PHẦN MỞ ĐẦU
Lí do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, giáo dục đã chứng kiến sự đổi mới rõ rệt trong phương pháp dạy và học, cũng như trong kiểm tra và đánh giá học sinh Phương pháp dạy học đã chuyển từ hình thức truyền thống sang việc lấy học sinh làm trung tâm, khuyến khích học sinh tự khám phá và áp dụng kiến thức vào thực tiễn Bên cạnh đó, hình thức thi cũng đã thay đổi từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm, với các đề thi được thiết kế nhằm đánh giá năng lực và phẩm chất của học sinh, đồng thời tăng cường các câu hỏi có tính ứng dụng thực tế.
Chương trình học hiện nay vẫn chủ yếu tập trung vào lý thuyết, thiếu sự gắn kết với thực tiễn, điều này dẫn đến sự nhàm chán cho người học và làm giảm nhận thức về giá trị của việc học tập và nghiên cứu.
Chương trình sách giáo khoa Toán hiện nay thiếu sự gắn kết với thực tiễn và chưa đáp ứng yêu cầu đổi mới trong kiểm tra đánh giá Các bài tập không kích thích hứng thú cho học sinh, trong khi yêu cầu tính toán nặng nề và kiến thức hàn lâm làm cho học sinh khó nhận ra mối liên hệ giữa học tập và cuộc sống hàng ngày Nếu các bài tập được thiết kế liên quan đến tình huống thực tế, sẽ tạo ra sự hứng thú cho học sinh, giảm bớt tính hàn lâm và nhàm chán, từ đó nâng cao chất lượng dạy và học.
Trong quá trình giảng dạy, câu hỏi thường gặp từ học sinh là “Học Toán để làm gì?” Để giải đáp thắc mắc này, tôi đã quyết định nghiên cứu đề tài “Tiếp cận và phát triển bài toán theo hướng gắn với thực tiễn về thể tích trong SGK Hình học lớp 12”, nhằm giúp học sinh nhận thức rõ hơn về ứng dụng của Toán học trong cuộc sống.
Giúp học sinh tăng cường hứng thú với bộ môn Hình học và Toán học, đồng thời tạo ra sự liên kết giữa kiến thức và thực tiễn cuộc sống Qua đó, khuyến khích sự sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu Toán.
Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu Đề tài được thực hiện từ năm học 2019 - 2020 với đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc gia.
Các kiến thức trong Chương I và II của chương trình SGK Hình học 12.
Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý luận bao gồm việc phân tích kiến thức trong sách giáo khoa và lựa chọn những nội dung tiêu biểu để thiết kế bài tập thực tiễn Bên cạnh đó, việc nghiên cứu và tham khảo tài liệu liên quan cùng các phương pháp dạy học cũng rất quan trọng.
+ Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: Khảo sát, nghiên cứu trên đối tượng học sinh học tập môn Toán tại trường THPT…
+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm trên những đối tượng học sinh phù hợp nhằm đánh giá hiệu quả đề tài.
Những điểm mới và dự kiến đóng góp của đề tài
Việc học sinh chỉ giải các bài tập như trong sách giáo khoa hiện nay không đủ để phát triển tư duy Đề tài này tập trung vào việc lựa chọn các bài tập điển hình và thiết kế hệ thống bài tập gắn liền với tình huống thực tiễn, giúp người học không chỉ giải toán mà còn tạo ra mối liên hệ giữa kiến thức và thực tế Qua đó, học sinh có khả năng vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề trong cuộc sống hàng ngày.
Đề tài được thiết kế với lượng kiến thức phong phú và đầy đủ, phân loại rõ ràng cho từng đối tượng hoặc nhóm học sinh, giúp thuận lợi cho việc học tập và ôn luyện, đồng thời hỗ trợ tái hiện kiến thức trong quá trình học.
Đề tài được thiết kế với nhiều tình huống thực tiễn, giúp học sinh hứng thú và dễ dàng tái hiện kiến thức đã học Các bài tập có hình vẽ minh họa sinh động, gần gũi và dễ hiểu, làm tài liệu hữu ích cho giảng dạy Hình học 12 Nó hỗ trợ học sinh trong việc ôn thi THPT Quốc gia và có thể áp dụng kiến thức từ các bộ môn khác vào giải quyết tình huống trong đời sống hàng ngày.
PHẦN NỘI DUNG
Cơ sở lí luận và thực tiễn
Toán học đóng vai trò quan trọng trong việc cung cấp nền tảng kiến thức cho nhiều môn khoa học tự nhiên khác Kiến thức toán học hiện diện trong hầu hết các hoạt động và tình huống trong đời sống hàng ngày Với sự phát triển từ nhu cầu thực tiễn, Toán học được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Các bài toán như tính thể tích khối vật thể, tính diện tích bề mặt, hay giải quyết các bài toán tối ưu như tiết kiệm nguyên vật liệu trong sản xuất không chỉ thu hút học sinh mà còn mang lại giá trị thực tiễn cao.
Để tạo động lực học tập cho học sinh và hình thành tư duy kiến thức thực tiễn, việc thiết kế bài tập và đổi mới phương pháp dạy học là rất cần thiết Những thay đổi này không chỉ giúp học sinh dễ dàng tiếp cận và ghi nhớ kiến thức mà còn hỗ trợ các em trong việc liên hệ và giải quyết tình huống thực tiễn một cách linh hoạt và sáng tạo.
Thực trạng của đề tài
2.2.1 Bài toán thực tiễn với học sinh THPT
Môn Toán, đặc biệt là phần Hình học không gian, thường được xem là khó khăn đối với học sinh THPT do lượng kiến thức phong phú và yêu cầu tư duy lôgic cao Điều này khiến nhiều học sinh cảm thấy Toán học xa rời thực tế, dẫn đến sự chán nản trong việc học Hơn nữa, một số giáo viên vẫn còn thiếu sự năng động và sáng tạo trong phương pháp giảng dạy, chủ yếu dựa vào sách giáo khoa và chậm đổi mới Để cải thiện tình hình, giáo viên cần đổi mới phương pháp giảng dạy, tăng cường ứng dụng Toán học vào thực tiễn, sử dụng đa dạng tài liệu tham khảo và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp dạy giỏi trong bộ môn.
2.2.2 Bài toán thực tiễn trong SGK Hình học 12
Trong SGK Hình học 12 hiện nay, các bài toán ứng dụng thực tiễn còn hạn chế và chủ yếu mang tính tượng trưng, không được phân loại rõ ràng Nội dung bài tập thường nặng nề về tính toán, gây khó khăn trong việc thu hút học sinh Để cải thiện tình hình này, giáo viên cần giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản và phát triển bài tập theo hướng gắn liền với thực tiễn Hơn nữa, giáo viên có thể giao nhiệm vụ cho học sinh khai thác bài tập và tìm hiểu mối liên hệ giữa kiến thức học được với đời sống thực tế.
Nội dung của đề tài
Các bài tập trong đề tài này được soạn theo hình thức trắc nghiệm, đáp án đúng cho mỗi bài được gạch chân
Khối đa diện
Khối lăng trụ
Trong quá trình dạy tôi đã cho tiếp cận và phát triển một số bài tập sau a) Bài toán tiếp cận:
Trong bối cảnh hỗ trợ người dân tại khu cách ly do dịch COVID-19, lớp 12C1 đã được giao nhiệm vụ quyên góp mì tôm Mỗi thùng mì tôm có kích thước 40cm x 30cm x 10cm Tất cả các thùng quyên góp được xếp vào một thùng lớn với kích thước bên trong là 80cm x 60cm x 50cm Câu hỏi đặt ra là lớp 12C1 đã quyên góp được bao nhiêu thùng mì tôm.
1) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy S và chiều cao h là V S h.
2) Thể tích khối lập phương cạnh a là V a 3
3) Thể tích khối hộp chữ nhật với ba kích thước a b c , , là V abc.
4) Bất đẳng thức (BĐT) Cô-si:
+ Với hai số không âm a b , ta có: 2
Đẳng thức xẩy ra khi a b
+ Với ba số không âm a b c , , ta có: 3 3
Đẳng thức xẩy ra khi a b c
5) Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng.
Nhận xét về bài tập: So với SGK hiện hành, SGK Hình học 12 trang 28 có bài tập 8 như sau:
“Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a”
Giải bài tập này không khó, nhưng cách đặt câu hỏi hiện tại chưa thu hút được sự hứng thú của học sinh Để cải thiện, chúng ta có thể xây dựng các bài tập tương tự với nội dung liên quan đến sự vật, hiện tượng hay tình huống trong đời sống thực, đồng thời đa dạng hóa mức độ tư duy để kích thích sự sáng tạo và ham học hỏi của học sinh.
Vấn đề quan trọng là học sinh thấy được kiến thức được học có thể áp dụng vào cuộc sống xung quanh.
Dưới đây, tôi sẽ trình bày một hệ thống bài tập được thiết kế đặc biệt cho học sinh trung bình và yếu Các bài toán này nhằm giúp các em cải thiện kỹ năng và nâng cao khả năng tư duy toán học.
Bài 1 Một bể cá hình lập phương có cạnh bằng 50 cm Cần bao nhiêu nước để đổ đầy ba phần tư chiếc bể cá đó?
Bài 2 Một chiếc lều có dạng hình lăng trụ tam giác với các kích thước như hình vẽ Tính thể tích phần không gian bên trong chiếc lều đó.
Chúng ta có thể kết hợp các khối lăng trụ vào những tình huống thực tế thông qua các bài tập phù hợp, dành cho đối tượng học sinh trung bình và khá.
Bài 3 Mô hình thu nhỏ của một ngôi nhà với các kích thước được cho như hình vẽ Hãy tính thể tích phần không gian bên trong ngôi nhà đó.
Bài 4: Một khối kim loại đặc, đồng chất hình chữ L có các kích thước được cho như hình vẽ Biết mỗi cm 3 kim loại có trọng lượng tương đương 50 gam.
Tính trọng lượng của toàn bộ khối kim loại đó.
Đối với học sinh có thành tích học tập khá giỏi, chúng ta có thể thiết kế những bài toán tối ưu trong thực tế liên quan đến khối lăng trụ Một số ví dụ bài toán có thể được áp dụng để phát triển tư duy và kỹ năng giải quyết vấn đề cho các em.
Bài 5 Một hộp đựng sô-cô-la bằng kim loại có hình dạng mở nắp như hình vẽ bên Một phần tư thể tích phía trên của hộp được rải một lớp bơ sữa ngọt, phần còn lại phía dưới chứa đầy sô-cô- la nguyên chất Với kích thước như hình vẽ, gọi x x 0 là giá trị làm cho hộp kim loại có thể tích lớn nhất, khi đó thể tích sô-cô-la nguyên chất có giá trị V 0 bằng
Thể tích của khối hộp là V 6 x 12 2 x x 2 6 x x 6 x , với 0 x 6 Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương 2 ,6 x x ta được 2 6 6 3 64
Dấu “=” xẩy ra khi 2 x 6 x x 2 Khi đó thể tích của khối sô-cô-la là V 64
Vậy thể tích sô-cô-la nguyên chất là 0 3 48
Bài 6 Một người cần làm một vật hình lăng trụ tam giác đều có thể tích là 6 3 cm 3 từ tấm nhựa phẳng Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần độ dài các cạnh của khối lăng trụ tam giác đều này phải theo kết quả nào dưới đây?
A Cạnh đáy bằng 2 6 cm và cạnh bên bằng 1 cm.
B Cạnh đáy bằng 2 2 cm và cạnh bên bằng 3 cm.
C Cạnh đáy bằng 4 3 cm và cạnh bên bằng 1
D Cạnh đáy bằng 2 3 cm và cạnh bên bằng 2 cm.
Bài 7 Một nhóm học sinh dựng lều khi đi dã ngoại bằng cách gấp đôi tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài 12 m, chiều rộng 6 m (gấp theo đường như trong hình vẽ) sau đó dùng hai cây gậy có chiều dài bằng nhau chống theo phương thẳng đứng vào hai mép gấp Hỏi khi dùng chiếc gậy có chiều dài bằng bao nhiêu thì không gian trong lều là lớn nhất?
Không gian trong lều lớn nhất khi diện tích đáy của hình lăng trụ tam giác lớn nhất Điều này xẩy ra khi đáy là tam giác vuông cân.
Khối chóp
Một cái phễu máy nghiền như hình vẽ.
Miệng phễu có hình vuông với cạnh lớn 60 cm và cạnh bé 30 cm, chiều cao của phễu là 30 cm và chiều cao cuống phễu là 5 cm Để tính tổng thể tích nguyên liệu khi đổ đầy phễu, cần nắm vững kiến thức về hình học và công thức tính thể tích của hình hộp chữ nhật.
1) Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là 1
2) Thể tích khối chóp cụt: V 3 h B B ' B B '
3) Bất đẳng thức (BĐT) Cô-si.
4) Cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, khoảng.
Nhận xét về bài tập: SGK Hình học 12 trang 25 có bài tập 1 với nội dung:
“Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh a.”
Việc giải quyết bài toán lý thuyết thường không thu hút sự quan tâm của học sinh, nhưng khi chuyển đổi sang các bài toán thực tiễn, sự hứng thú sẽ tăng lên đáng kể Dựa trên bài tập ban đầu, chúng ta có thể xây dựng và phát triển một hệ thống bài tập liên quan đến thực tế, nhằm khuyến khích học sinh tham gia học tập một cách tích cực hơn.
Những bài tập dưới đây được tôi thiết kế cho đối tượng học sinh yếu, trung bình.
Bài 8 Một viên đá trang trí để bàn có dạng hình tứ diện đều cạnh 10 cm Tính thể tích của viên đá đó.
Bài 9 Kim tự tháp Kê-ốp (Kheops) ở Ai Cập được xây dựng vào khoảng 2500 năm trước
Công nguyên Kim tự tháp này là một khối chóp tứ giác đều với chiều cao 147 m, cạnh đáy dài
231 m Hãy tính thể tích của nó.
Với các học sinh khá, giỏi ta có thể đưa vào các bài tập tối ưu như bài sau đây
Bài 10: Người ta cắt một tờ giấy hình vuông có cạnh bằng 2 để gấp thành một hình chóp tứ giác đều sao cho bốn đỉnh của hình vuông dán lại thành đỉnh của hình chóp Tính cạnh đáy của khối chóp để thể tích của nó lớn nhất.
Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Mặt nón, khối nón tròn xoay, khối nón cụt
Một du khách muốn mua nón quả Sim từ những đứa trẻ chăn trâu, nơi mà các em thường hái sim để trang trí trên nón lá Khi hỏi về giá, vị khách đã thắc mắc: "Nón sim này nặng bao nhiêu kg?"
1 kg quả sim có thể được xác định qua thể tích, với 1 dm³ tương đương 1 kg Nếu 1 dm³ chứa 3 quả sim, thì số kg quả sim trong 1 dm³ sẽ là 3 Để tính khối lượng quả sim, cần biết kích thước của hình nón: đường kính là 4 dm, tức là bán kính r = 2 dm, và chiều cao h = 2 dm Kiến thức cần thiết bao gồm công thức tính thể tích hình nón với đường sinh l, chiều cao h và bán kính đáy r.
+ Diện tích xung quanh của mặt nón là S xq rl , diện tích đáy là S d r 2
+ Diện tích toàn phần của hình nón là S tp S xq S d rlr 2 r l r
+ Thể tích của khối nón là 1 2
V 3r h b) Cho hình nón cụt có đường sinh l, chiều cao h, bán kính hai đáy lần lượt là r và R Khi đó
+ Diện tích xung quanh hình nón cụt là
+ Thể tích khối nón cụt là
Nhận xét vế bài tập: SGK Hình học 12 trang 39 có bài tập 3 với nội dung như sau:
Hình nón tròn xoay có chiều cao 20 cm và bán kính đáy 25 cm Để tính diện tích xung quanh của hình nón, ta áp dụng công thức S = πr√(r² + h²), với r là bán kính đáy và h là chiều cao Sau khi tính toán, diện tích xung quanh của hình nón sẽ được xác định Tiếp theo, để tính thể tích của khối nón, ta sử dụng công thức V = (1/3)πr²h, từ đó cho phép chúng ta tính được thể tích của hình nón đã cho.
Để tăng cường sự hứng thú cho học sinh và nâng cao tính thực tiễn của các bài toán, tôi đã phát triển một hệ thống bài tập liên quan đến thực tế Việc giải quyết các bài toán này không chỉ đơn giản mà còn thu hút sự chú ý của học sinh, giúp các em cảm thấy hứng thú hơn trong quá trình học tập.
Bài tập áp dụng cho đối tượng học sinh yếu và trung bình
Bài 11 Một chiếc nón lá có dạng hình nón với đường kính đáy 40 cm, đường sinh
30 cm Diện tích bề mặt ngoài của chiếc nón gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Bài 12 Một cái xô bằng inox có dạng như hình vẽ Các kích thước (tính cùng đơn vị độ dài) cũng được cho kèm theo Khi đó, diện tích xung quanh của cái xô gần nhất với kết quả nào sau đây?
Học sinh khá giỏi có thể áp dụng trực tiếp công thức tính thể tích và diện tích xung quanh của khối nón cụt thông qua bài tập này Việc này giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán hiệu quả.
Với các đối tượng học sinh khá giỏi, tôi thiết kế một số bài tập như sau
Bài 13 Từ miếng tôn hình vuông cạnh bằng 4 dm, người ta cắt ra hình quạt tâm O bán kính OA4 dm
(xem hình) để cuộn lại thành một chiếc phễu hình nón
(khi đó OA trùng với OB ) Thể tích của chiếc phễu gần nhất với kết quả nào sau đây?
Sử dụng công thức tính chu vi đường tròn, chúng ta xác định bán kính đáy phễu là R = 1 dm Từ bán kính này, chiều cao phễu được tính là h = 15 dm Cuối cùng, chúng ta có thể tính được thể tích của phễu.
Bài 14 Một cái phễu có dạng hình nón Người ta đổ một lượng nước vào phễu sao cho chiều cao của lượng nước trong phễu bằng 1
Khi bịt kín miệng phễu và lộn ngược phễu lên, chiều cao của mực nước sẽ xấp xỉ bằng chiều cao của phễu, tức là 15 cm.
Mặt trụ, khối trụ tròn xoay
Nhà Tuấn có một téc nước hình trụ ghi 2000(l), và Tuấn thắc mắc về ý nghĩa của con số này Bố Tuấn giải thích rằng 2000(l) tương đương với 2m³, tức là téc chứa được 2 khối nước Tuấn tiếp tục hỏi cách đo 2 khối nước, và bố cho biết rằng 1m³ được xác định bởi vật thể hình lập phương có cạnh 1m Cuối cùng, bố giải thích rằng thể tích của téc nước được tính theo công thức thể tích khối trụ.
Để tính thể tích của khối trụ, bạn cần nắm vững công thức tính thể tích, đó là V = πr²h, trong đó V là thể tích, r là bán kính đáy và h là chiều cao Việc hiểu rõ cách tính thể tích này sẽ giúp bạn áp dụng vào việc tính toán thể tích của các vật dụng hình khối trụ thường gặp trong cuộc sống hàng ngày Hãy nghiên cứu kỹ lưỡng để có thể vận dụng vào thực tiễn một cách hiệu quả!
Cho hình trụ tròn xoay có đường sinh l, chiều cao h và bán kính đáy r Khi đó
+ Diện tích xung quanh của hình trụ là S xq 2 rl , diện tích đáy là S d r 2
+ Diện tích toàn phần của hình trụ là S tp S xq 2 S d 2rl2r 2 2r l r
+ Thể tích của khối trụ là V r h 2
Nhận xét bài tập: SGK Hình học 12 trang 39 có bài tập 7 với nội dung như sau:
Hình trụ có bán kính r = 3 và chiều cao h Để tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ, ta áp dụng công thức phù hợp Ngoài ra, thể tích khối trụ cũng cần được tính toán dựa trên các thông số đã cho.
Giải bài tập này rất dễ dàng, nhưng để tăng cường sự hứng thú cho học sinh và kết nối kiến thức với thực tiễn, chúng ta nên phát triển các bài tập phù hợp với từng nhóm đối tượng Cụ thể, cần xây dựng các bài toán có nội dung gắn liền với thực tế cuộc sống.
Những bài tập sau đây được thiết kế dành cho các đối tượng yếu và trung bình
Bài 15 Một lọ nước hoa được thiết kế với dạng hình trụ có các kích thước như hình vẽ Tính thể tích của lọ nước hoa đó.
Bài 16 Người ta làm tạ tập cơ tay như hình vẽ với hai đầu là hai khối trụ bằng nhau và tay cầm cũng là khối trụ Biết hai đầu là hai khối trụ đường kính đáy bằng 12, chiều cao bằng 6, chiều dài tạ bằng 30 và bán kính tay cầm là 2 Hãy tính thể tích vật liệu làm nên tạ tay đó.
Bài 17 Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ Đường kính của đường tròn đáy là 5 cm, chiều dài của trục lăn là 23 cm (tham khảo hình vẽ bên) Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo lên tường phẳng một lớp sơn có diện tích là
Hướng dẫn: Bài toán này liên quan đến việc "trải phẳng" một hình trụ, trong đó diện tích mỗi vòng mà con lăn sơn được tính là diện tích xung quanh của con lăn.
Phát triển các bài tập cho đối tượng học sinh khá, giỏi có nội dung như sau.
Bài 18 Một cuộn decal có dạng hình trụ có đường kính 44,9 cm Trong thời gian diễn ra vòng loại World Cup 2022, người ta đã sử dụng để in các băng rôn, khẩu hiệu cổ vũ cho đội tuyển
Để tính chiều dài d của tấm decal đã sử dụng, ta biết rằng đường kính của cuộn decal còn lại là 12,5 cm và độ dày của tấm decal là 0,06 cm Sử dụng công thức tính chiều dài dựa trên đường kính và độ dày, chúng ta có thể xác định chiều dài tấm decal đã được sử dụng.
(làm tròn đến hàng đơn vị).
Để giải bài toán này, ngoài việc tính thể tích cuộn decal đã sử dụng theo phương pháp thông thường, chúng ta còn có thể tính thể tích phần decal đã dùng bằng cách coi tấm decal được trải thẳng ra dưới dạng khối hộp chữ nhật So sánh hai kết quả từ hai phương pháp tính sẽ giúp chúng ta tìm ra kết quả cần thiết cho bài toán.
Chúng ta có thể phát triển các bài toán liên quan đến việc phân chia và lắp ghép khối nón, khối trụ Đây là dạng bài tập phổ biến trong các kỳ thi, đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia, phù hợp với nhiều đối tượng học sinh.
Ta có một số bài tập sau áp dụng cho đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi.
Bài 19 Một bồn chứa được cấu tạo bởi một khối trụ và khối nón ghép lại với nhau có các kích thước như hình vẽ Tính thể tích của bồn chứa
(làm tròn đến ba chữ số thập phân sau dấy phẩy).
Bài 20 Cho một bình đựng chất lỏng được tạo bởi một hình trụ và hình nón được lắp đặt như hình bên Bán kính đáy hình nón bằng bán kính đáy hình trụ Chiều cao hình trụ bằng chiều cao hình nón và bằng h Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao bằng 1
24 chiều cao hình trụ Lật ngược bình theo phương vuông góc với mặt đất Tính độ cao phần chất lỏng trong hình nón theo h
Mặt cầu, khối cầu, chỏm cầu
Để đo thể tích của một viên bi, ta bắt đầu bằng cách cho viên bi vào ống nghiệm chứa đầy nước Khi lấy viên bi ra, lượng nước giảm đi chính là thể tích của viên bi hình cầu Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là làm thế nào để đo thể tích của một khối cầu lớn?
Để tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu, ta sử dụng công thức diện tích mặt cầu S = 4πr² và thể tích V = (4/3)πr³, trong đó r là bán kính của khối cầu Với viên bi có đường kính 6cm, bán kính r sẽ là 3cm Từ đó, ta có thể đo thể tích của viên bi bằng cách áp dụng công thức trên.
Cho hình cầu có bán kính R (Hình 1) Khi đó
+ Diện tích mặt cầu là S 4 R 2
+ Thể tích khối cầu là 4 3
Chỏm cầu là phần hình cầu (không chứa tâm) được cắt bởi mặt phẳng (Hình
2) Ta có công thức tính thể tích và diện tích xung quanh của chỏm cầu lần lượt là
Để tính thể tích và diện tích mặt cầu, chỉ cần xác định bán kính và áp dụng các công thức có sẵn Để tăng cường hứng thú cho học sinh trong việc ghi nhớ công thức, chúng ta có thể phát triển các bài toán liên quan đến mặt cầu, cũng như kết hợp giữa mặt nón, mặt trụ và mặt cầu trong các tình huống thực tiễn thông qua một số bài tập phong phú.
Những bài tập sau đây được thiết kế cho đối tượng học sinh yếu và trung bình
Bài 21 Diện tích bề mặt của một quả bóng tennis có đường kính 6,4 cm gần nhất với kết quả nào sau đây?
Bài 22 Một khối trò chơi trẻ em gồm một khối nón và nửa khối cầu được ghép lại với nhau, các kích thước được cho như hình vẽ Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi gần nhất với kết quả nào dưới đây?
Với đối tượng học sinh khá, giỏi tôi phát triển các bài toán tổng hợp với một số bài tập sau đây
Bài 23 Một cái cốc hình trụ có bán kính đáy là 2 cm, chiều cao 20 cm Trong cốc đang có một lượng nước, khoảng cách giữa đáy cốc và mặt nước là 12 cm (hình vẽ) Ta lần lượt thả vào cốc những viên bi hình cầu có bán kính 0,6 cm Để nước dâng lên cao thêm 2 cm thì cần thả vào cốc ít nhất bao nhiêu viên bi?
Bài 24 Một xưởng sản xuất muốn tạo ra những chiếc đồng hồ cát thủy tinh có dạng hình trụ, phần chứa cát là hai nửa hình cầu bằng nhau Hình vẽ bên với kích thước đã cho là bản thiết kế thiết diện qua trục của chiếc đồng hồ này (phần giới hạn bởi hình trụ và phần hai nửa hình cầu chứa cát) Khi đó, lượng thủy tinh làm chiếc đồng hồ cát gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau?
Bài 25 Một khối cầu có bán kính là 5 dm, người ta cắt bỏ hai phần của khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với đường kính và cách tâm một khoảng bằng 3 dm để làm một chiếc lu đựng nước (hình vẽ bên) Thể tích nước tối đa mà chiếc lu có thể chứa được là
Để tính thể tích của khối cầu, ta cần tính tổng thể tích của khối cầu và sau đó trừ đi thể tích của hai chỏm cầu bị cắt Bên cạnh đó, kiến thức về tích phân cũng có thể được áp dụng để xác định thể tích của lu nước bằng cách sử dụng hệ trục tọa độ.
Bài tập tổng hợp khác
SGK Hình học 12, trang 40 có bài tập 8 như sau:
Hình trụ có hai đáy là hai hình tròn, ký hiệu là O r và O r', với khoảng cách giữa hai đáy là OO r' = 3 Ngoài ra, hình nón có đỉnh O' và đáy là hình tròn O r.
1cm a) Gọi S 1 là diện tích xung quanh của hình trụ và S 2 là diện tích xung quanh của hình nón, hãy tính tỉ số 1
S b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành hai phần, hãy tính tỉ số thể tích hai phần đó
Giải bài tập này có thể trở nên nhàm chán, nhưng bằng cách kết hợp ý tưởng với hình vẽ, chúng ta có thể tạo ra các bài toán thực tiễn thú vị liên quan đến khối tròn xoay.
Những bài tập này dành cho đối tượng khá, giỏi.
Bài 26 Một chiếc cốc hình trụ đựng đầy nước có các kích thước như hình vẽ Người ta nhúng một vật thể đặc, không thấm nước dạng hình nón vào cái cốc rồi sau đó rút nó ra Kích thước của vật thể được mô ta như trong hình Hãy tính lượng nước còn lại trong cốc.
Bài 27 Có ba cái bể hình lập phương giống hệt nhau chứa các quả cầu như hình dưới Các quả cầu trong mỗi bể có cùng kích thước và được đặt sát nhau Nếu các bể được đổ cho đầy nước, thì bể nào sẽ chứa nhiều nước nhất?
A Bể A B Bể B C Bể C D Lượng nước ba bể như nhau.
Với bài toán này, ta chỉ cần tính thể tích các quả cầu ở mỗi bể chứa là có thể suy ra phần không gian còn lại ở mỗi bể.
Giả sử bán kính của khối cầu ở bể A là 4R, bể B có khối cầu bán kính 2R, và bể C có khối cầu bán kính R Tính thể tích của các khối cầu trong ba bể, ta nhận thấy rằng V1 = V2 = V3, do đó khoảng trống còn lại trong ba bể là như nhau.
Bài 28 Có một cái bình hình trụ chứa 4 quả cầu, trong đó có 3 quả cầu nhỏ cùng bán kính và 1 quả cầu to có bán kính R Biết 3 quả cầu nhỏ đôi một tiếp xúc nhau, mỗi quả cầu này đều tiếp xúc với đáy bình và tiếp xúc với một đường sinh của bình; quả cầu to còn lại đồng thời tiếp xúc với 3 quả cầu nhỏ, tiếp xúc với các đường sinh của bình và tiếp xúc với mặt nắp của bình (bỏ qua bề dày của bình, hình mô tả như hình vẽ ) Chiều cao h của bình bằng
Gọi S, A, B, C lần lượt là tâm của hình cầu lớn và 3 hình cầu nhỏ Ta có SA R r ,
AO r , R AO r hay r ( 3 2 3)R, SA ( 2 2 3)R và
Lại có SO 2 SA 2 AO 2 R 2 2 2 3 2 4 2 3 2 R 2 ( 12 8 3)
Chiều cao của bình là h R ( 12 8 3) ( 3 2 3) 1 R 2 3 3 1 2
Nghiên cứu và thiết kế nội dung câu hỏi từ bài tập SGK không chỉ giúp kế thừa và phát triển kiến thức mà còn gắn liền với thực tiễn, phục vụ hiệu quả cho việc giảng dạy và ôn tập của giáo viên.
Nghiên cứu và áp dụng đề tài vào giảng dạy đã giúp tôi mở rộng kiến thức thực tế, từ đó truyền động lực và niềm đam mê cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu môn Toán.
Giáo viên bộ môn Toán rất hứng thú khi thảo luận về việc áp dụng kiến thức vào giải quyết vấn đề thực tiễn Điều này cho thấy sự cần thiết trong việc thiết kế các bài toán có nội dung thực tiễn, nhằm tạo ra hệ thống tài liệu chất lượng phục vụ cho giảng dạy và học tập hiệu quả.
Nội dung câu hỏi được thiết kế gần gũi với đời sống, giảm tính hàn lâm và phân loại theo từng đối tượng học sinh cụ thể Hình thức trắc nghiệm giúp tài liệu trở nên dễ tiếp cận, hỗ trợ giáo viên trong việc giảng dạy và ôn tập cho kỳ thi THPT Quốc gia.
Trong quá trình giảng dạy, việc áp dụng nội dung đề tài đã giúp học sinh tăng cường hứng thú và hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa kiến thức học tập và thực tế cuộc sống Điều này kích thích sự tò mò, khuyến khích tự học và tự nghiên cứu, đồng thời giúp các em giải thích các tình huống thực tế bằng kiến thức Toán học.
Trong năm học 2019 - 2020, tôi đã thực hiện một nghiên cứu sư phạm với hai lớp học có trình độ tương đương: lớp 12C2 (lớp đối chứng) và lớp 12A4 (lớp thực nghiệm) Nghiên cứu này tập trung vào việc áp dụng các nội dung trong đề tài vào quá trình ôn tập thi THPT Quốc gia.
Trước khi triển khai đề tài, tôi đã thực hiện bài kiểm tra dựa trên các câu hỏi trong sách giáo khoa, mặc dù những câu hỏi này chưa được thiết kế phù hợp với thực tiễn Kết quả thu được từ bài kiểm tra này như sau:
Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
Sau khi áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành kiểm tra với các câu hỏi trong sách giáo khoa, được thiết kế gắn liền với thực tiễn, và thu được kết quả khả quan.
Lớp Sĩ Giỏi Khá TB Yếu Kém số SL % SL % SL % SL % SL %
Việc áp dụng bộ câu hỏi trong giảng dạy không chỉ giúp học sinh tăng cường hứng thú với môn học mà còn góp phần nâng cao tỷ lệ học sinh khá giỏi, đồng thời giảm thiểu số lượng học sinh yếu kém.
PHẦN KẾT LUẬN
3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài
3.1.1 Ý nghĩa của đề tài Đề tài sáng kiến này đã được thực hiện khi tôi tham gia dạy ôn thi THPT Quốc gia Trong quá trình dạy học nội dung đề tài này, học sinh rất hứng thú với môn học, tự tin, biết giải các bài toán có nội thực tiễn khi gặp chúng trong các đề thi, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở ra cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu
Việc áp dụng đề tài này trong giảng dạy toán sẽ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp giáo viên và học sinh tiết kiệm thời gian tìm kiếm bài tập phù hợp Đề tài cũng tạo hứng thú học tập cho học sinh, kích thích tư duy sáng tạo và khả năng vận dụng toán học trong đời sống hàng ngày Điều này không chỉ nâng cao hiệu quả giờ lên lớp mà còn giảm tính hàn lâm, tăng cường sự thực tiễn của môn toán.
3.1.2 Phạm vi áp dụng của đề tài
Sử dụng trình chiếu để giới thiệu tư liệu, ví dụ và mô phỏng hình ảnh là phương tiện dạy học hiệu quả, giúp học sinh dễ dàng hình dung và áp dụng kiến thức trong quá trình học tập.
Sáng kiến là nguồn tài liệu học tập hữu ích cho học sinh ôn thi THPT quốc gia, giúp nâng cao hiệu quả học tập Ngoài ra, đề tài này còn có thể được sử dụng làm tư liệu cho việc dạy học theo chủ đề tích hợp liên môn, kết nối các môn học khác nhau.
3.2 Những kiến nghị đề xuất Để giúp cho học sinh yêu thích môn Toán, nâng cao chất lượng dạy và học tôi có một số kiến nghị như sau:
- Tạo không khí thoải mái, thân thiện trong các giờ học.
- Cần đổi mới phương pháp dạy học, tăng cường liên hệ thực tiễn trong các bài học để học sinh có hứng thú, yêu thích môn Toán.
Đề tài này có thể giúp định hướng cho giáo viên và học sinh trong việc phát triển các chương và bài học khác trong chương trình toán phổ thông, đồng thời làm phong phú thêm tài liệu giảng dạy và học tập Đây là sự tổng hợp kinh nghiệm giảng dạy của tôi, kết hợp với các nguồn tham khảo liên quan Mặc dù nội dung khá chi tiết và đầy đủ, vẫn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ hội đồng khoa học để hoàn thiện đề tài Nếu được công nhận, tôi đề xuất phổ biến rộng rãi đề tài này như một tài liệu hỗ trợ giảng dạy và học tập, nhằm nâng cao chất lượng giáo dục tại các trường phổ thông hiện nay.