Đỗ Văn Lâm Trờng THCS TT Tân Uyên - Câu 1: ( !"# $ !"% & ' $ ( ) *+, Thêi gian l m b i: 150 / ) 1, Phân tích đa thức sau th nh nh©n tư: (x2 3x + 2)2 4x + 2, Chøng minh r»ng: x2002 + x2000 + chia hÕt cho x2 + x + C©u 2: ( ) 1, Cho hai sè d−¬ng x, y cã tỉng b»ng Tìm giá trị nhỏ biểu thức:    P = 1 − 1 −   x  y  2, Cho a, b, c > tháa m7n: ab + bc + ca = Chøng minh r»ng: 1 + 2 + ≤1 2 a + b +1 b + c +1 c + a2 +1 C©u 3: ( ) 2x 2x     Cho biÓu thøc A =  −  : 1 −   x −1 x + x − x −1  x +1  1, Rút gọn biểu thức A; 2, Với giá trị n o x biểu thức A có giá trị dơng; 3, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên ) Câu 4: ( Cho h×nh b×nh h nh ABCD, gäi O l giao ®iĨm cđa hai ®−êng chÐo AC v BD Gäi M, N lần lợt l trung điểm BO v AO Lấy điểm F cạnh AB cho tia FM cắt cạnh BC E v tia FN cắt cạnh AD t¹i K Chøng minh r»ng: BA BC + =4 2, BE + AK ≥ BC 1, BF BE C©u 5: ( ) Cho đa giác n cạnh, dùng ba m u xanh, đỏ, v ng tô m u đỉnh cách tùy ý (mỗi đỉnh đợc tô m u v tất đỉnh đợc tô m u) Cho phép thực thao tác sau đây: Chọn hai đỉnh kề (định nghĩa hai đỉnh liên tiếp) v thay m u hai đỉnh h i m u lại Chứng minh cách thực thao tác số lần ta luôn l m cho đỉnh đa giác đợc tô hai m u Hết ThuVienDeThi.com Đỗ Văn Lâm Trờng THCS TT Tân Uyên Chú ý: Đáp án mang tính tham khảo Câu 1: ( 1, Phân tích đa thức sau th nh nh©n tư: (x2 3x + 2)2 4x + 2, Chøng minh r»ng: x 2002 + x 2000 + chia hÕt cho x + x + Gi¶i 1, Ta cã: (x2 3x + 2)2 4x + = x4 + 9x2 + 6x3 + 4x2 12x 4x + = x4 6x3 + 13x2 16x + = x2(x2 2x + 3) 4x(x2 2x + 3) + 2(x2 2x + 3) = (x2 2x + 3)(x2 4x + 2) = (x2 2x + 3)(x + )(x 2) 2, x + x2000 + = x2000(x2 + x + 1) (x2001 1) = x2000(x2 + x + 1) [(x3)667 1] = x2000(x2 + x + 1) (x3 1).M(x) = x2000(x2 + x + 1) (x 1)(x2 + x + 1).M(x) = (x2 + x + 1)[(x2000 (x 1)M(x)] lu«n chia hÕt cho đa thức (x2 + x + 1) Câu 2: ( ) 1, Cho hai sè d−¬ng x, y cã tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thøc:    P = 1 −   −   x  y  2, Cho a, b, c > tháa m7n: ab + bc + ca = Chøng minh r»ng: 1 + 2 + ≤1 2 a + b +1 b + c +1 c + a2 +1 Gi¶i 2 1 x +y (x + y) − 2xy + 2 1, P = − − + 2 = − 2 + 2 = − 2 y x x y x y x y x y x y − 2xy 1 2 = 1− 2 + 2 = 1− 2 + + 2 = 1+ x y x y x y xy x y xy 2002 (x + y) 1 = ⇒ ≥4⇒ ≥8 4 xy xy ⇒P = + ≥ DÊu "=" x¶y x = y = xy VËy: Min P = x = y = 2, p dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta cã: + c2 2 2 ≤ (1 + a + b )(1 + + c ) ≥ (a + b + c) ⇔ + a + b2 (a + b + c) V× x, y > ⇒ x + y ≥ xy ⇒ xy ≤ + a2 + b2 ≤ ≤ v + b3 + c3 (a + b + c) + c2 + a (a + b + c) Céng vế với vế ta đợc: 1 + c2 + a2 + b2 + + ≤ + + a + b + b + c + c2 + a + (a + b + c) (a + b + c)2 (a + b + c) T−¬ng tù: ⇔ 1 a + b2 + c + a + b + c + 2(ab + bc + ca) + + ≤ = a + b + b + c + c2 + a + (a + b + c)2 (a + b + c) 1 (a + b + c)2 + + ≤ =1 a + b + b + c + c + a + (a + b + c)2 1 + 2 + ≤1 VËy: 2 a + b +1 b + c +1 c + a2 +1 ⇔ C©u 3: ( ) ThuVienDeThi.com Đỗ Văn Lâm Trờng THCS TT Tân Uyên 2x 2x     Cho biÓu thøc A =  −  : 1 −   x −1 x + x − x −1   x +1  1, Rót gän biĨu thøc A; 2, Với giá trị n o x biểu thức A có giá trị dơng; 3, Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên Giải 1, ĐKXĐ: x Khi   x − 2x + 2x − A=  : 2 x2 +1  x − x(x + 1) − (x + 1)  x − 2x + x − 2x + x − 2x + x2 +1 = = : : 2 2 (x − 1)(x + 1) x +1 (x − 1)(x + 1) x − 2x + x − 1 2, V× A > ⇒ > ⇒ x − > ⇒ x > VËy x > th× A > x −1 ∈ Z ⇒ x − ∈ ¦(1) ⇒ x ∈ {0; 2} 3, A ∈ Z ⇒ x −1 = Câu 4: ( Cho hình bình h nh ABCD, gäi O l giao ®iĨm cđa hai ®−êng chÐo AC v BD Gọi M, N lần lợt l trung điểm BO v AO Lấy điểm F cạnh AB cho tia FM cắt cạnh BC E v tia FN cắt cạnh AD K Chứng minh rằng: BA BC + =4 2, BE + AK ≥ BC 1, BF BE Chøng minh F B A 1, Tõ A v C kỴ AP//EF v CQ//EF (P ∈ BD, Q ∈ BD) - XÐt ∆ OAP v ∆ OCQ cã: Q M OAP = OCQ (so le trong) O P OA = OC (GT) E D AOP = COQ (®èi ®Ønh) C ⇒ ∆ OAP = ∆ OCQ (g.c.g) ⇒ OP = OQ (1) BA BP BA BO + OP - XÐt ∆ BAP cã FM//AP ⇒ = ⇒ = (2) BF BM BF BM BC BQ BC BO − OQ - XÐt ∆ BQC cã EM//CQ ⇒ = ⇒ = (3) BE BM BE BM BA BC BO + OP BO − OQ 2BO - Tõ (1), (2) v (3) ⇒ + = + = =4 BF BE BM BM BM A F BA BC - VËy: + =4 N BF BE K O M 2, V× F chạy AB, M v N l hai điểm cố ®Þnh S Gäi S l giao ®iĨm cđa KE v AC ⇒ S thuéc OC E ⇒ SSAK ≥ SSCE ⇒ SSAK + SASEB ≥ SSCE + SASEB D C ⇒ SABEK ≥ SABC ⇒ SBAK + SBKE ≥ SABC (gọi h l khoảng cách BC v AD) 1 ⇒ h.AK + h.BE ≥ h.BC ⇒ AK + BE ≥ BC 2 (dÊu = x¶y S trïng O ⇒ F l trung ®iĨm AB) Câu 5: ( Kí hiệu m u lần lợt l xanh (X), đỏ (Đ), v ng (V) Không tính tổng quát, giả sử thời điểm ban đầu, m u v ng đợc tô Ta sÏ chØ mét c¸ch thùc hiƯn thao t¸c để chuyển tất đỉnh đa giác m u đỏ xanh Lúc n y, ta quan tâm đến m u v ng v m u kh¸c v ng, kÝ hiƯu l K (kh¸c v ng) Đánh số đỉnh từ đến n theo chiều kim đồng hồ ThuVienDeThi.com B Đỗ Văn Lâm Trờng THCS TT Tân Uyên Nếu lúc đầu đỉnh n o đợc tô V b i toán kết thúc Ngợc lại tồn d7y đỉnh đợc tô V (d7y có độ d i 1) Do tính nhỏ n nên d7y đỉnh n y có độ d i không vợt v phÝa tr−íc hc phÝa sau cđa nã sÏ l đỉnh đợc tô m u K Ta lại thấy cách thực quy tắc đổi m u nh đề b i liên tục d7y đỉnh n y th×: KVVV V → KKVV V → KKKV V → KKKK V → → KKKK K p dụng với tất d7y, tất đỉnh đợc tô m u K, ta có đpcm ThuVienDeThi.com ... ng) Đánh số đỉnh tõ ®Õn n theo chiỊu kim ®ång hå ThuVienDeThi.com B Đỗ Văn Lâm Trờng THCS TT Tân Uyên Nếu lúc đầu đỉnh n o đợc tô V b i toán kết thúc Ngợc lại tồn d7y đỉnh đợc tô V (d7y cã thĨ... thực quy tắc đổi m u nh đề b i liên tục d7y đỉnh n y thì: KVVV V → KKVV V → KKKV V → KKKK V → → KKKK K p dơng víi tÊt c¶ d7y, tất đỉnh đợc tô m u K, ta cã ®pcm ThuVienDeThi.com ... b + c + c + a + (a + b + c)2 1 + 2 + ≤1 VËy: 2 a + b +1 b + c +1 c + a2 +1 Câu 3: ( ) ThuVienDeThi.com Đỗ Văn Lâm Trờng THCS TT Tân Uyên 2x 2x   Cho biÓu thøc A =  −  : 1 −   x −1 x