đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: toán Thời gian: 180 phút Bài1: ( điểm) Cho hàm số y  2 x  m x  x Tìm tiệm cận xiên đồ thị hàm số m = Tìm tất giá trị m để hàm số đạt cực đại điểm xo Bµi 4: ( điểm) Tìm đa thức f(x) thoả mÃn: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bài 5: ( điểm) Lập phương trình Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) đỉnh S(2;1) Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông Gọi H hình chiếu O lên đáy ABC Chứng minh rằng: a) 1 1    2 OH OA OB OC b) S ABC  S OBC  S OAC  S OAB DeThiMau.vn đáp án đề thi hsg lớp 12 Môn: toán Bài1: 1) (1,5®iĨm): Víi m =3 ta cã: y  2 x  x  x  TXĐ: D = R Tiệm cận xiên bên phải 2x  x  2x  1 x x a  lim  (0,25®iĨm)  b  lim  x  x  x   x  3 (0,25 ®iĨm) Ta có tiệm cận xiên bên phải Tiệm cận xiên bên trái (0,25điểm) x y= x-3 2x x  2x   5 x   x a  lim  (0,25®iĨm)  b  lim  x  x  x   x  (0,25®iĨm) Ta cã tiệm cận xiên bên trái (0,25điểm) x y = -5x+3 y/(xo) = 2) (2,5 điểm): Hàm số ®¹t cùc ®¹i t¹i xo (0,25®iĨm) y//(x o) (0,25 điểm) Phương tr×nh  log cos x sin x ln(1  cos x)  log sin x cos x ln(1  sin x) ln sin x ln cos x ln(1  cos x)  ln(1  sin x) ln cos x ln sin x (ln sin x) (ln cos x)   (*) ln(1  sin x) ln(1  cos x) (0,25 điểm) Xét hàm số: f (t )  f / (t )  ln t ln(1  t ) ln t 2(t ) ln(t )  t ln t  0 t (t  1) ln(t  1) (0,25 ®iĨm) víi t  (0;1) víi t (0;1) (0,25 điểm) (0,25 điểm) Hàm số f(t) nghịch biến phương trình (*) có nghiệm sin x cos x x   k 2 k Z (0,25 điểm) (0,25 điểm) 2.(2 điểm): DeThiMau.vn Từ giả thiết, theo định lý sin ta có: a2 + b2= kc2 (0,25 điểm) Theo định lý cosin ta được: a2 + b2= k ( a2+b2-2abcosC ) k 1 a2  b2 k 2ab  cos C   cos C  (0,25 ®iĨm) k 1 a2  b2 k 1  k 2ab k  sin C  cos C (0,25 điểm) theo côsi (0,25 ®iĨm) 2k  k2 Do sinC>0  sin C  (0,25 ®iĨm) 2k  k (0,25 ®iĨm) DÊu b»ng x¶y  a = b hay A = B (0,25 ®iĨm) 2k  k (0,25 ®iĨm)  max(sin C )  Bµi 4: Ta cã: x.f(x-1)= (x-3).f(x) (1) Cho x =  f(0) = (2) (0,25 ®iĨm) Cho x =  f(1) = (3) (0,25 ®iĨm) Cho x =  f(2) = (4) (0,25 ®iĨm) Tõ (2) ;(3); (4) ta suy f(x) chia hÕt cho x; x-1; x-2 (0,25 điểm) Nên f(x) = x.(x-1).(x-2).P(x) (0,25 điểm) Thay vào (1) ta được: x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x-1) = x.(x-1).(x-2).(x-3).P(x) (0,25 điểm) P(x-1) = P(x) ; x  P(x) = C h»ng sè (0,25 ®iĨm) VËy f(x) = x.(x-1).(x-2).C víi C lµ h»ng sè DeThiMau.vn (0,25 điểm) Bài 5:1.(1 điểm) Đường thẳng SF trục (P) có phương trình: x y - = (0,25 điểm) Đường chuẩn () (P) có phương trình: x + y - = (0,5 ®iĨm) Gäi ®iĨm M(x;y)  (P)  FM = d(M; )  ( x  3)  ( y  2)  (0,25 ®iĨm) ( x  y  1) 2 (0,5 ®iĨm)  x2 + y2- 2xy - 10x - 6y + 25 = (*) (0,25 điểm) (*) phương trình Parabol (P) nhận điểm S làm đỉnh F tiêu điểm (0,25 ®iĨm) 2.(4®iĨm): Gäi A1=AHBC ; B1=BHAC C1= CHAB O (0,25điểm) Theo giả thiết OA(OBC) OABC Và OH(ABC) OHBC BC(OAH) BCAH (0,5điểm) A B1 Tương tự BHAC; CHAB H trực tâm ABC H (0,25điểm) Xét vuông AOA1 O ta có: 1   2 OH OA OA12 (1) OBC vuông O, ta có: C C A B (0,25®iĨm) 1   2 OA1 OB OC Tõ (1) vµ (2) ta cã: DeThiMau.vn (2) (0,25®iĨm) (0,5®iĨm) 1 1    2 OH OA OB OC (®pcm) (3) Nhân hai vế (3) với 9.V2OABC ta có: (0,25điểm) (0,25®iĨm) 9.V2OABC =OH2.(SABC)2= OA2 (SOBC)2= OB2 (SOAC)2 = OC2 (SOAB)2 (0,5điểm) Ta được: OH ( S ABC ) OA ( S ABC ) OB ( S ABC ) OC ( S ABC )    OH OA OB OC (0,5 ®iĨm)  S ABC  S OBC  S OAC  S OAB (đpcm) (0,5 điểm) (Chú ý: cách khác chọn hệ toạ độ Oxyz gốc O) Lưu ý: Những cách giải khác cho điểm tối đa thoe ý, DeThiMau.vn .. .đáp án đề thi hsg lớp 12 Môn: toán Bài1: 1) (1,5®iĨm): Víi m =3 ta cã: y  2 x  x  x  TXĐ: D = R Tiệm cận xiên... f(t) nghịch biến phương trình (*) có nghiệm sin x cos x x   k 2 k Z (0,25 điểm) (0,25 điểm) 2.(2 điểm): DeThiMau.vn Từ giả thi? ??t, theo định lý sin ta có: a2 + b2= kc2 (0,25 điểm) Theo... Theo giả thi? ??t OA(OBC) OABC Và OH(ABC) OHBC BC(OAH) BCAH (0,5điểm) A B1 Tương tự BHAC; CHAB H trực tâm ABC H (0,25điểm) Xét vuông AOA1 O ta có: 1   2 OH OA OA12 (1) OBC vuông O, ta có: C