trận X chính là ma trận nghịch đảo của ma trận
Ví dụ 2.37 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận
Bước 2: Ta lập ma trận phụ hợp A của ma trận A Ta có A11 = (-1)1+1 1 3 = -2;
2 0 2 Bước 3: Tính ma trận nghịch đảo
2.5.4.2 Phương pháp 2 ( Phương pháp khử GaussG-Jordan) a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n x 1 d 1
Để giải phương trình ma trận AX = D, với X là ẩn và det(A) khác 0, D là ma trận cấp n x 1, chúng ta có thể áp dụng phương pháp khử Gauss-Jordan Phương pháp này cho phép tìm đồng thời ma trận nghịch đảo A -1 và nghiệm X một cách hiệu quả.
Phương trình ma trận AX = D có thể viết lại dưới dạng hệ gồm n phương trình, n ẩn x1, x2, , xn như sau: a x 11
Để thực hiện các phép biến đổi tương đương trong hệ phương trình, chúng ta cần thực hiện các bước sau: i) Đổi chỗ các phương trình, ii) Nhân cả hai vế của một phương trình với một số khác không, iii) Cộng vào hai vế của một phương trình những vế của một phương trình khác sau khi đã nhân với một số bất kỳ Những phép biến đổi này giúp đưa hệ phương trình về dạng tương đương.
Khi đó, ma trận B là ma trận nghịch đảo của ma trận A và X = [c1, c2, , cn] t
Thật vậy: Hệ phương trình (2.5) và (2.6) có thể viết lại dưới dạng phương trình ma trận là
AX = D và X = BD, với D do det(A) 0 nên A -1 và:
AX = D A -1 (AX) = A -1 D X = A -1 D A -1 D = BD (A -1 -B) D = [0]n n, với D Từ đây suy ra A -1 -B = [0]n n hay A -1 = B
Phương pháp khử Gauss-Jordan để tìm A -1 và nghiệm X trong phương trình AX=D
Bước 1: Viết ma trận đơn vị E và ma trận D cùng cấp với ma trận A bên cạnh phía phải ma trận A được ma trận mới ký hiệu (A|E|D)
Với chú ý, các phép biến đổi tương đương cho hệ (2.5) cũng là các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận (A|E|D), nên ta có bước 2
Để tìm ma trận nghịch đảo của ma trận A, thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận mở rộng (A|E|D) nhằm đưa A về ma trận đơn vị E Đồng thời, khối ma trận E sẽ biến thành ma trận B, và khối D sẽ trở thành khối C Khi hoàn thành, ma trận B chính là ma trận nghịch đảo của A, và nghiệm X sẽ bằng C.
Chú ý 2.8 Có thể mở rộng cách tìm nghiệm của phương trình AX=D trên với D là ma trận cấp n p bất kì
Ví dụ 2.38 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau:
1 0 8 0 0 1Bước 2: Biến đổi sơ cấp
Bài 2.1 Áp dụng quy tắc Sarrus, tính định thức cấp 3
Bài 2.2 Chứng tỏ rằng a 1 bb 11 aa 21 bb 22 (a 1 a 2 )(b 2 b 1 ) a 2
Bài 2.3 a) Cho a = cos + i sin C Tính 1 a a 2 a 2 0
Bài 2.4 Tính định thức của A 2010 với A c d
Bài 2.5 Dùng tính chất định thức, tính b a d c c d a b d c b a
Bài 2.6 Dùng phương pháp khai triển, tính định thức
Bài 2.7 Biểu diễn định thức
Một đa thức theo lũy thừa của x có dạng \( a_{n1} x^{n1} + a_{n2} x^{n2} + \ldots + a_{nn} x^{nn} \) Nếu tất cả các phần tử trong một dòng (cột) của định thức đều bằng đơn vị, thì tổng các phần phụ đại số của tất cả các phần tử trong định thức sẽ bằng chính giá trị của định thức đó.
Bài 2.8 Chứng minh rằng tập hợp các ma trận vuông cấp n không suy biến trên trường K với phép nhân hai ma trận lập thành một nhóm
Bài 2.10 Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau
Bài 2.9 Thực hiện các phép nhân ma trận sau:
Bài 2.11 Chứng minh rằng, ma trận tam giác trên có các phần tử trên đường chéo chính khác không là ma trận không suy biến (có định thức khác không) và nghịch đảo của nó cũng là một ma trận tam giác trên
Ma trận tam giác dưới có các phần tử trên đường chéo chính khác không là một ma trận không suy biến Điều này có nghĩa là ma trận này có thể được đảo ngược, và ma trận nghịch đảo của nó cũng sẽ là một ma trận tam giác dưới.
Bài 2.12 Giải phương trình ma trận
Bài 2.13 Giải phương trình ma trận bằng khử Gauss-Jordan:
Bài 2.14 Tìm các dòng, các cột cơ sở và hạng của ma trận
Bài 2.15 Tìm hạng của các ma trận sau:
Bài 2.16 Cho A là ma trận cấp m n, B là ma trận cấp n p Chứng minh rằng: a Các dòng của ma trận tích AB là tổ hợp tuyến tính của các dòng ma trận B b Các cột của ma trận tích AB là tổ hợp tuyến tính của các cột ma trận A
Bài 2.17 Chứng minh rằng: a Nếu A và B là hai ma trận cùng cấp thì r(A+B) r(A) + r(B) b Nếu A là ma trận cấp m n, B là ma trận cấp n p thì r(AB) min{r(A), r(B)}
Bài 2.18 Tìm hạng của ma trận theo k k 1 1 1 a 1 k 11 b k1 1k 11k1 2 c 12 k1 k1 25
Bài 2.19 Ta gọi t là một phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Cho A là ma trận cấp m n và E là ma trận đơn vị cấp m, gọi At và Et là ma trận nhận được từ cùng phép biến đổi sơ cấp t cho A và E Chứng minh rằng: a Phép biến đổi sơ cấp t cho hàng của A là phép nhân ma trận Et.A = At b Nếu A là ma trận đưa về ma trận B bằng những phép biến đổi sơ cấp t1, t2, , ts trên hàng thì Q E E t 1 t 2 E t s khả nghịch và QA = B
Bài 2.20 Cho A là ma trận cấp m n và E là ma trận đơn vị cấp n, gọi At và Et là ma trận nhận được từ cùng phép biến đổi sơ cấp t cho A và E Chứng minh rằng: a Phép biến đổi sơ cấp t cho cột của A là phép nhân ma trận A Et = At b Nếu A là ma trận đưa về ma trận B bằng những phép biến đổi sơ cấp t1, t2, , ts trên hàng thì Q E E t 1 t 2 E t s khả nghịch và AQ = B.
KHÔNG GIAN VECTƠ
Khái niệm về không gian vectơ
3.1.1 Không gian vectơ tổng quát
Cho tập hợp V khác rỗng, K là trường số thực hoặc phức Định nghĩa 3.1 (phép cộng hai phần tử trong V , ký hiệu là +)
Với hai phần tử bất kỳ trong tập hợp V, ta có thể xác định một phần tử cụ thể, gọi là tổng của hai phần tử đó, được ký hiệu là V Định nghĩa 3.2 trình bày phép nhân giữa một phần tử của K và một phần tử của V, được ký hiệu là.
Đối với một phần tử bất kỳ k thuộc K và một phần tử bất kỳ V, ta định nghĩa tích của k với V là k.V Tập hợp V cùng với hai phép toán được xem là một cấu trúc nếu thỏa mãn tám tính chất sau: (1) Tính chất giao hoán: với mọi a, b thuộc V, a + b = b + a; (2) Tính chất kết hợp: với mọi a, b, c thuộc V, (a + b) + c = a + (b + c); (3) Tồn tại phần tử trung tính: tồn tại một phần tử e trong V sao cho a + e = a với mọi a thuộc V; (4) Tồn tại phần tử đối: với mỗi a thuộc V, tồn tại một phần tử b trong V sao cho a + b = e; (5) Tính chất phân phối: với mọi a, b thuộc K và c thuộc V, a.(b + c) = a.b + a.c.
Trong toán học, khi xét các phần tử k, l thuộc tập K và V, ta có các tính chất quan trọng của phép nhân Đầu tiên, tính chất kết hợp cho phép ta viết (k+l) = k.l.t Thứ hai, tính chất phân phối cho phép nhân một phần tử k trong K với tổng của hai phần tử trong V, tức là k.(x+y) = k.x + k.y Cuối cùng, tính chất bảo toàn cho thấy rằng nhân một phần tử đơn vị trong K với một phần tử trong V vẫn giữ nguyên giá trị của phần tử đó.
Không gian vectơ V trên trường K, ký hiệu (V, +, ), bao gồm các phần tử gọi là vectơ và các phần tử trong trường K được gọi là vô hướng Các tính chất liên quan đến phép cộng và phép nhân được định nghĩa qua các tiên đề, với t1 đến t4 là bốn tiên đề của phép cộng và t5 đến t8 là bốn tiên đề của phép nhân.
Trong không gian vectơ V, chúng ta chỉ cần ký hiệu V và hiểu rằng trong không gian này có hai phép toán được thực hiện, đáp ứng đủ tám tính chất đã được quy định.
Ví dụ 3.1 Chứng minh rằng tập hợp các ma trận vuông cấp 2x2 ký hiệu là:
Mat 2 2 (K) A a ij2 2 ;a ij K i, 1,2; j 1,2 với phép công hai ma trận cùng cấp và phép nhân một phần tử trong K với một ma trận thông thường tạo thành một không gian vectơ
Thật vậy, với hai ma trận vuông cấp 2x2:
A a ij2 2 Mat 2 2 (K);B b ij2 2 Mat 2 2 (K):A B a ij b ij 2 2 dễ thấy phép cộng 2 ma trận thỏa mãn 4 tiên đề của phép cộng
0 0 Phần tử 0 0 2 2 thỏa mãn tiên đề 3 của phép cộng a 11 a 12 A , aa 1121 aa 1222 : A A , 00 00
Phép nhân một số trong trường K với ma trận vuông cấp 2x2 được xác định bởi kA, trong đó A là ma trận 2x2 và k thuộc trường K Việc nhân ma trận 2x2 với một phần tử trong K tuân thủ đầy đủ 4 tiên đề của phép nhân, cho thấy tính nhất quán và hợp lệ của phép toán này.
Do đó Mat 2 2 (K) tạo thành một không gian vectơ và mỗi vectơ trong không gian này là một ma trận cấp 2x2 dạng A a ij K 2 2
Tổng quát, tập hợp các ma trận cấp mxn, ký hiệu là Mat m n (K) A a ij m n ; a ij
Hai phép toán quan trọng trong đại số ma trận bao gồm cộng hai ma trận cùng cấp mxn trong không gian Mat m n (K) và nhân một số trong K với ma trận cấp mxn Cả hai phép toán này đều tuân thủ tám tiên đề được định nghĩa trong lý thuyết.
3.3, do đó Mat m n (K) tạo thành một không gian vectơ và mỗi vectơ trong không gian này là một ma trận cấp mxn dạng A a ij K m n
Phần tử 0 m n thỏa mãn tiên đề 3 của phép cộng
Với mỗi ma trận A a ijm n Mat m n (K), A , a ij m n Mat m n (K): A A , 0 m n
Ví dụ 3.2 Cho K là trường số thực R, P n(x) là tập hợp các đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n n( N)của x với hệ số thực:
Chứng minh P n(x) với phép cộng hai đa thức và phép nhân một số thực với một đa thức thông thường tạo thành một không gian vectơ
Giải: Phép cộng 2 đa thức trong P n(x) được xác định như sau: p n ( )x ; q n ( )x P n(x): p x n ( ) a 0 a x 1 a x 2 2 a n 1 x n 1 a x n n ; a i R, i 0,1, ,n và q x n ( ) b 0 b x 1 b x 2 2 b n 1 x n 1 b x n n ;b i R, i1,n : p x n ( ) q x n ( ) (a 0 b 0 ) (a 1 b x 1 ) (a 2 b x 2 ) 2 (a n 1 b n 1 )x n 1 (a n b x n ) n ;dễ thấy p n ( )x q n ( )x P n(x) và phép cộng thỏa mãn 4 tiên đề trong định nghĩa 3.3
Phần tử 0 0x 0x 2 0x n 1 0x n 0 P n(x) thỏa mãn tiên đề 3 của phép cộng
Phép nhân số thực k với đa thức P_n(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + + a_n x^n được xác định bằng cách nhân từng hệ số của đa thức với k, tức là kP_n(x) = ka_0 + ka_1 x + ka_2 x^2 + + ka_n x^n Điều này cho thấy rằng phép nhân số thực với đa thức vẫn giữ nguyên tính chất của phép nhân và thỏa mãn bốn tiên đề cơ bản của phép nhân.
P n(x) tạo thành một không gian vectơ trên trường số thực; mỗi vectơ là một đa thức bậc nhỏ hơn hay bằng n có dạng: p n (x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n
Cho tập hợp tích đề các RxRx xR R n x (x x 1 , 2 ,x 3 ,,x n 1 ,x n ): x i R; i
1,n n Định nghĩa 3.4 (hai phần tử bằng nhau trong R n )
Cho hai phần tử x y, R n : x (x x x 1 , 2 , 3 ,,x n 1 ,x n ); y (y y 1 , 2 , y 3 ,, y n 1 , y n ) ta nói x y nếu: x i y i , i 1,n Định nghĩa 3.5 (phép cộng hai phần tử trong R n )
Cho hai phần tử x y R x x x x; n : ( 1, 2, 3,x x y n 1, n ); (y y y 1, 2, 3,y y n 1, n ) Tổng của x với y (ký hiệu là x+y) và được xác định: x y x y x y x y ( 11, 2 2, 3 3,,x n 1 y x y n 1 , n n )
Nhận xét 3.1 Dễ thấy x y R n và phép cộng được xác định như trên thỏa mãn 4 tiên đề: t 1 x y, R n : x y y x t 2 x y z,
, R n : x y z (x y) z t 3 (0 ,0, ,0,0) R n : x x, x R n n t 4 x (x x x 1 , 2 , 3 ,,x n 1 ,x n ) R n , x , ( x 1 , x 2 , x 3 ,, x n 1 , x n ) R n : x x , Định nghĩa 3.6 (phép nhân một số trong trường số thực R với một phần tử trong R n
Cho một phần tử k R và một phần tử x (x x 1 , 2 ,x 3 ,,x n 1 ,x n ) R n Tích của k với x (ký hiệu là kx) và được xác định: kx (kx kx 1 , 2 ,kx 3 ,,kx n 1 ,kx n )
Nhận xét 3.2 Dễ thấy kx R n và phép nhân được xác định như trên cũng thỏa mãn 4 tiên đề của phép nhân: t 5 k l, R; x R n : (k l x) kx lx t 6 k l, R; x R n : (kl x) k lx( ) l kx( ) t 7 k R; x y, R n : k x( y) kx ky t 8 x R n : 1.x x
Tập hợp R n cùng với hai phép toán đã xác định tạo thành không gian vectơ trên trường số thực, được ký hiệu là (R n , ,.) Không gian vectơ này, được gọi là không gian tuyến tính và ký hiệu là R n, trong đó mỗi số thực được xem như một vô hướng Mỗi vectơ trong R n được biểu diễn bởi một bộ n số thực sắp thứ tự, ký hiệu là x (x 1, x 2, x 3, , x n) với x i thuộc R và i từ 1 đến n.
Ví dụ 3.3 Trong không gian tuyến tính R 3 cho x=(2,4,3), y=(1,-5,4), z=(-3,-1,2)
Tính chất của không gian vectơ
Cho V là không gian vectơ trên trường K, các vectơ trong V có các tính chất sau:
Tính chất 3.1 Phần tử trong tiên đề 3 của phép cộng là duy nhất
Trong không gian vectơ V, tồn tại phần tử đã được khẳng định theo tiên đề 3 Giả sử trong V cũng có phần tử ' với các tính chất nhất định Để chứng minh cho phần tử này, ta xem xét các tính chất của ' và nhận thấy rằng nó thỏa mãn điều kiện cần thiết trong không gian vectơ.
, , mà , ' là hai phần tử trong V nên thỏa mãn tính chất giao hoán , ' do đó
Phần tử tồn tại duy nhất thỏa mãn tiên đề 3 của phép cộng được gọi là phần tử trung hòa của phép cộng
Tính chất 3.2 Với mỗi vectơ V tồn tại duy nhất vectơ , cũng thuộc V thỏa mãn:
Chứng minh: Trong không gian vectơ V, với mỗi vectơ V, sự tồn tại phần tử , đã được khảng định trong tiên đề 4 Giả sử ,, Vcũng có tính chất ,,
Ta sẽ chứng minh cho , ,,
Với mỗi V, phần tử , tồn tại duy nhất trong V thỏa mãn: , (tiên đề 4 của phép cộng) được gọi là phần tử đối của ký hiệu
Tính chất 3.3 Với hai vectơ bất kỳ , trong V luôn tồn tại duy nhất vectơ x V để x
Chứng minh: Trước tiên ta chỉ ra sự tồn tại của vectơ x; vì V V, đặt x ( )
V ta có: x ( ) ( ) Do đó tồn tại vectơ x để x Vectơ x là duy nhất vì giả sử x ' Vcũng thỏa mãn: x ' ta sẽ chứng minh cho x x ' Thật vậy từ x và x , x x ' ( ) x ( ) x ' x x ' x x '
Phần tử x duy nhất thỏa mãn x được gọi là hiệu của vectơ và , ký hiệu: x
Tính chất 3.4 Phép nhân một số trong trường K có tính chất phân phối với hiệu của hai vectơ
Chứng minh: Giả sử k K; , V, ta phải chứng minh cho k( ) k k Thật vậy: Xột k( ) k k[ ( ) ] k do đó k ( ) k ( k ) k ( k ) k( ) k k
Tính chất 3.5 Phép nhân hiệu hai phần tử trong K có tính chất phân phối với một vectơ trong
Chứng minh: k l, K; V ta chứng minh cho (k l) k l Thật vậy xét (k l) l
(k l l) k (k l) k l ta có điều phải chứng minh
Tính chất 3.6 Với mọi phần tử k K và với mọi vectơ V; nếu k thì cần và đủ là: k=0 hoặc
Chứng minh: Điều kiện cần: Với k K và V có k ta phải chứng minh cho k=0 hoặc
Thật vậy, giả sử k 0 th× 1
K, ta có 1 k 1 k k Điều kiện đủ: Nếu k=0 hoặc 0 ta phải chứng minh cho k Thật vậy nếu k=0 k 0 (l l) l l
Nếu ; k K k k k ( ) k k k ; V Ta có điều phải chứng minh
Tính chất 3.7 Vectơ đối của một vectơ bất kỳ trong V bằng chính vectơ đó nhân với -1
Chứng minh: Với là một vectơ bất kỳ trong V, ta xét:
( 1) 1( 1) 1 1 0 ( 1) ta có điều phải chứng minh.
Mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ trong không gian vectơ V
Cho V là không gian vectơ trên K; S là một bộ phận (hay còn gọi là một hệ) các vectơ của
V Ta hãy xét mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ trong bộ phận S Trong phạm vi giáo trình ta chỉ xét bộ phận S gồm hữu hạn vectơ
Giả sử V S X X 1, 2, , X m ; m là một số tự nhiên lớn hơn 1
3.3.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.8 Với các hệ số t i K và các vectơ X i S; ( i 1 ,m)biểu thức m t X i i i 1 gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ S; ti gọi là hệ số của tổ hợp tuyến tính trên
Ví dụ 3.4 Trong không gian vectơ R 4 cho các vectơ :
X1=(1,2,-1,5) ; X2=(-1,-2,3,-3) ; X3=(-2,-1,2,-2) a) Tìm tổ hợp tuyến tính: -3X1 + 2X2 +X3 b) Tìm vectơ Y thỏa mãn: 3X1 + X2 -4X3+2Y Giải: a) X = -3X1 + 2X2 +X3 = -3(1,2,-1,5) +2(-1,-2,3,-3) +(-2,-1,2,-2)
=(-3,-6,3,-15)+(-2,-4,6,-6)+(-2,1,2,-2)=(-7,-9,11,-23) b) 3X1 + X2 -4X3+2Y= =(0,0,0,0) (1) theo tính chất trong không gian vectơ có vec tơ không và mỗi vectơ có vectơ đối ta có:
Tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ S tạo thành một vectơ trong không gian vectơ V Khi vectơ X được biểu diễn dưới dạng X = t X_i, ta có thể nói rằng vectơ X được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của S, với t_i (i = 1, m) là các hệ số trong biểu diễn đó.
Ví dụ 3.5 Trong không gian vectơ R 3 cho vectơ X1=(1,2,-1) ; X2=(-1,-2,3), biểu diễn vectơ X=(1,2,1) qua X1, X2
Giải: Để biểu diễn vectơ X qua X1, X2 ta tìm t1, t2 thỏa mãn:
Hệ vectơ S được gọi là độc lập tuyến tính (đltt) nếu điều kiện t X i i (1) chỉ xảy ra khi tất cả các hệ số t i đều bằng 0 (i = 1, m) Ngược lại, hệ vectơ S được gọi là phụ thuộc tuyến tính (pttt) nếu có ít nhất một hệ số t i khác 0 (1 ≤ i ≤ m) khi điều kiện (1) xảy ra.
Sự độc lập tuyến tính (đltt) và phụ thuộc tuyến tính (pttt) là hai khái niệm trái ngược nhau trong toán học Nếu một hệ vector là độc lập tuyến tính, thì đồng nghĩa với việc nó không phụ thuộc tuyến tính và ngược lại Do đó, để nghiên cứu hai tính chất này, chỉ cần khảo sát một trong hai tính chất là đủ.
Ví dụ 3.6 Trong không gian vectơ R 3 hãy xét sự đltt của ba vectơ sau :
Giải: Với t 1 X 1 +t 2 X 2 +t 3 X 3 , xét hệ thức: t 1 X 1 +t 2 X 2 +t 3 X 3 0,0, 0 t 1 2t 2 t 3 0 t 2 2t 1 t 1 t 2 t 3 0 5t 1 t 3 0 t 1 t 2 t 3 0
2t 1 t 2 0 t 1 t 3 0 do đó hệ vectơ trên đltt
Ví dụ 3.7 Trong không gian Mat 3x2 (K) (các ma trận cấp 3x2) cho các ma trận:
3 1 2 1 4 3 hãy xét tính độc lập của S={A , B, C}
Giải: Với t i K i( 1,3) xét hệ thức: t1A + t2 B + t3C = (0) 3x2 t 1 2t 1 t 2 t 1 t 1 t 2
3t 1 2t 2 4t 3 0 t 1 t 2 3t 3 0 do đó S là hệ pttt
Tính chất 3.8 Hệ vectơ S là đltt X i ; i 1,m
Chúng ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng Giả sử tồn tại X_j (1 ≤ j ≤ m) và xét tổ hợp m tuyến tính tX_i với các hệ số t_i được xác định như sau: t_j = 1 và t_i = 0 (với i ≠ j) Khi đó, tổ hợp này sẽ tạo ra hệ phương trình tuyến tính mâu thuẫn với giả thiết ban đầu, từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Hệ quả 3.1 Nếu một hệ vectơ có chứa vectơ (vectơ trung hòa của phép cộng) thì hệ luôn pttt
Tính chất 3.9 Hệ vectơ S là đltt thì mọi bộ phận con của S cũng đltt
Để chứng minh, ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử trong tập hợp S tồn tại một bộ phận con S1 là một hệ phương trình tuyến tính không giảm tính chất tổng quát Ta giả định S1 gồm k vectơ đầu tiên của hệ S, với 1 ≤ k ≤ m Do S1 là một hệ phương trình tuyến tính, ta có k ≤ m Tuy nhiên, nếu tồn tại các số t_j (1 ≤ j ≤ k) sao cho t * X_i = 0 với X_s = S, điều này dẫn đến mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Từ đó, ta suy ra được điều cần chứng minh.
Hệ quả 3.2 Mọi hệ vectơ chứa một bộ phận con pttt thì cũng pttt
Hệ vectơ S, với số vectơ lớn hơn 1, có tính chất rằng tồn tại ít nhất một vectơ trong hệ có thể được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ còn lại Điều này là điều kiện cần và đủ để khẳng định rằng hệ vectơ này có mối liên hệ tuyến tính giữa các thành phần của nó.
Chứng minh: Hệ S (có số vectơ lớn hơn 1) pttt t i K; t i 2 0: t X i i (1); giả sử i 1 i 1
1 t 0 khi đó: (1) t X m t X t j X m t i X m X ( t i K; i1 ,m i, j) j j j i i j i i i i j i 1 j i 1 t j j i 1 t j ta có đpcm
Hệ quả 3.3 Hệ vectơ S đltt khi và chỉ khi không có một vectơ nào của hệ được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ đó
Các hệ quả của tính chất 1, tính chất 2 và tính chất 3 có thể được chứng minh một cách dễ dàng, thông qua các phương pháp trực tiếp hoặc bằng cách suy ra từ sự tương đương giữa mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo.
Hạng của hệ vectơ – số chiều của không gian vectơ
Hạng của hệ vectơ và số chiều của không gian vectơ là những khái niệm cơ bản phản ánh mối quan hệ tuyến tính giữa các vectơ Những khái niệm này có vai trò quan trọng trong toán cao cấp 1 Bài viết này sẽ trình bày nội dung liên quan trong không gian vectơ tổng quát V.
3.4.1 Hạng của hệ vectơ – số chiều của không gian vectơ V
Cho hệ vectơ S = {X₁, X₂, , Xₘ} trong không gian V (với 1 ≤ m ≤ N) Một tập con U của S, được gọi là hệ độc lập tuyến tính tối đại (đltttđ) của S, nếu U là một hệ vectơ độc lập tuyến tính và mọi vectơ trong S có thể được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ trong U.
Để chứng minh rằng U là bộ phận con tuyến tính của hệ vectơ S, ta cần chỉ ra rằng mọi vectơ thuộc tập (S U\) có thể được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U hoặc X (S U\) Nếu điều này được xác nhận, thì (U X) sẽ trở thành hệ các vectơ phụ thuộc tuyến tính, từ đó khẳng định U là bộ phận con tuyến tính của S.
Mỗi vectơ trong không gian U có thể được biểu diễn tuyến tính thông qua các vectơ của không gian U Đối với hệ vectơ S V (với S không rỗng), từ định nghĩa 3.10, chúng ta có thể rút ra các kết luận quan trọng trong hai trường hợp đặc biệt sau đây.
Trường hợp 1: S có duy nhất vectơ không thì S không có bộ phận con đltttđ nào
Trường hợp 2: S là một hệ vectơ đltt thì S có duy nhất một bộ phận con đltttđ là chính S
Ví dụ 3.8 Ví dụ 3.8 Tìm bộ phận đltttđ của hệ :
Giải: S là hệ đltt vì: t X 1 1 t X 2 2 t X 3 3 (0,0,0)
Do đó S có duy nhất bộ phận con đltttđ là chính nó
Ví dụ 3.9 Ví dụ 3.9 Tìm bộ phận con đltttđ của hệ :
3t 1 t 2 t 3 0 t 1 1,t 2 2,t 3 1:X 1 2X 2 X 3 2t 1 2t 2 2t 3 0 do đó S là hệ pttt
Ta xét bộ phận U 1 X 1 , X 2 S , hệ thức t X 1 1 t X 2 2 (0,0,0)
2t 2 0 t 3 0 nên U1 đltt, do đó nó là một bộ phận con đltttđ của S
Hệ vectơ S bao gồm ba bộ phận con độc lập tuyến tính, cụ thể là U2 = {X2, X3} và U3 = {X1, X3} Mỗi bộ phận con này đều có hai vectơ, cho thấy tính độc lập tuyến tính trong hệ thống.
Trong không gian vectơ V, một hệ hữu hạn vectơ S có thể không có bộ phận con độc lập tuyến tính (đlttđ), có duy nhất một bộ phận đltt hoặc có nhiều bộ phận đltt Câu hỏi đặt ra là liệu S luôn có bộ phận con đltt hay không và nếu có nhiều bộ phận đltt thì số lượng vectơ trong mỗi bộ phận đó có bằng nhau hay không Để giải đáp, Định lý 3.1 khẳng định rằng cho S là hệ gồm hữu hạn vectơ của không gian vectơ V, thì S luôn có ít nhất một bộ phận con đltt.
Trước tiên, chúng ta xem xét các bộ phận của tập hợp S, trong đó có ít nhất một bộ phận chứa một vectơ, được ký hiệu là S1 Điều này là do S phải chứa ít nhất một vectơ khác vectơ không Tiếp theo, chúng ta phân tích các bộ phận gồm hai vectơ của S, dẫn đến hai trường hợp khác nhau.
Trong trường hợp đầu tiên, nếu tất cả các bộ phận gồm hai vectơ trong tập hợp S đều phụ thuộc tuyến tính, thì S1 sẽ trở thành một bộ phận con độc lập tuyến tính của V Điều này xảy ra vì S1 đã độc lập tuyến tính, và khi thêm vào S1 một vectơ bất kỳ từ hệ S, hệ sẽ tạo thành hai vectơ phụ thuộc tuyến tính.
Trường hợp thứ hai : Tồn tại một bộ phận đltt gồm 2 vectơ trong S, ta ký hiệu bộ phận đó là
Tiếp theo, ta xét các bộ phận gồm 3 vectơ của S, cũng xảy ra hai trường hợp như ở trên :
Trong trường hợp đầu tiên, tất cả các bộ phận trong tập hợp S bao gồm ba vectơ đều là tuyến tính độc lập Khi đó, S2 trở thành một bộ phận con có tính chất tuyến tính độc lập của S Nếu bổ sung một vectơ bất kỳ từ hệ S vào S2, ta sẽ thu được một hệ ba vectơ có tính chất tuyến tính độc lập.
Trường hợp thứ hai : Tồn tại một bộ phận đltt gồm 3 vectơ trong S, ta ký hiệu bộ phận đó là
Chúng ta tiếp tục xem xét các bộ phận gồm 4, 5, vectơ của hệ S Quá trình này sẽ dừng lại sau một số bước hữu hạn (tối đa là m bước) Ở bước thứ k, chúng ta cần kiểm tra tính độc lập tuyến tính của C m k bộ phận con gồm k trong m vectơ của hệ S, với 1 ≤ k ≤ m Kết thúc quá trình, chúng ta sẽ nhận được ít nhất một bộ phận con độc lập tuyến tính của V, từ đó chứng minh được định lý Định lý 3.2 (Định lý thay thế Steinitz) đã được xác nhận.
Trong không gian vectơ V, nếu hai hệ vectơ U = {u₁, u₂, , uₘ} và S = {s₁, s₂, , sₙ} tồn tại, với U là hệ vectơ độc lập tuyến tính và mỗi vectơ trong U có thể được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ trong S, thì số lượng vectơ trong U (m) không thể lớn hơn số lượng vectơ trong S (n).
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh tồn tại một hệ vectơ S m nhận U làm hệ con và mọi vectơ của
U được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của S m
Thật vậy, theo giả thiết mỗi vectơ của U đều được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ
S Giả sử u 1 t s 1 1 t s 2 2 t n 1 s n 1 t s n n (1) vì U là hệ đltt nên u 1 0 t j
0, không làm giảm tính chất tổng quát giả sử t 1 0, từ (1) ta có: s 1 1 u 1 t 2 s 2 t n 1 s n 1 t n s n (2) t 1 t 1 t 1 t 1
Trong hệ vectơ S, khi thay vectơ s1 bằng vectơ u1, ta nhận được hệ vectơ S1 u s1, s2, ,sn Từ đó, các vectơ của S có thể được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của S1, và tương tự, các vectơ của hệ U cũng được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của S1 Giả sử có mối quan hệ giữa các vectơ như sau: u21, u2, s2, ,sn Vì U là hệ độc lập tuyến tính, ta có thể giả định rằng j không bằng 0, j2,n mà không làm giảm tính tổng quát Nếu không, ta chỉ cần đánh số lại các vectơ Từ đó, ta có thể viết lại mối quan hệ như sau: s2 = u1 + u2 + + sn.
Trong hệ vectơ S 1, khi thay vectơ s 2 bằng vectơ u 2, ta nhận được hệ vectơ S 2 u u s 1, 2, 3, , s n Theo các biểu thức (2) và (4), các vectơ của S có thể được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của S 2, từ đó dẫn đến việc các vectơ của hệ U cũng được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của S 2.
Tiếp tục quá trình trên, sau m lần ta nhận được hệ S m u u u 1 , 2 , 3 , ,u m ,s m 1 , ,s n
Nếu n m, thì mọi vectơ trong hệ U đều có thể biểu diễn tuyến tính qua các phần tử S n u u 1, 2, , u n, điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng U là hệ phương trình tuyến tính Do đó, ta có thể kết luận rằng giả thiết ban đầu là sai.
Hệ quả 3.4 Bộ phận S ; S gồm hữu hạn vectơ trong không gian vectơ V thì mọi hệ con đltttđ của S đều có số vectơ bằng nhau
Chứng minh: Theo giả thiết, sự tồn tại bộ phận con đltttđ của hệ S đã được chứng minh trong định lý 3.1
Giả sử A = {a₁, a₂, , aₘ} gồm m vectơ và B = {b₁, b₂, , bₙ} gồm n vectơ của hệ S Khi đó, A và B là hai bộ phận con của hệ S Mọi vectơ trong một trong hai hệ đều có thể biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ còn lại, dẫn đến m = n và n = m, từ đó suy ra n = m Định nghĩa 3.12 nêu rõ rằng S là một hệ vectơ không rỗng trong không gian vectơ V.
Một bộ phận đltttđ của S được gọi là một cơ sở của S và số vectơ trong một cơ sở của S gọi là hạng của S và kí hiệu là r(S)
Quy ước : Hạng của hệ có duy nhất vectơ bằng không
Nhận xét 3.8 Bộ phận S ; S gồm hữu hạn vectơ trong không gian vectơ V thì: i) Cơ sở của S có thể không duy nhất
Không gian vectơ con
Cho V là không gian hữu hạn chiều trên trường K Định nghĩa 3.20 Cho L là một bộ phân khác rỗng của không gian vectơ V; L là không gian vectơ con của V nếu các phần tử của L cùng với hai phép toán trong V tạo thành một không gian vectơ Định lý 3.6 Cho L là một bộ phận khác rỗng của không gian vectơ V ; L là không gian i) X Y, L X Y L vectơ con của V khi và chỉ khi ii) X L; k K kX L Chứng minh: Với giả thiết L ; L V Điều kiện cần: hiển nhiên vì L là không gian vectơ con của V thì các phần tử của L đóng kín đối với hai phép toán trong V Điều kiện đủ: Các phần tử của L đều thuộc V và các phần tử của L đóng kín với hai phép toán trong V do đó tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng cùng 4 tính chất của phép nhân một phần tử của L với một phần tử trong K luôn thỏa mãn Hơn nữa trong L có phần tử trung hòa của V vì với 0 K, L 0 L Trong L mọi phần tử đều có phần tử đối vì 1 K,
L 1 L suy ra các phần tử của L thỏa mãn tất cả các tính chất của hai phép toán trong V, ta có đpcm
Trong không gian vectơ V, tồn tại hai không gian con đặc biệt: không gian chỉ chứa vectơ không và chính không gian V Hai không gian con này được gọi là không gian con tầm thường của V.
A x (x x 1 , 2 ,x 3 , ,x n 2 ,x 1 , x 1 ), x i R, i1,n 2 , i) A có phải là không gian vectơ con của R n không? ii)
Nếu A là không gian vectơ con hãy tìm dim A?
Giải: i) Ta có: A vì (0 ,0,0, ,0,0,0) A và: n x (x x 1 , 2 , ,x n 2 , x 1 , x 1 ) A x R n A R n Mặt khác:
+) k R, x (x x 1 , 2 ,x 3 , ,x n 2 ,x 1 , x 1 ) A kx (kx kx 1 , 2 ,kx 3 , ,kx n 2 ,kx 1 , kx 1 ) A ii)
Trong A ta xét hệ U gồm n-2 vectơ sau:
Hệ vectơ U, bao gồm một tập hợp hữu hạn các vectơ trong không gian vectơ V, tạo thành bao tuyến tính L U, ký hiệu cho tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong U Định nghĩa rằng U là một cơ sở của không gian vectơ A dẫn đến dim A = n - 2 Theo định lý 3.7, nếu U là một bộ phận khác rỗng của V, thì L U không chỉ là không gian vectơ con của V mà còn có kích thước dim L U = r(U).
Ta có L U là tập khác rỗng vì m 0X i L U và i 1
XL U X V L U V Với hai phần tử bất kỳ X, Y thuộc L U ta thấy X+Y cũng thuộc L U vì:
X Y, L U X m t X Y ii ; m i X i X Y m (t i i )X i X YL U i 1 i 1 i 1 và XL U X m t X ii ; k K kX m (kt X i ) i kX
L U do đó L U là không i 1 i 1 gian vectơ con của V ii) Ta chứng minh cho dimL U r U( ) ; giả sử r U( ) k m (m là số vectơ của U)
Không giảm tính chất tổng quát ta giả sử bộ phận S gồm k vectơ đầu của U:
S X X 1 , 2 , , X k là một bộ phận của không gian vector U; khi đó, U S là các vector còn lại trong U có thể được biểu diễn tuyến tính qua các vector của S Giả sử X j ij X i , j k 1,m (1), thì một vector bất kỳ X L U X m t X ii (2) có thể được biểu diễn tuyến tính qua k vector của S như sau: X t i t j ij X i l.
X i i i 1 j k 1 i 1 m với l i t i t j ij K, i 1,k , suy ra k vectơ X 1 , X 2 , , X k là bộ phận đltttđ trong j k 1
L U là một cơ sở của không gian vectơ hữu hạn chiều V, và do đó, dimL U = k + rU Định nghĩa 3.22 cho biết rằng, nếu U là một bộ phận con khác rỗng của V, thì bao tuyến tính L U là không gian vectơ con của V được sinh bởi hệ vectơ U, và U là hệ sinh của L U.
Ví dụ 3.12 Tìm các không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ U sau: a U) u (1,2) b U) u 1 ( 1, 1,1),u 2 ( 1,1,1),u 2 (1,1,1)
Theo định lý 3.7, không gian vectơ con L U trong R² và R³ được xác định Cụ thể, với U u (1,2) và L U (x, y) trong R², ta có L U = {ku | k ∈ R}, với phương trình y = 2x Không gian con này bao gồm tất cả các vectơ trong R² nằm trên đường thẳng y = 2x, và các vectơ trong L U có biểu diễn hình học rõ ràng trong hệ tọa độ Oxy.
Mà U là hệ gồm 3 vectơ đltt vì định thức liên kết D 3 1 1 1 4 0 U là một cơ
1 1 1 sở của không gian R 3 , do đó L U R 3
Ví dụ 3.13 Tìm số chiều của không gian sinh bởi hệ vectơ:
U X X 1 , 2 , X 3 , X 4 R 4 với X1=(k,1,-2,3); X2=(k,k,2,1); X3=(1,1,k,1); X1=(1,1,-3,k); trong đó k là tham số thực
Giải: Theo định lý 3.7, bài toán quy về tìm hạng của hệ vectơ U; định thức liên kết của k k 1 1 hệ vectơ trên D 4
Tích vô hướng trong không gian R n
Trong không gian vectơ V, khi trang bị cho hai vectơ bất kỳ một phép toán tích vô hướng, không gian V được gọi là không gian vectơ có tích vô hướng Bài viết này chỉ tập trung vào không gian vectơ R^n và cách bổ sung phép toán tích vô hướng cho hai vectơ Cụ thể, cho hai vectơ x (x1, x2, , xn) và y (y1, y2, , yn) trong không gian R^n, tích vô hướng của x và y, ký hiệu là , được xác định bằng công thức: = Σ (xi * yi) với i chạy từ 1 đến n.
Ví dụ 3.14 Trong R 4 cho x ( 1,3, 2,5); y (2, ,1,4), tìm tích vô hướng của x và y
Tính chất của tích vô hướng
Từ định nghĩa tích vô hướng ta dễ dàng thấy các tính chất sau được thỏa mãn: t 1 x y, R n : x y, y x, t 2 x y z, , R n : x y z, x z, y z,
Không gian vectơ R^n, khi được bổ sung thêm phép toán tích vô hướng, được gọi là không gian Euclid, ký hiệu là E^n Trong không gian này, hai vectơ x và y được coi là trực giao nếu tích vô hướng của chúng bằng không Hệ vectơ U = {u_1, u_2, , u_m} trong E^n được xem là hệ trực giao nếu mọi cặp vectơ trong U đều trực giao với nhau Chuẩn của vectơ x trong E^n, ký hiệu là ||x||, là một số thực không âm được xác định bởi công thức ||x|| = √(x • x).
Ví dụ 3.15 Ví dụ 3.22 Cho x 1,4, 3, 1/ 2 E 4 , tìm chuẩn của x
Giải: Chuẩn của x, ký hiệu: x ( 1) 2 4 2 ( 3) 2 ( 1/ 2) 2
Tính chất về chuẩn của vectơ
Từ định nghĩa chuẩn của vectơ trong không gian Euclid E n ta dễ dàng thấy các tính chất sau được thỏa mãn: t 1 x E n : x 0; x 0 x t 2 x E n ; k R: kx k x t 3 x y,
Khi vectơ x được chuẩn hóa, ta có thể áp dụng Định lý 3.8 trong không gian Euclid E n Hệ vectơ u = {u₁, u₂, ,uₘ} thuộc E n được coi là trực giao và không chứa vectơ không, thì nó được gọi là hệ trực chuẩn.
Chứng minh: Giả sử có hệ thức ku i i (1) (k i R, i 1,m) ta phải chứng minh cho i 1 k i 0, i 1 ,m
Trong không gian Euclid E^n, một hệ vectơ gồm n vectơ khác không trực giao được xem là một cơ sở trực giao Nếu tất cả các vectơ trong cơ sở trực giao này đều có chuẩn bằng 1, thì nó được gọi là cơ sở trực chuẩn Theo chỉ số j xác định (1 ≤ j ≤ m), ta có tích vô hương với các điều kiện k_j = 0 cho j = 1, 2, , m, chứng minh rằng hệ vectơ này là trực giao.
Ví dụ 3.16 Trong không gian Euclid E n , hãy chỉ ra một cơ sở trực chuẩn của E n
Giải: Cơ sở chính tắc e e 1 , 2 , ,e n ; e i (0,0, ,0,1,0, 0); i 1,n là cơ sở trực chuẩn của
Trong không gian Euclid E n, bất kỳ hệ U nào gồm m vectơ độc lập tuyến tính đều có thể được thay thế bằng một hệ S gồm m vectơ trực chuẩn Điều này được thể hiện qua Định lý 3.9, khẳng định rằng sự tồn tại của hệ S trong E n là khả thi.
Chứng minh: Giả sử U u u 1 , 2 , ,u m E n ;U là hệ gồm m vectơ đltt trong không gian Euclid E n , ta chứng minh cho luôn tồn tại S s s 1 , 2 , ,s m E n ; S là hệ gồm m vectơ trực chuẩn của E n và L U L S
Thật vậy: Trước tiên ta đặt s 1 u 1 s 1 1, ta gọi S 1 s 1 L U 1 L S 1 u 1
Tiếp theo ta tìm s 2 , sao cho s s 1 , 2 , 0; đặt s 2 , u 2 ts 1 (1) ta tìm t để s s 1 , 2 , 0
Ta có s 2 vì nếu s 2 u 2 u s 2 , 1 s 1 u 2 u s 2 , 1 s 1 u s 2 , 1 u 1 u u 1 , 2 phụ thuộc tuyến tính u 1 mâu thuẫn với giả thiết, do đó S 2 s s 1 , 2 là hệ trực chuẩn và L
Tiếp tục quá trình trên, sau m-1 lần, giả sử ta đã xây dựng được S m 1 s s 1 , 2 , ,s m 1 là hệ gồm m-1 vectơ trực chuẩn và L U k L S k ; k 1,m 1
Ta xây dựng vectơ sm để hệ S m s s 1 , 2 , ,s m là hệ trực chuẩn và L U m L S m
Ta đặt: s m , u m t s 1 1 t s 2 2 t m 1 s m 1 (2) ta tìm t j R ( j 1,m 1) sao cho s m , , s j 0; j 1,m 1
, (2),(3) s m ,s j 0; j 1,m 1, hơn nữa ta có s m vì nếu s m s m s 2 , u m u m ,s 1 s 1 u m ,s 2 s 2 u m ,s m 1 s m 1 mà s j L U j ; j1,m 1 do đó u m L U m 1 U u u 1 , 2 , ,u m phụ thuộc tuyến tính mâu thuẫn giả thiết, do vậy S là hệ gồm m vectơ trực chuẩn
Hệ vectơ S được xây dựng từ hệ U thông qua quá trình trực chuẩn hóa Gram-Schmidt, theo định lý 3.9 Điều này cho thấy mối quan hệ giữa các hệ vectơ, từ đó khẳng định tính đúng đắn của đpcm.
Ví dụ 3.17 Trong E 3 cho U u 1 (1, 1,2); u 2 (1,1,2) Hãy trực chuẩn hóa GramSmidt hệ vectơ U
Giải: Dễ thấy U gồm 2 vectơ đltt trong E 3 Đặt: uu 11 (1, 1, 6 2) 16 , 61 , 26 s 1 s 2 uu 22 uu 22 ,,ss 11 ss 11 ;u 2 u 2 ,s 1 s 1 (1,1,2) 46 16 , 61 , 26 1 5 23
,s 2 130 , 530 , 230 là hệ trực chuẩn trong E 3 và L U L S
Hệ quả 3.11 Trong không gian Euclid E n , một cơ sở U bất kỳ của E n đều có thể được thay thế bằng một cơ sở trực chuẩn S trong E n
Bài tập chương 3 Bài 3.1 Tìm vectơ x thỏa mãn: a) x a b 2c với a ( 2,1, 1);b (2,3,1);c (3, 1,2) b) 2x 3a b 5c với a ( 1, 2,4);b (0,3,6);c (2,1,2) c) 3x a 2b 4c với a (1, 2, 1,3);b (2,1, 3, 1);c ( 2,1,
Bài 3.2 Biểu diễn x qua các vectơ: a,b,c,d trong các trương hợp sau: a) x (1,4, 2); a ( 2,3, 1); b (2, 3, 2);c (3,1,2) b) x (1, 1, 2);a ( 2,1,1);b (2, 3, 1);c (1,1, 2) c) x (1,4, 3,2);a ( 1, 1, 2,1);b (3,1,2,2);c (1, 2, 1,1) d) x (1, 4, 2, 2);a (1,1, 2, 1);b ( 2,1, 3,1);c (2, 4, 1, 2);d
Bài 3.3 Xét sự độc lập tyến tính của các hệ vectơ sau: a) a ( 2, m b); (3, 1) b) a (2, 4,2);b (1, 3,2);c ( 1,5, 4) c) a (3,1,4);b (2, 5,1);c (1, 1, 2) d) a (1, 1,3, 2);b ( 2,1, 2,1);c ( 3,1, 2,1) e) a (1, 1, 2, 1);b ( 2,1,3,1);c ( 1,1,2, 3);d (1, 2, 3, 2) f) a (2, 1, 3, 1,1);b ( 1, 1,2,1, 1);c (4,1, 2,3,2);d (1, 2, 3,
Bài 3.4 Tìm điều kiện của m để các hệ vectơ sau là cơ sở của không gian vectơ tương ứng: a) a (1,m 1);b (2, 5) b) a (2, 1,m b); (1, 1, m c); (1,m, 1) c) a ( 1,1,m b); (2,2m 1, 1);c ( 1,1,m) d) a (m,3,1, 1);b ( m, 2, 1,1);c (m,3, 1,2);d ( 2,1, m, 1)
Bài 3.5 Tìm hạng của các hệ vectơ sau: a) a (1, 4, 2);b ( 3,5,6);c ( 1, 3, 2) b) a ( 2,1,4);b (2, 3, 1);c ( 2,5, 1) c) a (2, 1,3, 1);b ( 1,1, 2,1);c (3,4, 1,2);d (3,5, 2, 1) d) a (4, 1,3, 2);b ( 1,1, 2,2);c (2,1, 2,1);d ( 1,2, 1,3) e) a ( 1, 1,2,2, 3);b ( 2,1,1, 2, 2);c (2,1, 3, 2,5);d (3, 2, 1, 4, 1) Bài 3.6 Tìm m để hạng của các hệ vectơ sau bằng 3: a) a (5,m,3);b (1, 2,1);c ( 2,4, 2) b) a (3, 1,m b); (1, 1,m 1);c (2,m, 1) c) a ( 1,1, m b); (2,m, 1);c ( 1,2, m) d) a (m,1,1, 1);b (2m, 2, 1,1);c (1, 2,m,2);d ( 2,1, m, 1)
Bài 3.7 Cho hệ vectơ U a ( m, 1,1);b (1,1, 1); c (1,2,2 )m ; tìm m để vectơ x ( 2,m,1) a) Biểu diễn duy nhất qua các vectơ của U b) Có vô số cách biểu diễn qua các vectơ của U c) Không có biểu diễn qua các vectơ của U
Bài 3.8 Trong không gian vectơ Mat 2 2 (K) (không gian ma trận vuông cấp 2 trên trường K) cho hệ vectơ: x 1 1 x 1 1 1 1
M M 1 11 ;M 2 11 ;M 3 x1 ;M 4 1 x a) Với giá trị nào của x thì M là một cơ sở của Mat 2 2 (K)
3 3 b) Với x = -1 biểu diễn ma trận X 31 qua cơ sở đó
Bài 3.9 Trong không gian vectơ Mat 2 2 (K) (không gian ma trận vuông cấp 2 trên trường
K) cho các ma trận: M 1 1 1 ;M 2 10 ;M 3 00 ;M 4 0 0 các ma trận A,B,C,D được xác định như sau:A=M 1 +M 2 ; B= M 2 +M 3 ; C=M 3 +M 4 ;D=
M 1 +M 4 a) Xét sự đltt của họ ma trận A,B,C,D
4 2 b) Biểu diễn ma trận X 2 2 qua các ma trận A,B,C,D
Bài 3.10 Trong không gian vectơ V cho hệ vectơ A a a a 1 , 2 , 3 và hệ vectơ
B b b b 1 , 2 , 3 có b 1 =-a 1 +a 2 +a 3 ; b 2 =a 1 - a 2 +a 3 ; b 3 =a 1 +a 2 -a 3 a) Chứng minh rằng: A đltt khi và chỉ khi B đltt b) Biểu diễn vectơ x= 2a 1 -a 2 -a 3 qua hệ vectơ B?
Bài 3.11 Cho tập hợp X với hai phép toán được xác định trong các trường hợp dưới đây có tạo thành không gian vec tơ trên trường số thực không? Nếu có hãy tìm số chiều của nó a) X x x: R với hai phép toán ; như sau: x y, X x: y xy k R; x X k: x x k b) X f x( ): f C [0,1] với phép cộng hai hàm số và phép nhân một số thực với một hàm số thông thường c) X f x( ): f C [0,1] với phép toán ; như sau:
+) f x g x( ); ( ) X : f x( ) g x( ) f g x( ( )) (hợp của hàm g và hàm f)
Ký hiệu k R; f x( ) X k: f x( ) f k ( )x thể hiện phép tính lũy thừa thông thường Tập hợp X bao gồm các số hữu tỷ, với phép toán cộng hai số hữu tỷ và phép nhân một số thực với một số hữu tỷ được thực hiện theo quy tắc thông thường.
Bài 3.12 Cho S S, , là các hệ vectơ khác rỗng trong không gian vectơ V hữu hạn chiều Chứng minh rằng: a) Nếu S S , r S( ) r S( , ) b) r S( S , ) r S( ) r S( , ) c) r S( S , ) min( ( ); (r S r S , ))
Bài 3.13 Các tập X sau đây có phải là không gian vectơ con của các không gian vectơ tương ứng hay không? Nếu có hãy tìm một cơ sở của các không gian con đó a) X x (x x 1 , 2 ): x 1 x 2 1 R 2 b) X x (x x 1 , 2 ):ax 1 bx 2 0; ,a b R R 2 c) X x (x x x 1 , 2 , 3 ): x 1 x 2 x 3 k k; R R 3 d) X x (x x 1 , 2 , ,x n 1 ,x 1 x 2 )
Bài 3.14 Các tập X sau đây có phải là không gian vectơ con của các không gian vectơ tương ứng hay không? Nếu có hãy tìm số chiều của các không gian con đó x 1 1 1 a) X x (x x 1 , 2 ,x 3 ) R 3 : 1 x 2 1 0 1 1 x 3 a 1 2 3 b) X M b Mat 31 (K): 2 1 4 M (0) 3 1 c 3 1 1 1 1 a 11 a 12 a 13 c) X A a 21 a 22 0 Mat 3 3 (K) a 31
Bài 3.15 Cho hệ vectơ U u u 1 , 2 , ,u m đltt trong không gian vectơ V và x là một vectơ bất kỳ trong V Chứng minh rằng: Hệ vectơ U , u u 1 , 2 , ,u m ,x pttt khi và chỉ khi vectơ x được biều thị tuyến tính qua các vectơ của U
Chứng minh rằng: Vectơ x được biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của U
Bài 3.16 Cho U U 1 , 2 , ,U k là các không gian vectơ con của không gian vectơ V, 1 k n k a) Chứng minh rằng: X U i cũng là không gian vectơ con của V i 1 k b) Y U i có phải là không gian vectơ con của V không? i 1
Bài 3.17 Cho A x (x x x x 1 , 2 , 3 , 4 ) R 4 : kxx 1 kxx 22 xx 33 kx2 4 x 4 00 (k R)
1 và B x (x x x x 1 , 2 , 3 , 4 ) R 4 : kxkx 11 xx 22 xx 33 40x 4 0 (k R) a) Chứng minh rằng: A, B là các không gian vectơ con của không gian R 4 b) Tìm số chiều của không gian vectơ con AB
Bài 3.18 Tìm một cơ sở và số chiều của không gian vectơ sinh bởi hệ vectơ sau: a) x
P3(x) a) Xét sự đltt của hệ vectơ S b) Biểu diễn p x( ) 3x 2 2x 5 qua hệ vectơ S
Bài 3.20 Cho không gian Euclid E 3 a) Tìm điều kiện của tham số thực k để hệ vectơ: x ( 1,2, k); y (2, 1,2); z ( 1, 1, )là một cơ sở trực giao của E 3 b) Trong E 3 cho U u 1 ( 1,1, 2); u 2 ( 2,1,2);u 3 (3, 1, 1) Hãy trực chuẩn hóa Gram-Smidt hệ vectơ U.