(NB) Giáo trình Vật liệu học với mục tiêu giúp các bạn có thể vẽ và giải thích được: giản đồ nhôm – silic; giản đồ sắt – các bon; Trình bày đươc đặc điểm, phân loại và ký hiệu các loại hợp kim, nhôm, gang và thép.
Những khái niệm chung
Giới thiệu lịch sử môn học
Năm 1729, Buyphinghe đã giới thiệu quan hệ phi tuyến giữa ứng suất và biến dạng Đến năm 1768, Húc đã phát triển quy luật cơ bản về vật thể đàn hồi với dạng tuyến tính, đồng thời thực hiện nhiều nghiên cứu quan trọng trong lĩnh vực này.
- Lý thuyết toán học về uốn của thanh đàn hồi của Ơle và Becnuli
- Tính ổn định của Ơle
- Dao động ngang của thanh đàn hồi
- Nghiên cứu về lý thuyết lực đàn hồi của không khí(Lômônôxốp)
Cuối thế kỷ 18 và đầu thế kỷ 19, nhà bác học người Pháp Navie đã phát triển lý thuyết đàn hồi rời rạc dựa trên quan điểm về lực tương tác giữa các phần tử của Newton Năm 1822, Côsi đã giới thiệu khái niệm trạng thái ứng suất tại một điểm, đồng thời viết các phương trình cân bằng và biểu thức thể hiện mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cho vật thể đẳng hướng.
Ta có thể kết luận rằng Naviê, Côsi và Ostrogratxki, Poátxông là những người đã đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi toán học
Cuối thế kỷ 19, sự gia tăng nhu cầu phát triển công nghiệp đã thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu các phương pháp tính toán nhanh chóng cho các bài toán thực tế, dẫn đến sự ra đời của ngành lý thuyết đàn hồi ứng dụng và lý thuyết sức bền vật liệu.
Vào cuối thế kỷ 19 và sang đầu thế kỷ 20 ngành cơ học vật rắn biến dạng đã phát triển vô cùng rộng lớn
Nhiệm vụ và đối tượng nghiên cứu của môn học
Sức bền vật liệu là một lĩnh vực khoa học thực nghiệm, nghiên cứu khả năng chịu lực và biến dạng của các vật thể Mục tiêu của nó là phát triển các phương pháp tính toán nhằm đảm bảo rằng các vật thể có độ bền, độ cứng và độ ổn định cần thiết, đồng thời tiết kiệm vật liệu.
- Độ bền: là khả năng chịu lực lớn nhất của chi tiết sao cho chi tiết không bị phá hỏng
- Độ cứng: Là khả năng chịu lực lớn nhất của chi tiết sao cho biến dạng không quá lớn làm ảnh hưởng đến điều kiện làm việc bình thường
Độ ổn định của một chi tiết là khả năng chịu lực tối đa mà chi tiết đó có thể đạt được mà không làm thay đổi hình dáng hình học trong quá trình hoạt động bình thường.
Sức bền vật liệu cung cấp phương pháp tính toán và xây dựng các biểu thức toán học đáp ứng các điều kiện về bền, cứng và ổn định Từ đó, lĩnh vực này chủ yếu giải quyết ba dạng bài toán cơ bản.
+ Bài toán kiểm tra độ bền
+ Bài toán xác định kích thước hợp lý
+ Bài toán xác định tải trọng cho hợp lý
- Đối tượng nghiên cứu của bộ môn sức bền vật liệu là vật rắn thực
- Vật rắn thực là vật rắn khi có tác dụng của ngoại lực sẽ xảy ra biến dạng và có thể bị phá hỏng
- Vật rắn thực được phân làm 3 dạng cơ bản:
+ Vật thể dạng khối: Vật thể có kích thước theo ba phương lớn tương đương nhau
+ Vật thể dạng thanh: Vật thể có kích thước một phương lớn hơn rất nhiều so với phương còn lại(Hình 1.1b)
Vật thể dạng tấm là loại vật thể có kích thước chiều dài và chiều rộng lớn hơn nhiều so với chiều dày Chiều dày của vật thể này được xác định là phương có kích thước nhỏ hơn.
Phân loại theo tiết diện: Hình chữ nhật, hình vuông, hình tròn…
Hình 1.1 Các dạng của vật thể
8 Đối tượng nghiên cứu của môn học là vật rắn thực (tức là vật rắn biến dạng)
Các giả thuyết về vật liệu
1.3.1 Giả thuyết về sự liên tục, đồng tính và đẳng hướng
Sự liên tục trong vật liệu thể hiện ở việc các phần tử được phân bố đều và liên tục khắp mọi nơi trong vật thể, không có khe hở nào, cho thấy vật thể không có khuyết tật.
*Sự đồng tính: Các phần tử vật liệu ở tất cả mọi nơi trong vật thể có cùng tính chất
*Sự đẳng hướng: Khả năng chịu lực của các phần tử vật liệu trong vật thể theo mọi hướng đều như nhau
1.3.2 Giả thuyết về vật liệu đàn hồi tuyệt đối
- Tính đàn hồi là khả năng trở về trạng thái ban đầu khi vật có biến dạng do tác dụng của ngoại lực(hình 1.3)
Khi lực tác dụng nằm trong giới hạn đàn hồi của vật thể, ngoại lực sẽ gây ra biến dạng Tuy nhiên, khi lực được loại bỏ, vật thể sẽ trở lại trạng thái ban đầu, mà không có biến dạng dư.
Giả thuyết này nhấn mạnh rằng sức bền vật liệu chỉ xem xét các vấn đề trong giai đoạn đàn hồi Đối với các hiện tượng ngoài miền đàn hồi, nghiên cứu sẽ được thực hiện trong một lĩnh vực khác, đó là lý thuyết dẻo.
1.3.3 Giả thuyết về tương quan giữa biến dạng và lực
Khi lực tác dụng nằm trong giới hạn đàn hồi của vật, biến dạng của vật sẽ tỷ lệ thuận với lực gây ra biến dạng đó.
* Thí nghiệm thử kéo vật liệu dẻo:
Khi lực tác dụng còn nằm trong giới hạn đàn hồi (0 ÷ Ptl) của vật liệu Biến dạng là đoạn ON
Trong giới hạn này, lực tăng nhanh trong khi biến dạng tăng chậm Mối quan hệ giữa lực và biến dạng được thể hiện qua đường cong OA, và do độ cong của OA rất nhỏ, ta có thể coi nó như một đường thẳng.
Quan hệ giữa lực và biến dạng là quan hệ bậc nhất
Hình 1.4 Sơ đồ quan hệ giữa lực và biến dạng
Hình 1.3 Vật chịu tác dụng ngoại lực
Kết luận: Tất cả các loại vật liệu là đối tượng để nghiên cứu trong môn sức bền thì nó phải thỏa mãn các giả thiết trên
1.3.4 Nguyên lý độc lập tác dụng
Tác dụng của hệ lực lên vật bằng tổng các lực thành phần tác dụng lên vật
Khi một hệ chịu tác động từ nhiều yếu tố cùng lúc, ta có thể nghiên cứu hệ đó bằng cách xem xét từng yếu tố riêng lẻ và sau đó tổng hợp các kết quả lại với nhau.
Hình 1.5 Khảo sát tác dụng của từng lực lên vật
Một bài toán phức tạp được phân tích thành các bài toán đơn giản và kết quả của bài toán bằng tổng các bài toán đơn giản
Khi vật liệu làm việc ngoài miền đàn hồi, nguyên lý này không còn áp dụng do xuất hiện sai số âm Hệ thống chịu tác động từ nhiều yếu tố, bao gồm cả ngoại lực và các tác nhân khác như nhiệt độ, áp suất, v.v
Ngoại lực, nội lực, phương pháp mặt cắt và ứng suất
Ngoại lực là những lực hoặc mô men lực từ vật thể khác hoặc từ môi trường xung quanh tác dụng lên vật thể khảo sát
Ngoại lực có hai loại: Tải trọng (lực) tác dụng và phản lực liên kết
1.4.1.2 Phân loại a Phân loại ngoại lực Định nghĩa: Là ngoại lực tác dụng lên vật thể mà điểm đặt, phương, chiều, trị số đã biết trước
+ Phân loại theo hình thức tác dụng:
- Tải trọng tập trung: Là những lực hoặc ngẫu lực tác dụng lên vật trên một diện tích rất nhỏ, coi như tác dụng tại một điểm
Tải trọng phân bố đường(Hình 1.6):
Tải trọng tác dụng lên vật thể theo một đường
Trong đó : Q : Là độ lớn của hệ lực phân bố q : Lực đơn vị l : Độ dài của đoạn thẳng mà hệ lực phân bố
Tải trọng phân bố mặt (Hình 1.7): Tải trọng tác dụng lên vật thể trên một mặt nào đó
Trong đó : Q : Là độ lớn của hệ lực phân bố q : Lực đơn vị
S : diện tích mà hệ lực phân bố
Tải trọng phân bố khối(Hình 1.8): Tải trọng tác dụng liên tục trên một khối
Trong đó : Q : Là độ lớn của hệ lực phân bố q : Lực đơn vị
V : thể tích mà hệ lực phân bố
+ Theo mức độ tác dụng:
Tải trọng tĩnh là loại tải trọng tác động lên vật thể với mức độ tăng dần từ 0 đến một giá trị xác định, sau đó duy trì không thay đổi Các ví dụ phổ biến của tải trọng tĩnh bao gồm trọng lượng của vật thể và các phản lực tương ứng.
Tải trọng động là tải trọng có giá trị, phương, chiều hoặc điểm đặt thay đổi liên tục theo thời gian, gây ra gia tốc cho vật thể chuyển động Phản lực liên kết là lực và mô men do vật gây liên kết tạo ra để chống lại chuyển động hoặc xu hướng chuyển động của vật được khảo sát.
Hình 1.6 Tải trọng phân bố q
Hình 1.8 Tải trọng phân bố khối q
Hình 1.7 Tải trọng phân bố mặt q
*Một số liên kết phẳng thường sử dụng:
Liên kết gối di động là loại liên kết đơn, chỉ giới hạn một chuyển động thẳng trong mặt phẳng Các liên kết thực tế như ổ bi đỡ lòng cầu và ụ con lăn di động thường được sơ đồ hóa dưới dạng gối này Gối di động có một thành phần phản lực liên kết Y, như minh họa trong Hình 1.9.
- Liên kết gối cố định: Là loại liên kết hạn chế hai dịch chuyển thẳng (trong không gian hai chiều) và 3 dịch chuyển thẳng (trong không gian ba chiều)
Các ụ con lăn cố định dưới nhịp cầu và ổ bi đỡ trong máy công cụ là những ví dụ điển hình về gối cố định Ký hiệu gối cố định được thể hiện trong hình 1.10, cho thấy gối này có hai thành phần phản lực liên kết là Y và Z.
Liên kết ngàm là loại liên kết hoàn toàn hạn chế sáu bậc tự do của hệ, thường thấy trong các kết cấu như liên kết giữa chân cột và mặt đất, hoặc giữa các dầm đỡ hành lang với tường nhà Phân loại tải trọng trong kết cấu cũng cần được xem xét kỹ lưỡng để đảm bảo tính ổn định và an toàn cho công trình.
Hình 1.10 Liên kết gối cố định
Tải trọng được phân thành tải trọng tĩnh và tải trọng động
Tải trọng tĩnh là loại tải trọng có giá trị tăng dần từ 0 đến một mức xác định, trong khi gia tốc chuyển động của các chất điểm trong quá trình này là không đáng kể và có thể được bỏ qua.
+ Tải trọng động là tải trọng tác dụng lên hệ làm cho các chất điểm của hệ chuyển động có gia tốc hoặc có xuất hiện lực quán tính
- Tải trọng động mà trị số thay đổi rất nhanh trong một khoảng thời gian nhỏ được gọi là tải trọng va chạm
Tải trọng di động là khối lượng có thể thay đổi về phương chiều và độ lớn, đồng thời có điểm đặt xác định Một ví dụ điển hình là trọng lượng của mô khi chạy tác động lên cầu.
- Tải trọng biến thiên tuần hoàn theo thời gian là tải trọng gậy nên dao động
- Nội lực là lực do chính bản thân vật sinh ra để chống lại biến dạng khi có ngoại lực tác dụng
- Nội lực là phần tăng lên của lực liên kết phân tử của vật liệu khi có ngoại lực tác dụng
Nội lực chỉ xuất hiện khi có ngoại lực tác động; khi ngoại lực tăng, nội lực cũng gia tăng nhưng chỉ đến một mức giới hạn nhất định Nếu ngoại lực tiếp tục gia tăng mà nội lực không thể theo kịp, sẽ dẫn đến việc phá vỡ liên kết phân tử hoặc hư hỏng vật liệu.
1.4.3 Cách xác định nội lực (Phương pháp mặt cắt)
Xét thanh thẳng chịu tác dụng của hệ lực cân bằng như trên (hình 1.12a)
Hình 1.12 Xác định nội lực trên mặt cắt ngang của thanh
Giả sử có một mặt phẳng (Q) vuông góc với trục thanh, mặt phẳng này sẽ cắt thanh thành hai phần Chúng ta sẽ giữ lại một phần bất kỳ để tiến hành khảo sát, cụ thể là giữ lại phần bên trái.
Để đảm bảo phần trái (hình 1.12b) đạt được trạng thái cân bằng, cần thiết phải có lực sinh ra để cân bằng với các lực tác dụng lên phần này Nội lực phát sinh trên mặt cắt ngang của phần trái sẽ được tổng hợp thành véc tơ hợp lực, đảm bảo sự ổn định của cấu trúc.
- Phần khảo sát cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực và nội lực
Lập hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O trùng với tâm mặt cắt ngang, các trục
Ox, Oy nằm trong mặt phẳng chứa cắt ngang của thanh, trục Oz trùng với trục thanh
Di chuyển R bằng phương pháp dời lực song song về tâm O ta được một véc tơ lực R' và mômen M
Khi chiếu véc tơ lực R' và mô men M lên hệ trục tọa độ Oxyz, ta thu được 6 thành phần nội lực bao gồm Nz, Qx, Qy, Mx, My và Mz Những thành phần này được gọi là 6 thành phần nội lực trên toàn bộ mặt cắt ngang đang khảo sát, mỗi thành phần nội lực đều mang một tên riêng.
- Thành phần Nz gọi là Lực dọc có phương vuông góc với mặt cắt ngang
- Thành phần Qx, Qy gọi là lực cắt hay lực ngang có phương vuông góc với trục của thanh
- Thành phần Mz : Mômen xoắn quanh trục Oz
- Thành phần Mx , My : Mômen uốn quanh trục Ox, Oy
1.4.4.1 Định nghĩa Ứng suất là giá trị của nội lực sinh ra trên một đơn vị diện tích mặt cắt
Khi nội lực phân bố không đồng đều, cần xác định quy luật phân bố và vùng phát sinh nội lực lớn nhất Sau đó, tính toán ứng suất lớn nhất tại mặt cắt để đảm bảo an toàn và hiệu quả trong thiết kế.
* Đơn vị của ứng suất: N/m 2 , kN/m 2 , MN/m 2 …
Dựa vào 2 phương cơ bản của nội lực, ứng suất được phân thành hai thành phần là: ứng suất pháp và ứng suất tiếp(hình 1.13)
* Nếu nội lực phân bố đều: Ứng suất 14
Hình 1.13 Ứng suất trên mặt cắt ngang
Ứng suất pháp, ký hiệu là σ, xuất hiện khi nội lực có phương vuông góc với mặt cắt ngang Khi đó, ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang được gọi là ứng suất pháp.
Ứng suất tiếp, ký hiệu là , xảy ra khi nội lực có phương tiếp tuyến trùng với mặt cắt ngang, dẫn đến sự xuất hiện của ứng suất trên mặt cắt này.
Các loại biến dạng cơ bản
Ngoại lực tác động lên chi tiết có nhiều hình thức khác nhau, dẫn đến các biến dạng cũng sẽ khác nhau Trong kỹ thuật khảo sát, có bốn loại biến dạng cơ bản bao gồm: kéo - nén đúng tâm, cắt - dập, xoắn và uốn.
- Kéo - nén đúng tâm: Nếu một thanh thẳng chịu tác dụng của các lực có phương trùng với trục thanh thì thanh đó chịu Kéo - Nén đúng tâm
Khi hai lực song song, ngược chiều và có cùng độ lớn tác động lên một thanh tại hai mặt phẳng cắt gần nhau, hiện tượng cắt sẽ xảy ra trên thanh đó.
+ Dập: Dập là hiện tượng nén cục bộ xảy ra trên một diện tích truyền lực tương đối nhỏ của hai chi tiết ép vào nhau
Xoắn thuần túy xảy ra khi các ngẫu lực hoặc mômen tác động lên thanh có chiều quay ngược nhau, với mặt phẳng tác dụng trùng với các mặt cắt bên trong thanh.
- Uốn ngang phẳng: Nếu ngoại lực tác dụng là lực tập trung, lực phân bố, ngẫu lực… nằm trong mặt phẳng đối xứng chứa trục của thanh
1 Các giả thuyết cơ bản về vật liệu, giả thuyết về tính liên tục, đồng chất và đẳng hướng, giả thuyết về vật liệu đàn hồi tuyệt đối, giả thuyết về tương quan giữa biến dạng và lực, nguyên lý độc lập tác dụng?
2 Định nghĩa ngoại lực, nội lực, và ứng suất? Phân loại ứng suất?
3 Nêu phương pháp mặt cắt xác định nội lực? Các loại biến dạng cơ bản?
Kéo và Nén đúng tâm
Khái niệm về Kéo- Nén đúng tâm
Kéo đúng tâm Nén đúng tâm
Hình 2.1 Kéo, nén đúng tâm
- Thanh chịu kéo đúng tâm: Ngoại lực hướng từ trong thanh ra ngoài
- Thanh chịu nén đúng tâm: Ngoại lực hướng từ ngoài vào trong thanh
Thanh chịu nén đúng tâm là trường hợp ngược lại của thanh chịu kéo đúng tâm Do đó, trong quá trình nghiên cứu, chúng ta chỉ tập trung vào thanh chịu kéo đúng tâm, trong khi thanh chịu nén sẽ được xem xét theo cách ngược lại.
* Xét một thanh thẳng chịu kéo đúng tâm ở trạng thái cân bằng(Hình
2.2a) Xác định nội lực trong thanh?
- Tưởng tượng dùng một mặt phẳng (Q) vuông góc với trục thanh cắt thanh làm hai phần, giữ lại phần A để khảo sát Theo phương pháp mặt cắt thì
16 phần A cân bằng dưới tác dụng của ngoại lực P k và nội lực Gọi nội lực trên phần A là N z thì ta phải xác định N z
- Phần A cân bằng nên P k và N z là hai lực cân bằng:( P k
)~0 Vậy dựa vào P k để xác định N z
Kết luận: Nội lực trong thanh chịu kéo (nén) đúng tâm chỉ có một thành phần dọc theo trục thanh, ta gọi là lực dọc
Có + Phương: Trùng với trục của thanh
+ Chiều: Ngược chiều với ngoại lực tác dụng
+ Điểm đặt: Tại tâm mặt cắt
Nội lực có hướng từ trong ra ngoài mặt cắt sẽ mang dấu dương, thể hiện cho thanh chịu kéo, trong khi nội lực có hướng từ ngoài vào trong mặt cắt sẽ mang dấu âm, biểu thị cho thanh chịu nén.
Biểu đồ nội lực là đồ thị biểu diễn sự biến thiên của nội lực dọc theo trục thanh
2.2.2.2 Các bước vẽ biểu đồ nội lực
- Bước 1 : Xác định phản lực liên kết (nếu cần)
- Bước 2: Chia đoạn cho thanh, dựa trên cơ sở điểm đặt của lực tương ứng với một điểm, hai điểm liên tiếp là một đoạn
- Bước 3: Xác định nội lực trong từng đoạn
+ Dùng phương pháp mặt cắt, cắt thanh làm hai phần, giữ lại một phần để khảo sát
+ Đặt nội lực vào mặt cắt(giả định nội lực dương và hướng ra ngoài mặt cắt)
+ Viết phương trình cân bằng và giải các phương trình
- Bước 4: Vẽ biểu đồ nội lực
+ Kẻ đường thẳng song song với trục thanh gọi là đường không
+ Kẻ các đoạn thẳng song song với nhau và vuông góc với đường không
+ Điền dấu, điền giá trị nội lực
* Ví dụ 2.1: Cho thanh AC chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 KN;
P2= 30KN(hình 2.3) Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AC?
Hình 2.3 Thanh AC chịu lực
+ Chia đoạn cho thanh: Chia thanh làm
+ Xác định nội lực trên từng đoạn:
- Xét đoạn AB :Dùng mặt cắt (1-1), cắt thanh, làm hai phần, giữ lại phần trái để khảo sát
Ta có phương trình cân bằng
NZ 1-1 = -XA= -20 KN Hình 2.4 Biểu đồ nội lực
Vậy đoạn AB chịu nén, nội lực mang dấu âm,
- Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt (2-2), cắt thanh làm hai phần, giữ lại phần phải để khảo sát
Ta có phương trình cân bằng
Vậy đoạn BC chịu kéo
+ Vẽ biểu đồ nội lực(Hình 2.4 )
Nhận xét biểu đồ nội lực: Nhìn vào biểu đồ nội lực thấy đoạn AB là đoạn nguy hiểm nhất
Chú ý: Chỉ có thể nhận xét đoạn nguy hiểm khi thanh có tiết diện không đổi.
Ứng suất và biến dạng
Xét thanh thẳng có tiết diện hình chữ nhật chịu kéo đúng tâm
- Trước khi cho thanh chịu kéo
Hình 2.5 Mặt cắt ngang của thanh trước khi chịu kéo
Kẻ các đoạn thẳng song song với trục thanh để biểu thị các thớ dọc và kẻ các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh để thể hiện các mặt cắt ngang, từ đó hình thành một lưới ô vuông.
Hình 2.6 Mặt cắt ngang của thanh sau khi chịu kéo l
- Sau khi cho thanh chịu kéo: Lưới ô vuông biến thành lưới chữ nhật
Làm nhiều lần thí nghiệm ta đều thu được kết quả như trên(Hình 2.6)
Các thớ dọc vẫn giữ nguyên hình dạng thẳng và song song với nhau cũng như với trục thanh Mặc dù các thớ dọc bị giãn dài và khoảng cách giữa chúng bị thu hẹp, chiều dài của chúng vẫn không thay đổi, cho thấy rằng các thớ dọc đã biến dạng đồng nhất.
Các mặt cắt ngang có khoảng cách gia tăng, tuy nhiên tiết diện mặt cắt lại bị thu hẹp Dù vậy, các mặt cắt vẫn giữ được hình dạng phẳng và vuông góc với trục thanh, điều này cho thấy chúng có sự biến dạng đồng nhất.
+ Chiều dài của thanh thay đổi một đoạn l l 1 l ( l : biến dạng dài tuyệt đối)
+ Tiết diện mặt cắt ngang co lại F F 1 F
Trong quá trình chịu lực, biến dạng ngang của thanh nhỏ hơn rất nhiều so với biến dạng dọc, do đó có thể bỏ qua biến dạng ngang vì nó ít ảnh hưởng đến hiệu suất làm việc của chi tiết.
- Kết luận: Biến dạng trong thanh chịu kéo (nén) đúng tâm là biến dạng dài, các phần tử vật liệu có biến dạng đều như nhau
Khi xem xét một mặt cắt ngang của thanh, nội lực tác động theo phương vuông góc với mặt cắt ngang, dẫn đến việc sinh ra ứng suất pháp trên mặt cắt đó.
Biến dạng tại mọi điểm trên mặt cắt ngang là giống nhau nên nội lực sinh ra phân bố đều trên mặt cắt ngang
Công thức tính ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang
F (N/m 2 , KN/m 2 ,…) (2-1) Trong đó: + Z : Ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh
+ NZ : Lực dọc (nội lực)
+ F : Diện tích mặt cắt ngang của thanh
Khi thanh chịu kéo (nén) đúng tâm thanh có thể bị co ngắn hoặc dãn dài một lượng là l , l l 1 l (biến dạng dài tuyệt đối)
Trong đó: + l : Chiều dài ban đầu của thanh
+ l1: Chiều dài thanh sau khi biến dạng
Dấu (+) nếu thanh chịu kéo; (-) nếu thanh chịu nén
- Xét một đoạn thanh có chiều dài l, biến dạng của đoạn thanh là:
- Nếu trên thanh có n đoạn, mỗi đoạn có chiều dài là li, biến dạng của toàn thanh là:
Trong đó: + NZ: Nội lực (lực dọc)
+ F: Diện tích mặt cắt ngang
+ E: Môdun đàn hồi của vật liệu (tra bảng)
Trong giai đoạn đàn hồi, ứng suất pháp tỷ lệ với biến dạng dài tỷ đối
Trong đó: + Z : Biến dạng dài tỷ đối
+ EF: Độ cứng chống kéo (nén)
Bài 1: Tính biến dạng dài tuyệt đối và ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh có chiều dài l = 100cm, chịu lực P =8KN Biết Fcm 2 , E = 2.10 4
- Biến dạng dài tuyệt đối của thanh Áp dụng công thức:
- Ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh
Bài 2: Thanh AB chịu tác dụng của các lực P1 = 30 KN, P2 = 50 KN,
P3= 60 KN(hình 2.8) Biết l1= 50 cm, l2= 80 cm, l3= 40 cm, F = 8 cm 2 , E = 2.10 4 (KN/cm 2 ) Tính biến dạng dài tuyệt đối của thanh chịu lực
*Vẽ biểu đồ nội lực:
+ Xác định phản lực liên kết:
+ Chia đoạn cho thanh: Chia thanh làm 3 đoạn là : AC, CD,
- Xét đoạn BD: Dùng mặt cắt(1-1), cắt thanh, giữ lại phần phải để khảo sát
Ta có phương trình cân bằng
Vậy đoạn DB chịu kéo, nội lực NZ 1-1 mang dấu dương
- Xét đoạn CD: Dùng mặt cắt(2-2), cắt thanh, giữ lại phần phải để khảo sát
Ta có phương trình cân bằng
Hình 2.9 Biểu đồ nội lực
Vậy đoạn CD chịu nén, chiều NZ 2-2 có chiều ngược lại
- Xét đoạn AC: Dùng mặt cắt (3-3), cắt thanh, giữ lại phần trái để khảo sát
Ta có phương trình cân bằng
Vậy đoạn AC chịu kéo, nội lực NZ 3-3 mang dấu dương
+ Biểu đồ nội lực Nz ( hình 2.9)
*Biến dạng dài tuyệt đối của thanh AB Áp dụng công thức:
Vì thanh có tiết diện không đổi nên F = F1= F2 = F3 ;
Tính toán về kéo(nén) đúng tâm
2.4.1 Khái niệm về ứng suất cho phép và hệ số an toàn
2.4.1.1 Ứng suất nguy hiểm và ứng suất cho phép a Thí nghiệm kéo nén vật liệu dẻo
Hình 2.10 Thí nghiệm kéo nén vật liệu dẻo d ,
Để thực hiện thí nghiệm, trước tiên cần có các mẫu thử theo tiêu chuẩn của từng quốc gia Hình 2.10 minh họa các mẫu thử hình tròn và dẹt được sử dụng tại Việt Nam.
Phần thanh có chiều dài l0 được gọi là phần làm việc của mẫu, trong khi thiết bị tạo lực kéo mẫu trong các thí nghiệm có thể sử dụng các thiết bị cơ khí hoặc thủy lực.
Sơ đồ nguyên lý của máy thí nghiệm với thiết bị thủy lực, như hình 2.10 d, cho thấy áp lực dầu trong trụ A tăng dần, giúp pít tông nâng lên và tạo ra lực kéo trong mẫu B Lực kéo này có thể được xác định thông qua giá trị đo trên đồng hồ áp lực C.
Sau khi kẹp chặt mẫu vào máy, lực kéo được tăng dần từ 0, và quá trình biến dạng của mẫu được ghi lại dưới dạng biểu đồ (σ - ε) Kết quả cho thấy chiều dài mẫu tăng lên trong khi chiều ngang hẹp lại Khi lực kéo P đạt cực đại P0, một điểm trên mẫu sẽ bị thắt lại, tương ứng với điểm D trên biểu đồ.
Sau khi thanh bị kéo dài, lực tác động giảm dần cho đến khi đạt giá trị Pđ tại điểm M Tại thời điểm này, mẫu sẽ bị đứt tại vị trí thắt.
Quan hệ f đối với thép CT3 của Nga có biểu đồ lực kéo như trên hình 2.11 với các điểm đặc trưng A, B, C, D, M Biến dạng kéo của vật liệu gồm
Vật liệu có tính đàn hồi tuyệt đối, quan hệ f là quan hệ tuyến tính được biểu diễn bởi đoạn thẳng OA:
Giai đoạn này được gọi là giai đoạn tỷ lệ, trong đó quan hệ giữa lực kéo và biến dạng được mô tả bởi định luật Húc E đại diện cho mô đun đàn hồi dọc của vật liệu Giá trị lớn nhất của lực kéo trong giai đoạn này được ký hiệu là Ptl, trong khi F0 là diện tích mặt cắt ngang ban đầu của mẫu thử.
Hình 2.11 Biểu đồ lực kéo
24 Ứng suất tl là giới hạn tỷ lệ (đối với thép CT3
21 kN cm MN cm tl
) Độ dốc của đoạn OA xác định bằng mô đun đàn hồi E
Từ điểm A trên biểu đồ, mối quan hệ tuyến tính không còn hiệu lực và định luật Húc không còn áp dụng Gần điểm A, tại đoạn cung của biểu đồ, có một điểm B với ứng suất tương ứng ký hiệu là đh, được gọi là giới hạn đàn hồi Theo các tiêu chuẩn kỹ thuật, đh được xác định khi biến dạng dư của mẫu thử đạt 0,05%, được ký hiệu là đh 0 05.
Biến dạng đồng biến xảy ra với lực tăng nhẹ và sau đó tăng mạnh, đặc biệt khi lực không còn tăng nữa, tạo thành đoạn nằm ngang từ điểm C Giai đoạn này được gọi là giai đoạn chảy dẻo, với ứng suất tương ứng được ký hiệu là σ_ch.
- ch gọi là giới hạn chảy (đối với thép CT3 ch 24 kN / cm 2 240 MN / cm 2 )
Trong giai đoạn chảy, khi quan sát bề mặt mẫu thép ít carbon được mài nhẵn, ta sẽ thấy những vết gợn nghiêng tạo thành góc 45 độ Những vết này xuất hiện do sự trượt giữa các tinh thể vật liệu, gây ra bởi ứng suất tiếp cực đại Những vết trượt này được gọi là đường Liuder-Trernov.
Sau giai đoạn chảy dẻo, vật liệu bắt đầu có khả năng "tự củng cố", nghĩa là biến dạng chỉ gia tăng khi lực kéo mẫu tăng Biểu đồ trong giai đoạn này thể hiện một đường cong trơ, với điểm D đánh dấu giới hạn bền cao nhất trong giai đoạn này.
CT3 B 40 kN / cm 2 400 MN / cm 2 Hình 2.12 Biểu đồ kéo vật giòn σ σ
Khi mẫu thử đạt đến giới hạn bền, một khu vực sẽ bị thắt lại, dẫn đến việc biến dạng tiếp tục tăng theo chiều ngược lại với lực cho đến khi mẫu bị đứt tại điểm đó.
M b Thí nghiệm kéo vật liệu dòn
Vật liệu dòn chịu kéo rất kém nên bị phá hỏng đột ngột ngay khi độ giãn còn rất nhỏ
Biểu đồ đường 4 hình 2-12 cho thấy không có giai đoạn tỷ lệ và giai đoạn chảy dẻo, với đường cong xuất hiện ngay cả khi ứng suất rất nhỏ Trong giới hạn làm việc, định luật Húc vẫn có thể áp dụng cho vật liệu dòn, tuy nhiên, với loại vật liệu này chỉ có giới hạn bền.
Nếu đem so sánh với vật liệu dẻo thì giới hạn này rất nhỏ
Khi vật liệu bị nén, chúng có thể bị phá hủy ngay cả khi biến dạng ở mức nhỏ, tuy nhiên, giới hạn bền của chúng lại cao hơn nhiều so với khi bị kéo.
Hình 2.13 minh họa mối tương quan giữa lực tác dụng P và biến dạng l khi kéo vật liệu dòn Lực kéo tại điểm phá huỷ (điểm A) được gọi là P B, cho thấy rằng các vật liệu dòn thường bị phá huỷ đột ngột với biến dạng rất nhỏ, chứng tỏ khả năng chịu kéo của chúng rất kém Hình dạng đường cong phụ thuộc vào tính chất của vật liệu thí nghiệm Các vật liệu dòn như gang xám, thép có tỷ lệ carbon cao, đá, và thuỷ tinh thường không có biến dạng vượt quá 2.5% khi bị phá huỷ, do đó biểu đồ thường được thay bằng đường thẳng (đường nét đứt trên hình 2.13).
- Ứng suất nguy hiểm : là giá trị ứng suất nhỏ nhất mà tương ứng với nó vật liệu xem như bị phá hỏng, ký hiệu là: o , o
Ứng suất cho phép là giá trị ứng suất tối đa mà vật liệu có thể chịu đựng trong quá trình làm việc Khi ứng suất vượt quá mức này, vật liệu sẽ bị coi là hư hỏng.
Hình 2.13 Tương quan giữa P và l
: Ứng suất pháp cho phép
: Ứng suất tiếp cho phép
* Giá trị của ứng suất cho phép được tra bảng trong sổ tay kỹ thuật
Hệ số an toàn là hệ số dự trữ bền tùy theo điều kiện làm việc của chi tiết, nó phụ thuộc vào các yếu tố sau:
- Điều kiện làm việc và thời gian làm việc
- Mức độ quan trọng của chi tiết…
Từ các yếu tố ảnh hưởng trên người ta tổng hợp được hệ số an toàn n
Trong đó: n - là hệ số an toàn
2.4.2 Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản
Cắt
Khái niệm về cắt
3.1.1 Định nghĩa về cắt, ứng suất và biến dạng trượt
Khi hai lực song song, ngược chiều và có cùng độ lớn tác động lên một thanh, đặt ở hai mặt phẳng cắt sát nhau, thanh sẽ xuất hiện hiện tượng cắt (hình 3.1).
Sử dụng phương pháp mặt cắt, chúng ta có thể hình dung việc chia thanh thành hai phần Chúng ta giữ lại phần I để tiến hành khảo sát Phần bên trái sẽ đạt trạng thái cân bằng dưới tác động của các ngoại lực và nội lực phát sinh trên mặt cắt ngang của phần này Nội lực có thể được ký hiệu là Qx hoặc Qy.
Kí hiệu: Qx hoặc Qy có
- Điểm đặt: Thuộc mặt cắt
- Phương: Tiếp tuyến với mặt cắt
- Chiều: Ngược chiều ngoại lực tác dụng
Xét một thanh thẳng có tiết diện hình chữ nhật chịu tác dụng của hai lực P song song và ngược chiều, với cùng trị số, tác động tại hai mặt cắt gần nhau qua AB và CD (Hình 3.2).
- Trước khi cho thanh chịu cắt:
Kẻ lên mặt ngoài của thanh các đoạn thẳng song song với trục thanh để biểu thị các thớ dọc, trong khi các đoạn thẳng vuông góc với trục thanh đặc trưng cho các mặt cắt ngang Những đoạn thẳng này được đặt ở hai mặt phẳng cắt sát gần nhau.
- Sau khi cho thanh chịu cắt:
Biến dạng chỉ xảy ra ở phần vật liệu giới hạn bởi hai mặt phẳng cắt chứa các lực cắt(hình 3.3)
- Mặt cắt chứa lực tĩnh không xảy ra biến dạng
- Mặt cắt chứa lực động có xảy ra biến dạng: Bị dịch chuyển thành mặt cắt chứa
Qua nhiều thí nghiệm, đã xác định rằng BB' = CC' = ∆S, cho thấy kích thước mặt cắt ngang không thay đổi và các mặt cắt ngang vẫn phẳng, song song với nhau Điều này chứng minh rằng biến dạng của các phần tử vật liệu trong cùng một mặt cắt là giống nhau.
- Các thớ dọc bị trượt so với phương ban đầu một góc γ, nhưng vẫn song song với nhau γ: Gọi là góc trượt của các thớ dọc
Từ hình vẽ ta có : l tg S
Kết luận: Biến dạng trong thanh chịu cắt là biến dạng trượt của vật liệu
Nội lực phân bố đồng đều và có phương tiếp tuyến với mặt cắt, dẫn đến ứng suất cũng có phương tiếp tuyến với mặt cắt Do đó, ứng suất trong thanh chịu cắt được gọi là ứng suất tiếp, ký hiệu là C.
3.1.2 Định luật Hooks về cắt
Trong giai đoạn đàn hồi, ứng suất tiếp tỷ lệ với biến dạng góc của vật liệu
Trong đó: : Biến dạng góc
G: Mô dun đàn hồi trượt
3.1.3 Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản
Thanh chịu cắt thỏa mãn điều kiện bền khi ứng suất lớn nhất phát sinh trong thanh phải nhỏ hơn ứng suất cho phép
3.1.3.2 Các bài toán cơ bản a Kiểm tra độ bền
Từ điều kiện bền ta có công thức kiểm tra độ bền:
Trong thực tế thường gặp trường hợp chịu lực theo phương trục Oy, rất ít trường hợp chịu lực theo phương trục Ox
+ Trường hợp lực tác dụng theo phương trục Oy
Đảm bảo độ bền (3-4) + Trường hợp lực tác dụng theo phương trục Ox
Ví dụ 1 : Cho thanh AB tiết diện tròn có đường kính d = 4cm Thanh chịu tác dụng của lực P = 120KN Kiểm tra độ bền cho thanh AB: Biết c 8 KN / cm 2
Dùng mặt cắt ngang cắt thanh làm 2 phần, giữ lại một phần phải để khảo sát
Ta có phương trình cân bằng : Qy = P 0(KN)
+ Diện tích mặt cắt ngang của thanh là:
- Ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh là
So sánh ta thấy: y 9 , 55 KN / cm 2 c 8 KN / cm 2
Kết luận: Thanh không đảm bảo độ bền b Xác định kích thước mặt cắt ngang hợp lý
Từ điều kiện bền ta có
* Mặt cắt hợp lý chọn trong khoảng : F F F 5 % F (3-7)
Để xác định đường kính hợp lý cho thanh AB có tiết diện tròn và chịu lực P = 120KN, ta cần sử dụng công thức liên quan đến sức bền vật liệu Với giá trị giới hạn bền cắt là τc = 8 KN/cm², ta có thể tính toán đường kính cần thiết để đảm bảo thanh AB có khả năng chịu lực an toàn.
Từ điều kiện bền ta có
Mà diện tích mặt cắt ngang là:
Đường kính hợp lý chọn trong khoảng: F F F 5 % F
40 c Xác định lực tác dụng hợp lý
Từ điều kiện bền ta có
* Tải trọng tác dụng hợp lý chọn trong khoảng: P 5 % P P P
Thanh AB có tiết diện tròn với đường kính 4cm, chịu tác dụng của lực P Để xác định lực tác dụng hợp lý lên thanh AB, cần biết giá trị ứng suất cho phép là 8 KN/cm².
Từ điều kiện bền ta có
+ Diện tích mặt cắt ngang của thanh là:
*Tải trọng tác dụng hợp lý chọn trong khoảng:
Áp dụng vào mối ghép đinh tán- Hiện tượng dập
Dập là hiện tượng nén cục bộ xảy ra trên một diện tích truyền lực tương đối nhỏ của hai chi tiết ép vào nhau
Đinh tán trong mối nối chịu cắt gây hiện tượng dập tại thành lỗ của tấm ghép, đồng thời thân đinh cũng bị cắt ngang.
Nội lực sinh ra trên mặt cắt chịu dập
Ký hiệu: P d có phương vuông góc với mặt cắt chịu dập
Xét thanh thẳng chịu dập (hình 3.7a)
Sau khi tác dụng vào thanh hệ lực phân bố Pd (hình 3.7b)
- Biến dạng chỉ xảy ra ở phần diện tích chịu lực
- Khoảng cách giữa các thớ dọc trong diện tích chịu dập bị thu hẹp lại (bị nén)
Kết luận: Biến dạng trong thanh chịu dập là biến dạng nén của vật liệu
Nội lực có phương vuông góc với mặt cắt chịu dập, nên ứng suất sinh ra trên mặt cắt chịu dập là ứng suất pháp
3.2.5 Tính toán cho thanh chịu dập
Thanh chịu cắt thỏa mãn điều kiện bền khi ứng suất lớn nhất phát sinh trong thanh phải nhỏ hơn ứng suất cho phép
3.2.5.2 Các bài toán cơ bản a Kiểm tra độ bền
Công thức kiểm tra độ bền:
42 b Xác định kích thước mặt cắt ngang hợp lý
Từ điều kiện bền ta có: d d d d P F
(3-13) c Xác định lực tác dụng hợp lý
Từ điều kiện bền ta có: P d F d d (3-14)
Bài tập 1:Mối ghép đinh tán gồm có 8 đinh, đường kính thân đinh d = 0,8cm chịu tác dụng lực P = 30KN (hình3.8), có chiều dày các tấm 1= 3cm, 2 4cm
Kiểm tra độ bền cắt, dập cho đinh tán?
Biết: c = 8 KN/cm 2 , d 10 KN cm / 2
* Kiểm tra độ bền cắt
- Áp dụng công thức kiểm tra độ bền của thanh chịu cắt
- Ứng suất sinh ra trên diện tích mặt cắt ngang của 8 đinh tán là: c c c
+ Diện tích mặt cắt ngang của một đinh tán
+ Diện tích mặt cắt ngang của 8 đinh tán
- So sánh với ứng suất cho phép, ta thấy:
Đinh tán trong mối ghép đảm bảo độ bền cắt
* Kiểm tra độ bền Dập Áp dụng điều kiện bền của thanh chịu dập d d d d
- Diện tích mặt cắt chịu dập của 8 đinh tán
Vậy ứng suất sinh ra trên mặt cắt chịu dập của 8 đinh tán
So sánh với ứng suất cho phép ta có: d d
Vậy đinh tán đảm bảo độ bền dập
+ Kết luận: Đinh tán trong mối ghép đảm bảo độ bền
1 Định nghĩa thanh chịu cắt?
2 Viết các biểu thức của các bài toán tính toán cho thanh chịu cắt?
3 Định nghĩa thanh chịu dập?
4 Viết các biểu thức của các bài toán tính toán cho thanh chịu dập?
Bài 1: Mối ghép đinh tán gồm có n = 8 đinh, đường kính thân đinh d 0,8cm, chịu tác dụng lực ngang P = 60KN (Hình 3.9), biết:
c =8KN/cm 2 , d 10 kN / cm 2 Có chiều dày các tấm ghép là 1= 2cm, 2 3cm Kiểm tra độ bền cắt và độ bền dập cho đinh tán?
Bài 2: Mối ghép đinh tán gồm có n = 4 đinh, có đường kính thân đinh là d, chịu tác dụng lực ngang P = 80KN (Hình 3.10), biết : KN/cm 2 ,
d 10 kN / cm 2 Có chiều dày các tấm ghép là 1= 2cm, 2= 3cm
Tính đường kính hợp lý cho đinh tán khi chịu cắt và chịu dập?
Đặc trưng cơ học của hình phẳng
Khái niệm về Mô men tĩnh
Mô men tĩnh của mặt cắt F lấy đối với trục Ox,Oy được định nghĩa bằng biểu thức sau:
Mô men tĩnh của mặt cắt F lấy đối với trục Ox x
Mômen tĩnh của mặt cắt F lấy đối với trục Oy y
S x dF (chiều dài) 3 (4-2) Trị số của mômen tĩnh có thể (+); (-) hoặc không
Nếu mô men tĩnh của mặt cắt F lấy đối với một trục nào đó bằng không thì trục trung tâm gọi là trọng tâm của mặt cắt
4.1.2 Công thức xác định tọa độ trọng tâm
46 Thay vào công thức ta có :
- Giả sử xoy là hệ trục trung tâm thì khi đó:
Công thức xác định trọng tâm
4.1.2.1 Tọa độ trọng tâm C ( x C, y C ) của hình phẳng phức tạp (ghép bởi nhiều hình đơn giản)
Trong đó : (xCi , yCi ): Là tọa độ trọng tâm của hình phẳng thứ i
Fi : Diện tích của hình thứ i
Ví dụ 4.1: Xác định tọa độ trọng tâm của tấm phẳng (Hình 4.2)
- Đặt hệ trục tọa độ Oxy vào tấm phẳng
- Gọi C (xc, yc) là trọng tâm của cả tấm phẳng
- Chia hình phẳng làm 2 phần: 1, 2
- Tọa độ trọng tâm của các tấm phẳng tương ứng là : C1 (x1, y1) ; C2 (x2, y2) x1= 2m; y1 = 3m ; x2= 5m, y2= 2m
Diện tích các tấm phẳng tương ứng là
Trọng tâm của cả tấm phẳng trên là C
Ví dụ 4.2: Xác định tọa độ trọng tâm của tấm phẳng (Hình 4.3)
- Đặt hệ trục tọa độ Oxy vào tấm phẳng
- Gọi C(xc,yc) là trọng tâm của cả tấm phẳng
- Chia hình phẳng làm 2 phần: 1, 2
- Tọa độ trọng tâm của các tấm phẳng tương ứng là: C1(x1, y1) ; C2(x2, y2) x1= 20cm; y1 = 20cm; x2= 20cm; y2 8,5cm
- Diện tích các tấm phẳng tương ứng là
- Diện tích cả tấm phẳng:
Thay vào công thức ta có:
Trọng tâm của cả tấm phẳng C (20;26;16)
Khái niệm về mô men quán tính
4.2.1.1 Mô men quán tính trục
Mô men quán tính của mặt cắt F lấy đối với trục Ox, Oy x 2
J x dF (chiều dài) 4 (4-7) Trị số mô men quán tính luôn dương
4.2.1.2 Mô men quán tính độc cực(mô men quán tính đối với một điểm)
Mô men quán tính độc cực của mặt cắt F lấy đối với gốc tọa độ, được định nghĩa bằng công thức sau:
J x y dF J J (chiều dài) 4 (4-9) Điều này chứng tỏ mô men quán tính độc cực bao giờ cũng có trị số dương
4.2.1.3 Mô men quán tính ly tâm
Mômen quán tính của mặt cắt F lấy đối với hệ trục xoy xy
Trị số của mômen quán tính ly tâm có thể (+), (-) hoặc không
+ Mô men quán tính chính trung tâm:
Khi mô men quán tính ly tâm của mặt cắt đối với một hệ trục nào đó bằng không, hệ trục đó được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm.
Nếu mặt cắt có một trục đối xứng thì trục đối xứng đó chính là một trục của hệ trục quán tính chính trung tâm
- Hệ trục quán tính chính là hệ trục có mô men quán tính ly tâm bằng không (Jxy= 0 )
- Hệ trục quán tính chính trung tâm là hệ trục có gốc tọa độ trùng với trọng tâm mặt cắt (Jxy= Sx = Sy = 0)
- Mô men quán tính trục của hệ trục quán tính chính gọi là mô men quán tính chính
Khi mô men tĩnh của diện tích F đối với một trục nào đó bằng không, trục đó được gọi là trục trung tâm Giao điểm của hai trục trung tâm sẽ được xác định là tâm của mặt cắt.
Mô men quán tính trục của hệ trục quán tính chính trung tâm gọi là mô men quán tính chính trung tâm
Nếu mặt cắt có một trục đối xứng, thì hệ trục quán tính chính được xác định bởi trục đối xứng đó và trục vuông góc với nó.
4.2.3 Công thức tính mô men quán tính một số hình cơ bản
4.2.3.1 Mặt cắt hình chữ nhật(hình 4.4)
- Mô men tĩnh: Sx=Sy=0
- Mô men quán tính ly tâm: Jxy=0
- Mô men quán tính trục:
4.2.3.2 Mặt cắt hình tam giác(hình 4.5)
- Mô men quán tính trục: J x =
4.2.3.3 Mặt cắt ngang là hình tròn đặc(hình
- Mô men tĩnh: Sx= Sy= 0
- Mô men quán tính ly tâm: Jxy=0
- Mô men quán tính độc cực:
- Mô men quán tính trục:
4.2.3.4 Mặt cắt ngang là hình tròn rỗng (hình
- Mô men tĩnh: Sx=Sy=0
- Mô men quán tính ly tâm: Jxy=0
- Mô men quán tính độc cực:
- Mô men quán tính trục:
4.2.3.5 Mặt cắt ngang của các thép định hình
Tra bảng đặc trưng hình học của các mặt cắt trong các sổ tay kỹ thuật
4.2.4 Công thức chuyển trục song song (Định lý tịnh tiến trục)
Trong xây dựng, nhiều chi tiết và bộ phận công trình có tiết diện mặt cắt ngang được cấu thành từ nhiều hình dạng đơn giản, giúp tối ưu khả năng chịu lực và tiết kiệm vật liệu Do đó, việc tính toán các loại mômen quán tính trở nên cần thiết, dựa trên mômen quán tính của các hình đơn giản đã biết.
- Cho mặt cắt F với các đặc trưng hình học của hệ trục xoy coi như đã biết (Hình 4.9)
- Xác định đặc trưng hình học của mặt cắt F đối với XO1Y được tạo thành khi ta tịnh tiến trục 0x đi một khoảng b và 0y đi một khoảng a Hình 4.9 y d x
Mô men tĩnh của mặt cắt F lấy đối với trục O1X, O1Y
Mô men quán tính của mặt cắt F lấy đối với trục O1X, O1Y
Y dF yb dF y ybb dF J bS b F
Tương tự: JY = Jy + 2aSy + a 2 F (4-12)
4.2.4.3 Mô men quán tính li tâm
- Mô men quán tính li tâm của mặt cắt F lấy đối với hệ trục XO1Y
- Giả sử xoy là hệ trục trung tâm (Hình 4.10), thì khi đó:
Ta có: SX = YC.F ; SY = XC.F
Công thức xác định trọng tâm C
Mô men tĩnh của một mặt cắt liên quan đến một trục được tính bằng cách nhân diện tích của mặt cắt với khoảng cách từ trọng tâm của mặt cắt đến trục đó.
Bán kính quán tính
Ví dụ 4.3: Xác định mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng (Hình
Lập hệ trục xOy, Oy là trục đối xứng nên là trục quán tính chính trung tâm
* Xác định trọng tâm của hình phẳng:
Lập hệ trục quán tính chính trung tâm x0Cy0
* Xác định mô men quán tính chính trung tâm Jx0, Jy0 Áp dụng công thức:
Mô men quán tính chính trung tâm là: Jx0 15
1 Định nghĩa mômen tĩnh,viết công xác định tọa độ trọng tâm của hình phẳng?
2 Định nghĩa các mômen quán tính trục, mômen quán tính độc cực, mômen quán tính ly tâm?
3 Viết các công thức xác định các đặc trưng hình học của một số mặt cắt đơn giản?
4 Định nghĩa hệ trục quán tính chính trung tâm, mô men quán tính chính trung tâm?
5 Viết các công thức chuyển trục song song?
Bài tập Bài 1: Xác định mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng (Hình
Bài 2: Xác định mô men quán tính chính trung tâm của hình phẳng (Hình
Xoắn thuần túy
Khái niệm về xoắn thuần túy
Thanh chịu xoắn thuần túy là loại thanh mà chịu tác động từ các ngẫu lực hoặc mô men có chiều quay ngược nhau Các lực này tác động lên mặt phẳng trùng với các mặt cắt bên trong thanh.
Ví dụ: Mũi khoan, trục động cơ, trục hộp giảm tốc…
5.1.2 Nội lực và biểu đồ mô men xoắn nội lực
Xét thanh thẳng có tiết diện tròn chịu tác dụng của các mô men như hình vẽ (Hình 5.1)
Dùng phương pháp mặt cắt để xác định nội lực
Ta xác định được mô men xoắn nội lực Mz có:
- Phương: Trùng với mặt cắt ngang của thanh
-Trị số: Bằng tổng đại số của các mômen ngoại lực tác dụng (Mz= m)
Mômen xoắn nội lực: Ký hiệu: Mz
+ Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt thấy mô men Mz quay cùng chiều kim đồng hồ thì Mz mang dấu dương
+ Nhìn từ bên ngoài vào mặt cắt thấy mô men Mz quay ngược chiều kim đồng hồ thì Mz mang dấu âm
Các bước vẽ biểu đồ nội lực
- Bước 1 : Xác định phản lực liên kết (nếu cần)
- Bước 2: Chia đoạn cho thanh, dựa trên cơ sở vị trí tác dụng của mômen tương ứng với một điểm, hai điểm liên tiếp là một đoạn
- Bước 3: Xác định nội lực trong từng đoạn
+ Dùng phương pháp mặt cắt, cắt thanh làm hai phần, giữ lại một phần để khảo sát
+ Đặt nội lực vào mặt cắt (giả định nội lực Mz dương )
+ Viết phương trình cân bằng và giải các phương trìnhgiá trị của nội lực
- Bước 4: Vẽ biểu đồ nội lực
+ Kẻ đường thẳng song song với trục thanh gọi là đường không
+ Kẻ các đoạn thẳng song song với nhau và vuông góc với đường không
+ Điền dấu, điền giá trị nội lực
Ví dụ 1: Cho thanh chịu xoắn thuần túy như trên (hình 5.2): m1= 20 KNm, m2= 60 KNm Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AC?
- B1: Xác định phản lực liên kết (hình5.3) m
Ta có phương trình cân bằng
- B3: Xác định nội lực trên từng đoạn
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt
(1-1) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải, ta có:
+ Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt
(2-2) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải, ta có:
- B4: Vẽ biểu đồ nội lực (hình5.3)
*Nhận xét : Nhìn vào biểu đồ ta thấy đoạn AB là đoạn nguy hiểm nhất
5.1.3 Liên hệ giữa mô men ngoại lực với công suất và vận tốc góc
Giữa công suất của động cơ truyền đến các trục của mô men xoắn ngoại lực tác dụng lên trục có mối quan hệ sau:
Công A do mô men M thực hiện khi trục quay một góc α trong thời gian t là:
Trong đó: - M là mô men xoắn ngoại lực (Nm)
- ω là vận tốc góc (rad/s)
- n là tốc độ vòng quay (vòng/phút)
Trong kỹ thuật người ta còn sử dụng công thức sau: n
W tính bằng mã lực ta có: n
Ứng suất và biến dạng trong thanh mặt cắt tròn chịu xoắn
Xét một thanh thẳng có tiết diện tròn, chiều dài là l, bán kính R
+ Trước khi cho thanh chịu xoắn (Hình
- Kẻ lên mặt ngoài của thanh các đường thẳng song song với trục thanh, các đường thẳng này đặc trưng cho các thớ dọc
- Kẻ các đường tròn vuông góc với trục của thanh, các đường này đặc trưng cho các mặt cắt ngang
Tác dụng vào thanh mô men xoắn m làm cho thanh chịu xoắn
+ Sau khi cho thanh chịu xoắn (Hình 5.5)
+ Các thớ dọc bị lệch đi so với ban đầu một góc là , nhưng chúng vẫn song song với nhau và không còn song song với trục của thanh
: là góc trượt của các thớ dọc
Khi xem xét thớ dọc là trục OO`, ta nhận thấy thớ OO` không bị lệch so với ban đầu, dẫn đến biến dạng góc của thớ OO` bằng 0 Khi xem xét thớ dọc cách trục một khoảng r bất kỳ (với r < Rmax), ta thấy rằng khi r tăng, góc cũng tăng theo Khi r đạt đến Rmax, góc đạt giá trị lớn nhất Do đó, góc có giá trị thay đổi từ 0 đến max.
Thớ dọc song song với trục thanh không bị biến dạng, với góc = 0 Khi di chuyển ra phía mặt trụ ngoài cùng, góc tăng dần, và tại mặt trụ ngoài cùng, giá trị của góc đạt cực đại là max.
+ Khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không đổi, chiều dài thanh không đổi vậy thanh không có biến dạng dọc trục (dài)
+ Các mặt cắt ngang vẫn tròn, vẫn phẳng và vẫn vuông góc với trục thanh
Khi xem xét điểm B trên thanh, trước khi biến dạng, điểm B là giao điểm của thớ dọc thứ nhất với mặt đầu tự do Sau khi chịu xoắn, điểm B dịch chuyển thành điểm B', tạo thành cung BB', cho thấy mặt đầu tự do đã xoay một góc φ Góc φ này đại diện cho sự xoay của mặt cắt ngang.
Xét điểm A thuộc mặt đầu cố định, ta thấy điểm A không bị xoay, vậy góc xoay của mặt đầu cố định bằng 0 tức φ = 0
Khi xem xét mặt cắt ngang cách mặt đầu tự do một khoảng a, ta nhận thấy mặt cắt này bị xoay một góc nhất định Góc xoay này có giá trị lớn hơn 0 nhưng nhỏ hơn góc φ của mặt đầu tự do.
Kết luận: Biến dạng trong thanh chịu xoắn là biến dạng trượt của vật liệu
Biến dạng của các phần tử vật liệu trên mặt cắt ngang là khác nhau
- Ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy là ứng suất tiếp ký hiệu: x
5.2.2.1 Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang
Theo định luật Húc có: G. (5-7)
- G là mô đun đàn hồi trượt của vật liệu, G const
- γ là biến dạng trượt của vật liệu
+ Quy luật phân bố ứng suất:
Biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang (Hình 5.6)
Biểu đồ phân bố ứng suất chỉ hiển thị ứng suất tại các điểm trong bán kính OA Khi xoay biểu đồ này một góc 360 độ, chúng ta có thể biểu diễn ứng suất tại mọi điểm thuộc mặt cắt ngang.
- Ứng suất tăng dần từ tâm mặt cắt đến bán kính lớn nhất của mặt cắt và đạt giá trị lớn nhất khi bán kính lớn nhất
- Ứng suất có giá trị thay đổi từ 0 x max
5.2.2.2 Ứng suất lớn nhất trên mặt cắt ngang
* Ứng suất lớn nhất được xác định bằng công thức: p
- Mz: Mô men xoắn nội lực (Ncm; KNm ,…)
- Wp: Mômen chống xoắn của mặt cắt ngang của thanh (chiều dài 3 )
+ Với mặt cắt ngang của thanh có tiết diện tròn đặc:
+ Với mặt cắt ngang ngang của thanh có tiết diện tròn rỗng
Trong đó: - D là đường kính ngoài
Tính toán về xoắn thuần túy
5.3.1 Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản
5.3.1.1 Điều kiện bền Điều kiện cần và đủ để thanh chịu xoắn thuần túy đảm bảo độ bền là ứng suất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh phải nhỏ hơn hoặc bằng ứng suất cho phép
Nếu chi tiết đảm bảo điều kiện trên nó sẽ đảm bảo độ bền khi chịu lực
5.3.1.2 Ba bài toán cơ bản a Kiểm tra bền
Từ điều kiện bền ta có công thức kiểm tra độ bền:
- Tìm ứng suất lớn nhất
- So sánh ứng suất lớn nhất với ứng suất cho phép
+ Nếu max X thanh đủ bền
+ Nếu max X thanh không đủ bền b Xác định kích thước mặt cắt ngang hợp lý
Từ điều kiện bền ta có
+ Với mặt cắt ngang của thanh có tiết diện tròn đặc:
Ta xác định được đường kính hợp lý của thanh là
* Chú ý: Nên chọn đường kính hợp lý của thanh trong khoảng:
D D D 5 % D (5-16) c Xác định lực tác dụng hợp lý
Bài 1: Thanh AD chịu tác dụng của các mô men như trên hình vẽ: m1 = 30KNcm; m2 60KNcm; m3 = 50KNcm
Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực cho thanh AD?
- Xác định phản lực liên kết(hình 5.8)
Ta có phương trình cân bằng
- Chia đoạn cho thanh: AB,
- Xác định nội lực trên từng đoạn
+ Xét đoạn AB: Dùng mặt cắt (1-1) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải, ta có:
+ Xét đoạn BC: Dùng mặt cắt (2-2) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải, ta có:
+ Xét đoạn CD: Dùng mặt cắt (3-3) cắt thanh, xét cân bằng phần bên phải, ta có:
- Bước4: Vẽ biểu đồ nội lực (Hình 5.8)
*Nhận xét : Nhìn vào biểu đồ ta thấy đoạn BC là đoạn nguy hiểm nhất
5.3.2 Điều kiện cứng và ba bài toán cơ bản
Là điều kiện sao cho: θ max ≤ [θ] (5-18)
- θmax là góc xoắn tỷ đối lớn nhất tính được (đơn vị: Rad/m)
- [θ] là góc xoắn tỷ đối cho phép thường cho Rad / m , (nếu cho là 0 / m thì đổi ra Rad/m với 360 0 =2.π rad)
- Trường hợp thanh chỉ có một mômen xoắn ngoại lực và tiết diện không đổi:
Trường hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có nội lực Mzi và độ cứng
GJpi khác nhau thì ta phải tính i trên từng đoạn: pi zi i GJ
Sau đó tìm max để kiểm ta theo điều kiện cứng
3.2.2 Ba bài toán cơ bản
+ Bài toán kiểm tra độ cứng
+ Bài toán xác định kích thước hợp lý theo điều kiện cứng
+ Bài toán xác định tải trọng cho hợp lý theo điều kiện cứng
1 Trình bày các định nghĩa thanh chịu xoắn nêu quy ước dấu nội lực Mz và các bước vẽ biểu đồ nội lực Mz của thanh chịu xoắn thuần túy?
2.Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy?
3 Viết công thức tính ứng suất lớn nhất sinh ra trên mặt cắt ngang của thanh chịu xoắn thuần túy? Giải thích các ký hiệu?
4 Viết các công thức tính toán của các bài toán cơ bản tính theo điều kiện bền cho thanh chịu xoắn thuần túy?
5 Viết các công thức tính toán của các bài toán cơ bản tính theo điều kiện cứng cho thanh chịu xoắn thuần túy?
Bài 1 : Cho thanh chịu xoắn thuần túy như trên hình 5.9: m1= 30KNm, m2 50KNm Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực cho thanh AC?
Bài 2: Trục chịu xoắn thuần túy có tiết diện tròn đường kính d= 4cm (hình 5-
9), Chịu tác dụng của các mômen m1= 80KNcm; m2= 50KNcm; m3 = 60KNcm a Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AD? b Kiểm ta độ bền cho thanh AD? Biết x 10 KN / cm 2
Bài 3: Trục AB có tiết diện tròn có các đường kính tương ứng là d1= 4cm, d2 = 6cm (hình 5.11), thanh chịu tác dụng của các lực dọc trục m1 = 50KNcm; m20 KNcm a Vẽ biểu đồ nội lực cho thanh AD? b Vẽ biểu đồ ứng suất cho thanh AD? c Tính bền cho thanh AD? Biết τ]x = 10 KN/cm 2 m 2
