80 BÀI T P HÌNH H C L P Bài Cho tam giác ABC có ba góc nh n n i ti p đ ng tròn (O) Các đ ng cao AD, BE, CF c t t i H c t đ ng tròn (O) l n l t t i M,N,P Ch ng minh r ng: A N T giác CEHD, n i ti p B n m B,C,E,F n m m t đ ng tròn E P AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC F H M đ i x ng qua BC O H Xác đ nh tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF L i gi i: ( B C D ( Xét t giác CEHD ta có:  CEH = 900 ( Vì BE đ ng cao) M  CDH = 900 ( Vì AD đ ng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH  CDH hai góc đ i c a t giác CEHD , Do CEHD t giác n i ti p Theo gi thi t: BE đ ng cao => BE  AC => BEC = 900 CF đ ng cao => CF  AB => BFC = 900 Nh v y E F nhìn BC d i m t góc 900 => E F n m đ ng trịn đ ng kính BC V y b n m B,C,E,F n m m t đ ng tròn Xét hai tam giác AEH ADC ta có:  AEH =  ADC = 900 ; Â góc chung =>  AEH  ADC => AE AH => AE.AC = AH.AD  AD AC * Xét hai tam giác BEC ADC ta có:  BEC =  ADC = 900 ; C góc chung =>  BEC  ADC => BE BC => AD.BC = BE.AC  AD AC Ta có C1 = A1 ( ph v i góc ABC) C2 = A1 ( hai góc n i ti p ch n cung BM) => C1 =  C2 => CB tia phân giác c a góc HCM; l i có CB  HM =>  CHM cân t i C => CB c ng đ ng trung tr c c a HM v y H M đ i x ng qua BC Theo ch ng minh b n m B,C,E,F n m m t đ ng tròn => C1 = E1 ( hai góc n i ti p ch n cung BF) C ng theo ch ng minh CEHD t giác n i ti p  C1 = E2 ( hai góc n i ti p ch n cung HD)  E1 = E2 => EB tia phân giác c a góc FED Ch ng minh t ng t ta c ng có FC tia phân giác c a góc DFE mà BE CF c t t i H H tâm đ ng tròn n i ti p tam giác DEF ThuVienDeThi.com Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đ ng cao AD, BE, c t t i H G i O tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác AHE Ch ng minh t giác CEHD n i ti p A B n m A, E, D, B n m m t đ ng tròn Ch ng minh ED = 1 BC Ch ng minh DE ti p n c a đ ng trịn (O) Tính đ dài DE bi t DH = Cm, AH = Cm L i gi i: Xét t giác CEHD ta có:  CEH = 900 ( Vì BE đ ng cao) O H B D E C  CDH = 900 ( Vì AD đ ng cao) =>  CEH +  CDH = 1800 Mà  CEH  CDH hai góc đ i c a t giác CEHD , Do CEHD t giác n i ti p Theo gi thi t: BE đ ng cao => BE  AC => BEA = 900 AD đ ng cao => AD  BC => BDA = 900 Nh v y E D nhìn AB d i m t góc 900 => E D n m đ ng trịn đ ng kính AB V y b n m A, E, D, B n m m t đ ng tròn Theo gi thi t tam giác ABC cân t i A có AD đ ng cao nên c ng đ ng trung n => D trung m c a BC Theo ta có BEC = 900 V y tam giác BEC vuông t i E có ED trung n => DE = BC 4.Vì O tâm đ ng trịn ngo i ti p tam giác AHE nên O trung m c a AH => OA = OE => tam giác AOE cân t i O => E1 = A1 (1) Theo DE = BC => tam giác DBE cân t i D => E3 = B1 (2) Mà B1 = A1 ( ph v i góc ACB) => E1 = E3 => E1 + E2 = E2 + E3 Mà E1 + E2 = BEA = 900 => E2 + E3 = 900 = OED => DE  OE t i E V y DE ti p n c a đ ng tròn (O) t i E Theo gi thi t AH = Cm => OH = OE = cm.; DH = Cm => OD = cm Áp d ng đ nh lí Pitago cho tam giác OED vng t i E ta có ED2 = OD2 – OE2  ED2 = 52 – 32  ED = 4cm Bài Cho n a đ ng trịn đ ng kính AB = 2R T A B k hai ti p n Ax, By Qua m M thu c n a đ ng tròn k ti p n th ba c t ti p n Ax , By l n l t C D Các đ ng th ng AD BC c t t i N Ch ng minh AC + BD = CD 4.Ch ng minh OC // BM 2.Ch ng minh COD = 90 3.Ch ng minh AC BD = AB2 ThuVienDeThi.com 5.Ch ng minh AB ti p n c a đ ng trịn đ ng kính CD 5.Ch ng minh MN  AB 6.Xác đ nh v trí c a M đ chu vi t giác ACDB đ t giá tr nh nh t L i gi i: y x D I / M / C A N O B 1.Theo tính ch t hai ti p n c t ta có: CA = CM; DB = DM => AC + BD = CM + DM Mà CM + DM = CD => AC + BD = CD 2.Theo tính ch t hai ti p n c t ta có: OC tia phân giác c a góc AOM; OD tia phân giác c a góc BOM, mà AOM BOM hai góc k bù => COD = 900 3.Theo COD = 900 nên tam giác COD vuông t i O có OM  CD ( OM ti p n ) Áp d ng h th c gi a c nh đ ng cao tam giác vng ta có OM2 = CM DM, AB2 Mà OM = R; CA = CM; DB = DM => AC BD =R => AC BD = 4 Theo COD = 900 nên OC  OD (1) Theo tính ch t hai ti p n c t ta có: DB = DM; l i có OM = OB =R => OD trung tr c c a BM => BM  OD (2) T (1) Và (2) => OC // BM ( Vì vng góc v i OD) 5.G i I trung m c a CD ta có I tâm đ ng tròn ngo i ti p tam giác COD đ ng kính CD có IO bán kính Theo tính ch t ti p n ta có AC  AB; BD  AB => AC // BD => t giác ACDB hình thang L i có I trung m c a CD; O trung m c a AB => IO đ ng trung bình c a hình thang ACDB  IO // AC , mà AC  AB => IO  AB t i O => AB ti p n t i O c a đ ng trịn đ ng kính CD Theo AC // BD => CN AC CN CM , mà CA = CM; DB = DM nên suy   BN BD BN DM => MN // BD mà BD  AB => MN  AB ( HD): Ta có chu vi t giác ACDB = AB + AC + CD + BD mà AC + BD = CD nên suy chu vi t giác ACDB = AB + 2CD mà AB không đ i nên chu vi t giác ACDB nh nh t CD nh nh t , mà CD nh nh t CD kho ng cách gi Ax By t c CD vng góc v i Ax By Khi CD // AB => M ph i trung m c a cung AB Bài Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I tâm đ ng tròn n i ti p, K tâm đ ng trịn bàng ti p góc A , O trung m c a IK Vì I tâm Ch ng minh B, C, I, K n m m t đ ng tròn đ ng tròn n i ti p, Ch ng minh AC ti p n c a đ ng tròn (O) K tâm đ ng trịn Tính bán kính đ ng trịn (O) Bi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 bàng ti p góc A nên Cm BI BK hai tia L i gi i: (HD) phân giác c a hai góc k bù đ nh B ThuVienDeThi.com Do BI  BK hayIBK = 900 T ng t ta c ng có ICK = 900 nh v y B C n m đ ng trịn đ ng kính IK B, C, I, K n m m t đ ng trịn Ta có C1 = C2 (1) ( CI phân giác c a góc ACH C2 + I1 = 900 (2) ( IHC = 900 ) hoctoancapba.com A I B H C o K I1 =  ICO (3) ( tam giác OIC cân t i O) T (1), (2) , (3) => C1 + ICO = 900 hay AC  OC V y AC ti p n c a đ T gi thi t AB = AC = 20 Cm, BC = 24 Cm => CH = 12 cm AH2 = AC2 – HC2 => AH = 20  12 = 16 ( cm) CH2 = AH.OH => OH = ng tròn (O) CH 12  = (cm) 16 AH OC = OH  HC   12  225 = 15 (cm) Bài Cho đ ng tròn (O; R), t m t m A (O) k ti p n d v i (O) Trên đ ng th ng d l y m M b t kì ( M khác A) k cát n MNP g i K trung m c a NP, k ti p n MB (B ti p m) K AC  MB, BD  MA, g i H giao m c a AC BD, I giao m c a OM AB d Ch ng minh t giác AMBO n i ti p A Ch ng minh n m m O, K, A, M, B n m m t P K D đ ng tròn N Ch ng minh OI.OM = R2; OI IM = IA2 H M O I Ch ng minh OAHB hình thoi Ch ng minh ba m O, H, M th ng hàng C Tìm qu tích c a m H M di chuy n đ ng th ng d B L i gi i: (HS t làm) Vì K trung m NP nên OK  NP ( quan h đ ng kính Và dây cung) => OKM = 900 Theo tính ch t ti p n ta có OAM = 900; OBM = 900 nh v y K, A, B nhìn OM d i m t góc 900 nên n m đ ng trịn đ ng kính OM V y n m m O, K, A, M, B n m m t đ ng tròn Ta có MA = MB ( t/c hai ti p n c t nhau); OA = OB = R => OM trung tr c c a AB => OM  AB t i I Theo tính ch t ti p n ta có OAM = 900 nên tam giác OAM vng t i A có AI đ ng cao ThuVienDeThi.com Áp d ng h th c gi a c nh đ ng cao => OI.OM = OA2 hay OI.OM = R2; OI IM = IA2 Ta có OB  MB (tính ch t ti p n) ; AC  MB (gt) => OB // AC hay OB // AH OA  MA (tính ch t ti p n) ; BD  MA (gt) => OA // BD hay OA // BH => T giác OAHB hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH  AB; c ng theo OM  AB => O, H, M th ng hàng( Vì qua O ch có m t đ ng th ng vng góc v i AB) (HD) Theo OAHB hình thoi => AH = AO = R V y M di đ ng d H c ng di đ ng nh ng cách A c đ nh m t kho ng b ng R Do qu tích c a m H M di chuy n đ ng th ng d n a đ ng trịn tâm A bán kính AH = R Bài hoctoancapba.com Cho tam giác ABC vuông A, đ ng cao AH V đ ng tròn tâm A bán kính AH G i HD đ ng kính c a đ ng trịn (A; AH) Ti p n c a đ ng tròn t i D c t CA E E D Ch ng minh tam giác BEC cân G i I hình chi u c a A BE, Ch ng minh r ng AI = AH Ch ng minh r ng BE ti p n c a đ ng tròn (A; AH) A Ch ng minh BE = BH + DE I L i gi i: (HD) 1  AHC = ADE (g.c.g) => ED = HC (1) AE = AC (2) B H C Vì AB CE (gt), AB v a đ ng cao v a đ ng trung n c a BEC => BEC tam giác cân => B1 = B2 Hai tam giác vuông ABI ABH có c nh huy n AB chung, B1 = B2 =>  AHB = AIB => AI = AH AI = AH BE  AI t i I => BE ti p n c a (A; AH) t i I DE = IE BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED Bài Cho đ ng tròn (O; R) đ ng kính AB K ti p n Ax l y ti p n m t m P cho AP > R, t P k ti p n ti p xúc v i (O) t i M ch n cung AM => é AOM Ch ng minh r ng t giác APMO n i ti p đ c m t (1) ABM = đ ng tròn 2 Ch ng minh BM // OP OP tia phân giác é ng th ng vng góc v i AB O c t tia BM t i N Ch ng AOM ( t/c hai ti p minh t giác OBNP hình bình hành n c t ) => é Bi t AN c t OP t i K, PM c t ON t i I; PN OM kéo dài AOM AOP = (2) c t t i J Ch ng minh I, J, K th ng hàng L i gi i: T (1) (2) => é (HS t làm) ABM = é AOP (3) 2.Ta có é ABM n i ti p ch n cung AM; é AOM góc tâm ThuVienDeThi.com X N P J I M K A ( ( O B Mà é ABM é AOP hai góc đ ng v nên suy BM // OP (4) 3.Xét hai tam giác AOP OBN ta có : éPAO=900 (vì PA ti p n ); éNOB = 900 (gt NOAB) => éPAO = éNOB = 900; OA = OB = R; éAOP = éOBN (theo (3)) => AOP = OBN => OP = BN (5) T (4) (5) => OBNP hình bình hành ( có hai c nh đ i song song b ng nhau) T giác OBNP hình bình hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON  AB => ON  PJ Ta c ng có PM  OJ ( PM ti p n ), mà ON PM c t t i I nên I tr c tâm tam giác POJ (6) D th y t giác AONP hình ch nh t có éPAO = éAON = éONP = 900 => K trung m c a PO ( t/c đ ng chéo hình ch nh t) (6) AONP hình ch nh t => éAPO = é NOP ( so le) (7) Theo t/c hai ti p n c t Ta có PO tia phân giác éAPM => éAPO = éMPO (8) T (7) (8) => IPO cân t i I có IK trung n đông th i đ ng cao => IK  PO (9) T (6) (9) => I, J, K th ng hàng Bài Cho n a đ ng trịn tâm O đ ng kính AB m M b t kì n a đ ng tròn ( M khác A,B) Trên n a m t ph ng b AB ch a n a đ ng tròn k ti p n Ax Tia BM c t Ax t i I; tia phân giác c a góc IAM c t n a đ ng trịn t i E; c t tia BM t i F tia BE c t Ax t i H, c t AM t i K => éKMF + 1) Ch ng minh r ng: EFMK t giác n i ti p éKEF = 1800 Mà 2) Ch ng minh r ng: AI = IM IB éKMF éKEF hai 3) Ch ng minh BAF tam giác cân góc đ i c a t giác 4) Ch ng minh r ng : T giác AKFH hình thoi 5) Xác đ nh v trí M đ t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng trịn EFMK EFMK t giác n i ti p L i gi i: Ta có : éAMB = 90 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => éKMF = 900 (vì hai góc k bù) éAEB = 900 ( n i ti p ch n n a đ ng trịn ) => éKEF = 900 (vì hai góc k bù) ThuVienDeThi.com X I F M H E K 2 A O B Ta có éIAB = 900 ( AI ti p n ) => AIB vuông t i A có AM  IB ( theo trên) Áp d ng h th c gi a c nh đ ng cao => AI2 = IM IB Theo gi thi t AE tia phân giác góc IAM => éIAE = éMAE => AE = ME (lí ……) => éABE =éMBE ( hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => BE tia phân giác góc ABF (1) Theo ta có éAEB = 900 => BE  AF hay BE đ ng cao c a tam giác ABF (2) T (1) (2) => BAF tam giác cân t i B BAF tam giác cân t i B có BE đ ng cao nên đ ng th i đ ng trung n => E trung m c a AF (3) T BE  AF => AF  HK (4), theo AE tia phân giác góc IAM hay AE tia phân giác éHAK (5) T (4) (5) => HAK tam giác cân t i A có AE đ ng cao nên đ ng th i đ ng trung n => E trung m c a HK (6) T (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đ ng chéo vng góc v i t i trung m c a m i đ ng) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => t giác AKFI hình thang t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng trịn AKFI ph i hình thang cân AKFI hình thang cân M trung m c a cung AB Th t v y: M trung m c a cung AB => éABM = éMAI = 450 (t/c góc n i ti p ) (7) Tam giác ABI vng t i A có éABI = 450 => éAIB = 450 (8) T (7) (8) => éIAK = éAIF = 450 => AKFI hình thang cân (hình thang có hai góc đáy b ng nhau) V y M trung m c a cung AB t giác AKFI n i ti p đ c m t đ ng tròn Bài Cho n a đ ng trịn (O; R) đ ng kính AB K ti p n Bx l y hai m C D thu c n a đ ng tròn Các tia AC AD c t Bx l n l t E, F (F gi a B E) Ch ng minh AC AE không đ i Ch ng minh  ABD =  DFB Ch ng minh r ng CEFD t giác n i ti p L i gi i: ThuVienDeThi.com C thu c n a đ ng tròn nên ACB = 900 ( n i ti p ch n n a E đ ng tròn ) => BC  AE ABE = 900 ( Bx ti p n ) => tam giác ABE vuông t i B có BC đ ng cao => AC AE = AB2 (h th c gi a c nh đ ng cao ), mà C AB đ ng kính nên AB = 2R khơng đ i AC AE không đ i F D  ADB có ADB = 90 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => ABD + BAD = 900 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng 1800)(1)  ABF có ABF = 900 ( BF ti p n ) O A B => AFB + BAF = 900 (vì t ng ba góc c a m t tam giác b ng 1800) (2) T (1) (2) => ABD = DFB ( ph v i BAD) T giác ACDB n i ti p (O) => ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc k bù) => ECD = ABD ( bù v i ACD) Theo ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì hai góc k bù) nên suy ECD + EFD = 1800, m t khác ECD EFD hai góc đ i c a t giác CDFE t giác CEFD t giác n i ti p X Bài 10 Cho đ ng trịn tâm O đ ng kính AB m M b t kì n a đ ng tròn cho AM < MB G i M’ m đ i x ng c a M qua AB S giao m c a hai tia BM, M’A G i P chân đ ng S vng góc t S đ n AB 1.G i S’ giao m c a MA SP Ch ng minh r ng ∆ PS’M cân M 2.Ch ng minh PM ti p n c a đ ng tròn L i gi i: 4( )1 Ta có SP  AB (gt) => SPA = 900 ; AMB = 900 ( n i ti p ch n P B ) H O 3( A n a đ ng tròn ) => AMS = 90 Nh v y P M nhìn AS d i m t góc b ng 900 nên n m đ ng trịn đ ng kính M' AS V y b n m A, M, S, P n m m t đ ng trịn S' Vì M’đ i x ng M qua AB mà M n m đ ng tròn nên M’ c ng n m đ ng tròn => hai cung AM AM’ có s đo b ng => AMM’ = AM’M ( Hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) (1) C ng M’đ i x ng M qua AB nên MM’  AB t i H => MM’// SS’ ( vng góc v i AB) => AMM’ = AS’S; AM’M = ASS’ (vì so le trong) (2) => T (1) (2) => AS’S = ASS’ Theo b n m A, M, S, P n m m t đ/ tròn => ASP=AMP (n i ti p ch n AP ) => AS’P = AMP => tam giác PMS’ cân t i P ThuVienDeThi.com Tam giác SPB vuông t i P; tam giác SMS’ vuông t i M => B1 = S’1 (cùng ph v i S) (3) Tam giác PMS’ cân t i P => S’1 = M1 (4) Tam giác OBM cân t i O ( có OM = OB =R) => B1 = M3 (5) T (3), (4) (5) => M1 = M3 => M1 + M2 = M3 + M2 mà M3 + M2 = AMB = 900 nên suy M1 + M2 = PMO = 900 => PM  OM t i M => PM ti p n c a đ ng tròn t i M Bài 11 Cho tam giác ABC (AB = AC) C nh AB, BC, CA ti p xúc v i đ m D, E, F BF c t (O) t i I , DI c t BC t i M Ch ng minh : Tam giác DEF có ba góc nh n DF // BC T giác BDFC n i ti p ng tròn (O) t i BD BM  CB CF A L i gi i: (HD) Theo t/c hai ti p n c t ta có AD = AF => tam giác ADF cân t i A => ADF = AFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => DEF < 900 ( góc DEF n i ti p ch n cung DE) Ch ng minh t ng t ta có DFE < 900; EDF < 900 Nh v y tam giác DEF có ba góc nh n Ta có AB = AC (gt); AD = AF (theo trên) => AD AF => DF //  AB AC D F O I B M E BC DF // BC => BDFC hình thang l i có  B = C (vì tam giác ABC cân) => BDFC hình thang cân BDFC n i ti p đ c m t đ ng tròn Xét hai tam giác BDM CBF Ta có  DBM = BCF ( hai góc đáy c a tam giác cân) BDM = BFD (n i ti p ch n cung DI);  CBF = BFD (vì so le) => BDM = CBF => BDM CBF => BD BM  CB CF Bài 12 Cho đ ng trịn (O) bán kính R có hai đ ng kính AB CD vng góc v i Trên đo n th ng AB l y m M (M khác O) CM c t (O) t i N ng th ng vng góc v i AB t i M c t ti p n t i N c a đ ng tròn P Ch ng minh : Ta có OMP = 900 ( T giác OMNP n i ti p PM  AB ); ONP = T giác CMPO hình bình hành 900 (vì NP ti p n CM CN khơng ph thu c vào v trí c a m M ) Khi M di chuy n đo n th ng AB P ch y đo n th ng Nh v y M N c đ nh nhìn OP d i m t góc L i gi i: b ng 900 => M N n m đ ng ThuVienDeThi.com C trịn đ ng kính OP => T giác OMNP n i ti p T giác OMNP n i ti p => OPM =  ONM (n i ti p ch n cung OM) Tam giác ONC cân t i O có ON = OC = R => ONC = OCN C M A O B N A' P D B' => OPM = OCM Xét hai tam giác OMC MOP ta có MOC = OMP = 900; OPM = OCM => CMO = POM l i có MO c nh chung => OMC = MOP => OC = MP (1) Theo gi thi t Ta có CD  AB; PM  AB => CO//PM (2) T (1) (2) => T giác CMPO hình bình hành Xét hai tam giác OMC NDC ta có MOC = 900 ( gt CD  AB); DNC = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => MOC =DNC = 900 l i có C góc chung => OMC NDC => CM CO => CM CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đ i =>  CD CN CM.CN =2R2 khơng đ i hay tích CM CN khơng ph thu c vào v trí c a m M ( HD) D th y OMC = DPO (c.g.c) => ODP = 900 => P ch y đ ng th ng c đ nh vng góc v i CD t i D Vì M ch ch y đo n th ng AB nên P ch ch y n th ng A’ B’ song song b ng AB Bài 13 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đ ng cao AH Trên n a m t ph ch a n A , V n a đ ng trịn đ ng kính BH c t AB t i E, N a đ ng tròn đ c t AC t i F Ch ng minh AFHE hình ch nh t BEFC t giác n i ti p AE AB = AF AC Ch ng minh EF ti p n chung c a hai n a đ ng tròn L i gi i: Ta có : éBEH = 900 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) E => éAEH = 900 (vì hai góc k bù) (1) éCFH = 90 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) )1 => éAFH = 900 (vì hai góc k bù).(2) O1 B éEAF = 90 ( Vì tam giác ABC vuông t i A) (3) T (1), (2), (3) => t giác AFHE hình ch nh t ( có ba góc vng) T giác AFHE hình ch nh t nên n i ti p đ c m t đ ng tròn =>éF1=éH1 (n ch n cung AE) Theo gi thi t AH BC nên AH ti p n chung c a hai n a đ (O1) (O2) 10 ThuVienDeThi.com ng b BC ng kính HC A I 1( F H O2 i ti p ng tròn C => éB1 = éH1 (hai góc n i ti p ch n cung HE) => éB1= éF1 => éEBC+éEFC = éAFE + éEFC mà éAFE + éEFC = 1800 (vì hai góc k bù) => éEBC+éEFC = 1800 m t khác éEBC éEFC hai góc đ i c a t giác BEFC BEFC t giác n i ti p Xét hai tam giác AEF ACB ta có éA = 900 góc chung; éAFE = éABC ( theo Ch ng minh trên) => AEF ACB => AE AF => AE AB = AF AC  AC AB * HD cách 2: Tam giác AHB vng t i H có HE  AB = > AH2 = AE.AB (*) Tam giác AHC vuông t i H có HF  AC = > AH2 = AF.AC (**) T (*) (**) = > AE AB = AF AC T giác AFHE hình ch nh t => IE = EH => IEH cân t i I => éE1 = éH1 O1EH cân t i O1 (vì có O1E vàO1H bán kính) => éE2 = éH2 => éE1 + éE2 = éH1 + éH2 mà éH1 + éH2 = éAHB = 900 => éE1 + éE2 = éO1EF = 900 => O1E EF Ch ng minh t ng t ta c ng có O2F  EF V y EF ti p n chung c a hai n a đ ng tròn Bài 14 Cho m C thu c đo n th ng AB cho AC = 10 Cm, CB = 40 Cm V v m t phía c a AB n a đ ng trịn có đ ng kính theo th t AB, AC, CB có tâm theo th t O, I, K ng vng góc v i AB t i C c t n a đ ng tròn (O) t i E G i M N theo th t giao m c a EA, E EB v i n a đ ng tròn (I), (K) 1.Ch ng minh EC = MN N 2.Ch/minh MN ti p n chung c a n a đ/tròn (I), H (K) M 3.Tính MN 4.Tính di n tích hình đ c gi i h n b i ba n a đ ng tròn I O A C K B L i gi i: Ta có: éBNC= 900( n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm K) => éENC = 900 (vì hai góc k bù) (1) éAMC = 900 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn tâm I) => éEMC = 900 (vì hai góc k bù).(2) éAEB = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn tâm O) hay éMEN = 900 (3) T (1), (2), (3) => t giác CMEN hình ch nh t => EC = MN (tính ch t đ ng chéo hình ch nh t ) Theo gi thi t EC AB t i C nên EC ti p n chung c a hai n a đ ng tròn (I) (K) => éB1 = éC1 (hai góc n i ti p ch n cung CN) T giác CMEN hình ch nh t nên => éC1= éN3 => éB1 = éN3.(4) L i có KB = KN (cùng bán kính) => tam giác KBN cân t i K => éB1 = éN1 (5) T (4) (5) => éN1 = éN3 mà éN1 + éN2 = CNB = 900 => éN3 + éN2 = MNK = 900 hay MN  KN t i N => MN ti p n c a (K) t i N 1 11 ThuVienDeThi.com Ch ng minh t ng t ta c ng có MN ti p n c a (I) t i M, V y MN ti p n chung c a n a đ ng trịn (I), (K) Ta có éAEB = 900 (n i ti p ch n n c đ ng trịn tâm O) => AEB vng t i A có EC  AB (gt) => EC2 = AC BC  EC2 = 10.40 = 400 => EC = 20 cm Theo EC = MN => MN = 20 cm Theo gi thi t AC = 10 Cm, CB = 40 Cm => AB = 50cm => OA = 25 cm Ta có S(o) =  OA2 =  252 = 625  ; S(I) =  IA2 =  52 = 25  ; S(k) =  KB2 =  202 = 400  Ta có di n tích ph n hình đ S= c gi i h n b i ba n a đ ng tròn S = ( S(o) - S(I) - S(k)) 1 ( 625  - 25  - 400  ) = 200  = 100   314 (cm2) 2 Bài 15 Cho tam giác ABC vuông A Trên c nh AC l y m M, d ng đ ng tròn (O) có đ ng kính MC đ ng th ng BM c t đ ng tròn (O) t i D đ ng th ng AD c t đ ng tròn (O) t i S Ch ng minh ABCD t giác n i ti p Ch ng minh CA tia phân giác c a góc SCB G i E giao m c a BC v i đ ng tròn (O) Ch ng minh r ng đ ng th ng BA, EM, CD đ ng quy Ch ng minh DM tia phân giác c a góc ADE Ch ng minh m M tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADE L i gi i: C C 12 O O D S E M A D F B M 1 2 F E S 2 A B H×nh b H×nh a Ta có éCAB = 900 ( tam giác ABC vuông t i A); éMDC = 900 ( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => CDB = 900 nh v y D A nhìn BC d i m t góc b ng 900 nên A D n m đ ng trịn đ ng kính BC => ABCD t giác n i ti p ABCD t giác n i ti p => D1= C3( n i ti p ch n cung AB) ฀  EM ฀ => C = C (hai góc n i ti p đ ng tròn (O) ch n hai cung b ng D1= C3 => SM nhau) => CA tia phân giác c a góc SCB Xét CMB Ta có BACM; CD  BM; ME  BC nh v y BA, EM, CD ba đ ng cao c a tam giác CMB nên BA, EM, CD đ ng quy 12 ThuVienDeThi.com ฀  EM ฀ => D1 = D2 => DM tia phân giác c a góc ADE.(1) Theo Ta có SM Ta có MEC = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn (O)) => MEB = 900 T giác AMEB có MAB = 900 ; MEB = 900 => MAB + MEB = 1800 mà hai góc đ i nên t giác AMEB n i ti p m t đ ng tròn => A2 = B2 T giác ABCD t giác n i ti p => A1= B2( n i ti p ch n cung CD) => A1= A2 => AM tia phân giác c a góc DAE (2) T (1) (2) Ta có M tâm đ ng tròn n i ti p tam giác ADE TH2 (Hình b) Câu : ABC = CME (cùng ph ACB); ABC = CDS (cùng bù ADC) => CME = CDS ฀  CS ฀  SM ฀  EM ฀ => SCM = ECM => CA tia phân giác c a góc SCB => CE Bài 16 Cho tam giác ABC vuông A.và m t m D n m gi a A B ng tròn đ ng kính BD c t BC t i E Các đ ng th ng CD, AE l n l t c t đ ng tròn t i F, G B Ch ng minh : Tam giác ABC đ ng d ng v i tam giác EBD T giác ADEC AFBC n i ti p AC // FG O E Các đ ng th ng AC, DE, FB đ ng quy L i gi i: F G D Xét hai tam giác ABC EDB Ta có BAC = 900 ( tam giác ABC vng t i A); DEB = 900 ( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ) S A => DEB = BAC = 90 ; l i có ABC góc chung => DEB   CAB Theo DEB = 900 => DEC = 900 (vì hai góc k bù); BAC = 900 ( ABC vuông t i A) hay DAC = 900 => DEC + DAC = 1800 mà hai góc đ i nên ADEC t giác n i ti p * BAC = 900 ( tam giác ABC vng t i A); DFB = 900 ( góc n i ti p ch n n a đ ng tròn ) hay BFC = 900 nh v y F A nhìn BC d i m t góc b ng 900 nên A F n m đ ng trịn đ ng kính BC => AFBC t giác n i ti p Theo ADEC t giác n i ti p => E1 = C1 l i có E1 = F1 => F1 = C1 mà hai góc so le nên suy AC // FG (HD) D th y CA, DE, BF ba đ ng cao c a tam giác DBC nên CA, DE, BF đ ng quy t i S Bài 17 Cho tam giác đ u ABC có đ ng cao AH Trên c nh BC l y m M b t kì ( M không trùng B C, H ) ; t M k MP, MQ vng góc v i c nh AB AC Ch ng minh APMQ t giác n i ti p xác đ nh tâm O c a đ ng tròn ngo i ti p t giác Ch ng minh r ng MP + MQ = AH Ch ng minh OH  PQ L i gi i: 13 ThuVienDeThi.com C Ta có MP  AB (gt) => APM = 900; MQ  AC (gt) => AQM = 900 nh v y P Q nhìn BC d i m t góc b ng 900 nên P Q n m đ ng trịn đ ng kính AM => APMQ t giác n i ti p * Vì AM đ ng kính c a đ ng trịn ngo i ti p t giác APMQ tâm O c a đ ng tròn ngo i ti p t giác APMQ trung m c a AM A O P 1 2 Tam giác ABC có AH đ ng cao => SABC = BC.AH Q Tam giác ABM có MP đ ng cao => SABM = AB.MP M B H C Tam giác ACM có MQ đ ng cao => SACM = AC.MQ 1 Ta có SABM + SACM = SABC => AB.MP + AC.MQ = BC.AH => AB.MP + AC.MQ = 2 BC.AH Mà AB = BC = CA (vì tam giác ABC đ u) => MP + MQ = AH Tam giác ABC có AH đ ng cao nên c ng đ ng phân giác => HAP = HAQ => ฀  HQ ฀ ( tính ch t góc n i ti p ) => HOP = HOQ (t/c góc tâm) => OH tia phân giác HP góc POQ Mà tam giác POQ cân t i O ( OP OQ bán kính) nên suy OH c ng đ ng cao => OH  PQ Bài 18 Cho đ ng tròn (O) đ ng kính AB Trên đo n th ng OB l y m H b t kì ( H khơng trùng O, B) ; đ ng th ng vng góc v i OB t i H, l y m t m M ngồi đ ng trịn ; MA MB th t c t đ ng tròn (O) t i C D G i I giao m c a AD BC Ch ng minh MCID t giác n i ti p Ch ng minh đ ng th ng AD, BC, MH đ ng quy t i I G i K tâm đ ng tròn ngo i ti p t giác MCID, Ch ng minh KCOH t giác n i ti p L i gi i: M 1 Ta có : éACB = 900 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) _ => éMCI = 900 (vì hai góc k bù) K C éADB = 900 ( n i ti p ch n n c đ ng tròn ) _ D => éMDI = 900 (vì hai góc k bù) I => éMCI + éMDI = 180 mà hai góc đ i c a t giác MCID nên MCID t giác n i ti p A O H Theo Ta có BC  MA; AD  MB nên BC AD hai đ ng cao c a tam giác MAB mà BC AD c t t i I nên I tr c tâm c a tam giác MAB Theo gi thi t MH  AB nên MH c ng đ ng cao c a tam giác MAB => AD, BC, MH đ ng quy t i I OAC cân t i O ( OA OC bán kính) => A1 = C4 KCM cân t i K ( KC KM bán kính) => M1 = C1 14 ThuVienDeThi.com B Mà A1 + M1 = 900 ( tam giác AHM vuông t i H) => C1 + C4 = 900 => C3 + C2 = 900 ( góc ACM góc b t) hay OCK = 900 Xét t giác KCOH Ta có OHK = 900; OCK = 900 => OHK + OCK = 1800 mà OHK OCK hai góc đ i nên KCOH t giác n i ti p Bài 19 Cho đ ng tròn (O) đ ng kính AC Trên bán kính OC l y m B tu ý (B khác O, C ) G i M trung m c a đo n AB Qua M k dây cung DE vng góc v i AB N i CD, K BI vng góc v i CD D Ch ng minh t giác BMDI n i ti p Ch ng minh t giác ADBE hình thoi Ch ng minh BI // AD I Ch ng minh I, B, E th ng hàng Ch ng minh MI ti p n c a (O’) 1 A / / O B C M O' L i gi i: 0 éBIC = 90 ( n i ti p ch n n a đ ng trịn ) => éBID = 90 (vì hai góc k bù); DE  AB t i M => éBMD = 900 => éBID + éBMD = 1800 mà hai góc đ i c a t giác MBID nên MBID t giác n i ti p E Theo gi thi t M trung m c a AB; DE  AB t i M nên M c ng trung m c a DE (quan h đ ng kính dây cung) => T giác ADBE hình thoi có hai đ ng chéo vng góc v i t i trung m c a m i đ ng éADC = 900 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => AD  DC; theo BI  DC => BI // AD (1) Theo gi thi t ADBE hình thoi => EB // AD (2) T (1) (2) => I, B, E th ng hàng (vì qua B ch có m t đ ng th ng song song v i AD mà thôi.) I, B, E th ng hàng nên tam giác IDE vuông t i I => IM trung n ( M trung m c a DE) =>MI = ME => MIE cân t i M => I1 = E1 ; O’IC cân t i O’ ( O’C O’I bán kính ) => I3 = C1 mà C1 = E1 ( Cùng ph v i góc EDC ) => I1 = I3 => I1 + I2 = I3 + I2 Mà I3 + I2 = BIC = 900 => I1 + I2 = 900 = MIO’ hay MI  O’I t i I => MI ti p n c a (O’) Bài 20 Cho đ ng trịn (O; R) (O’; R’) có R > R’ ti p xúc t i C G i AC BC hai đ ng kính qua m C c a (O) (O’) DE dây cung c a (O) vng góc v i AB t i trung m M c a AB G i giao m th hai c a DC v i (O’) F, BD c t (O’) t i G Ch ng minh r ng: T giác MDGC n i ti p L i gi i: B n m M, D, B, F n m m t đ ng tròn éBGC = 900 ( n i ti p ch n n a T giác ADBE hình thoi đ ng trịn ) B, E, F th ng hàng => éCGD = 900 (vì hai góc k bù) DF, EG, AB đ ng quy MF = 1/2 DE MF ti p n c a (O’) 15 ThuVienDeThi.com D A M G C O' O 1 B F E Theo gi thi t DE  AB t i M => éCMD = 900 => éCGD + éCMD = 1800 mà hai góc đ i c a t giác MCGD nên MCGD t giác n i ti p éBFC = 900 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => éBFD = 900; éBMD = 900 (vì DE  AB t i M) nh v y F M nhìn BD d i m t góc b ng 900 nên F M n m đ ng tròn đ ng kính BD => M, D, B, F n m m t đ ng tròn Theo gi thi t M trung m c a AB; DE  AB t i M nên M c ng trung m c a DE (quan h đ ng kính dây cung) => T giác ADBE hình thoi có hai đ ng chéo vng góc v i t i trung m c a m i đ ng éADC = 900 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => AD  DF ; theo t giác ADBE hình thoi => BE // AD mà AD  DF nên suy BE  DF Theo éBFC = 900 ( n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => BF  DF mà qua B ch có m t đ ng th ng vng góc v i DF đo B, E, F th ng hàng Theo DF  BE; BM  DE mà DF BM c t t i C nên C tr c tâm c a tam giác BDE => EC c ng đ ng cao => ECBD; theo CGBD => E,C,G th ng hàng V y DF, EG, AB đ ng quy Theo DF  BE => DEF vng t i F có FM trung n (vì M trung m c a DE) suy MF = 1/2 DE ( tam giác vuông trung n thu c c nh huy n b ng n a c nh huy n) (HD) theo MF = 1/2 DE => MD = MF => MDF cân t i M => D1 = F1 O’BF cân t i O’ ( O’B O’F bán kính ) => F3 = B1 mà B1 = D1 (Cùng ph v i DEB ) => F1 = F3 => F1 + F2 = F3 + F2 Mà F3 + F2 = BFC = 900 => F1 + F2 = 900 = MFO’ hay MF  O’F t i F => MF ti p n c a (O’) Bài 21 Cho đ ng trịn (O) đ ng kính AB G i I trung m c a OA V đ ng tron tâm I qua A, (I) l y P b t kì, AP c t (O) t i Q Ch ng minh r ng đ ng trịn (I) (O) ti p xúc Ta có OI = OA – IA t i A mà OA IA l n l t Ch ng minh IP // OQ bán kính c a đ/ tròn (O) Ch ng minh r ng AP = PQ đ ng tròn (I) V y đ/ trịn Xác đ nh v trí c a P đ tam giác AQB có di n tích l n nh t (O) đ ng tròn (I) ti p xúc t i A L i gi i: 16 ThuVienDeThi.com OAQ cân t i O ( OA OQ bán kính ) => A1 = Q1 IAP cân t i I ( IA IP bán kính ) => A1 = P1 => P1 = Q1 mà hai góc đ ng v nên suy IP // OQ Q P A APO = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => OP  AQ => OP đ OAQ cân t i O nên OP đ ng trung n => AP = PQ (HD) K QH  AB ta có SAQB = AB.QH mà AB đ I O H B ng cao c a OAQ mà ng kính khơng đ i nên SAQB l n nh t QH l n nh t QH l n nh t Q trùng v i trung m c a cung AB Q trùng v i trung m c a cung AB P ph i trung m c a cung AO Th t v y P trung m c a cung AO => PI  AO mà theo PI // QO => QO  AB t i O => Q trung m c a cung AB H trung v i O; OQ l n nh t nên QH l n nh t Bài 22 Cho hình vng ABCD, m E thu c c nh BC Qua B k đ ng th ng vng góc v i DE, đ ng th ng c t đ ng th ng DE DC theo th t H K Ch ng minh BHCD t giác n i ti p B A Tính góc CHK Ch ng minh KC KD = KH.KB Khi E di chuy n c nh BC H di chuy n đ ng H O nào? E L i gi i: Theo gi thi t ABCD hình vng nên BCD = 90 ; BH  DE ) t i H nên BHD = 900 => nh v y H C nhìn BD d i m t D C K góc b ng 900 nên H C n m đ ng trịn đ ng kính BD => BHCD t giác n i ti p BHCD t giác n i ti p => BDC + BHC = 1800 (1) BHK góc b t nên KHC + BHC = 1800 (2) T (1) (2) => CHK = BDC mà BDC = 450 (vì ABCD hình vng) => CHK = 450 Xét KHC KDB ta có CHK = BDC = 450 ; K góc chung => KHC  KDB => KC KH => KC KD = KH.KB  KB KD (HD) Ta ln có BHD = 900 BD c đ nh nên E chuy n đ ng c nh BC c đ nh H chuy n đ ng cung BC (E  B H  B; E  C H  C) Bài 23 Cho tam giác ABC vng A D ng mi n ngồi tam giác ABC hình vng ABHK, ACDE Ch ng minh ba m H, A, D th ng hàng 17 ThuVienDeThi.com E ng th ng HD c t đ ng tròn ngo i ti p tam giác M ABC t i F, ch ng minh FBC tam giác vuông cân Cho bi t ABC > 450 ; g i M giao m c a BF K ED, Ch ng minh m B, K, E, M, C n m F A m t đ ng tròn Ch ng minh MC ti p n c a đ ng tròn ngo i H ti p tam giác ABC L i gi i: O C B Theo gi thi t ABHK hình vng => BAH = 450 T giác AEDC hình vng => CAD = 450; tam giác ABC vuông A => BAC = 900 => BAH + BAC + CAD = 450 + 900 + 450 = 1800 => ba m H, A, D th ng hàng Ta có BFC = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn ) nên tam giác BFC vuông t i F (1) FBC = FAC ( n i ti p ch n cung FC) mà theo CAD = 450 hay FAC = 450 (2) T (1) (2) suy FBC tam giác vuông cân t i F Theo BFC = 900 => CFM = 900 ( hai góc k bù); CDM = 900 (t/c hình vuông) => CFM + CDM = 1800 mà hai góc đ i nên t giác CDMF n i ti p m t đ ng tròn suy CDF = CMF , mà CDF = 450 (vì AEDC hình vng) => CMF = 450 hay CMB = 450 Ta c ng có CEB = 450 (vì AEDC hình vng); BKC = 450 (vì ABHK hình vng) Nh v y K, E, M nhìn BC d i m t góc b ng 450 nên n m cung ch a góc 450 d ng BC => m B, K, E, M, C n m m t đ ng tròn CBM có B = 450 ; M = 450 => BCM =450 hay MC  BC t i C => MC ti p n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác ABC Bài 24 Cho tam giác nh n ABC có B = 450 V đ ng trịn đ ng kính AC có tâm O, đ ng tròn c t BA BC t i D E A Ch ng minh AE = EB G i H giao m c a CD AE, Ch ng minh r ng đ ng trung D F tr c c a đo n HE qua trung m I c a BH O H 3.Ch ng minh OD ti p n c a đ ng tròn ngo i ti p ∆ BDE / _ _K L i gi i: / I AEC = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn ) B E C => AEB = 900 ( hai góc k bù); Theo gi thi t ABE = 450 => AEB tam giác vuông cân t i E => EA = EB G i K trung m c a HE (1) ; I trung m c a HB => IK đ ng trung bình c a tam giác HBE => IK // BE mà AEC = 900 nên BE  HE t i E => IK  HE t i K (2) T (1) (2) => IK trung tr c c a HE V y trung tr c c a đo n HE qua trung m I c a BH theo I thu c trung tr c c a HE => IE = IH mà I trung m c a BH => IE = IB  ADC = 900 (n i ti p ch n n a đ ng tròn ) => BDH = 900 (k bù ADC) => tam giác BDH vng t i D có DI trung n (do I trung m c a BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I tâm đ ng trịn ngo i ti p tam giác BDE bán kính ID 2 18 ThuVienDeThi.com D Ta có ODC cân t i O (vì OD OC bán kính ) => D1 = C1 (3) IBD cân t i I (vì ID IB bán kính ) => D2 = B1 (4) Theo ta có CD AE hai đ ng cao c a tam giác ABC => H tr c tâm c a tam giác ABC => BH c ng đ ng cao c a tam giác ABC => BH  AC t i F => AEB có AFB = 900 Theo ADC có ADC = 900 => B1 = C1 ( ph BAC) (5) T (3), (4), (5) =>D1 = D2 mà D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO => OD  ID t i D => OD ti p n c a đ ng tròn ngo i ti p tam giác BDE Bài 25 Cho đ ng tròn (O), BC dây b t kì (BC< 2R) K ti p n v i đ ng tròn (O) t i B C chúng c t t i A Trên cung nh BC l y m t m M r i k đ ng vng góc MI, MH, MK xu ng c nh t ng ng BC, AC, AB G i giao m c a BM, IK P; giao m c a CM, IH Q Ch ng minh tam giác ABC cân Các t giác BIMK, CIMH n i A ti p Ch ng minh MI2 = MH.MK Ch ng minh PQ  MI L i gi i: H Theo tính ch t hai ti p n c t ta có AB = AC => ABC cân t i K M A Q Theo gi thi t MI  BC => MIB = 900; MK  AB => MKB = 900 P 2 B => MIB + MKB = 180 mà hai góc đ i => t giác BIMK n i I ti p O * ( Ch ng minh t giác CIMH n i ti p t ng t t giác BIMK ) Theo t giác BIMK n i ti p => KMI + KBI = 180 ; t giác CHMI n i ti p => HMI + HCI = 1800 mà KBI = HCI ( tam giác ABC cân t i A) => KMI = HMI (1) Theo t giác BIMK n i ti p => B1 = I1 ( n i ti p ch n cung KM); t giác CHMI n i ti p => H1 = C1 ( n i ti p ch n cung ฀ ) => I = H (2) IM) Mà B1 = C1 ( = 1/2 sđ BM 1 T (1) (2) => MKI MIH => MI MK => MI2 = MH.MK  MH MI Theo ta có I1 = C1; c ng ch ng minh t ng t ta có I2 = B2 mà C1 + B2 + BMC = 1800 => I1 + I2 + BMC = 1800 hay PIQ + PMQ = 1800 mà hai góc đ i => t giác PMQI n i ti p => Q1 = I1 mà I1 = C1 => Q1 = C1 => PQ // BC ( có hai góc đ ng v b ng nhau) Theo gi thi t MI BC nên suy IM  PQ Bài 26 Cho đ ng trịn (O), đ ng kính AB = 2R V dây cung CD  AB H G i M m gi a c a cung CB, I giao m c a CB OM K giao m c a AM CB Ch ng minh : KC AC Ch ng minh  AM tia phân giác c a CMD T giác OHCI n i đ ng vng góc KB AB k t M đ n AC ti p 19 ThuVienDeThi.com C c ng ti p n c a đ ng tròn t i M ฀  MC ฀ ฀ => MB L i gi i: Theo gi thi t M trung m c a BC => CAM = BAM (hai góc n i ti p ch n hai cung b ng nhau) => AK tia phân giác c a góc CAB => KC AC ( t/c tia phân giác c a tam giác )  KB AB J C / K M I A H O D ฀ => CMA = DMA => MA tia (HD) Theo gi thi t CD  AB => A trung m c a CD phân giác c a góc CMD ฀ => OM  BC t i I => OIC = 900 ; CD  AB (HD) Theo gi thi t M trung m c a BC t i H => OHC = 900 => OIC + OHC = 1800 mà hai góc đ i => t giác OHCI n i ti p K MJ  AC ta có MJ // BC ( vng góc v i AC) Theo OM  BC => OM  MJ t i J suy MJ ti p n c a đ ng tròn t i M Bài 27 Cho đ ng trịn (O) m t m A ngồi đ ng tròn Các ti p n v i đ ng tròn (O) k t A ti p xúc v i đ ng tròn (O) t i B C G i M m tu ý đ ng tròn ( M khác B, C), t M k MH  BC, MK  CA, MI  AB Ch ng minh : T giác ABOC n i ti p BAO =  BCO MIH  MHK MI.MK = MH L i gi i: I B B I H M M O H O A A K C C K (HS t gi i) T giác ABOC n i ti p => BAO =  BCO (n i ti p ch n cung BO) Theo gi thi t MH  BC => MHC = 900; MK  CA => MKC = 900 => MHC + MKC = 1800 mà hai góc đ i => t giác MHCK n i ti p => HCM = HKM (n i ti p ch n cung HM) Ch ng minh t ng t ta có t giác MHBI n i ti p => MHI = MBI (n i ti p ch n cung IM) ฀ ) => HKM = MHI (1) Ch ng minh t ng t ta c ng có Mà HCM = MBI ( = 1/2 sđ BM KHM = HIM (2) T (1) (2) =>  HIM   KHM 20 ThuVienDeThi.com _ B ... OAHB hình bình hành; l i có OA = OB (=R) => OAHB hình thoi Theo OAHB hình thoi => OH  AB; c ng theo OM  AB => O, H, M th ng hàng( Vì qua O ch có m t đ ng th ng vng góc v i AB) (HD) Theo OAHB hình. .. ABD + ACD = 1800 ECD + ACD = 1800 ( Vì hai góc k bù) => ECD = ABD ( bù v i ACD) Theo ABD = DFB => ECD = DFB Mà EFD + DFB = 1800 ( Vì hai góc k bù) nên suy ECD + EFD = 1800 , m t khác... HK (6) T (3) , (4) (6) => AKFH hình thoi ( có hai đ ng chéo vng góc v i t i trung m c a m i đ ng) (HD) Theo AKFH hình thoi => HA // FK hay IA // FK => t giác AKFI hình thang t giác AKFI n i ti