Một số khái niệm
Định nghĩa 1.1.1 (Hàm tuyến tính)
Một hàm số f(x) xác định trên R^n được gọi là tuyến tính nếu thỏa mãn điều kiện f(λx_1 + αx_2) = λf(x_1) + αf(x_2) với mọi x_1, x_2 ∈ R^n và mọi λ, α ∈ R Hàm tuyến tính trên R^n có dạng f(x) = , trong đó c là véc-tơ cho trước thuộc R^n.
Hàm số có dạngf(x) =< c, x >+α, trong đó véc-tơc∈R n vàα∈Rcho trước, được gọi làhàm afin hayhàm tuyến tính afin.
Dễ thấy, nếuf(x)là hàm afin thì
∀x, y∈R n ,∀λ, à∈Rmàλ+à= 1ta cúf(λx+ày) =λf(x) +àf(y). Định nghĩa 1.1.3 (Tập lồi)
Cho hai điểmx 1 vàx 2 thuộcR n Tập tất cả các điểm có dạng x=λx 1 + (1−λ)x 2 , 0≤λ≤1, được gọi làđoạn thẳng nốix 1 vàx 2
TậpM ⊆R n được gọi làtập lồi (convex set) nếu nó chứa trọn đoạn thằng nối hai điểm bất kỳ thuộc nó, tức
∀x 1 , x 2 ∈M,0≤λ≤1ta cóλx 1 + (1−λ)x 2 ∈M. Định nghĩa 1.1.4 (Tập lồi đa diện)
Tập lồi đa diện P ⊂R n là giao của một số hữu hạn nửa không gian đóng Nói cách khác, nó là tập
Luận văn thạc sĩ Nguyễn Thị Phương nghiệm của một hệ hữu hạn các bất đẳng thức tuyến tính:
Tập lồi đa diện là một tập lồi và đóng, trong đó một tập lồi đa diện bị chặn được gọi là đa diện lồi, hay còn được gọi tắt là đa diện.
Hàmf được gọi làhàm lồi (convex function) xác định trên tập lồiX ⊆R n nếu f(λx 1 + (1−λ)x 2 )≤λf(x 1 ) + (1−λ)f(x 2 ) (1.1.2) với bất kỳx 1 , x 2 ∈X và số thựcλ∈[0, 1].
Ta gọif làhàm lồi chặt (strictly convex function) trên tập lồiX nếu f(λx 1 + (1−λ)x 2 )< λf(x 1 ) + (1−λ)f(x 2 ) (1.1.3) với bất kỳx 1 , x 2 ∈X,x 1 ̸=x 2 và 0
