A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức: (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy + + + ; Dấu “=” xảy ab Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y = a f(x) = Nếu max y = a f(x) = Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) C CÁC DẠNG TOÁN VÀ CÁCH GIẢI Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức: a) b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) Giải: a) Min A = 10 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 -36 Min B = -36 x = x = -5 c) = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + 2 Min C = x = 1; y = download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 21 Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + 7 Max B = x = 1, Bài tốn 3: Tìm GTNN của: a) b) Giải: a) Ta có: Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) hay Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) hay Vậy Min M = + = Đặt t b) Do N = t2 – 3t + = Dấu “=” xảy Do download by : skknchat@gmail.com Vậy hay Bài tốn 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 Ngoài ra: x + y = x2 + y2 + 2xy = 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ Do Ta có: Do Vậy GTNN Bài tốn 5: Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ download by : skknchat@gmail.com Vì t = x2 + y2 nên : GTLN x2 + y2 = GTNN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a 0; – b 0; – c 0; (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc P = a + b + c – ab – bc – ac Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 2(x2 + y2) (x + y)2 Mà x2 + y2 = download by : skknchat@gmail.com - Xét Dấu “=” xảy - Xét Dấu “=” xảy Vậy x + y đạt GTNN Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) x+y+z 3(x2 + y2 + z2) 81 (1) Mà xy + yz + zx x2 + y2 + z2 27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx 36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 VìB 27 Vậy P = -14 Hay Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + Đặt t = xy thì: download by : skknchat@gmail.com x2 + y2 x4 Do đó: + y4 P = 2t2 – 40t + 100 = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 dấu “=” xảy Vậy GTNN P = 45 x+y= x+y= xy = xy = Bài toán 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = y=2–x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + 2 Vậy GTNN A x = y = Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN GTNN của: Giải: * Cách 1: Ta cần tìm a để bình phương nhị thức Ta phải có: - Với a = -1 ta có: download by : skknchat@gmail.com Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: * Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = Cách 2: Vì x2 + nên: y giá trị hàm số - Nếu y = (1) - Nếu y (1) (1) có nghiệm (1) có nghiệm Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của: Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: (1) Do x2 + x + = x2 + .x + Nên (1) ax2 + ax + a = x2 – x + (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = Trường hợp 2: Nếu a để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ là: download by : skknchat@gmail.com , tức Với a = nghiệm (2) Với x = Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: b) Cho m, n số nguyên thỏa Tìm GTLN B = mn Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 (vì ab = 1) Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b Ta có: (a + b) + Mặt khác: Suy ra: Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì nên hai số m, n phải có số dương Nếu có hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương download by : skknchat@gmail.com Ta có: Vì m, n N* nên n – -2 2m – -1 Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra: B = mn = 2.12 = 24 + + B = mn = 3.6 = 18 + B = mn = 6.4 = 24 Vậy GTLN B = 24 hay Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: Giải: Ta viết: Do x > y xy = nên: Vì x > y x – y > nên áp dụng bất đẳng thức côsi với số khơng âm, ta có: Dấu “=” xảy (Do x – y > 0) Từ đó: Vậy GTNN A hay Bài tốn 5: Tìm GTLN hàm số: Thỏa điều kiện xy = Giải: Ta viết: download by : skknchat@gmail.com Vì Do ta có: Vậy: GTLN Dấu “=” xảy Bài toán 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: Giải: Ta viết: Vì t > nên ta có: Dấu “=” xảy Vậy f(t) đạt GTNN Bài tốn 7: Tìm GTNN biểu thức: Giải: Ta viết: g(t) đạt GTNN biểu thức Ta có: t2 + 1 đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN (t2 + 1) = t = g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN biểu thức: Giải: Đặt Do đó: Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) 10 download by : skknchat@gmail.com Tìm GTNN biểu thức: A = Giải: Điều kiện: – x2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si hai số: x2 Ta có: x2 + – x2 – x2 Vậy GTLN A = x = hay x = Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 Vì y với x thỏa mãn điều kiện 1996 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2 Vậy GTLN y x = 1997 Bài tốn 9: Cho Tìm GTLN biểu thức y = x + Giải: Ta có: Vì =x+2 nên – x Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 – x) cho ta: 17 download by : skknchat@gmail.com Dấu “=” xảy Vậy GTLN y x = Bài tốn 10: Cho M = Tìm TGNN M Giải: M = = = Điều kiện để M xác định a – Ta có: Đặt x = điều kiện x Do đó: M = Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x Và => M = – x + – x = – 2x Vậy x < M 2) Khi x x-4 =x-4 =>M= Vậy x > M 3) Khi < x < => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: 18 download by : skknchat@gmail.com D CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x x Gợi ý: - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – giá trị không thỏa mãn x Xảy đẳng thức x = , không thỏa mãn x Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Tìm giá trị m để có giá trị nhỏ Gợi ý: = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: = => Min ( với m = Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E 19 download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy 3A = + (x + y)2 => A A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 (12 + 12) = 50 Vậy Max M = x = Min M = -5 x = - ;y=- Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: A= Gợi ý: Từ (x2 – y)2 => 20 download by : skknchat@gmail.com Tương tự: => A => Max A = Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A= Gợi ý: B= Min B = - Bài tốn 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: Biểu diễn B = => GTNN B = (a2 + b2 + c2) - Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 21 download by : skknchat@gmail.com => GTLN E = 10  y = ; x = Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: Với x a) A = Với x Với x b) B = c) C = Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: A = (x + 2) + b) B = c) C = (vì Min C = - x = Bài tốn 13: Tìm GTNN biểu thức A = Gợi ý: A= 22 download by : skknchat@gmail.com = Vậy Min A = Khi x = 2000 Bài tốn 14: Tìm GTNN biểu thức: P= Gợi ý: Biểu diễn P = (áp dụng BĐT Côsi) => Min P = 64 x = x = -3 Bài tốn 15: Tìm GTNN A = Gợi ý: A = x+ => Min A = x = B= => Min B = x = C= D = (1 + x) E= download by : skknchat@gmail.com F= = => Min F = x = Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: P= Gợi ý: P=9P=9- Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 Tìm GTNN biểu thức S = Gợi ý: S = = S có GTNN x(10-x) có GTLN x = => GTNN S = x = y = Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: E= Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + => Min E = x = Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a ;a+b Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: 24 download by : skknchat@gmail.com a+ b (vì a => 132 => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Tìm m đạt GTNN Gợi ý: phương trình ln có nghiệm phân biệt x1; x2 Theo định lý vi-ét ta có: Do m GTNN m = Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y= Gợi ý: y Ta có: = +…+ nhỏ 1997 x nhỏ 1995 x nhỏ x Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 25 download by : skknchat@gmail.com Với x, y, z, t số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng: (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: Do 2M Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = Để tồn a Giải điều kiện m4 - m2 m(m – 1) 26 download by : skknchat@gmail.com Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2 Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = Gợi ý: Vì x2 + > với x Đặt a = => (a – 1) x2 – x +a – = (1) a giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = (1) x = - Nếu a Min A = (1) có nghiệm với x = với x = Bài 25: Tìm GTNN, GTLN A = Gợi ý: Viết A dạng sau với y ( (đặt ) Giải tương tự 24 được: Cịn với y = A = Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: Với Q dạng Q = (a + b) = – 2ab = – 2a (1 – a) => Q = 2a2 – 2a + 27 download by : skknchat@gmail.com Do đó: Min Q= a = b = 28 download by : skknchat@gmail.com ... 2) = Tìm giá trị m để có giá trị nhỏ Gợi ý: = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: = => Min ( với m = Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN... phân biệt x1; x2 Theo định lý vi-ét ta có: Do m GTNN m = Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y= Gợi ý: y Ta có: = +…+ nhỏ 1997 x nhỏ 1995 x nhỏ x Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997... x2 + nên: y giá trị hàm số - Nếu y = (1) - Nếu y (1) (1) có nghiệm (1) có nghiệm Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài toán 2: Tìm GTLN GTNN của: Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương