Luận án các bất đẳng thức lojasiewicz sự tồn tại và tính toán các số mũ

Các bất đẳng thức Łojasiewicz và Định lý Puiseux

Hàm giải tích nhiều biến

Với x = (x 1 , , x n ) 2 C n (hay R n ), ta ký hiệu x a = x 1 a 1 x n a n Đặt jxj = maxfjx i j : x i 2 C, 1 i ng,

Định nghĩa 1.1.1: Một hàm f có giá trị phức (hoặc thực) xác định trên một tập con mở D trong C n (hay R n) được gọi là hàm giải tích phức (hay giải tích thực) nếu với mỗi điểm w thuộc D, tồn tại một lân cận U chứa w sao cho hàm f có thể biểu diễn qua chuỗi lũy thừa ¥ f (x) = ồ a n (x - w) n, với chuỗi này hội tụ cho mọi x thuộc U Để nghiên cứu hàm giải tích phức xung quanh một không điểm, người ta thường áp dụng Định lý chuẩn bị Weierstrass, đồng thời định nghĩa hàm giải tích chính quy cấp k theo một biến cụ thể.

Một hàm giải tích phức f trong một tập mở chứa gốc tọa độ được gọi là chính quy cấp k theo x1 nếu f(x1, 0, , 0) có cấp tăng bằng k tại x1 = 0 Theo định lý chuẩn bị Weierstrass, nếu f là hàm giải tích chính quy cấp k theo x1, thì f có thể phân tích dưới dạng f(x1, , xn) = u(x1, , xn)(x1^k + a1(x2, , xn)x1^(k-1) + + ak(x2, , xn)), trong đó các aj là các hàm giải tích thỏa mãn aj(0, , 0) = 0 và u là một hàm giải tích, khả nghịch trong lân cận gốc tọa độ với u(0, , 0) ≠ 0.

Vì u không triệt tiêu trong một lân cận của 0 2 C n nên tập các không điểm của f trùng với tập các không điểm của đa thức x1 k

Đa thức Weierstrass được biểu diễn dưới dạng a1(x2, , xn)x1^k + + ak(x2, , xn) Theo Định lý chuẩn bị Weierstrass, việc nghiên cứu địa phương tại không điểm của một hàm giải tích có thể được chuyển đổi thành việc nghiên cứu địa phương tại không điểm của đa thức Weierstrass tương ứng.

Các bất đẳng thức Łojasiewicz

Bất đẳng thức Łojasiewicz mô tả các đặc điểm hình học địa phương xung quanh không điểm của hàm giải tích Dạng tổng quát của bất đẳng thức này so sánh cấp tăng giữa hai hàm giải tích, thể hiện mối quan hệ quan trọng trong phân tích hàm.

Cho K là một tập con compact của K n thoả mãn f 1 (0) g 1 (0) Khi đó, tồn tại và f , g : K ! K là hai hàm giải tích c, a > 0 sao cho j f (x)j cjg(x)j a , 8x 2 K (1.1)

Bất đẳng thức trên đây là tổng quát hoá của các bất đẳng thức sau, xin nhắc lại hai bất đẳng thức trong mục mở đầu:

Cho f : K n ! K (K là trường C hoặc R) là một hàm giải tích với f (0) = 0.

Khi đó bất đẳng thức Łojasiewicz gradient (xem [63, Mệnh đề 1]) khẳng định:

• Tồn tại C > 0, r 2 (0, 1) và một lân cận U của 0 2 K n sao cho kr f (x)k Cj f (x)j r với mọi x 2 U (1.2)

• Cận dưới đúng của các số mũ r thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là số mũ Łojasiewicz gradient của f (tại gốc) và được ký hiệu là L( f ).

Số mũ L(f) là một số hữu tỉ nằm trong khoảng (0, 1) và bất đẳng thức liên quan đến số mũ r thỏa mãn L(f) với một số dương C và lân cận U đủ nhỏ của 0.

Cho f : K n ! K là một hàm giải tích Ký hiệu dist(x, V) là khoảng cách từ điểm x tới tập V := {x ∈ K n | f(x) = 0} và K là một tập con compact của K n Bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển khẳng định rằng điều này có ý nghĩa quan trọng trong phân tích hàm.

• Tồn tại c > 0, a > 0 sao cho j f (x)j c dist(x, V) a với mọi x 2 K, (1.3)

• Cận dưới đúng của các số mũ a thoả mãn bất đẳng thức trên được gọi là số mũ Łojasiewicz của f và được ký hiệu là Le( f ).

Theo bất đẳng thức (1.2), cấp tăng tại 0 của gradient của một hàm giải tích luôn lớn hơn cấp tăng của chính hàm đó Bên cạnh đó, theo (1.3), cấp tăng địa phương của hàm giải tích là hữu hạn; nếu f(x) gần 0, thì x cũng sẽ gần với tập không điểm của hàm f.

Trong trường hợp phức, số mũ Łojasiewicz gradient trong bất đẳng thức (1.2) đã được Teissier tính toán cụ thể, với việc sử dụng phương pháp đại số để thu gọn các kỳ dị.

Khi lân cận U không phải là tập bị chặn, bất đẳng thức (1.2) có thể không còn đúng, như được minh họa trong Ví dụ 4.2.1 Tương tự, bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển (1.3) cũng không giữ tính đúng đắn nếu thay K bằng một tập không compact.

Định lý Puiseux

Một mầm hàm giải tích tại điểm gốc 0 được định nghĩa là một lớp tương đương của các hàm giải tích trong khu vực lân cận của điểm này Hai hàm được xem là tương đương nếu chúng có cùng tính chất trong khoảng gần điểm gốc.

8 đương tại 0, tức là xác định cùng một mầm, nếu hạn chế của chúng xuống một lân cận nào đó của 0 là bằng nhau.

Vành Cfx 1, , x n g được gọi là vành các mầm hàm giải tích tại gốc 0 Theo Định lý 1.1.6, vành này không chỉ là vành nhân tử hóa mà còn là vành Noether địa phương Định nghĩa 1.1.7 nêu rõ rằng U là một tập mở trong C n và X U.

(i) Cho x 2 U, tập X được gọi là giải tích tại x nếu tồn tại một lân cận V của x trong U và hữu hạn các hàm giải tích f 1 , , f r trên V sao cho

X được xem là tập con giải tích của U nếu nó là giải tích tại mọi điểm x thuộc U Theo định nghĩa 1.1.8, điểm kỳ dị của hàm f thuộc Cfx1, , xn được xác định bởi tập hợp các điểm x thuộc Cn sao cho đạo hàm f không tồn tại.

Trong luận án này, thuật ngữ kỳ dị đường cong phẳng được hiểu như là một mầm hàm giải tích hai biến f 2 Cfx, yg có điểm kỳ dị là (0, 0).

Vành Cfx, yg là một vành nhân tử hoá, trong đó mọi phần tử f đều có thể phân tích thành tích của các thành phần bất khả quy khác nhau Một phần tử f được coi là thu gọn nếu tất cả các số mũ trong phân tích đều bằng 1 Giả sử f là một phần tử thu gọn trong Cfx, yg với f (0, 0) = 0, thì đường cong X = f1(0) sẽ trơn nếu đạo hàm riêng của f tại (0, 0) khác với (0, 0).

Nếu ả ảx f (0, 0) 6= 0 thỡ theo định lý hàm ẩn, tồn tại một tham số húa địa phương y 7!(j(y), y) để tham số hóa đường cong X, tức là f

Trong bài viết này, chúng ta xem xét hàm f(x, y) với điều kiện (j(y), y) = 0 và j thuộc Cfyg Khi f có kỳ dị tại điểm (0, 0), tức là (0, 0) = (0, 0) = 0, định lý hàm ẩn không thể áp dụng, và việc tham số hóa có thể không tồn tại Giả sử f(x, y) là một kỳ dị đường cong phẳng và f là chính quy cấp N theo x, nghĩa là f(x, 0) có cấp tăng là N tại x = 0 Theo định lý 1.1.9 của Puiseux, nếu f(x, y) thuộc Cfyg[x] thì f là một đa thức.

Weier-strass cấp N theo biến x và bất khả quy, thì tồn tại một chuỗi lũy thừa hội tụ j(y) 2 Cfyg sao cho f (x, y N ) = N Õ 1 (x j(e k y)), k=0 trong đó e k là các căn bậc N của 1.

Từ định lý trên, ta có f (x, y) = Õ N 1 ( x j ( e k y 1 )) và do đó ta được tham số

1 k=0 hóa của f 1 (0) là y 7!(j(e k y N ), y). Định nghĩa 1.1.10 Các chuỗi x = j(e k y N 1 ) được xây dựng như trên được gọi là các khai triển Newton-Puiseux (hoặc các nghiệm Newton-Puiseux) của f (x, y)

Mệnh đề sau đây là một phiên bản của Định lý 1.1.9 tại vô hạn, chúng tôi phát biểu cho trường hợp hàm đa thức 2 biến.

Giả sử g là một đa thức bậc d monic theo y, được biểu diễn dưới dạng g(x, y) = y^d + a1(x)y^(d-1) + + ad(x) Đa thức này có thể được phân tích thành dạng d g(x, y) = ∏(y - yi(x)), với các hàm yi(x) có dạng yi(x) = ∑(ci k x^p), trong đó mỗi ki thuộc Z và p thuộc N Các chuỗi yb i (t) = yi(t^p) = ∑(ci k t^k hội tụ trong miền {t ∈ C : |t| > r}, với r là một số thực dương đủ lớn Các chuỗi yi(x) được xây dựng theo cách này được gọi là các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong.

(hoặc nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0) Nếu các hệ số cik 2

R với mọi k = ki, ki 1, thì yi(x) được gọi là nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y) = 0.

Trong luận án này, chúng tôi áp dụng khai triển Newton–Puiseux tại gốc và vô hạn Chương 2 sử dụng khai triển địa phương theo biến y, từ đó có x = x(y), trong khi Chương 3 thực hiện khai triển tại vô hạn theo biến x, dẫn đến y = y(x), nhằm phân biệt rõ ràng giữa các chương.

Một vài kết quả trong cấu trúc o-tối tiểu và hình học nửa đại số

Để thuận tiện cho việc sử dụng và tránh việc lặp lại các kết quả trong chương 3 và 4, chúng tôi sẽ trình bày về cấu trúc o-tối tiểu, một cấu trúc tổng quát bao gồm các tập nửa đại số.

Trong phần này, chúng tôi tóm tắt các khái niệm và kết quả liên quan đến hình học của các cấu trúc o-tối tiểu và hình học nửa đại số Theo tài liệu [5,21,35,60], một tập con của R^n được gọi là nửa đại số nếu nó là hợp của các tập có dạng {x ∈ R^n | f_i(x) = 0, i = 1, , p; g_j(x) > 0, j = 1, , q}, trong đó f_i và g_j là các đa thức n biến thực Hơn nữa, một cấu trúc trên trường số thực R được định nghĩa là một họ O = (O_n)_{n ∈ N}, trong đó mỗi tập O_n là một tập các tập con của R^n, thỏa mãn các tiên đề nhất định.

1 Tất cả các tập con nửa đại số của R n đều thuộc O n ;

2 Với mọi n thì O n đóng với các phép toán Boole của tập hợp;

4 Nếu p : R n + 1 ! R n là phép chiếu lên n toạ độ đầu và A 2 O n + 1 thì p(A) 2

Các phần tử của O n được xác định là các tập con của R n Nếu O đáp ứng một điều kiện bổ sung, thì O được coi là một cấu trúc o-tối tiểu trên R.

5 Các phần tử của O 1 là hợp hữu hạn của các điểm và các khoảng. Định nghĩa 1.2.3 Cho trước một cấu trúc o-tối tiểu O trên R Một ánh xạ f :

A ! R m (trong đó A R n ) được gọi là ánh xạ định nghĩa được nếu đồ thị của nó là một tập con định nghĩa được của R n R m

Một số kết quả trong cấu trúc tối tiểu và hình học nửa đại số có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách áp dụng dạng logic của Định lý Tarski-Seidenberg Để phát biểu định lý này, cần có một số khái niệm cơ bản.

Một công thức bậc nhất được xây dựng theo các quy tắc sau đây (xem [5,

1 Nếu P 2 R[X 1 , , X n ], thì P(X 1 , , X n ) = 0 và P(X 1 , , X n ) > 0 là các công thức bậc nhất.

2 Nếu A là một tập con định nghĩa được của R n thì x 2 A là một công thức bậc nhất.

3 Nếu F và Y là các công thức bậc nhất thì F _ Y (phép tuyển), F ^ Y (phép hội), :F (phép phủ định) và F ) Y (phép suy ra) cũng là các công thức bậc nhất.

Nếu F(y, x) là một công thức bậc nhất và A là một tập con xác định của R n, thì các công thức 9x ∈ A F(y, x) và 8x ∈ A F(y, x) cũng thuộc loại công thức bậc nhất Đây là nội dung của Định lý Tarski-Seidenberg dạng logic.

Nếu F(X1, , Xn) là một công thức bậc nhất thì tập f(x 1 , , x n ) 2 R n : F(x 1 , , x n ) đúngg

12 là tập định nghĩa được.

Nhận xét 1.2.5 Từ quy tắc 4 và Định lý 1.2.4, các tập hợp fx 2 R n : 9x n + 1 , (x, x n + 1 ) 2 Ag (tức ảnh của A qua phép chiếu chính tắc lên n toạ độ đầu) và fx 2 R n : 8x n + 1 , (x, x n + 1 ) 2 Ag

(tức phần bù của ảnh của phần bù của A qua phép chiếu chính tắc lên n toạ độ đầu) là định nghĩa được.

Từ nay, chúng ta sẽ cố định một cấu trúc o-tối tiểu O bất kỳ Thuật ngữ "định nghĩa được" ám chỉ đến việc có thể định nghĩa trong cấu trúc này Áp dụng Định lý 1.2.4, chúng ta có thể chứng minh các tính chất sau đây (xem [11,20,21,51,60]).

Mệnh đề 1.2.6 ( [60, Định lý 2.3]) Ta có các khẳng định sau:

(i) Bao đóng, phần trong và biên theo tô pô thông thường trên R n của một tập định nghĩa được cũng là tập định nghĩa được;

(ii) Hợp của các ánh xạ định nghĩa được cũng là ánh xạ định nghĩa được;

(iii) Ảnh và nghịch ảnh của các các tập định nghĩa được qua các ánh xạ định nghĩa được cũng là định nghĩa được;

Mệnh đề 1.2.7 ( [51, Bổ đề 1]) Cho f : A ! R là một hàm định nghĩa được sao cho f (x) 0, 8x 2 A Cho G : A ! R m là một ánh xạ định nghĩa được và j : G(A) ! R là một hàm xác định bởi j(y) = inf f (x). x2G 1 (y)

Khi đó j là một hàm định nghĩa được.

Hệ quả 1.2.8 ( [51, Hệ quả 1]) Cho A là một tập con định nghĩa được của R n Khi đó hàm khoảng cách dist(x, A) = inf y 2 A kx yk là định nghĩa được.

Định lý 1.2.9, hay còn gọi là Định lý Đơn điệu, khẳng định rằng với hàm số f : (a, b) → R được định nghĩa trên khoảng (a, b) với a < b, tồn tại các giá trị a0, a1, , ak+1 sao cho a = a0 < a1 < < ak < ak+1 = b Hàm f là liên tục trên mỗi khoảng (ai, ai+1) và có tính chất hoặc đơn điệu chặt hoặc hằng số trên mỗi khoảng này, với i = 0, , k.

Cấu trúc o-tối tiểu có những tính chất phụ thuộc vào dáng điệu của hàm một biến f : R ! R trong cấu trúc đó Theo định nghĩa 1.2.10, một cấu trúc trên trường số thực R được gọi là bị chặn đa thức nếu mọi hàm f : R ! R thuộc cấu trúc này đều thỏa mãn điều kiện rằng tồn tại một số N thuộc N (phụ thuộc vào f) sao cho f(t) O(t^N) khi t tiến tới +∞.

Tất cả các tập nửa đại số trong R^n với mọi n thuộc N tạo thành một cấu trúc o-tối tiểu trên R Trong cấu trúc nửa đại số này, tập định nghĩa chính là tập nửa đại số, và chúng tạo thành một cấu trúc o-tối tiểu bị chặn đa thức.

Bổ đề sau đây là một tính chất rất quan trọng của hàm nửa đại số một biến cũng như là của các cấu trúc bị chặn đa thức.

Bổ đề 1.2.12 (Bổ đề phân đôi cấp tăng, [35, Bổ đề 1.7])

Hàm nửa đại số f: (0, e) → R thỏa mãn điều kiện f(s) ≠ 0 với mọi s thuộc (0, e) tồn tại các hằng số a ≠ 0 và a ∈ Q, sao cho f(s) = as^a + o(s^a) khi s tiến tới 0+ Tương tự, hàm nửa đại số f: (r, +∞) → R cũng thỏa mãn điều kiện f(s) ≠ 0 với mọi s thuộc (r, +∞).

+¥) Khi đó tồn tại các hằng số a 6= 0 và a 2 Q sao cho f (s) = as a + o(s a ) khi s ! +¥.

Chú ý rằng tất cả những tính chất trên của cấu trúc o-tối tiểu đều đúng cho cấu trúc các tập nửa đại số.

Sau đây là một tính chất của hàm thực một biến lớp C d bất kỳ.

Bổ đề 1.2.13 (van der Corput, [24]) cho biết rằng nếu u(t) là một hàm thực một biến khả vi thuộc lớp C^d với d ≥ 2 và hàm u thỏa mãn điều kiện |u^(d)(t)| ≤ 1 cho mọi t ∈ R, thì tồn tại một ước lượng nhất định cho mọi ε > 0.

1 mesft 2 R : ju(t)j eg (2e)((d + 1)!) d e d , trong đó mes(A) là độ đo Lebesgue của tập A.

Bất biến tô pô của kỳ dị đường cong phẳng: Các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient 17

Đa giác Newton tương ứng với một cung

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày lại khái niệm về đa giác Newton liên quan đến một cung theo nghiên cứu của Kuo và Parusinski [50], đồng thời tham khảo thêm các tài liệu [30] và [31] Bên cạnh đó, chúng tôi cũng sẽ giới thiệu phương pháp trượt để tính toán các khai triển Newton-Puiseux địa phương.

Cho hàm f: (K 2 , 0) ! (K, 0) là một mầm hàm giải tích với khai triển Taylor: f (x, y) = fm(x, y) + fm 1 (x, y) + với mỗi f k là một đa thức thuần nhất bậc k, và f m 6 0 Giả sử rằng f là chính quy cấp m theo x, khi đó f m (1, 0) 6= 0 Nếu f không chính quy theo x, ta có thể đổi biến x 0 = x, y 0 = y + cx với c là một hằng số đủ tổng quát, dẫn đến f (x, y + cx) trở thành chính quy theo x.

Một cung giải tích f trong K 2 là tập ảnh của ánh xạ giải tích

Lấy f là một cung giải tích trong không gian K 2 không tiếp xúc với trục x, ta có thể tham số hóa cung này bằng các phương trình x = c 1 t n 1 + c 2 t n 2 + 2 Kftg và y = t N Điều này cho phép đồng nhất cung với một chuỗi Puiseux, cụ thể là x = f(y) = c 1 y N + c 2 y N + 2Kfy N, với N là số nguyên dương thỏa mãn n 1 < n 2 Đặt X := x f(y) và Y := y, ta nhận được j.

Hình 2.1: Đa giác Newton của f tương ứng với j trong Ví dụ 2.1.1.

Mỗi điểm có tọa độ (i, N j ) với c ij 6= 0 được gọi là chấm Newton, và tập hợp các chấm này được gọi là lược đồ Newton Biên của bao lồi của các chấm Newton tạo thành đa giác Newton P(f, f) tương ứng với hàm f Nếu f là nghiệm Newton-Puiseux của f = 0, thì không có chấm Newton nào nằm trên đường thẳng X = 0 Ngược lại, nếu f không phải là nghiệm Newton-Puiseux, các số mũ của chuỗi f (f(y), y) = F(0, Y) tương ứng với các chấm Newton trên đường thẳng X = 0 Đặc biệt, ord f (f(y), y) = h 0, trong đó (0, h 0 ) là chấm Newton thấp nhất trên X = 0 Các cạnh của đa giác Newton P(f, f) được gọi là Es, và các góc tương ứng là q s, được xác định theo cách thông thường.

Ví dụ 2.1.1 Cho f (x, y) := x 3 y 4 + y 5 và f : x = y 4 3 Ta có

Từ định nghĩa, đa giác Newton của f tương ứng với f có hai cạnh compact là

E 1 , E 2 với tan q 1 = 4 3 , tan q 2 = 7 3 (xem Hình 2.1).

Lấy một cạnh E s bất kỳ, gọi đa thức kết hợp với cạnh đó là E s (z) được xác định bởi E s (z) := E s (z, 1), trong đó

Cạnh Newton cao nhất, ký hiệu là E H, là cạnh compact của đa giác P(f, f) với một đỉnh là điểm Newton thấp nhất trên X = 0 Ví dụ, trong trường hợp này, cạnh E2 chính là cạnh Newton cao nhất.

Tiếp theo, ta nhắc lại phương pháp trượt theo [50].

Giả sử f không phải là nghiệm của phương trình f = 0, ta xem xét đa giác Newton P(f, f) Chọn một nghiệm khác không c của E_H(z) = 0, với E_H là đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhất Định nghĩa f_1(y) : x = f(y) + c_y tan q_H là một phần tử trượt của f theo f, trong đó q_H là góc tương ứng của E_H Quá trình trượt đệ quy f ! f_1 ! f_2 ! sẽ dẫn đến giới hạn f_¥, đây chính là nghiệm của f = 0, được gọi là kết quả cuối cùng của quá trình trượt Mỗi lần trượt tạo ra một đa giác Newton mới P(f, f), với điểm Newton (0, h_0) trên X = 0 dịch chuyển lên trên, và với f_¥, không còn điểm Newton nào trên P(f, f_¥) Lưu ý rằng f_¥ có dạng f_¥ : x = f(y) + c_y tan q_H + các từ cấp cao hơn.

Phương pháp trượt dựa trên một bổ đề kỹ thuật sau đây:

Bổ đề 2.1.2 Cho f là một chuỗi Puiseux không là nghiệm của f = 0 và lấy q H và

EH (z) là góc và đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhất EH Xét chuỗi y: x = f(y) + cy^r + các từ cấp cao hơn, với c thuộc K và r thuộc Q, r > 0 Dựa trên điều này, ta có thể đưa ra các khẳng định quan trọng.

(i) Nếu hoặc tan q H < r hoặc tan q H = r và E H (c) 6= 0 thì P( f , f) = P( f , y), và vì vậy ord f (f(y), y) = ord f (y(y), y).

(ii) Nếu tan q H = r và E H (c) = 0 thì ord f (f(y), y) < ord f (y(y), y).

Chứng minh (xem [7, 85]) Chứng minh chi tiết có thể được tìm thấy trong [30].

Thật vậy, trường hợp đặc biệt, khi y : x = f(y) + cy tan q H được chứng minh trong

[30, Bổ đề 2.1] Khi đó, Bổ đề được chứng minh bằng cách áp dụng trường hợp đặc biệt này vô hạn lần

Tính bất biến tô pô của thương cực

Cho f : (C 2 , 0) ! (C, 0) là một mầm hàm giải tích chính quy cấp m theo biến x. Đường cong được xác định bởi = 0 được gọi là một đường cực Một nghiệm

Nhánh của đường cực được gọi là Newton–Puiseux của = 0, ký hiệu G(f) đại diện cho tập các nhánh cực không phải là nghiệm của f = 0 Theo Teissier, định nghĩa thương cực được trình bày trong tài liệu.

Q( f ) := ford f (g(y), y) j g 2 G( f )g được gọi là tập các thương cực của f

Vớ dụ 2.2.2 Xột hàm f (x, y) = x 3 xy 3 Ta cú f chớnh quy theo x và ả f

3 ảx có nghiệm Newton-Puiseux là x = y 2 3 , y 0 Hai nghiệm này đều không là nghiệm của f = 0 Suy ra, tập hợp các thương cực là

Trong phần này, chúng ta sẽ chứng minh rằng tập hợp các thương cực là một bất biến tô pô, ngay cả khi không thu gọn Đầu tiên, chúng ta sẽ cung cấp một công thức tường minh cho các thương cực dựa trên xấp xỉ của các nghiệm Newton-Puiseux của hàm f.

Cho g(y) := ồ i a i y a i là một chuỗi Puiseux Đối với mỗi số thực dương r, chuỗi ồ a i < r a i y a i + gy r, với g là một hằng số đủ tổng quát, được gọi là r-xấp xỉ của g(y) Với hai chuỗi Puiseux phân biệt g 1 (y) và g 2 (y), xấp xỉ của g 1 (y) và g 2 (y) được định nghĩa là chuỗi r-xấp xỉ của g 1 (y), trong đó r := ord (g 1 (y) g 2 (y)) là bậc tiếp xúc của g 1 (y) và g 2 (y).

Ví dụ 2.2.3 Hai chuỗi g (y) = y 2 + y 2 + y 2 + và g ( y ) = y 2 + y 2 y 2 +

1 2 có chuỗi 5 xấp xỉ là

2 1 3 5 g(y) = y 2 + y 2 + gy 2 Định lý 2.2.4 Cho f : (C 2 , 0) ! (C, 0) là một mầm hàm giải tích chính quy cấp m theo x ả f ảx ả f ảx và lấy x 1 , , x r (r 2) là các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt của f = 0 Khi đó

21 trong đó x i,j là xấp xỉ của x i và x j

Chứng minh rằng với bất kỳ g thuộc G(f), g không phải là nghiệm của f = 0 nhưng lại là nghiệm của một phương trình khác Do đó, khi viết j f (X + g(Y), Y) = ồc ij X i Y N, ta có f (g(Y), Y) = ồc 0j Y N và ả f (g(Y), Y) = ồc 1j j ảx j.

Trong đa giác Newton P(f, g) của f tương ứng với g, tồn tại một điểm trên đường thẳng X = 0 nhưng không có điểm nào trên đường thẳng X = 1, khi c0j khác 0 với một j nào đó và c1j bằng 0 với mọi j Ngoài ra, do f là hàm chính quy cấp m theo x, theo Định lý chuẩn bị Weierstrass, ta có thể giả sử rằng f(x, y) có dạng x^m + a1(y)x^(m-1) + + am(y).

Sau khi thực hiện phép biến đổi với f(X + g(Y), Y), điểm (m, 0) vẫn là một đỉnh của đa giác Newton P(f, g) Để tiếp tục, ta xác định cạnh cao nhất E H và đa thức kết hợp tương ứng Do không có điểm Newton nào nằm trên đường X = 1, cạnh cao nhất E H sẽ nối điểm thấp nhất trên X = 0 với một điểm trên X = k, trong đó k là một giá trị xác định.

2, cho nên ta có d deg E H 2, E H (0) 6= 0, và dzE H (0) = 0.

Phương trình EH(z) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt c1 và c2 Kết quả cuối cùng của phép trượt được biểu diễn bởi g i,¥, với i = 1, 2, là g(y) + c i y tan q H, trong đó q H là góc tương ứng với cạnh cao nhất E H Ta có ord(g 1,¥(y) g 2,¥(y)) = tan q H và f(g i,¥(y), y) = 0 với i = 1, 2.

Lấy g 1,2 là xấp xỉ của g 1,¥ và g 2,¥ Áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta suy ra rằng ord f (g(y), y) = ord f (g 1,2(y), y), và vì vậy ả f ảx

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta xem xét cặp nghiệm phân biệt x1 và x2 của hàm f, với x1,2 là xấp xỉ của chúng Ta có thể diễn đạt x1,2(y) = x1(y) + gy^r + các từ cấp cao hơn, trong đó g là hằng số tổng quát và r là bậc tiếp xúc giữa x1 và x2 Do đó, ta có j f(X + x1(Y), Y) = ồc ij X^i Y^N.

Ký hiệu D đại diện cho tập hợp các chấm Newton của đa giác Newton P(f, x1), với điều kiện hàm tuyến tính (i, j) 7!ri + Nj xác định trên P(f, x1) đạt giá trị nhỏ nhất, được gọi là h0.

Điểm i1 là giá trị tối thiểu của D, với x1 là nghiệm của phương trình f = 0 Do đó, không có điểm nào của P(f, x1) nằm trên đường thẳng X = 0, dẫn đến kết luận rằng i1 là duy nhất.

Ta ký hiệu f(y) := x 1 (y) + gy r và j j

Tất cả các chấm Newton của đa giác Newton P(f, f) tương ứng với f đều có dạng (k, r(i k) + N j) với c ij khác 0, trong đó k = 0, 1, , i Chấm Newton (i 1, N j 1) là một điểm của P(f, f) do a i 1 j 1 = c i 1 j 1 khác 0 Điểm (0, h 0) cũng là chấm Newton của P(f, f) với h 0 thỏa mãn điều kiện g thỏa mãn (i, N j)2 D c ij g i khác 0 Tất cả các chấm Newton của P(f, f) đều nằm trên hoặc bên trên đường thẳng chứa hai chấm (0, h 0) và (i 1, N j 1), chứng tỏ cạnh E H nối hai điểm này là cạnh Newton cao nhất của P(f, f) Các yếu tố q H và E H(z) lần lượt là góc và đa thức liên quan đến cạnh Newton cao nhất.

E H Ta có (xem Hình 2.2) h 0 j 1 ri 1 tan q H = N = = r, i 1

Từ định nghĩa của hàm f, ta có thể biểu diễn x1(y) = f(y) + a1y^r + các số hạng bậc cao hơn và x2(y) = f(y) + a2y^r + các số hạng bậc cao hơn, trong đó a1 ≠ a2 Theo Bổ đề 2.1.2, a1 và a2 là nghiệm của đa thức EH(z) Đặc biệt, bậc của đa thức EH(z) là 2.

Xột lược đồ Newton của f tương ứng với f, vỡ ảX ả (X i Y N ) = iX i N nờn ta dịch chuyển mọi chấm Newton (i, N j ) của P( f , f) tới (i 1, N j ), nếu i 1, và xóa tất cả các chấm Newton (0, N j

) Từ đú ta cú thể nhỡn thấy lược đồ của ả ảx f tương ứng với f từ P( f , f).

Chú ý f(y) = x 1 + gy r và do g đủ tổng quát nên ta có dz d

EH (g) 6= 0 Vì vậy, trên lược đồ Newton f tương ứng f, tồn tại một chấm Newton trên đường thẳng X = 1 Vỡ vậy cạnh Newton cao nhất của đa giỏc Newton P( ả ảx f

, f) có các đỉnh có tọa độ (0, h0 tan q H ) và (i1 1, N j 1

), bởi vì với chấm Newton (0, h0) của

P( f , f) thì cạnh cao nhất của đa giác này cắt X = 1 tại (1, h0 tan q H ) và với chấm Newton còn lại (i 1 , N j 1 ) của P( f , f) thì dịch chuyển một đơn vị thành điểm

Phương trình cạnh cao nhất của đa giác được biểu diễn bằng dz d EH (z) = 0 Với hai nghiệm phân biệt a 1 và a 2 của EH (z), có thể xác định tồn tại một số c 2 thuộc C n f0g.

Lấy g Ơ là một kết quả của phộp trượt cung f theo ả ảx f Từ Bổ đề 2.1.2 ta cú ord f (g ¥ (y), y) = ord f (f(y), y).

Hơn nữa, từ ord (x 1,2(y) f(y)) > r = tan q H, áp dụng tiếp Bổ đề 2.1.2 ta được ord f (x 1,2(y), y) = ord f (f(y), y).

Do đó, bao hàm thức ngược lại thỏa mãn Định lý được chứng minh.

Hai mầm hàm liên tục f và g từ (K², 0) đến (K, 0) được coi là tương đương tô pô phải nếu tồn tại một mầm đồng phôi F: (K², 0) đến (K², 0) sao cho f = g ∘ F Kết quả này cho thấy mối liên hệ giữa các mầm hàm trong không gian tô pô.

Theo Định lý 2.2.5 của Parusinski, cho hai hàm f và g: (C², 0) → (C, 0) là các mầm hàm giải tích không nhất thiết phải thu gọn, thì các điều kiện sau đây là tương đương: (i) f và g là tương đương tô pô phải.

Sự tồn tại và ổn định của cận sai số Holder,¨ bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và các giá trị Fedoryuk đặc biệt 39

Cận sai số Holder¨ toàn cục của tập dưới mức

Trong bài viết này, chúng tôi nghiên cứu sự tồn tại của cận sai số Holder toàn cục cho tập hợp [ f t] tương ứng với t thuộc khoảng [inf f , +¥) Chúng tôi sẽ chứng minh rằng có thể xác định một tập thử để quyết định liệu [ f t] có cận sai số Holder toàn cục hay không Hàm f : R n → R được định nghĩa là một hàm đa thức.

L + ( f ) := ft 2 [inf f , +¥) : [ f t] có cận sai số Holder¨ toàn cục (3.1)g.(3.3) Định nghĩa 3.1.1 ( [16,32]) Cho S là một tập con của R n

(i) Dãy fx k g S được gọi là dãy loại một của [ f t] trên S nếu [ f t] khác rỗng và

(ii) Dãy fx k g S được gọi là dãy loại hai của [ f t] trên S nếu [ f t] khác rỗng và

Nếu S = R n thì ta quy ước gọi các dãy trên là dãy loại một (hoặc hai) của [ f t].

Một số kết quả về cận sai số yêu cầu phải có điều kiện Slater và tính lồi Định lý 3.1.2 ([32, Định lý A]) đưa ra một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của cận sai số Holder toàn cục của [ f t], được đặc trưng hóa bởi hai loại dãy mà không cần đến tính lồi hay điều kiện Slater Các điều kiện trong định lý này là tương đương.

(i) Không tồn tại các dãy loại một và loại hai của [ f t];

(ii) [ f t] có cận sai số Holder¨ toàn cục, tức là tồn tại a, b, c > 0 sao cho

F + 1 := ft 2 R : [ f t] có dãy loại mộtg,

F + 2 := ft 2 R : [ f t] có dãy loại haig. Định nghĩa 3.1.3 Đặt h + := 8supft 2 R : t 2 F + 2 g nếu F + 2 6= ˘,

Ngưỡng h+ được gọi là cận sai số Holder toàn cục của hàm f, hay còn được biết đến là ngưỡng của bất đẳng thức Łojasiewicz phía trên của f Định lý sau đây cung cấp một công thức cho L+(f) Định lý 3.1.4 trình bày công thức thứ nhất của L+(f).

>: nếu F + 2 6= ˘ và h + 2 F + 2 , nếu F + 2 6= ˘, h + 6= ¥ và h + 2/ F + 2 , nếu F 2 = ˘, inf f > ¥ và f đạt infimum,

+ nếu F 2 = ˘, inf f > ¥ và f không đạt infimum,

Hơn nữa, L + ( f ) là một tập con nửa đại số của R

Chứng minh rằng nếu t 2 F + 2 thì tồn tại một dãy fx k g là dãy loại hai của [ ft] Chọn t 0 sao cho inf f t 0 t, từ đó ta có [ f t 0 ] [ f t] Giả sử hai tập này đều khác rỗng, khi đó dist(x k , [ f t 0 ]) bằng dist(x k , [ f t]).

Từ đó suy ra dist(x k , [ f t 0 ]) ! +¥, do đó t 0 2 F + 2 Ta chỉ có các khả năng sau:

+ 2 = [inf f , h + ] hoặc (inf f , h + ] hoặc ( ¥, h + ] nếu h + 2 F + 2 ;

+ 2 = [inf f , h + ) hoặc (inf f , h + ) hoặc ( ¥, h + ) nếu h + 2/ F + 2

Từ đó suy ra công thức của tập L + ( f ).

Từ công thức của tập L + ( f ), ta chỉ cần chứng tỏ rằng F + 1 là một tập nửa đại số Ta có

Đối với mọi giá trị f(x) trong khoảng 0 < f(x)t < e và khoảng cách dist(x, [f t]) dg, chúng ta có thể xác định tập F + 1 thông qua một công thức bậc nhất Theo Định lý 1.2.4, F + 1 được chứng minh là một tập con nửa đại số của R.

Trong trường hợp [f inf f] = ˘, tức là hàm f không đạt được infimum, theo Định nghĩa 3.0.1, chúng ta mặc định rằng tập [f inf f] không đạt cận sai số Holder toàn cục Do đó, khi này inf f 2/ L + (f).

Mệnh đề 3.1.6 Cho f : R n ! R là một hàm đa thức và A : R n ! R n là một đẳng cấu tuyến tính Khi đó

Chứng minh. Đặt g := f A Trước hết, ta chứng minh rằng nếu t 0 2 L + (g) thì t 0 2 L + ( f ) Ta có f (y) = f (A A 1 (y)) = g(A 1 (y)) Do đó

[g(A 1 (y)) t 0 ] + a + [g(A 1 ( y )) t 0 ] + b c dist(A 1 (y), [g t 0 ]) (3.5) Tồn tại x 0 2 g 1 (t), t t 0 sao cho dist(A 1 (y), [g t 0 ]) = kA 1 (y) x 0k,

44 khi đó f (A(x 0 )) = t Đặt y 0 = A(x 0 ) và chú ý rằng A là một đẳng cấu tuyến tính, ta có f (y 0 ) = t và tồn tại c 0 > 0 sao cho c 0 ky y 0 k kA 1 (y) A 1 (y 0)k 1ky y 0 k. c 0

Từ đó kéo theo dist(A 1 (y), [g t 0 ]) = kA 1 (y) A 1 ( y 0)k 1ky y 0 k 1 dist(y, [ f t 0 ]). c 0 c 0

Kết hợp đánh giá trên với (3.4) và (3.5), ta có

[ f (y) t 0 ] + a + [ f (y) t 0 ] + b c dist(y, [ f t 0 ]), 8y 2 R n , c 0 tức là t 0 2 L + ( f ) Khẳng định t 0 2 L + ( f ) ) t 0 2 L + (g) được chứng minh tương tự

Bậc của đa thức f được ký hiệu là d Dựa vào Mệnh đề 3.1.6, chúng ta có thể thực hiện một phép biến đổi tuyến tính thích hợp để biểu diễn f dưới dạng monic theo x^n, đảm bảo rằng tập L + (f) không thay đổi qua phép biến đổi này.

Kết quả dưới đây được lấy cảm hứng từ Định lý 2.3 trong bài báo [34], với ý tưởng chính là áp dụng Bổ đề 1.2.13 để xác định một tập thử cho cận sai số Holder toàn cục, tập thử này lần đầu tiên được giới thiệu trong bài báo.

Trong trường hợp địa phương, kết quả và hệ quả của nó rất hữu ích để tính h + và L + ( f ) cho hai biến Định lý 3.1.7 chỉ ra rằng đối với hàm f có dạng monic theo x n, các khẳng định sau đây là tương đương.

(i) Không tồn tại các dãy loại một và loại hai của [ f t] trên V 1 ;

(ii) Tồn tại a, b, c > 0 sao cho b

(iii) Tồn tại a, b, C > 0 sao cho

(iv) [ f t] có một cận sai số Holder¨ toàn cục

Ta sẽ chứng minh lần lượt theo sơ đồ sau: (i) ) (ii)

) (iii) ) (iv) ) (i). y(t) := 80 dist( , [ nếu f[ f (x) t] + = tg = ˘

Theo giả thiết, hàm y(t) được xác định trên khoảng [0, +¥) và có giá trị từ [0, +¥) Dựa vào Mệnh đề 1.2.7 và Hệ quả 1.2.8, ta xác định y(t) là một hàm nửa đại số Để chứng minh (ii), cần phân tích hành vi của hàm y(t) khi t tiến đến 0 hoặc +¥, dẫn đến bốn trường hợp khác nhau.

(a) y(t) 0 với t đủ bé và y(t) 0 với t đủ lớn;

(b) y(t) 0 với t đủ bé và y(t) 6 0 với t đủ lớn;

(c) y(t) 6 0 với t đủ bé và y(t) 0 với t đủ lớn;

(d) y(t) 6 0 với t đủ bé và t đủ lớn.

Ta sẽ chứng minh (i) ) (ii) cho trường hợp (d), các trường hợp khác có thể chứng minh tương tự.

Do y(t) là một hàm nửa đại số và do cách xác định hàm y của trường hợp (d) nên y(t) 6 0 với bất kỳ t 2 [0, d) [ [r, +¥) với d > 0 đủ bé và r > 0 đủ lớn Từ

Bổ đề 1.2.12, tồn tại các hằng số a > 0, b > 0 và ˜ , ˜ sao cho a b y(t) = at a˜ + o(t a˜ ) khi t ! 0, (3.7) và ˜ ˜ (3.8) y(t) = bt b + o(t b ) khi t ! +¥.

Rõ ràng a˜ > 0 Từ (3.7) tồn tại d > 0 sao cho

Từ (3.8) tồn tại D > 0 sao cho với x 2 fz 2 V 1 : [ f (z) t] + Dg thì ta có b ˜

Do không tồn tại dãy loại hai nên hàm dist(x, [ f t]) bị chặn trên tập fz 2 V 1 : d [ f (z) t] + Dg. Điều này kết hợp với (3.9), (3.10) và (3.11) cho ta chứng minh (i) ) (ii).

(ii) ) (iii) Giả sử ta có (ii) Khi đó:

• Nếu x 2 [ f t] thì dist(x, [ f t]) = 0 và do vậy (iii) thoả mãn.

• Nếu x 2 V 1 thì (iii) là hệ quả của (ii).

Bởi vậy, ta có thể giả sử x 2/ [ ft] [ V 1 Xét x = (x 0 , x n ) 2 R n 1 R với x 0 = (x 1 , , xn 1) Ta đặt u x 0 (t) = f (x 0 , t) t , d! t và

Theo Bổ đề 1.2.13, với (t) = 1 (đạo hàm cấp d theo biến t), tồn tại một hằng số c0 > 0 không phụ thuộc vào x, trong trường hợp f(x) > t Điều này dẫn đến mối quan hệ mesS(x0) c0 (f(x) t) 1/d, trong đó mesS(x0) là độ đo Lebesgue của tập S(x0).

Do S(x 0 ) là một tập con nửa đại số đóng trong R nên ta có

Trong bài viết này, chúng ta xem xét một hàm f(x) với các tham số a_i, b_i, c_j thuộc R, với i = 1, , m và j = 1, , s Đặc biệt, ta nhận thấy rằng xn không bằng cj với mọi j từ 1 đến s, cho thấy cj là một điểm cô lập trong S(x0) Điều này dẫn đến kết luận rằng cj là một điểm cực trị của u x0(t), và do đó, đạo hàm của u x0 theo t tại cj bằng 0, tức là du x0/dt(cj) = 0.

(x 0 , cj) = 0 hay (x 0 , cj) 2 V1, trong khi giả thiết là x = (x 0 , xn) 2/ V1 Do ảxn đó, x n 2 fa i , b i ; i = 1, , mg.

Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng x n = a 1 Từ ju x 0 (a 1 )j = ju x 0 (b 1 )j, ta xét hai trường hợp sau:

• Nếu u x 0 (a 1 ) = u x 0 (b 1 ) thì tồn tại t 1 2 [a 1 , b 1 ] sao cho u x 0 (t 1 ) = 0, điều này nghĩa là f (x 0 , t 1) = t, tức là (x 0 , t 1) 2 f 1 (t) [ f t] Do đó dist(x, [ f t]) dist(x, (x 0 , t 1 )) = jx n t 1 j = ja 1 t 1 j mesS(x 0 ).

Kết hợp (3.12), ta được dist(x, [ f t]) c 0 ( f (x) t) 1/d và suy ra (iii).

• Nếu u x 0 (a 1 ) = u x 0 (b 1 ) thì từ Định lý Rolle, tồn tại t 2 2 [a 1 , b 1 ] sao cho dux 0 dt ( t

2 ) = 0, điều này nghĩa là (x 0 , t 2 ) 2 V 1 Chú ý rằng t 2 2 S(x 0 ), vậy từ (ii) ta suy ra tồn tại c > 0 để

2 + 2 + c dist((x 0 , t 2 ), [ f t]), với a, b là hai hằng số ở (ii) Chọn P(x 0 , t 2 ) là một điểm thuộc [ f t] thoả mãn dist((x 0 , t 2 ), [ f t]) = dist((x 0 , t 2 ), P(x 0 , t 2 )) Ta có dist(x, [ f t]) dist(x, P(x 0 , t 2))

Vì dist(x, (x 0 , t 2 )) = k(x 0 , x n ) (x 0 , t 2 )k = jx n t 2 j mesS(x 0 ) nên

Do đó dist(x, [ f t]) 2mesS(x 0 ) + 2 dist((x 0 , t 2 ), [ f t]) c 0 ( f (x) t) 1/d + 2 dist((x 0 , t 2), [ f t]).

Kết hợp với bất đẳng thức (3.13), ta có (iii).

(iii) ) (iv) Rõ ràng, (iii) suy ra không tồn tại dãy loại một và loại hai của [ f t].

Vì vậy (iv) là hệ quả của Định lý 3.1.2.

Theo Định lý 3.1.2, không tồn tại dãy loại một và loại hai của [f t], điều này dẫn đến việc không thể có dãy loại một và dãy loại hai của [f t] trên V1 Do đó, chúng ta có kết luận như đã nêu.

Nhận xét 3.1.8 Định lý 3.1.7 chứng tỏ rằng các dãy loại một và loại hai có thể được tìm trên tập V 1 cho bởi (3.6).

Ta có hệ quả sau, chứng minh tương tự như Định lý 3.1.4.

Hệ quả 3.1.9 (Công thức thứ hai cho L + ( f )) Cho đa thức f có dạng monic theo xn Khi đó ta có:

+ nếu F + 2 6= ˘ và h + 2 F + 2 , nếu F + 2 6= ˘, h + 6= ¥ và h + 2/ F + 2 , nếu F 2 = ˘, inf f > ¥ và f đạt infimum,

+ nếu F 2 = ˘, inf f > ¥ và f không đạt infimum,

+ trong đó các dãy loại 1 và loại 2 tương ứng của các tập [ f t] trong định nghĩa của các tập F + 1 và F + 2 đều tồn tại trên tập V 1

Mối liên hệ giữa các giá trị Fedoryuk với sự tồn tại của các cận sai số Holder¨ toàn cục

cận sai số Holder¨ toàn cục

Mối liên hệ giữa các giá trị Fedoryuk và sự tồn tại của các cận sai số Holder toàn cục đã được nghiên cứu trong nhiều công trình trước đây Trong phần này, chúng tôi chứng minh mối liên hệ này bằng cách chỉ ra rằng h + 2 K ¥ ( f ) [ f¥ g và F 1 K ¥ ( f ) Định nghĩa 3.2.1 nêu rõ rằng, đối với hàm đa thức f : R n ! R, tập các giá trị Fedoryuk của f, hay còn gọi là tập Fedoryuk, được xác định một cách cụ thể.

Ke ¥ ( f ) := ft 2 R : 9fx k g R n , kx k k ! ¥, kr f (x k )k ! 0, f (x k ) ! tg (3.14)

Nhận xét 3.2.2 Chú ý rằng Ke ¥ ( f ) có thể là một tập vô hạn phần tử, chẳng hạn, xét ví dụ sau (xem [72]), nếu f (x, y, z) = x + x 2 y + x 4 yz, thì

Chứng minh rằng X := {x ∈ R^n : f(x) ≥ t với t ∈ [inf f, +∞)} là một không gian metric đầy đủ với metric Euclid thông thường và hàm f : X → R bị chặn dưới Giả sử t ∈ F + 1 và {x_k} là dãy loại một của [f t], khi đó ||x_k|| → +∞, f(x_k) > t và f(x_k) → t Tồn tại d > 0 sao cho dist(x_k, [f t]) < d.

50 Đặt e k = f (x k ) t Ta có e k > 0 và e k ! 0 (khi k ! +¥) Đặt l k = p TừBổ e k đề 1.3.6, tồn tại một dãy fy k g X sao cho f (y k ) t + e k = f (x k ) và dist(y k , x k ) l k , hơn nữa, với bất kỳ x 2 X, x 6= y k , ta có k e k k (3.15) f (x) f (y ) l dist(x, y ). k

Ta có dist(y k , x k ) l k = p e k ! 0 và dist(x k , [ f t]) d > 0, do đó hình cầu

B(y k , 2 d ) = fx 2 R n : dist(y k , x) 2 d g chứa trong X Khi đó, bất đẳng thức (3.15) kéo theo bất đẳng thức f (y k + tu) f (y k ) p e k với mọi u 2 R n , kuk = 1 và t t 2 [0, 2 d ) Cho t ! 0 ta có hr f (y k ), ui p e k

Vì y k không phải là điểm tới hạn của f nên ta có r f (y k ) = 0 Đặt u = r f (y k ) ,

6 kr f (y k )k ta được kr f (y k )kp e k ! 0 Rõ ràng là f (y k ) ! t và ky k k ! ¥ Vì vậy t 2 Ke ¥ ( f )

Mệnh đề 3.2.4 Nếu [ f t] có một dãy loại hai fx k g, thì tồn tại một dãy loại hai fy k g cũng của [ f t] thoả mãn các tính chất sau: t f (y k ) f (x k ) và kr f (y k )k ! 0.

Hơn nữa, tồn tại một dãy con fy 0 k g của dãy fy k g sao cho lim f (y 0 k ) 2 Ke ¥ ( f ). k!¥

Chứng minh Giả sử fx k g là một dãy loại hai của [ f t] Đặt

X = fx 2 R n : f (x) tg, e k = f (x k ) t và l k = 2 dist(x k , [ f t]) Theo Bổ đề 1.3.6, tồn tại dãy y k 2 X sao cho f (y k ) t + e k = f (x k ),

Lấy y k 2 [ f t] sao cho dist(y k , [ f t]) = dist(y k , y k ) Ta được e dist( y k , [f t]) dist(x k , y k ) dist ( x k , y e k ) dist ( x k , [ e f t]) l 1 k

Từ đó tồn tại d > 0 sao cho dist(y k , [ f t]) d với k đủ lớn, kết hợp với

2 dist(x k , y k ) 1 ta có dist(x k , y k ) ! 0 Vì vậy, hình cầu B(y k , d ) chứa trong l k 2

X n [ f t] Đặt x k = y k + tu 2 B(y k , d ) với u 2 R n , kuk = 1 và t 2 [0, d ) Từ

Do đóhr f (y k ), ui l e k với bất kỳ u 2 R n thoả kuk = 1 Đặt u = r f (y k ) , k kr f ( y k )k chú ý rằng mẫu số khác 0 vì y k không phải là điểm tới hạn của f , suy ra kr f ( y k )k e k l k = dist(x k 2

Từ công thức t + e k = f (x k ), ta có t f (x k ) với M = sup k f (x k ) Điều này cho thấy tồn tại một dãy con của dãy f (x k ) hội tụ đến t 0 trong khoảng [t, M] Dãy con này được ký hiệu là f (x k ), và khi đó f (x k ) tiến đến t 0 Lưu ý rằng y k thuộc R n n [f t], vì vậy ky k k tiến đến vô cùng, t f (y k ) f (x k ) M nhỏ hơn vô cùng, khoảng cách dist(y k , [f t]) tiến đến vô cùng, và chuẩn kr f (y k )k tiến đến 0.

Từ đó suy ra tồn tại dãy con fy 0 k g là dãy loại hai của [ f t] thoả mãn lim f (y 0 k ) 2 Ke ¥ ( f ) và kr f (y 0 k )k ! 0. k!¥

Mệnh đề 3.2.5 Nếu F 2 6= ˘ và h+ là hữu hạn thì h+ 2 K¥( f ).

Để chứng minh rằng h + (hữu hạn) thuộc tập Ke ¥ ( f ), ta cần chỉ ra rằng với mọi e > 0 đủ nhỏ, điều kiện cần thiết được thỏa mãn.

Từ giả thiết, F + 2 chỉ có thể là một khoảng hoặc một điểm.

Nếu F + 2 là một khoảng, ta có thể giả định rằng với mọi e > 0 đủ nhỏ, tập [f h + e] không rỗng và tồn tại một dãy (x_k) thuộc R^n, với M thỏa mãn h + e < f(x_k) < M và khoảng cách dist(x_k, [f h + e]) tiến tới vô cùng.

Không mất tổng quát, giả sử rằng dãy f f (x k )g là dãy hội tụ.

Có ba trường hợp con sau:

1 Nếu lim f (x k ) < h+, thì từ Mệnh đề 3.2.4 ta có dãy fy k g sao cho k!¥ t < f (y k ) f (x k ) và dãy fy k g có dãy con hội tụ đến điểm thuộc tập Fedoryuk Do đó

+, thì ta có thể giả sử rằng f(x k ) h + + e với mọi k Lập k!¥ luận tương tự như trên, cũng sử dụng Mệnh đề 3.2.4, ta có

3 Nếu lim f (x k ) = h + + e 0 với e 0 > 0 thì ta có thể giả sử rằng 0 < e < e 0 k!¥

Với mỗi k lấy y k là điểm của f 1 (h + + e) sao cho dist(x k , [ f h + + e]) = kx k y k k với mọi k.

Do e > 0, nên [f h + + e] không có dãy loại hai, dẫn đến fx k g không phải là dãy loại hai của [f h + + e] Điều này cho thấy tồn tại A > 0 sao cho ky k x k k A với mọi k Do đó, ta có ky k k kx k k k y k x k k kx k k A, và vì vậy ky k k ! ¥ khi k ! ¥.

Lấy z k 2 f 1 (h + e) sao cho ky k z k k = dist(y k , [ f h + e]) với mọi k.

Hơn nữa ky k z k k kx k z k k k y k x k k dist(x k , [ f h + e]) A, suy ra dist(y k , [ fh + e]) ! ¥ Vì vậy fy k g là một dãy loại hai của [ f h + e] Do f (y k ) = h + + e từ Mệnh đề 3.2.4, ta có

Nếu F + 2 chỉ gồm một điểm, thì F + 2 = finf f g, và theo Định nghĩa 3.1.3, ta có h + = inf f Điều này dẫn đến việc [ f h + e] = ˘ và [ f h + ] 6= ˘ Theo Mệnh đề 3.2.4, tồn tại kg của [f h + ] với lim f(x k ) = h + + e Tương tự như trường hợp 3, ta có dãy loại hai fx sao cho k ! ¥ 0, và dãy fy k g f 1 (h + + e) (với e < e 0) là dãy loại hai của [ f h + ] Áp dụng Mệnh đề 3.2.4, ta có kết quả mong muốn.

Từ hai trường hợp ta đều có (3.17) đúng và do đó Mệnh đề được chứng minh.

Hệ quả 3.2.6 Nếu Ke¥( f ) = ˘ thì ta có:

(i) L + ( f ) = [inf f , +¥) nếu inf f > ¥ và f đạt infimum;

(ii) L + ( f ) = (inf f , +¥) nếu inf f > ¥ và f không đạt infimum;

Chứng minh Giả sử rằng K¥( f ) = ˘ Khi đó từ Mệnh đề 3.2.3, ta có F 1 = ˘. e +

Hơn nữa, từ Mệnh đề 3.2.4 thì tập F 2 cũng là tập rỗng Vì vậy, hệ quả này được

+ Định lý 3.2.7 Nếu #Ke ¥ ( f ) < +¥, thì L + ( f ) 6= ˘.

Chứng minh bằng phản chứng rằng L + (f) = ˘ Giả sử rằng #Ke ¥ (f) < +¥ và theo Mệnh đề 3.2.3, ta có #F + 1 < +¥ Dựa vào Định lý 3.1.4, ta kết luận rằng L + (f) = ˘ nếu và chỉ nếu h + = +¥ Do đó, với t 1 2 (inf f, +¥), tồn tại một dãy loại hai của [f t 1] Theo Mệnh đề 3.2.4, tồn tại M 1 > t 1 và a 1 2 [t 1, M 1] \ Ke ¥ (f) Chọn t 2 sao cho

54 cho M 1 < t 2 , do h + = +¥ nên tồn tại một dãy loại hai của [ f t 2 ] Vì vậy tồn tại M 2

Để chứng minh điều cần chứng minh, ta xét các số thực a2 và t2 sao cho a2 thuộc tập Ke ¥ (f) và t2 không thuộc tập này Qua quá trình lặp lại, ta có thể tìm ra một dãy vô hạn a1 < a2 < a3 < thuộc tập Ke ¥ (f) Điều này dẫn đến kết luận rằng số lượng phần tử của tập Ke ¥ (f) là vô hạn, tức là #Ke ¥ (f) = +¥, điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý đã đưa ra.

Trong trường hợp đa thức hai biến thực, ta có kết quả sau đây.

Hệ quả 3.2.8 Cho f : R 2 ! R là một hàm đa thức hai biến, khi đó L + ( f ) 6= ˘.

Chứng minh Dễ thấy K¥( f ) K C ( f ), trong đó e e¥

K C ( f ) := ft 2 C : 9fx k g C n , kx k k ! ¥, kr f (x k )k ! 0, f (x k ) ! tg. e ¥

Khi đó, theo Định lý 1.3.2 của H V Hà [29] (xem thêm [50]), ta có #K C ( f ) < +¥, e¥ từ đó #Ke ¥ ( f ) < +¥ Áp dụng Định lý 3.2.7, ta có L + ( f ) 6= ˘.

Sau đây, chúng tôi trình bày một ví dụ mà tập Ke ¥ ( f ) là một tập vô hạn và

L + ( f ) là tập rỗng Ví dụ này chỉ ra rằng Định lý 3.2.7 không còn đúng nếu bỏ đi giả thiết tập Ke ¥ ( f ) là hữu hạn.

Ví dụ 3.2.9 Cho đa thức (xem [17, Ví dụ 3.1])

Khi đó, ta có K ¥ (F) = R và L + (F) = ˘ t 6

Thật vậy, e x y y y z y 2 lấy =1 + 3 và = t ( = 0), ta có k(x, y, z)k ! ¥, krF(x, y, z)k ! 0, F(x, y, z) ! t (khi y ! 0).

Từ đây suy ra t 2 Ke ¥ (F), 8t 6= 0 Tương tự, lấy x = 1 y + y 3 và z = 1 , ta có y y

Để chứng minh rằng L + (F) = ˘, chúng ta cần chứng minh rằng h + = +¥, tức là với mọi a > 0, a 2 F + 2 Cụ thể, chúng ta sẽ chỉ ra rằng [F a] (với a > 0) luôn có một dãy loại hai.

Với mọi e > 0 đủ bé, xét dãy w n = (x n , y n , z n ) sao cho

Dễ thấy w n 2 F 1 (a + e) và ta có khẳng định sau:

Khẳng định 5 dist(w n , F 1 (a)) ! +¥ (n ! ¥) Do đó a 2 F + 2

Chứng minh Giả sử rằng dist(w n , F 1 (a)) = kw n u n k, trong đó u n = (a n , b n , c n ) 2 F 1 (a).

Bằng phản chứng, giả sử tồn tại M > 0 sao cho dist(w n , F 1 (a)) M, khi đó kw n u n k < M Do đó ta có jx n a n j < M Điều này kéo theo: xn M < an < xn + M tức là 1 M < an < 1 + M (3.18) y n y n

Ta có jz n c n j < M và z n ! +¥ nên c n ! +¥ Chú ý rằng c n = a b n 2 + (a n b n 1) 2 nên a n b n 1 ! 0 và b n ! 0.

Xét b n > 0 Từ (3.18) suy ra bn 1 a n b n 1 b n 1,

Mb n + Mb n yn y n ta được b n Mb n , do đó

Vì bn ! 0, anbn 1 ! 0 nên ta có y n 1 ! 0 hay y n ! 1 Sử dụng bất đẳng thức jzn cnj < M, ta có: a + e (a n b n a tức là (a + e)b n 2 ab n 2 2 y 2 n 1) 2 + b n2 < M y 2 n ( anbn 1) 2 + b n 2 < Mbn.

Do b n ! 0, ! 1 nên ! a + e Mặt khác y n (a n b n 1) 2 + b n 2 ab 2 n a.

56 Điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Trường hợp b n < 0 suy luận tương tự, chỉ cần thay (3.19) bằng

( a n b n 1) y b n 1 Mb n n và cũng suy ra mâu thuẫn.

Do đó, dist(w n , F 1 (a)) ! +¥ (n ! ¥) Chú ý rằng w n 2 F 1 (a + e) nên dist(w n , F 1 (a)) = dist(w n , [F a]).

Từ đó ta có dist(w n , [F a]) ! +¥ (n ! ¥) và suy ra a 2 F + 2 Khẳng định được chứng minh

Từ Khẳng định 5, ta có a 2 F + 2 với mọi a > 0 Từ đó nếu t < a thì t 2 F + 2 Do inf f = ¥ nên ta được F + 2 = R, khi đó h + = +¥ Vậy L + (F) = ˘.

Ví dụ trên giúp chúng ta hiểu rõ hơn về cận sai số Holder toàn cục Đặc biệt, trong trường hợp tập Fedoryuk vô hạn, khái niệm cận sai số Holder toàn cục có thể trở nên không còn hữu ích.

Các kiểu ổn định của các cận sai số Holder¨ toàn cục

Dựa vào cấu trúc nửa đại số một chiều và công thức của tập L + (f) theo Định lý 3.1.4, chúng ta định nghĩa các kiểu ổn định của cận sai số Holder toàn cục Cụ thể, với t thuộc khoảng [inf f, +∞) và f là một đa thức n biến thực, chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa 3.3.1 về các kiểu ổn định này.

1 t là y-ổn định nếu t 2 L + ( f ) và tồn tại e > 0 sao cho (t e, t + e) L + ( f );

2 t là y-ổn định phải nếu t 2 L + ( f ) và tồn tại e > 0 sao cho [t, t + e) L + ( f ) và (t e, t) \ L + ( f ) = ˘;

3 t là y-ổn định trái nếu t 2 L + ( f ) và tồn tại e > 0 sao cho (te, t] L + ( f ) và (t, t + e) \ L + ( f ) = ˘;

4 t là y-cô lập nếu t 2 L + ( f ) và với mọi e > 0 đủ nhỏ thì

5 t là n-ổn định nếu t 2/ L + ( f ) và tồn tại e > 0 sao cho

6 t là n-ổn định phải nếu t 2/ L + ( f ), tồn tại e > 0 sao cho [t, t + e) \ L + ( f ) = ˘ và (t e, t) L + ( f );

7 t là n-ổn định trái nếu t 2/ L + ( f ), tồn tại e > 0 sao cho (te, t] \ L + ( f ) = ˘ và (t, t + e) L + ( f );

8 t là n-cô lập nếu t 2/ L + ( f ) và với mọi e > 0 đủ nhỏ thì

Ta xét 3 trường hợp tương ứng của tập các giá trị Fedoryuk.

3.3.1 Trường hợp tập Fedoryuk là tập rỗng

Từ Hệ quả 3.2.6 và Định nghĩa 3.3.1, ta có hệ quả sau.

Hệ quả 3.3.2 Nếu Ke ¥ ( f ) = ˘ thì t 2 [inf f , +¥) là một trong các kiểu sau:

• Nếu t 2 (inf f , +¥), thì t là y-ổn định.

• Nếu t = inf f và f 1 (inf f ) 6= ˘ thì t là y-ổn định phải.

• Nếu t = inf f và f 1 (inf f ) = ˘, thì t là n-ổn định trái.

(ii) Trường hợp inf f = ¥: t là y-ổn định với mọi t 2 R

Định lý C trong [32] chứng minh rằng nếu f là một đa thức đủ tổng quát, thì Ke ¥ ( f ) = ˘ Từ Hệ quả 3.3.2, chúng ta chỉ có hai trường hợp và các kiểu ổn định tương ứng.

3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập hữu hạn và khác rỗng

Chúng ta sẽ phân loại các kiểu ổn định của cận sai số Holder trong trường hợp tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn và khác rỗng Theo Định lý 3.3.4, nếu K ¥ ( f ) là một tập hữu hạn và khác rỗng cùng với t thuộc khoảng [inf f , +¥), thì t sẽ thuộc một trong các kiểu ổn định đã được xác định.

Trường hợp A Nếu h + = inf f và inf f > ¥ thì

(i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếu t > h + và t 2/ F + 1 ;

(ii) t là y-ổn định phải nếu t = h + 2 L + ( f ) và f 1 (inf f ) 6= ˘;

(iii) t là n-ổn định trái nếu t = h + 2/ L + ( f ) hoặc f 1 (inf f ) = ˘;

(iv) t là n-cô lập nếu và chỉ nếu t 2 F + 1

Trường hợp B Nếu h + > inf f > ¥ và h + hữu hạn thì

(i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếu t > h + và t 2/ F + 1 ;

(ii) t là y-ổn định phải nếu và chỉ nếu t = h + và h + 2 L + ( f );

(iii) t là n-ổn định nếu và chỉ nếu inf f t < h + ;

(iv) t là n-ổn định trái nếu và chỉ nếu t = h + 2/ L + ( f );

(v) t là n-cô lập nếu và chỉ nếu t > h + và t 2 F + 1

Chứng minh Chú ý rằng từ giả thiết tập Ke ¥ ( f ) là một tập hữu hạn khác rỗng, ta có tập F + 1 cũng là tập hữu hạn.

Xét trường hợp A: h + = inf f > ¥ Từ Định lý 3.1.4, ta có

Suy ra [ f t] có cận sai số Holder¨ toàn cục với mọi t > h + và t 2/ F + 1

Xét trường hợp B: h + là một giá trị hữu hạn và h + > inf f > ¥ Từ Định lý 3.1.4, ta có

L + ( f ) = [h + , +¥) n F + 1 hoặc (h + , +¥) n F + 1 Quan sát công thức trên của tập L + ( f ), ta được:

• t là y-ổn định nếu và chỉ nếu t 2 (h + , +¥) n F + 1 , suy ra khẳng định (i);

• Nếu L + ( f ) = [h + , +¥) n F + 1 thì t = h + là y-ổn định phải, từ đó ta có khẳng định (ii);

• inf f < t < h + nếu và chỉ nếu t 2 F + 2 Từ (inf f , h + ) F + 2 kéo theo rằng t là n- ổn định nếu và chỉ nếu inf f t < h + Ta có khẳng định (iii);

• t = h + nhưng h + 2/ L + ( f ) cho nên L + ( f ) = (h + , +¥) n F + 1 , điều này kéo theo (h + e, h + ] \ L + ( f ) = ˘ Do đó t = h + là n-ổn định trái, ta có khẳng định (iv);

• Bởi tính hữu hạn của tập F + 1 nên các điểm của tập này là cô lập Do đó t là n-cô lập nếu và chỉ nếu t 2 F + 1 Ta có khẳng định (v).

Trong trường hợp khẳng định (ii) được xác lập, tức là t là y-ổn định, thì khẳng định (iv) không thể xảy ra, nghĩa là t không thể là n-ổn định trái Ngược lại, nếu t là n-ổn định trái, thì t cũng không thể là y-ổn định Do đó, hai kiểu ổn định này loại trừ lẫn nhau.

Bây giờ, ta đưa ra ước lượng về số thành phần liên thông của tập L + ( f ).

Mệnh đề 3.3.6 Cho f : R n ! R là một đa thức bậc d Khi đó, nếu #K C ( f ) < +¥ thì e¥ số thành phần liên thông của L + ( f ) bị chặn bởi

Chứng minh Dễ thấy K¥( f ) K C ( f ) Khi đó, theo [44, Định lý 1.1], ta có e e¥

Do đó, từ Định lý 3.1.4 và Mệnh đề 3.2.3, ta có số thành phần liên thông của L + ( f ) bị chặn bởi (d 1) n 1 + 1

3.3.3 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập vô hạn

Từ cấu trúc đơn giản của tập L + (f) trong Định lý 3.1.4, chúng ta có thể phân loại tất cả các kiểu ổn định có thể có của các cận sai số Holder toàn cục của [ft] khi t thay đổi, đặc biệt trong trường hợp Ke ¥ (f) là một tập vô hạn Trong trường hợp này, có thể liệt kê 8 kiểu ổn định theo Định nghĩa 3.3.1, và về lý thuyết, chúng có thể cùng tồn tại Tuy nhiên, chúng tôi không liệt kê ở đây vì điều này tương tự như phát biểu của Định lý 3.3.4.

3.4 Tập L + ( f ) trong trường hợp đa thức hai biến thực

3.4.1 Tính toán tập L+ ( f ) trong trường hợp hàm hai biến a Khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của các đường cong đại số affine

Cho g(x, y) là một đa thức 2 biến thực monic theo y Để mô tả quỹ tích thực của đường cong g(x, y) = 0, chúng ta sử dụng nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của phương trình g(x, y) = 0.

Xột y(x) = ồ c k x p , chỳ ý rằng nếu x > 0 thỡ c k x p 2 R, với c k 2 R. k= ¥

Các quỹ tích thực của g(x, y) = 0 với x > r1 được xác định bởi các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của phương trình này Để mô tả quỹ tích thực của đường cong g(x, y) = 0 trong nửa đường thẳng (¥, r), r1, chúng ta áp dụng các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong g(x, y) với điều kiện x > r và r1 Đối với đa thức g, ký hiệu được sử dụng để phân tích các nghiệm này.

• RP + (g) là tập tất cả các nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y);

• RP (g) là tập tất cả các nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của g(x, y) Đặt RP(g) = RP + (g) [ RP (g) Từ định nghĩa của RP + (g) và RP (g) ta có

Để tính tập RP(g), có thể áp dụng thuật toán Newton cổ điển nhằm xác định các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong affine Ngoài ra, phần mềm MAPLE cũng là một công cụ hữu ích; bằng cách sử dụng lệnh "puiseux" trong gói lệnh "algcurves", người dùng có thể tìm ra các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn cho đường cong g(x, y) = 0.

Giả sử j là chuỗi Newton–Puiseux tại vô hạn, có dạng: m k m j(x) = ồ c k x p = c m x p + cỏc số hạng cú bậc thấp hơn. k= ¥

Cấp tăng tại vô hạn của chuỗi j, ký hiệu v(j), được xác định như sau:

Để xác định xem một giá trị có thuộc vào tập L + ( f ) hay không, cần ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tập dưới mức Đây là một bài toán khó trong trường hợp tổng quát Tuy nhiên, với hàm hai biến (n = 2), có thể áp dụng Hệ quả 3.1.9 cùng với công thức của tập L + ( f ) và bổ đề liên quan để giải quyết vấn đề này.

Bổ đề 3.4.1 ( [31, Mệnh đề 2.3]) Cho f và g là các đa thức hai biến thực monic theo y và j 2 RP+(g) [ RP (g) Khi đó, tồn tại c > 0 và r 1 sao cho với mọi x > r thì:

1c j x j v ( j,V + ( f )) dist ( x, j ( x )) , V + ( f ) c j x j v ( j,V + ( f )) với v(j, V + ( f )) = min fv(j y)g nếu j 2 RP + (g); hoặc y2RP + ( f )

1c j x j v ( j,V ( f )) dist ( x, j ( x )) , V ( f ) c j x j v ( j,V ( f )) với v(j , V (f)) = min )fv(j )g nếu j 2RP ( ) y2 RP ( f y g

62 b Tính khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong đại số affine

Trong tiểu mục này, ta sẽ nhắc lại cách tính toán khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của một đường cong đại số.

Cho g(x, y) là đa thức monic theo y có bậc d Xét đường cong phức V C (g). Đặt gˆ(x, y, z) := z d g x z , y z Khi đó V C (g) là compact hoá của đường cong

V C (g) trong mặt phẳng xạ ảnh CP 2 , được cho bởi:

Tập V C (g) \ fz = 0g là giao của đường cong V C (g) với đường thẳng tại vô hạn của CP 2 , được xác định như sau:

V C (g) \ fz = 0g = f[x : y : 0] 2 CP 2 : g d (x, y) = 0g, trong đó g d (x, y) là thành phần thuần nhất bậc d của đa thức g.

Vì g có dạng monic nên tất cả các điểm thuộc V C (g) \ fz = 0g đều chứa trong bản đồ fx = 1g của đa tạp CP 2 Vì vậy,

V C (g) \ fz = 0g = f[1 : c i : 0] 2 CP 2 , i = 1, , mg, với fc i , i = 1, , mg là các nghiệm của đa thức g d (1, y) = 0.

Gọi fy i1 (z), , y ik ( i ) (z)g, i = 1, , m là tập tất cả các khai triển Newton-

Puiseux của mầm gˆ(1, y, z) tại điểm (0, c i ) có thể được xác định thông qua các chuỗi y i1, , y i = 1, , m, được tính tường minh bằng thuật toán Newton (tham khảo [7, Mục 8.3] hoặc [85, Chương 4]) Đặt k(i) = d (tổng bội) và khi đó i=1.

1 y(x) = xy ij x , i = 1, , m; j = 1, , k(i), là các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong V C (g).

Ví dụ 3.4.2 Xét g(x, y) = 2y 3 + x 2 y 2y x Khi đó, thuần nhất hoá, ta được: gb(x, y, z) = 2y 3 + x 2 y 2yz 2 xz 2

Chúng ta sẽ tính toán các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của phương trình g(x, y) = 0, bắt đầu với điểm A1 và các điểm tương tự Để thực hiện điều này, chúng ta xem xét hàm ge(z, y) = gb(1, y, z) = 2y^3 + y^2yz^2 + z^2 Tiếp theo, chúng ta sẽ tiến hành các khai triển Newton-Puiseux cho đường cong ge(z, y) = 0 trong lân cận của điểm đã cho.

(0, 0) Theo thuật toán Newton (xem, chẳng hạn, [7, Mục 8.3, trang 377]), từ đầu tiên của y¯(z) là z 2 Để tính từ tiếp theo của y¯(z), đặt y¯(z) = z 2 (1 + j) Ta có

Lặp e e z 2 (1 + y) và: lại thuật toán Newton, ta có j = 2 z 2 [1 + 2z 2 (1 + y)] 3 + y 2z 2 2z 2 y = 0.

Vì vậy, y = z 2 + Điều này kéo theo y(z) = z 2 + 2z 4 + 2z 6 + Do đó,

1 1 2 2 y(x) = xy( x ) = x + x 3 + x 5 + là một khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0.

Theo định lý hàm ẩn, tại điểm (0, 0), y được xác định là một hàm giải tích thực, dẫn đến y(x) trở thành một nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của phương trình g(x, y) = 0 Quy trình tính toán tập L + (f) sẽ được thực hiện tiếp theo.

Giả sử đa thức f là monic theo y với bậc d, chúng ta sẽ áp dụng công thức thứ hai của L + ( f ) để tính toán tập hợp này Cần lưu ý rằng trong trường hợp có hai biến, L + ( f ) không bằng ˘ theo Hệ quả 3.2.8.

Với c là một điểm bất kỳ thuộc R, từ định nghĩa của các tập F + 1 và F + 2 và

(ic) c 2 F + 1 nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:

Hoặc9 y(x ) 2RP ( ả f )sao cho f (x, y(x)) c, lim ( ,y(x )) =c với ảy

64 hoặc (x )2 RP ( ả f ) sao cho f ( , (x)) c , lim ( , (x )) =c với

(ii c ) c 2 F + 2 nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn:

Hoặc (x) 2 RP ( ả f )sao cho f( (x)) c, x lim ( , (x)) = Ơ với

9 y + ảy x, y +Ơ f x y 6 e min ve(y y) > 0, e e ! ả f y2RP + ( f c) ))=Ơ hoặc ( ) RP ( ) sao cho ( , ( )) , lim ( , ( với 9 ye x 2 ảy f x ye x c x!+¥ f x ye x 6 min (ye y ) >0.

Từ điều kiện (i c ), ta có: y2RP ( f c) v ảy , f (x, y(x)) c,

[ c 2 R : 9 ye ( x ) 2 RP ảy, f ( x, ye(x)) c, x!+¥ f ( x y x )) =c , y2RP ( f c) v y y ) lim , ( min (e 0 e

Vì vậy, từ công thức thứ hai của L + ( f ) (Hệ quả 3.1.9), để tính L + ( f ) thì ta chuyển về tính h + Đặt

P(f ): = fc 2 R (x ) 2RP (ả f ): lim ( , (x)) = cg ảy j9 e y + x +¥ lim f x y , e

( ) = f 1 2 sg < < < s Từ định nghĩa của tập

F 2 và công thức của L + ( f ) trong Hệ quả 3.1.9, ta có

Các tính toán cho hai phía trục Oy được thực hiện riêng biệt, với phía bên phải liên quan đến f(x, y) và phía bên trái cũng liên quan đến f(x, y) Điều này được thể hiện qua các Bổ đề 3.4.1 cùng với các điều kiện (i c), (ii c) và các tập F + 1, P(f).

65 Để tính h + , ta thực hiện các bước lặp sau:

• Nếu (ii c ) là đúng với c = a s thì h + = a s và tính toán hoàn thành.

• Nếu (ii c ) không đúng với c = a s thì ta lấy một giá trị bất kỳ b 2 (a s 1 , a s )

Có hai khả năng sau:

Trước hết, nếu (ii c ) đúng với c = b thì b 2 F + 2 và h + 2 [b, a s ].

Do h + 2 P( f ) [ f ¥g và [b, a s ] \ P( f ) = fa s g, ta có, h + = a s và tính toán hoàn thành;

Nếu (ii c ) không đúng với c = b thì h + a s 1 và chúng ta chuyển sang bước tiếp theo.

2 Lặp lại bước 1 với a s được thay bằng a s 1:

Nếu h + = a s 1 thì tính toán hoàn thành Ngược lại, ta tiếp tục lặp lại bước 1 với a s được thay bằng a s 2

Theo quy trình này thì hoặc ta tìm được ai 0 , i0 2 f1, , sg sao cho h + = ai 0 hoặc ta chỉ ra h + < a 1 Trong trường hợp sau thì h + = ¥.

3.4.2 Ví dụ Đầu tiên, ta sẽ minh hoạ quy trình tính toán tập L + ( f ) qua một ví dụ trong [36,

Ví dụ 3.4.4 Cho f (x, y) = (y 2 1) 2 + (xy 1) 2 Ta tính tập L + ( f ).

• Tớnh khai triển Newton-Puiseux tại vụ hạn của ả ảy f

Xét g(x, y) = 4y 3 + 2x 2 y 4y 2x Bằng phần mềm MAPLE, sử dụng lệnh

"puiseux" của gói lệnh "algcurves" để khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x, y) = 0, với lệnh:

> PE := convert(puiseux(g, x = infinity, y, 7, t), list);

Kết quả của MAPLE: 13 RootOf x = 1

MAPLE cho ra nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn là:

Vì vậy ta có, ảy = y(x) = x + x 3 + x 5 +

Sử dụn g MAPLE với lệnh: o

Từ đó ta có f ( ( ))1 và lim f( , ( ))=1, x, ye x x!+¥ x ye x tương tự, f ( x, y 0 (x)) 1 và lim f ( x, y 0 (x)) = 1. e x!+¥ e

Ta kiểm tra h+ = 1 hay không: Từ f (x, y(x)) 1, ta có 1 2/ F 2 e +

Ta cũng có thể chỉ ra 1 62F 2 nhờ điều kiện (ii c ) Thật vậy, ta tính nghiệm +

> PG := convert(puiseux(f-1, x = infinity, y, 4, t), list);

MAPLE cho ta các nghiệm thực: x = 1 , y = 2 t 4 + t 3 RootOf _Z 2 2

Từ đây suy ra ye(x) y 1 (x) ye(x) y 2 (x) p

Vì vậy, min v(ye y) < 0 Lặp lại các lập luận trên cho nghiệm ye 0 (x) y2RP + ( f 1) của RP ả f và RP ( f 1) ta cũng cú ảy min v(y 0 y) < 0. y2RP ( f 1)

Do đó (ii c ) không thoả mãn nên 1 2/ F +

Chú ý rằng inf f = 0 và f 1 (0) = f(1, 1) Đối với 0 < t < 1, ta có thể kiểm tra nhanh chóng t 2 F + 2 Thực tế, f 1 (t) là compact nếu t thuộc [0, 1) và không-compact nếu t = 1 Do đó, h + = 1.

F + 1 Do min v(ye y) < 0 y2RP + ( f 1) cùng với min v(ye 0 y) < 0 y2RP ( f 1) ta thấy rằng (i c ) không thoả mãn Từ đó suy ra 1 2/ F + 1

Do đó, với bất kỳ t 2 [0, +¥), ta có thể phân loại được tất cả các kiểu ổn định của cận sai số Holder¨ toàn cục của [ f t]:

• Nếu t 2 (1, +¥) thì t là y-ổn định;

• Nếu t = 1 thì t là y-ổn định phải;

• Nếu t 2 (0, 1) thì t là n-ổn định.

Ví dụ 3.4.5 Xét f (x, y) = (y + 1)[y 2 + (xy 1) 2 ] Ta có F + 2 = ˘, inf f = ¥,

Do đó, nếu t 6= 0 thì t là y-ổn định, t = 0 là y-cô lập Có thể xét f như một đa thức n biến, chẳng hạn f (x 1 , x 2 , , x n ) = (x 2 + 1)[x 2 2 + (x 1 x 2 1) 2 ].

Ta có inf f = 0, F + 2 = f0g, F + 1 = f0g, vì vậy h + = 0 và

Do đó, t = 0 là n-ổn định trái và t là y-ổn định với mọi t 6= 0 Có thể xét f như một đa thức n biến, chẳng hạn f (x1, x2, , xn) = x1 2

Cận sai số Holder¨ toàn cục và bất đẳng thức Łojasiewicz gradi-

Cận sai số Holder¨ toàn cục cho hàm định nghĩa được

Trong các mục từ đây trở về sau, tập S luôn được giả sử là tập dưới mức tương ứng với t = 0, cụ thể là

78 trong đó f : R n ! R là một hàm định nghĩa được trong một cấu trúc o-tối tiểu.

4.1.1 Các bất đẳng thức kiểu Łojasiewicz gần tập và xa tập

Mục đích của phần này là mở rộng các Định lý 2.1 và 2.2 trong [32] cho các hàm định nghĩa liên tục Khó khăn chính trong việc mở rộng này là sự thiếu hụt của Bổ đề 1.2.12 trong các cấu trúc o-tối thiểu tổng quát Do đó, chúng tôi áp dụng Định lý 1.2.9 để chứng minh các kết quả này.

Mệnh đề sau đây là một mở rộng của Định lý 2.1 trong [32]:

Mệnh đề 4.1.1 (Bất đẳng thức "gần tập") nêu rằng cho hàm f : R n → R là hàm liên tục và S ≠ ∅, thì hai khẳng định sau là tương đương: (i) Đối với dãy x k ∈ R n \ S, nếu x k → ∞ và f(x k) → 0, thì khoảng cách dist(x k, S) → 0.

(ii) Tồn tại d > 0 và một hàm m : [0, d] ! R định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt trên [0, d) với m(0) = 0 sao cho m([ f (x)] + ) dist(x, S), 8x 2 f 1 (( ¥, d]) (4.1)

(ii) ) (i) : Giả sử x k 62S, x k ! ¥ và f (x k ) ! 0 Ta có [ f (x k )] + = f (x k ) Từ tính liên tục của hàm m tại 0, ta được m( f (x k )) ! 0 Chú ý rằng 0 < f (x k ) < d nếu k1 Khi đó, bất đẳng thức (4.1) kéo theo dist(x k , S) ! 0.

(i) ) (ii) : Không mất tổng quát, giả sử rằng S 6= R n Khi đó tồn tại t 0 > 0 sao cho f

1(t 0 ) 6= ˘ Vì f là hàm liên tục, nên f 1 (t) 6= ˘ với mọi 0 t 1. Đặt m( ): = sup dist (x, S), t 0. t x2 f 1 (t)

Ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại d > 0 đủ bé sao cho m(t) có những tính chất cần thiết.

Chúng ta chứng minh rằng tồn tại một số d > 0 sao cho m(t) luôn nhỏ hơn vô cùng với mọi t thuộc khoảng [0, d) Giả sử ngược lại, có một dãy tk > 0, tk tiến tới 0 sao cho m(tk) = vô cùng với mọi k Khi đó, tồn tại dãy xk thuộc f^(-1)(tk) sao cho khoảng cách dist(xk, S) tiến tới vô cùng khi k tiến tới vô cùng Do đó, f(xk) tiến tới 0 và xk tiến tới vô cùng, dẫn đến một mâu thuẫn.

Theo Mệnh đề 1.2.6 và 1.2.7, cùng với Định lý 1.2.4, ta xác định được hàm m(t) trên khoảng [0, d] Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.9 và điều chỉnh giá trị d nếu cần thiết, chúng ta có thể khẳng định rằng hàm m là liên tục và đơn điệu chặt trên khoảng (0, d].

Ta sẽ chứng minh rằng m liên tục tại 0 Giả sử m không liên tục tại 0 Khi đó, tồn tại một dãy số tk ! 0 sao cho m(t k ) = sup dist(x, S) 9 0. x2 f 1 ( tk )

Có một dãy x_k mà f(x_k) khác 0 và khoảng cách dist(x_k, S) không bằng 0 Nếu x_k tiến tới một điểm x trong R^n, tính liên tục của f cho thấy f(x_k) tiến tới f(x), dẫn đến f(x) = 0, điều này mâu thuẫn với khoảng cách dist(x_k, S) Do đó, ta kết luận rằng x_k tiến tới vô cùng, f(x_k) khác 0 và dist(x_k, S) không bằng 0, điều này cũng mâu thuẫn với giả thuyết ban đầu Vì vậy, hàm m là liên tục và đơn điệu trên khoảng [0, d].

Vì m(0) = 0 và m(t) > 0 với mọi t 2 (0, d] nên nếu d đủ bé thì m(t) là hàm tăng ngặt trên [0, d].

Với 0 < t d, với mọi x 2 f 1 (t), ta có t ) = a2 f 1 ( t ) dist(a , S ) dist(x , S ). m( sup

Vì vậy, m([ f (x)] + ) dist(x, S) với mọi x 2 f 1 (( ¥, d]).

Nhận xét 4.1.2 Điều kiện m là liên tục tại 0 và m(0) = 0 trong (ii) là cần thiết x

Chẳng hạn, xét hàm f : R ! R, x 7!1 + x 2 Dễ thấy f là hàm nửa đại số vì đồ thị của f là tập nửa đại số f(x, y) 2 R 2 j(1 + x 2 )y = xg, ngoài ra f là hàm khả vi.

Ta có S = ( ¥, 0] Khi đó, ta chọn

80 lấy dãy x k 0 thì ta có x ¥, fx 01 x S i Hàm này là nửa đại số, liên tục trên khoảng 0, và lim m(t) = 1 Mặt khác,

! ! và dist( k , ! không thoả mãn.

Mệnh đề sau đây là một mở rộng của Định lý 2.2 trong [32].

Mệnh đề 4.1.3 đề cập đến bất đẳng thức "xa tập", trong đó nếu mọi dãy \( x_k \in \mathbb{R}^n \) thỏa mãn \( x_k \to \infty \) và \( \text{dist}(x_k, S) \to \infty \), thì giá trị \( f(x_k) \to \infty \) Điều này dẫn đến sự tồn tại của một hằng số \( r > 0 \) và một hàm \( m: [r, +\infty) \to \mathbb{R} \) được định nghĩa, với tính chất đơn điệu tăng và liên tục trên khoảng \( [r, +\infty) \), sao cho \( \lim_{t \to +\infty} m(t) = +\infty \) và \( t \to +\infty \) thì \( m([f(x)]^+) \) tương ứng với \( \text{dist}(x, S) \) cho mọi \( x \in f^{-1}([r, +\infty)) \).

Trường hợp 1: Hàm f bị chặn trên, tức là r 0 := sup x 2 R n f (x) < +¥.

Từ giả thiết, ta suy ra tồn tại M > 0 sao cho dist(x, S) M với mọi x 2 R n Lấy bất kỳ r 2 (0, r 0 ) Với mọi x 2 f 1 ([r, r 0 )), f (x) r = M r

Khi đó hàm m(t) := r t với t r thỏa mãn các tính chất ta yêu cầu.

Từ tính chất liên tục của f và S 6= ˘, ta có f 1 (t) 6= ˘ với mọi t 0 Đặt m(t) = sup dist(x, S). x2 f 1 ( t )

Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một số r sao cho m(t) < +∞ với mọi t thuộc khoảng r Giả sử ngược lại, tức là m(t) = +∞ với t ≥ 1 Khi đó, tồn tại một dãy x_k thuộc f(1, t) sao cho khoảng cách dist(x_k, S) tiến tới +∞ và x_k tiến tới +∞ Điều này tạo ra mâu thuẫn với giả thiết ban đầu Do đó, kết luận rằng m(t) < +∞ với mọi t thuộc [r, +∞).

Từ đây, ta có thể kết luận rằng m là một hàm được định nghĩa rõ ràng trên khoảng [r, +∞) Bằng cách áp dụng Định lý 1.2.9 và điều chỉnh giá trị của r nếu cần thiết, chúng ta có thể khẳng định rằng m là hàm liên tục và đơn điệu trong khoảng [r, +∞).

Ta có 2 trường hợp con:

Trường hợp 2.1: M = +¥ Ta có lim m(t) = +¥ Vì vậy, hàm m là đơn điệu tăng t!+¥ ngặt trên [r, +¥) Hơn nữa m([ f (x)] + ) = m( f (x)) dist(x, S) với mọi x 2 f 1 ([r, +¥)).

Trường hợp 2.2: M < +¥ Dễ thấy với mọi x sao cho f (x) r, ta có dist(x, S) M, vì vậy f (x) r = M r

M Mr dist ( x, S ) Khi đó, hàm m(t) := Mt r với t r, có các tính chất thỏa mãn mệnh đề.

Nhận xét 4.1.4 Điều ngược lại của mệnh đề trên là không đúng Thật vậy, xét f : R ! R, x 7!p x

Hàm f là khả vi nửa đại số vì đồ thị của f là tập

1 + x 2 f(x, y) 2 R 2 j(1 + x 2 )y 2 = x 2 g \ fxy > 0g Ta có S = ( ¥, 0] Chọn 0 < r < 1 và đặt 8 x = t x S p 1 t 2 r

: Hàm này là định nghĩa được, đơn điệu tăng và liên tục Mặt khác, lấy x k = k, ta có x k ! +¥, dist(x k , S) = k ! +¥ và f (x k ) ! 1.

4.1.2 Tiêu chuẩn tồn tại cận sai số Holder¨ toàn cục Định lý sau đây mở rộng Định lý A của Hà Huy Vui trong [32] (xem Định lý 3.1.2) cho hàm định nghĩa được, liên tục trong cấu trúc o-tối tiểu bất kỳ. Định lý 4.1.5 Cho f : R n ! R là một hàm định nghĩa được, liên tục Giả sử rằng

S 6= ˘ và [ f (x)] + := maxf f (x), 0g Khi đó, hai khẳng định sau là tương đương

(ii) Tồn tại một hàm m : [0, +¥) ! R định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt và liên tục với m(0) = 0, lim m(t) = +¥ sao cho t!+¥ m([ f (x)] + ) dist(x, S), với mọi x 2 R n

Chứng minh Dễ thấy (ii) ) (i) Ta chứng minh (i) ) (ii).

Thật vậy, từ Mệnh đề 4.1.1, tồn tại hàm định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt m 1 trên [0, d] với 0 < d 1, m 1(0) = 0 sao cho dist(x, S) m 1 ([ f (x)] + ) với mọi x 2 f 1 (( ¥, d]).

Từ Mệnh đề 4.1.3, tồn tại hàm định nghĩa được, liên tục và đơn điệu tăng ngặt m 2 trên [r, +¥) với r 1 và lim m 2 (t) = +¥ sao cho t!+¥ dist(x, S) m 2 ([ f (x)] + ) với mọi x 2 f 1 ([r, +¥)).

Vì lim m 2(t) = +¥ nên ta có thể chọn r đủ lớn sao cho m 2(r) > m 1(d). t!+¥

Ta định nghĩa hàm m 3 : [d, r] ! R xác định bởi công thức sau: m 3(t) := b a d (b a) + a với a := m 1 (d), b := m 2 (r) (4.3) r d t r d

Vì a < b nên m 3 (t) là hàm định nghĩa được, tăng ngặt, liên tục trên [d, r] và thoả mãn m 3(d) = m 1(d), m 3(r) = m 2(r).

Kết hợp ba hàm số m 1 , m 2 , m 3 , ta nhận được hàm số

: là hàm định nghĩa được, tăng ngặt và liên tục trên [0, +¥), thoả mãn m 4 (0) = 0, lim m 4 (t) = +¥. t!+¥

Từ (i2) ta có dist(x, S) là hàm bị chặn với mọi x 2 f 1 ([d, r]) Đặt

83 khi đó dist(x, S) M với mọi x 2 f 1 ([d, r]) Do đó, m 3 ([ f (x)] + ) m 3 (d) = m 1 (d) = m 1 (d)M m 1 (d) dist(x, S)

M M với mọi x 2 f 1 ([d, r]) Hơn nữa, với c = minf1, m 1 (d) g, ta có

Khi đó, hàm m(t) := 1 c m 4 (t) thoả mãn (ii).

Nhận xét 4.1.6 đề cập đến các điều kiện cần thiết để xác định sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục và cận sai số Holder toàn cục, như đã trình bày trong các công trình [16] và [32] liên quan đến hàm đa thức Kết quả nghiên cứu của chúng tôi thiết lập cận sai số Holder toàn cục cho hàm định nghĩa được và liên tục.

Lê Lợi đã nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz tổng quát cho hai hàm f và g, đồng thời sử dụng điều kiện dãy để đặc trưng hóa vấn đề này.

4.1.3 Mối liên hệ giữa điều kiện Palais-Smale với sự tồn tại của cận sai số Holder¨ toàn cục Điều kiện Palais-Smale kéo theo sự tồn tại của một cận sai số, thông thường được chứng minh bằng cách sử dụng Nguyên lý Biến phân Ekeland, đã được biết đến nhiều trong các kết quả trước đây về các hàm liên tục trong không gian mê tric (chẳng hạn, xem [3, 10, 43]) Trong mục này, chúng tôi chứng minh một kết quả kiểu này cho các hàm định nghĩa được. Định nghĩa 4.1.7 Cho f : R n ! R là một hàm liên tục và một số thực a, ta nói rằng f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại mức t, nếu mọi dãy fx k g R n thỏa mãn f (x k ) ! t và mf (x k ) ! 0 khi k ! ¥ đều có một dãy con hội tụ. Định lý sau đây mở rộng Định lý B của Hà Huy Vui trong [32] cho hàm định nghĩa được, liên tục Trong đó, chúng tôi sử dụng dưới vi phân thay vì gradient. Định lý 4.1.8 Cho f : R n ! R là một hàm định nghĩa được, liên tục Giả sử

Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại mỗi mức t 0, thì tồn tại một hàm m: [0,+∞) → R được định nghĩa, có tính chất tăng ngặt và liên tục với m(0) = 0 và lim m(t) = +∞ Hơn nữa, với mọi x ∈ R n, khi t tiến đến +∞, m([f(x)] +) tỉ lệ với khoảng cách dist(x, S).

Để chứng minh, theo Định lý 4.1.5, chúng ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu hàm f thỏa mãn điều kiện Palais-Smale tại mỗi điểm t 0, thì sẽ không có sự tồn tại của dãy loại một và loại hai trong tập S.

Bằng phản chứng, giả sử rằng tồn tại dãy x k ! ¥, x k 2 R n n S, sao cho f (x k ) !

Trong bài viết này, chúng ta xem xét khoảng cách giữa hai điểm x k và S, với điều kiện dist(x k , S) d > 0 Tương tự như trong chứng minh của Mệnh đề 3.2.3, bằng cách áp dụng Bổ đề 1.3.6, ta có thể tìm được một dãy các điểm y k sao cho dist(x k , y k ) tiến tới 0, và B(y k , 2 d ) thuộc R n không thuộc S, với X được định nghĩa là tập hợp các điểm x trong R n thỏa mãn f (x) > 0.

1 ( ( k + h ) ( k )) p e k khk f y f y với h 2 R n , 0 < khk < 2 d và e k = f (x k ) Từ đó suy ra k 1 hk ( f ( y k ) f ( y k + h )) p e k , tức là k 1 hk [ f ( y k ) f ( y k + h )] + p e k

Do đó, từ định nghĩa về độ dốc mạnh, ta có

Bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ

Chú ý rằng bất đẳng thức Łojasiewicz gradient (1.2) không còn đúng khi lân cận

U là không compact Chẳng hạn, xét ví dụ sau đây:

Xét dãy x k = k k 2 , k 1, cho k ! +¥ thì kx k k ! +¥,

Do đó, bất đẳng thức (1.2) không đúng với U = R 2 Đặt

Ke ¥ ( f ) := ft 2 Rj 9fx k g : kx k k ! ¥, m f (x k ) ! 0, f (x k ) ! tg. Đây là tập các giá trị Fedoryuk ta đã định nghĩa ở Chương 3 trong trường hợp f là hàm đa thức.

Ta đưa ra tiêu chuẩn sau đây cho sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho độ dốc không trơn trên f 1 (D e ) n B R , trong đó D e = ( e, e) với e >

Cho hàm f: R^n → R là một hàm liên tục được định nghĩa, với điều kiện rằng với mọi e > 0 đủ nhỏ, ta có Ke ¥ (f) \ D e = {f0} Khi đó, hai khẳng định sau đây là tương đương.

(i) Tồn tại d > 0 sao cho với bất kỳ dãy fx k g f 1 (D d ) thoả mãn điều kiện: nếu kx k k ! ¥ và m f (x k ) ! 0, thì f (x k ) ! 0;

(ii) Tồn tại R, d > 0 và một hàm j : [0, d) ! R + định nghĩa được, đơn điệu tăng ngặt và liên tục sao cho j(0) = 0 và m f (x) j(j f (x)j), với mọi x 2 f 1 (D d ) n B R (4.4)

Chứng minh rằng cố định e theo giả thiết của định lý, ta đặt j(t) := inf mf(x) với x thuộc Fz, trong đó f(z) = tgnB r với t trong khoảng [0, e) và r lớn hơn 0 Dựa vào Mệnh đề 1.2.7 và Nhận xét 1.3.5, j được xác định là một hàm Cần chứng minh rằng tồn tại d1 đủ nhỏ.

Thật vậy, từ giả thiết K ¥ ( f ) \ D e = f0g suy ra ( e, e) không chứa giá trị nào ngoài 0 thuộc Ke ¥ ( f ) Giả sử rằng với bất kỳ d 0 > 0, tồn tại một giá trị t 2 (0, d 0 )

Khi j(t) = 0, tồn tại dãy x_k thuộc fx sao cho |j f (x)| = tg n B r với t thuộc (0, e) thỏa mãn |x_k| k → ∞ và m f (x_k) → 0 Từ đó, ta suy ra f (x_k) → 0, trong khi theo lý luận, f (x_k) = t ≠ 0, dẫn đến mâu thuẫn.

Mặt khác, từ công thức của j(t), áp dụng Định lý 1.2.9, tồn tại 0 < d 2 1 sao cho j(t) là liên tục và đơn điệu trên (0, d 2 ) Ta có j(0) = 0 và j(t) > 0 với mọi t 2

(0, d 1 ) nên j là hàm liên tục, đơn điệu tăng ngặt trên (0, d) (trong đó d = minfd 1 , d 2 g).

Từ định nghĩa của j, tồn tại R > 0 (R > r) sao cho m f (x) j(t) với mọi x 2 fz : j f (z)j = tg n B R và t 2 (0, d), điều này nghĩa là m f (x)j(j f (x)j) với mọi x 2 f 1 (D d ) n B R

Giả sử có một hàm j: [0, d) → R+ được định nghĩa là đơn điệu tăng và liên tục với j(0) = 0, tồn tại R và d > 0, đồng thời thỏa mãn bất đẳng thức (4.4) Xét một dãy bất kỳ {x_k} thuộc không gian D_d sao cho ||x_k|| → ∞ và m(f(x_k)) → 0.

Khi đó, với k đủ lớn, ta có mf(x k ) j(j f (x k )j) và do đó j(j f (x k )j) ! 0 Từ đó ta có f (x k ) ! 0 vì j là một hàm liên tục, tăng ngặt trên [0, d) và j(0) = 0.

Trong trường hợp hàm được định nghĩa, tập K ¥ ( f ) có thể là vô hạn, ngay cả với hai biến Cụ thể, khi xem xét hàm nửa đại số f(x, y) = x + k^2, ta có thể thấy rằng với bất kỳ t thuộc R, dãy x k = t(1) sẽ dẫn đến những kết quả đa dạng.

2 Trong Định lý 4.2.2, nếu f là một hàm đa thức thì j(t) là một hàm nửa đại số một biến Khi đó, từ Bổ đề 1.2.12, tồn tại a > 0 và u > 0 sao cho j(t) = at u + o(t u ) với 0 < t 1. Điều này kéo theo j(t) 2 a t u với mọi t 2 (0, e) và với e đủ bé Từ đó ta có kr f (x)k j(t) 2 a t u , với mọi x 2 f 1 ( t )

Do đó, ta được bất đẳng thức Łojasiewicz gradient trên f 1 (D d ) n B R

3 Kết quả trên đây cũng được thiết lập bởi Tạ Lê Lợi với cách tiếp cận khác (xem [61, Mệnh đề 10]) Cụ thể, tác giả đã thiết lập bất đẳng thức gradient trong trường hợp cạnh thớ, không nhất thiết tại vô hạn.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Các kết quả chính của luận án bao gồm:

1 Chứng minh thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient là các bất biến tô pô của các kỳ dị đường cong phẳng trong trường hợp kỳ dị phức, không nhất thiết là thu gọn Đưa ra ước lượng hiệu quả các số mũ Łojasiewicz trong trường hợp đa thức 2 biến.

2 Khảo sát sự tồn tại và phân loại tất cả các kiểu ổn định của các cận sai số Holder¨ toàn cục Chỉ ra mối liên hệ giữa cận sai số cũng như bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục với các giá trị Fedoryuk đặc biệt Thiết lập quy trình tính toán cụ thể cho trường hợp hàm đa thức 2 biến thực Chỉ ra một số ví dụ như: Đa thức có tập Fedoryuk là vô hạn và tập các giá trị có cận sai số Holder¨ là bằng rỗng, đa thức 2 biến không có giá trị nào có thớ tương ứng thoả mãn bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục.

3 Đưa ra đặc trưng cho cận sai số Holder¨ toàn cục của các hàm liên tục, định nghĩa được và mối liên hệ giữa điều kiện Palais-Smale và cận sai số của hàm liên tục, định nghĩa được Thiết lập một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của bất đẳng thức gradient cạnh thớ cho hàm định nghĩa được.

Có thể phát triển các kết quả của luận án như sau:

Nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục trong trường hợp nhiều biến nhằm xem xét liệu các giá trị Łojasiewicz có phải là các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn hay không.

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1 Phi-Dũng Hoàng, Lojasiewicz-type inequalities and global error bounds for non-smooth definable functions in o-minimal structures, Bulletin of the

Australian Mathematical Society, Vol 93, no.1 (2016), 99–112.

2 Hong-Duc Nguyen, Tiến-Sơn Phạm and Phi-Dũng Hoàng, Topological in- variants of plane curve singularities: Polar quotients and Lojasiewicz gradient exponents, International Journal of Mathematics, Vol 30, issue

3 Huy-Vui Hà and Phi-Dũng Hoàng, Special Fedoryuk values and global

Holderian¨ error bounds for polynomial functions, submitted.

Các kết quả trong luận án đã được báo cáo tại

• Seminar phòng Hình học và Tô pô, Viện Toán học.

• Seminar tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán VIASM.

• Seminar tại bộ môn Giải tích của Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội.

• Hội nghị nghiên cứu sinh của Viện Toán học: 11/2015, 11/2016, 11/2017, 11/2018, 11/2019, 11/2020.

• Hội nghị ĐAHITÔ tháng 10/2016 tại Buôn Ma Thuột và tháng 10/2021 tại Thái Nguyên.

• Hội nghị Quantum Information Theory and related topics, ĐH Ritsumeikan, Shiga-Nhật Bản, 8/2016 và Đà Nẵng 8/2017.

• Hội nghị Toán học Toàn Quốc tại Nha Trang, 8/2018.

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì, 4/2015 và 4/2019.

• Hội nghị "Singularity theory and its applications", Đà Lạt, 11/2020.

[1] V I Arnold, S M Gusein-Zade, A N Varchenko, Singularities of differentiable maps, Vol I and II, Monographs in Mathematics, 83.

Birkhauser¨ Boston, Inc., Boston, MA, 1988.

[2] D Azé and J Corvellec, On the sensitivity analysis of Hoffman constants for systems of linear inequalities, SIAM J Optim., 12 (2002), 913-927.

[3] D Azé, A survey on error bounds for lower semicontinuous functions, Proceed-ings of 2003 MODE-SMAI Conference of ESAIM Proceedings, EDP Sci., Les Ulis, vol 13, (2003), 1–17.

[4] J Bochnak, J -J Risler, Sur les exposants de Łojasiewicz, Comment Math Helv., 87(4) (1975), 493–507.

[5] J Bochnak, M Coste, M F Roy, Real algebraic geometry, Springer, 1998.

[6] J Bolte, A Daniilidis, O Ley and L Mazet, Characterizations of Łojasiewicz Inequalities: Subgradient flows, talweg, convexity, Transactions of the A M S., vol 362, n 6, (2010), pp 3319–3363.

[7] E Brieskorn, H Knorrer,˝ Plane algebraic curves, Birkhauser˝ Verlag, Basel, 1986.

[8] S A Broughton, Milnor numbers and the topology of polynomial hypersurfaces, Invent Math 92 (1988), no 2, 217–241.

[9] T B Colding; W P Minicozzi II, Uniqueness of blowups and Łojasiewicz inequal-ities, Ann of Math (2) 182 (2015), no 1, 221–285.

[10] J N Corvellec, V V Montreanu, Nonlinear error bounds for lower semi- continuous functions on metric spaces, Math Progam., Ser A, vol 114

[11] M Coste, An Introduction to O-minimal Geometry, Instituti Editoriali e poligrafici internazionali, Universita di Pisa, Pisa, 1999.

[12] M Coste, M de la Puente, Atypical values at infinity of a polynomial function on the real plane: an erratum, and an algorithmic criterion, J Pure

[13] D D’Acunto, K Kurdyka, Explicit bounds for the Łojasiewicz exponent in the gradient inequality for polynomials, Ann Polon Math., 87 (2005), 51–61.

[14] J W Daniel, On perturbations in systems of linear inequalities, SIAM J Numer Anal., 10 (1973), pp 299–307.

[15] S Deng, Perturbation analysis of a condition number for convex inequality systems and global error bounds for analytic systems, Math Program., vol.

[16] S T Dinh, H V Ha, N T Thao, Łojasiewicz inequality for polynomial functions on non-compact domains, Int J of Math., 23 (2012), no.4, 1250033, 28 pp.

[17] S T Dinh, K Kurdyka, O Le Gal, Łojasiewicz inequality on non-compact do-mains and singularities at infinity, Int J of Math., 24 (2013), no 10,

[18] S T Dinh, H V Ha, T S Pham, Holder¨-Type Global Error Bounds for

Non-degenerate Polynomial Systems, Acta Mathematica Vietnamica, 42

[19] A Durfee, Five definitions of critical points at infinity, Singularities, The Brieskorn Anniversary Volume, Progress in Math 162, Birkhauser Verlag,

[20] L van den Dries and C Miller, Geometric categories and o-minimal structures, Duke Math J., 84 (1996), 497–540.

[21] L van den Dries, Tame Topology and O-minimal structures, Cambridge Univer-sity Press, 1998.

[22] D Drusvyatskiy, A S Lewis, Error Bounds, Quadratic Growth, and Linear Con- vergence of Proximal Methods, Math Ope Res., vol 43 (2018), No 3, 919–948.

[23] I Ekeland, On the Variational Principle, J Math Anal Appl., 47 (1974), 324– 353.

[24] L Grafakos, Classical Fourier Analysis, Spinger, 2008.

[25] G.-M Greuel, C Lossen, E Shustin, Introduction to singularities and deforma-tions, Math Monographs, Springer-Verlag, 2006.

[26] J Gwozdziewicz, The Łojasiewicz exponent of an analytic function at an isolated zero, Comment Math Helv Vol 74(3) (1999), 364–375.

[27] J Gwozdziewicz, A Lenarcik, A Ploski, Polar invariants of plane curve sin-gularities: intersection theoretical approach, Demonstratio

[28] H V Ha and D T Le, Sur la topologie des polynomes complexes, Acta Math Vietnam 9 (1984) 21–32.

[29] H V Ha, Nombres de Łojasiewicz et singularitiés à l’infini des polynômes de deux variables complexes, C R Acad Sci Paris, Séries I Math 311 (1990), 429–432.

[30] H V Ha, H D Nguyen On the Łojasiewicz exponent near the fibre of polynomial mappings, Ann Polon Math 94 (2008), 43–52.

[31] H V Ha, H D Nguyen, Lojasiewicz inequality at infinity for polynomial in two real variables, Math Z., 266 (2010), 243–264.

[32] H V Ha, Global Holderian¨ error bound for non-degenerate polynomials, SIAM J Optim., 23 (2013), No 2, 917–933.

[33] H V Ha, Computation of the Łojasiewicz exponent for a germ of a smooth function in two variables, Studia Math., 240 (2018), no 2, 161–176.

[34] H V Ha, V D Dang, On the global Lojasiewicz inequality for polynomial func-tions , Ann Polon Math 112 (2019), 21–47.

[35] H V Ha, T S Pham, Genericity in polynomial optimization, World

[36] H V Ha, N T Thao, Newton polygon and distribution of integer points in sublevel sets, Math Z., 395 (2020), no 3-4, 1067–1093.

[37] A Haraux, Positively homogeneous functions and the Łojasiewicz gradient in-equality, Ann Polon Math., 87 (2005), 165–174.

[38] A J Hoffman, On approximate solutions of linear inequalities, Journal of Re-search of the National Bureau of Standards, 49 (1952), 263–265.

[39] L Hormander,¨ On the division of distributions by polynomials, Ark Mat 3

[40] L Hormander,¨ The Analysis of Linear Partial Differential Operators, Vol II, Springer-Verlag, 1990.

[41] S Z Huang, Gradient inequalities With applications to asymptotic behavior and stability of gradient-like systems, Mathematical Surveys and Monographs, 126.

American Mathematical Society, Providence, RI, 2006 viii+184 pp.

[42] A Ioffe, An invitation to tame optimization, SIAM J Optim., 19 (2009), No.4, 1894–1917.

[43] A Ioffe, Metric regularity and subdifferential calculus, Uspehi Mat Nauk,

55 (2000), pp 103–162 (in Russian), English translation: Russian Math. Surveys, 55 (2000), pp 501–558.

[44] Z Jelonek, On bifurcation points of a complex polynomial, Proc Amer Math Soc., Vol 131, no 5 (2002), 1361–1367.

[45] J M Johnson, J Kollár, How small can a polynomial be near infinity?, Amer Math Monthly, 118 (1) (2011), 22–40.

[46] A Jourani, Hoffman’s error bound, local controllability, and sensitivity analysis, SIAM J Control Optim 38 (3) (2000), 947–970.

[47] J Kollár, An effective Łojasiewicz inequality for real polynomials, Period Math Hungar., 38 (3) (1999), 213–221.

[48] A Kruger, H V Ngai, M Théra, Stability of error bounds for convex constraint systems in Banach spaces, SIAM J Optim., 20 (2010), No 6, 3280—3296.

[49] T C Kuo, Computation of Łojasiewicz exponent of f (x, y), Comment Math Helv., 49 (1974), 201–213.

[50] T C Kuo, A Parusinski,´ Newton polygon relative to an arc, Real and Complex Singularities (São Carlos, 1998), Chapman & Hall Res Notes Math., 412 (2000), 76–93.

[51] K Kurdyka, On gradients of functions definable in o-minimal structures, Ann Inst Fourier, 48 (1998), 769–783.

[52] Kurdyka, K., Michalska, M., Spodzieja, S Bifurcation values and stability of algebras of bounded polynomials, Adv Geom 14(4) (2014), 631–646.

[53] K Kurdyka, T Mostowski, A Parusinski,´ Proof of the gradient conjecture of R Thom, Ann of Math (2) 152 (2000), no 3, 763–792.

[54] K Kurdyka, P Orro, S Simon, Semialgebraic Sard theorem for generalized critical values, J Diff Geom 56 (2000), 67–92.

[55] K Kurdyka, S Spodzieja, Separation of real algebraic sets and the Łojasiewicz exponent, Proc Amer Math Soc., 142(9) (2014), 3089–3102.

[56] A S Lewis, J S Pang, Error bounds for convex inequality systems,

Generalized Convexity, Generalized Monotonicity, J P Crouzeix, J E.

Martinez-Legaz and M.Volle (eds) (1998), 75–110.

[57] G Li, On the asymptotic well behaved functions and global error bound for convex polynomials, SIAM J Optim., 20 (2010), No.4, 1923–1943.

[58] G Li, C Tang, Z X Wei, Error bound results for generalized D-gap functions of nonsmooth variational inequality problems, J Comp Appl.

[59] T L Loi, Lojasiewicz Inequalities for Sets Definable in the Structure R exp , Ann Inst Fourier, 45 (1995), 951–957.

[60] T L Loi, Lecture 1: o-minimal structures, The Japanese-Australian Workshop on Real and Complex Singularities—JARCS III, 19–30, Proc Centre Math. Appl Austral Nat Univ., 43, Austral Nat Univ., Canberra, 2010.

[61] T L Loi, Łojasiewicz inequalities in o-minimal structures, Manuscripta Math 150 (2016), no 1-2, 59–72.

[62] S Łojasiewicz, Sur le problème de la division, Studia Math 18 (1959), 87–136.

[63] S Łojasiewicz, Ensembles semi-analytiques, Publ Math I.H.E.S., Bures- sur-Yvette, France, 1965.

[64] X D Luo, Z Q Luo, Extensions of Hoffman’s Error bound to polynomial systems, SIAM J Optim., 4 (1994), 383–392.

[65] Z Q Luo, P Tseng, Perturbation Analysis of a Condition Number for

Linear Sys-tems, SIAM J Matrix Anal App., 15 (1994), 636–660.

[66] Z Q Luo, J.F Sturm, Error bound for quadratic systems, in High

Perfomance Op-timization, H Frenk, K Roos,T Terlaky, and Zhang, eds.,

[67] Z Q Luo, New error bounds and their applications to convergence analysis of iter-ative algorithms, Math Progam Ser B, 88 (2000), no 2, 341–355.

[68] J W Milnor, Singular points of complex hypersurfaces, Annals of

Mathematics Studies vol 61, Princeton Univ Press, USA, 1968.

[69] H V Ngai, A Kruger, M Théra, Stability of error bounds for semi-infinite convex constraint systems, SIAM J Optim., 20 (2010), No 4, 2080–2096.

[70] J S Pang, Error bounds in Mathematical Programming, Math Program., Ser.B, 79 (1997), 299–332.

[71] A Parusinski, On the bifurcation set of a complex polynomial with isolated singu-larities at infinity, Compositio Mathematica, 97 (1995), 369–384.

[72] A Parusinski, A note on singularities at infinity of complex polynomials, Banach Center Publication, 39 (1997), 131–141.

[73] A Parusinski, A criterion for topological equivalence of two variable complex ana- lytic function germs, Proc Japan Acad Ser A Math Sci., 84 (8) (2008), 147–150.

[74] T S Pham, An explicit bound for the Łojasiewicz exponent of real polynomials, Kodai Math J., 35(2) (2012), 311–319.

[75] A Ploski, Polar quotients and singularities at infinity of polynomials in two com-plex variables, Ann Polon Math., 78(1) (2002), 49–58.

[76] J.-J Risler and D Trotman, Bi-Lipschitz invariance of the multiplicity, Bull Lon-don Math Soc., 29(2) (1997), 200–204.

[77] S Robinson, Regularity and stability of convex multivalued functions, Math Oper Res., 1 (1975), no 2, 130–143.

[78] R T Rockafellar, and R Wets, Variational Analysis, Grundlehren Math Wiss., 317, Springer, New York, 1998.