Trờng T.H.P.T Nguyễn Trung Ngạn Tổ toán Tin Đề thi thử đại học năm 2009 Môn toán Thời gian 180 phút ( không kể giao đề ) Phần A : D"nh cho tất thi sinh Câu I (2,0 điểm) 1) Khảo sát biến thiên v vẽ đồ thị (c) h m số : y = x3 – 3x2 + m 2) BiÖn luận theo m số nghiệm phơng trình : x − x − = x −1 C©u II (2,0 điểm ) 1) Giải phơng trình : cos 11π − x  + sin  7π − x  = sin  x + 2009π      2   30 x − x y 25 y = 2) Giải hệ phơng tr×nh :  30 y − y z − 25 z =  2  30 z − z x − 25 x = Câu III(2,0 điểm ) 1) Tính tích phân : ( x + 4)dx −1 x +1 + x + ∫ 2) Cho x , y , z l ba sè thùc tháa mAn : x + y +2 z = Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y ≥ 2x + 2y + 2z Câu IV ( 1,0 điểm ) : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD l hình chữ nhật víi AB = a , AD = 2a C¹nh SA vuông góc với mặt phẳng đáy , cạnh bên SB tạo với mặt phắng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = a , mặt phẳng ( BCM) cắt cạnh SD t¹i N TÝnh thĨ tÝch khèi chãp S.BCNM Phần B ( Thí sinh đợc l"m hai phần ( phần phần 2) Phần ( D nh cho häc sinh häc theo ch−¬ng trình chuẩn ) Câu V.a ( 2,0 điểm ) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng th¼ng : x −7 y −2 z x − y z +1 = = = = d1 : ; d2 : −6 12 −6 −8 1) Chøng minh r»ng d1 v d2 song song ViÕt ph−¬ng trình mặt phẳng ( P) qua d1 v d2 2) Cho điểm A(1; 1;2) ,B(3 ; 4; 2).Tìm điểm I đờng thẳng d1 cho IA +IB đạt giá trị nhỏ Câu VI.a (1.0điểm) Giải phơng tr×nh : log ( x + 1) + log = log − x + log 27 ( x + 4)3 PhÇn D nh cho học sinh học chơng trình nâng cao ) Câu V.b (2,0điểm) Trong không gian với hệ tọa độ 0xyz cho hai đờng thẳng : x y z = = , D1 : −1  x = − 2t  D2 :  y = z = t  1) Chøng minh r»ng D1 chéo D2 Viết phơng trình đờng vuông góc chung D1 v D2 2) Viết phơng trình mặt cầu có đờng kính l đoạn vuông góc chung D1 v D2 2 CâuVI.b ( 1,0 điểm) Cho phơng tr×nh : log5 x + log5 x + − m − = , ( m l tham số ) Tìm giá trị tham số m để phơng trình đA cho có nghiệm thuộc đoạn 1;5 .Hết Giám thị coi thi không giải thích thêm DeThiMau.vn Hớng dẫn giải : Phần A : D nh cho tất thí sinh Câu I : 1) ( Thí sinh tự khảo sát v vẽ đồ thị ) 2) Đồ thị h m số y = ( x − x − 2) x − , với x có dạng nh hình vẽ : 1 2 1+ y=m m Dựa v o đồ thị ta có : *) Nếu m < : Phơng trình vô nghiệm *) Nếu m = : Phơng trình có hai nghiệm *) Nếu < m < : Phơng trình cã nghiƯm ph©n biƯt *) nÕu m ≥ : Phơng trình có hai nghiệm phân biệt Câu II : 1) cos  11π − x  + sin  7π − x  = sin  x + 2009π  ( 1)     2  ( 1) ⇔ sin  5x π  3x π 3x 3x  3π x   ⇔ cos  x +  cos −  − sin  −  = cos = cos 4 2  4  2  3x π ⇔ cos = hc cos( x + ) = Giải phơng trình tìm đợc nghiÖm : x= π + k 2π , x= π + k 2π , x = k2π  30 x = y  x + 25   30 x − x y − 25 y =  30 y 2) Ta cã  30 y − y z − 25 z = ⇔  z = y + 25   2 30 z − z x − 25 x =   30 z x = z + 25  ( 2) Từ hệ ta có x, y, z không âm *) NÕu x = th× y = z = suy ( 0;0;0 ) l nghiƯm cđa hƯ *) NÕu x>0, y> , z > XÐt h m sè : f(t) = Ta cã f’(t) = 1500t ( 9t + 25 ) 30t ,t>0 9t + 25 > víi mäi t > Do ®ã h m sè f(t) ®ång biến khoảng ( 0; + ) y = f ( x) Hệ (2) đợc viết lại z = f ( y )  x = f ( z)  Tõ tÝnh ®ång biÕn cđa h m f ta dÔ d ng suy x= y = z Thay v o hệ phơng trình Ta đợc nghiÖm x = y = z = DeThiMau.vn  5  NghiƯm cđa hƯ l ( 0;0; ) ,  ; ;   3   C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ ( x + 4)dx −1 x +1 + x + 2 20t + 12 20t + 12 2 dt dt = ( t − 6t ) + ∫ 2 t + 3t + t + 3t + 0 x + Ta cã I = ( 2t )dt + Đặt t = = 8+  28 ∫ t + dt − ∫ t + dt = + 28ln2 – ln3 2) Cho x , y , z l ba sè thùc tháa mAn : x + y +2 z = Chøng minh r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y 2x + 2y + 2z ≥ x y z Đặt = a , =b , = c Tõ gi¶ thiÕt ta cã : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chøng minh cã d¹ng : ( *) ⇔ a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ ( *) a + bc b + ca c + ab a3 b3 c3 a+b+c + + ≥ 2 a + abc b + abc c + abc 3 a b c3 a+b+c + + ≥ ⇔ (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) Ta cã a3 a+b a+c + + ≥ a (a + b)(a + c) 8 ( 1) ( Bất đẳng thức Cô si) b3 b+c b+a + + ≥ b ( 2) T−¬ng tù (b + c)(b + a) 8 c c+a c+b + + ≥ c ( 3) (c + a)(c + b) 8 Céng vế với vế bất đẳng thức ( 1) , ( 2) , (3) suy điều phải chứng minh C©u IV : S H N M D A B C TÝnh thĨ tÝch h×nh chãp SBCMN ( BCM)// AD nên mặt phẳng n y cắt mp( SAD) theo giao tuyÕn MN // AD  BC ⊥ AB ⇒ BC BM Tứ giác BCMN l hình thang vuông cã BM l ®−êng cao  BC ⊥ SA Ta cã :  DeThiMau.vn a a 3− MN SM MN =2 = ⇔ = Ta cã SA = AB tan600 = a , AD SA 2a a 4a 2a BM = DiƯn tÝch h×nh thang BCMN l : Suy MN = 3 4a    a +  2a 10a2 BC + MN S = BM =  =  2   3   H¹ AH ⊥ BM Ta cã SH ⊥ BM v BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SH VËy SH ⊥ ( BCNM) ⇒ SH l ®−êng cao cđa khèi chãp SBCNM AB AM = Trong tam gi¸c SBA ta cã SB = 2a , = SB MS Vậy BM l phân giác góc SBA ⇒ SBH = 30 ⇒ SH = SB.sin300 = a 10 3a3 Gäi V l thÓ tÝch chãp SBCNM ta cã V = SH ( dtBCNM ) = 27 Phần B (Thí sinh đợc l m phần I phần II) Phần I (Danh cho thí sinh học chơng trình chuẩn) Câu V.a.1) Véc tơ phơng hai đờng thẳng lần lợt l : u1 (4; 6; 8) u2 ( 6; 9; 12) +) u1 v u2 cïng ph−¬ng +) M( 2; 0; 1) ∈ d1; M( 2; 0; 1) ∉ d2 A VËy d1 // d2 *) Véc tơ pháp tuyến mp (P) l n = ( 5; 22; 19) (P): 5x – 22y + 19z + = H d 2) AB = ( 2; 3; 4); AB // d1 I Gäi A1 l ®iĨm ®èi xøng cđa A qua d1 Ta cã: IA + IB = IA1 + IB A1B A1 IA + IB đạt giá trị nhỏ nhÊt b»ng A1B Khi A1, I, B th¼ng h ng ⇒ I l giao ®iĨm cđa A1B v d Do AB // d1 nên I l trung điểm A1B B 36 33 15 *) Gäi H l h×nh chiÕu A lên d1 Tìm đợc H ; ;   29 29 29  A’ ®èi xøng víi A qua H nªn A’  43 95 28  ; ;−   29 29 29  65 −21 −43  I l trung ®iĨm cđa A’B suy I  ; ;   29 58 29  C©u VI a) log9(x + 1)2 + log = log − x + log 27 ( x + 4)3 (1)  −4 < x <  x ≠ −1 § K:  (1) ⇔ log3(x + 1) + log34 = log3(4 – x) + log3(x + 4) ⇔ log34 x + = log3(16 – x2) ⇔ x + = 16 – x2 24 Giải phơng trình tìm đợc x = x = Phần II Câu V b 1) Các véc tơ phơng D1 v D2 lần lợt l u1 ( 1; 1; 2) v u2 ( 2; 0; 1) *) Cã M( 2; 1; 0) ∈ D1; N( 2; 3; 0) ∈ D2 XÐt u1 ; u2  MN = 10 ≠ DeThiMau.vn VËy D1 chÐo D2 *) Gäi A(2 + t; – t; 2t) ∈ D1 B(2 – 2t’; 3; t’) ∈ D2 D1 u1   AB.u1 = t = − ⇒    AB.u2 = t ' = 5 2 ⇒ A  ; ; −  ; B (2; 3; 0) 3 3 A B u2 D2 Đờng thẳng qua hai điểm A, B l đờng vuông góc chung D1 v D2 Ta cã ∆ x = + t :  y = + 5t  z = 2t *) Phơng trình mặt cầu nhận đoạn AB l ®−êng kÝnh cã d¹ng: 2 11   13     x −  +y −  +z+ 3 =  b.2) Đặt t = log52 x + ta thÊy nÕu x ∈ 1;5 t [1;2] Phơng trình có dạng: t2 + 2t – m – = 0; t ∈ [1;2] ⇔ t2 + 2t – = m ; t [1;2 ] Lập bất phơng rình h m f(t) = t2 + 2t – trªn [1;2] ta đợc f(t) Đ K m l : ≤ m ≤ DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... [1;2 ] Lập bất phơng rình h m f(t) = t2 + 2t [1;2] ta đợc ≤ f(t) ≤ § K cđa m l : ≤ m ≤ DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... ®ång biÕn cđa h m f ta dÔ d ng suy x= y = z Thay v o hệ phơng trình Ta đợc nghiệm x = y = z = DeThiMau.vn  5  NghiƯm cđa hƯ l ( 0;0; ) ,  ; ;   3   C©u III 1) TÝnh tÝch ph©n I = ∫ (... r»ng : 4x 4y 4z + + 2x + 2y+z 2y + 2z+x 2z + 2x+y 2x + 2y + 2z ≥ x y z §Ỉt = a , =b , = c Tõ gi¶ thi? ?t ta cã : ab + bc + ca = abc Bất đẳng thức cần chứng minh cã d¹ng : ( *) ⇔ a2 b2 c2 a+b+c +