Đại số gia tử
Biến ngôn ngữ là loại biến có miền giá trị không phải là số mà là các từ hoặc câu trong ngôn ngữ tự nhiên hoặc nhân tạo, được gọi chung là giá trị ngôn ngữ Nói chung, biến ngôn ngữ được xác định bởi một tập hợp các giá trị ngôn ngữ.
• X: Tên biến ngôn ngữ, chẳng hạn như AGE, TEMPERATURE, .
• T: Tập các giá trị của biến ngôn ngữ X , chẳng hạn nhưyoung, old, high, low, .
• H: Tập các gia tử, chẳng hạn nhưmore, less, very, .
• U: Tập cơ sở hay tập sinh của biến X.
• G: Tập các qui tắc sản sinh ra các phần tử của X.
• M: Tập các qui tắc ngữ nghĩa gán cho mỗi giá trị ngôn ngữ của biến X một ý nghĩa là tập mờ trên U.
Gia tử H bao gồm các trạng từ chỉ mức độ như very, more, less, và possibly, có tác dụng thay đổi mức độ giá trị của các giá trị ngôn ngữ mà chúng đi kèm Ví dụ, trong việc đánh giá nhiệt độ, các thuộc tính như cao (high) và thấp (low) có thể được điều chỉnh thành very high, less high, more low, hoặc possibly low, làm thay đổi giá trị so với ban đầu Gia tử ngôn ngữ, hay còn gọi là gia tử, được định nghĩa là phép toán một ngôi tác động lên giá trị ngôn ngữ, làm tăng hoặc giảm ngữ nghĩa của giá trị đó.
Gia tử ngôn ngữ là những từ như H = {very, more, approximately, possibly, more or less, less}, khi kết hợp với nhau sẽ tạo ra các xâu gia tử mới Việc sử dụng các gia tử này giúp làm phong phú thêm ngôn ngữ và diễn đạt ý nghĩa một cách chính xác hơn.
H, khi kết hợp các gia tử, tạo ra các xâu gia tử mới như H ∗ = {very more, more less, very less, possibly more, } Việc tăng độ dài cho phép của xâu gia tử sẽ dẫn đến sự xuất hiện của những xâu gia tử mới Định nghĩa 1.1.3 nêu rõ rằng đại số gia tử AX = (X, H, G, ≤) bao gồm bốn thành phần: X là tập hợp các giá trị của biến ngôn ngữ, G là tập hợp các phần tử sinh, H là tập hợp các gia tử ngôn ngữ và ≤ là quan hệ thứ tự trên X.
Các thành phần của đại số gia tử:
Tập các phần tử sinh G bao gồm các giá trị nguyên thủy của biến ngôn ngữ, thường được chia thành phần tử sinh âm và phần tử sinh dương Ví dụ, với giá trị ngôn ngữ TRUTH, tập phần tử sinh G là {true, false}; còn với giá trị ngôn ngữ TEMPERATURE, tập phần tử sinh G là {high, low} Trong đó, G+ đại diện cho tập phần tử sinh dương và G− cho tập phần tử sinh âm, do đó G = G+ ∪ G−.
Tập gia tử ngôn ngữ H là tập hợp các gia tử ngôn ngữ ảnh hưởng đến G, từ đó tạo ra các giá trị ngữ nghĩa H bao gồm cả gia tử dương và gia tử âm, theo định nghĩa 1.1.4.
Ví dụ H ={very, more, approximately, less}.
Quan hệ ≤ được sử dụng để xác định thứ tự giữa các xâu gia tử và các giá trị ngữ nghĩa Chẳng hạn, đối với biến ngôn ngữ AGE, chúng ta quy ước rằng young < old và less < approximately.
< more < very, từ đó suy ramore young possibly.
Thứ tự giữa các gia tử được xác định bởi ảnh hưởng của chúng đối với giá trị ngôn ngữ, dẫn đến sự thay đổi trong các giá trị này Bài [2] cung cấp cái nhìn chi tiết về vấn đề này Định nghĩa 1.2.2 đề cập đến hai phần tử đặc biệt trong đại số gia tử đối xứng tuyến tính.
Gia tử không I là một loại gia tử đặc biệt, khi tác động vào bất kỳ giá trị ngôn ngữ nào, nó không làm thay đổi giá trị đó Điều này có thể được diễn đạt bằng công thức Ix = x với mọi x thuộc tập X.
• Giá trị ngôn ngữx gọi là trung tính với gia tử h nếu như hx=x.
Phần tử sinh trung hòa W là một phần tử đặc biệt trong đại số, có giá trị không thay đổi khi chịu tác động của bất kỳ gia tử nào trong tập hợp H, tức là hW = W với mọi h thuộc H.
Hai phần tử I và W không tồn tại trong thực tế nhưng rất quan trọng cho các phát biểu lý thuyết sau này Khi được áp dụng vào tính toán, các giá trị I và W chỉ mang tính đại diện hình thức và không xuất hiện trong kết quả, do đó không ảnh hưởng đến tính tương thích của mô hình đại số gia tử với thực tế.
Trong đại số gia tử đối xứng tuyến tính, mỗi phần tử đều có một phần tử đối xứng tương ứng Cụ thể, cho đại số gia tử đối xứng tuyến tính AX = (X, H, G, ≤), với x là một giá trị ngôn ngữ của đại số này Nếu x có dạng phân tích chính tắc là x = h1h2 hn, thì phần tử đối của x được xác định là x̄ = h1h2 hnd, trong đó c và d là hai phần tử sinh trong G và c ≠ d.
Một thành phần quan trọng trong đại số gia tử là quan hệ ≤, thường được gọi là tính thứ tự trên AX Theo định lý 1.2.1, nếu x = h_n h_{n-1} h_1 u và y = k_m k_{m-1} k_1 u là hai biểu diễn chính tắc của x và y đối với u, thì có những hệ quả quan trọng cần được xem xét.
• x=y nếu và chỉ nếu m=n và h j =k j với mọi j ≤n.
• Nếux6=y thì tồn tại một chỉ số j ≤min(m, n)(trong trường hợp j = min(m, n) ta coi ht = I, n+ 1 ≤ t ≤ m(n < m) hoặc kt = I, m+ 1 ≤ t ≤ n(m < n)) sao cho h j 0 =k j 0 với mọi j 0 < j Kí hiệu x (top) và ⊥(bottom).
Dàn đóng là một khái niệm quan trọng trong nhiều chứng minh toán học Bất kỳ dàn nào cũng có thể trở thành dàn đóng bằng cách thêm vào các phần tử lớn hơn và nhỏ hơn Đối với tập L hữu hạn, ta có thể sử dụng phép join và meet của L để xây dựng dàn đóng Trong dàn đóng, các phép meet và join cũng được định nghĩa cho tập rỗng, cho thấy rằng dàn đóng gần gũi hơn với cấu trúc tự nhiên so với định nghĩa dàn tổng quát.
Theo cách tiếp cận khác, dàn cũng có thể xem như một cấu trúc đại số (L,∨,∧) thỏa mãn các tiên đề sau:
Trong lý thuyết đại số, (L,∨) và (L,∧) được coi là các bán dàn, trong khi (L, ∨, ∧, >, ⊥) là dàn đóng với ⊥ và > là các phần tử đơn vị tương ứng của phép ∨ và ∧ Mối quan hệ tương đương giữa định nghĩa theo lý thuyết thứ tự và định nghĩa theo lý thuyết đại số được thể hiện qua điều kiện: với mọi a, b thuộc L, a ≤ b khi và chỉ khi a = a∧b, và a ≤ b khi và chỉ khi b = a∨b.
Một số tính chất quan trọng của dàn:
Một poset được coi là dàn có tính đầy đủ khi mọi tập con của nó đều có join và meet Tất cả các dàn đầy đủ đều là dàn đóng, nhưng dàn có tính đầy đủ có khả năng mở rộng cho cả các tập con vô hạn phần tử Đối với tập con rỗng, meet được xác định là phần tử lớn nhất của poset, trong khi join là phần tử nhỏ nhất của nó.
Trong đại số gia tử mịn hóa, khái niệm về bán dàn đầy đủ và dàn con đầy đủ rất quan trọng Tính đầy đủ của dàn đảm bảo rằng các phép toán meet và join được đóng trên miền giá trị chân lý.
Tính phân phối Một dàn có tính phân phối nếu nó thỏa mãn một trong hai tiên đề sau:
• Tính phân phối của phép join với phép meet: a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c)
• Tính phân phối của phép meet với phép join: a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c)
Phân phối là một yếu tố quan trọng trong dàn, và nó đóng vai trò then chốt trong việc chuyển đổi các công thức logic mệnh đề và dạng hội chính quy (CNF).
Dàn có tính phân cấp (modularity) được xác định bởi đặc tính toán học: (a∧c)∨(b∧c) = [(a∧c)∨b]∧c Tính chất này có thể được diễn đạt qua quan hệ thứ tự trong dàn, được gọi là luật phân cấp, với điều kiện a < c dẫn đến a∨(b∧c) = (a∨b)∧c Dàn modular là một phiên bản yếu hơn của dàn phân phối và thường được sử dụng như một điều kiện thay thế khi tính phân phối không thể đảm bảo.
Trong lý thuyết tập hợp, hai phần tử x và y được gọi là bù nhau nếu x ∨ y = 1 và x ∧ y = 0, ký hiệu là y = ơx Đặc biệt, trong dàn đóng L với phần tử 0 và 1, mọi phần tử x đều có một phần tử bù tương ứng.
Một dàn được gọi là dàn có tính bù (complemented lattice) nếu mỗi phần tử đều có phần tử bù tương ứng Trong dàn này, mặc dù phần tử bù không phải lúc nào cũng duy nhất, nhưng trên một dàn phân phối, phần tử bù của x, nếu tồn tại, sẽ là duy nhất Ngoài ra, khái niệm giả bù (pseudo-complement) cũng được định nghĩa, trong đó phần tử y được coi là giả bù của x nếu với mọi z sao cho x ∧ z = 0, thì z ≤ y.
T-norm và T-conorm trong đại số gia tử
T-norm và T-conorm mở rộng
Trong logic mờ, giá trị của T-norm và T-conorm được xác định rõ ràng và phụ thuộc trực tiếp vào các tham số x, y Để mở rộng tập xác định và tập giá trị, tôi định nghĩa T-norm và T-conorm cho tập K = {n | n ∈ N, n ≤ N0} Định nghĩa 2.1.1 trình bày T-norm mở rộng cho tập K này.
T-norm mở rộng là một phép toán hai ngôiTE :K 2 −→K và thỏa mãn các điều kiện:
• Điều kiện biên: T(n, N0) =n. Định nghĩa 2.1.2 (T-conorm mở rộng) T-conorm mở rộng là phép toán hai ngôi:
S E :K 2 −→K Giá trị củaS E được xác định thông quaT E :
T-conorm mở rộng cũng có những tính chất: giao hoán, kết hợp, tính đơn điệu giống T-conorm (xem thêm [6]) Điều kiện chặn của S E : S E (0, n) =n.
Dựa trên định nghĩa của các cặp (T L , S L ) và (T G , S G ) trong 1.3, tôi đưa ra cách định nghĩa T-norm và T-conorm mở rộng: Định nghĩa 2.1.3 Ta xác định cặp (T E , S E ) trên tập
Cách xác định (T E , S E ) sẽ được áp dụng để phát triển các phép toán trong đại số gia tử đối xứng tuyến tính, tạo nền tảng cho việc xây dựng miền chân lý được trình bày trong chương này.
T-norm và T-conorm áp dụng cho đại số gia tử đối xứng tuyến tính
Cách xác định giá trị của (T E , S E ) dựa trên phép lấy min và max, cho phép so sánh hai giá trị với nhau Trong đại số gia tử đối xứng tuyến tính, nếu quy ước thứ tự của hai phần tử sinh, các giá trị ngôn ngữ được sinh ra luôn có thể so sánh Do đó, định nghĩa này có thể được áp dụng để xây dựng các phép toán như ơ, ∧, ∨, và → trong đại số gia tử đối xứng tuyến tính.
Trong định nghĩa 2.1.3, cách xác định (T EG, S EG) chỉ dựa vào các phép lấy min và max, trong khi (T EL, S EL) phụ thuộc vào các phép toán cộng và trừ Trên đại số gia tử, các giá trị ngôn ngữ không thể trực tiếp định nghĩa các phép tính cộng và trừ Do đó, tôi đề xuất hai cách định nghĩa các phép toán ∧, ∨, → khác nhau, dựa vào (T EG, S EG) và (T EL, S EL) Định nghĩa 2.1.4 trình bày rằng cho đại số gia tử đối xứng tuyến tính hữu hạn AX = (X, H, G, ≤), hai giá trị ngữ nghĩa α và β được sinh ra từ đại số này, và các phép toán ∧, ∨, → được xác định theo cách cụ thể.
• ơα là phần tử đối của α.
Bằng cách áp dụng (T EG, S EG), chúng ta có thể sử dụng trực tiếp các phép toán max và min, vì các giá trị ngôn ngữ trong đại số gia tử có thể so sánh trực tiếp với nhau Để áp dụng (T EL, S EL), tôi đề xuất một ánh xạ mà mỗi giá trị ngôn ngữ tương ứng với một giá trị duy nhất trong tập số tự nhiên, được gọi là hàm thứ tự của giá trị ngôn ngữ Định nghĩa 2.1.5 nêu rõ rằng đối với đại số gia tử đối xứng tuyến tính hữu hạn AX = (A, H, G, ≤) với các giá trị x1, x2, , xN0, khi sắp xếp các giá trị này theo thứ tự tăng dần, ta có y1 < y2 < < yN0 Hàm thứ tự của giá α: p(α) được xác định bởi vị trí của α trong tập hợp các giá trị đã được sắp xếp.
Các giá trị p(x) thuộc tập số tự nhiên cho phép áp dụng các phép toán cộng và trừ Các phép toán logic như AND (∧), OR (∨), và suy diễn (→) được định nghĩa dựa trên các hệ thống như TEL và SEL, cùng với hàm thứ tự của các giá trị ngôn ngữ Định nghĩa 2.1.6 mô tả đại số gia tử đối xứng tuyến tính hữu hạn AX = (A, H, G, ≤).
K là tập hợp các giá trị của p(x) với x thuộc tập AX Hai giá trị ngôn ngữ α và β được sinh ra từ đại số này, trong khi N0 là giá trị lớn nhất trong K Các phép toán như ơ, ∧, ∨, và → được xác định theo các quy tắc cụ thể.
• ơα là giỏ trị đối củaα
Ví dụ 2.1.1 đề cập đến một đại số gia tử với H={less, more} và G={true, false}, trong đó độ dài xâu gia tử tối đa là 1 Tập giá trị chân lý S được sắp xếp gồm 6 phần tử: S={more false, false, less false, less true, true, more true} Các xác suất tương ứng là p(less false)=2, p(false)=1, p(less true)=3, p(true)=4 Các phép toán ∧ và ∨ cũng được áp dụng trong ngữ cảnh này.
– less false ∨ false = less false
– less false ∨ false = less true
– less true ∧ true = less false
Cỏc phộp ∧,∨,→,ơ là cỏc phộp toỏn đúng trờn tập giỏ trị ngụn ngữ sinh bởi đại số gia tử đối xứng tuyến tính hữu hạn.
Khi một mệnh đề có giá trị chân lý là less false hoặc false, nó nên có giá trị chân lý là less false Nếu mệnh đề có giá trị chân lý là true và more true, thì giá trị chân lý của nó nên là true Ví dụ 2.1.1 cho thấy rằng định nghĩa theo G¨odel (2.1.4) đảm bảo điều này, trong khi định nghĩa theo Lukasiewicz (2.1.6) thì không Vì vậy, định nghĩa theo G¨odel được coi là hợp lý hơn so với định nghĩa theo Lukasiewicz Luận văn này sẽ áp dụng định nghĩa theo G¨odel.
Miền giá trị chân lý
Tập giá trị
Tập giá trị, hay miền giá trị chân lý, được định nghĩa là tập hợp các phần tử được sinh ra từ đại số gia tử đối xứng tuyến tính hữu hạn AX = (X, H, G, ≤) Tập phần tử sinh này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định cấu trúc và tính chất của đại số.
Các phép toán và các tính chất
Định nghĩa 2.2.2 xác định tập các giá trị chân lý theo các yếu tố α, β thuộc S Các phép toán như ơ, ∧, ∨, và → trên tập S được định nghĩa theo định nghĩa 2.1.4 Theo định nghĩa 2.2.3, miền giá trị chân lý S được xác định một cách rõ ràng.
• Tập giá trị được xác định theo định nghĩa 2.2.1,
• Các phép toán trên S được xác định theo định nghĩa 2.2.2.
Các phép toán như ∧, ∨, và → đều được xác định chính xác trên tập S, với giá trị của chúng được làm rõ qua định lý về quan hệ thứ tự (định lý 1.2.1) Do đó, việc xây dựng miền giá trị chân lý là hoàn toàn chính xác.
Miền chân lý này được xây dựng dựa trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính, cho phép định nghĩa một số phần tử đặc biệt Trong miền giá trị chân lý sinh ra từ đại số gia tử đối xứng tuyến tính hữu hạn, các phần tử đặc biệt sẽ được định nghĩa rõ ràng.
Phần tử trung hũa W là phần tử mà ơW=W, không nhỏ hơn bất kỳ phần tử nào sinh bởi false và không lớn hơn bất kỳ phần tử nào sinh bởi true.
• Phần tử⊥ là phần tử nhỏ nhất trong tập các giá trị chân lý.
• Phần tử> là phần tử lớn nhất trong tập các giá trị chân lý.
Nhận thấy rằng ơ> = ⊥ và ơ⊥ = >, ta có thể định nghĩa S + là tập hợp tất cả các giá trị chân lý được sinh ra bởi phần tử sinh true, trong khi S − là tập các giá trị chân lý được sinh ra bởi phần tử sinh false.
S − ≤W ≤S + TậpS thêm vào phần tửW vẫn đảm bảo tính đóng với các phép toán ở định nghĩa 2.2.2.
Một số tính chất cơ bản của các phép toán trên miền giá trị chân lý:
Tính chất 2.2.1 Cho miền giá trị chân lý S, α, β, γ ∈S Khi đó:
• Tính giao hoán của phép ∧,∨:
• Tính kết hợp của phép ∧,∨:
• Tính phân phối của phép ∧ với phép∨:
Những tính chất này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa 2.2.2 và các tính chất vềT-norm, T-conorm được trình bày trong phần 2.1.
Áp dụng vào logic mệnh đề
Cú pháp của logic mệnh đề
Cú pháp, hay còn gọi là ngôn ngữ của logic mệnh đề, bắt đầu với việc xác định bảng chữ cái của logic, tức là tập hợp tất cả các ký hiệu có thể sử dụng để xây dựng một công thức mệnh đề Bảng chữ cái này là cơ sở để phát triển các quy tắc và công thức trong logic mệnh đề.
• Tập đếm được các ký hiệu mệnh đề:A, B, C,
Trong logic đa trị, khái niệm literal được định nghĩa như sau: Một ký hiệu mệnh đề A kết hợp với một giá trị ngữ nghĩa α, ký hiệu là A α (hay (A, α)), được gọi là một literal.
Một công thức mệnh đề bao gồm một tập hợp hữu hạn các literal được kết nối với nhau thông qua các phép kết nối logic Các phép kết nối logic cơ bản bao gồm hội (and), tuyển (or), phủ định (not) và kéo theo (material implication).
Kết nối rỗng (nullary connective) hay hằng số là các công thức luôn đúng hoặc luôn sai Mỗi công thức hợp lệ được tạo ra theo các quy tắc nhất định Cụ thể, nếu P và Q là literal hoặc hằng số, thì chúng tuân theo định nghĩa 2.3.3.
• Các công thức chỉ được sinh ra theo ba quy tắc trên.
Công thức đệ quy có thể chứa nhiều kết nối logic khác nhau, và việc sử dụng cặp dấu ngoặc () giúp xác định thứ tự thực hiện các phép toán Thứ tự ưu tiên của các kết nối logic như ơ, →, ∧, và ∨ cũng đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết công thức.
Thông dịch
Trong bài viết này, tôi đã trình bày cú pháp của logic mệnh đề và cách xây dựng miền giá trị chân lý dựa trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính Tiếp theo, tôi sẽ hướng dẫn cách áp dụng miền giá trị này vào logic mệnh đề, bắt đầu với việc định nghĩa khái niệm thông dịch.
Thông dịch là quá trình gán giá trị ngữ nghĩa cho các ký hiệu mệnh đề, thường liên quan đến bảng chân lý trong logic hai trị Tuy nhiên, trong logic đa trị, bảng chân lý không chỉ đơn giản với hai giá trị {True, False} Để định nghĩa thông dịch một cách rõ ràng hơn, cần bắt đầu với việc định nghĩa thông dịch cho literal Theo đó, thông dịch cho literal A α là phép ánh xạ ký hiệu mệnh đề A với một giá trị ngữ nghĩa thuộc S Giá trị chân lý của A α trong thông dịch I được kí hiệu là TI:{A=α 1 }(A α 2 ), và giá trị của T A=α 1 (A α 2 ) được xác định theo các quy tắc cụ thể.
Giá trị chân lý của một công thức trong thông dịch được xác định một cách đệ quy, bắt đầu từ việc xác định giá trị chân lý của các literal Định nghĩa 2.3.5 nêu rõ rằng thông dịch cho công thức được xác định theo quy tắc đệ quy, với P và Q là các literal hoặc hằng số.
• Các công thức phức tạp được xác định theo 4 công thức trên.
Chú ý rằng các ký hiệu ∧, ∨, ơ, → được sử dụng cho cả cú pháp và ngữ nghĩa Tuy nhiên, cần phân biệt rõ ràng: P ∨ Q là biểu diễn cú pháp, trong khi T(P) ∨ T(Q) là phép toán trên miền giá trị ngữ nghĩa.
Một số tính chất của thông dịch:
Tính chất 2.3.1 Cho C1, C2, C3 là các công thức T là một thông dịch bất kỳ Ta có những tính chất sau:
Các tính chất này được suy ra từ định nghĩa thông dịch và tính chất 2.2.1.
Thỏa được, chân lý, mâu thuẫn
Trong phần trước, tôi đã trình bày cách xác định giá trị chân lý của một công thức trong một phép gán cụ thể Trong phần này, tôi sẽ đưa ra định nghĩa để xác định tính đúng sai của công thức Định nghĩa 2.3.6: Cho công thức F và thông dịch I, ta định nghĩa
• F đúng với thông dịch I nếu T I (F)≥W.
• F sai với thông dịch I nếu T I (F)< W.
• F là thỏa được nếu tồn tại thông dịch I 0 sao cho T I 0 (F)≥W.
• F là chân lý nếu F đúng với mọi thông dịch.
Mâu thuẫn F xảy ra khi F sai với mọi cách hiểu Định lý 2.3.1 nêu rõ mối quan hệ giữa ba khái niệm: thỏa được, chân lý và mâu thuẫn, với hai tính chất liên quan đến công thức F.
• F là mâu thuẫn khi và chỉ khi F là không thỏa được.
• F là chõn lý khi và chỉ khi ơF là mõu thuẫn.
Việc chứng minh trong logic là điều hiển nhiên Theo định nghĩa 2.3.7, công thức B được xem là hậu quả logic của công thức A, ký hiệu là A|=B, nếu với mọi thông dịch I, khi T I (A)≥W thì T I (B)≥W Định lý 2.3.2 khẳng định rằng A|=B khi và chỉ khi |= (A→B), cho thấy tính nhất quán của nó với cú pháp.
Chứng minh Thật vậy, giả sửA |=B, với mọi thông dịch T I , ta có:
Vậy ta luụn cú T(A →B) =ơT(A)∨T(B)≥W hay |= (A→B).
Ngược lại, chứng minh hoàn toàn tương tự, ta cũng có nếu|= (A→B) thìA |=B •
Ta cũng ký hiệu một công thức F là mâu thuẫn khi F |= ⊥, và là chân lý khi
> |=F. Định nghĩa 2.3.8 Hai công thức A và B được gọi là tương đương logic, ký hiệu
A≡B, khi và chỉ khi A là hậu quả logic của B và ngược lại, B là hậu quả logic của A.
Để chứng minh một công thức A là chân lý hoặc mâu thuẫn, ta có thể chứng minh một công thức B tương đương với A cũng là chân lý hoặc mâu thuẫn Một số tương đương logic cơ bản được trình bày trong định lý 2.3.3, trong đó A, B, C là các công thức liên quan.
Các tương đương logic được chứng minh rõ ràng nhờ vào các tính chất tương ứng của thông dịch So với logic hai trị, những tương đương này không có sự thay đổi đáng kể.
Chương này phát triển miền chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính, bao gồm miền giá trị và các phép toán liên quan Nó trình bày các tính chất quan trọng của miền giá trị chân lý, đồng thời áp dụng cho logic mệnh đề Khái niệm thông dịch và tương đương logic được định nghĩa cụ thể, kèm theo các tính chất cơ bản được đưa ra và chứng minh một cách đầy đủ.
Miền chân lý sinh bởi đại số gia tử mịn hóa
Trong chương này, tôi phát triển miền giá trị chân lý sinh ra từ đại số gia tử mịn hóa đối xứng Khác với đại số gia tử đối xứng tuyến tính, đại số gia tử mịn hóa đối xứng đã được định nghĩa với các phép toán cụ thể (phần 1.4).
Miền giá trị chân lý, các phép toán và tính chất
Định nghĩa 3.1.1 Miền giá chị chân lý S là một đại số gia tử mịn hóa đối xứng AX
Nhận xét 3.1.1 Miền giá trị chân lý S (với hai phép toán meet và join) là một dàn đóng, đối xứng và hữu hạn.
1 S được phân thành các lớp con S i thỏa mãn:
• Các giá trị trong cùng một lớp S i là không so sánh được với nhau.
• Hai giá trị x, y thuộc hai lớp S i , S j khác nhau thì luôn so sánh được với nhau.
• Mỗi phần tử x∈S có duy nhất một phần tử đối xứng với nó x.
2 Gọi S + là tập sinh bởi xâu gia tử tác động lên phần tử sinh true, S − là tập sinh bởi xâu gia tử tác động lên phần tử sinh false.
• Định nghĩa các phần tử
Định nghĩa 3.1.2: Cho α và β là các giá trị ngữ nghĩa, ta sẽ xem xét các phép toán liên quan đến chúng dưới một phát biểu hình thức hơn.
Một số tớnh chất của cỏc phộp toỏn ∧,∨,→,ơ:
Tính chất 3.1.1 Cho miền giá trị chân lý S, α, β, γ ∈S Khi đó:
Các tính chất này có thể được chứng minh một cách đơn giản và rõ ràng, đồng thời tương đương với các tính chất của phép toán trong miền giá trị chân lý được xây dựng ở chương 2 (tính chất 2.2.1) Do đó, miền chân lý dựa trên đại số gia tử mịn hóa hoàn toàn có thể áp dụng cho logic mệnh đề.
Áp dụng với logic mệnh đề
Cú pháp của logic mệnh đề đã được đề cập trong phần 2.3.1 Trong phần này, chúng ta sẽ so sánh các điểm tương đồng và khác biệt giữa miền chân lý sinh bởi đại số gia tử mịn hóa đối xứng và miền chân lý sinh bởi đại số gia tử đối xứng tuyến tính đã trình bày trong phần 2.3.
Thông dịch Định nghĩa 3.2.1 Giá trị chân lý củaA α trong thông dịch I được kí hiệu làTI:{A=α 1 }(A α 2 ). Giá trị của T A=α 1 (A α 2 )được xác định như sau:
Thông dịch cho công thức được định nghĩa tương tự như định nghĩa 2.3.5 Với miền chân lý sinh bởi đại số gia tử đối xứng tuyến tính, thông dịch cũng sở hữu các tính chất nêu trong tính chất 2.3.1 Những tính chất này dễ dàng được chứng minh từ định nghĩa thông dịch 3.2.1 và các phép toán được trình bày trong 3.1.1.
Thỏa được, chân lý, mâu thuẫn Định nghĩa 3.2.2 Cho công thức F và thông dịch I với miền giá trị chân lý S.
• F đúng trong thông dịch I nếuT I (F)≥ ⊥ +
• F sai trong thông dịch I nếu T I (F)≤ > −
• F thỏa được nếu tồn tại thông dịch I sao cho T I (F)≥ ⊥ + , I được gọi là một mô hình của F, ký hiệu là I |=S.
• F là chân lý nếu F đúng trong mọi thông dịch, ký hiệu là|=S.
F được coi là mâu thuẫn nếu F sai trong mọi thông dịch Công thức B được xem là hậu quả logic của công thức A, ký hiệu là A|=B, nếu với mọi thông dịch I, điều kiện T I (A)≥ ⊥ + dẫn đến T I (B)≥ ⊥ +.
Các định lý 2.3.1 và 2.3.2 vẫn giữ nguyên tính đúng đắn trong miền chân lý sinh bởi đại số gia tử mịn hóa đối xứng Việc chứng minh định lý 2.3.2 có thể thực hiện tương tự như trong miền chân lý sinh bởi đại số gia tử đối xứng tuyến tính Định nghĩa tương đương logic, như trong định nghĩa 2.3.8, hoàn toàn phù hợp với miền giá trị chân lý này Hơn nữa, các tương đương logic trong định lý 2.3.3 vẫn được xác nhận là đúng.
Miền chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử là một khái niệm tổng quát hơn so với miền chân lý dựa trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính Mặc dù vậy, các tính chất quan trọng của miền chân lý dựa trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính vẫn được duy trì trong miền chân lý dựa trên đại số gia tử mịn hóa Điều này cho phép chúng ta áp dụng miền giá trị này trong logic mệnh đề.
Kết luận, định hướng tiếp theo
Luận văn này nghiên cứu và xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử, đặc biệt là đại số gia tử đối xứng tuyến tính và đại số gia tử mịn hóa Nó cũng trình bày ứng dụng của các miền giá trị này trong logic mệnh đề Kết quả xây dựng từ đại số gia tử đối xứng tuyến tính vẫn giữ tính chính xác khi áp dụng cho đại số gia tử mịn hóa Luận văn đã đạt được các mục tiêu đã đề ra.
Nghiên cứu luận văn cần tìm hiểu các kiến thức cơ bản về đại số gia tử, bao gồm đại số gia tử đối xứng tuyến tính, t-norm và t-conorm, cùng với đại số gia tử mịn hóa Những khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển các phương pháp và ứng dụng trong lĩnh vực này.
• Tìm hiểu kiến thức cơ sở về logic mệnh đề: cú pháp, thông dịch, khái niệm thỏa được, chân lý, mâu thuẫn.
• Xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử đối xứng tuyến tính, áp dụng miền giá trị này với logic mệnh đề.
• Xây dựng miền giá trị chân lý ngôn ngữ dựa trên đại số gia tử mịn hóa, áp dụng với logic mệnh đề.
Luận văn vẫn còn nhiều vấn đề chưa được khám phá và nghiên cứu, do đó có thể tiếp tục phát triển theo những hướng mới.
Xây dựng quy tắc suy diễn cho logic mệnh đề với miền giá trị là bước quan trọng trong việc phát triển một hệ thống logic hoàn chỉnh Luận văn trình bày các yếu tố cần thiết, bao gồm cú pháp, ngữ nghĩa và quy tắc suy diễn, nhằm đảm bảo tính chính xác và nhất quán của logic.
• Áp dụng miền giá trị chân lý trong luận văn vào logic vị từ bậc nhất.
