Giáo án : Giải tích 12 Chương III: Vũ Thị Phương Thuỳ Nguyên hàm tích phân Đ1: nguyên hàm Tiết theo PPCT : 253 -> 256 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững định nghĩa nguyên hàm hàm số, định lý, tính chất nguyên hàm, bảng nguyên hàm HS biết cách tìm nguyên hàm hàm số II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt ®éng cđa HS A- ỉn ®Þnh líp, kiĨm tra sÜ số B - Giảng mới: GV nhắc lại vấn đề tổng quát: Cho hàm số f(x) xác định khoảng (a; b), tìm hàm số F(x) cho khoảng đó: F'(x) = f(x) HS đọc phần nêu vấn đề SGK(111) GV nêu khẳng định: Hàm số F(x) nói gọi nguyên hàm hàm số f(x) yêu cầu học sinh hÃy nêu định nghĩa nguyên hàm GV xác hoá HS phát biểu định nghĩa 1) Định nghĩa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm HS theo dõi ghi chép hàm số f(x) khoảng (a; b) với x(a; b) ta cã: F'(x) = f(x) NÕu thay cho kho¶ng (a; b) đoạn [a; b] phải có thêm: F'(a+) = f(a) F'(b-) = f(b) GV đặt câu hỏi: HS suy nghĩ trả lời * Tìm hàm số nguyên hàm hàm số * y = x2 y = 2x 66 DeThiMau.vn Gi¸o ¸n : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS * Hàm số y = x2 + 11 có phải nguyên hàm * Có y = 2x không? * Tìm nguyên hàm cđa hµm sè y  x * y x R*+ * Hàm số y x 0, 05 có phải nguyên hàm y x R* + không? * Từ hÃy tổng quát thành tính chất chung chứng minh * Có * Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a; b) : F(x) + C nguyên hàm f(x), C = const ThËt vËy: (F(x) + C)' = F'(x) + = f(x) * Điều ngược lại có không? Nêu cách * Giả sử G(x) nguyên chứng minh điều ngược lại hàm f(x) ta phải chứng minh GV gợi ý: Rõ ràng (G(x) - F(x))' = f(x) - f(x) =0 G(x) = F(x) + C hay G(x) - F(x) = C víi C = const nªn ta phải chứng minh bổ đề Bổ đề: Nếu F'(x) = khoảng (a; b) HS chứng minh bổ đề dựa vào định F(x) không đổi khoảng lý Lagrăng (SGK - 113) GV tổng hợp xác hoá thành định lý: Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) th× : + C = const cã F(x) + C nguyên HS theo dõi ghi chép hàm f(x) + Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a; b) cã thĨ viÕt d­íi HS tù rót nhËn xÐt: muốn tìm tất nguyên hàm hàm số f(x) ta d¹ng F(x) + C víi C = const cần tìm nguyên hàm Hay ta nói: {F(x) + C, C R} họ nguyên hàm khác suy nguyên hàm f(x) Kí hiệu là: f ( x)dx cách cộng vào số đọc tích phân bất định f(x) F ( x) C VËy:  f ( x)dx  F '( x) f ( x) (*) DÊu  gäi lµ dÊu tÝch phân, f(x)dx gọi biểu thức dấu tích phân vi phân nguyên hàm F(x) f(x) v× : dF(x) = F'(x)dx = f(x)dx 67 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Ví dụ: 1) 2) 2xdx x x Hoạt động HS C dx x C Các tính chất nguyên hàm: GV đặt câu hỏi để dẫn đến tính chất * Từ (*) cho biết HS nêu chứng minh c¸c tÝnh chÊt   f ( x)dx   ? ' * §· biÕt (aF(x))' = aF'(x) = af(x) VËy  af ( x)dx  ? víi a  *   f ( x)dx   f ( x) * af ( x)dx a ' f ( x)dx (a 0) ThËt vËy: a  f ( x)dx  a ( F ( x) C ) aF ( x) aC mµ  aF ( x)  ' aF '( x) af ( x) const nên đpcm * §· biÕt (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) VËy   f ( x) g ( x) dx * ?  af ( x)dx aF ( x) g ( x) dx  f ( x)  f ( x)dx  f (u ( x))u '( x)dx  ? *  f (t )dt F (t ) C   f (u ( x))u '( x)dx g ( x)dx F (u ( x)) C Hiển nhiên F'(t) = f(t) nên GV bổ sung: Vậy f (t )dt F (t ) (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) = f(u).u'(x) C = f(u(x)).u'(x)  ®pcm f (u )du F (u ) C víi u = u(x) Sù tồn nguyên hàm: GV nêu định lý, cho HS thừa nhận: Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn HS theo dõi ghi chép [a; b] có nguyên hàm đoạn GV nêu quy ước: Từ xét hàm số liên tơc 68 DeThiMau.vn = aC  Chøng minh t­¬ng tù * Đà biết (F(u(x)))' = F'(u).u'(x) Vậy aC Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS Bảng nguyên hàm: GV hướng dẫn HS từ đạo hàm suy HS tìm đạo hàm hàm số sơ nguyên hàm hàm số sơ cấp (và cÊp d­íi sù h­íng dÉn cđa GV cđa hµm sè hợp) tương ứng * (x)' = ? dx  ? *  dx x C * (x) = ?   x dx  ? x 1   x dx C ( *  1 * (ln/x/)' = ?  ? * * (ex)' = ?  ? dx  ln | x | C ( x x 1) 0) *  e x dx e x C * (ax)' = ?  ? ax *  a dx  C (0 ln a * (sinx)' = ?  ? *  cos xdx sin x C x * (cosx)' = ?  ? a 1) *  sin xdx cos x C * (tgx)' = ?  ? * (cotgx)' = ?  ? * dx tgx C cos x * dx co tgx C sin x C - Lun tËp - Cđng cè: áp dụng: GV nêu ví dụ hướng dẫn HS tính nguyên hàm dx *Ví dụ 1: F(x) =  x 5 x x  HS giải ví dụ dx x dx  x dx xdx x x x ln | x | C   x x ln | x | C 2 F ( x)  4 x dx  *VÝ dô 2: F(x) =  2 cos x  dx sin x  xdx dx sin x 3co tgx C F ( x) 2 cos xdx sin x 69 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV *Ví dô 3: F(x) =  x  4 x Hoạt động HS 2 F ( x)   dx x 8 x 16 x  x      3 8x 16 dx 16 x dx   x dx x dx 16 x dx 16  1 x3 x3 x C 16  16 1  3 3 193 24 103 x 48 x C x 19 10 *VÝ dô 4: F(x) =  cotgx  3sin  x  1  dx  x *VÝ dô 5: F(x) =  e xdx *VÝ dô 6: F(x) =  x dx 1 x cos xdx F ( x)   sin x sin  x 1 d  x 1 d sin x   sin x sin  x 1 d  x 1  ln | sin x | cos(2 x 1) C 2 F ( x)   e  x d x 2  e  x C   F ( x)  (1 x3 ) d (1 x3 ) 3  (1  x ) C  1 (1 x3 ) C 70 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ D - Chữa tập: Đề Đáp số Bài (118) Tìm nguyên hàm hàm số: x a ) f ( x)  x3 3x x 1 x b) f ( x )  c) f ( x)   x a ) F ( x)  x b) F ( x) x x x ln | x | C 23 x C 23 c) F ( x)  x x C 2 d ) F ( x) x x C  d ) f ( x) x x x Bài 2(118) Tìm nguyên hàm hµm sè: a ) f ( x) e x 1 e  x  a ) F ( x)  ex x C  e b) f ( x) e x 2  cos x x b) F ( x)  2e x tgx C c) f ( x) 2a x ax c) F ( x)  x ln a 2x 3x d ) F ( x)  C ln ln x d ) f ( x) 2 x 3x C Bµi 3(118) TÝnh: a)   x  1 b)  cos  ax b  dx x c) (a b) xdx a 2  1  x    ln x  x 21   x 1 C 42 sin  ax b  C a c)  x  C d ) ln | x a | C 0) e) 3cos x g) i) a)  tgxdx  e sin xdx e) h) dx x  5dx x d) 20 g) xdx h) i) dx 71 DeThiMau.vn ln | cos x | C  e3cos x C 1 x    ln x  C C Gi¸o án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Đ2: Tích phân Tiết theo PPCT : 257 -> 261 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS hiểu toán tính diện tích hình thang cong, nắm vững định nghĩa tích phân, tính chất tích phân HS biết cách tính số tích phân đơn giản II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra cũ: Đáp số:  23 a) e 2 x x C 2  b) cos  3x C 5 1 c)  cos x  sin x   sin x cos x  C  d ) cotg  x5 C Tính nguyên hàm sau: e2 x x  a )  e 1  dx x   b) c) d)  3x  sin  5 dx   cos x  sin x  cos 3xdx x dx   sin x C - Giảng míi: DiƯn tÝch h×nh thang cong: GV giíi thiƯu khái niệm tam giác cong, hình thang cong toán tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong GV nêu toán Bài toán: Tính diện tích hình thang cong aABb, giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f(x), f(x) 0, trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b 72 DeThiMau.vn HS theo dâi ghi chép Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS GV hướng dẫn HS giải toán (SGK trang120 -> 122) GV: toán nội dung định lý sau Nêu định lý ĐL: Giả sử y = f(x) hàm số liên tục f(x) đoạn [a; b] Thế diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số đó, trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b lµ: S = F(b) - F(a) , F(x) nguyên hàm f(x) đoạn [a; b] HS theo dõi ghi chép Định nghĩa tích phân: GV nêu định nghĩa ĐN: Giả sử f(x) hàm số liên tục khoảng K, a b hai phần tử K, F(x) nguyên hàm f(x) K Hiệu số F(b) - F(a) gọi tích phân từ HS theo dõi ghi chép b a đến b f(x) ký hiệu f ( x)dx a Ta cßn ký hiƯu: F ( x) a F (b) F (a) b b VËy: F ( x)  f ( x)dx  a b a F (b) F (a) (1) (công thức Newton - Leibniz) Trong đó: đấu tích phân, f(x) dx biểu thức dấu tích phân vi phân nguyên hµm cđa f(x), f(x) lµ hµm sè d­íi dÊu tÝch phân, a b cận tích phân, a cận trên, b cận dưới, x biến số tích phân GV nêu ví dụ HS áp dụng công thức (1) để giải ví dụ Ví dô: 1)  2xdx 1 3 2) 2 x 1) dx x  xdx  1 1 2) 2 73 DeThiMau.vn x dx x 32  1 2 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động cđa HS GV nªu chó ý b  f ( x)dx Chú ý: Tích phân phụ thuộc vào HS theo dâi vµ ghi chÐp a f, a vµ b mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu biến số tích phân GV đặt câu hỏi: Từ định nghĩa tích phân hÃy HS suy nghĩ trả lời: nêu ý nghĩa hình học tích phân b f ( x)dx a diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y = f(x) hàm số liên tục không âm đoạn [a; b], trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b Các tính chất tích phân: Giả sử hàm số f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c thuéc K Khi ®ã: a HS theo dâi vµ ghi chÐp 1  f ( x)dx  a a   f ( x)dx  b b b a a  3 kf ( x)dx k  4 f ( x)dx a  6 a b + Chứng minh (3): Giả sử F(x) nguyên hàm f(x) kF(x) ng.hàm kf(x) Ta cã: b f ( x)dx a a R b g ( x)  dx  f ( x)   5 f ( x)dx  k f ( x)dx b c HS suy nghÜ vµ chøng minh mét sè công thức, lại coi tập b g ( x)dx b  kf ( x)dx kF (b) a c f ( x)dx a a f ( x)dx b b f ( x)  0, x  a; b   8 f ( x)  g ( x), x m  f ( x) M, x m b a   b  k  f ( x)dx a b  a; b f ( x)dx  a; b  f ( x)dx a b g ( x)dx + Chứng minh (6): Giả sử F(x) nguyên hàm f(x), ta có: a F'(x) = f(x)  0, x  [a; b]  F(x) ®ång biÕn [a; b] Do đó: M b a b F (b)  f ( x)dx  a (9) t biến thiên đoạn [a; b] t G (t )  k  F (b) F (a )  b f ( x)dx a 7 kF (a ) F (a ) b a a + Chøng minh (7): Suy tõ (6) víi f ( x)dx lµ mét nguyên hàm hàm h(x) =f(x)-g(x)0,x [a; b] a + Chøng minh (8): Suy tõ (7) f(t) vµ G(a) = 74 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS áp dụng: GV nêu đề bài: Tính tích phân 1) ( x 4)dx HS áp dụng công thức đà học để giải tập cotg 4x 12  2) x 1)  ( x  4)dx   xdx 2)  1 dx cotg xdx    sin x  2 4    cotgx x  2  4 3)  x  dx 3) 2 1  2 dx x   x 1 dx  x 1 dx 1 x  x  2  2  x2 2  3  cotg x dx 4)  cos x  4) 3  cotg x   dx dx  2  cos x sin x  cos x 4    3tgx 2cotgx  3 5) Chøng minh r»ng:   14  dx  3cos x x 11 5) Ta cã:    cos x 3cos x x 0;  1  4 3cos x 7  3cos x  Do ®ã: 2 dx  dx   3cos x 0 dx    14 75 DeThiMau.vn dx   3cos x (đpcm) Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ D - Chữa tập: Đề Đáp số Bài (128) Tính tích phân: 16 a)  xdx  dx x 1 e b) e c) dx x  d) 4x     1 dx x2 Bài 2(128) Tính tích phân: x2  2x dx x3 a)  e2 b) x 5 x dx x   c)  cos 3x cos xdx   d)  sin x sin xdx  Bµi 3(128) Chøng minh r»ng :  x2 dx a )  b) c) dx  1  x3  3   2 dx  2sin x  d) 2 0 sin xdx  sin xdx 76 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Đề Đáp số Bài 4(129) Tính tích phân: a) x dx ; 3 b) x  dx ; 2 x c )  (3x  e )dx ;   d )  sin   x dx 4 77 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Đ3: Các phương pháp tính Tích phân Tiết theo PPCT : 262 -> 265 Tuần dạy : I - Mục đích, yêu cầu: HS nắm vững phương pháp tính tích phân: phương pháp đổi biến số (dạng dạng 2), phương pháp tích phân phần; biết cách áp dụng phương pháp để tính tích phân II - Tiến hành: Hoạt động GV Hoạt động HS A- ổn định lớp, kiểm tra sĩ số B - Kiểm tra cũ: Đáp số: Tính tÝch ph©n sau:   3 dx a) I   2  sin x cos x  a) I   sin x cos2 x dx 2 b) I  cos xdx   sin xdx 0 b) I  sin x dx c) I   cotgx  3 2   tgx    cos x dx  c) I  cos x dx GV: tích phân tính cách dùng định nghĩa tính chất tích phân, nhiên với nhiều tích phân phức tạp tính cách sin xdx   cos xdx cos xdx  HS theo dâi vµ ghi chÐp C - Giảng mới: Phương pháp đổi biến số: GV giới thiệu toán b Giả sử phải tính I   f ( x)dx , víi f(x) a lµ hàm số liên tục đoạn [a; b] 78 DeThiMau.vn 2 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS a) Đổi biến số dạng 1: GV nêu định lý ĐL Nếu: 1) Hàm số x = u(t) có đạo hàm liên tục HS theo dõi ghi chép đoạn [; ] 2) Hàm số hợp f(u(t)) xác định đoạn [; ] 3) u() = a, u() = b th× ta cã:  b u  t  u '  t  dt f ( x)dx f a GV yêu cầu HS chứng minh định lý HS suy nghĩ chứng minh GV nêu quy tắc HS đọc SGK(130) * Quy tắc đổi biến số dạng + Đặt x = u(t), với u(t) hàm số có đạo hàm liên tục [; ] u() = a, u() = b, f(u(t)) xác định [; ] HS theo dõi ghi chép + Thay theo cách đặt vào tích phân cần tính tính tích phân theo biến t GV lưu ý HS đổi biến phải đổi cận GV nêu ví dụ hướng dẫn HS cách HS gi¶i vÝ dơ d­íi sù h­íng dÉn cđa GV gi¶i Đặt x = sint t ; VD1: TÝnh I  x dx 2    Khi x = th× t = 0, x = th× t = Ta cã: dx = dsint = costdt Do ®ã:  I   sin t cos tdt GV: ta đặt x = cost 2 cos tdt  dx  x VD2: Tính I Đặt x = tgt t  ;   2 Khi x = th× t = 0, x = th× t = dtgt Ta cã dx  79 DeThiMau.vn dt cos t 1  tg 2t dt Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS I tg 2t  dt  Do ®ã:    tg t dx VD3: TÝnh I x Đặt x = sint t  ;   2  dt  th× t = Khi x = th× t = 0, x = Ta cã: dx = dsint = costdt  6 cos tdt Do ®ã: I    sin t VD4: TÝnh I   dx x x  cos tdt cos t dt  Ta cã: x  x x     §Ỉt x  tgt t  ;   2  Khi x = th× tgt  t , 2 x = th× tgt   t  3 d  tgt dt tg 2t  dt Ta cã: dx    2 cos t  Do ®ã:  3 1  tg 2t  dt 3 I  dt   3   tg t   6 VD5: Chøng minh r»ng  §Ỉt x  t  2 0 n n cos xdx  sin xdx  n  N  Ta cã: x  t ; x Do ®ã: t 0; dx dt   cos n xdx  cos n  t  2  0  dt  2 sin n tdt sin n xdx b) Đổi biến số dạng 2: (đpcm) * Quy tắc đổi biến số dạng 2: + Đặt t = v(x) với v(x) hàm số có đạo hàm liên tục 80 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS + Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử: f(x)dx = g(t)dt + Khi ®ã I  HS theo dâi vµ ghi chÐp v (b )  g (t )dt v(a) GV nªu vÝ dơ VD1: TÝnh I   2x 1 dx x x HS áp dụng quy tắc đổi biến số dạng 2, chọn biến thích hợp để giải ví dụ Đặt t = x2 + x + Khi x = th× t = 1, x = th× t = Ta cã: dt = (2x + 1)dx dt Do ®ã: I  1 t GV yêu cầu HS tính theo cách khác Cách khác: (không cần đổi biến mà dùng tính chất tích phân hàm số hợp) 2x I dx 0 x2  x 1 VD2: TÝnh I   ln t 1 ln d  x x 1 x x ln x x 1 ln xdx 1  x  §Ỉt t = - x2  dt = -2xdx Khi x = th× t = 1, x = 1/2 th× t = 3/4 3 dt Do ®ã: I  1 t t 2 2 t2 35 36 HS tÝnh theo cách khác, coi tập VD3: Tính I e x dx ln x Đặt t  ln x dt dx x Khi x =1 th× t = 0, x  e th× t ln e Do ®ã: I  81 DeThiMau.vn dt  1 t2 (theo VD3 dạng 1) Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS Phương pháp tích phân phần: GV nêu định lý ĐL: Nếu u(x) v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] th×: b u ( x)v '( x)dx [u( x).v( x)] b b v( x)u '( x)dx a a b Hay u ( x)dv [u ( x).v( x)] a HS theo dâi vµ ghi chÐp a b b v( x)du (*) a a GV yêu cầu HS chứng minh định lý HS suy nghĩ chứng minh định lý Ta cã: u  x  v  x    b a b   u  x  v  x  dx ' a b   u  x  v '  x  v  x  u '  x  dx a b b a a u  x  v '  x  dx b  u  x  v '  x  dx u  x  v  x  b v  x  u '  x  dx b a a v  x  u '  x  dx a Mµ du = u'(x)dx dv = v'(x)dx nên dễ dàng suy công thức (*) HS áp dụng công thức tích phân phần để giải ví dụ du  dx  u ln x    x Đặt ta có: dv x dx v  x  GV nªu vÝ dô VD1: TÝnh I   x ln xdx x5 I  ln x 5 5 x5 1 x dx 625ln x dx 1 x5  625ln 5 82 DeThiMau.vn 625ln 3124 25 Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động HS Hoạt động GV u x Đặt sin xdx dv VD2: TÝnh I   x sin xdx du v  dx ta cã: cos x   I  x cos x 02  cos x  dx     cos xdx sin x 02 VD3: TÝnh I  ln xe x du dx u x Đặt  x e dx v e x dv  dx x ln  I  xe ln  x e ta cã: ln  dx ln 2.e ln e   ln 2 VD4: TÝnh I  x ln 1 x  dx x ln 1 e x dx x  xdx 1 x ln 2 VD5: TÝnh I   ln x dx 1 ln 2 2 xdx  du   x u ln 1 x Đặt ta có: dv xdx v  x  1 x3 ln I  x x   0  x dx  ln 2 e e xd  x 1 d 1  x 0  x 1 ln 1 x  1 ln  2 ln 2 ln  ln x x  1; e  Do : ln x   1 ln x x  ;1  e  1 e  83 DeThiMau.vn 2 e  1 ln  2 I   ln x  dx  e nªn ta cã: e ln xdx 1 ln xdx ln xdx e Giáo án : Giải tích 12 D - Chữa tập: Vũ Thị Phương Thuỳ Tính tích phân Đề Đáp số Bài (141) Tính tích phân: a ) 2cos3x  3sin x  dx ;  b)  tgxdx ;  c )  cotgxdx ;   sin x dx  3cos x d)  Bµi 2(141) Tính tích phân: a ) e x xdx ; b)  e3 x 1dx ; dx  x c) Bài 3(142) Tính tích phân: ln x dx ; x e a)   b)  sin x cos xdx ;  c )  esin x cos xdx ;  d )   4sin x cos xdx Bài (142) Tính tích ph©n sau (víi a > 0): a dx a  x2 a) (Đặt x = atgt) 84 DeThiMau.vn Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Đề a b) dx a2 x2 Đáp số (Đặt x = asint) Bài (142) TÝnh: a )  xe3 x dx ;  b)   x  1 cos xdx ;  c )    x  sin 3xdx ; d )  x e x dx Bµi (142) TÝnh:  a )  x sin xdx ;  b)  e x cos xdx ; e c )  ln xdx ; d )  x ln  x  1 dx ; e e)   ln x  dx 85 DeThiMau.vn ...   x 7 C - Giảng mới: Diện tích hình thang cong: GV giới thiệu khái niệm tam giác cong, hình thang cong toán tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong GV nêu toán Bài toán: Tính diện... DeThiMau.vn HS theo dõi ghi chép Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ Hoạt động GV Hoạt động HS GV hướng dẫn HS giải toán (SGK trang120 -> 122 ) GV: toán nội dung định lý sau Nêu định lý ĐL: Giả... (đpcm) Giáo án : Giải tích 12 Vũ Thị Phương Thuỳ D - Chữa tập: Đề Đáp số Bài (128 ) Tính tÝch ph©n: 16 a)  xdx  dx x 1 e b) e c) dx x  d) 4x    1 dx x2 Bài 2 (128 ) Tính tÝch ph©n: x2 