Mục tiêu nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu này tập trung vào những khó khăn mà học sinh thường gặp khi giải các bài toán liên quan đến nguyên hàm từng phần Bên cạnh việc tìm hiểu các vấn đề này, tôi cũng muốn giới thiệu những phương pháp giúp học sinh cải thiện kỹ năng làm bài trong các kỳ thi Quan trọng không kém, thông qua việc thu thập và phân tích dữ liệu, cũng như áp dụng các phương pháp vào một số lớp học tại trường, tôi sẽ đưa ra những gợi ý thiết thực cho giáo viên Toán để áp dụng hiệu quả những giải pháp này.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn mà học sinh gặp phải khi làm nguyên hàm từng phần
- Giới thiệu phương pháp để học sinh làm nhanh nguyên hàm từng phần trong các đề thi.
- Áp dụng những phương pháp trên vào lớp 12 tại trường để tìm ra tính hiệu quả của sáng kiến.
Phương pháp nghiên cứu
Đề tài sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
- Phương pháp trưng cầu ý kiến bằng bảng hỏi.
- Biên soạn các bài tập và áp dụng chúng vào việc dạy học.
- Phương pháp quan sát, trao đổi với đồng nghiệp.
- Phương pháp xử lý dữ liệu: phương pháp xử lý dữ liệu định lượng và định tính.
Những đóng góp mới của đề tài
Đề tài này tập trung vào việc tìm kiếm các phương pháp giúp học sinh khá giỏi làm nhanh bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần, đồng thời hỗ trợ học sinh trung bình và yếu không còn e ngại khi gặp dạng toán này Qua đó, giáo viên Toán có thể giúp học sinh rút ngắn thời gian làm bài và nâng cao điểm số Học sinh cũng có thể tận dụng đề tài để tự học và phát triển kỹ năng tư duy toán học.
Bố cục của đề tài
Đề tài được chia thành ba phần: phần mở đầu trình bày lý do chọn đề tài, tính cấp thiết, mục tiêu, đối tượng, phạm vi, nhiệm vụ, phương pháp nghiên cứu và dự báo những đóng góp mới; phần giải quyết vấn đề nêu cơ sở khoa học, khảo sát tình hình thực tế, đề xuất các phương pháp lý thuyết và thực hành giúp học sinh giải quyết bài toán nguyên hàm từng phần, đồng thời đánh giá hiệu quả thông qua số liệu; phần kết luận và kiến nghị tóm tắt quy trình nghiên cứu, ý nghĩa của đề tài và các đề xuất cải tiến.
PHẦN GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
Cơ sở khoa học
Hàm số xác định trên một khoảng cho trước được coi là nguyên hàm của hàm số đó nếu thỏa mãn điều kiện nhất định Theo Định lý 1, nếu một hàm số là nguyên hàm của hàm số đã cho, thì với bất kỳ hằng số nào, hàm số cũng sẽ là một nguyên hàm của hàm số đó Định lý 2 chỉ ra rằng nếu một hàm số là nguyên hàm của hàm số trên, thì mọi nguyên hàm khác của hàm số này sẽ có dạng tổng quát, trong đó bao gồm một hằng số.
Do đó: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên thì , là họ tất cả các nguyên hàm của trên Kí hiệu:
1.1.2 Tính chất của nguyên hàm
- Tính chất 2: ( k là hằng số khác 0)
1.1.3 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên thì
Chú ý: Vì , , nên đẳng thức trên còn được viết ở dạng
Khi áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, việc lựa chọn u và dv đóng vai trò quan trọng Để tìm nguyên hàm hiệu quả, cần ưu tiên xác định u theo một thứ tự hợp lý.
Trong toán học, thứ tự ưu tiên trong việc giải các hàm số được xác định như sau: đầu tiên là hàm số lôgarit, tiếp theo là hàm số đa thức, sau đó là hàm số lượng giác, và cuối cùng là hàm số mũ Các hàm số còn lại được coi là đơn vị khác.
+ Khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần thì số lần thực hiện phụ thuộc vào bậc của hàm lôgarit và đa thức Cụ thể:
* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có dạng , thì phải nguyên hàm từng phần n lần.
* Nếu trong biểu thức nguyên hàm có chứa đa thức bậc n (không có hàm lôgarit) thì cũng phải nguyên hàm từng phần n lần.
+ Yêu cầu tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xác định của nó.
Cho hàm số liên tục trên đoạn [a, b] Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số f trên [a, b] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên [a, b]) của hàm số f, ký hiệu là ∫_a^b f(x) dx.
Chú ý: - Ta quy ước: ; nếu
1.2.1 Nội dung “đề cương” trong đề thi môn Toán
Thực tế kiến thức phần Nguyên hàm – Tích phân luôn có trong nội dung ôn thi.
Phương pháp từng phần là một kỹ thuật quan trọng thường được nhắc đến Trong hình thức thi trắc nghiệm với 50 câu trong 90 phút, việc tìm ra đáp án chính xác và nhanh chóng là mục tiêu cần đạt được.
1.2.2 Những khó khăn học sinh gặp phải khi làm phần nguyên hàm từng phần
Qua thăm dò ý kiến của 82 học sinh bằng bằng phiếu hỏi (Phụ lục – trang 28), bảng thống kê như sau: Đánh giá mức độ
Rất dễ Dễ Trung bình Khó Rất khó
Theo phiếu thăm dò, thời gian mà học sinh đã dành để giải quyết bài toán sử dụng nguyên hàm từng phần cho thấy mức độ hiểu biết của các em.
Một số khó khăn chủ yếu mà học sinh đã nêu trong phiếu thăm dò:
+ Khó khăn trong việc chọn đặt u và dv.
+ Việc làm theo nguyên hàm từng phần nhiều hơn một lần làm các em “rối” và muốn bỏ qua.
+ Đặt u, dv nhiều lần cũng làm mất rất nhiều thời gian.
+ Sự “quay vòng” dẫn đến khó hiểu ở dạng nguyên hàm từng phần của hàm mũ kết hợp với hàm lượng giác.
Học sinh thường gặp khó khăn và tốn nhiều thời gian khi giải quyết các bài toán nguyên hàm, ảnh hưởng đến kết quả kiểm tra và thi cử Do đó, việc hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần một cách nhanh chóng và hiệu quả là rất cần thiết.
2 Phương pháp làm nguyên hàm từng phần
Bước 1: Đọc kỹ đề bài và nhận dạng toán sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần (Các dạng toán cụ thể sẽ được đề cập trong đề tài).
Bước 2: Chọn loại bảng để sử dụng cho bài toán.
Bước 3: Dựa vào bảng để tìm ra kết quả cho nguyên hàm.
Bước 4: Tìm ra phương án đúng và kiểm tra lại để chắc chắn câu trả lời của mình.
Để làm bài nguyên hàm từng phần hiệu quả, học sinh cần nắm vững các tính chất và công thức tính nguyên hàm của những hàm số phổ biến Việc luyện tập thường xuyên sẽ giúp đạt kết quả tốt nhất trong dạng bài này.
2.2 Hệ thống hóa các dạng sử dụng bảng trong nguyên hàm từng phần
2.2.1 Dạng kết hợp giữa hàm số đa thức và hàm số mũ hoặc hàm số đa thức và hàm số lượng giác
Dạng: ; hoặc ; hoặc trong đó là đa thức
Phương pháp tự luận thông thường Đặt ; hoặc hoặc Cụ thể nếu sử dụng nguyên hàm từng phần Đặt Khi đó:
Và nếu tiếp tục sử dụng nguyên hàm từng phần ta có:
Phương pháp lập bảng (Tự luận rút gọn)
Dựa vào công thức tính nguyên hàm, chúng ta có thể xây dựng bảng tính nguyên hàm từng phần một cách đơn giản, giúp học sinh có năng lực trung bình – yếu dễ dàng áp dụng và thực hiện.
Khi áp dụng công thức tính nguyên hàm, ta nhận thấy rằng các cặp theo mũi tên kẻ xiết sẽ đan xen giữa dấu “+” và “-” Để giải quyết dạng này, ta đặt hàm đa thức là u và tính đạo hàm của đa thức cho đến khi kết quả bằng 0 Phương pháp này giúp chúng ta đạt được kết quả mong muốn.
Ví dụ 1: (BT4b – SGK giải tích 12 – trang 101)
Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường Đặt
Do đó: (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho Đặt
Dựa vào bảng ta có kết quả
Phương pháp sử dụng bảng trong thi trắc nghiệm hiện nay mang lại lợi thế rõ rệt, đặc biệt cho những học sinh có học lực trung bình và yếu, giúp họ dễ dàng tiếp thu kiến thức hơn.
Ví dụ 2: Cho bài toán: “Gọi là một nguyên hàm của hàm số với sao cho Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
Hãy xét xem các hướng làm sau đúng hay sai? Chỉ ra chỗ sai (nếu có)? Hãy cho kết quả đúng?
Hướng 1: Đặt Do đó: (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho Đặt Khi đó: (2)
Dựa vào bảng ta có
Theo "Hướng 1", việc phát hiện lỗi sai (được khoanh đỏ) trong bài giải là khá khó khăn do phải lần theo từng bước, và việc chỉnh sửa cũng như làm lại sẽ tốn nhiều thời gian.
Trong khi đó nếu theo dõi bảng của “Hướng 2” thì ta dễ dàng tìm ra lỗi sai (khoanh đỏ) và hoàn toàn có thể sửa ngay trên bảng
Từ đó có kết quả
Việc sử dụng bảng giúp phát hiện và sửa lỗi nhanh chóng, mang lại hiệu quả cao hơn Điều này cho thấy lợi thế rõ rệt của phương pháp lập bảng trong việc tính nguyên hàm từng phần, đặc biệt trong khâu kiểm tra bài làm – một bước cực kỳ quan trọng trong quá trình làm bài.
Ví dụ 3: Tính nguyên hàm
Cách 1: Sử dụng phương pháp tự luận thông thường Đặt Do đó: (1) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho Đặt
(2) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho Đặt
(3) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho Đặt
(4) Áp dụng nguyên hàm từng phần cho Đặt
Dựa vào bảng ta có kết quả
So sánh hai phương pháp, phương pháp tự luận truyền thống với 5 lần sử dụng nguyên hàm từng phần trở nên dài dòng và dễ gây rối cho học sinh, dẫn đến chán nản và có thể bỏ qua bài toán Việc thay thế các giá trị trong tính toán cũng dễ sai sót và khó kiểm tra, tiêu tốn nhiều thời gian để đạt được kết quả cuối cùng Do đó, việc sử dụng bảng không chỉ ngắn gọn, dễ hiểu và dễ kiểm tra mà còn tiết kiệm thời gian và tạo hứng thú học tập cho học sinh.
2.2.2 Dạng kết hợp giữa hàm số mũ và hàm số lượng giác
Phương pháp tự luận thông thường bao gồm việc đặt dấu ";" hoặc "," và sau đó áp dụng phương pháp nguyên hàm từng phần như đã trình bày ở dạng 1 Quá trình này sẽ tiếp tục cho đến khi xuất hiện biểu thức giống với nguyên hàm ban đầu, tại đó bạn có thể dừng lại.
Đánh giá tính hiệu quả của đề tài
Trong lớp thực nghiệm 12A2, tôi đã hướng dẫn học sinh từng bước cụ thể để làm bài, bao gồm cách lập bảng và hệ thống hóa các loại bảng thường sử dụng trong việc tính nguyên hàm từng phần Học sinh của hai lớp đã tham gia bài kiểm tra với 20 câu hỏi trong thời gian 45 phút.
Kết quả kiểm tra cho thấy lớp 12A2 đạt điểm cao hơn lớp đối chứng 12A1 là 1.25 điểm Đối với học sinh lớp 12A8 có học lực trung bình – yếu, khi tôi đưa ra các ví dụ và bài tập đơn giản (chủ yếu là dạng 1 và dạng 2, sử dụng nguyên hàm từng phần không quá 2 lần), hầu hết các em đều làm được và thể hiện sự hứng thú trong học tập Điểm trung bình kiểm tra phần nguyên hàm từng phần của lớp 12A2 (thực nghiệm) và 12A5 (đối chứng) cũng cho thấy sự khác biệt rõ rệt.
Lớp Điểm kiểm tra trung bình
PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Tóm tắt quá trình nghiên cứu
Dựa trên đề thi THPT quốc gia môn Toán và kết quả kiểm tra của học sinh, tôi đã nghiên cứu phương pháp giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải bài toán tính nguyên hàm từng phần Tài liệu liên quan đã được tập hợp và phân tích để xây dựng cơ sở khoa học cho nghiên cứu Thông tin về những khó khăn mà học sinh gặp phải trong việc giải quyết loại nguyên hàm này được thu thập thông qua bảng hỏi và trao đổi với đồng nghiệp Các dạng bài tập được phân loại theo nhóm, kèm theo bài tập thực hành để học sinh dễ ghi nhớ Hiệu quả của phương pháp được đánh giá thông qua quan sát sự tiến bộ của học sinh và so sánh kết quả học tập với lớp đối chứng.
2 Ý nghĩa của đề tài Đề tài mang lại những lợi ích cho các giáo viên Toán và cho các em học sinh.
2.1 Đối với giáo viên Toán Đề tài đã giúp giáo viên nhìn nhận được những khó khăn học sinh gặp phải khi làm bài tập nguyên hàm từng phần Bên cạnh đó, giáo viên có thể sử dụng đề tài như một tư liệu trong quá trình ôn thi THPT quốc gia môn Toán cho học sinh
Các em học sinh chia sẻ những khó khăn khi làm bài nguyên hàm từng phần Để cải thiện kỹ năng, các em cần nắm vững các bước giải, ghi nhớ hệ thống các dạng toán và loại bảng, đồng thời luyện tập các bài trắc nghiệm theo định dạng đề thi THPT quốc gia Việc củng cố kiến thức một cách hệ thống sẽ giúp các em nắm chắc hơn các phần đã học và nâng cao điểm số hiệu quả.
3 Những hạn chế của đề tài
- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.
Để học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm từng phần, giáo viên cần dạy cả hai phương pháp: phương pháp bảng và công thức nguyên hàm từng phần Việc chỉ dạy một phương pháp sẽ khiến học sinh không hiểu sâu sắc về vấn đề Do đó, tôi kiến nghị nên ưu tiên sử dụng phương pháp bảng cho các bài toán nguyên hàm từng phần hai lần trở lên.
- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.
- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.
4 Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu Đề tài nên được mở rộng phạm vi với nhiều giáo viên tham gia, tăng số lượng các lớp đối chứng và thực nghiệm nhằm nâng cao tính xác thực Cần có thêm những bài luyện tập tổng hợp khác để học sinh luyện tập Có thể bổ sung phần hướng dẫn giải chi tiết để học sinh có thể tự học.
Những hạn chế của đề tài
- Hệ thống bài tập chưa thật sự phong phú.
Để học sinh nắm vững kiến thức về nguyên hàm từng phần, giáo viên không chỉ nên dạy phương pháp bảng mà còn cần giải thích rõ ràng công thức nguyên hàm từng phần Tôi kiến nghị nên áp dụng cả hai phương pháp cho nguyên hàm từng phần một lần, trong khi ưu tiên phương pháp bảng cho những trường hợp nguyên hàm từng phần hai lần trở lên.
- Phiếu khảo sát cho các em về nhà làm nên chưa đánh giá thực sự đúng khách quan về trình bày và thời gian thực hiện.
- “Bài kiểm tra” được thực hiện thông qua “lớp học Shub Classroom” nên kết quả đánh giá cũng đang còn hạn chế về tính xác thực.
Những nội dung cần được tiếp tục nghiên cứu
Để nâng cao tính xác thực của nghiên cứu, đề tài cần mở rộng phạm vi với sự tham gia của nhiều giáo viên và tăng cường số lượng các lớp đối chứng cũng như thực nghiệm Ngoài ra, cần bổ sung thêm các bài luyện tập tổng hợp để học sinh có cơ hội rèn luyện Việc cung cấp hướng dẫn giải chi tiết cũng rất quan trọng, giúp học sinh có thể tự học hiệu quả hơn.