Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy, người học và cả người nghiên cứu. Qua việc dạy và học Toán, con người được rèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo, góp phần hình thành kỹ năng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thời đại mới. Trong chương trình Toán phổ thông, phép tính tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng, tích phân được ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Nó cũng là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngoài ra, phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học,...Năm học 20162017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn Toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Vì vậy người giáo viên cũng cần phải thay đổi phương pháp giảng dạy cho phù hợp.Trong đề thi THPTQG, vì với hình thức thi trắc nghiệm thì những câu hỏi về tích phân đã được thay đổi. Với cách hỏi giống như hình thức thi tự luận không còn phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm. Vì những câu tính tích phân thông thường học sinh hoàn toàn có thể tìm ra đáp án bằng cách sử dụng máy tính bỏ túi. Do đó, để đảm bảo mục tiêu xét tốt nghiệp cũng như phân hóa học sinh để xét tuyển vào các trường Đại học, Cao đẳng, những câu hỏi về tích phân đa dạng hơn, đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn. Trong đó, tích phân của một số hàm ẩn cũng đã được đưa vào với các mục đích trên. Mặc dù đã được học kỹ các phương pháp tính tích phân, nhưng đứng trước yêu cầu về tính tích phân của hàm ẩn đa số các em còn nhiều lúng túng và thậm chí là không định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này. Xuất phát từ thực tế dạy học ở trường THPT Nguyễn Huệ, nhằm nâng cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục tôi chọn đề tài nghiên cứu là:“Tích phân hàm ẩn trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.
Định nghĩa nguyên hàm
Cho hàm số f x ( ) xác định trên K (K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của ¡
) Hàm số F x ( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x ( ) trên K nếu F x ' ( ) = f x ( ) , với mọi x thuộc K.
Định nghĩa tích phân
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a, b]; nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn này, thì hiệu số (F(b) - F(a)) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) và được ký hiệu là ∫[a, b] f(x) dx.
Người ta dùng kí hiệu F x ( ) b a để chỉ hiệu số F b ( ) − F a ( ) Như vậy Nếu F x ( ) là một nguyên hàm của f x ( ) trên đoạn [ ] a b ; thì b ( ) ( ) b a ( ) ( ) a f x dx F x= =F b −F a
Tính chất tích phân
Giả sử ,f g liên tục trên K và a b c , , là ba số bất kì thuộc K Khi đó ta có
Phương pháp tính tích phân
Phương pháp đổi biến số
Để tính tích phân I = ∫ g(x) dx, giả sử g(x) có thể biểu diễn dưới dạng f(u(x)) * u'(x), trong đó u(x) là một hàm số có đạo hàm trên khoảng K, và y = f(u) là một hàm liên tục Điều kiện cần là hàm hợp f(u(x)) phải được xác định trên K, với a và b là hai số thuộc K.
Chú ý: Tích phân không phụ thuộc vào biến, tức là ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx= f u du= f t dt
Phương pháp tính tích phân từng phần
Nếu u u x = ( ) và v v x = ( ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] a b ; thì
Với hình thức thi trắc nghiệm, trong các đề minh họa của bộ GD - ĐT , đề thi THPTQG luôn xuất hiện các câu tích phân hàm ẩn Chẳng hạn:
Câu 25 (Đề thử nghiệm năm 2017) Cho 4 ( )
Câu 38 (Đề tham khảo năm 2017) Cho hàm số f x ( ) thỏa mãn 1 ( ) ( )
Mặc dù các câu hỏi này hướng tới học sinh trung bình và khá, nhưng nhiều học sinh vẫn cảm thấy khó khăn và không biết cách tiếp cận để giải quyết chúng.
Câu tích phân hàm ẩn thường xuất hiện trong đề thi tuyển sinh vào các trường Cao Đẳng và Đại học, nhằm phân loại học sinh Việc giải quyết loại câu hỏi này không chỉ yêu cầu kiến thức vững vàng mà còn cần tư duy logic, sự linh hoạt và khả năng sáng tạo cao từ phía học sinh.
Câu 50 (Đề tham khảo năm 2018) Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1 thỏa mãn ( ) 1 ( ) 2
Câu 48 (Đề thi THPTQG 2018-Mã đề 101) Cho hàm số f x ( ) thỏa mãn f ( ) 2 = − 2 9 và
' 2 f x = x f x với mọi x∈¡ Giá trị của f ( ) 1 bằng
Câu 41 (Đề thi THPTQG 2019-Mã đề 101) Cho hàm số f x ( ) có đạo hàm liên tục trên ¡
Để giải quyết các vấn đề liên quan đến tích phân hàm ẩn, cần phân loại và cung cấp các phương pháp giải cùng với kỹ năng cần thiết cho học sinh Việc này sẽ giúp nâng cao chất lượng bài thi trong kỳ thi THPTQG.
3 Giải pháp giải quyết vấn đề
Trong bài viết này, tôi đã tổng hợp các phương pháp tính tích phân đã học để áp dụng cho hàm ẩn, kèm theo các phương pháp cụ thể và bài tập tương ứng Cuối cùng, có bài tập tổng hợp giúp học sinh vận dụng những phương pháp đã học để giải quyết vấn đề.
Trong bài viết này, tôi sẽ trình bày bốn phương pháp cơ bản để tính tích phân nguyên hàm, bao gồm phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần và phương pháp tạo bình phương cho biểu thức dưới dấu tích phân.
Biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản
Kiến thức sử dụng
Nếu F x ′ ( ) = f x ( ) với mọi x K∈ thì F x ( ) = ∫ f x dx ( )
Các công thức về đạo hàm:
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho hàm số f x ( ) ≠ 0, liên tục trên đoạn [ ]1;2 thỏa mãn 1
I =∫ f x dx Nhận xét: Từ giả thiết ta có
′ = − , biểu thức vế trái có dạng u 2 1 u u
Ví dụ 2 Cho hàm số ( )f x liên tục, không âm trên ¡ và thỏa mãn (0) 0f = và
( ) ( ) 2 2( ) 1 0 f x f x′ − x f x + = với mọi x∈¡ Tính tích phân
Nhận xét :Từ giả thiết ta có ( ) ( ) 2
′ + , biểu thức vế trái có dạng
Ví dụ 3 Cho hàm số ( )f x đồng biến, có đạo hàm trên đoạn [ ]1;4 và thoả mãn 3
Do ( )f x đồng biến trên đoạn [ ] 1;4 ⇒ f x ′ ( ) 0, ≥ ∀ ∈ x [ ] 1;4
Vì x ∈ [ ] 1;4 và f x ′ ( ) 0, ≥ ∀ ∈ x [ ] 1;4 nên suy ra 1
Ví dụ 4 Cho hàm số ( )f x đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn [ ]0;2 và thỏa mãn
Nhận xét: Từ giả thiết ta có [ ]
= , biểu thức vế trái có dạng ( )
Do ( )f x đồng biến trên đoạn [ ]0;2 nên ta có f(0)≤ f x( )≤ f(2)⇔ ≤1 f x( )≤e 6
⇒ =∫ = + ⇒∫ =∫ + ⇒ = + + mà 1≤ f x( )≤e 6 nên ta có ln ( )f x =x 2 + +cx c 1
Ví dụ 5 Cho ( )f x có đạo hàm trên ¡ và thỏa mãn 3 ( ) 2 1 2 2
Ví dụ 6 Cho ( )f x có đạo hàm trên [ ]0;1 thỏa mãn f x ( ) + + ( x 1 ( ) 1 ) f x ′ = , ∀ ∈ x [ ] 0;1
Nhận xét: Từ giả thiết ta có ( x + 1 ) ′ f x ( ) + + ( x 1 ( ) 1 ) f x ′ = , vế trái là biểu thức có dạng
Để giải bài toán tổng quát cho ví dụ 5, ta có thể sử dụng quy tắc đạo hàm cho biểu thức dạng \( [u(x)f(x)]' \) Theo đó, nếu biểu thức có dạng \( v(x)f(x) + u(x)f'(x) \), ta có thể biến đổi về dạng \( [u(x)f(x)]' \) bằng cách đặt \( v(x) = u'(x) \) Điều này cho phép chúng ta áp dụng quy tắc đạo hàm một cách hiệu quả để tìm giá trị của đạo hàm.
Cho ( ); ( )A x B x ; ( )g x là các biểu thức đã biết Tìm hàm số ( )f x thỏa mãn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Do vế trái có dạng (*) nên ta có thể biến đổi (**) ⇔ [ u x f x ( ) ( ) ] ′ = g x ( )
Trong đó u x được chọn sao cho :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
⇒ = + (với ( )G x là một nguyên hàm của ( )
B x )⇒từ đây ta sẽ chọn được biểu thức ( )u x
Ví dụ 7 Cho ( )f x có đạo hàm trên [ ]0;1 thỏa mãn 1
I =∫ f x dx Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức u x Ta có( )
2018 2018 ln ( )u x dx ln ( )u x 2018ln x c ln ( )u x lnx c
⇒ =∫ x ⇒ = + ⇔ = + nên ta chọn u x( )=x 2018 , khi đó ta có lời giải như sau:
Ví dụ 8 Cho ( )f x có đạo hàm trên [ ]1;2 thỏa mãn (x+1) ( )f x +x f x ( ) 2′ = e x , ∀ ∈ x [ ] 1;2
I =∫ x f x dx Nhận xét : trước hết ta đi tìm biểu thức u x Ta có( ) ln ( ) x 1 ln ( ) ln ln ( ) ln x ln u x dx u x x x c u x e x c x
⇔ = + nên ta chọn ( )u x =xe x , từ đó ta có lời giải:
Ta có xe f x x ( ) =′ ( ) xe x ′ f x ( ) + xe f x x ( ) ′ = ( e x + xe x ) f x ( ) + xe f x x ( ) ′ = e x ( x + 1 ) f x ( ) + xf x ′ ( )
Ví dụ 9 Cho ( )f x liên tục và có đạo hàm trên ¡ \ { − 1;0 } thỏa mãn (1)f = −2ln 2 và
I =∫ xf x dx Nhận xét : Trước hết ta đi tìm biểu thức u x Ta có( ) ln ( ) 1
+ , từ đó ta có lời giải
(1) 2ln 2 ( 2ln 2) 1 ln 2 1 f = − ⇔ 2 − = − + ⇔ = −c c nên suy ra
I =∫ x+ x+ dx Đặt = + u dv = ln( ( x x + 1) 1) dx ⇒
Phương pháp đổi biến số
Kiến thức sử dụng
Khi thực hiện tích phân, chúng ta có thể thay thế biến số x bằng bất kỳ chữ số nào mà không làm ảnh hưởng đến kết quả Điều này cho thấy rằng tích phân không phụ thuộc vào biến số, cụ thể là: ∫ f(x) dx = ∫ f(u) du = ∫ f(t) dt.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn 2018 ( )f x + − =f( x) e x , ∀ ∈x ¡
Nhận xét: Giả thiết chứa f x và ( ) f(−x), nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt x= −t, từ đó ta có lời giải
= ∫ Đặt x = − ⇒ t dx = − dt , đổi cận : 1 1
Ví dụ 2 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 2
Nhận xét: Giả thiết chứa f x và ( ) 2 f 3 x
, nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt 2 x 3
= t , từ đó ta có lời giải
Ví dụ 3 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ ]0;2 và thỏa mãn
I =∫ f x dx Nhận xét: Giả thiết chứa f x và ( ) f(2−x), nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng cách đặt x= −2 t, từ đó ta có lời giải
I =∫ f x dx Đặt x = − ⇒ 2 t dx = − dt , đổi cận : 0 2
Ví dụ 4 Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x( ) 4 ( ) 2= xf x 2 + x+1, ∀ ∈x ¡
Nhận xét: giả thiết chứa f x và ( ) f x , nên ta biến đổi tạo ra hai biểu thức này bằng( ) 2 cách đặt x t= 2 , từ đó ta có lời giải
I =∫ f x dx Đặt x t = ⇒ 2 dx = 2 tdt , đổi cận : 0 0
Như vậy, từ 4 ví dụ trên ta thấy nếu giả thiết cho mối liên hệ giữa f x và ( ) f u x thì ta ( ( )) đặt x u t= ( ).
Ví dụ 5 Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn f x( 3 +2x− =2) 3x−1, ∀ ∈x ¡
Lời giải Đặt x t = + − ⇒ 3 2 t 2 dx = ( 3 t 2 + 2 t dt ) , đổi cận :
Ví dụ 6 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ − 1;5 ] và thỏa mãn [ f x ( ) ] 2019 + f x ( ) 2 + = x với x ∈ − [ 1;5 ] Tính tích phân
Lời giải Đặt t = f x ( ) ⇒ t 2019 + + = ⇒ t 2 x dx = ( 2019 t 2018 + 1 ) dt Đổi cận:
Ví dụ 7 Biết mỗi số thực t ≥0 phương trình 4x 3 + − =tx 4 0 có nghiệm dương duy nhất
( ) x x t= , với ( )x t là hàm số liên tục theo t trên [ 0;+∞ ).Tính tích phân 7 [ ] 2
Phương pháp tích phân từng phần
Kiến thức sử dụng
∫ ∫ (trong đó ,u vcó đạo hàm liên tục trên K và ,a b là hai số thuộc K).
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn ( 3)f = 3 và
1 f x dx x ∫ + Tính tích phân I = ∫ 0 3 f x ′ ( )ln ( x + 1 + x dx 2 )
Xét I = ∫ 0 3 f x ′ ( )ln ( x + 1 + x dx 2 ) Đặt ln ( 1 2 ) 1 1 2
Ví dụ 2 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên ¡ thỏa mãn 2 (3)f − f(0) 18= và
Ví dụ 3 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ ]1;3 thỏa mãn (3)f = f(1) 3= và
Ví dụ 4 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn 1
Tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân
Kiến thức sử dụng
∫ , dấu đẳng thức xảy ra khi
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;1 Biết
I =∫ f x dx Nhận xét : Giả thiết chứa [ f x ( ) ] 2 và xf x nên ta tạo bình phương dạng ( ) [ f x ( ) − ax ] 2
⇔ ∫ − ∫ + ∫ = ⇔ − 3 2 a + a 3 2 = ⇔ = 0 a 3 Từ đó ta có lời giải
Ví dụ 2 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn 0;
Nhận xét : Giả thiết chứa [ f x ′ ( ) ] 2 và f x nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước ( ) hết ta biến đổi 2
∫ để tạo biểu thức f x′( ) bằng cách đặt
( ) ( ) cos sin u f x du f x dx dv xdx v x
⇒ ∫ = − Đến đây ta được hai biểu thức [ f x ′ ( ) ] 2 và f x ′ ( ).sin x nên ta tạo bình phương dạng [ f x ′ ( ) − a sin x ] 2 Ta chọn a sao cho
( ) sin 0 ( ) 2 sin ( ) sin 0 f x a x dx f x a x f x a x dx π π
( ) 2 sin ( ) sin 0 f x dx a x f x dx a xdx π π π
⇔ + + = ⇔ + ÷ = ⇔ = − Từ đó ta có lời giải
∫ , đặt u dv = = f x cos ( ) xdx ⇒ du v = = sin f x dx ′ x ( )
( ) 2sin 0 ( ) 4sin ( ) 4sin f x x dx f x x f x x dx π π
Ví dụ 3 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ − 1;0 ] Biết f ( 1) − = − 10 7 ;
I =∫ f x dx Nhận xét : giả thiết chứa
và f x nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước ( ) hết ta biến đổi 0 ( )
∫ − để đưa về f x′( ) bằng cách đặt
⇒ ∫ − ′ = Đến đây ta được hai biểu thức
và ( x 2 − 2 x f x ) ′ ( ) nên ta tạo bình phương dạng f x ′ x ( ) − a x ( 3 − 2 x 2 ) 2 , ta chọn a sao cho
⇔ − + = ⇔ = Từ đó ta có lời giải
Ví dụ 4 Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn [ ]0;2 Biết (2) 7f = và
Từ giả thiết ta có 2 [ ] 2 2 4
⇒∫ = − ∫ (*) Đến đây ta có hai biểu thức [ f x ′ ( ) ] 2 và ( ) f x nên ta chưa thể tạo bình phương, do đó trước hết ta biến đổi
∫ để tạo ra ( )f x′ bằng cách đặt 2
Ví dụ 5 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn [ ]0;1 thỏa mãn
I =∫ f x dx Nhận xét : giả thiết chứa [ f x ( ) ] 2 , xf x và ( ) f x nên ta tạo bình phương dạng ( )
[ f x ( ) + ax b + ] 2 , ta chọn a b sao cho , 1 [ ] 2
( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 0 f x dx a xf x dx b f x dx ab xdx a x b dx
⇔ + + + + + = ⇔ + + + + + = Để có a thì ∆ = ( 3 b + 7 ) 2 − 4 3 ( b 2 + 12 b + 13 ) ≥ ⇔ − 0 3 ( b + 1 ) 2 ≥ ⇔ = − ⇒ = −0 b 1 a 2 , từ đó ta có lời giải
( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 4 1 0 f x dx xf x dx f x dx xdx x dx
Ví dụ 8 Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 0;
Nhận xét : giả thiết chứa [ f x ( ) ] 2 , sin ( ) x f x và f x nên ta tạo bình phương dạng ( )
[ f x ( ) + a sin x b + ] 2 , ta chọn a b sao cho , 2 [ ] 2
( ) 2 sin ( ) 2 ( ) 2 sin sin 0 f x a xf x bf x ab x a x b dx π
( ) 2 sin ( ) 2 ( ) 2 sin sin 0 f x dx a xf x dx b f x dx ab xdx a x b dx π π π π π
⇔ − + ≥ ⇔ = − ⇒ = − Từ đó ta có lời giải
( ) 2sin ( ) 2 ( ) 2sin sin 1 0 f x xf x f x x x dx π
( ) 2 sin ( ) 2 ( ) 2 sin sin 1 f x dx xf x dx f x dx xdx x dx π π π π π
Bài tập áp dụng
Bài 1 ( Đề thi thử Sở GD - ĐT Thanh Hóa ) Cho hàm số ( )f x liên tục trên ¡ và thỏa mãn
Bài 2 ( Đề tham khảo BGD năm 2018 ) Cho hàm số ( )f x liên tục, có đạo hàm trên đoạn
Bài 3 ( Đề thi thử ĐH Hồng Đức ) Cho hàm số ( )f x liên tục trên đoạn 0;
( ) 0 cos sin cos xf x dx x x x x π
Bài 4 ( Đề thi thử THPT Hậu Lộc 2 ) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ] 0;1
Bài 5 ( Đề thi thử THPT Chuyên Nghệ An ) Cho hàm số ( )f x có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ]0;1 và (0)f + f(1) 0= biết 1 [ ] 2
Trong năm học 2020-2021, chúng tôi đã tiến hành thực nghiệm sư phạm (TNSP) tại 2 lớp trường THPT Nguyễn Huệ, nhờ sự hỗ trợ từ bộ môn và ban giám hiệu nhà trường.
Năm học Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng
Chúng tôi đã thảo luận và nhận được ý kiến từ các giáo viên trong tổ bộ môn về nội dung các bài dạy TNSP Đã thống nhất nội dung giảng dạy TNSP với việc phân loại các dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn.
Trong lớp thực nghiệm, giáo viên áp dụng giáo án dạy ôn có phân loại các dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn trong 4 tiết học, như đã thống nhất với giáo viên.
Lớp đối chứng: Giáo viên sử dụng giáo án dạy ôn thông thường.
Sau khi hoàn thành chuyên đề thực nghiệm, sẽ tiến hành một bài kiểm tra kéo dài 45 phút, bao gồm 25 câu hỏi trắc nghiệm Nội dung bài kiểm tra tập trung vào các câu hỏi liên quan đến tích phân hàm ẩn, được trích từ đề thi đại học và đề thi thử của các trường từ năm 2017 đến nay.
Bảng 2 Phân loại kết quả kiểm tra (%)
Năm học Phân loại kết quả học tập (%)
% HS đạt điểm yếu kém (Y - K)
% HS đạt điểm trung bình (TB)
TN ĐC TN ĐC TN ĐC TN ĐC
Kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng việc phân loại các dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn hỗ trợ học sinh định hướng rõ ràng hơn trong việc giải quyết bài toán, từ đó giúp các em dễ dàng trả lời các câu hỏi và tránh được sự bế tắc trong quá trình tìm kiếm lời giải.
Học sinh các lớp khảo nghiệm có kiến thức vững vàng hơn và đạt điểm kiểm tra cao hơn so với các lớp thông thường Trong quá trình học, các em thể hiện sự sôi nổi hơn, với tỷ lệ học sinh đạt điểm giỏi cũng cao hơn Thực nghiệm cho thấy việc phân loại các dạng toán liên quan đến tích phân hàm ẩn giúp học sinh nắm vững vấn đề, từ đó nâng cao hiệu quả ôn thi.
Có thể khẳng định rằng việc phân loại các bài toán liên quan đến tích phân hàm ẩn không chỉ khả thi mà còn mang lại hiệu quả cao.
Sau một thời gian nghiên cứu đề tài: “Tích phân hàm ẩn trong đề thi Trung học phổ thông Quốc gia môn Toán”.
Tôi đã thực hiện được những nhiệm vụ đề ra, cụ thể là:
- Đã tổng quan cơ sở lí luận của đề tài nghiên cứu.
- Xây dựng, phân loại và định hướng phương pháp giải các dạng toán tích phân hàm ẩn trong đề thi THPT Quốc gia.
- Tiến hành dạy chuyên đề và đánh giá kết quả đạt được.
- Kết quả kiểm tra thử cho thấy tính khả thi của đề tài và phù hợp giả thiết khoa học.
Hướng đề tài nghiên cứu Tích phân hàm ẩn trong đề thi Trung học phổ thông
Việc nghiên cứu về "Quốc gia môn Toán" là vô cùng cần thiết, giúp học sinh có cái nhìn hệ thống và toàn diện về toán trắc nghiệm, từ đó nâng cao kết quả ôn tập cho kỳ thi THPTQG Mặc dù đề tài này đòi hỏi nhiều công sức và thời gian, nhưng nó mang lại lợi ích lớn trong việc cải thiện trình độ chuyên môn của giáo viên Chúng tôi cam kết tiếp tục phát triển đề tài này trong quá trình giảng dạy theo hướng nghiên cứu đầy đủ và quy mô hơn.
Chúng tôi rất trân trọng sự đóng góp và ý kiến từ thầy cô cùng các đồng nghiệp về hướng nghiên cứu này Xin chân thành cảm ơn sự quan tâm của mọi người! Đăk Lăk, ngày 3 tháng 3 năm 2021.
Một số tài liệu tham khảo:
1/ Các đề thi minh họa và đề thi THPTQG môn Toán năm 2017; 2018; 2019 của Bộ Giáo dục và Đào tạo.
2/ Các đề thi thử THPTQG môn Toán của các trường từ năm 2017 đến năm 2020.
