Họ Tên: Chức vụ : Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường, Vĩnh Tường, Vĩnh Phúc CHUYÊN ĐỀ SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC AM – GM TRONG CÁC BÀI TỐN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ Đối tượng bồi dưỡng: Đội tuyển HSG lớp Số tiết: 12 A Lý chọn chuyên đề: Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp thấy học sinh thường điểm không giải tập chứng minh bất đẳng thức (CMBĐT) hay tìm giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) Nhiều học sinh cho tập mà em thường khơng giải được, tính chất đặc thù loại tốn mang tính tư trừu tượng cao Vì học sinh thường nhiều thời gian không làm loại Qua nhiều năm dạy đội tuyển học sinh giỏi (HSG) trăn trở suy nghĩ phải làm để học sinh yêu thích giải tập CMBĐT Vì em có phương pháp giải tập cánh thành thạo việc tư thuật toán để giải loại tập khác nhanh nhẹn hơn, giúp em đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi cấp Do mạnh dạn viết chuyên đề “Sử dụng bất đẳng thức AM – GM tốn chứng minh BĐT tìm cực trị” Nhằm giúp em có cách nhìn tổng quát suy nghĩ để mở rộng kiến thức học từ sách giáo khoa Từ em tự vận dụngvà phát triển tư với tập tương tự, tổng quát liên hệ cách lơ-gic với dạng tốn học Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm, với cách làm thấy học sinh tơi bắt đầu u thích tập CMBĐT, chun đề CMBĐT tìm cực trị lơi học sinh học tập say mê Từ thấy kỳ thi học sinh giỏi làm tập CMBĐT hay tìm cực trị có niềm tin chất lượng đội tuyển nâng lên đạt thành tích cao Tôi nhận hướng dẫn học sinh biết cách tìm tịi khám phá điều lạ, xuất phát điểm từ điều giản đơn, từ sách giáo khoa, từ kiến thức chuẩn kỹ Học sinh làm điều phi thường từ điều giản đơn Thực tế cho tơi thấy phần có kết mong đợi Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học 2009-2010, đội tuyển phụ trách hầu hết em làm tốn CMBĐT, nhờ mà chất lượng đội tuyển đạt vị cao Do tơi giảng dạy chuyên đề: “Sử dụng bất đẳng thức AM – GM tốn chứng minh BĐT tìm cực trị” cho đội tuyển học sinh giỏi lớp nhiều năm học, với kỳ vọng em u thích tập CMBĐT khơ khan, trừu tượng, vô hấp dẫn lý thú Với mục tiêu bồi dưỡng nhân tài cho Huyện,cho Tỉnh nhà cho đất nước Thực lời dạy Bác trước lúc người xa: “ Vì lợi ích mười năm trồng cây, lợi ích trăm năm trồng người” 35 download by : skknchat@gmail.com B Nội dung chuyên đề : *) Các bất đẳng thức bản: +) Với số thực a ta ln có |a| +) Với số thực a; b ta có (a – b)2 *) Các bất đẳng thức suy ra: +) Với số thực a, b ta có : 2(a2 + b2) (a + b)2 4ab +) Với a; b số thực dấu thì: Hoặc với a, b số thực trái dấu thì: *)Bất đẳng thức AM - GM: +) Với số thực khơng âm a1, a2, an ta có Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an ( Bất đẳng thức phát biểu sau: Trung bình cộng n số khơng âm lớn trung bình nhân n số đó) *) Các trường hợp đặc biệt +) Với n = ta có bất đẳng thức: hay hay +) Với n = ta có bất đẳng thức: hay hay Một số tốn quen thuộc có sử dụng BĐT AM – GM I) Ví dụ 1: Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có: ( Đây BĐT mà HS hay gọi BĐT cộng mẫu) 36 download by : skknchat@gmail.com Chứng minh: Sử dụng BĐT AM – GM cho số a, b, c ta có Dấu “=” xảy a = b =c Tổng qt hóa tốn : Với số thực dương ta có bất đẳng thức Dấu “=” xảy a1 = a2 =…= an *) Sử dụng BĐT VD1 ta chứng minh toán sau : Cho x, y, z số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải: Áp dụng VD1 ta có  Do x + y + z = nên ta có Dấu “ = “ xảy x = y = z x + y + z = hay x = y =z = Vậy Min P = x = y =z = Ví dụ 2: Cho số thực khơng âm a; b; c khơng có hai số đồng thời Chứng minh rằng: Chứng minh : Khơng tính tổng qt ta đặt 37 download by : skknchat@gmail.com Ta có M + N = Áp dụng BĐT AM – GM cho ba số không âm ta có: Do M + N + 2S Mà M + N = nên ta suy 2S Dấu “=” xảy a = b =c hay Bất đẳng thức mà vừa chứng minh BĐT Nestbit Sau bắt đầu q trình khám phá tốn sử dụng BĐT AM – GM Chúng ta bắt đầu với toán sau: Bài toán 1: Cho x, y, z độ dài cạnh tam giác Chứng minh xyz (x + y –z)(y + z – x)(x + z – y) Nếu ta đặt x = b+c; y = c + a; z = a + b BĐT cần chứng minh trở thành toán sau: Bài toán 1.1: Cho a; b; c số dương Chứng minh (a + b)(b + c)(c + a) 8abc Lời giải: Áp dụng BĐT AM – GM cho số dương ta có Nhân vế với vế BĐT ta điều phải chứng minh Trở lại toán ta thấy cần điều kiện x, y, z số dương đủ Do x, y, x số dương ta có tốn sau: Bài tốn 1.2: Cho x, y, z số dương Chứng minh xyz (x + y –z)(y + z – x)(x + z – y) Lời giải: Khơng tính tổng quát giả sử x y z >0 38 download by : skknchat@gmail.com +) Nếu x y + z x + y – z x + z –y > > y + z – x Nên xyz > > (x + y –z)(y + z – x)(x + z – y) +) Nếu x < y + z Áp dụng BĐT AM – GM cho số dương ta có Nhân vế với vế (1); (2); (3) ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Giả sử S = a + b + c ta có (S – a)(S – b)(S – c) = (a + b)(b + c)(c + a) 8abc (1) Với số dương a + b; b + c; c + a áp dụng toán 1.1 ta thu (S + a)(S + b)(S + c) = [(c + b) + (c + a)][(c + a)+(a + b)][(a + b) + (b + c)] (2) Nhân theo vế (1) (2) ta có (S2 – c2) (S2 – b2) (S2 – a2) 83a2b2c2 Chúng ta thu toán sau: Bài toán 1.3: Cho a; b; c số dương S = a + b + c Chứng minh Bài toán 1.4: ( IMO 2000) Cho a; b; c có tích Chứng minh Lời giải: Do abc = nên tồn số x; y; z dương cho BĐT cần chứng minh trở thành  (x +z-y)(x+y-z)(y+z-x) xyz 39 download by : skknchat@gmail.com 64abc Theo toán 1.2, BĐT chứng minh Bài toán 1.5: Cho a, b, c số dương Chứng minh Lời giải: Đặt x = Nhận thấy x, y, z dương nên BĐT tương đương với x + y + z Tương tự ta có ; Ta thu Mặt khác S = x + y + z < (Mâu thuẫn với đẳng thức trên) Vậy x+y+z Ta có điều phải chứng minh Bài tốn 2: (Đề thi tuyển sinh THPT Chuyên Vĩnh Phúc năm học 2011 – 2012) Cho số thực dương Chứng minh Lời giải: Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có Suy Cũng theo bất đẳng thức AM-GM 40 download by : skknchat@gmail.com Suy ra: Từ suy điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy Bi toỏn 3: HÃy tìm tất giá trị a, b, c số dơng âm cho biểu thức P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ đó, với: Đặt Khi P=(1+x)(1+y)(1+z)=1+(x+y+z)+(xy+yz+zx)+xyz (C) p dụng BĐT AM GM ta cã: lµ x=y=z (D) Tõ (A), (B), (D) suy x=y=z=1 Tõ (C), (D) vµ (E) suy GTNN P giá trị a, b, c thoả mÃn (E) tất giá trị cần tìm Bi toỏn 4: Cho cỏc s thc dương a,b,c thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 + b2 + c2 + a + b + c Lời giải: Áp dụng BĐT AM – GM kết hợp với giả thiết ta có 41 download by : skknchat@gmail.com Vậy a + b + c Dấu “=” xảy a = 4; b = 3; c = Lại có Suy 42+32+22 3c2+2(b2 - c2) + (a2 – b2) = a2 + b2 + c2 Hay 29 a2 + b2 + c2 Dấu “=” xảy a =4; b = 3; c = Vậy Pmax = 42+32+22 + = 38 a =4; b = 3; c = Bài toán 5: (Đề thi HSG huyện Yên Lạc năm học 2011 – 2012) Cho Chứng minh Lời giải: Áp dụng BĐT AM – GM cho số dương ta có Chứng minh tương tự ta có Và Dấu “=” khơng xảy Vậy Kỹ thuật tìm điểm rơi BĐT AM – GM Bài toán xuất phát: Cho số dương a;b Tìm giá trị nhỏ biểu thức AI) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số dương ta có Dấu “=” xảy a = b >0 Vậy Min S = a = b >0 Nhận xét: Từ tốn ta thay đổi miền xác định để có tốn sau Bài tốn 1: Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức Sai lầm thường gặp: Nguyên nhân sai lầm: Min S = a = = Mâu thuẫn với giả thiết Phân tích tìm lời giải: Lập bảng giái trị tương ứng a S ta nhận định S đạt GTNN a = Ta có sơ đồ điểm rơi sau: 42 download by : skknchat@gmail.com : Hệ số điểm rơi Từ ta có lời giải sau: Với a = Bài tốn : Cho a ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức Sơ đồ điểm rơi : Hệ số điểm rơi Lời giải đúng: Với a = Min Bài toán 3: Cho Sơ đồ điểm rơi 1: Cách 1: Với Min S = Sơ đồ điểm rơi 2: Cách 2: Với MinS=5 Bài tốn 4: Cho 43 download by : skknchat@gmail.com Sơ đồ điểm rơi: Lời giải tổng hợp: MinS = Lời giải thu gọn: Do t =  Với MinS = Bài tốn 5: Cho a, b> Tìm giá trị nhỏ biểu thức Sơ đồ điểm rơi: a = b => Lời giải đúng: Với a = b> Min Bài tốn 6: Cho Tìm giá trị nhỏ biểu thức Sơ đồ điểm rơi 1: Hệ số điểm rơi Cách 1: 44 Vậy ta cần chứng minh Thật ta có Chứng minh tương tự ta có: theo (6) ; ; Cộng theo vế bốn bất đẳng thức ta có Vậy ta có Bài tốn Với a > ta ln có: (8) với n tự nhiên khác Chứng minh (8): Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có: Dấu đẳng thức xảy Vậy ta có Chứng minh (9): Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số dương ta có: 60 download by : skknchat@gmail.com Dấu đẳng thức xảy Vậy ta có Chứng minh (10): Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho n + số dương ta có: Dấu đẳng thức xảy Vậy ta có Ví dụ 12: Cho a + b + c = Chứng minh rằng: Nhận xét: Do a + b + c = => 2b + 2c = – 2a => 2b + 2c – = – 2a nên ta nghĩ đến bất đẳng thức (8) Lời giải: Do a + b + c = => Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: (*) Áp dụng bất đẳng thức (8) ta có 61 download by : skknchat@gmail.com Cơng theo vế ba bất đẳng thức ta có (*) a + b + c = Vậy ta có Bài tốn Chứng minh Với Với Chứng minh (11): Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số ta có: Dấu đẳng thức xảy a = Vậy ta có Chứng minh (12): Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho ba số ta có: Dấu đẳng thức xảy a = Vậy ta có Ví dụ 13: Với a, b, c > a + b + c = Chứng minh 62 download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Do a + b + c = => Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với (*) Áp dụng bất đẳng thức (11) ta có Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta (*) a + b + c = Vậy ta có 3.2.4.2 Xây dựng, chứng minh bất đẳng thức phụ để áp dụng phát biểu toán tương tự toán Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM – GM lại xây dựng bất đẳng thức hay khó dạng phân thức mà có nhiều áp dụng Sử dụng bất đẳng thức chứng minh số bất đẳng thức khó khác Bài toán Với a, b, c số thực dương, chứng minh rằng: (13) (Trích đề thi giáo viên giỏi tỉnh Vĩnh Phúc năm 2006-2007) Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có 63 download by : skknchat@gmail.com Suy Chứng minh tương tự ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta có Dấu đẳng thức xảy a = b = c Vậy ta có Nhận xét: Bất đẳng thức (13) bất đẳng thức khó với cách giải hay Vận dụng cách giải kết bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức hệ sau: Ví dụ 14: Cho a, b, c >0 , chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Suy 64 download by : skknchat@gmail.com Chứng minh tương tự ta có: Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: Nhận xét: Bất đẳng thức (13) trường hợp Bây ta chọn bất đẳng thức ví dụ 14 ta thu bất đẳng thức khó sau: Ví dụ 15: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Suy Chứng minh tương tự cộng theo vế ta có: Vậy ta có 65 download by : skknchat@gmail.com Nhận xét: Từ cách chứng minh bất đẳng thức (13) ta có cộng thêm tích ab vào mẫu thức vế trái bất đẳng thức kết thay đổi nào? Ta có toán sau: Bài toán 7: Với a, b số thực dương Chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Vậy ta có Sử dụng kết bất đẳng thức (13) ta thu tốn sau: Ví dụ 16: Với a, b, c > , chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức (14) ta có: Áp dụng bất đẳng thức (13) ta được: Vậy ta có: Nếu cho Nếu ta ta có tốn sau: Ví dụ 17: Chứng minh với a, b, c số thực dương ta có: 66 download by : skknchat@gmail.com Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Vậy ta có Chứng minh tương tự ta có: Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta Áp dụng bất đẳng thức (13) ta có Vậy ta có Để có tốn khó tốn ta cho ta có tốn: Ví dụ 18: Chứng minh với a, b, c số thực dương ta có: Nếu tiếp tục cho ta lại có tốn sau Ví dụ 19: Chứng minh với a, b, c số thực dương ta có: Mở rộng bất đẳng thức (13) ta thu bất đẳng thức sau: Ví dụ 20: Với a, b, c số dương, chứng minh rằng: 67 download by : skknchat@gmail.com Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ba số dương ta có Suy ra: Chứng minh tương tự cộng theo vế ta có: Vậy ta có điều phải chứng minh Sử dụng kết ví dụ 20 xây dựng tương tự bất đẳng thức (14) ta có tốn sau: Ví dụ 21: Với a, b, c > Chứng minh rằng: Chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Suy Chứng minh tương tự cộng theo vế ta được: Vậy ta có điều phài chứng minh: 68 download by : skknchat@gmail.com Đến ta cho = ta có tốn: Ví dụ 22: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Suy Chứng minh tương tự cộng theo vế ta được: Vậy ta có điều phài chứng minh: Tiếp tục cho ta có tốn sau: Ví dụ 23: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh bất đẳng thức sau: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số dương ta có: Suy 69 download by : skknchat@gmail.com hay ta có Chứng minh tương tự cộng theo vế ta được: Vậy ta có điều phài chứng minh Tiếp tục sử dụng cách giải bất đẳng thức (13) xây dựng tương tự ta chứng minh đưa nhiều tập từ bất đẳng thức sau: a/ b/ 3) Bài tập vận dụng: Sau số toán mà áp dụng BĐT AM – GM bất đẳng thức phụ giải chúng Bài 1: Chứng minh với số thực khơng âm thì: Bài 2: Cho hai số thực không âm x,y Chứng minh bất đẳng thức Bài 3: cho hai số thực không âm x,y; gọi a g trung bình cộng trung bình nhân hai số Chứng minh rằng: Bài : Bốn số thực không âm x,y,z,t thỏa mãn điều kiện x + y + z + t = Chứng minh rằng: Bài 5: Cho ba số thực không âm x, y, z Chứng minh rằng: 70 download by : skknchat@gmail.com Bài 6: Bốn số thực không âm x, y, z, w thỏa mãn x + y + z + w = Tìm giá trị lớn : f = 17xy + 18xz + 19 xw + 19 yz + 20yw + 21zw Bài 7: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: Bài 8: Cho a,b,c,d số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: Bài 9: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh rằng: Bài 10: Cho a,b,c số thực dương Chứng minh Bài 11: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= Bài 12: Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz = a/ Tìm giá trị nhỏ biểu thức B= b/ Tìm giá trị lớn biểu thức: A = Bài 13: Cho a, b, x, y, z > x + y + z = Chứng minh Bài 14: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a/ b/ (1 + a3)(1 + b3)(1 + c3) (1 + a6)(1 + b3)2(1 + c2)3 download by : skknchat@gmail.com c/ (1 + a4)(1 + b4)(1 + c4)(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2) (1 + ab2)2(1 + bc2)2(1 + ca2)2 Bài 15: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Bài 16: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Bài 17: Cho a, b, c > Chứng minh rằng: Bài 18: Cho a, b, c, > Chứng minh rằng: Bài 19: Với a, b, c > Chứng minh rằng: a/ b/ Bài 20: Cho a, b, c > Chứng minh C Kết luận: Trên số dạng tập khai thác từ đẳng thức đáng nhớ từ BĐT AM – GM có nhiều ứng dụng sách giáo khoa, sách tham khảo Trong tất kỳ thi học sinh giỏi hầu hết có sử dụng đến BĐT AM - GM Nếu biết khai thác triệt để ứng dụng BĐT AM – GM giúp cho học sinh giải tập BĐT dễ dàng Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi hướng dẫn em cách khai thác tập xây dựng tốn mang tính tổng qt tốn liên quan đến Giúp học sinh tiếp thu sáng tạo lời giải 72 download by : skknchat@gmail.com Tôi đồng nghiệp tiến hành bồi dưỡng HSG theo chuyên đề kể từ năm học 2006 – 2007 thu kết sau: Năm học 2006 – 2007 2007 – 2008 2008 – 2009 2009 – 2010 2010 – 2011 Qua kết trên, tơi nhận tính ứng dụng BĐT AM – GM tốn chứng minh BĐT tìm cực trị cao Khi HS nắm vững BĐT AM – GM cách khai thác tìm tịi lời giải việc chứng minh BĐT khơng cịn q khó Trong viết chuyên đề “Sử dụng bất đẳng thức AM – GM toán chứng minh BĐT tìm cực trị” tơi khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung chuyên đề chưa thực phong phú Rất mong bạn đồng nghiệp em học sinh đóng góp thêm ý kiến để chun đề hồn thiện có hiệu Tơi xin chân thành cám ơn Vĩnh Tường, ngày 25 tháng 12 năm 2011 Người viết chuyên đề Trần Thị Phi Nga 73 download by : skknchat@gmail.com CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 Toán nâng cao phát triển lớp Bài tập nâng cao chuyên đề toán Chuyên đề bồi dưỡng HSG đại số Toán nâng cao chuyên đề Đại số 23 chuyên đề 1001 toán sơ cấp Bất đẳng thức cực trị đại số Đề thi vô địch nước giới Thư viện đề thi kiểm tra Tuyển tập đề thi tuyển sinh tỉnh Tài liệu Giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Văn Mậu 74 download by : skknchat@gmail.com ... chứng minh bất đẳng thức phụ để áp dụng phát biểu toán tương tự toán Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức AM – GM lại xây dựng bất đẳng thức hay khó dạng phân thức mà có nhiều áp dụng Sử dụng bất đẳng. .. ứng dụng BĐT AM – GM tốn chứng minh BĐT tìm cực trị cao Khi HS nắm vững BĐT AM – GM cách khai thác tìm tịi lời giải việc chứng minh BĐT khơng cịn q khó Trong viết chuyên đề ? ?Sử dụng bất đẳng thức. .. cần tìm V) Chứng minh áp dụng số bất đẳng thức phụ Xuất phát từ bất đẳng thức AM – GM, chịu khó nghiên cứu, biết cách tìm tịi sáng tạo xây dựng chứng minh nhiều bất đẳng thức phụ mà sử dụng ta chứng