Đề Bài 1: (3đ) Chứng minh rằng: a) 85 + 211 chia hÕt cho 17 b) 1919 + 6919 chia hết cho 44 Bài 2: (3đ) a) Rút gọn biÓu thøc: b) Cho x2  x  x3  x  18 x  yz xz xy 1    0( x, y, z  0) TÝnh   x y z x y z Bài 3:(3đ) Cho tam giác ABC Lấy điểm D,E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD + CE = BC Gäi O lµ giao điểm BE CD Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác góc A, đường thẳmg cắt AC K Chứng minh AB = CK Bài (1đ) Tìm giá trị lớn hc nhá nhÊt cđa biĨu thøc sau (nÕu cã): M = 4x2 + 4x + Đáp án Bài : (3®) a) (1,5®) Ta cã: 85 + 211 = (23)5 + 211 = 215 + 211 =211(24 + 1)=211.17 Rõ ràng kết chia hết cho 17 b) (1,5đ) áp dụng đẳng thức: an + bn = (a+b)(an-1 - an-2b + an-3b2 - …- abn-2 + bn-1) víi mäi n lÏ Ta cã: 1919 + 6919 = (19 + 69)(1918 – 1917.69 +…+ 6918) = 88(1918 – 1917.69 + …+ 6918) chia hÕt cho 44 Bµi : (3®) a) (1,5®) Ta cã: x2 + x – = x2 + 3x -2x -6 = x(x+3) – 2(x+3) = (x+3)(x-2) x3 – 4x2 – 18 x + = x3 – 7x2 + 3x2 - 21x + 3x + =(x3 + 3x2) – (7x2 +21x) +(3x+9) =x2(x+3) -7x(x+3) +3(x+3) =(x+3)(x2 –7x +3) => x2  x  (x+3)(x-2) ( x  2)  = Víi ®iỊu kiƯn x  -1 ; x2 -7x + 3 2 x  x  18 x  (x+3)(x -7x +3) x -7x +3 b) (1,5đ) Vì 1 1 1       x y z z x y 1 1  1 1 1 1                z z x y x y y  x y x  1 1 1 1 1 1    3        3 x y z x y x y x y z xyz ThuVienDeThi.com 0 Do ®ã : xyz( 1 xyz xyz xyz yz zx xy + + )=         3 x y z x y z x y z Bài : (3đ) Chứng minh : Vẽ hình bình hành ABMC ta AB = CM Để chứng minh AB = KC ta cÇn chøng minh KC = CM ThËt vËy xÐt tam gi¸c BCE cã BC = (gt) => tam giác CBE cân C => A cã K B C CE ฀ E ฀ v× gãc C góc B 1 tam giác BCE => ฀ B ฀ E ฀B ฀  1C ฀ mµ AC // BM C 1 1 ฀ ฀  CBM ฀ vÏ) => C฀1 CBM nên B tia phân giác CBM Hoàn (ta E BO D toàn tương tự ta có CD tia phân M giác cđa gãc BCM Trong tam gi¸c BCM, OB, CO, MO đồng quy O => MO phân tia phân giác góc CMB , BMC Mà : BAC hai góc đối hình bình hành BMCA => MO // với tia phân giác góc A theo gt tia phân giác góc A song song với OK => K,O,M thẳng hàng BMC ฀ ฀ Ta l¹i cã : M (cmt ); ฀A  M ฀  ฀A M mµ ฀A  K ฀ (hai gãc đồng vị) => M CKM cân C => CK = CM Kết hợp AB = CM => AB = CK (đpcm) K 1 Bài 4: (1®) Ta cã M= 4x2 + 4x + =[(2x)2 + 2.2x.1 + 1] +4 = (2x + 1)2 + V× (2x + 1)2  =>(2x + 1)2 +   M  VËy giá trị nhỏ M = x = - ®Ị Câu Tìm số có chữ số: a1a a tho· m·n ®iỊu kiƯn a vµ b sau: a) a1a 2a = a a  b) a 4a 5a 6a a  a a  C©u Chøng minh r»ng: ( xm + xn + ) chia hÕt cho x2 + x + vµ chØ ( mn – 2)  áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 + x2 + Câu Giải phương tr×nh:   1      2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 x = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 2006.2007) ThuVienDeThi.com Câu Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD) Gọi O giao điểm AC BD; đường kẻ từ A B song song với BC AD cắt đường chéo BD AC tương ứng F E Chứng minh: EF // AB b) AB2 = EF.CD c) Gäi S1 , S2, S3 vµ S4 theo thø tù lµ diện tích tam giác OAB; OCD; OAD Và OBC Chøng minh: S1 S2 = S3 S4 Câu Tìm giá trị nhỏ nhất: A = x2 - 2xy + 6y2 – 12x + 2y + 45 Đáp án Câu Ta có a1a2a3 = (a7a8)2 (1) a4a5a6a7a8 = ( a7a8)3 (2) Tõ (1) vµ (2) => 22  a7 a8  31 => ( a7a8)3 = a4a5a600 + a7a8  ( a7a8 )3 – a7a8 = a4a5a600  ( a7a8 – 1) a7a8 ( a7a8 + 1) = 25 a4a5a6 ( a7a8 – 1) ; a7a8 ; ( a7a8 + 1) số tự nhiên liên tiếp nên có khả năng: a) a7a8 = 24 => a1a2a3 a8 lµ sè 57613824 b) a7a8 – = 24 => a7a8 = 25 => số 62515625 c) a7a8 = 26 => không thoả mÃn câu Đặt m = 3k + r víi  r  n = 3t + s víi  s   xm + xn + = x3k+r + x3t+s + = x3k xr – xr + x3t xs – xs + xr + xs + = xr( x3k –1) + xs ( x3t –1) + xr + xs +1 ta thÊy: ( x 3k – 1)  ( x2 + x + 1) vµ ( x3t –1 )  ( x2 + x + 1) vËy: ( xm + xn + 1)  ( x2 + x + 1) ( xr + xs + 1)  ( x2 + x + 1) víi  r ; s  r = vµ s =1 => m = 3k + vµ n = 3t + r = vµ s = m = 3k + vµ n = 3t + mn – = ( 3k + 2) ( 3t + 1) – = 9kt + 3k + 6t = 3( 3kt + k + 2t) mn – = ( 3k + 1) ( 3t + 2) – = 9kt + 6k + 3t = 3( 3kt + 2k + t) => (mn – 2)  Điều phải chứng minh áp dụng: m = 7; n = => mn – = 12   ( x7 + x2 + 1)  ( x2 + x + 1)  ( x7 + x2 + 1) : ( x2 + x + 1) = x5 + x4 + x2 + x + C©u Gi¶i 1         x  1.2  2.3    2006.2007  2005.2006.2007   1.2.3 2.3.4 Nh©n vế với ta được: 2    3  x  21.23  0  2.34  1    2006.20072008  2005 2005.2006.2007   1`.2.3 2.3.4 ThuVienDeThi.com PT: 1 1   3     x 2006.2007   1.2 2.3 2.3 3.4  1.2.3  2.3.4 1.2.3    2006.2007.2008  2005.2006.2007  1003.1004.669    3   x  2.2006.2007.2008  x  5.100.651  1.2 2006.2007  C©u a) Do AE// BC => BF// AD OE OA  OB OC O F OB  OA OD A E B O K H F MặT khác AB// CD ta l¹i cã D OA OB  OC OD b) nªn OE OF  OB OA A1B1 => EF // AB ABCA1 ABB1D hình bình hành => A1C = DB1 = AB EF AB => AB = EF.CD  AB DC 1 1 c) Ta cã: S1 = AH.OB; S2 = CK.OD; S3 = AH.OD; S4 = OK.OD 2 2 1 AH OB AH OD S1 AH S3 S1 S3 =>   ;   AH CK =>  => S1.S2 = S3.S4 1 S4 CK S S S CK OB CK OD 2 Vì EF // AB // CD nên Câu A = x2- 2xy+ 6y2- 12x+ 2y + 45 = x2+ y2+ 36- 2xy- 12x+ 12y + 5y2- 10y+ 5+ = ( x- y- 6)2 + 5( y- 1)2 + Giá trị nhỏ A = Khi: y- = => y=1 x- y- = x=7 đề Câu 1: a Rót gän biĨu thøc: A= (2+1)(22+1)(24+1) .( 2256 + 1) + b NÕu x2=y2 + z2 Chøng minh r»ng: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (3x –5y)2 x y z    (1) Câu 2: a Cho a b c a b c    (2) x y z x2 y z   0 a b2 c2 ab bc ca b TÝnh : B = 2  2  2 a b c b c a c a b TÝnh giá trị biểu thức A= Câu 3: Tìm x , biÕt : x·1 x  10 x  19    (1) 2006 1997 1988 ThuVienDeThi.com C Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M đương chéo AC Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M trªn AD, CD Chøng minh r»ng: a.BM  EF b Các đường thẳng BM, EF, CE đồng quy Câu 5: Cho a,b, c, số dương Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa a b c P= (a+ b+ c) ( ) Đáp án Câu 1: a ( 1,25 điểm) Ta có: A= (2-1) (2+1) (22+1) + = (22-1)(22+1) (2256+1) = (24-1) (24+ 1) (2256+1) = [(2256)2 –1] + = 2512 b, ( ®iÓm) Ta cã: (5x – 3y + 4z)( 5x –3y –4z) = (5x – 3y )2 –16z2= 25x2 –30xy + 9y2 –16 z2 (*) V× x2=y2 + z2  (*) = 25x2 –30xy + 9y2 –16 (x2 –y2) = (3x 5y)2 Câu 2: ( 1,25 điểm) a Từ (1)  bcx +acy + abz =0  abz  acy  bcx   ab ac bc  x2 y z x2 y z   Tõ (2)     2          2 a b c xyz a b c    xy xz yz  b ( 1,25 ®iĨm) Tõ a + b + c =  a + b = - c  a2 + b2 –c2 = - 2ab T­¬ng tù b2 + c2 – a2 = - 2bc; c2+a2-b2 = -2ac B= ab bc ca     2ab  2bc  2ca C©u 3: ( 1,25 ®iĨm) (1)  x·2007 x  2007 x  2007   0 2006 1997 1988  x= 2007 A Câu 4: a ( 1,25 điểm) Gọi K giao điểm CB với EM; H giao điểm EF vµ BM   EMB =BKM ( gcg)  Gãc MFE =KMB  BH  EF b ( 1,25 ®iĨm)  ADF = BAE (cgc) AF  BE T­¬ng tự: CE BF BM; AF; CE ®­êng cao cđa BEF  ®pcm C©u 5: ( 1,5 ®iÓm) Ta cã: P=1+ E B M H D F a a b b c c a b a c  b c   1   1              b c a c a b b a c a c b ThuVienDeThi.com K C Mặt khác x y   víi mäi x, y d­¬ng  P  3+2+2+2 =9 y x VËy P = a=b=c đề Bài (3đ): 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x2 + 7x + 12 b) a10 + a5 + 2) Giải phương trình: x x x 6 x 8    98 96 94 92 Bài (2đ): Tìm giá trị nguyên x ®Ó biÓu thøc P  x  3x có giá trị nguyên 2x Bài (4đ): Cho tam giác ABC ( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao BM; CN tam giác Chứng minh rằng: a) ABM đồng dạng ACN b) góc AMN góc ABC 2) Trên cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung điểm AK Chứng minh rằng: EF song song với tia phân giác Ax góc BAC Bài (1đ): Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: x  x  2007 A , ( x khác 0) 2007 x Đáp án Bài (3đ): 1) a) x2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4) (1®) b) a10 + a5 + = (a10 + a9 + a8 ) - (a9 + a8 + a7 ) + (a7 + a6 + a5 ) - (a6 + a5 + a4 ) + (a5 + a4 + a3 ) - (a3 + a2 + a ) + (a2 + a + ) = (a2 + a + )( a8 - a7 + a5 - a4 + + a3 - a+ ) (1®) 2) x2 x4 x6 x8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 98 96 94 92 1 1  ( x + 100 )( + )=0 98 96 94 92 1 1  V×: + 98 96 94 92 Do ®ã : x + 100 = x = -100 Vậy phương trình có nghiệm: x = -100 ThuVienDeThi.com (0,5đ) (0,25đ) (0,25đ) Bài (2đ): P= x  x  (2 x  x)  (4 x  2)  5   x2 2x  2x  2x (0,5đ) x nguyên x + có giá trị nguyên để P có giá trị nguyên => phải nguyên hay 2x - ước nguyên (0,5đ) 2x * 2x - = => x = * 2x - = -1 => x = * 2x - = => x = * 2x - = -5 => x = -2 (0,5đ) Vậy x = 1;0;3;2 P có giá trị nguyên Khi giá trị nguyên P là: x = => P = x = => P = -3 x = => P = x = -2 => P = -1 (0,5đ) Bài (4đ): 1) a) chứng minh ABM đồng dạng CAN (1đ) b) Từ câu a suy ra: AB AM AMN đồng AC AN dạng ABC   AMN =  ABC ( hai gãc tương ứng) (1,25đ) 2) Kẻ Cy // AB cắt tia Ax H (0,25đ) BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mµ  CAH = BAH ( Ax tia phân giác) (0,5đ) Suy ra:  CHA =  CAH nªn  CAH cân C : CH = CA => CH = BK CH // BK (0,5đ) BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đường trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( đfcm) (0,5đ) Bài (1đ): 2007 x  x.2007  2007 x  x.2007  2007 2006 x A= = + 2007 x 2007 x 2007 x ( x  2007) 2006 2006   2007 2007 2007 x 2006 A = x - 2007 = hay x = 2007 (0,5®) 2007 = -ThuVienDeThi.com ®Ị Câu ( điểm ) Cho biểu thøc A =  x2 10  x     :  x     x2  x  x  3x x      a, Tìm điều kiện x để A xác ®Þnh b, Rót gän biĨu thøc A c, Tìm giá trị x để A > O x  4x  x  5x  Câu ( 1,5 điểm ) Giải phơng trình sau : x 2x Câu ( 3,5 điểm): Cho hình vuông ABCD Qua A kẽ hai đờng thẳng vuông góc với lần lợt cắt BC tai P R, cắt CD Q S 1, Chøng minh  AQR vµ  APS lµ tam giác cân 2, QR cắt PS H; M, N trung điểm QR PS Chứng minh tứ giác AMHN hình chữ nhật 3, Chứng minh P trực tâm SQR 4, MN trung trực AC 5, Chứng minh bốn điểm M, B, N, D thẳng hàng Câu ( ®iÓm): Cho biÓu thøc A = x  3x  2x  C©u ( ®iÓm) a, Chøng minh r»ng x  y  z  x  y   xy.x  y  z 3 1    x y z b, Cho Tìm giá trị nguyên x để A nhận giá trị nguyên Tính A yz xz xy x2 y2 z2 Đáp án Câu a, x , x  -2 , x   x   :  x 4 2 x x  2 x  b , A =  = x  2x   x  : x  2x  2 x  = 6 x2  x  2x  2  x c, Để A > Câu PT  §KX§ :   2 x   x  2 x x  1; x   x  4x  x  5x  x  3x  x  3x  1 1    0 x 1 2x  x 1 2x        x  3x       x  x  3 x     x  1x  3 x     x  2x    x =1 ; x = ; x = - 2/ ThuVienDeThi.com Cả giá trị ®Ịu tháa m·n §KX§ VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = 1;2;   3 C©u 3: 1, ADQ = ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy AQ=AR, nên AQR tam giác vuông cân Chứng minh tợng tự ta có: ARP= ADS AP = AS APS tam giác cân A 2, AM AN đờng trung tuyến tam giác vuông cân AQR APS nên AN  SP vµ AM  RQ PAN  PAM = 450 nên góc Mặt khác : MAN vuông Vậy tứ giác AHMN có ba góc vuông, nên hình chữ nhật 3, Theo giả thiết: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trực tâm SQR 4, Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR Trong tam giác vuông RCQ CM trung tuyến nên CM = QR  MA = MC, nghÜa M cách A C Chứng minh tơng tự cho tam giác vuông cân ASP tam giác vuông SCP, ta có NA= NC, nghĩa N cách ®Ịu A vµ C Hay MN lµ trungtrùc cđa AC 5, Vì ABCD hình vuông nên B D cách A C Nói cách khác, bốn điểm M, N, B, D cách A C nên chúng phải nằm đờng trung trực AC, nghĩa chúng thẳng hàng Câu Ta cã §KX§ x  -1/2 A = (x + 1) + 2x x Z nên để A nguyên nguyên 2x Hay 2x+1 lµ íc cđa VËy : 2x+1 =  x=1/2 ( lo¹i ) 2x+1 =  x = 2x+1 = -1  x = -1 2x +1 = -2  x = -3/2 ( lo¹i ) KL : Víi x = , x= -1 A nhận giá trị nguyên Câu a, , Chøng minh x  y  z  x  y 3  3xy.x  y  z Biến đổi vế phải đợc điều phải chứng minh b, Ta cã a  b  c  th× a  b  c  a  b   3aba  b  c  c  3ab c  c  3abc (v× a  b  c  nªn a  b  c ) ThuVienDeThi.com Theo giả thiết A 1 1 1        x y z xyz x y z  yz xz xy xyz xyz xyz 1  3       xyz     xyz  xyz x y z x y z y z  x ===================== ®Ị Bµi : (2 ®iĨm) Cho biĨu thøc :   x2 1    x  x  x  1 M =   1 x4  x  1 x2     a) Rót gän b) Tìm giá trị bé M Bài : (2 điểm) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên A= x x  x  83 x 3 Bài : điểm Giải phương trình : a) x2 - 2005x - 2006 = b) x  + x  + x  = Bài : (3đ) Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC Qua E kẻ tia Ax vuông góc với AE Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng qua E song song víi AB c¾t AI ë G Chøng minh : a) AE = AF vµ tø giác EGKF hình thoi b) AEF ~  CAF vµ AF2 = FK.FC c) Khi E thay ®ỉi trªn BC chøng minh : EK = BE + DK chu vi tam giác EKC không đổi Bài : (1đ) Chứng minh : B = n4 - 14n3 + 71n2 -154n + 120 chia hÕt cho 24 Đáp án Bài : a) M 4 2 ( x  1)( x  1)  x  x  2) = x   x  x   x  = ( x +1-x x 1 x 1 ( x  x  1)( x  1) b) BiÕn ®ỉi : M = - 3 M bÐ nhÊt lín nhÊt  x2+1 bÐ nhÊt  x2 = x 1 x 1  x =  M bÐ nhÊt = -2 Bµi : BiÕn ®ỉi A = 4x2+9x+ 29 + 4  A Z   Z  x-3 lµ ­íc cña x 3 x 3  x-3 =  ;  ;   x = -1; 1; 2; ; ; Bµi : a) Phân tích vế trái (x-2006)(x+1) =  (x-2006)(x+1) =  x1 = -1 ; x2 = 2006 c) XÐt pt víi kho¶ng sau : x< ;  x < ;  x < ; x  ThuVienDeThi.com Råi suy nghiệm phương trình : x = ; x = 5,5 Bµi : a)  ABE =  ADF (c.g.c)  AE = AF  AEF vuông cân tại A nên AI EF  IEG =  IEK (g.c.g)  IG = IK Tứ giác EGFK có đường chéo cắt trung điểm đường vuông góc nên hình EGFK hình thoi b) Ta có : KAF = ACF = 450 , gãc F chung  AKI ~  CAF (g.g)  AF KF   AF  KF CF CF AF d) Tø gi¸c EGFK hình thoi KE = KF = KD+ DF = KD + BE Chu vi tam gi¸c EKC b»ng KC + CE + EK = KC + CE + KD + BE = 2BC ( Không đổi) Bài : Biến đổi : B = n(n-1)(n+1)(n+2) + 8n(n-1)(n+1) -24n3+72n2-144n+120 Suy B  24 ================================ ®Ị Câu 1: ( điểm ) Cho biểu thức: 6x  x   x  36   2  x  x x  x  12 x  12 A=  ( Víi x  ; x   ) 1) Rót gän biĨu thøc A 2) Tính giá trị biểu thức A với x= 94 Câu 2: ( điểm ) a) Chứng minh đẳng thức: x2+y2+1 x.y + x + y b)Tìm giá trị lớn biểu thức sau: A= ( víi mäi x ;y) x2 x  x2  x Câu 3: ( điểm ) Cho hình chữ nhật ABCD TRên đường chéo BD lấy ®iĨm P , gäi M lµ ®iĨm ®èi xøng cđa C qua P a) Tứ giác AMDB hình gi? b) Gọi E, F hình chiếu điểm M AD , AB Chứng minh: EF // AC ba điểm E,F,P thẳng hàng c)Chứng minh tỉ số cạnh hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P d) Giả sử CP DB CP = 2,4 cm,; PD PB 16 Tính cạnh hình chữ nhật ABCD Câu ( điểm ) ThuVienDeThi.com Cho hai bất phương trình: 3mx-2m > x+1 (1) m-2x < (2) Tìm m để hai bất phương trình có tập nghiệm Đáp án Câu ( ®iĨm ) 1) ( ®iĨm ) §K: x  0; x   )  6x  x   ( x  6)( x  6) A=     x( x  6) x( x  6)  12( x  1) = x  36 x  x   x  36 x  x   x 12( x  1) 12( x  1) 1 =  x 12( x  1) x x 2) A=  1  94 94 Câu2: ( điểm ) 1) (1 ®iĨm ) x2+y2+1  x y+x+y  x2+y2+1 - x y-x-y   2x2 +2y2+2-2xy-2x-2y  ( x2+y2-2xy) + ( x2+1-2x) +( y2+1-2y)   (x-y)2 + (x-1)2+ ( y- 1)2 Bất đẳng thức luôn 2) (2 điểm ) (1) 3mx-x>1+2m (3m-1)x > 1+2m (*) + XÐt 3m-1 =0 → m=1/3 (*)  0x> 1+  x  + XÐt 3m -1 >0 → m> 1/3 (*)  x>  2m 3m  + XÐt 3m-1 <  3m m  x > m/2 Hai bất phương trình có tập nghiệm  1   m  m  m     3 (m  2)(m  1)  3m  5m   1  2m  m   3m   m-2 =0  m=2 VËy : m=2 Câu 3: (4 điểm ) a)(1 điểm ) Gọi O giao điểm AC BD AM //PO tứ giác AMDB hình thang ThuVienDeThi.com b) ( ®iĨm ) Do AM// BD → gãc OBA= góc MAE ( đồng vị ) Xét tam giác cân OAB góc OBA= góc OAB Gọi I giao điểm MA EF AEI cân ë I → gãc IAE = gãc IEA → gãc FEA = góc OAB EF //AC (1) Mặt khác IP đường trung bình MAC IP // AC (2) Tõ (1) vµ (2) suy : E,F, P thẳng hàng c) (1 điểm ) Do MAF   DBA ( g-g) → d) NÕu MF AD không đổi FA AB PD BD PB     k → PD= 9k; PB = 16k PB 16 16 Do ®ã CP2=PB PD → ( 2,4)2=9.16k2 → k=0,2 PD = 9k =1,8 PB = 16 k = 3,2 DB=5 Tõ ®ã ta chøng minh ®­ỵc BC2= BP BD=16 Do ®ã : BC = cm CD = cm Câu4 ( điểm ) x2   ( x  x  1)( x  2) x  x  1 (x  )2  1 VËy Amax  [ ( x+ )  ]  x+ = → x = 2 Amax lµ x = -1/2 Ta cã A = ======================== ®Ị Bài1( 2.5 điểm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Phân tích đa thức thành nh©n tư: A = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) Bµi 2: ( 1,5 ®iÓm) Cho biÓu thøc: y = x ; ( x>0) ( x 2004) Tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn Tìm giá trị Bài 3: (2 ,5 điểm) a, Tìm tất số nguyên x thoả mÃn phương trình: : ( 12x ) ( 6x – ) ( 4x – ) ( 3x – ) = 330 B, Giải bất phương trình: x ThuVienDeThi.com Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy điểm I nằm góc Kẻ IC vuông góc víi ox ; ID vu«ng gãc víi oy BiÕt IC = ID = a Đường thẳng kẻ qua I c¾t â ë A c¾t oy ë b A, Chøng minh tích AC DB không đổi đường thẳng qua I thay đổi B, Chứng minh C, BiÕt SAOB = CA OC  DB OB 8a TÝnh CA ; DB theo a Đáp án Bài 1: điểm a, Tính: Ta có: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( Vì a+ b + c = theo giả thiết) VËy:a3 +a2c –abc + b2c + b3 = ( ®pCM) b, 1,5 ®iÓm Ta cã: bc(a+d) 9b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bài 2: Điểm Đặt t = 2004 y Bài toán đưa tìm x để t bé nhÊt Ta cã t = = Ta thÊy: ( x  2004) x  2.2004 x  20042 = 2004 x 2004 x x 2004 2 2004 x = x  2004 2 2004 x (1) Theo bất đẳng thức Côsi cho số dương ta cã: x2 + 20042  2004 x  x  2004 2 2004 x (2) DÊu “ = xảy x= 2004 Từ (1) (2) suy ra: t Vậy giá trị bé nhÊt cña t = x =2004 VËy ymax= 1  Khi x= 2004 2004t 8016 Bµi 3: Điểm a, Nhân vế phương trình với 2.3.4 ta được: (12x -1)(12x -2)(12x 3)(12x 4) = 330.2.3.4 (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11.10.9.8 Vế tráI số nguyên liên tiếp khác nên thừa số phảI dấu ( + )hc dÊu ( - ) Suy ; (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = 11 10 (1) Vµ (12x -1)(12x -2)(12x – 3)(12x – 4) = (-11) (-10) (-9) (-8) (2) ThuVienDeThi.com Từ phương trình (1) 12x -1 = 11 x = ( thoả mÃn) Từ phương tr×nh (2)  12x -1 = -  x= 7 12 suy x  Z VËy x=1 tho¶ mÃn phương trình b, Ta có x6 < -3 < x – <  3< x < Vậy tập nghiệm bất phương trình là: S = { x  R/ < x < 9} Bài : Điểm Ta có A chung ; AIC = ABI ( cặp góc đồng vị) IAC ~  BAO (gg) Suy ra: AC IC  AO BO AC AO  IC BO  (1) T­¬ng tù:  BID ~  BAO (gg) OA OB OA ID Suy ra:    ID BD OB BD AC ID Tõ (1) vµ(2) Suy ra:  IC BD (2) Hay AC BD = IC ID = a2 Suy ra: AC.BD = a2 không đổi b, Nhân (1) víi (2) ta cã: AC ID OA OA  IC BD OB OB AC OA  BD OB mà IC = ID ( theo giả thiết) suy ra: C, Theo c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam giác vuông ta có; SAOB = OA.OB mà SAOB = 8a Suy ra: OA.OB = 8a 16a OA OB =  Suy ra: (a + CA) ( a+DB ) = ( gi¶ thiÕt) 16a  a2 + a( CA + DB ) + CA DB = Mµ CA DB = a2 ( theo c©u a)  a(CA +DB) = 16a 16a - 2a2 16a CA.DB  a  2a 2 10 a  CA + DB + VËy:   10a a CA  DB    a Gi¶i hƯ pt  CA = DB = 3a a Hoặc CA = 3a DB = ==================== đề x2 y2 x2 y2 Bài 1( điểm) Cho biểu thức : P    x  y 1  y  x  y 1  x  x  11 y ThuVienDeThi.com 1.Rút gọn P 2.Tìm cặp số (x;y) Z cho giá trị P = Bài 2(2 điểm) Giải phương trình: 1 1     x  x  x  x  12 x  x  20 x  11x 30 Bài 3( điểm) Tìm giá trị lớn biẻu thức: M 2x x2 Bài (3 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi E; F trung điểm cạnh AB, BC M giao điểm CE DF 1.Chứng minh CE vuông góc với DF 2.Chứng minh MAD cân 3.Tính diện tích MDC theo a Bài 5(1 điểm) Chứng minh : Cho số a; b; c thoả m·n : a + b + c = a2 + b2 + c2  Đáp án Bài (2 điểm - câu ®iÓm) MTC : x  y x  11  y  P x 1  x   y 1  y   x y x  y  x  y 1 x y giá trị biểu thức xác định P x y xy Víi x  1; x   y; y  §Ĩ P =3 x  y 1  x 1  y x  y  xy  x  y 1  x 1  y    x  y  xy   x  y  xy    x  1y  1  C¸c ­íc nguyên : 1; Suy ra: x   1 x     y   2  y  3 x 1  x    y   y  (lo¹i) x 1  x    y   y   x   2  x  1  (lo¹i)   y   1  y  2 VËy víi (x;y) = (3;0) (x;y) = (0;-3) P = x  x   Bµi 2.(2 điểm) Điều kiện xác định: x x    x  ThuVienDeThi.com x  x   x  x   x  x  12  x  x   Ta cã : x  x  20  x  x   x  11x  30  x  x   Phương trình đà cho tương đương với : 1    x  x  3 x  3x   x  x   x  x    1 1 1 1         x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 1      x 6 x 2 x  x     x  x  20   x  10 x   x 10 thoả mÃn điều kiện phương trình x Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2 Bài 3.(2điểm)  2 2x   x2   x2  x   x  2x  M  x2  x2  x M     x  1 x2    x  1  1 x2  x  1 nhá nhÊt M lín nhÊt 2 x 2 Vì x 0x x  0x 2 x  1 nhá nhÊt x  = nªn   x 2 DÊu “=” x¶y x-1 =  x  VËy Mmax = x = Bµi (3iĨm) ฀ a ฀ BEC ฀ CFD(c.g.c)  C฀1  D ฀ D ฀  900  F ฀ C ฀  900 CMF vuông M CDF vuông C  F 1 1 Hay CE  DF b.Gọi K giao điểm AD với CE Ta cã : ฀ AEK ฀ BEC ( g c.g )  BC  AK  AM lµ trung tuyÕn tam giác MDK vuông M AM KD AD AMD cân A CD CM c ฀ CMD ฀฀ FCD( g.g )   FD FC 2 S CD   CD  Do ®ã : ฀ CMD     S฀ CMD    S฀ FCD S฀ FCD  FD   FD  Mµ : S฀ FCD  CF CD  CD ThuVienDeThi.com VËy : S฀ CMD  CD CD FD a k d Trong ฀ DCF theo Pitago ta cã : e 1  DF  CD  CF  CD   BC   CD  CD  CD 4 2  Do ®ã : S฀ MCD m 1 CD CD  CD  a  5 CD 4 b f c Bài (1điểm) 1 Ta cã:  a2     a2  a    a2   a 2 4  T­¬ng tù ta còng cã: b2   b 4 ; c2   c Céng vÕ víi vÕ c¸c bất đẳng thức chiều ta được: a2 b2  c2  3  a  b  c V× a  b  c  nªn: a  b  c  4 DÊu “=” x¶y a = b = c = ========================= ®Ị 10 Câu (1,5đ) Rút gọn biểu thức : A = 1 1 + + +……….+ 2.5 5.8 8.11 (3n 2)(3n 5) Câu (1,5đ) Tìm sè a, b, c cho : §a thøc x4 + ax + b chia hÕt cho (x2 - 4) Câu (2đ) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức có giá trị nguyên x x Câu Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh r»ng: a2 + b2 + c2 < (ab + ac + bc) C©u Chøng minh r»ng tam giác , trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác O Thì H,G,O thẳng hàng Đáp án Câu 1 1 1 1 ( - + - +…….+ ) 5 3n  3n  1 n 1 = ( )= 3n  6n  10 A= C©u Chia ®a thøc x4 + ax + b cho x2 đa thức dư suy a = ; b = - 16 C©u  Z  x2 –x +1 = U(7)= x  x 1  1,      Đưa phương trình dạng tích ThuVienDeThi.com Đáp số x = 2,1,3 Câu Từ giả thiết a < b + c  a2 < ab + ac T­ng tù b2 < ab + bc c2 < ca + cb Cộng hai vế bất đẳng thức ta (đpcm) Câu tam giác ABC H trực tâm, G Trọng tâm, O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GM à à = , HAG = OMG AG OM ChØ = (Bằng cách vẽ BK nhận O trung điểm chứng minh CK = AH) AH - Chỉ -  V AHG : V MOG (c.g.c)  H,G,O thẳng hàng ====================== đề 11 x 14 x  x  36 C©u 1:Cho biĨu thøc: A= 3 x  19 x  33 x a, Tìm giá trị biểu thức A xác định b, Tìm giá trị biểu thức A có giá trị c, Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên Câu 2: a, Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : A= ( x  16)( x  9) với x>0 x b, Giải phương trình: x+1+: 2x-1+2x =3 Câu3 : Cho tứ giác ABCD có diện tích S Gọi K,L,M,N điểm thuộc cạnh AB,BC,CA,AD cho AK/ AB = BL / BC =CM/CD =DN/DA= x .a, Xác định vị trí điểm K,L,M,N cho tø gi¸c MNKL cã diƯn tÝch mhá nhÊt .b, Tứ giác MNKL câu a hình gì? cần thêm điều kiện tứ giác MNKL hình chữ nhật Câu 4: Tìm dư phép chia đa thức x99+ x55+x11+x+ cho x2-1 Đáp án Câu1 (3®) a.(1®) Ta cã A= ( x  3) (3 x  4) (0,5®) ( x  3) (3 x 1) Vậy biểu thức A xác định x3,x1/3(0,5®) b Ta cã A= 3x  ®ã A=0 3x +4=0 (0,5®) 3x  ThuVienDeThi.com x=-4/3 thoà mÃn đk(0,25đ) Vậy với x=-4/3 biểu thức A có giá trị (0,25đ) c (1đ) Ta cã A= 3x  = 1+ 3x 3x Để A có giá trị nguyên phải nguyên 3x-1 ước 5 3x-11,5 3x =>x=-4/3;0;2/3;2 Vậy với giá trị nguyên xlà A có giá trị nguyên (1đ) Câu: 2: (3đ) a.(1,5đ) Ta có x  25 x  144 144 =x+ +25 (0,5®) x x 144 144 Các số dương x Có tích không đổi nên tổng nhỏ x = x x A=  x=12 (0,5®) VËy Min A =49 x=12(0,5đ) b.(1,5đ) TH1: xx=-31/2(loại )(0,25đ) TH3: Nếu x1/2ta có x+1+2x-1+2x=3=> x=3/5 KK1/BB1= AK/AB SANK/SABD= AN.KK1/AD.BB1= AN.AK/AD.AB= x(1-x)=> S1=x(1-x) SABD(0,5đ) Tương tự S2= x(1-x) SDBC=> S1,+S2= x(1-x)( SABD+ SDBC)= x(1-x)S (0,25đ) Tương tự S3+S4= x(1-x)S S1,+S2+ S3+ S4= x(1-x)2S (0,25®)  SMNKL=S-( S1,+S2+ S3+ S4)= 2S x2-2Sx+S=2S(x-1/2)2+1/2S1/2S(0,25®) ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com C¶ giá trị thỏa mÃn ĐKXĐ VËy PT ®· cho cã tËp nghiƯm S = 1;2;   3 C©u 3: 1,  ADQ =  ABR chúng hai tam giác vuông (để ý góc có cạnh vuông góc) DA=BD ( cạnh hình vuông) Suy... góc vuông, nên hình chữ nhật 3, Theo giả thi? ??t: QA RS, RC SQ nên QA RC hai đờng cao SQR Vậy P trùc t©m cđa  SQR 4, Trong tam giác vuông cân AQR MA trung điểm nên AM = QR Trong tam giác vuông... ThuVienDeThi.com Bài 4: ( ,5 điểm) Cho góc xoy điểm I nằm góc Kẻ IC vuông góc với ox ; ID vuông góc víi oy BiÕt IC = ID = a §­êng thẳng kẻ qua I cắt õ A cắt oy ë b A, Chøng minh r»ng tÝch AC DB không