Đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Câu 1: (5 điểm) Cho hàm số: y x2 (C) x a Khảo sát hàm số b Tìm điểm (C) có hoành độ lớn cho tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận mét tam gi¸c cã chu vi bÐ nhÊt (TrÝch Đạo hàm ứng dụng tác giả: Lê Hồng Đức) Câu 2: (2 điểm) Tính tích phân xác định sau: (Sáng tác) dx 2006 x tg I Câu 3: (3 điểm) Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: x   x  (3  x)(6  x) m (Trích Điều kiện cần đủ để giải phương trình của: Phan Huy Khải) Câu 4: (2 điểm) Tìm (x;y) biết (x+1)y, xy, (x-1)y số đo góc tam giác (x;y) tho¶ m·n: sin2[(x+1)y] = sin2xy + sin2[(x-1)y] (TrÝch cuốn: Phương trình lượng giác tác giả: Trần Phương) Câu 5: (2 điểm) Giải phương trình: 2006 2005 2005 2006 (Sáng tác) x x x2 y2 Câu 6: (3 ®iĨm) Cho (E):   (0 < b < a) A, B hai điểm tuỳ ý n»m a b trªn (E) cho OA  OB HÃy xác định vị trí A B (E) tam giác OAB có diện tích nhỏ Tìm giá trị nhỏ (Trích cuốn: Hình giải tích tác giả: Trần Phương) Câu 7: (3 điểm) Cho hình chóp tam giác SABC nội tiếp mặt cầu tâm O bán kính R, cạnh bên hợp với góc a Tính thể tích hình chóp SABC theo R b Khi thay đổi xác định để thĨ tÝch Êy lín nhÊt DeThiMau.vn C©u ý 1 Nội dung Khảo sát hàm số: y Điểm x x - Viết lại hàm số dới d¹ng: y  x   0.25 x 0.25 Tập xác định: D = R\{1} Sù biÕn thiªn a ChiỊu biÕn thiªn  y’ =  x = hc x = ( x  1)  y’ > trªn ( ;0) (2;) Hàm số đồng biến ( ;0) (2;) - Tơng tự y < (0;2) hàm số nghịch biến (0;2) y' b Cực trị - Đồ thị hàm số đạt cực đại x = yCĐ = - Đồ thị hàm số ®¹t cùc tiĨu t¹i x =  yCT = c Giới hạn - Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng x = làm tiệm cận đứng - Đồ thị hàm số nhận đờng thẳng y = x + làm tiệm cận xiên - lim y  , lim y   0.25 0.5 0.25 0.5 x x d Bảng biến thiên x  y’ + 0 - - + + + + 0.5 y   y Đồ thị - Nhận I(1;2) giao hai đờng tiệm cận làm tâm đối xứng 0.5 I o x - Gi¶ sư M(a;y(a))  (C), với a > Khi phơng trình tiếp tuyÕn t¹i M cã d¹ng: d: y  a2 a  2a (  )  x a a 1 (a  1) 0.25 0.25 DeThiMau.vn - Toạ độ giao điểm d với tiệm cận đứng  a2 a  2a ( )    x a y 2a  ) a   A(1; (a  1)   a x 0.25 - Toạ độ giao điểm cđa d víi tiƯm cËn xiªn  a2 a  2a ( ) x a y     a   B(2a  1;2a ) (a  1)  y  x 1  - Khi ®ã AI = |xA - xI| = , BI = 2 a  a 1 0.25  AI.BI = 0.25 - AB2 = AI2 + BI2 - 2AI.BI.cos  0.25  AI  BI  AI BI 2 -  CAIB = AI + BI + AB = AI + BI + AI  BI  AI BI  AI BI  AI BI  AI BI  44  2(  1) - VËy CAIB = 44  2(  1) AI = BI hay a   Khi ®ã: M(  ;2   ) 2 - Đặt t 0.5  0.25 , x=   - Khi ®ã I =  t=0   tg t.dt  dt dt dt      cot g 2006 t 0  tg 2006 t 0 0  tg 2006 t 0.25  x  dt = -dx  dx = -dt - §ỉi cËn: x =  t = VËy I = 0.25  2006 0.75 0.5 Điều kiện cần: - Giả sử x0 nghiệm phơng trình - x0 nghiệm để phơng trình có nghiệm x0 = - x0  x0 = - Khi ®ã m = 9 0.5 0.5 Điều kiện đủ: phơng trình cã d¹ng: 9  x   x  (3  x)(6  x)  - Khi m = 0.25 DeThiMau.vn  9 u  v  uv   u   x 2  u  v - Đặt v x u  0, v    0.5 - Tõ trªn  (u  v)  2(u  v)   18  - Vì (u+v)2 u2 + v2 Nghiệm phơng tr×nh u + v = u  v  - Tõ ®ã suy   u, v lµ nghiƯm cđa PT uv   Tức phơng trình có nghiÖm t  2t    u  v  2 nhÊt x = 9 - VËy m = giá trị cần tìm 0.25 0.25 0.25 - Vì (x+1)y, xy, (x-1)y số đo ba góc tam giác nên: (x+1)y+ xy + (x-1)y =   xy =  2 3 cã d¹ng: sin2( +y) = sin  cos(  Khi phơng trình đà cho + sin2( -y) Do (x-1)y >  y < - Tõ xy =  0.5 0.25 3 2 2 -2y) - cos( +2y) =  sin y  3 2    y   k (k  Z )   y    k  0.25 0.25 0.25 0.25   y=   x = VËy (x;y) = (2; 0.5  ) - PT  2005 x  2006 x log 2006 2005 2005 x )  log 2006 2005 2006 x = log 2005 log 2006 2005 ( 0.25 0.5 1.0 0.5 2006 - Gọi A giao điểm đờng thẳng y = kx với (E), toạ độ A lµ nghiƯm cđa hƯ  a 2b  x2 y2  x     A a k  b  b a 2 y2  k a b  y  kx   A a k  b 0.5 DeThiMau.vn -  OA2 0.25 0.25 (k  1)a b (k  1) = 2  OA  ab 2 a k b a k b k - Vì OA OB nên B giao đờng thẳng y = x với (E) 0.5 (  1) 1 k k  ab  OB = ab a  b2k a2  b2 k 1 1 k - VËy SOAB = OB.OA  a b 2 (a k  b )(a  b k ) - Theo C«si ta cã: S AOB  0.5 0.5 a b (1  k ) a b  2 2 (1  k )(a  b ) a  b 2 2 2 0.5 a 2b  SOABmin = a2k2+ b2 = a2 + b2k2  k = ± a  b2 1 - Ta cã V SI.SABC SABC = - Trong đó: Xét hai tam giác đồng d¹ng  SAI ~  SDA (g.g.g) S SI SA SA SA (1)    SI   SA SD 2R SD 0.25 Mặt khác: SI = SA  AI  SA  SA sin SABC =  VSABC VSABC max 0.25 B Tõ vµ  SA = 2R  sin C C A 0.25  (2)   SI  R(1  sin ) 2 0.25     3 (2 SA.sin )  3R (1  sin ) sin AB  2 4 3   3  R (1  sin ) sin  R (1  cos  ) (1  cos  ) 3 2 27  T  (1  cos  ) (1  cos  ) max (1  cos  )(1  cos  )(4  cos  ) 1  cos    cos    cos   [ ] 2 3 VËy VSABC max = R ®ã  cos    cos     60 27 0.25 0.5 0.5 T 0.5 0.25 DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... x0 nghiệm để phơng trình có nghiệm nhÊt th× x0 = - x0  x0 = - Khi ®ã m = 9 0.5 0.5 Điều kiện đủ: phơng trình có dạng:  x   x  (3  x)(6  x)  - Khi m = 0.25 DeThiMau.vn  9 u  v  uv... biÕn thi? ?n x  y’ + 0 - - + + + + 0.5 y y Đồ thị - Nhận I(1;2) giao hai đờng tiệm cận làm tâm đối xøng 0.5 I o x - Gi¶ sư M(a;y(a))  (C), víi a > Khi ®ã phơng trình tiếp tuyến M có dạng:... Điểm x x - Viết lại hàm số dới dạng: y x 0.25 x 0.25 Tập xác định: D = R{1} Sù biÕn thi? ?n a ChiỊu biÕn thi? ?n  y’ =  x = hc x = ( x  1)  y’ > ( ;0) (2;) Hàm số đồng biến ( ;0) (2;)