BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - Phạm Văn Minh PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ KIỂM TRA TÍNH HURWITZ CHẶT VÀ ỨNG DỤNG VÀO THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ TUYẾN TÍNH BẤT ĐỊNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA Hà Nội- 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - Phạm Văn Minh PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ KIỂM TRA TÍNH HURWITZ CHẶT VÀ ỨNG DỤNG VÀO THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU KHIỂN HỆ TUYẾN TÍNH BẤT ĐỊNH Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển Tự động hóa Mã số: 62520216 LUẬN ÁN TIẾN SĨ ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HÓA NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1) TS Nguyễn Cảnh Quang 2) PGS TS Nguyễn Thế Thắng Hà Nội- 2017 PHẦN MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Xây dựng hệ điều khiển cho đối tượng thường dựa vào mô hình Giữa mơ hình đối tượng thật có sai lệch, nhiều nguyên nhân khác như: Phương pháp nhận dạng gần đúng, thông tin thu thập không đầy đủ thời gian thực, xấp xỉ hoá hiệu ứng phi tuyến Sai lệch mơ hình làm giảm hiệu hệ điều khiển Để khắc phục phần ảnh hưởng sai lệch mơ hình gây ra, người ta dùng nhiều biện pháp khác Một phương pháp hiệu kể đến điều khiển bền vững với mơ hình bất định Mơ hình bất định đề cập đến từ kỷ 20, từ xuất cơng trình Kharitonov (1978), đặc biệt khoảng 20 năm trở lại với phát triển thiết bị tính, người ta quan tâm nhiều đến việc phát triển phương pháp điều khiển bền vững với mơ hình bất định ứng dụng loại điều khiển bền vững vào toán thực tế Có thể tìm thấy nhiều ví dụ ứng dụng mơ hình bất định tài liệu [12, 27, 32, 42, 65, 77] Mơ hình bất định thực chất tập gồm phần tử Các phương pháp phân tích thiết kế hệ với mơ hình bất định gặp khó khăn phải xét phần tử tập mơ hình Đây khó khăn thuộc chất dùng mơ hình bất định Các phương pháp có để nghiên cứu hệ điều khiển bền vững cho đối tượng có thơng số bất định khắc phục khó khăn chất số trường hợp đơn giản cấu trúc bất định dạng khoảng hay dạng tuyến tính với thơng số bất định Q dạng hộp Vì cần có phương pháp thích hợp để dùng cho trường hợp phức tạp Trong luận án NCS chọn hướng nghiên cứu nhằm đưa phương pháp xác định tham số tối ưu cho điều khiển áp dụng cho hệ SISO tuyến tính có thơng số bất định đảm bảo thỏa mãn tính ổn định bền vững số tiêu chất lượng, khắc phục phần khó khăn chất Hướng nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng lĩnh vực ứng dụng mơ hình bất định vào điều khiển đối tượng thực Mục tiêu luận án Mục tiêu luận án là: Phát triển phương pháp nhằm khắc phục phần khó khăn sử dụng mơ hình có thơng số bất định với cấu trúc dạng đa thức tập thông số bất định dạng hộp Phương pháp áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt để xác định tham số điều khiển bền vững cho lớp hệ SISO tuyến tính có thơng số bất định đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định số tiêu chất lượng đề Đối tƣợng phƣơng pháp nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu hệ thống điều khiển bền vững có mơ hình tuyến tính với thơng số bất định - Phương pháp nghiên cứu: Qua tìm hiểu phương pháp có tìm khó khăn gặp phải xét mơ hình tuyến tính với thơng số bất định, tìm cách khắc phục phần khó khăn Tinh thần phương pháp minh hoạ số ví dụ, có ví dụ xuất phát từ toán thực tế Nội dung Nội dung nghiên cứu sau: - Các phương pháp xét ổn định bền vững, số tiêu chất lượng hệ - Các phương pháp thiết kế điều khiển bền vững có, khó khăn gặp phải đề nghị cách khắc phục phần khó khăn - Các phương pháp đưa toán thiết kế điều khiển bền vững cho đối tượng có mơ hình tuyến tính với thơng số bất định dạng toán tối ưu dạng qui hoạch nửa vô hạn (semiinfinite programming), đảm bảo ổn định bền vững số tiêu chất lượng đặt trước Đề nghị phương pháp tìm nghiệm toán cho thoả mãn chặt ràng buộc chứa thông số bất định nhờ dùng khái niệm “một trị cực tiểu non” Phương pháp minh họa qua số ví dụ kiểm nghiệm kết qua mô nhờ phần mềm Matlab Ý nghĩa khoa học giá trị thực tiễn luận án Đề tài nghiên cứu luận án có ý nghĩa quan trọng lĩnh vực ứng dụng mơ hình bất định vào điều khiển đối tượng thực Ý nghĩa khoa học giá trị thực tiễn luận án thể qua việc phát triển phương pháp phủ tuyến tính để xác định trị cực tiểu non MuN cực tiểu toàn thể M g( q), dạng g(q ) m i gi L j m ij qj q Q, với g (q) đa thức Q dạng hộp Trị cực tiểu dùng để giải tốn: - Kiểm tra tính thực dương chặt hàm g (q) dạng đa thức Q dạng hộp - Kiểm tra thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững cho hệ thống có mơ hình tuyến tính với cấu trúc bất định dạng đa thức Q dạng hộp - Xác định tham số điều khiển bền vững nhờ đưa toán tối ưu tốn qui hoạch nửa vơ hạn đề nghị phương pháp tìm nghiệm thoả mãn chặt điều kiện ổn định chất lượng dạng đại số Những kết góp phần vào việc khắc phục khó khăn dùng mơ hình có thơng số bất định Do làm cho việc ứng dụng loại mơ hình vào toán thực tế dễ dàng Điểm luận án Qua nghiên cứu hệ điều khiển bền vững có mơ hình tuyến tính với thông số bất định, tác giả luận án đưa đánh giá tổng quan phương pháp xét ổn định bền vững chất lượng phương pháp thiết kế điều khiển bền vững Luận án có đóng góp mới, cụ thể như: - Phát triển phương pháp phủ tuyến tính để xác định trị cực tiểu non MuN cực tiểu toàn thể M g(q ) với g (q) dạng đa thức Q dạng hộp Luận án xây dựng thuật toán để xác định trị cực tiểu non tiệm cận MuN Tính tiệm cận đánh giá sai số gặp phải xét qua định lý - Dùng trị cực tiểu non MuN để kiểm tra tính dương chặt hàm g (q) dạng đa thức Q dạng hộp Do M uN ứng dụng để kiểm tra thoả mãn chặt điều kiện ổn định bền vững dạng đại số để tìm nghiệm tốn qui hoạch nửa vô hạn - Đưa việc xác định tham số điều khiển bền vững toán tối ưu dùng qui hoạch phi tuyến qui hoạch nửa vơ hạn nên có điều kiện để xét tính ổn định bền vững số tiêu chất lượng bám tiệm cận đầu vào, trình độ tắt với hệ số tắt lớn (tối ưu theo nghĩa trình độ tắt nhanh nhất), dải bất định lớn - Xây dựng thuật toán dùng MuN ( x ) thay cho M( x ) để tìm nghiệm tốn qui hoạch nửa vơ hạn nghiệm tìm đảm bảo thoả mãn chặt ràng buộc chứa thông số Chọn phương pháp hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo MuN ( x ) tính số để tìm nghiệm tốn qui hoạch nửa vơ hạn Tính tiệm cận sai số gặp phải tốn xét tới thơng qua định lý Một số ví dụ minh họa trình bày Một số kết luận án công bố hội nghị khoa học kỹ thuật tạp chí như: Tạp chí KH&KT Quân học viện KTQS số 173 (2015), số 175 (2016) Hội nghị quốc tế Điện-Điện tử 2016 (Regional conference on Electrical and Electronics Engineering- RCEEE 2016) Trị cực tiểu non tiệm cận M uN đề nghị áp dụng để xét ổn định bền vững xác định tham số tối ưu điều khiển cho trường hợp: Hệ điều khiển bền vững có mơ hình tuyến tính liên tục SISO có thơng số bất định với cấu trúc dạng đa thức thông số bất định q Q dạng hộp Bố cục luận án Bố cục luận án: Ngoài phần mở đầu, kết luận phụ lục, nội dung luận án chia thành chương: Chương 1: Tổng quan hệ điều khiển bền vững với đối tượng có mơ hình bất định Chương trình bày vắn tắt khái niệm mơ hình bất định điều khiển bền vững cho hệ SISO với mơ hình tuyến tính có cấu trúc thơng số hố (mơ hình tuyến tính có thơng số bất định), mơ hình khơng có cấu trúc, cấu trúc hệ điều khiển bền vững, ví dụ minh hoạ Đồng thời giới thiệu vấn đề ổn định bền vững thiết kế điều khiển bền vững Chương 2: Xác định trị cực tiểu non ứng dụng để kiểm tra ổn định bền vững hệ tuyến tính có thơng số bất định Sau trình bày tổng quan ổn định bền vững, chương đưa định nghĩa trị cực tiểu non sau trình bày phương pháp xác định trị cực tiểu non tiệm cận MuN trị cực tiểu toàn thể M g( q), q Q sử dụng MuN vào toán kiểm tra ổn định bền vững, lập thuật toán tính MuN có đánh giá tính tiệm cận sai số gặp phải đưa Chương trình bày số ví dụ tính MuN dùng để kiểm tra tính ổn định bền vững Chương 3: Thiết kế điều khiển bền vững cho đối tượng với mơ hình tuyến tính có thơng số bất định Chương trình bày tổng quan toán thiết kế điều khiển bền vững, giới thiệu sơ lược phương pháp thiết kế có để khác biệt phương pháp đề xuất đưa khả ứng dụng cực tiểu non trình bày chương vào tốn thiết kế điều khiển bền vững cho hệ thống tuyến tính có đối tượng với thơng số bất định thơng qua việc thiết lập giải tốn tối ưu dạng qui hoạch nửa vơ hạn Nghiệm tìm thỏa mãn chặt ràng buộc từ điều kiện ổn định số tiêu chất lượng Một số ví dụ minh họa trình bày CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ HỆ ĐIỀU KHIỂN BỀN VỮNG VỚI ĐỐI TƢỢNG CĨ MƠ HÌNH BẤT ĐỊNH Trong chương NCS trình bày số khái niệm mơ hình bất định, hệ điều khiển bền vững cho đối tượng với mơ hình tuyến tính có thơng số bất định 1.1 Hệ điều khiển bền vững dựa mơ hình bất định Xây dựng hệ thống điều khiển (HTĐK) cho đối tượng thường dựa vào mô hình, tuỳ vào đặc điểm đối tượng người ta sử dụng loại mơ hình thích hợp, mơ hình đối tượng thật có sai lệch nhiều nguyên nhân như: Thông tin không đầy đủ, phương pháp nhận dạng gần đúng, tác động nhiễu, tuyến tính hóa khâu phi tuyến sai lệch mơ hình làm giảm hiệu hệ điều khiển Dùng mơ hình bất định (MHBĐ) việc xây dựng hệ điều khiển bền vững biện pháp hiệu để khắc phục ảnh hưởng sai lệch mơ hình đối tượng 1.1.1 Mơ tả đối tƣợng điều khiển nhờ mơ hình bất định Mơ hình bất định trình bày dạng tập mơ hình (P 0, P), đó: Mơ hình chuẩn P (Nominal model) xây dựng từ thông tin xác định, sai lệch P thiếu thông tin dùng phương pháp nhận dạng gần gây Sai lệch mơ hình thường khơng biết chắn từ trước, việc phân tích thiết kế hệ thống điều khiển cần đến đánh giá định lượng sai lệch lượng thường dạng bị chặn (bounded) dạng thích hợp | P|, || P|| , P Việc đánh giá định P (ví dụ: dạng chuẩn ( ) , …) dạng tập biến thiên thông số Để lập mơ hình bất định người ta tiếp cận theo cách: Mơ tả mơ hình đối tượng dạng bất định có cấu trúc bất định khơng có cấu trúc Dưới ta xét hệ SISO liên tục, tuyến tính có hệ số khơng biến thiên theo thời gian (hệ số hằng) 1.1.1.1 Mơ hình bất định có cấu trúc Khi dựa vào chất vật lý yêu cầu công nghệ đối tượng, bước nhận dạng ta xác định cấu trúc mơ hình (Có nghĩa biết bậc tử số mẫu số hàm truyền mơ hình tuyến tính), ta dùng mơ hình tuyến tính có hệ số khơng biến thiên theo thời gian thơng số hóa độ bất định ta có mơ hình với thơng số bất định Khi thơng tin định lượng sai lệch mơ hình P thể dạng tập biến thiên Q thông số bất định q xuất hàm truyền đối tượng Hình hình 1.1 mơ hình đối tượng P (s ,q ) chứa thông số bất định q công thức (1.1) : Đối tƣợng điều khiển u y P (s ,q ) Hình 1.1: Đối tượng với hàm truyền chứa thơng số bất định Trong hình đó: - u tín hiệu điều khiển đối tượng - y tín hiệu đối tượng Hàm truyền đối tượng có dạng: mp N P s,q P s, q D P s, q k np i k q sk i q si vector q véc tơ thông số bất định q (1.1) q1 , q2 , ,q j , , qL T ; j L biến thiên độc lập tập Q q RL q Q (1.2) Tập Q có số dạng, ví dụ: l p-hypersolid (xem (2) [40]): Q q q, q L 0 qj qj p p (1.3) wj j q 0j giá trị chuẩn củaq j ; w j số trọng Với p , số thể q, q chuẩn cỡ l p biên độ sai lệch từ q tới q , trường hợp p=2 ta có độ bất định, siêu cầu (hypersphere) có tâm q , p= tập bất định Q có dạng hộp (box, hypercube) Q q qj qj (1.4) qj Với ký hiệu: qj q j ; q j max q j (1.5) Mơ hình với thơng số bất định mơ tả dạng hệ phương trình trạng thái phương trình đầu ra: z y A( q )z c( q )z b( q )u ; q Q (1.6) Trong đó: z1,z z n T - z véc tơ biến trạng thái z - u tín hiệu vào đối tượng - y tín hiệu đối tượng - A q ; b q ; c q ma trận, véc tơ hệ số chứa thơng số bất định Các ví dụ 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 có đối tượng mơ tả dạng mơ hình bất định (MHBĐ) có cấu trúc, thơng số hóa nhờ thơng số bất định Ở bước nhận dạng đối tượng, ta phải xác định bậc tử số mẫu số hàm truyền dạng (1.1) hay phương trình trạng thái (1.6) tập bất định Q Với mơ hình bất định thơng số dạng (1.1) phương trình ràng buộc gi ( x, q), i 1,2,3,4 xác định từ đa thức đặc trưng (VD4.6-4) gồm: g1 ( x, q) 0.1 x2 0.01 x4 0.1 x4 q1 g2 (x, q) 0.01x1 x2 0.001 x2 x3 1.01 x2 0.001 x1 x4 0.1x2 0.01x2 x3 0.1x2 0.02x4 q1 q2 0.01 x1 x22 11 10 g3( x, q) 0.22 x4 0.01x1 x4 0.0001 x3 x4 0.002 x3 x4 q1 0.01 x2 0.001 x4 q2 0.01 x3 x4 q12 0.1 x4 q12 q2 1.1 x4 2 x2 x3 1.1312 x2 1.2 10 x1x42 88 10 x1 x2 x4 0.0123 x2 x4 1.12 10 10 x2 x3 x4 0.0314 x22 10 x2 x3 x4 012x1x2 x4 0.12 x22 10 5 10 0.012 x22 x3 4 10 x2 x3 x4 x2 x4 10 0.14 x22 10 x2 x3 x4 0.002 x1 x2 x4 10 10 x 2x 0.004 x22 q1 q22 10 x1 x2 x4 x2 x3 0.0013 x2 x4 10 x 22 x3 0.0302 x2 x4 0.328 x22 10 0.0036 x1x42 1.496 x2 x4 q12 0.0024 x2 x3 x4 0.0076 x1 x2 x4 1.324 x22 0.0124 x 22x3 0.2596 x2 x4 3.6 10 x1 x42 q1 10 x1x42 q1 q2 0.011 x4 x1 x4 q2 x1 x2 x4 0.0136 x2 x3 x4 2 x2 q2 0.002 x22 x3 2 x1 x4 0.202 x2 x4 1q q2 0.006 x2 x4 0.02 x22 q12 q22 0.012 x 2x3x4 1.32 x2 x4 0.012 x1 x42 q13 0.002 x2 x3 x4 0.34 x2 x4 0.002 x1x42 q13 q2 0.02 x2 x4 q13 q22 g4 ( x, q) 0.12 x1 1.2 x1 q1 0.02x1q2 0.2 x1 q1 q2 Tìm nghiệm tốn tối ưu bị ràng buộc nhờ thuật toán từ điểm khởi phát: xˆ 200 , 300 , 5600 , 5200 T ta có nghiệm: xuN 217.5 , 317.5 , 5617.5 , 5217.5 điều khiển cần tìm R x TuN T 217.5 , 317.5 , 5617.5 , 5217.5 làm hệ ổn định bền vững với q Q , đồng thời công suất tổn hao xung quanh giá trị danh định R0 cho (VD4.6-3) nhỏ Sử dụng MatLab-Simulink để mô ta thu kết cho hình 3.10 Từ kết mô thu ta thấy với thông số bất định q1 q2 xác định, biến trạng thái (đầu ra) hệ cho tiến tới trạng thái xác lập Nói cách khác hệ thống cho ổn định Giữ nguyên R , thay đổi thông số bất định q Q tập Q (tất nhiên với số hữu hạn điểm qh Q ), ta thấy biến trạng thái tiến tới trạng 92 thái xác lập Vì ta kết luận hệ thống với hồi tiếp trạng thái R xác định ổn định bền vững z3 z4 z2 z1 Hình 3.10: Đáp ứng biến trạng thái với số giá trị q 3.3 q biến thiên tập Q Kết luận chương Sau trình bày vắn tắt tổng quan toán thiết kế hệ điều khiển bền vững, chương trình bày việc xác định tham số điều khiển bền vững cho hệ SISO tuyến tính có thơng số bất định đưa thành tốn qui hoạch nửa vơ hạn dạng (A) dạng (B) Sử dụng trị cực tiểu non tiệm cận M uN (đã trình bày chương 2) để đưa toán dạng (A) (B) dạng (UN) giải toán (UN) nhờ thuật toán Nghiệm tìm tốn (xác định tham số điều khiển bền vững) thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững số chất lượng kèm theo, đồng thời tối ưu theo nghĩa cực tiểu hóa hàm mục tiêu gắn với trường hợp cụ thể Phương pháp thể qua thuật toán 2, tính tiệm cận sai số thiết lập thơng qua định lý Một số ví dụ minh họa trình bày chương 93 Kết luận kiến nghị Trong luận án này, tác giả đưa đánh giá tổng quan phương pháp xét ổn định chất lượng phương pháp Thiết kế điều khiển bền vững cho hệ SISO với đối tượng có mơ hình tuyến tính có thơng số bất định Luận án có đóng góp sau: a) Phát triển phương pháp phủ tuyến tính để xác định trị cực tiểu non MuN cực tiểu toàn thể M g (q ) với g (q) dạng đa thức Q dạng hộp Luận án xây dựng thuật toán để xác định trị cực tiểu non tiệm cận MuN Tính tiệm cận đánh giá sai số gặp phải xét qua định lý b) Dùng trị cực tiểu non MuN để kiểm tra tính dương chặt hàm g (q) dạng đa thức Q dạng hộp Do MuN ứng dụng để kiểm tra thoả mãn chặt điều kiện ổn định bền vững dạng đại số để tìm nghiệm tốn qui hoạch nửa vơ hạn c) Đưa việc xác định tham số điều khiển bền vững toán tối ưu dùng qui hoạch phi tuyến qui hoạch nửa vơ hạn nên có điều kiện kể đến ổn định bền vững số tiêu chất lượng bám tiệm cận đầu vào, trình độ tắt với hệ số tắt , tối ưu theo nghĩa trình độ tắt nhanh nhất, dải bất định lớn d) Bài toán qui hoạch nửa vơ hạn đưa tốn qui hoạch phi tuyến, cách dùng MuN x thay cho M x nên đảm bảo thoả mãn chặt ràng buộc chứa thông số Chọn phương pháp hàm phạt sử dụng trực tiếp độ đo MuN x cho số để tìm nghiệm tốn qui hoạch nửa vơ hạn Tính tiệm cận sai số gặp phải xét tới nhờ định lý Những kết minh hoạ kiểm nghiệm qua số ví dụ Một số kết luận án công bố hội nghị khoa học kỹ thuật tạp chí như: Tạp chí khoa học kỹ thuật trường đại học-Đại học Bách Khoa Hà Nội 94 2012, Tạp chí Khoa học kỹ thuật-Học viện Kỹ Thuật Quân Sự số 173(12-2015), số 175(4-2016) Hội nghị quốc tế điện-điện tử 2016 Trị cực tiểu non tiệm cận M uN đề nghị áp dụng để xét ổn định bền vững xác định tham số tối ưu điều khiển cho trường hợp: Hệ tuyến tính liên tục có thơng số bất định với cấu trúc dạng đa thức Q dạng hộp Phương pháp nghiên cứu ứng dụng cho trường hợp khác như: Hệ liên tục nhiều chiều (hệ MIMO), hệ rời rạc, hệ phi tuyến xét với tiêu chuẩn ổn định, chất lượng dạng tần số 95 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA LUẬN ÁN [1] Phạm Văn Minh (2015), Kiểm tra ổn định bền vững hệ tuyến tính với hàm truyền có thơng số bất định nhờ sử dụng toán tối ưu, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, số 173(12-2015)-Học viện KTQS, pp.73-79 [2] Phạm Văn Minh (2016), Sử dụng toán tối ưu kiểm tra ổn định bền vững cho hệ tuyến tính với phương trình trạng thái có chứa thơng số bất định, Tạp chí Khoa học kỹ thuật, số 175(4-2016)-Học viện KTQS, pp.3-11 [3] Minh Pham Van, Thang Nguyen The, Quang Nguyen (2016), An asymptotic method to test strict positive realness of a polynomial function over a box, Proceedings of the 9th Regional conference on Electrical and Electronic Engeneering-RCEEE 2016, №vember 17-18, 2016, pp.417-421 [4] Le Thanh Trung, Nguyen The Huan, Vu Duc Thuan, Vu Dang Thuy, Pham Van Minh, Bui Dang Thanh (2016), Reseach and design of multivariable feedback controller for the boiler water level in the thermal power plant, EPU Jounrnal of science and technology for energy, Electric Power University, №.11, 11-2016, pp.3343 [5] Phạm Văn Hùng, Phạm Văn Minh (2017), Điều khiển ổn định hệ nồi hơi-tuabin sử dụng điều khiển dự báo mơ hình phi tuyến, Tạp chí Khoa học & Công nghệ Trường Đại học Công nghiệp Hà Nội, số 38 (02/2017), pp.117-120 96 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Bùi Minh Trí (2001): “Qui hoạch tốn học”, NXB KHKT [2] Nguyễn Doãn Phước, Phan Xuân Minh (1999): “Điều khiển tối ưu bền vững”, NXB KHKT [3] Nguyễn Thế Thắng (1996): “Robust controller cho hệ có thông số bất định”, tuyển tập báo cáo khoa học VICA-2, pp.153-157 [4] Nguyễn Thế Thắng, Trần Văn Tuấn, Phạm Văn Minh (2002): “Một phương pháp phủ tuyến tính cho lớp tốn với ràng buộc có chứa thông sô”, VICA-5, pp.367373 [5] Nguyễn Thế Thắng, Trần Văn Tuấn, Phạm Văn Minh (2005): “Thiết kế điều khiển bền vững cho lớp hệ tuyến tính có thơng sô bất định”, VICA-6, pp.530-540 [6] Nguyễn Thế Thắng, Trần Văn Tuấn, Trần Thị Thảo, Lê Văn Hoà, Phạm Văn Minh (2005): “Kiểm tra ổn định hệ phi tuyến nhờ mơ hình tuyến tính hố với thơng số bất định” Tuyển tập báo cáo khoa học-HN KHKT Đo lường toàn quốc lần thứ (VMI4), pp 219-222 [7] Phạm Văn Minh, Hoàng Duy Khang-Trường ĐHCNHN, Nguyễn Thế Thắng-Trường ĐHBKHN (2012), Một phương pháp giải tích tiệm cận để phân tích ổn định bền vững cho hệ thống tuyến tính có thơng số bất định, Tạp chí Khoa học cơng nghệ trường đại học kỹ thuật số 89, pp.13-19 Tiếng Anh [8] A.C Barlett; C.V Hollot; L Huang (1998): “Root location of an entire polytope of polynomial: it suffice to check the edges”, Mathematics of control, signal and systems Vol 1988, pp 61-17 [9] A Rantzer: “Stability conditions of polytope of polinomials”, IEEE trans Aut.control Vol AC-37 №1, pp.79-89, 1992 [10] Bandler J.W (1984): “Optimization of design tolerances using nonlinear programming” J Optim Theory & Applycation 14(1) 99-114 [11] Barmish BR (1989): “A generalization of Kharitonov’s four polynomial concept for robust stability problems with linear depemdent cofficient pertubations” IEEE trans Aut Conntrol Vol 34, pp.157-165, Feb 1989 97 [12] Barmish BR (1994): “New tools for robustness of linear systems”, Macmillan publishing company ISBN 0-02-306005-7 New York [13] Bhattacharyya; H Chapellat and Kul (1995): “Robust control: The parametric approach”, Printice Hall [14] Chen C.L and N Munro (1991): “Calcutation of the lagest generalized stability hypersphere in the robust stability problem for the maximum setting-time and minimum damping ratio cases”, IEEE trans on automation control Vol AC 34, pp.314-318 [15] Dahleh MA, IJ Diaz BObilo (1995): “Control of uncertain systems a linear programming approach, Printice Hall [16] Deren Han (2004): “Global optimization with polynomials (A review)”, Natioanal university [17] Didier Henrion (2010): “Polynomial Analysis” henrion@laas.fr EECI Graduate School on Control Sup_elec - Spring 2010 [18] D.Herion, JB Lassere (2006): “Convergent relaxtion of polynomial matrix inequalities and static output feedback”, IEEE trans AC Vol 51, No.2, pp.192-202, February 2006 [19] D.Herion, JB Lassere, Johan Loefberg (2009): “GloptiPoly 3- moments, optimization and semidefinite programming”, Optimization Methods and Software, Vol 24, №s 4-5, pp 761-779, 2009 [20] E N Pistikopoulos, Amparo Galindo, Vivek Dua (2007): “Multi-Parametric Programming: Theory, Algorithms and Applications, Volume 1”, Wiley Verlag 2007 [21] E R Panier and A.L Tits: “A globally convergent algorithm with adaptively refined discretization for semi-infinite optimization problems arising in engineering design” This research was supported by the national science foundation under grant № DMC-84-20740 and CDR-85-00108, Technical Report, 1988 [22] Figuroa J.L and J.A Romagloni (1994): “An algorithm for robust pole assigment via polynomial approach”, IEEE trans on AC Vol AC 39, pp.831-835 [23] G Chesi; A Garulli; A Tasi; A Vicino (2005): “Polynomially parameter dependent Lyapunov function for robust stability of polytopic systems: an LMI approach”, IEEE transaction on automatic control 50(4-1), pp.365-370 [24] G Chesi (2010): “LMI Techniques for optimization over survey polynomials in control: A survey”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol.55, №.11, pp.2500-2510, 2010 98 [25] Garloff J (1993): “The Bernstein algorithm interval”, Computation Vol 2, N06, pp.154-168 [26] Goh K.C, Safonov M.G (1995): “Global optimization for the Biaffine matrix inequalitiy problem”, Jounal of Global optimization 7, pp.365-380, 1995 [27] Grimbele M J (1994): “Robust Industrial control-optimal design approach for polynomial systems”, Printice Hall International (UK) limited [28] H.Chapellat; Bhattacharyya (1989): “A generalization Kharitonov ’s theorem of robust stability of interval plants”, IEEE trans Autom control Vol AC-34 №3, pp.306-311 [29] Hanpern ME, RL Evans and RD Hill (1995): “pole assigment with robust stability”, IEEE trans on AC Vol AC 40, pp.725-729 [30] I.Sekaj, V.Vesely (2002): “Robust output feedback controller design Via genetic algorithm”, IFAC Proceedings Vol.35, Issue 1, pp.413-418, 2002 [ 31] I.Sekaj, M Sramek (2005): “Robust controller design based on genetic algorithm and system simulation”, 44th IEEE conference 2005, Seville Spain, Dec.12-15, pp.68816886, 2005 [32] J Ackerman (1993): “Robust control systems with uncertain physical parameters” Spriger-Verlag London [33] J.-B Lassere (2006), “A sum of squeres approximation of nonnegative polynomials”, SIAM Journal of otimization, Vol.16, pp 761-765, 2006 [34] J.-B Lassere (2001), “Global optimization with polynomials and the problems of moment”, SIAM J Opt 11(3): 796-817, 2001 [35] J Heller (2016): “Gprosolver: A matlab/C++ Toolbox for global polynomial optimization version 1.2” Optimization Methods and Software, 2016 - Taylor & Francis [36] J Kogan (1995): “robust stability and convexity” Springer-Verlag [37] Kminsky R.D, Djaferris (1994): “A noval approach to the analysis and systhesis of the controller for parametically uncertain systems”, IEEE trans on AC Vol AC 39, pp.1524-1530 [38] L.H keel and S.P Bhattachayya (1994): “Robust parametric classical control design”, IEEE trans on AC Vol AC 40, N 7, pp., July 1994 [39] Masakaza Kojima (2010), Tokyo intitute of technology: “SOS and SDP relaxation of polynomial optimization problems”, his lecture at National Cheng-Kung University, Tainan, november 2010 99 [40] M.Bozorg (1997): “An Introduction to Polynomial Approach to Robust Control”, Taken from: M Bozorg, “Robust Control: Structured Uncertainties in Linear Systems,” Ph.D Thesis, Dept of Mechanical and Mechatronic Engineering, The University of Sydney, Sydney, Australia [41] M Bozorg (2003): "Stability and control of linear systems with multilinear uncertainty structure", Scientia Iranica, vol 10, no.1, Winter 2003, (Abstract), (PDF- Preliminary version) [42] M.Green, Limebeer (1995): “Linear robust control”, Printice Hall Int Edition [43] M Hypiusova, S Kajan, (2010): “Comparision of Robust controller design methods”, International Cycbnetics and Information, Feb.10-12, 2010 [44] Neimark K Y (1949): “Stability of linearized systems” Leningrad Aeronautical enginearing academy, Leningrad USSR [45] Nguyen The Thang and Le Van Bang (1982): “Algorithm for parameter optimization problems of nonlinear discrete systems”, Proceeding of the fifth international conference on analysis and optimization of the systems, Versailes (France) Dec.1417.Lecture note in control and information sciences 44, pp.869-884, 1982 [46] NZ Shor (1987): “Class of globalminimum bound of polynomial functions”, Cycbernetics, pp.731-734, 1987 [47] Pablo A Parrilo (2003): “Semidefinite programming relaxation for semialgebrate problems”, Math Program., Ser.B 96 (2003), pp.293-320 [48] Petr Husek (2008): “System, Structure and Control”, chapters pp 111-128, © 2008 In-teh www.in-teh.org Additional copies can be obtained from: publication@arsjournal.com First published August 2008, Printed in Croatia [ 49] Pierangelo Masarati (2015): “Giuseppte Quarante Robust stability of Aerolastic systems using -Method and Nyquyst criterion”, 8th Ankara international Aerospace conference Sept 10-12, 2015 [50] Polak E Mayner D Q (1976): “An algorithm for optimization problems with functional inequality constraints”, I.E.E.E trans.on automatic control, Vol AC-21, N o2, pp.184-193, April 1976 [51] Polak E (1979): “Algorithm for a class of computer aided degign problems” A review, Automatica, Vol.15, pp.531-538, 1979 [52] Polak E Mayner D Q ; Stimler P.M: “Control system design Via semi-infinite optimization”: A review Proceeding of I.E.E.E 72 No 12, pp.1777-1794, 1984 100 [53] Poljak B.T and Kogan J (1995): “Necessary and sufficient for robust stability of linear systems with multiaffine uncertainty structure” IEEE trans on Aut control AC-40 pp.1255-1260, 1995 [54] RCL.F Oliveira, VIS leite.MC de Oliveira and PLD peres (2005): “An LMI characterization of polynomial parameter dependent Lyapunov function for robust stability”, Proceeding of the 44 th IEEE conference, Serville Spain, 2005 [55] Rotstein, H.; Pena, R Sanchez; Desages, A.; Romagnoli, J (1991): “Robust Characteristic Polynomial Assignment”, Automatica (Journal of IFAC) Volume 27 Issue 4, pp.711-715, July 1991 [56] R.K Yedavalli (1989) Sufficient conditions for stability of interconnected dynamic systems Journal of information and Decition Technologies, 15(2), pp.133-142, 1989 [57] R.K Yedavalli (2014) Robust control of uncertain dynamic systems: Alinear state space approach DOI 10.1007/978-1-4614-9132-3_2, © Springer science+Bussiness Media, LLC 2014 [58] Saleh S.J, BR.Barmish and I.R Peterson (1993): “Synthesis of robust controller with few degrees of freedom for systems with structured real parametric uncertainty”, Processding of 12th IFAC world congress Sydney Australia Vol 1, pp.19-22, 1993 [59] S Kajan, M Hypiusova (2011): “Robust controller design using genetic algorithm”, ATP Jounal plus №.1, Automatic control system ISSN 1336-5010, pp.18-21, 2011 [60] S Kajan, M Hypiusova (2013): “Genetic and Robust controller design methods for uncertain SISO system”, 21th Anual conference proceedings, Technical Computing Prague 2013, pp.135-144, 2013 [61] Svetoslav Savov, Ivan Popchev (2009): “Relaxed robust stability analysis”, Comptes rendus de l’Academie Bulgare de sciences, Tom 62 N08-2009 [62] Siljak D.D and Stipanovics D.M (1999): “Robust D stability Via positivity”, Automatica Vol 35, N0 8, pp.1477-1484, 1999 [63] Siljak D.D (1978) LagerRobust scale systems: Stability and structure №rth Holland, 1978 [64] Stoyan Kanev, Carsten Scherer, Michel Verhaegen, Bart De Schutter (2004): “Robust output-feedback controller design via local BMI optimization”, Automatica, Vol.40, №.7, pp 1115-1127, 2004 [65] Th.E Djaferis (1995): “Robust control design: A polynomial approach”, Kluwer academic Publishers 101 [66] Teboulle M and Kogan (1994): “Applycation of optimization methode to robust stability of linear systems”, Journal of optimization theory and applycation Vol 81, pp 169-192, 1994 [67] Tempo R (1990): “A dual result to Kharitonov’s theorem”, IEEE trans Aut Conntrol Vol AC-35, №.2, pp.195-198, 1990 [68] Tsypkin Y.Z and B.T Polyak (1991): “Frequency domain criteria for lp robust stability of continuous linear systems” IEEE trans On Automatic control Vol AC 36 pp.14641469, 1991 [69] V L Kharitonov (1978): “Asymptotic stability of an equilibrium position of a family of systems of differential equation”, Differentialnye Uravniya Vol.11, pp.2086-2088 [70] Wang I, Yu.S (2001): “On robust stability of polynominal and robust strict positive realness of transfer function”, IEEE trans on circuits and systems part 1, CAS 48, pp.127-128, 2001 [71] Y Kuroiwa (2011): “A necessary and sufficient condition of global positivity on shift realizable multivariate polynomial by LMI” Preprints of the 18 th IFAC world congress Milalo (Italy) August 28-September 2-2011 [72] Yu.I Neimark (1998): “D partition and robust stability”, computational mathematics and modelling, Vol N 2, pp.160-166 [73] Yasuaki Oishi and Teodoro Alamo (2011): “Robust Semidefinite Programming Problems with General №nlinear Parameter Dependence: Approaches Using the DCRepresentations”, Preprints of the 18th IFAC wold congress Milane (Italy) August 28September 2-2011 [74] Yeng C Soh, Robin J Evans (1989): “Characterization of robust controller”, Automation Vol 25 N 1, pp 115-117, 1989 [75] Yeng C Soh, L Xie and Kfoo (1994): “Maximum perturbation bound for pertubed polynominals with roots in left sector”, IEEE trans on circuit and systems, Vol CAS 41, pp.281-285, 1994 [76] Yuwensheng Wanglong, Jiergen Ackermann (2004): “Robust strictly positive real synthesis for polynomial families of arbitrary order”, Science of china Ser F Information science Vol 47, N0 4, pp.475-489, 2004 [77] Z.E Morari M (1989): “Robust process control”, Prentice Hall [78] Zadel L.A and Desoer CA (1963): “Linear systems theory”, Macgrow Hill book Co.New York, 1963 [79] Zettler, M.; Garloff, J (1998): “Robustness analysis of polynomials with polynomial parameter dependency using Bernstein expansion”, Automatic Control, IEEE Transactions on, Vol.43 Issue:3, pp 425 – 431, Mar 1998 102 Phụ lục Ảnh hƣởng việc “rời rạc hóa” (discretization) q thơng số bất định Q tần số [0, ) Điều kiện ổn định hệ tuyến tính hệ số khơng biến thiên theo thời gian có thơng số bất định dẫn tới phải vẽ đặc tính tần j , q G j ,q với dùng tiêu chuẩn tần số, phải xét tính dương g q với q Q [0, ) q Q dùng tiêu chuẩn đại số Trên thực tế để kiểm tra điều kiên ổn định nêu ta phải “băm” (discretization) nhát băm ta xét điểm biến q số hữu hạn điểm q h Q h [0, xét ) [10, 21, 40, 48, 50, 51, 52, 65] Việc rời rạc hố bỏ sót điểm nguy hiểm điều kiện ổn định không thoả mãn, điều gây nguy hiểm cho việc vận hành hệ thống Vì cần có biện pháp khắc phục ảnh hưởng việc “băm” Khi xác định MuN ta không “băm” mà chia Q thành NL tập nhỏ Qh, xét điểm q Q nên khơng bỏ sót điểm q Q Dưới xét số trường hợp mà việc “băm” dễ bỏ sót điểm nguy hiểm: Về nguyên tắc từ điều kiện ổn định ta xây dựng miền ổn định không gian thông số từ kiểm tra j ,q có ổn định miền Q không? Tuy điều thực trường hợp thông số việc vẽ miền ổn định phức tạp, thực tế vẽ miền ổn định không gian Q ta phải “băm” Q xét số hữu hạn điểm q h Q Hình 3.PL vẽ miền ổn định không gian thông số (q1, q2) (Henrion [17]) đa thức s,q Từ hình vẽ ta thấy miền ổn định phức tạp Nếu Q miền ABCD có điểm H thuộc miền khơng ổn định, 103 kiểm tra điều kiện ổn định phương pháp nghiên cứu ổn định “băm” không trúng điểm H cho thông tin sai lầm ổn định Ví dụ PL1.1: Kiểm tra ổn định đa thức đặc trưng sau: s,q a 3s a 2s a s1 a 10s qs ( 22.85568483 7.448458869q)s ( 0, 3q q 2) (PL1.1-1) Dùng tiêu chuẩn Routh dẫn tới ràng buộc: g1(q) g2 (q) g3 (q) a 10 7.144315167q 2.551541131q 0, 3q q 2 q Ở g2(q), g3 (q) hàm thơng số bất định q nên xét tính dương trực tiếp khơng gian q (hình 1.PL 2.PL) hay xác định trị cực tiểu non M2uN M3uN g2(q) g3(q) g3(q)>0, q [1, 2] g2(q)=0 q=1,42 g2(q)>0, khiq 1,42 1,75 1,5 0,91753 0,15 2,85 1,5 q 0,407226 q 1,42 -0,5 Hình PL: Biểu diễn hàm g (q) Hình PL: Biểu diễn hàm Đường g 2(q) có tiếp tuyến với trục q điểm q=1,42, điểm tiếp tuyến giá trị hàm g2(q)=0 Như đa thức (PL1.1-1) không ổn định với 104 q [1, 2] Với khoảng chia N ứng với sai số cho phép khác nhau, giá trị M2uN M3uN tính thuật tốn bảng sau: 100 1000 104 5.104 6.104 8.104 M2uN -3,5477 -0,0725 -82.10 -6 -17.10-6 -12.10-6 -11.10-6 -11.10 -6 M3uN 1,47 1,497 1,4997 1,4999 1,5 1,5 1,5 N Từ bảng ta thấy M3uN=1,5>0, M2uN M2uN N Như khái niệm cực tiểu non, dùng thuật toán ta xác định hàm g (q) khơng thoả mãn tính dương s,q nên khơng ổn định với q [1, 2] Bằng phương pháp tần số vẽ đặc tính tần j ,q mặt phẳng phức khơng băm trúng điểm q=1.42 thấy họ đặc tính tần khơng chứa điểm zero kết luận s,q ổn định Thơng tin sai lầm “băm” trúng điểm q=1.42 thấy đặc tính tần mặt phẳng phức bao lấy điểm zero (s, q) khơng ổn định Thật xét phương trình đặc trưng điểm q=1.42: s,q =10s +1,42s 2+12,27887324s+1,7436 dùng phương pháp đặc tính tần mặt phẳng phức ta có được: +j (-10 2+12,27887324) j , q =1,7436-1,42 phần thực phần ảo j ,q điểm q=1.42 điểm =1.108100733 rad/s, có nghĩa họ đặc tính tần ) có chứa điểm zero Điều chứng tỏ j , q ứng với q [1 2] [0 s,q không ổn định với q [1 2] Ví dụ PL1.2: Hình 4.3 vẽ miền ổn định khơng gian có thơng số (q q2 ) đa thức s,q xác định Trong a) hình 3.PL đa thức đặc trưng s,q [17] ổn định toàn miền ABCD trừ điểm H, b) hình 3.PL) đa thức đặc trưng 105 s,q ổn định khắp nơi thuộc miền ràng buộc q1 q2 trừ khe hẹp (AB) (CD) Tại điểm q thuộc khe hẹp hệ không ổn định, với phương pháp xét ổn định phải “băm” bỏ sót khe hẹp này, không “băm” trúng vào điểm khe hẹp kết luận đa thức s,q ổn định bền vững với q Q Kết luận sai thực tế có điểm q nằm khe hẹp làm cho hệ không ổn định bền vững q2 q2 unstable q2 A -1 D H q2 Stable a) A C C D B q1 B q1 q1 Hình 3.PL: Miền ổn định khơng gian thơng số 106 b) q1 ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - Phạm Văn Minh PHÁT TRIỂN PHƯƠNG PHÁP PHỦ TUYẾN TÍNH ĐỂ KIỂM TRA TÍNH HURWITZ CHẶT VÀ ỨNG DỤNG VÀO THIẾT KẾ THAM SỐ TỐI ƯU TRONG ĐIỀU... thông số bất định dạng hộp Phương pháp áp dụng để kiểm tra tính Hurwitz chặt để xác định tham số điều khiển bền vững cho lớp hệ SISO tuyến tính có thơng số bất định đảm bảo thỏa mãn chặt điều. .. thiệu phương pháp tối ưu để xác định tham số tối ưu điều khiển bền vững, đảm bảo thỏa mãn chặt điều kiện ổn định bền vững số tiêu chất lượng khác 1.4 Kết luận chƣơng Điều khiển dựa vào mơ hình bất