Các phần tử đặc biệt trong vành
1.1.1 Định nghĩa Cho vành R, e ∈ R được gọi là phần tử lũy đẳng nếu e 2 = e.
1.1.2 Hệ quả Cho vành R và e∈ R Khi đó
(ii) e lũy đẳng khi và chỉ khi (1−e) lũy đẳng.
1.1.3 Ví dụ. a) 1 và 0 là các phần tử lũy đẳng trong vành R. b) Trong vành M 2 (R), ma trận 1 0
1.1.4 Định nghĩa Cho vành R Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n≥ 1 sao cho x n = 0.
1.1.5 Ví dụ Trong vành M 4 (R), ma trận
là phần tử lũy linh.
Trong toán học, với vành R và phần tử u thuộc R, ta có các định nghĩa sau: u được gọi là khả nghịch phải nếu tồn tại phần tử v thuộc R sao cho tích uv = 1 Tương tự, u được gọi là khả nghịch trái nếu tồn tại phần tử v₀ thuộc R sao cho v₀u = 1 Cuối cùng, u được coi là khả nghịch nếu tồn tại phần tử u₀ thuộc R sao cho u₀u = uu₀ = 1.
1.1.7 Hệ quả Cho vành R và r ∈ R
(1) Nếu r là lũy linh thì r không khả nghịch và 1−r khả nghịch.
(2) Nếu r vừa là lũy đẳng và vừa là khả nghịch thì r = 1.
(1) Giả sửrs = 1 Gọinlà số tự nhiên bé nhất màr n = 0, khi đór n−1 6= 0.
Ta có 0 = r n−1 rs = r n−1 1 = r n−1 6= 0 (vô lý) Vậy r không khả nghịch.
Vành tự đồng cấu của môđun
1.2.1 Định nghĩa Cho M là môđun trên vành R Gọi
Khi đó End(M) là một vành cùng với các phép toán sau đây được gọi là vành tự đồng cấu của môđun:
M được gọi là môđun không phân tích được khi không thể biểu diễn thành tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự, trong đó các môđun con phải khác 0 và khác M.
1.2.3 Hệ quả Cho vành R, các điều kiện sau tương đương:
(1) R R không phân tích được thành tổng trực tiếp.
(2) R R không phân tích được thành tổng trực tiếp.
(3) R chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.
Cho elà một lũy đẳng, khi đóe,1−elà lũy đẳng trực giao với 1 = e+ (1−e).
Từ đó ta suy ra được R = eR⊕(1−e)R.
Do (1), eR = 0, nên suy ra e = 0 hoặc eR = R.
Xét trường hợp: eR = R =⇒(1−e)R = (1−e)eR = 0 (vì (1−e)e = 0).
Vậy R chỉ có hai lũy đẳng là 0 và 1.
Giả sử R R = A⊕B, khi đó e là một lũy đẳng với A= eR.
Từ (3) suy ra được e = 1 hoặc e= 0, do đó A = R hoặc A= 0.
Vậy R R không phân tích được.
Giả sử e ∈ R là lũy đẳng có hệ {e,1−e}; thỏa (2): ã Trực giao e(1−e) =e−e 2 = 0. ã e+ (1−e) = 0.
Do (2) R R không phân tích được, suy ra Re = R hoặc Re = 0, khi đó suy ra e = 1 hoặc e = 0.
Giả sử R R = A⊕B với A, B là iđêan trái của R Theo chiều thuận, thì tồn tại lũy đẳng e, f ∈ R mà e+f = 1, ef = 0 để A = Re, B = Rf.
Do (3) ta xét hai trường hợp:
Cả hai trường hợp trên đều dẫn đến R R không phân tích được.
Vậy hệ quả đã được chứng minh.
1.2.4 Định lí Cho MR và S := End(MR), khi đó các điều kiện sau tương đương:
(1) M không phân tích được thành tổng trực tiếp.
(2) SS không phân tích được thành tổng trực tiếp.
(3) S S Không phân tích được thành tổng trực tiếp.
(4) S chỉ có hai luỹ đẳng là 0 và 1.
Từ Hệ quả 1.2.3 ta có (2), (3), (4).
Cho e ∈ S là một lũy đẳng, Ta có:
Và nếu giả sử e(m1) = (1−e)(m−2), nhân hai vế cho e ta được: e 2 (m1) =e(m1) =e(1−e)(m2) = 0.
Như vậy ta suy ra được: e = 0 hoặc (1−e)(M) = 0 =⇒ e= 1.
Giả sử MR = A⊕B, khi đó η : M 3 a+ b 7−→ a ∈ M là một tự đồng cấu với η 2 = η, là một lũy đẳng trong S.
Từ giả thiết trên suy ra η = 0 hoặc η = 1.
Nghĩa là M không phân tích được thành tổng trực tiếp.
Vành tự đồng cấu của môđun Noether và Artin
1.3.1 Mệnh đề Cho f ∈ End(M) Khi đó: i) Imf ⊇ Imf 2 ⊇ ⊇ Imf n ⊇ ii) Kerf ⊆ kerf 2 ⊆ ⊆Kerf n ⊆
Ta có Imf k là môđun con của M và Kerf k là môđun con của M, ∀k ∈ N ∗ Thật vậy, Imf k 6= ∅ vì θ = f k (0) ⇒ θ ∈ Imf k
Vậy, Imf k là môđun con của M.
Bây giờ ta chỉ cần chứng minh Kerf k là môđun con của M.
=⇒Kerf k là môđun con của M. i) Imf ⊇Imf 2 ⊇ ⊇ Imf n ⊇ ⇔Imf k ⊇ Imf k+1
⇒x ∈ Imf k ii) Kerf ⊆ Kerf 2 ⊆ ⊆ Kerf n ⊆ ⇔ Kerf k ⊆Kerf k+1
1.3.2 Hệ quả Với M là môđun Noether thì dãy tăng:
Kerf ⊆ Kerf 2 ⊆ ⊆ Kerf k ⊆ (5) là dừng với mọi f ∈ End(M).
Vì Kerf k ⊆M và M là Noether, nên dãy (5) dừng.
1.3.3 Định lí Cho M là môđun Noether, f ∈ End(M) Khi đó i) Tồn tại n 0 ∈ N sao cho ∀n ≥n 0 thì Imf n ∩kerf n = 0. ii) Nếu f toàn cấu thì f đơn cấu.
Chứng minh: i) Theo Hệ quả 1.3.2 thì dãy Kerf là dãy tăng và dừng Do đó
∃n 0 ,∀n ≥n0 thì Kerf n = Kerf n 0 ⇒ Kerf n = Kerf 2n ,∀n ≥ n0.
=⇒f n (a) = 0 theo (*) =⇒x = 0, nghĩa là Imf n ∩Kerf n = 0. ii) Nếu f toàn cấu thì f n cũng toàn cấu.
Khi đó Imf n = M và Kerf n = 0 =⇒Kerf = 0 vì Kerf ⊂ Kerf n
1.3.4 Mệnh đề Với M là môđun Artin thì dãy giảm:
Imf ⊇ Imf 2 ⊇ ⊇Imf n ⊇ (6) là dừng với mọi f ∈ End(M).
Với mọi k ta có Imf k là môđun con của M nên dãy (6) chính là dãy các môđun con của M, mà M là Artin nên (6) dừng.
1.3.5 Định lí Cho M là môđun Artin, f ∈ End(M) Khi đó i) Tồn tại n 0 ∈ N sao cho ∀n > n 0 thì Imf n + Kerf n = M. ii) Nếu f đơn cấu thì f đẳng cấu.
Chứng minh: i) Nếu M là môđun Artin thì dãy:
Imf ⊇ Imf 2 ⊇ ⊇ Imf n ⊇ , n∈ N là dừng.
Vì vậy, ∃n 0 ∈ N sao cho ∀n ≥n0 ta có Imf n = Imf n 0 , khi đó với n ≥n0 ta có Imf n = Imf 2n Đặt ψ = f n , với a ∈ M ta có: ψ(a) ∈ Imψ ⊂ Imψ 2 ⇒ψ(a) = ψ 2 (b), b ∈ M ⇒ψ(a−ψ(b)) = 0 =⇒ ∃k ∈ Kerψ : a−ψ(b) =k.
Vậy a = ψ(b)−k thuộc Imψ + Kerψ, điều này cần được chứng minh Nếu f là đơn cấu, thì f^n cũng sẽ là đơn cấu Do đó, M = Imf^n 0 dẫn đến M = Imf, vì Imf^n 0 nằm trong Imf Điều này chứng tỏ rằng f là toàn cấu và do đó f là đẳng cấu.
VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU ĐỊA PHƯƠNG
Trong chương này chúng tôi trình bày về một số điều kiện để các vành tự đồng cấu End(M R ) là vành địa phương.
Vành R được định nghĩa là một vành địa phương nếu tập hợp A, bao gồm tất cả các phần tử không khả nghịch trong vành R, đóng kín đối với phép cộng Cụ thể, với mọi a1, a2 thuộc A, tổng a1 + a2 cũng phải thuộc A.
2.1.2 Bổ đề Cho R là vành địa phương, tức là ∀a 1 , a2 ∈ A thì a1+a2 ∈ A. Khi đó phần tử khả nghịch một phía của R trở thành khả nghịch hai phía. Chứng minh:
Giả sử b khả nghịch phải, b ∈ R Khi đó ∃b 0 ∈ R : bb 0 = 1 Ta chứng minh b khả nghịch trái đồng nghĩa chứng minh b 0 b = 1.
Vì b 0 b /∈ A ⇒ ∃s : sb 0 b = 1 ⇔sb 0 bb 0 = b 0 ⇔sb 0 = b 0 ⇔ sb 0 b = b 0 b ⇔1 = b 0 b Trường hợp 2: b 0 b ∈ A ⇒1−b 0 b 6= A.
Thật vậy, vì nếu 1−b 0 b ∈ A ⇒b 0 b+ (1−b 0 b) = 1 ∈ A (vô lý).
Khi đó ∃s 0 : s(1−b 0 b) = 1 ⇔ s(1−b 0 b)b 0 = b 0 ⇔sb 0 −sb 0 bb 0 = b 0
Vậy chỉ có Trường hợp 1 xảy ra.
Vậy bổ để đã được chứng minh.
2.1.3 Định lí (Định lí đặc trưng của vành địa phương.)
Cho R là vành có đơn vị 1 và A là tập hợp các phần tử không khả nghịch của vành R Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(2) A là một iđêan hai phía của R.
(3) A là iđêan phải thực sự lớn nhất của R.
(3 0 ) A là iđêan trái thực sự lớn nhất.
(4) Tồn tại iđêan phải thực sự lớn nhất trong R.
(4 0 ) Tồn tại iđêan trái thực sự lớn nhất trong R.
(5) Với mọi r ∈ R thì hoặc r hoặc 1−r khả nghịch phải.
(5 0 ) Với mọi r ∈ R thì r hoặc 1−r khả nghịch trái.
(6) Với mọi r ∈ R thì hoặc r hoặc 1−r khả nghịch.
Dựa vào Bổ đề 2.1.2 trên ta lần lượt chứng minh: (1) =⇒ (2) Để chứng minh với R là vành địa phương thì A là một iđêan hai phía ta cần chứng minh ∀a ∈ A,∀r ∈ R thì
Giả sử ngược lại ar /∈ A Khi đó ∃s : ars = 1 =⇒ a khả nghịch phải, từ đây theo Bổ đề vừa xét ở trên thì suy ra a khả nghịch =⇒ a /∈ A =⇒ Vô lý.Vậy ar ∈ A.
Cho A là iđêan hai phía của R ta cần chứng minh A là iđêan phải thực sự lớn nhất của R.
Thật vậy, ã Vỡ A là iđờan hai phớa của R =⇒A là iđờan phải trong R. ã 1 là phần tử khả nghịch =⇒ 1∈/ A=⇒ A thực sự. ã Ta chứng minh A lớn nhất.
Lấy B là iđêan thực sự hai phía trong R Ta chứng minh B ⊆ A.
Xét b ∈ B =⇒ bR ⊆ B ( R, Rb ( R =⇒b không khả nghịch.
Gọi C là iđêan phải thực sự lớn nhất =⇒ ∀r ∈ R, hoặc r hoặc 1−r khả nghịch phải.
Với C là iđêan phải thực sự lớn nhất Lấy r ∈ R.
Giả sử r và 1−r không khả nghịch phải Khi đó
Vì C kép kín với phép cộng, suy ra r + (1−r) = 1 ∈ C =⇒C = R (vô lý). Vậy 1 hoặc 1−r khả nghịch phải.
Ta chứng minh rằng mọi phần tử khả nghịch phải đều khả nghịch.
Giả sử bb 0 = 1 ta có hai trường hợp:
Nếu bb 0 khả nghịch phải, thì khi đó ∃s ∈ R với 1−bb 0 s.
Chính vì vậy ta có b = bb 0 bs = bs cho nên 1 = b 0 b.
Nếu 1−b 0 b khả nghịch phải, thì khi đó ∃s ∈ R với 1 = (1−b 0 b)s
Vì vậy b = b(1−b 0 b)s = bs−bb 0 bs = 0 =⇒ Trái với giả thiết bb 0 = 1.
(6) =⇒ (1) Đầu tiên ta chứng minh: Nếu a ∈ A, r ∈ R thì ar ∈ A.
Thật vậy, nếuar /∈ A thìar khả nghịch Suy ra ars = 1 =⇒a(rs) = 1 =⇒ a khả nghịch phải.
Chứng minh tương tự được a cũng khả nghịch trái.
Vậy a khả nghịch, suy ra a /∈ A (mẫu thuẫn a ∈ A).
Bây giờ giả sử a1, a2 ∈ A : a1 + a2 khả nghịch.
Nhưng theo (6) ta có a 2 s ∈ A nên suy ra a 1 s = 1−a 2 s /∈ A (vô lý).
Vậy định lí đã được chứng minh .
2.1.4 Hệ quả Cho R là vành địa phương và A là iđêan gồm tất cả các phần tử không khả nghịch của R Khi đó
2) Mọi phần tử khả nghịch phải (trái) trong R là khả nghịch.
Mọi vành khác đều không phải là ảnh của vành địa phương, mà chỉ có vành địa phương mới là ảnh của chính nó Đặc biệt, ảnh đồng cấu của vành địa phương chính là vành địa phương.
1) Điều này đồng nghĩa với mỗi phần tử không thuộc A đều khả nghịch.
2) Đã được chứng minh trong Định lí 2.1.3.
3) Lấy σ : R −→ S là ánh xạ đồng cấu vành Như đã trình bày ở (6) trong Định lí 2.1.3 Lấy s ∈ S, khi đó ∃r ∈ R sao cho σ(r) =s
Vì R là vành địa phương nên ta có r hoặc 1−r khả nghịch.
Nếu r khả nghịch ⇔ rr −1 = r −1 r = 1 ⇔ σ(rr −1 ) =σ(r −1 r) = σ(1) = 1
Vậy ta đã chứng minh được: ∀s ∈ S thì hoặc s khả nghịch hoặc 1−s khả nghịch Suy ra S là vành địa phương.
2.1.5 Ví dụ Giả sử R là một vành giao hoán, P là một iđêan nguyên tố của
Trên F xác định quan hệ hai ngôi ”∼ ” như sau: (a, r) ∼ (b, s).
Khi tồn tại một phần tử t ∈ s sao cho tsa = trb, ta có thể thấy rằng ∼ là một quan hệ tương đương Tập thương F/∼ được ký hiệu là RP hoặc S^(-1)R Mỗi phần tử trong RP được ký hiệu bởi ar.
R P = S −1 R = na r|a ∈ R, r ∈ So. Trên R P xác định phép cộng và phép nhân như sau: a r + b s = as+br as ;a r.b s = ab as
Có thể kiểm tra thấy rằng với hai phép toán này R P là một vành địa phương.
Tập hợp: A = nx r ∈ S −1 R, x ∈ Po gồm các phần tử không khả nghịch A đóng kín đối với phép cộng.
Thật vậy, với x r,y s ∈ A, ta có: x r + y s = sx+ry rs với sx+ry ∈ P; nghĩa là x y + y s ∈ A.Vậy R P là một vành địa phương.
Điều kiện để các vành chuỗi lũy thừa hình thức là vành địa phương 19 2.3 Định lí phân tích vành tổng quát
2.2.1 Định nghĩa Cho R là vành Đặt
Suy ra R[[x]] là vành có đơn vị là chuỗi f 0 = 1.
Vành R[[x]] được gọi là vành chuỗi của biến x.
Nếu P i=0 aix i ∈ R[[x]], thì f khả nghịch trong R[[x]] khi và chỉ khi a0 khả nghịch trong R Ngoài ra, R[[x]] là vành địa phương khi và chỉ khi R là vành địa phương, từ đó suy ra rằng nếu R là trường thì R[[x]] cũng là vành địa phương.
Chứng minh: i) f khả nghịch khi và chỉ khi a0 khả nghịch.
(=⇒) Nếu f khả nghịch thì tồn tại g ∞
(⇐=) a 0 khả nghịch thì a 0 b 0 = 1 suy ra b 0 = a −1
Tiếp tục quá trình trên ta xác định được b k và do đó f khả nghịch. ii) R[[x]] địa phương khi và chỉ khi R địa phương.
Nhúng R −→R[[x]], a7→ a+ 0x i là đơn cấu, lúc đó R[[x]] là mở rộng của
Giả sử f không khả nghịch thì theo i) a 0 cũng không khả nghịch Khi đó
Vậy R[[x]] là vành địa phương.
Ngược lại, tương tự với chứng minh trên nếu R[[x]] địa phương thì R cũng địa phương.
Khi R là trường, f(x) ∈ R[[x]], f(x) không khả nghịch khi và chỉ khi a 0 = 0.
Do đó tập các phần tử không khả nghịch đóng kín đối với phép cộng, vì thếR[[x]] là vành địa phương.
2.3 Định lí phân tích vành tổng quát
2.3.1 Định lí Cho R là một vành và R R = ⊕ i∈I
A i là sự phân tích thành tổng trực tiếp các iđêan phải A i , i∈ I Khi đó,
Tập I hữu hạn chẳng hạn |I|= n với số nguyên dương n nào đó và
Họ {e 1 , , en} thỏa mãn ba điều kiện (i), (ii), (iii) gọi là họ lũy đẳng trực giao đầy đủ.
Ngược lại trong R, tồn tại họ lũy đẳng trực giao đầy đủ {e 1 , e2, , en} thì
Ta có 1 ∈ RR = ⊕A i =⇒ 1 =a1 +a2 + +an (*), ai ∈ Ai. Đặt aiR môđun con của Ai sinh bởi ai, i = 1, n Ta chứng minh aiR = Ai và
Thật vậy, Ta có: a i R ⊆ A i Lấy a 0 i ∈ A i ta có a 0 i = 1.a 0 i ⇔a 0 i = a 1 a 0 i + a 2 a 0 i + +a n a 0 i
Do tính chất duy nhất của tổng trực tiếp nên a 0 i chỉ biểu diễn duy nhất dưới dạng a 0 i = a i a 0 i Suy ra a 1 a 0 i = = a n a 0 i = 0 và a i a 0 i = a 0 i =⇒ a 0 i = a i a 0 i ∈ a i R ⇒A i ⊆ a i R.
Mặt khác, ∀r ∈ R thì r = a 1 R+a 2 R+ +a n R = A 1 ⊕ ⊕A n , suy ra |I| = n. Đặt e i = a i , i = 1, n Từ (*) nên ta có e i = e 1 e i +e 2 e i + +e n e i
Do sự phân tích là duy nhất nên e 1 e i = = e n e i = 0 còn e i = e i e i
⇒e i = e 2 i ⇒ e i lũy đẳng, nên ta có (i).
Cũng do e 1 e i = = e n e i = 0 và e i = e i e i nên e j e i = 0,∀i 6= j, nên ta có (ii).
Thật vậy ∀r ∈ R ta có r = e 1 r +e 2 r + + e n r vì e 1 +e 2 + + e n = 1. Suy ra r ∈ e 1 R+e 2 R+ +e n R =⇒R = e 1 R+e 2 R+ +e n R (1)
Vì e 2 k = e k (do e k là lũy đẳng) nên e k x = e 2 k r = e k r = x ⇒e k x = x
Từ (1) và (2) ta có R R = ⊕ i=1,n e i R.2.3.2 Hệ quả Nếu e ∈ R, e lũy đẳng thì R = eR⊕(1−e)R.
Ta có: ã e 2 = e (do e lũy đẳng). ã (1−e) 2 = (1−e)(1−e) = 1−e−e+e 2 = 1−e ⇒ 1−e lũy đẳng. ã e(1−e) = e−e 2 = e−e = 0. ã e+ 1−e = 1.
=⇒e,1−e là lũy đẳng trực giao đầy đủ.
Theo Định lí 2.1.3 suy ra R = eR⊕(1−e)R.
2.3.3 Hệ quả Các mệnh đề sau đây đối với vành R là tương đương:
(1) R R không phân tích được bên phải, tức là nếu R = A⊕B với A, B là các iđêan phải của R thì A = 0, B = R hoặc A = R, B = 0.
(2) R R, không phân tích được bên trái, tức là nếu R = A⊕B với A, B là các iđêan trái của R thì A = 0, B = R hoặc A = R, B = 0.
(3) R chỉ có hai luỹ đẳng là 0 và 1.
Giả sử e là luỹ đẳng của R Khi đó 1−e là luỹ đẳng của R và e(1−e) = 0.
Do đó, họ e,1−e là luỹ đẳng trực giao và 1 = e+ (1 +e) Do đó theo Định lý phân tích vành tổng quát.
Do R R không phân tích được từ giả thiết của (1), suy ra
Giả sử RR = A⊕B Theo Định lí phân tích vành tổng quát, ta có
A = eR, B = f R mà họ e, f là họ trực giao và 1 = e+f do giả thiết của (3) nên
Suy ra R không phân tích được.
Các trường hợp (1) =⇒(2),(2) =⇒ (3) chứng minh tương tự.
Tính chất và điều kiện của vành tự đồng cấu địa phương
2.4.1 Định lí Cho môđun M và S := End(M) là vành địa phương thì kéo theo M là môđun không phân tích được.
Từ Định lí 1.2.4 ta chỉ cần chứng minh S có hai lũy đẳng 0 và 1.
Thật vậy giả sử e ∈ S là lũy đẳng mà e 6= 0 và e 6= 1.
Khi đó, 1−e là lũy đẳng 1−e6= 0,1−e 6= 1.
Do lũy đẳng và khả nghịch chỉ có 1, mà e 6= 1, 1− e 6= 1 =⇒ e và 1 −e không khả nghịch.
Lại do, S là địa phương nên đóng kín và không khả nghịch.
Suy ra, 1 = e+ (1−e) không khả nghịch Điều này dẫn đến vô lý.
Định lý 2.4.2 khẳng định rằng, đối với một môđun M khác không và không phân tích được, nếu M có độ dài hữu hạn, thì các vành tự đồng cấu của M sẽ là vành địa phương Hơn nữa, các phần tử không khả nghịch trong các vành này đều là luỹ linh.
Do M có độ dài hữu hạn nên theo 1.3.3 và 1.3.5 ta có:
Thật vây, theo giả thuyết của định lý thì M có độ dài hữu hạn nên theo mệnh đề trên ta có:
Vì M không phân tích nên hoặc là Ker(ϕ n ) = 0 hoặc là Im(ϕ n ) = 0.
Kerϕ n = 0 =⇒ Kerϕ = 0 =⇒ ϕ đơn cấu và M là Artin (do M có độ dài hữu hạn) suy ra ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch.
Imϕ n = 0 =⇒ϕ n = 0 =⇒ ϕ luỹ linh, suy ra 1−ϕ khả nghịch.
Vậy, End(M) là vành địa phương.
Nếu ϕ ∈ End(M) không khả nghịch thì suy ra Imϕ n = 0 =⇒ n = 0 =⇒ ϕ luỹ linh.
Ngược lại nếu ϕ lũy linh thì ϕ không khả nghịch.
2.4.3 Định lí Cho Q R 6= 0 là môđun nội xạ không phân tích được thì
S := End(Q R ) là vành địa phương.
Cho ϕ ∈ S và ϕ là một đơn cấu.
Khi đó, do QR là nôị xạ, mà ϕ∈ S nên suy ra Imϕ cũng là nội xạ.
Suy ra Imϕ ⊂ ⊕ QR, QR không phân tích được nên Imϕ = QR =⇒ ϕ là đẳng cấu, suy ra ϕ khả nghịch.
Theo giả thiết của QR, một ánh xạ ϕ ∈ S được coi là khả nghịch khi và chỉ khi ϕ là đơn cấu, tức là Kerϕ = 0 Ngược lại, ϕ ∈ S không khả nghịch khi Kerϕ khác không (Kerϕ ≠ 0) Đối với hai ánh xạ khả nghịch ϕ1 và ϕ2 thuộc S, ta có Kerϕ1 và Kerϕ2 đều khác không (Kerϕ1, Kerϕ2 ≠ 0).
Mặt khác, QR là môđun nội xạ không phân tích được, do đó QR bất khả quy Điều này dẫn đến việc 0 không thuộc Kerϕ1∩Kerϕ2, và Ker(ϕ1+ϕ2) không khả nghịch Theo khái niệm về vành địa phương, tập hợp các phần tử không khả nghịch của S đóng kín với phép cộng, vì vậy S được coi là một vành địa phương.
(a) Cho M là Artin hoặc Noether Khi đó M = ⊕ i=1,n
Mi Trong đó Mi là các môđun con không phân tích được.
(b) Cho M là môđun Artin và Noether có độ dài hữu hạn Nếu M i là các môđun con không phân tích được, với M = ⊕ i=1,n
M i thì End(M i ) là địa phương với i = 1, n.
(a) Ta có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Cho M là Artin.
Lấy Γ là bộ của số hạng trực tiếp B 6= 0 của M Với M 6= 0 và M = M ⊕0 chúng ta có M ∈ Γ, do đó Γ 6= ∅.
Lấy B 0 tối tiểu trong Γ, khi đó B 0 không phân tích được thành tổng trực tiếp (vì nếu không thì B 0 sẽ không tối tiểu trong Γ).
Bây giờ ta lấy V là bộ các môđun con C ⊆ M, vì thế tồn tại những môđun hữu hạn không phân tích được thành tổng trực tiếp các môđun con
Do sự tồn tại hạng tử không phân tích được B0 nên V
6= 0 Ta lấy C0 tối tiểu trong V và
Rõ ràng, C0 bằng 0, vì nếu C0 khác 0 và là một môđun Artin, thì nó sẽ tách ra thành một số hạng khác không phân tích được thành tổng trực tiếp, điều này mâu thuẫn với tính chất tối thiểu của C0.
Gọi Γ là bộ các số hạng trực tiếp A 6= M của M.
Vì 0 ∈ Γ, chúng ta có Γ 6= ∅ Lấy A0 là tối đại trong Γ và giả sử chúng ta có
Từ A0 là tối đại, kéo theo B0 không phân tích được thành tổng trực tiếp và
Gọi V là tập các môđun conC củaM mà những môđun con này không phân tích được thành tổng trực tiếp Chọn 0 ∈ V, chúng ta có V
Vì M là môđun Noether nên tồn tại phần tử tối đại trong V
Giả sử C 0 khác 0, theo môđun Noether, C 0 phải chứa hạng tử trực tiếp không phân tích được khác 0, điều này mâu thuẫn với giả thiết tối đại của B 1 ⊕ ⊕B k Do đó, kết luận rằng C 0 phải bằng 0 và M R = M = ⊕ i=1,n.
M i , với M i là môđun không phân tích được.
Nếu M là môđun có độ dài hữu hạn, thì M được coi là môđun Artin Trong trường hợp này, M có thể được phân tích như đã nêu trong phần (a) Bởi vì Mi là môđun có độ dài hữu hạn và không thể phân tích, theo Định lý 2.4.2, ta suy ra rằng End(Mi) là một vành địa phương.
Luận văn tập trung vào việc nghiên cứu vành tự đồng cấu địa phương, bao gồm các điều kiện cần thiết để hình thành vành tự đồng cấu và những tính chất đặc trưng của vành địa phương Nội dung nghiên cứu sẽ làm rõ các vấn đề liên quan đến đặc điểm và ứng dụng của vành tự đồng cấu trong toán học.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về định nghĩa và các tính chất của vành tự đồng cấu môđun, cũng như vành tự đồng cấu của môđun Noether và Artin Các nội dung chi tiết được trình bày rõ ràng ở các mục 1.2 và 1.3.
2 Trình bày về vành địa phương cùng một số tính chất đặc trưng của vành địa phương Cụ thể đã trình bày ở các mục 2.1, 2.2.
Vành tự đồng cấu địa phương là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu địa chất, bao gồm các tính chất và điều kiện cần thiết để hình thành vành tự đồng cấu tại một khu vực cụ thể Để hiểu rõ hơn về vấn đề này, hãy tham khảo chi tiết trong các mục 2.3 và 2.4 của bài viết.