SKKN một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

Phương pháp nghiên cứu

Trong bản sáng kiến kinh nghiệm sử dụng các phương pháp nghiên cứu chủ yếu sau:

Phương pháp nghiên cứu lý luận bao gồm việc khảo sát các tài liệu liên quan đến ứng dụng tính đơn điệu của hàm số, đặc biệt là từ các tạp chí trong và ngoài nước, cũng như từ các nguồn tài liệu trên Internet.

- Phương pháp trao đổi, tọa đàm (với giáo viên, học sinh khá giỏi toán).

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.

Học sinh được đào tạo chuyên sâu theo các chuyên đề sẽ nâng cao khả năng tư duy Toán học, đặc biệt là phát triển phương pháp giải quyết các bài toán liên quan đến giải tích.

5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

- Họ và tên: Lê Anh Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com

5.3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn

Sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy cho các lớp ôn thi THPT quốc gia và nhằm bồi dưỡng các đội tuyển học sinh giỏi môn Toán, chuẩn bị cho kỳ thi HSG tỉnh.

5.5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 08/12/2019

5.6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:

I Một số vấn đề lý thuyết liên quan

II Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

1 Chứng minh bất đẳng thức

2 Giải các phương trình, bất phương trình

3 Giải các hệ phương trình

III Một số bài tập vận dụng

C- KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1.1 Cho hàm số đồng biến trên Với mọi ta luôn có

. 1.2 Cho hàm số nghịch biến trên Với mọi ta luôn có

. 1.3 Cho hàm số liên tục và đơn điệu trên khoảng , tức là luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến trên khoảng Với mọi ta luôn có

. 1.4 Cho hàm số liên tục và đơn điệu trên khoảng Khi đó phương trình có không quá một nghiệm thuộc khoảng

1.5 Nếu phương trình chỉ có một nghiệm trên khoảng thì phương trình có không quá hai nghiệm trên khoảng

Chúng ta thường áp dụng khái niệm hàm số đồng biến và nghịch biến để suy luận các bất đẳng thức có tính đối xứng Để xác định tính đồng biến hay nghịch biến của một hàm số, ta chỉ cần xét dấu của đạo hàm Kết quả này giúp đơn giản hóa quá trình phân tích hàm số.

+ Nếu đồng biến trên [a; b] thì với mọi x > a.

+ Nếu nghịch biến trên [a; b] thì với mọi x < b.

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng , với mọi

Lời giải Xét hàm số với Ta có

, suy ra hàm số đồng biến trên

Bài toán 1.2 Cho Chứng minh rằng

Xét hàm số với , ta có với

Suy ra đồng biến trên Do đó

Suy ra đồng biến trên Do vậy ta luôn có với (đpcm).

Từ cách giải bài toán, chúng ta có thể rút ra một kết quả quan trọng với nhiều ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức Cụ thể, với mọi giá trị, kết quả này được áp dụng để khẳng định tính đúng đắn của bất đẳng thức đã nêu.

Tiếp theo là một ví dụ áp dụng kết quả cơ bản trên

Bài toán 1.3 Cho Chứng minh rằng: a) sinx b) sinx

Lời giải a) Xét hàm với Ta có

Do đó (đpcm). b) Xét hàm , ta có Đến đây kịch bản không đơn giản như phần (a) nữa vì có nghiệm duy nhất

Tuy nhiên bằng việc lập bảng biến thiên của hàm số trong đoạn ta sẽ có ngay Vậy (đpcm).

Như vậy ta có một bất đẳng thức kẹp cho sinx:

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng với mọi ta có

Lời giải Xét hàm với Ta có với mọi

Suy ra hàm f(x) đồng biến trên Vậy Đẳng thức xảy ra khi x=0.

Nhận xét Bằng việc xét đạo hàm nhiều lần và sử dụng kết quả bài toán 1.4 ta có kết quả tổng quát hơn như sau:

Kết quả 2: Với n là số nguyên dương bất kì ta có: với mọi

Bài toán 1.5 (Đề thi Đại học khối D năm 2006) Chứng minh rằng

Xét hàm số với x > 0 Ta có

, nên là hàm nghịch biến trên Do đó (đpcm).

Bài toán 1.6 Chứng minh rằng với mọi phân biệt thuộc khoảng ta có

Xét hàm số với Ta có

Suy ra f(t) đồng biến trên (0;1) Từ đó ta suy ra ngay điều phải chứng minh.

Bài toán 1.7 Cho các số dương và Chứng minh rằng

Lời giải Xét hàm số Khi đó

Do đó g(x) nghịch biến trên Suy ra

Vậy , nên f(x) đồng biến trên Suy ra f(x) > f(0) (đpcm).

Bài toán 1.8 ( Đề thi HSG Quốc gia năm 1992) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 ta có

Lời giải Đặt Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

Xét hàm số liên tục có

Vậy f(x) nghịch biến (0;1) nên f(x) < f(0) = 2, (đpcm).

Bài toán 1.9 Cho n là số nguyên lẻ lớn hơn 3 Chứng minh rằng với mọi ta có

Vì n là số lẻ lớn hơn 3 nên cùng dấu với (-2x) Do đó ta có bảng biến thiên x 0 y’ + 0 - y 1

Từ bảng biến thiên ta có (đpcm)

Bài toán 1.10 Cho số nguyên dương n Chứng minh rằng với mọi

Vậy Tiếp theo ta sẽ chứng minh

Thật vậy, Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số trên [2n;2n+1] suy ra tồn tại thuộc sao cho Suy ra

Từ (1), (2) ta suy ra điều phải chứng minh.

Việc áp dụng định lý Lagrange không chỉ giúp tối ưu hóa quá trình đánh giá mà còn rút ngắn thời gian cho các bước trung gian Dưới đây là một ví dụ minh họa cho việc sử dụng định lý này trong việc đánh giá hiệu quả.

Bài toán 1.11 Chứng minh rằng

Lời giải Trước tiên ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng về dạng quen đơn giản hơn Ta có

Vì vậy ta xét hàm số và cần chứng minh

Áp dụng định lý Lagrange cho hàm số, ta có sự tồn tại của một giá trị sao cho hàm số đồng biến trên khoảng xác định Bài toán đã được chứng minh một cách đầy đủ.

Trong bài toán này, mục tiêu chính là chứng minh rằng hàm số đồng biến trên một khoảng nhất định Để thực hiện điều này, ta cần chứng minh rằng hàm số đồng biến trên khoảng đó Bên cạnh đó, ta cũng có thể chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.

Ta có thể chứng minh bài toán trên bằng cách khác như sau:

Xét hàm số Với mọi cặp số thực dương x, y bất kì thỏa mãn , theo định lí Lagrange, luôn tồn tại sao cho: hay

Vậy với mọi cặp số thực dương x,y bất kì thỏa mãn , luôn có

Thay x bởi và y bởi ta được

Bài toán 1.12 Chứng minh rằng với mọi

Lời giải Áp dụng BĐT Côsi ta có

Xét hàm số liên tục trên , có

Do đó f(x) đồng biến trên Suy ra , hay với mọi Bài toán được chứng minh.

Bài toán 1.13 Chứng minh rằng

Lời giải Ta biến đổi

. Áp dụng BĐT ta có

Tiếp tục xét hàm , thì

, với mọi , nên g(x) đồng biến trên Suy ra

Do đó nên f(x) đồng biến trên Suy ra

Nhận xét Bằng việc xét hàm ta đã chứng minh được

Bằng việc áp dụng vào tam giác ABC với tổng ba góc ta thu được kết quả khá hấp dẫn sau:

Với là ba góc của một tam giác nhọn bất kì ta có:

Bài toán 1.14 (Đề thi HSG Hà Nội năm 2017) Cho hàm số f xác định trên tập số thực, lấy giá trị trên R và thỏa mãn điều kiện

Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập số thực.

Từ đó với chú ý rằng với mỗi đều tồn tại sao cho cot x = t ta được

. Đặt Dễ thấy khi x chạy qua R thì u chạy qua Vì vậy từ (1) ta được và

Dễ dàng chứng minh được Suy ra hàm h(u) đồng biến trên

Vì vậy trên ta có và

Vậy , đạt được chẳng hạn khi x = 0 và , đạt được chẳng hạn khi

Để giải các phương trình và bất phương trình, phương pháp sử dụng tính đơn điệu có thể được tiếp cận theo hai hướng chính.

Hướng 1: Biến đổi phương trình về dạng f(x) = m, nhẩm được một nghiệm rồi chứng minh hàm f(x) đồng biến (nghịch biến) Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất.

Hướng 2: Biến đổi phương trình về dạng f(u) = f(v), trong đó hàm f(x) đồng biến

(nghịch biến) Khi đó ta được u = v.

Bài toán 2.1 Giải phương trình

Lời giải Điều kiện Đặt Khi đó phương trình (1) trở thành

Xét hàm số với Dễ thấy là hàm số nghịch biến Khi đó (2) trở thành (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 2.2 Giải bất phương trình

Lời giải Phương trình đã cho tương đương với

Xét hàm số Dễ thấy hàm số là hàm số nghịch biến.

Vậy tập nghiệp của bất phương trình đã cho là

Trong các bài toán đã nêu, việc nhận diện hàm số đơn điệu thường không quá khó khăn Tuy nhiên, trong nhiều tình huống, cần phải thực hiện các biến đổi tinh vi để xác định hàm số đơn điệu thích hợp Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét một số bài toán khác.

Lời giải Điều kiện Phương trình đã cho tương đương

(1) Xét hàm số với Dễ thấy là hàm số đồng biến Khi đó (1) trở thành

Tiếp theo ta xét hàm số với , ta thấy

Bảng biến thiên của hàm số như sau

Từ bảng biến thiên của hàm số ta thấy phương trình có không quá hai nghiệm Dễ kiểm tra thấy Suy ra phương trình (2) có đúng hai nghiệm và

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và

Bài toán 2.4 Giải bất phương trình (1)

Với điều kiện (*) ta biến đổi

Xét hàm số với Dễ thấy là hàm số đồng biến

Kết hợp với điều kiện (*) ta được tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

Lời giải : Ta thấy phương trình đã cho chỉ có nghiệm trong Phương trình tương đương với với Xét hàm số với

Do đó (1) Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài toán 2.6 (Đề HSG Tỉnh Bắc Ninh 2013) Giải phương trình

Lời giải Điều kiện Đặt ta được phương trình Đặt suy ra

Do đó có nghiệm duy nhất , suy ra

Vậy phương trình có nghiệm là

Bài toán 2.7 (Đề ĐH năm 2010) Tìm nghiệm dương của phương trình sau

Lời giải Xét hàm số với Ta có

Và là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Hướng dẫn Khó khăn nhất là biến đổi để phát hiện ra hàm số đặc trưng ở hai vế

Ta đặt Khi đó phương trình trở thành

Như vậy hàm đắc trưng ở đây là (hàm này đồng biến trên ) nên suy ra được , từ đó ta suy ra nghiệm x cần tìm.

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng:

Lại xuất hiện hàm đặc trưng nên suy ra được , từ đó ta suy ra nghiệm x cần tìm.

Bài tương tự: Giải phương trình

Ta có thể đưa ra ý tưởng giải cho lớp phương trình sau:

Ta sẽ biến đổi phương trình về dạng

Trong bài viết, tham số u được xác định thông qua việc cân bằng hệ số Tuy nhiên, do vế trái không xuất hiện, ta có thể ngay lập tức kết luận rằng u = 0.

Xét hàm đơn điệu trên R Từ đó suy ra

Ta tiếp tục với một phương trình khó hơn như sau:

Hướng dẫn Chia cả hai vế cho và đưa về dạng Để giải phương trình này ta đặt

Bài toán 2.11 (Tạp chí THTT năm 2016) Giải PT:

Hướng dẫn Biến đổi phương trình về dạng

Sau đó đưa về giải PT bằng phép thế lượng giác

Ta thu được các nghiệm là:

Để giải hệ phương trình, phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số thường được áp dụng bằng cách biến đổi một phương trình trong hệ thành dạng thích hợp.

, trong đó hàm là hàm đồng biến (nghịch biến) Từ đó cho ta một quan hệ mới giữa x và y Ta bắt đầu với một ví dụ đơn giản sau

Bài toán 3.1 Giải hệ phương trình

Lời giải Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với Xét hàm số với thì dễ thấy hàm nghịch biến nên

Lời giải Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được

Như vậy đồng biến trên do đó

Ta cần giải phương trình Để ý rằng

Ta lại xét hàm thì

( theo bất đẳng thức AM-GM) Suy ra đồng biến trên Mà nên phương trình có nghiệm duy nhất là Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Lời giải Điều kiện xác định:

Phương trình đầu của hệ tương đương với

Xét hàm số , ta có do đó đồng biến trên Từ (*) ta có

Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được

Phương trình đầu của hệ tương đương

Hàm số đồng biến trên nên ta thu được

Thay vào hai của hệ ta được

Do đó (*) có nghiệm duy nhất Vậy hệ phương trình đã có nghiệm duy nhất là

Lời giải Điều kiện xác định:

Phương trình đầu của hệ được viết lại thành

Hàm số đồng biến trên nên suy ra

Thay kết quả trên vào phương trình thứ hai của hệ đã cho, ta được

Vì nên Từ đó, tính được

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 3.6 Giải hệ phương trình:

Trừ từng vế của hai phương trình ta được: ị ị

Hàm số f(t) = đồng biến nên ta được Kết hợp ta được Từ đó suy ra hệ có nghiệm duy nhất

Lời giải Điều kiện xác định: Ta thấy ngay không thỏa mãn Vậy Từ đó, theo phương trình thứ hai ta suy ra

Chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho ta được

Dễ thấy hàm số đồng biến trên khoảng

Do đó từ phương trình (*) ta suy ra Thế vào phương trình thứ nhất của hệ ta có

Kết luận : Nghiệm của hệ phương trình

Bài toán 3.8 Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn Biến đổi phương trình đầu của hệ

Hàm số đồng biến trên , từ đó suy ra

Từ đó tìm ra nghiệm của hệ là

Lời giải Trước tiên ta để ý vào phương trình đầu của hệ

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y   0 Do đó   1    x y 0.

Hàm số f t( ) t 3 t đồng biến trên R nên ta được

Từ đó tìm ra nghiệm của hệ là

Bài toán 3.10 Giải hệ phương trình sau:

Lời giải Phương trình thứ hai của hệ tương đương

Hàm số đồng biến trên R nên ta được

Để giải phương trình khó này, ta cần thực hiện một số biến đổi nhằm xuất hiện dấu hiệu ẩn phụ Bằng cách đặt một biến mới và kết hợp với phương trình ban đầu, ta sẽ có được hệ phương trình cần thiết để tiếp tục giải quyết.

Lấy hai vế phương trình trừ nhau ta được

Suy ra phương trình (2) vô nghiệm Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm

Tiếp theo ta xét các hệ hoán vị vòng quanh ba ẩn, trước hết ta đưa ra khái niệm về hệ hoán vị vòng quanh

* Hệ hoán vị vòng quanh là hệ có dạng: , trong đó là các hàm số nào đó.

* Tính chất cơ bản: Nếu hai hàm cùng tính đơn điệu thì

Thật vậy, giả sử cùng tính đơn điệu tăng Không mất tính tổng quát, giả sử Từ

Nếu hai hàm ngược tính đơn điệu, ta có thể chứng minh rằng các hàm đơn điệu sẽ luôn cho ra kết quả mong muốn Phương pháp này cũng áp dụng cho việc giải các hệ hoán vị vòng quanh Chúng ta sẽ bắt đầu với bài toán cơ bản.

Lời giải Xét hàm số , dễ thấy ngay cả hai hàm đều đồng biến trên  Do đó Thay vào hệ đã cho ta được

Vậy hệ có ba nghiệm là

Lời giải Ta giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ Xét hàm số ta có: nên là hàm đồng biến trên 

Do đó Thay vào hệ đã cho ta được

Dễ thấy phương trình này có nghiệm duy nhất nên hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Trong hai bài toán đã đề cập, chúng ta nhận thấy sự xuất hiện của hàm đơn điệu Trong một số trường hợp, hàm số có thể chưa được xác định hoặc không đơn điệu ngay trên miền xác định của nó Do đó, cần phải thực hiện các phép biến đổi khéo léo để làm nổi bật hàm đơn điệu, hoặc kết hợp thêm các đánh giá về các ẩn số để đảm bảo hàm số trở nên đơn điệu trong miền đó Tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét những bài toán phức tạp hơn.

Lời giải Điều kiện xác định

Biến đổi hệ đã cho tương đương với

Ta thấy ngay là hàm nghịch biến, và nên là hàm đồng biến trên Do đó Thay vào hệ đã cho ta được

Phương trình này có nghiệm duy nhất Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bài tương tự: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn Biến đổi hệ tương đương với

Mô tả sáng kiến

5.1 Tên sáng kiến: Một số ứng dụng tính đơn điệu của hàm số

- Họ và tên: Lê Anh Tuấn

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Nguyễn Thái Học

- Số điện thoại: 0913389665 Email: leanhtuancvp@gmail.com

5.3 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Lê Anh Tuấn

Sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy các lớp ôn thi THPT quốc gia và nâng cao năng lực cho các đội tuyển học sinh giỏi Toán, chuẩn bị cho kỳ thi HSG tỉnh.

5.5 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: 08/12/2019

5.6 Mô tả bản chất của sáng kiến:

Bố cục

Bản sáng kiến kinh nghiệm gồm ba phần chính:

Một số bài tập vận dụng 35 PHẦN C: KẾT LUẬN 38 1 Kiến nghị, đề xuất về việc triển khai áp dụng đề tài

Đánh giá lợi ích có thể thu được do áp dụng đề tài, sáng kiến

Nâng cao chất lượng học sinh giỏi trong các kỳ thi cấp tỉnh, cấp quốc gia và chất lượng học sinh thi vào đại học ở bộ môn Toán.

Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng đề tài, sáng kiến

Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực áp dụng sáng kiến

1 Giáo viên giảng dạy bộ môn Toán

Bồi dưỡng học sinh thi vào đại học và thi chọn học sinh giỏi

2 Giáo viên giảng dạy bộ môn Toán

Một số trường THPT trong tỉnh Vĩnh Phúc

Bồi dưỡng học sinh thi vào đại học và thi chọn học sinh giỏi

Vĩnh Phúc, ngày 30 tháng 12 năm 2019

(Ký, ghi rõ họ tên)

Vĩnh Phúc, ngày tháng năm

Hội đồng sáng kiến cấp cơ sở

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	3,75 MB