SKKN Phương pháp giải bài tập Nhị thức Newtơn

Lời giới thiệu

Toán học đóng vai trò quan trọng trong đời sống, khoa học và công nghệ hiện đại, đồng thời là công cụ hỗ trợ học sinh trong việc tiếp thu các môn khoa học khác Giáo viên cần đầu tư thời gian nghiên cứu và tìm hiểu kiến thức để giúp học sinh vượt qua rào cản trong việc học Toán Để học tốt môn này, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng thông qua việc làm bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và tài liệu nâng cao Ngoài ra, việc hệ thống hóa kiến thức và nhanh chóng xác định dạng bài toán là rất cần thiết để tìm ra phương pháp giải quyết hiệu quả.

Nhị thức Niu-tơn là một nội dung quan trọng, giúp học sinh phát triển tư duy và chuẩn bị cho kỳ thi THPT quốc gia, đặc biệt khi đề thi mở rộng sang chương trình toán lớp 11 Tuy nhiên, do thời gian học hạn chế và sự không đồng đều giữa các đối tượng học sinh, sách giáo khoa chỉ cung cấp những tình huống cơ bản, dẫn đến việc học sinh gặp khó khăn trong việc nắm vững kiến thức và phân tích bài toán Đối với học sinh khá giỏi, việc phân dạng bài toán Nhị thức Niu-tơn là cần thiết để nâng cao khả năng vận dụng kiến thức một cách hiệu quả trong các kỳ thi.

Tôi xin giới thiệu "Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu-tơn" như một sáng kiến kinh nghiệm của mình, với hy vọng rằng tài liệu này sẽ là nguồn tham khảo hữu ích cho việc học tập của học sinh và hỗ trợ cho công tác giảng dạy của các đồng nghiệp.

Tên sáng kiến

“Phương pháp giải bài tập Nhị thức Niu – tơn”

Tác giả sáng kiến

- Họ và tên: Hồ Thị Kim Thúy

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Việt Trì – Phú Thọ

- Số điện thoại: 0363735787 E_mail: kimthuy051188@gmail.com.

Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

Môn toán học lớp 11, 12 – các bài toán liên quan tới khai triển Nhị thức Niu- tơn.

Mô tả sáng kiến

Thực trạng của vấn đề

Nhị thức Niu - tơn trong chương trình THPT chỉ được giảng dạy trong 2 tiết học, bao gồm 1 tiết lý thuyết và 1 tiết bài tập, điều này hạn chế khả năng nắm vững kiến thức và tiếp cận các dạng bài tập của học sinh Việc thời gian luyện tập ít ỏi khiến học sinh thường gặp khó khăn trong việc giải quyết bài tập.

Nhiều học sinh hiện nay thường thụ động trong việc học, chỉ áp dụng máy móc các công thức mà không khai thác sâu sắc nội dung Họ thường chỉ dừng lại ở việc giải các bài tập khai triển biểu thức theo công thức Nhị thức Niu-tơn, trong khi thực tế có rất nhiều dạng bài tập đa dạng và phong phú cần được khám phá.

Học sinh chưa biết tự tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức cho nên kết quả học tập chưa cao.

Mục đích nghiên cứu

- Rèn luyện kỹ năng thành thạo cho học sinh với các dạng toán cơ bản trong chương trình toán 11

- Cung cấp thêm các kiến thức và các dạng toán có sử dụng các kiến thức trong chương trình lớp 12

- Phối kết hợp một cách linh hoạt các kiến thức trong hai chương trình để giải quyết các bài toán phức tạp

- Giải quyết tốt các bài trong các đề thi THPT quốc gia, thi học sinh giỏi.

Điểm mới trong kết quả nghiên cứu

Nghiên cứu mới đã hệ thống hóa kiến thức và khai thác hiệu quả các bài toán liên quan đến "Nhị thức Niu tơn", mang lại những hiểu biết sâu sắc mà không áp đặt hay dập khuôn.

Học sinh có thể dễ dàng tiếp thu và giải quyết các bài toán khó cũng như những bài toán lạ liên quan đến "Nhị thức Niu tơn" nhờ vào ba khuôn máy móc hiệu quả.

Phương pháp thực hiện chuyên đề

- Bước 1: Khảo sát tư liệu

Nghiên cứu lý thuyết hệ thống và các dạng bài tập là rất cần thiết trong quá trình dạy học Việc tìm hiểu các đề kiểm tra của học sinh cùng với các nguồn tư liệu liên quan sẽ giúp nâng cao hiệu quả giảng dạy và học tập.

- Bước 2: Đưa ra các dạng bài tập, phương pháp giải, ví dụ và phân tích ví dụ minh họa, bài tập tương tự để học sinh luyện tập

- Bước 3: Tiến hành thực nghiệm sư phạm trên đối tượng học sinh (2 lớp khối 11)

- Bước 4: Thu thập và xử lý số liệu, rút ra kết luận.

Nội dung

Phần 1 Cơ sở lý thuyết a) Hoán vị : Cho tập hợp A gồm n phần tử  n 1

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó

* Quy ước : 0! = 1 b) Chỉnh hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử  n 1

Kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau từ n phần tử trong tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

A k n n n k c) Tổ hợp : Cho tập hợp A gồm n phần tử  n  1 

Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử        

 Tính chất của các số C n k

* Công thức nhị thức Niu - tơn

Trong vế phải của công thức (1) :

- Số các hạng tử (số hạng ) là n + 1

- Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ

0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử bằng n

- Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau

- Số hạng tổng quát của khai triển là T k  1 C a b n k n k k  và là số hạng thứ k +

Phần 2 Hệ thống các dạng bài tập

 Dạng 1 Các bài toán liên quan đến hệ số và số hạng trong khai triển

 Loại 1 Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển: a) Bài toán thường gặp :

Cho khai triển có dạng  a b   n Tìm hệ số hoặc số hạng chứa x k trong khai triển đã cho b) Các bước thực hiện bài toán:

- Bước 1 : Tìm số hạng tổng quát của khai triển

Rút gọn số hạng tổng quát với số mũ thu gọn của các biến có trong khai triển

- Bước 2 : Căn cứ và yêu cầu của bài toán để đưa ra phương trình tương ứng với giái trị của k Giải phương trình tìm k

- Bước 3 : Kết luận về hệ số hoặc số hạng của x k trong khai triển

Một số tính chất quan trọng của lũy thừa với số mũ thực bao gồm: Nếu a và b là các số thực dương, và m, n là những số thực tùy ý, thì có các quy tắc như sau: a^m * a^n = a^(m+n) và a^(m-n) = a^m / a^n Những quy tắc này giúp thu gọn số mũ của biến trong các bài toán liên quan đến lũy thừa.

Cho a là số thực dương, m Z n N ,  * ta có : n a m a m n c) Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển     

- Số hạng tổng quát của khai triển :

- Số hạng chứa x 10 trong khai triển ứng với

- Vậy số hạng chứa x 10 trong khai triển là : C 5 1 ( 2)  1 10 x  10x 10

- Hệ số cần tìm là -10

Ví dụ 2 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển     

- Thực hiện theo 3 bước thực hiện bài toán nêu trên

- Số hạng tổng quát của khai triển :   

- Số hạng không chứa x trong khai triển ứng với

- Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là : C x 12 6 0 C 12 6

Ví dụ 3 : Tìm số hạng chứa x y 25 10 trong khai triển  x 3  xy  15

- Số hạng tổng quát của khai triển : T k  1  C x 15 k   3 15  k   xy k  C x 15 k 45 2  k y k

- Số hạng chứa x y 25 10 trong khai triển ứng với

- Vậy số hạng chứa x y 25 10 trong khai triển là : C x y 15 10 25 10 3003 .x y 25 10

Ví dụ 4 : Tìm hạng tử chứa x 2 trong khai triển:  3 x  2  x  7

- Hạng tử chứa x 2 trong khai triển ứng với

- Vậy hạng tử chứa x 2 trong khai triển là : C x 7 4 2 35x 2

Ví dụ 5 : a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x 3  xy  31 b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x 1 3  x 5  12

- Khi xác định số hạng chính giữa của khai triển cần chú ý

+/ Nếu n là số chẵn thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1

+/ Nếu n là số lẻ thì số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 1

Lời giải : a) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x 3  xy  31

- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 16 và số hạng thứ 17 lần lượt ứng với các giá trị k và k = 16

- Số hạng thứ 16 trong khai triển là : C x y 31 15 63 15 và số hạng thứ 17 trong khai triển là : C x y 16 31 61 16 b) Tìm số hạng chính giữa trong khai triển:  x 1 3  x 5  12

- Số hạng tổng quát của khai triển : T k  1  C 12 k    x 1 3    12  k   x 5 k  C x 12 k 11 72 k 2 

- Số hạng chính giữa của khai triển là số hạng thứ 7 ứng với k = 6

- Số hạng thứ 7 trong khai triển là : C x 12 6  3

Ví dụ 6 : Tìm hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của

Hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của x  1 2  x  5  x 2 (1 3 )  x 10 bằng tổng hệ số của x 5 trong hai khai triển x  1 2  x  5 và x 2 (1 3 )  x 10

Hệ số của x 5 trong khai triển x  1 2  x  5 bằng hệ số của x 4 trong khai triển

Hệ số của x 5 trong khai triển x 2 (1 3 ) x 10 bằng hệ số của x 3 trong khai triển

- Số hạng tổng quát của khai triển  1 2x   5 : T k  1 C 5 k 1 5  k  2x k C 5 k ( 2)  k x k

- Vậy hệ số số hạng chứa x 4 trong khai triển là : C 5 4 ( 2) 4

- Số hạng tổng quát của khai triển (1 3 ) x 10 : T k  1 C 10 k 1 10  k  3x k C 10 k 3 k x k

- Vậy hệ số số hạng chứa x 3 trong khai triển là : C 10 3 3 3

Kết luận : Hệ số của x 5 trong khai triển thành đa thức của

Ví dụ 7 : Cho đa thức p x ( ) 1    x   9   1 x  10    1  x  14 có dạng khai triển là

Vì p x( )a a x a x 0  1  2 2 a x 3 3   a x 14 14 nên a9 tương ứng là hệ số của x 9 Khi đó hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x 9 trong các khai triển

Hệ số a9 bằng tổng tất cả các hệ số của x 9 trong các khai triển

Ví dụ 8 : Tìm hạng tử của khai triển  3  3 2  9 là số nguyên

Thực hiện viết số hạng tổng quát của khai triển Để tìm được hạng tử của khai triển là số nguyên thì số mũ của lũy thừa nguyên

- Số hạng tổng quát của khai triển : T k  1  C 9 k      3 9  k  3 2 k  C 9 k  3 9  2 k  2 3 k

- Hạng tử T k  1 là số nguyên  9 k chia hết cho 2 và k chia hết cho 3

Vậy hạng tử của khai triển là số nguyên là: T 4 4536 và T 10 8

Ví dụ 9: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển đa thức của: 1x 2 1x  8 

Các hạng tử chứa x 8 trong khai triển là : C x 8 3  2 1x  3 ; C x 8 4  2 1x  4

Vậy hệ số của hạng tử chứa x 8 là : C C 8 3 3 2 C C 8 4 4 0  238

Vậy ta có hệ số của x 8 là:  1 i C C 8 k k i thỏa mãn

Hệ số trong khai triển của x 8 là:  1 0 C C 8 4 0 4   1 2 C C 8 3 3 2 #8

Ví dụ 10: Tìm hệ số của hạng tử chứa x 4 trong khai triển:  1 2  x  3 x 2  10

Các hạng tử chứa x 4 trong khai triển là :

Hạng tử chứa x 4 trong khai triển C 10 0 1 2 x  10 là : C C 10 0 1 210 4 6   x 4

Hạng tử chứa x 4 trong khai triển C 10 1  1 2  x  9 3 x 2 là : C C 10 1 1 2 9 2 7   x 2 3 x 2

Hạng tử chứa x 4 trong khai triển C 10 2 1 2 x  8 3  x 2 2 là :

Vậy hệ số của hạng tử chứa x 4 là : C C 10 0 10 4 C C 10 1 2 39 2 2 C C 10 2 310 0 2 8085 d) Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Tìm số hạng thứ 21 trong khai triển: 2 3x  25

Bài 2 : a) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau  x 3  xy  21 b) Tìm số hạng đứng giữa trong các khai triển sau

Bài 3 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 3 x 4 1 7 x

Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng thứ 4 trong khai triển:   x  1 x   10

Bài 5 : Tìm hệ số của x 31 trong khai triển: x 1 2 40 x

Bài 6 : Tìm hạng tử chứa x 2 trong khai triển:  3 x  2  x  7

Bài 7: Tìm số hạng chính giữa của khai triển  x2y  14

 Loại 2 Nhóm các bài toán tìm hệ số và số hạng trong khai triển thỏa mãn điều kiện cho trước a) Bài toán thường gặp :

Khi khai triển biểu thức dạng \((a + b)^n\), có thể tìm các hệ số hoặc số hạng thỏa mãn một đẳng thức nhất định Để xác định hệ số hoặc số hạng chứa \(x^k\) trong khai triển, cần thực hiện một số bước cụ thể Trước tiên, cần xác định giá trị của \(n\) và điều kiện liên quan Sau đó, áp dụng công thức khai triển nhị thức để tìm ra các hệ số tương ứng.

- Dựa vào đẳng thức đã cho hoặc điều kiện về số mũ ta thực hiện tìm n

- Sau khi tìm được n ta thực hiện theo 3 bước như loại 1 đã nêu c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 11 : Biết rằng tổng tất cả các hệ số của khai triển  x 2  1  n bằng 1024 Tìm hệ số a của số hạng ax 12 trong khai triển đó

- Khai triển  x 2  1  n theo công thức Nhị thức Niu- tơn

- Tính tổng các hệ số của khai triển và cho bằng 1024 để tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1

Thay x = 1 vào hai vế của đẳng thức (1) ta được : C C n 0  1 n   C n n 2 n

Theo bài ta có tổng các hệ số của khai triển  x 2  1  n bằng 1024 nên

- Số hạng tổng quát của khai triển  x 2  1  10 : T k  1  C x 10 k   2 10  k  C x 10 k 20 2  k

- Số hạng ax 12 trong khai triển ứng với

- Vậy hệ số cần tìm là : a C 10 4 210

Ví dụ 12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n n  1 C n 3 Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển     

- Tìm n thỏa mãn điều kiện 5C n n  1 C n 3

- Số hạng tổng quát của khai triển  

- Vậy số hạng cần tìm là :  1 7 3 5   35 5

Ví dụ 13: Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển n 5 3

- Số hạng tổng quát của khai triển 1 3 x 5 12 x

- Vậy hệ số của số hạng chứa x 8 là : C 12 4  4! 12 4 !  12!   495

Ví dụ 14 : Cho khai triển              

Biết tổng ba hệ số của ba số hạng đầu tiên của khai triển là 33 Tìm hệ số của x 2

- Xác định hệ số của 3 số hạng đầu tiên của khai triển ( Chú ý hệ số là phần không chứa biến x)

- Cho tổng ba hệ số bằng 33, giải phương trình tìm n

- Thực hiện theo 3 bước đã nêu ở dạng 1 để tìm hệ số của x 2

- Vậy hệ số của x 2 là : C 4 2 2 2 24

Ví dụ 15 : Trong khai triển   

2 1 4 n x x tổng các hệ số của hạng tử thứ hai và thứ ba bằng 36 Hạng tử thứ ba gấp 7 lần hạng tử thứ hai Tìm x

Bài toán này không yêu cầu xác định hệ số hay số hạng chứa x^k trong khai triển, nhưng vẫn cần xác định giá trị của n và sau đó tìm số mũ x liên quan đến các số hạng trong khai triển.

- Xác định hệ số của của hạng tử thứ hai và thứ ba lần lượt là : C C 1 n ; n 2 ; cho tổng hai hệ số bằng 36, giải phương trinh trình tìm n

- Xác định hạng tử thứ ba và hạng tử thứ hai, từ giả thiết hạng tử thứ ba gấp

7 lần hạng tử thứ hai ta thu được một phương trình mũ; giải phương trình tìm x

Hạng tử thứ hai của khai triển là : C 1 n 2   x n 1 4 1 x

Hạng tử thứ ba của khai triển là :     

Vậy  1 x 3 là giá trị cần tìm d) Bài tập áp dụng

Bài 1 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển x x 3 15 28 1 n x

Bài 2 : Cho đa thức P x( ) x1  10  x1  11  x1  12  x1  13  x1 14 được viết dưới dạng P x ( )  a a x a x 0  1  2 2   a x 14 14 Tìm hệ số a7

Bài 3 : Tìm số thực x sao cho trong khai triển 2 1 1

  tổng các hạng tử thứ

3 và thứ 5 bằng 135 và tổng hệ số ba hạng tử cuối bằng 22

Bài 4 : Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn của

Bài 5 : Với n là số nguyên dương, gọi a3n-3 là hệ số của x 3n-3 trong khai triển thành đa thức của  x 1 x 2 2   n    n Tìm n để a3n-3 = 26n

Bài 6 : Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển   x 1 3  x 5   n

 Loại 3 Nhóm bài toán tìm hệ số lớn nhất của số hạng trong khai triển nhị thức: a) Bài toán thường gặp :

Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng trong khai triển nhị thức b) Các bước thực hiện bài toán :

- Giả sử uk là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

- Thực hiện giải bất phương trình 

Để tìm giá trị của k, cần đối chiếu các điều kiện liên quan đến k Từ đó, chúng ta có thể suy ra hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển dựa trên giá trị k đã tìm được Ví dụ minh họa sẽ giúp làm rõ hơn về quá trình này.

Ví dụ 16 : Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển

Bài toán yêu cầu xác định hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển biểu thức \((1 + x)^{101}\) Để giải quyết vấn đề này, chúng ta thực hiện theo ba bước đã phân tích trước đó.

Giả sử u C k  101 k 0  k 101,k N   là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

Khi đó có hai số hạng có hệ số lớn nhất

Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là C 101 50 C 101 51

Ví dụ 17 : Cho khai triển 1 2 x  n  a a x a x 0  1  2 2   a x n N n n ,  * và các hệ số a0, a1,a2,…,an thỏa mãn hệ thức 0  1   4096

2 2 n n a a a Tìm số lớn nhất trong các hệ số a0,a1,a2,…,an

- Thực hiện tìm số mũ n theo yêu cầu bài toán

- Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng khi khai triển theo ba bước đã phân tích nêu trên

Thay  1 x 2 vào hai vế của (1) ta được :

Giả sử u C k  12 k 2 0 k    k 12, k N   là hệ số lớn nhất trong các hệ số của khai triển

Vậy hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng là 2 8 C 12 8 d) Bài tập áp dụng:

0 1 2 3 10 a a x a x a x a x Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số a0;a1;…;a10

Bài 2 : Trong khai triển  1 2x   12 thành đa thức

Bài 3 : Biết rằng số hạng thứ 11 trong khai triển  x  1  n có hệ số lớn nhất Tìm số nguyên dương n

 Dạng 2 Chứng minh một đẳng thức tổ hợp, tính tổng số tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức a) Bài toán thường gặp:

- Tính tổng số các tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức

- Tìm số nguyên dương n trong khai triển một biểu thức

- Chứng minh một đẳng thức tổ hợp dựa vào khai triển một biểu thức b) Các bước thực hiện:

- Dựa vào yêu cầu bài toán chọn một hàm số thích hợp và thực hiện khai triển theo công thức Nhị thức Niu – tơn Ví dụ :

- Thay x những giá trị thích hợp kết hợp với các phép biến đồi đại số để giải bài toán ban đầu c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 18 : Chứng minh rằng : 3 16 C 16 0 3 15 1 C 16 3 14 C 16 2 3 13 3 C 16   C 16 16 2 16

Vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm quan trọng: Số mũ của 3 giảm dần từ 16 xuống 0, và các số hạng đều có sự xuất hiện của hệ số C(n, k) với điều kiện 0 ≤ k ≤ 16 và k thuộc tập số tự nhiên Do đó, chúng ta có thể chọn hàm số f(x) = (x + 1)¹⁶, thực hiện khai triển hàm này và sau đó thay x = -3, bởi vì các số hạng tương ứng với k lẻ sẽ có giá trị âm.

Thay x= - 3 vào hai vế của (1) ta được :

Vậy đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 19 : Chứng minh rằng : C C C C n 0  1 n  n 2  n 3      1 n C n n  0

Tương tự ví dụ 18 đã nêu

Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được : C C C C n 0  n 1  n 2  n 3      1 n C n n  0

Ví dụ 20 : Chứng minh rằng :

Cả hai vế của đẳng thức được khai triển theo công thức Nhị thức Niu tơn, tuy nhiên các số hạng lại có đặc điểm khác nhau Do đó, cần thực hiện các bước điều chỉnh phù hợp để đảm bảo tính chính xác của đẳng thức.

- Ta thấy vế trái của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 4 giảm từ n về 0, trong các số hạng có xuất hiện

C n k n k N Nên ta có thể chọn hàm số f x ( )   x  1  n , thực hiện khai triển và sau đó thay x = 4

- Ta thấy vế phải của đẳng thức cần chứng minh có những đặc điểm : Số mũ của 2 tăng từ 0 đến n, trong các số hạng có xuất hiện

C n k n k N Nên ta có thể chọn hàm số f x ( ) 1    x  n , thực hiện khai triển và sau đó thay x = 2

- Khi đó ta thu được kết quả vế trái và vế phải của đẳng thức cùng bằng một giá trị trung gian là 3 n

Thay x= 4 vào hai vế của (1) ta được :

Thay x= 2 vào hai vế của (2) ta được : C n 0 2C 1 n 2 2 C n 2   2 n C n n 3 n

Ví dụ 21 : Tìm số nguyên dương n sao cho C n 0 2C 1 n 2 2 C n 2   2 n C n n 243

- Thực hiện thu gọn vế trái của đẳng thức ( sử dụng cách làm như ví dụ 19)

Thay x= 2 vào hai vế của (1) ta được : 3 n C C n 0  n 1 2C n 2 2 2  C n n 2 n

Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm

Ví dụ 22: Tìm số nguyên dương n sao cho C 2 1 n C 2 3 n   C 2 2 1 n n  2048

Thay x= 1 vào hai vế của (1) ta được :2 2 n C 2 0 n C 2 1 n C 2 2 n C 2 3 n   C 2 2 n n (3)

Thay x= -1 vào hai vế của (1) ta được : C 2 0 n C 1 2 n C 2 2 n C 2 3 n   C 2 2 n n (4)

Ví dụ 23 : Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta có :

Phân tích bài toán : Để ý các số hạng của đẳng thức ở vế phải đều được viết dưới dạng   C n k 2 với

0 k n k N, nên ta thực hiện khai triển một biểu thức theo hai hướng khác nhau sau đó thực hiện đồng nhất thức hệ số

Hệ số của x n ở vế phải của (1) là C 2 n n

Hệ số của x n ở vế phải của (2) là:

Các số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có đặc điểm là số mũ của 3 tăng dần và đều là số chẵn, đồng thời trong các số hạng này có sự xuất hiện của k.

Vậy để chứng minh được đẳng thức ta cần triệt tiêu các số hạng ứng với k lẻ Lời giải :

Cộng hai vế của (1) và (2) ta được :

Thay x = 3 vào hai vế của (3) ta được :

Ví dụ 25 : Rút gọn biểu thức a) A2 n C n 0 2 n  2 C n 2 2 n  4 C n 4  b) B2 n  1 1 C n 2 n  3 3 C n 2 n  5 5 C n 

Khi cộng vế phải của biểu thức A và B, ta nhận được một khai triển Nhị thức Niu tôn với số mũ của 2 giảm dần Để tính giá trị của A và B, thay vì tính riêng lẻ, chúng ta sẽ liên kết A và B vào một hệ phương trình gồm 2 ẩn, từ đó xác định được giá trị của A và B.

Bài 4 : Tìm số nguyên dương n thỏa mãn : C n 0 C 1 n   C n n 4096

 Dạng 3 Sử dụng đạo hàm và tích phân trong bài toán khai triển nhị thức Niu – tơn a) Bài toán thường gặp:

* Đối với bài toán sử dụng đạo hàm :

- Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng đạo hàm :

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh có chứa dạng kC n k hoặc không chứa C n 0 hoặc không chứa C n n ta thực hiện dùng đạo hàm cấp 1

+ Trong tổng hoặc đẳng thức cần chứng minh các số hạng có chứa dạng

   1 n k k k C hoặc không chứa C C n 0 ; 1 n hoặc không chứa C C n n ; n n 1 ta thực hiện dùng đạo hàm cấp 2

+ Dùng Nhị thức Niu – tơn khai triển  a bx   n hoặc  a bx   n với cách chọn a,b thích hợp với yêu cầu bài toán

+ Lấy đạo hàm hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên và chọn x thay vào

* Đối với bài toán sử dụng tích phân :

- Dấu hiệu nhận biết bài toán có sử dụng tích phân:

+ Lấy tích phân hai vế đẳng thức vừa khai triển ở trên với cận thích hợp và chọn x thay vào c) Ví dụ minh họa:

Trong biểu thức cần tính tổng, không có hạng tử C(n, 0) và mỗi số hạng đều có dạng kC(n, k) với 0 ≤ k ≤ n, k thuộc N Do đó, ta sẽ sử dụng đạo hàm cấp 1 để giải quyết bài toán.

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được :

Ví dụ 27 : Chứng minh rằng : C 1 n  2 C n 2  3 C n 3      1 n  1 nC n n  0

Trong vế trái của đẳng thức cần tính tổng, không có hạng tử C n 0, và mỗi số hạng đều có dạng kC n k với 0 ≤ k ≤ n Do đó, chúng ta sẽ áp dụng đạo hàm cấp 1 để thực hiện tính toán.

Chú ý các số hạng ứng với k chẵn là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển

 1  x  n thay vì chọn khai triển  1  x  n như ví dụ 27

Thay x= 1 vào hai vế của (2) ta được

Trong biểu thức cần tính tổng ta thấy không có C C n 0 ; 1 n và trong mỗi số hạng có xuất hiện dạng k k    1 C n k với 0 k n k N,  nên ta thực hiện sử dụng đạo hàm cấp 2

Lấy đạo hàm cấp hai hai vế của (1) ta được :

Ví dụ 29 : Tìm số nguyên dương n sao cho

- Thực hiện tương tự ví dụ 27 với khai triển  1  x  2 1 n  để rút gọn vế trái của đẳng thức

- Giải phương trình tìm n thỏa mãn điều kiện

Lấy đạo hàm hai vế của (1) theo x ta được :

(2 1) 1n x n C n 2xC n 3x C n (2 1)n x C n n n (2) Thay x= -2 vào hai vế của (2) ta được

Ví dụ 30 : Chứng minh rằng :        

Trong mỗi số hạng ở vế trái của đẳng thức cần chứng minh có xuất hiện dạng

1C n k k với 0 k n k N,  nên ta thực hiện sử dụng tích phân

2 3 4 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx C dx C xdx C x dx C x dx x C x C x C x C x n n

Ví dụ 31 : Chứng minh rằng :         

Chú ý các số hạng ứng với k lẻ là số âm nên ta thực hiện chọn khai triển

2 3 4 1 1 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x dx C dx C xdx C x dx C x dx x C x C x C x C x n n

Vậy đẳng thức được chứng minh d) Bài tập áp dụng:

Bài 1 : Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng

Bài 3 : Cho n là số nguyên dương Chứng minh rằng :

Bài 8 : Cho n là số nguyên dương Tính tổng :

6.6 Thực nghiệm sư phạm Để có được sự đánh giá khách quan hơn tôi đã chọn ra 2 lớp 11, một lớp để đối chứng và một lớp để thực nghiệm Lớp đối chứng vẫn được tiến hành ôn tập bình thường, đối với lớp thực nghiệm tôi thực hiện chọn lọc những nội dung phù hợp với lớp 11 trong đề tài và phô tô cho học sinh, học sinh nhóm thực hiện sẽ nghiên cứu và thực hiện ôn tập Sau đó cả hai lớp được làm một bài kiểm tra trong thời gian một tiết, hình thức kiểm tra là tự luận, nội dung bài kiểm tra gồm một số dạng bài tập trong đề tài (giới hạn nội dung trong lớp 11) và thống kê điểm cho kết quả sau:

Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu

Dựa trên các kết quả thực nghiệm cho thấy chất lượng học tập của học sinh các lớp thực nghiệm cao hơn học sinh các lớp đối chứng

- Tỷ lệ học sinh yếu kém của lớp thực nghiệm là thấp hơn so với lớp đối chứng

- Tỷ lệ học sinh đạt trung bình đến khá, giỏi của các lớp thực nghiệm là cao hơn so với lớp đối chứng

Trước khi tiến hành thực nghiệm, học sinh còn bỡ ngỡ và mơ hồ trong việc giải các bài tập Nhị thức Niu-tơn do thời gian luyện tập ngắn Tuy nhiên, sau khi áp dụng đề tài, học sinh đã nắm vững lý thuyết, biết phân tích bài toán và tìm ra hướng giải, từ đó hạn chế sai lầm trong quá trình làm bài Điều này cho thấy kinh nghiệm này có tác dụng tích cực trong việc nâng cao chất lượng học tập của học sinh.

GIÁO ÁN THỰC NGHIỆM Chương II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài 3 NHỊ THỨC NIU – TƠN Tiết 28 : LUYỆN TẬP NHỊ THỨC NIU – TƠN

- Củng cố, khắc sâu công thức nhị thức Niutơn

- Biết khai triển (a+b) n theo công thức nhị thức Niutơn

- Tính tổng của một biểu thức dựa vào công thức nhị thức Niutơn

- Tìm số hạng chứa x k trong khai triển

- Tự giác, tích cực, sáng tạo

- Năng lực tính toán, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực sử dụng ngôn ngữ, năng lực sáng tạo

II.Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

1 Chuẩn bị của giáo viên:

- Giáo án, Sgk, bảng phụ

- Chuẩn bị nội dung bài giảng phù hợp đối tượng học sinh

2 Chuẩn bị của học sinh:

- Sách,vở , đồ dùng học tập, đọc trước bài mới

- Ôn tập công thức nhị thức Niu – tơn

III Phương pháp dạy học:

- Nêu và giải quyết vấn đề, phát vấn, giảng giải

IV.Tiến trình tổ chức dạy học:

1.Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số

CH1: Nhắc lại công thức nhị thức Niu – tơn ?

CH2 : Thực hiện khai triển biểu thức :  a 2b   5

Hoạt động của GV và HS Nội dung ghi bảng

HS ghi bài, suy nghĩ

GV yêu cầu HS nêu cách thực hiện bài toán

+ Xác định số hạng tổng quát của khai triển

+ Dựa vào yêu cầu bài toán tìm k

+ Kết luận về hệ số và số hạng cần tìm

GV chia lớp thành 4 nhóm và cho HS hoạt động nhóm trong thời gian 3 phút

HS : Đại diện nhóm lên trình bày

      a) Tìm hệ số của x 16 trong khai triển của A b) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của A Giải:

Số hạng tổng quát của khai triển là

         a) Hạng tử chứa x 16 ứng với

 Vậy hệ số của x 16 trong khai triển là C 2 8  28 b) Hạng tử không chứa x ứng với

Vậy hạng tử không chứa x trong khai triển đó là

Bài 2 : Cho n là số nguyên dương thỏa mãn

GV yêu cầu HS nêu sự khác nhau giữa bài tập 2 và bài tập

HS trả lời : Bài tập 2 có điều kiện của n

GV gọi 1HS lên bảng thực hiện tìm n

GV chính xác hóa bài làm của học sinh

HS thực hiện bước tiếp theo

(3 bước đã nêu ở bài tập 1)

GV yêu cầu HS lên trình bày

GV nhận xét, cho điểm

GV yêu cầu HS nêu cách tìm

Tìm số hạng chứa x 5 trong khai triển     

Số hạng tổng quát của khai triển   

Số hạng chứa x 5 trong khai triển ứng với

Vậy số hạng cần tìm là :  1 7 3 5   35 5

Bài 3 : Tìm số nguyên dương n sao cho

HS trả lời : Ta thực hiện thu gọn vế trái

GV yêu cầu HS khai triển

 1  x  n theo công thức Nhị thức Niu – tơn

HS trả lời tại chỗ

GV : Với x bằng bao nhiêu ta thu được biểu thức giống vế trái của đẳng thức

HS thảo luận và tư duy : x = 2

CH : Hãy cho biết các hệ số trong mỗi hạng tử ?

GV hướng dẫn HS tính tổng và chú ý HS : Tổng các hệ số chính là khai triển của một biểu thức theo công thức nhị thức Niuton

Khi đó ta có : 3 243 n   n 5 Vậy n = 5 là số nguyên dương cần tìm

Bài 4: Trong các khai triển biểu thức, hãy tính tổng các hệ số của nó:  3x 4   17 Giải:

Tổng hệ số trong khai triển là:

- Qua bài HS cần nắm 2 dạng bài cơ bản:

Dạng 1: Xác định hệ số hoặc số hạng chứa x k trong khai triển (có điều kiện hoặc không)

Dạng 2: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện cho trước hoặc tính tổng sử dụng Nhị thức Niu – tơn

- Xem lại các bài đã chữa

- Hoàn thiện các bài còn lại trong SGK

7 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Chủ động trong giờ học, phát huy tính tích cực, sáng tạo trong tư duy của mình dưới sự chỉ đạo, hướng dẫn của giáo viên

- Thường xuyên trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp

- Tăng cường hệ thống bài tập (tự luận và trắc nghiệm) theo các dạng

* Đối với các cấp lãnh đạo

- Nhà trường cần quan tâm đầu tư cung cấp tài liệu, sách tham khảo, cơ sở vật chất: máy chiếu, tranh ảnh

- Xây dựng đội ngũ giáo viên toán học đủ về số lượng, đạt chuẩn về trình độ đào tạo, vững vàng về chuyên môn

8 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến

Sáng kiến này được áp dụng một phần cho học sinh lớp 11, đặc biệt là những em đang ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh và kỳ thi THPT quốc gia.

Hệ thống các dạng bài tập