I. Phần mở đầu: I.1. Lý do chọn đề tài Rèn luyện kỹ năng là một mục đích quan trọng hàng đầu trong dạy học Toán, nói riêng là dạy học tính thể tích khối đa diện ở lớp 12 THPT. Thực tiễn hiện nay cho thấy: Việc rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối đa diện còn những tồn tại, bất cập nhất định cả về phía giáo viên và học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải đặt ra cái đích là giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn. Thực tế dạy và học cho thấy chúng ta còn có nhiều vấn đề cần giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán nhất là hình học không gian của học sinh còn rất yếu. Chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 là nội dung có thể nói là rất khó vì nó trừu tường, có nhiều kiến thức tổng hợp, học sinh thường gặp khó khăn trong việc vẽ hình và nhìn hình không gian, khả năng vận dụng kiến thức đã có để giải bài tập chưa cao…. Từ thực tiễn và kinh nghiệm dạy học tính thể tích khối đa diện của bản thân và đồng nghiệp, chúng tôi tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối đa diện, trong chương trình Hình học 12 THPT.
Phần mở đầu
Lý do chọn đề tài
Rèn luyện kỹ năng là một mục đích quan trọng hàng đầu trong dạy học Toán, nói riêng là dạy học tính thể tích khối đa diện ở lớp 12 THPT
Hiện nay, việc rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối đa diện gặp nhiều khó khăn và bất cập từ cả phía giáo viên lẫn học sinh.
Trong quá trình giảng dạy, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và phát triển phương pháp, kỹ năng cần thiết để hình thành thái độ học tập tích cực Tuy nhiên, thực tế cho thấy học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn, đặc biệt là trong kỹ năng giải toán, nhất là ở hình học không gian Chương Khối đa diện trong chương trình hình học lớp 12 được coi là một trong những nội dung khó nhất do tính trừu tượng và yêu cầu kiến thức tổng hợp Học sinh thường gặp trở ngại trong việc vẽ hình và hình dung không gian, cũng như khả năng vận dụng kiến thức để giải bài tập còn hạn chế.
Dựa trên thực tiễn giảng dạy và kinh nghiệm của bản thân cùng đồng nghiệp, chúng tôi tiến hành nghiên cứu về "Rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối đa diện" trong chương trình Hình học lớp 12 THPT.
Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Để nâng cao kỹ năng tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ cho học sinh lớp 12 THPT, cần tìm ra giải pháp dạy học hiệu quả, tập trung vào việc xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập phong phú Việc này không chỉ giúp học sinh nắm vững kiến thức lý thuyết mà còn rèn luyện khả năng áp dụng vào thực tiễn thông qua các bài tập đa dạng.
Học sinh sẽ nắm vững kiến thức cơ bản về hình học không gian, từ đó rèn luyện kỹ năng vẽ hình và tính toán các đại lượng hình học Qua việc tính thể tích của các khối đa diện đơn giản, học sinh sẽ phát triển khả năng giải quyết các bài tập khó hơn liên quan đến khối đa diện.
+ Nghiên cứu cơ sở lý luận về rèn luyện kỹ năng giải toán trong môn Toán
+ Tìm hiểu điều tra thực trạng tình hình dạy và học tính thể tích khối đa diện.
+ Xác định, làm rõ những thành phần chủ yếu của kỹ năng tính "thể tích khối chóp và khối lăng trụ" của HS lớp 12 THPT
+ Xây dựng (Sưu tầm, lựa chọn, phân loại và sắp xếp) hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ
+ Khai thác hệ thống bài tập trong dạy học tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ ở lớp 12 THPT
+ Thử nghiệm sư phạm: tiến hành dạy tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ theo phương án đề ra và đánh giá hiệu quả.
Đối tượng nghiên cứu
- Hoạt động dạy và học của giáo viên và học sinh thông qua hệ thống bài tập tính thể tích khối đa diện ở chương trình lớp 12 THPT.
Giới hạn phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu các cách tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ trên cơ sở phân loại các dạng bài tập.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận bao gồm việc đọc tài liệu về lý luận dạy học Toán, đặc biệt chú trọng vào việc rèn luyện kỹ năng giải toán Bên cạnh đó, cần tham khảo các công trình nghiên cứu đã có về dạy học tính thể tích của khối chóp và khối lăng trụ, cũng như các phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Phương pháp quan sát và điều tra, bao gồm phỏng vấn và phiếu hỏi, được áp dụng để tìm hiểu thực trạng dạy và học về tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ ở lớp 12 THPT Việc này nhằm đánh giá hiệu quả giảng dạy và nhận thức của giáo viên cũng như học sinh về các khái niệm hình học này.
PP thống kê toán học:
- Điều tra tình hình dạy và học tính thể tích khối chóp và khối lăng trụ để làm căn cứ thực tiễn cho giải pháp;
- Thống kê kết quả và xử lý số liệu sau thử nghiệm, để tìm hiểu và đánh giá tính khả thi và hiệu quả của giải pháp.
Phần nội dung
Cơ sở lý luận
a) Khái niệm kĩ năng trong toán học
+ Trong dạy học bộ môn Toán, kĩ năng được biểu thị trên những bình diện khác nhau:
Kỹ năng vận dụng tri thức trong môn Toán thể hiện mức độ hiểu biết về kiến thức toán học Một người không thể được coi là hiểu biết về toán học nếu không biết cách áp dụng những kiến thức đó vào việc giải quyết các bài toán.
Kỹ năng vận dụng tri thức toán học vào các bộ môn học khác thể hiện vai trò quan trọng của toán học như một công cụ hỗ trợ trong việc học tập Điều này không chỉ cho thấy sự liên kết giữa các môn học mà còn nhấn mạnh mối quan hệ liên môn trong giáo dục, giúp học sinh áp dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề trong các lĩnh vực khác.
- Kĩ năng vận dụng toán học vào đời sống: là mục tiêu quan trọng của môn Toán
Nó cũng cho học sinh thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống.
Khi giải bài tập toán, học sinh cần trang bị kỹ năng suy luận và khả năng liên hệ giữa kiến thức cũ và mới Các tiết dạy bài tập nên được thiết kế theo hệ thống từ dễ đến khó, giúp phát triển tư duy và khuyến khích tính tích cực của học sinh Hệ thống bài tập này hỗ trợ học sinh tiếp cận kiến thức cơ bản và dần nâng cao khả năng tư duy, ứng dụng linh hoạt kiến thức vào giải toán và trình bày lời giải Qua đó, học sinh sẽ có hứng thú và động lực học tập tốt hơn.
Thực trạng
Từ thực tiễn và kinh nghiệm dạy học tính thể tích khối đa diện của bản thân và đồng nghiệp cho thấy:
+ Kỹ năng vẽ hình của học sinh có nhiều hạn chế Phần lớn học sinh không vẽ được hình hoặc vẽ không đúng.
+ Phần lớn học sinh không nhớ các hệ thức trong tam giác.
+ Các kiến thức cơ bản về hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp… còn hạn chế.
+ Kĩ năng phát hiện quan hệ giữa các đường thẳng, mặt phẳng và chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc mặt phẳng còn rất yếu.
Trong quá trình giảng dạy hình học không gian, nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc giải toán hình, đặc biệt là với chương Khối đa diện trong sách giáo khoa lớp 12 Bài tập trong chương này chủ yếu là những bài khó, thiếu cân đối với các bài cơ bản, khiến học sinh trung bình yếu dễ cảm thấy nản lòng và không muốn học Do đó, việc dạy học cần phải được điều chỉnh bằng cách lựa chọn bài tập hợp lý, kết hợp với bài tập trong sách giáo khoa, và thiết kế trình tự bài giảng để giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, phát triển kỹ năng và đạt kết quả cao trong kiểm tra, đánh giá.
Giải pháp, biện pháp
a Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Chọn lọc và hệ thống các bài tập theo từng dạng, từng mức độ từ dễ đến khó b Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp, biện pháp.
Bài tập được phân loại theo từng loại hình đa diện sau :
- Hình chóp tam giác , hình chóp tứ giác,
- Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
- Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
- Hình chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy
- Hình chóp có các cạnh bện bằng nhau hoặc tạo với đáy một góc bằng nhau
- Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy một góc bằng nhau
- Hình lăng trụ đứng , lăng trụ xiên
1) Hệ thức lượng trong tam giác vuông : a) Định lí Pithago: BC 2 AB 2 AC 2 b) c 2 c a ' ( AB 2 BH BC ) c) b 2 b a ' ( AC 2 CH BC ) d) ah bc ( AH BC AB AC ) e) 2 2 2
2) Hệ thức lượng trong tam giác bất kì : Định lí côsin: a 2 b 2 c 2 2 cos bc A Định lí sin: 2R sin sin sin a b c
3) Công thức tính diện tích tam giác:
2 ah a 2 bh b 2 ch c 2 ab C 2 ac B 2 bc A
- Diện tích tam giác vuông tại A : S 1
- Diện tích tam giác đều : S 2 3
- Diện tích hình chữ nhật các kích thước a và b : S a b ( diện tích = dài x rộng )
- Diện tích hình bình hành: S đáy x chiều cao
2(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : a’ là hình chiếu của a trên mp
- Góc giữa hai mặt phẳng :
5) Thể tích khối đa diện :
- Thể tích khối lăng trụ :
( B: Diện tích mặt đáy ; h là chiều cao của khối lăng trụ )
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V abc
- Thể tích khối lập phương: V a 3
B : Diện tích mặt đáy h : Chiều cao của khối chóp
3 Xây dựng hệ thống bài tập minh hoạ
Trong chương trình học, việc tính thể tích của các khối đa diện như khối chóp và khối lăng trụ thường xuyên xuất hiện dưới hai dạng bài tập khác nhau.
3.1 Dạng toán 1: Tính thể tích khối đa diện bằng cách sử dụng trực tiếp công thức
Về phương pháp giải quyết các bài tập loại này được tiến hành như sau :
- Xác định mặt đáy và chiều cao tương ứng hạ đến mặt đáy đó
- Xác định và tính diện tích của mặt đáy :
+ Tùy theo đáy là hình gì ta xác định công thức tính diện tích cho chính xác
Để tính diện tích mặt đáy, trước tiên cần xác định các yếu tố liên quan mà đề bài chưa cung cấp Sau khi tìm hiểu và thu thập thông tin cần thiết, chúng ta sẽ hoàn tất việc tính toán diện tích mặt đáy một cách chính xác.
- Xác định và tính chiều cao của khối đa diện :
+ Trong nhiều trường hợp chiều cao này được xác định ngay từ đầu
Trong một số trường hợp, việc xác định đường cao của khối đa diện cần dựa vào các định lý về mối quan hệ vuông góc đã được học ở các lớp trước, như định lý ba đường vuông góc và định lý về điều kiện để một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+ Việc tính chiều cao thông thường nhờ vào hệ thức lượng trong tam giác.
Nhìn chung các bài toán thuộc loại này rất cơ bản, chỉ đòi hỏi việc tính toán cẩn thận, chính xác
*Các ví dụ minh họa
3.1.1 Các bài tập về lăng trụ
Sử dụng chiều dài cạnh bên để làm chiều cao của lăng trụ trong việc tính thể tích của khối lăng trụ
VD1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác đều cạnh a Biết
S A BC a Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
- Xác định mặt đáy của lăng trụ : ABC
- Chiều cao của lăng trụ : AA’
Khi đó thể tích khối trụ là : V S ABC AA '
Gọi M là trung điểm BC AM BC và 3
Nhận xét : Việc tính chiều cao AA’ đã sử dụng định lí pithago
VD2: Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có đáy là tam giác vuông cân tại B , biết
A B hợp với mặt đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
- Xác định mặt đáy của lăng trụ : ABC
- Chiều cao của lăng trụ : AA’
Khi đó thể tích khối trụ là : V S ABC AA '
● Tính AA’: Xét A AB ' ta có : AA ' AB tan 60 0 a 3
Nhận xét : Việc giải bài toán trên có liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chiều cao AA’ đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
VD3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A B C D ' ' ' ' có cạnh đáy bằng a , mặt (BDC’) hợp với mặt đáy (ABCD) một góc 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
- Xác định mặt đáy của lăng trụ : ABCD
Chiều cao của lăng trụ : CC’
Khi đó thể tích khối trụ là : V S ABCD CC '
● Ta có : S ABCD AB AD a 2
● Tính CC’: Xác định B C D ' ; ABC D COC ' 60 0
C CO ' vuông tại C cho ta : ' tan 60 0 6
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng
- Tính chiều cao CC’ đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Để tính thể tích của khối lăng trụ, cần xác định đoạn vuông góc hạ từ đỉnh của lăng trụ xuống mặt đáy, từ đó xác định chiều cao của lăng trụ.
Để tính thể tích của lăng trụ xiên ABC A B C với đáy là tam giác đều cạnh a, trước tiên cần xác định hình chiếu A' của đỉnh A xuống mặt phẳng (ABC), tại điểm O, tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Góc giữa đoạn thẳng AA' và mặt đáy (ABC) là 60 độ Sử dụng các thông số này, chúng ta có thể áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ để tìm ra giá trị cần thiết.
HD: -Chú ý cách vẽ hình
- Xác định mặt đáy : ABC
- Công thức tính thể tích : V ABC A B C ' ' ' S ABC ' A O
Xác định : AA ', ABC A AO ' 60 0
A AO ' vuông tại C cho ta : A O OA ' tan 60 0 a
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chiều cao A’O đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
VD5: Cho hình hộp ABCD A B C D ' ' ' ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
BA ; chân đường vuông góc hạ từ B’xuống (ABCD) trùng với giao điểm 2 đường chéo của mặt đáy ABCD, biết BB’=a Tính thể tích khối hộp đã cho
HD: - Chú ý cách vẽ hình Gọi O = AC BD
- Xác định mặt đáy : ABCD Xác định chiều cao : B’O
- Công thức tính thể tích : V ABCD A B C D ' ' ' ' S ABCD ' B O
Chứng minh được AB D đều B D a
Nhận xét : Việc tính chiều cao B’O đã sử dụng định lí pithago
3.1.2 Các bài tập về hình chóp:
1) Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Dùng chiều dài cạnh bên vuông góc với đáy để làm chiều cao của khối chóp trong việc tính thể tích của khối chóp
Để tính thể tích của hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a, trong đó SA vuông góc với mặt đáy và góc giữa mặt phẳng (SBC) với mặt đáy là 60 độ, ta cần áp dụng công thức tính thể tích chóp Thể tích V của chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABC có thể được tính bằng công thức diện tích tam giác đều, và chiều cao của chóp có thể xác định từ góc 60 độ đã cho.
HD: Chú ý cách vẽ hình
- Xác định mặt đáy : ABC Xác định chiều cao : SA
- Công thức tính thể tích :
Gọi M là trung điểm BC Xác định được
SAM vuông tại A cho ta : tan 60 0 3 3 3
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng
- Tính chiều cao SA đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Để tính thể tích của hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông, ta biết rằng SA vuông góc với mặt đáy ABCD, SC = a và SC tạo với mặt đáy một góc 60 độ Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp, ta có thể xác định thể tích của khối chóp này.
- Xác định mặt đáy : ABCD
- Xác định chiều cao : SA
- Công thức tính thể tích :
Ta có : SC ABCD , SCA 60 0
vuông tại A cho ta : sin 60 0 3
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chiều cao SA đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
2) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy
Trong mặt phẳng bên vuông góc với đáy ta tìm đường thẳng vuông góc với giao
Để xác định đường cao của khối chóp, cần vẽ đường thẳng vuông góc với mặt đáy từ điểm trên mặt bên Khi đó, chiều cao của khối chóp sẽ được tính chính xác dựa vào vị trí của đường thẳng này.
Để tính thể tích của hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a và mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, ta áp dụng công thức thể tích chóp Thể tích V của hình chóp được tính bằng công thức: V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABCD là a^2, và chiều cao h của chóp là độ dài từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ABCD Từ đó, thể tích khối chóp S.ABCD sẽ là V = (1/3) * a^2 * h.
- Xác định mặt đáy : ABCD
- Xác định chiều cao Công thức tính thể tích
Gọi H là trung điểm AB, do SAB đều SH AB
Do đó SH là đường cao của hình chóp S.ABCD và 3
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến hai mặt phẳng vuông góc
Để tính thể tích tứ diện ABCD, ta có tứ diện với tam giác đều ABC và mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng (BCD), trong đó BCD là tam giác vuông cân tại D Biết rằng AD = a và góc giữa AD với mặt phẳng (BCD) là 60 độ.
- Xác định mặt đáy : BCD
- Xác định chiều cao Công thức tính thể tích
Gọi H là trung điểm BC AH BC AH BC D
AH là chiều cao của tứ diện
vuông tại H cho ta: D.sin 60 0 3
DH A a Từ đó tính được D
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính chiều cao AH đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
VD10 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AD
=a; AB* , biết SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp đã cho
- Xác định mặt đáy : BCD
- Xác định chiều cao Công thức tính thể tích
Gọi H là trung điểm AB SH AB SH ABC D D
●Tính diện tích hình thang ABC D
SHB cho ta : tan 60 0 SH SH HB tan 60 0 a 3
Nhận xét : Việc giải bài toán đã sử dụng kiến thức hai mặt phẳng vuông góc
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính chiều cao AH đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Để tính thể tích của hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình chữ nhật, ta cần biết rằng tam giác đều SAB có cạnh dài a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Hơn nữa, mặt phẳng (SCD) tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 30 độ Từ các thông tin này, ta có thể áp dụng công thức tính thể tích khối chóp để tìm ra kết quả.
- Xác định mặt đáy : ABCD
- Xác định chiều cao Công thức tính thể tích
Gọi H là trung điểm AB SH AB SH ABC D
Xác định : SCD , ABCD SMH 30 0
SHM vuông tại H cho ta : 0 3a D 3a 3a 2 tan 30 2 ABC 2 2
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính chiều cao SH đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
3) Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với mặt đáy
Để tìm giao tuyến của hai mặt bên vuông góc với mặt đáy, ta nhận thấy rằng đường giao tuyến này sẽ vuông góc với mặt đáy Từ đó, chúng ta có thể xác định đường cao của hình chóp và tính được chiều cao của khối chóp.
VD12 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , (SAB) và
(SAD) cùng vuông với đáy (ABC) , SC tạo với đáy (ABDC) 1 góc 60 0 Tính thể tích khối chóp đã cho
- Xác định mặt đáy : ABC D
- Xác định chiều cao Công thức tính thể tích
là chiều cao của khối chóp
Ta xác định được SC ABCD ,( ) SCA 60 0
Ta tính được : SA AC tan 60 0 a 2 3= a 6
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính chiều cao SA đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Để tính thể tích của hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều cạnh a, trong đó các mặt (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy (ABC), và mặt (SBC) tạo với đáy (ABC) một góc 30 độ, ta áp dụng công thức tính thể tích hình chóp Thể tích V được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy ABC là (√3/4) * a^2, và chiều cao của hình chóp có thể xác định từ góc 30 độ.
- Xác định mặt đáy : ABC
- Xác định chiều cao Công thức tính thể tích
là chiều cao của khối chóp
Gọi M là trung điểm BC Ta xác định được ( SBC ),( ABC ) SMA 30 0
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng
- Hai mặt phẳng vuông góc
- Tính chiều cao SA đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
4) Hình chóp đều : Cần chú ý a a
- Đáy là đa giác đều
- Chân đường cao trùng với tâm của đáy
VD14 : Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh a , M là trung điểm của CD a/ Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD b/ Tính thể tích khối chóp MABC
- Xác định mặt đáy : ABC
- Xác định chiều cao của từng khối chóp
Công thức tính thể tích của từng khối chóp a/ Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD
Chọn định chiều cao của tứ diện ABCD là DO
V S DO b/ Tính thể tích khối chóp MABC
VD15 : Cho hình tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
- Xác định mặt đáy : ABC D
- Xác định chiều cao của khối chóp
Công thức tính thể tích của khối chóp
●Tính diện tích ABCD : S ABCD a 2
Gọi O AC B D SO là chiều cao của khối chóp
Xác định được : ( SA ABC ,( D)) SAO 60 0
SOA vuông tại O cho ta tan 60 0 2 3 6
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Tính chiều cao SO đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Để tính thể tích của hình chóp tứ giác đều S.ABCD, với mặt bên hợp với mặt đáy một góc 45 độ và khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên bằng a, ta cần áp dụng công thức tính thể tích hình chóp Thể tích V của hình chóp được tính bằng công thức V = (1/3) * diện tích đáy * chiều cao Diện tích đáy là diện tích của hình vuông ABCD, và chiều cao được xác định từ khoảng cách a và góc 45 độ.
- Xác định mặt đáy : ABC D
- Xác định chiều cao của khối chóp
Công thức tính thể tích của khối chóp
Gọi O AC B D SO là chiều cao của khối chóp
Gọi M là trung điểm của AD Ta xác định được
( SA D),( ABCD ) SMO 45 0 Kẻ OH SM OH a
HOM vuông tại H cho ta 0
Nhận xét : Việc giải bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng
- Tính chiều cao SO đã sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
3.2 Dạng toán 2: Tính thể tích của một khối đa diện bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích
Trong nhiều bài toán việc tính trực tiếp thể tích khối đa diện như trong dạng 1 có thể gặp nhiều khó khăn vì :
1- Khó xác định và việc tính chiều cao gặp khó khăn
2- Tính được diện tích đáy nhưng cũng không dễ dàng
Khi đó trong nhiều trường hợp ta có thể thực hiện như sau :
- Phân chia khối cần tính thể tích thành tổng hoặc hiệu các khối cơ bản (hình chóp hoặc hình lăng trụ) mà các khối này dễ tính hơn
Để so sánh thể tích khối cần tìm với một khối đa diện đã biết thể tích, người ta thường áp dụng một số kết quả đã được chứng minh Việc này giúp xác định mối quan hệ giữa các thể tích và hỗ trợ trong quá trình tính toán.
Cho khối tứ diện SABC và A’;B’;C’ là các điểm tùy ý thuộc SA;SB;SC không trùng với S
3.2.2 Các ví dụ minh hoạ
Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu
Nội dung thực nghiệm được tổ chức thực hiện thông qua 5 tiết:
- Tiết 1: Tính thể tích lăng trụ đứng
- Tiết 2: Tính thể tích lăng trụ xiên
- Tiết 3: Tính thể tích khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
- Tiết 4: Tính thể tích khối chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy, khối chóp đều
- Tiết 5: Tính thể tích khối chóp bằng phương pháp sử dụng tỉ số thể tích Đối tượng thực nghiệm:
- Lớp thực nghiệm là 12a5 có sỉ số là 37
- Lớp đối chứng là 12a8 có sỉ số là 38
- Đối với lớp thực nghiệm: tiến hành thực nghiệm theo giải pháp của đề tài
- Đối với lớp đối chứng: tiến hành dạy bình thường theo phân phối chương trình.
- Kết thúc thực nghiệm, tôi tiến hành kiểm tra chung một đề ở lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
Bảng 1 Kết quả học tập môn Toán năm học 2017-2018 (trước khi thực nghiệm)
Lớp Sỉ số Điểm trung bình cả năm môn Toán năm học 2013-2014
Bảng 2 Kết quả bài kiểm tra sau khi thực hiện đề tài nghiên cứu
Lớp Sỉ số Điểm số bài kiểm tra sau khi thực hiện đề tài
Kết quả thử nghiệm dạy học theo giải pháp đề xuất cho thấy hệ thống bài tập được xây dựng có hiệu quả trong việc dạy học tính thể tích khối đa diện Học sinh ở lớp thử nghiệm thể hiện kỹ năng giải quyết tốt hơn và ít mắc lỗi hơn so với lớp đối chứng Điều này chứng tỏ rằng giải pháp đã phát huy tác dụng tích cực, khẳng định giả thuyết khoa học ban đầu là có thể chấp nhận được.
Phần kết luận, kiến nghị
Kết luận
Rèn luyện kỹ năng giải toán là một vấn đề quan trọng trong giáo dục, đặc biệt trong môn Toán ở bậc THPT Chúng tôi đã nghiên cứu và phát triển một sáng kiến kinh nghiệm (SKKN) nhằm cải tiến chất lượng dạy học với nội dung "Tính thể tích khối đa diện" cho học sinh lớp 12 Đề tài này đã xây dựng một hệ thống bài toán phân loại rõ ràng, từ dễ đến khó, cùng với các biện pháp dạy học hiệu quả, giúp giáo viên nâng cao khả năng giảng dạy và rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
Kiến nghị
- Khuyến khích GV tích cực rèn luyện các kĩ năng giải toán cho học sinh trong nội dung của đề tài cũng như những nội dung khác.
