Ứng Dụng Định Lý Larange Chứng Minh Một Dang BĐT Hàm I Định lý Larange: Cho hàm số y  f (x) liên tục a; b  có đạo hàm a; b  c  a; b  cho: f (b)  f ( a ) f ' (c )  ba II Bài toán: Cho hàm số y  f (x) xác định có đạo hàm cấp hai a; b  CMR: a Nếu f " ( x)  x  a; b  ( điểm rời rạc a; b  ) thì: f ( x1 )  f ( x2 ) x  x2  f( ) 2 b Nếu f " ( x)  x  a; b  ( điểm rời rạc a; b  ) thì: f ( x1 )  f ( x ) x  x2 )  f( 2  Chứng minh: x1  x Xét hàm số f (x) liên tục a; b  chứa  x1 ; x2  Theo định lý Larange ta có: x  x2 x  x2 )  f ( x1 ) )  f ( x1 ) f( f( f ' (t ) 2   f ' (t )  t   x1 ; x  cho: (1) x1  x 2 x  x1  x1 x  x2 x  x2 ) ) f (x2 )  f ( f (x2 )  f ( f ' (k ) 2 k   x1 ; x  cho: (2)  f ' (k )   x1  x 2 x  x1 x2  f ( x1 )  f ( x2 ) f ' (k )  f ' (t ) Trừ (1) cho (2) suy ra: (3)  x2  x1 +) Nếu f " ( x )  x  a; b   f ' ( x ) đồng biến a; b   f ' ( k )  f ' (t ) kết f ( x1 )  f ( x ) x  x2 )  f( hợp với (3) suy ra: 2 +) Nếu f " ( x )  x  a; b   f ' ( x ) nghịch biến a; b   f ' ( k )  f ' (t ) kết f ( x1 )  f ( x ) x  x2 )  f( hợp với (3) suy ra: 2 Khơng tính tổng qt giả sử III Mở rộng +) Dùng phương pháp qui nạp ta chứng minh BĐT với n số: n n  a IV Ứng dụng: i 1 f ( xi ) n  f( i 1 n n n  xi  ) b i 1 f ( xi ) n DeThiMau.vn i  f ( i 1 ) n     f ( x)  sin x 0;  Ta có: f " ( x)   sin x  x   0;   2  2 sin x1  sin x x  x2 Vậy: )  sin( 2     f ( x)  cos x  0;  Ta có: f " ( x)   cos x  x   0;   2  2 cos x1  cos x x  x2 Vậy: )  cos( 2 x sin x     f ( x)  tan x  0;  Ta có: f " ( x)   x   0;  cox x  2  2 tan x1  tan x x  x2 Vậy: )  tan( 2 cos x     f ( x)  cot x  0;  Ta có:  x   0;  f " ( x)  sin x  2  2 cot x1  cot x x  x2 Vậy: )  cot( 2 1 f ( x)  ln x x  Ta có: f ' ( x)   f " ( x)    x  x x ln x1  ln x x1  x Vậy: )  ln( 2 ln x1  ln x    ln x n x  x2    xn Tổng quát: )  ln( n n  ln n x1 x  x n  ln( Do hàm x1  x    x n ) n f ( x)  ln x đồng biến nên suy ra: n x1 x  x n  x1  x    x n (BĐT Cauchy) n f ( x)  x  x  Ta có: f " ( x)   (  1) x   +) Nếu      f " ( x)  x  x1  x 2 x  x2  Vậy ( ) 2 x   x 2    x n x  x2    xn  Tổng quát: ( ) n n +) Nếu     f " ( x)  x  x1  x 2 x  x2  ( ) 2 x   x 2    x n x  x2    xn  Tổng quát: ( ) n n Vậy DeThiMau.vn