Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp huyện, năm học 2013 2014 môn: Toán 927719

Từ S vẽ tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD đến đường tròn.. a Chứng minh rằng: SC.. ĐỀ CHÍNH THỨC.

UBND HUYỆN NGỌC HỒI

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN, NĂM HỌC 2013 - 2014

MÔN: TOÁN 9

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề bài:

Bài 1: (6,0 điểm)

1) Rút gọn các biểu thức sau:

a) A 10  24  40  60 b) 7 48 4 12

2) Cho biểu thức: 3 5 1 1 1 2 : 1

2

P

x



a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn P

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 2: (4,0 điểm)

1) Giải phương trình: 4 3x x

2) Tìm x, y nguyên thỏa mãn:   2 2

y x   y

Bài 3: (3,5 điểm)

1) Cho a, b, c khác 0 và1 1 1 0 Tính giá trị biểu thức:

2) Cho đường thẳng có phương trình 3m – my = (2m+1).x – 3 (1)

Chứng minh rằng khi m thay đổi, các đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định Tìm tọa độ điểm cố định đó?

Bài 4: (5,0 điểm)

1) Cho (O ; R) và điểm S cố định với OS= 2R Từ S vẽ tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD đến đường tròn

a) Chứng minh rằng: SC SD = SA2

b) Tính SC SD theo R

c) Tính độ dài SC và SD theo R cho biết CD = R 3

2) Gọi a,b,c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC

Chứng minh rằng: sin

bc



Bài 5: (1,5 điểm)

Tìm x, y là các số thực khác 0 thỏa mãn 2 2

1

x y 

Tìm giá thị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

1

xy M

y x





 

- Hết

-Họ và tên thí sinh:……….

Số báo danh:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NGỌC HỒI

PHÒNG GD&ĐT HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI

MÔN: TOÁN 9

Hướng dẫn này gồm 3 trang

a

     2 2 2

=  2

1

b

   

2

B



   



 

3

1,5

a

ĐKXĐ x 0;x 1

  

        

2 :

2

: 2

P

x

x







1,5 1

2

b

Với điều kiện: x 0;x 1

3

1

x

x



1

x



mãn ĐKXĐ

Vậy Min P = 2 3  2   x 4 2 3

1,5

4 3x x

Đk: 4

3

x

Nếu : x < 0 Phương trình vô nghiệm

1 Nếu 0 4 Thì

3

x

 

  

Đối chiếu với điều kiện chỉ có x = 1 thỏa mãn vậy phương trình có nghiệm

duy nhất

2

2

y 2x2   1 y2 y 2x2 y2  4  3 y 2 ( x2  y 2)  3

do x, y nguyên nên   2 nguyên từ đó suy ra

y x  y

Từ đó ta có bảng

Vậy các cặp số (x, y) cần tìm là: (0; 1) ; (0;-1)

2

1

3

x y  z xyz x y z x y z xyyzzx

0

a b c

Nên ta có: A ab2 bc2 ca2 abc 13 13 13 abc.3 .1 1 1 3

2

3

2

3m – my = (2m+1).x – 3 (1)

Gọi M(x0 ; y0) là điểm cố định cần tìm, ta có: 3m–my0= (2m+1)x0 – 3, m

3m – 2mx0– my0 = x0 - 3m(3 - 2x0 –y0)= x0 – 3

m(3 - 2x0 –y0) – (x0 – 3) = 0

Vậy (x0 ; y0) = (3;-3) là điểm cố định cần tìm

1,5

4

a SAC  SDA (g-g) SA SC

.

SA SC SD

1

O A

B

S

D C

I

b Áp dụng đl Pitago vào tam giác SAO vuông tại A, ta có:

 2

SA SO OA  R R  R

(1) 2

c Ta có: SD – SC = CD = R 3(2)

Từ (1), (2) suy ra: SC+ SD = R 15(3)

Từ (2), (3) suy ra ( 15 3) (đvd)

2

R

và ( 15 3)(đvd)

2

R

1

2

A

Kẻ phân giác AD;

kẻ BH vuông góc với AD tại H

Kẻ CK vuông góc với AD tại K

H

B D

2

Sin

2

5

 2

x y

 

 2   2 2

dấu bằng xầy ra khi (x; y) bằng 2; 2 ; 2; 2

Vậy 2 1;

2

2

1,5

Chú ý: Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tối đa tương ứng