Đánh giá năng lực toán học của học sinh thpt theo pisa tại TP cần thơ Đánh giá năng lực toán học của học sinh thpt theo pisa tại TP cần thơ Đánh giá năng lực toán học của học sinh thpt theo pisa tại TP cần thơ Đánh giá năng lực toán học của học sinh thpt theo pisa tại TP cần thơ Đánh giá năng lực toán học của học sinh thpt theo pisa tại TP cần thơ Đánh giá năng lực toán học của học sinh thpt theo pisa tại TP cần thơ
GIỚI THIỆU VỀ CHƯƠNG TRÌNH ĐÁNH GIÁ PISA
Giới thiệu chung về PISA
1.1.1 PISA và quá trình phát triển
Năm 1997, các nước công nghiệp phát triển thuộc OECD đã đồng thuận tham gia vào một dự án nhằm xây dựng tiêu chí, phương pháp và cách thức kiểm tra, so sánh học sinh giữa các quốc gia Chương trình này được gọi là Chương trình Đánh giá Học sinh Quốc tế (PISA).
Chương trình đánh giá học sinh quốc tế (PISA) là hệ thống đánh giá toàn cầu nhằm đo lường khả năng đọc, viết, toán học và khoa học của học sinh 15 tuổi PISA không chỉ kiểm tra kiến thức mà còn đánh giá các năng lực giải quyết vấn đề cần thiết cho cuộc sống và sự phát triển của mỗi quốc gia Được điều phối bởi Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế (OECD), PISA thực hiện đánh giá mỗi ba năm một lần, bắt đầu từ năm 2000, với ba lĩnh vực chính: Khoa học, Đọc hiểu và Toán học Mỗi lần đánh giá, PISA sẽ tập trung sâu vào một trong ba lĩnh vực này, với khoảng hai phần ba câu hỏi liên quan đến lĩnh vực trọng tâm.
PISA quản lý chu kỳ đánh giá giáo dục với mỗi kỳ tập trung vào một môn học cụ thể Các năm đánh giá lần lượt là 2000, 2003, 2006, 2009, 2012 và 2015, với các môn học được đánh giá bao gồm Đọc, Toán học, Khoa học, và Giải quyết vấn đề.
Học Đọc Toán học Khoa học Đọc Toán Khoa học Giải quyết vấn đề Đọc Toán học Khoa
Chương trình đánh giá quốc tế (PISA) bao gồm các đánh giá về đọc, toán học và khoa học, diễn ra trong mỗi chu kỳ đánh giá Đặc biệt, một đánh giá về giải quyết vấn đề đã được thực hiện vào năm 2003 và dự kiến sẽ có vào năm 2012 Các chủ đề trong các đánh giá này luôn là những vấn đề quan trọng trong từng chu kỳ.
1.1.2 Mục đích của chương trình PISA
Dự án PISA được thực hiện nhằm mục đích đánh giá và so sánh trình độ học sinh 15 tuổi giữa các quốc gia thuộc OECD và các nước khác trên toàn cầu.
Dự án PISA được tổ chức định kỳ ba năm một lần nhằm theo dõi quản lý hệ thống giáo dục toàn cầu Mặc dù PISA không cung cấp hướng dẫn cụ thể cho các quốc gia về quản lý trường học, nhưng dữ liệu đáng tin cậy thu thập được cho thấy thành công và hạn chế trong giáo dục của nhiều nước Những kết quả này giúp các quốc gia nghiên cứu và so sánh mô hình giáo dục của mình với các mô hình tốt nhất, từ đó rút ra bài học kinh nghiệm quý báu để cải thiện nền giáo dục quốc gia.
Tôn chỉ của PISA không phải là đánh giá khối lượng kiến thức mà học sinh tiếp thu trong trường học, mà là khảo sát khả năng áp dụng kiến thức đó vào những tình huống thực tiễn hữu ích trong cuộc sống.
Kết quả của PISA cung cấp thông tin quan trọng về mối liên hệ giữa năng lực học sinh và các yếu tố xã hội, văn hóa, hoàn cảnh gia đình cũng như môi trường học tập.
Nhiệm vụ đánh giá toán học của PISA
1.2.1 Mục tiêu đánh giá toán học của chương trình PISA
Theo lý luận dạy học mục đích dạy toán học (Theo lý luận dạy học của thầy Nguyễn Bá Kim):
• Dạy học kiến thức cơ bản
• Phát triển trí tuệ và bồi dưỡng năng lực nghiên cứu toán học
• Phát triển các thao tác tư duy
• Rèn luyện tư duy logic và ngôn ngữ chính xác
• Phát triển tư duy độc lập và tư duy sáng tạo
• Bồi dưỡng khả năng vận dụng các phương pháp nghiên cứu khoa học thường dùng
• Giáo dục tư tưởng đạo đức thông qua dạy học toán
• Xây dựng thế giới quan khoa học
• Giáo dục đạo đức công dân
• Dạy phương pháp học tập
Vấn đề là thực hiện mục đích đó như thế nào? Định nghĩa Toán học :
Học sinh học toán không chỉ để giải quyết bài tập trong trường mà còn để áp dụng kiến thức vào cuộc sống thực Nhiệm vụ dạy toán không chỉ là truyền đạt kiến thức và kỹ năng, mà còn giúp học sinh linh hoạt áp dụng kiến thức vào bối cảnh thực tế Mục tiêu của chương trình khảo sát PISA là đánh giá khả năng giải quyết vấn đề của học sinh khi đối mặt với các tình huống thực tế, không chỉ tập trung vào kiến thức hay kỹ năng giải bài tập.
1.2.2 Hiểu biết toán học là gì?
Các chuyên gia OECD/PISA định nghĩa:
Hiểu biết toán học là khả năng nhận diện và đánh giá vai trò của toán học trong đời sống, từ đó đưa ra những phán xét hợp lý Năng lực này giúp cá nhân kết nối toán học với các khía cạnh khác nhau trong cuộc sống, đáp ứng nhu cầu của bản thân và đóng góp tích cực cho cộng đồng.
Thuật ngữ "hiểu biết toán học" đề cập đến khả năng sáng tạo kiến thức và kỹ năng toán học, cũng như khả năng áp dụng chúng vào thực tế Với nền tảng kiến thức vững chắc, học sinh có thể giải quyết các vấn đề và tình huống thực tế một cách hiệu quả.
PISA đánh giá khả năng hiểu biết toán học của học sinh thông qua việc phân tích, lý do và giao tiếp hiệu quả trong việc giải quyết các vấn đề toán học trong nhiều tình huống thực tế Chương trình này tập trung vào các vấn đề thế giới thực, vượt ra ngoài những tình huống thường gặp trong lớp học, giúp học sinh áp dụng kiến thức toán học vào các tình huống hàng ngày như mua sắm, du lịch, nấu ăn và quản lý tài chính cá nhân Việc sử dụng các khái niệm toán học như số lượng và không gian lý luận là cần thiết để làm rõ và giải quyết các vấn đề mà công dân thường gặp phải.
Sử dụng toán học trong học tập dựa vào kỹ năng học và thực hành qua các vấn đề thường gặp trong sách giáo khoa Tuy nhiên, PISA yêu cầu học sinh áp dụng kỹ năng trong bối cảnh không rõ ràng, nơi họ phải quyết định kiến thức nào là liên quan và hữu ích để áp dụng.
Thoả thuận PISA về hiểu biết toán học đánh giá khả năng của học sinh 15 tuổi trong việc sử dụng kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn, từ đó trở thành công dân và người tiêu dùng thông minh Học sinh ngày càng phải đối mặt với nhiều nhiệm vụ liên quan đến định lượng, không gian, xác suất và các khái niệm toán học, do đó, hiểu biết toán học trở thành yếu tố quan trọng trong việc thực hiện các kết quả bài toán và đáp ứng yêu cầu của xã hội hiện đại.
"Hiểu biết toán học" đề cập đến việc áp dụng kiến thức toán học trong nhiều tình huống khác nhau, phản ánh sự đa dạng và chiều sâu trong cách nhìn nhận Việc sử dụng kiến thức toán học cơ bản và các kỹ năng cần thiết là rất quan trọng Tương tự như việc biết chữ, hiểu biết toán học không chỉ đơn thuần là từ vựng mà còn bao gồm một nền tảng vững chắc về thuật ngữ, sự kiện và quy trình toán học Điều này cho phép con người sáng tạo trong việc ứng phó với các tình huống thực tế mà họ gặp phải.
Trang 7 định Biết đọc biết viết toán học liên quan đến việc sáng tạo kết hợp của các yếu tố đáp ứng nhu cầu áp đặt bởi tình hình bên ngoài Như Freudenthal
Năm 1983, khái niệm toán học được đề cập như một công cụ hữu ích để tổ chức và hiểu các hiện tượng trong thế giới vật chất, xã hội và tinh thần.
Thuật ngữ "sử dụng và tham gia với" đề cập đến việc áp dụng toán học để giải quyết vấn đề, đồng thời thể hiện sự tham gia cá nhân thông qua giao tiếp và đánh giá toán học Định nghĩa về hiểu biết toán học không chỉ bao gồm việc sử dụng các chức năng toán học một cách hẹp mà còn chuẩn bị cho việc nghiên cứu sâu hơn và khám phá các yếu tố thẩm mỹ, giải trí của toán học.
Cụm từ "cuộc sống của cá nhân" đề cập đến nhiều khía cạnh, bao gồm cuộc sống riêng tư, hoạt động lao động, và mối quan hệ xã hội với bạn bè và người thân Nó cũng phản ánh vai trò của mỗi người như một công dân trong cộng đồng.
Khả năng ngụ ý trong toán học, hay còn gọi là "toán học biết chữ," bao gồm khả năng đặt ra, xây dựng, giải quyết và giải thích vấn đề trong nhiều tình huống khác nhau Bối cảnh của khả năng này trải dài từ các vấn đề thuần túy toán học đến những tình huống không có cấu trúc toán học rõ ràng Định nghĩa này không chỉ chú trọng đến hiểu biết toán học ở mức tối thiểu mà còn nhấn mạnh việc sử dụng toán học trong các tình huống từ đơn giản đến phức tạp Thái độ và cảm xúc như sự tò mò, tự tin và mong muốn hiểu biết cũng đóng vai trò quan trọng, mặc dù không phải là thành phần chính trong định nghĩa toán học biết chữ Thực tế cho thấy, một người có thể biết đọc biết viết toán học nhưng thiếu các thái độ tích cực sẽ khó khăn trong việc áp dụng kiến thức Tầm quan trọng của các thái độ và cảm xúc trong mối liên hệ với toán học biết chữ đã được công nhận, mặc dù chúng không được đánh giá trong chương trình PISA mà sẽ được xem xét trong các thành phần khác.
Cơ sở lý thuyết toán học PISA định nghĩa hiểu biết toán học là một phần quan trọng trong sự phát triển kinh tế-văn hóa, liên quan đến việc sử dụng ngôn ngữ Theo James Gee, "literacy" không chỉ là khả năng đọc, viết, nghe và nói, mà còn là công cụ thiết yếu cho hoạt động xã hội Mỗi ngôn ngữ có cấu trúc phức tạp và chức năng đa dạng, và người biết chữ có khả năng sắp xếp và sử dụng ngôn ngữ cho nhiều mục đích xã hội khác nhau Tương tự, việc xem toán học như một ngôn ngữ yêu cầu học sinh hiểu và thiết kế các khía cạnh liên quan đến lý thuyết toán học, bao gồm từ ngữ, sự kiện, ký hiệu, thủ tục và kỹ năng trong các lĩnh vực toán học cụ thể Để giải quyết các vấn đề trong các tình huống xã hội, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản, thủ tục và hiểu cách các yếu tố này được cấu trúc và áp dụng trong thực tế.
Người ta xem xét ba cấp độ của năng lực toán học phổ thông:
Cấp độ 1: Ghi nhớ và tái hiện;
Cấp độ 2: Kết nối và tích hợp;
Cấp độ 3: Khái quát hóa, toán học hóa
Cấp độ của năng lực Đặc điểm
Cấp độ 1: Ghi nhớ và tái hiện
- Nhớ lại các đối tượng, định nghĩa và tính chất toán học
- Thực hiện được một cách làm quen thuộc
- Áp dụng một thuật toán tiêu chuẩn
Cấp độ 2: Kết nối và tích hợp
- Kết nối, tích hợp thông tin để giải quyết các vấn đề đơn giản
- Tạo một kết nối trong các cách biểu đạt khác nhau
- Đọc và giải thích được các kí hiệu và ngôn ngữ hình thức (Toán học) và hiểu mối quan hệ của chúng với mối quan hệ tự nhiên
Cấp độ 3: Khái quát hóa, toán học hóa
- Nhận biết nội dung toán học trong tình huống có vấn đề phải giải quyết
- Sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề
- Biết phân tích, lập luận, chứng minh toán học
1.2.4 Khung đánh giá của PISA môn Toán
Khác với đánh giá truyền thống, PISA không chỉ tập trung vào kiến thức mà học sinh đã tiếp thu, mà còn chú trọng đến việc đánh giá các năng lực và kỹ năng tiến trình mà học sinh đã hình thành Do đó, khi xây dựng khung đánh giá PISA cho môn toán, cần chú ý đến hai yếu tố quan trọng: kỹ năng tiến trình.
Bao gồm các kỹ năng như:
− Kỹ năng tư duy và lập luận toán học
− Kỹ năng giao tiếp toán học
− Kỹ năng mô hình hóa toán học
− Kỹ năng đặt và giải quyết vấn đề
− Kỹ năng sử dụng kí hiệu, ngôn ngôn ngữ và phép toán hình thức
− Kỹ năng sử dụng phương tiện và công cụ b) Nội dung
Những nội dung được xem xét khi xây dựng khung đánh giá bao gồm:
− Biểu diễn sự thay đổi ở các dạng nhận thức được;
− Những dạng thay đổi cơ bản;
− Áp dụng những dạng thay đổi này vào thực tiễn
Các mối quan hệ có thể được biểu diễn dưới nhiều hình thức như ký hiệu, đại số, đồ thị, bảng và hình học, mỗi hình thức phục vụ cho những mục đích khác nhau Việc chuyển đổi giữa các biểu diễn này thường phụ thuộc vào tình huống và nhiệm vụ cụ thể cần giải quyết.
Hình ph ẳ ng và hình kh ố i
Hình thức ra đề và các bài toán mẫu
Bộ đề kiểm tra PISA bao gồm nhiều bài tập Mỗi bài tập bao gồm hai phần:
• Phần một nêu nội dung tình huống: Có thể trình bài dưới dạng văn bản, bảng, biểu đồ,…
• Phần hai là phần câu hỏi
Mỗi bộ đề kiểm tra PISA bao gồm khoảng 60 bài tập, cần khoảng 420 phút, tương đương 7 giờ để hoàn thành Các bài tập này được tổ hợp thành nhiều bộ đề kiểm tra khác nhau, mỗi bộ nhằm đánh giá một nhóm năng lực cụ thể trong lĩnh vực nhất định Thời gian làm một bộ đề là 120 phút.
Trong các bài tập, thường gặp các dạng câu hỏi như câu hỏi lựa chọn, câu trả lời đóng, câu trả lời ngắn và câu điền khuyết Theo PISA-2006, khoảng 40% câu hỏi là dạng trả lời ngắn, 8% là câu hỏi đóng và 52% là câu hỏi khách quan nhiều lựa chọn.
1.3.2 Một số lưu ý khi xây dựng một bài Test PISA môn toán
Bài viết này tập trung vào việc đánh giá năng lực toán học phổ thông, bao gồm khả năng giải quyết vấn đề, sử dụng ngôn ngữ toán học và thực hiện mô hình hóa toán học Những yếu tố này không chỉ giúp học sinh phát triển tư duy logic mà còn nâng cao khả năng áp dụng toán học vào thực tiễn.
Tích hợp các khái niệm toán học vào tình huống thực tế là cách hiệu quả để thể hiện sự liên kết giữa các nội dung toán học Việc "bó lại" những khái niệm này trong một ngữ cảnh cụ thể không chỉ giúp người học hiểu rõ hơn mà còn khẳng định rằng giải toán là sự kết hợp của nhiều năng lực khác nhau.
Trong giáo dục toán học phổ thông, có ba cấp độ năng lực: tái hiện, kết nối và tích hợp, khái quát hóa Khi xây dựng bài test, mỗi câu hỏi cần được phân loại theo cấp độ năng lực cụ thể Các câu hỏi có thể được nhóm lại theo cùng một cấp độ, bắt đầu từ những câu hỏi cơ bản nhất ở cấp độ 1 và dần dần tăng độ phức tạp lên đến cấp độ 3.
Sau đây là một số bài toán mẫu được sưu tầm từ các đề thi khảo sát của
Đèn hải đăng là những tháp cao có đèn hiệu trên đỉnh, giúp tàu biển định hướng trong đêm khi gần bờ Ánh sáng từ đèn hải đăng phát ra với các tín hiệu không đổi, và mỗi ngọn đèn hải đăng đều có tín hiệu riêng biệt của mình.
Biểu đồ dưới đây cho thấy tín hiệu từ một ngọn đèn hải đăng với ánh sáng xen kẽ khoảng tối, tạo thành một tín hiệu đều và lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định Thời gian hoàn thành một vòng phát tín hiệu trước khi bắt đầu lặp lại được gọi là chu kỳ Khi xác định được chu kỳ phát tín hiệu, việc mở rộng sơ đồ theo giây, phút hoặc giờ sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Trong một chu kỳ 6 giây, đèn sáng trong 3 giây và tối trong 3 giây, được ký hiệu lần lượt là 1, 2, 3, 4, 5, 6 Khi đèn sáng k giây (với k = 1, 2, 3), điều này có nghĩa là sau k giây, đèn sáng phải bật trong 1 giây hoặc có thể tắt trong vài giây Tổng cộng có 18 cách để thực hiện điều này.
Trong trường hợp 1, đèn nháy sáng ba lần trong chu kỳ, mỗi lần kéo dài 1 giây Có hai cách để xác định các giây sáng là (1;3;6) và (1;4;6) Tuy nhiên, các giây sáng là (1;3;5) và (2;4;6) không hợp lệ vì chu kỳ phát tín hiệu sẽ là 2 giây.
Trường hợp 2: Trong chu kì, đèn nháy sáng hai lần: một lần một giây và một lần 2 giây Có 12 cách: (1;34); (1;45); (1;56); (2;45); (3;56); (12;4); (12;6); (23;5); (23;6); (34;6)
Trường hợp 3: Đèn nháy sáng một lần 3 giây trong chu kì Có 4 cách: Các giây sáng là (123); (234); (456)
Bài toán 2: CON XÚC SẮC
Trong bức ảnh, có sáu con xúc xắc được đánh dấu từ (a) đến (f) Một quy tắc quan trọng cần nhớ là tổng số điểm trên hai mặt đối diện của mỗi con xúc xắc luôn luôn bằng bảy.
Viết trong mỗi hộp số chấm trên mặt dưới cùng của con xúc xắc tương ứng các bức ảnh
Gợi ý và chiến lược giải:
Vì tổng số điểm trên hai mặt đối diện của mỗi con xúc sắc luôn luôn là bảy nên dễ dàng có được kết quả:
Bài toán 3: PHÁT TRIỂN CHIỀU CAO
Năm 1998 chiều cao trung bình của nam và nữ thanh niên ở Hà Lan được:
Đồ thị cho thấy rằng sau 12 tuổi, tỷ lệ tăng chiều cao trung bình của nữ giảm dần, trong khi chiều cao trung bình của nam vẫn tiếp tục tăng nhanh hơn Điều này phản ánh sự khác biệt trong quá trình phát triển thể chất giữa hai giới, với nữ thường đạt chiều cao tối đa sớm hơn so với nam Sự chậm lại trong tăng trưởng chiều cao của nữ có thể liên quan đến các yếu tố sinh học và hormone, dẫn đến việc nam vẫn tiếp tục phát triển chiều cao cho đến tuổi trưởng thành.
Gợi ý và chiến lược giải:
Khái niệm về hàm số tăng nhanh hay tăng chậm
Xét hai hàm số liên tục f(x) và g(x) trên khoảng D = [a; b], có đạo hàm trong khoảng (a; b) và đều là các hàm số tăng trên [a; b] Tập con M = [c; d] thuộc D Hàm số f(x) được gọi là tăng nhanh (hoặc tăng chậm) trên M nếu
( ) x f gọi là tăng nhanh (hoặc tăng chậm) trên M khi và chỉ khi f ' ( ) x tăng
(hoặc giảm) trên M Ý nghĩa hình học:
Chiều cao trung bình của nam thanh niên năm 1998
Chiều cao trung bình của nữ thanh niên năm 1998
Hàm số được coi là tăng nhanh hoặc tăng chậm tùy thuộc vào độ dốc của đồ thị hàm số Cụ thể, hàm số f(x) được xem là tăng nhanh hơn hàm số g(x) trên một khoảng M nếu độ dốc của f(x) lớn hơn độ dốc của g(x) trong khoảng đó Ngược lại, hàm số g(x) sẽ được coi là tăng chậm hơn hàm số f(x) trên cùng khoảng M.
( ) x f gọi là tăng nhanh hơn g ( ) x trên M khi và chỉ khi f ' ( ) x > g ' ( ) x trên
Hàm số f(x) tăng nhanh hơn hàm số g(x) trên miền M nếu tại mỗi điểm thuộc M, độ dốc của đồ thị hàm số f(x) lớn hơn độ dốc của đồ thị hàm số g(x) Xét hàm số h(x) liên tục trên khoảng D = [a; b], có đạo hàm trên (a; b) và hàm số này tăng trên các tập M = [c; d] và K = [p; q], trong đó M và K là các tập con của D, với r c p = +, q = d + r và r khác 0.
Hàm số h ( ) x gọi là tăng trên M chậm hơn tăng trên K (khi đó ta cũng nói
( ) x h tăng trên K chậm hơn tăng trên M ) nếu:
( ) x h tăng trên M chậm hơn tăng trên K khi và chỉ khi h ' ( ) x < h ' ( x + r ) , với mọi x thuộc M , x+r thuộc K Ý nghĩa hình học:
Hàm số h(x) tăng trên tập M chậm hơn so với tập K khi và chỉ khi độ dốc của đồ thị hàm số h(x) tại mỗi điểm x thuộc M nhỏ hơn độ dốc tại các điểm tương ứng x+r thuộc K.
Sau 12 tuổi, tỉ lệ tăng chiều cao trung bình của nữ chậm lại: Vận dụng ý nghĩa hình học của hàm tăng chậm hơn trên hai đoạn khác nhau
Sau 12 tuổi, tỉ lệ tăng chiều cao trung bình của nữ chậm hơn nam: Vận dụng ý nghĩa hình học của hàm này nhanh hơn hàm kia
DẠY HỌC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC
Khái niệm mô hình hóa toán học
Mô hình hóa toán học, theo từ điển bách khoa toàn thư, là quá trình sử dụng các công cụ toán học để diễn giải và phân tích một hệ thống, có thể là trong lĩnh vực toán học hoặc ngoài toán học, nhằm tìm ra lời giải cho các câu hỏi đặt ra liên quan đến hệ thống đó.
Dạy học mô hình hóa có thể được hiểu là quá trình hướng dẫn học sinh xây dựng các mô hình toán học phản ánh thực tiễn, nhằm giải quyết các câu hỏi và vấn đề phát sinh từ cuộc sống hàng ngày.
Thuật ngữ “dạy học mô hình hóa” có thể gây hiểu lầm rằng việc xây dựng mô hình thực tế yêu cầu phải có kiến thức toán học trước Do đó, quy trình dạy học có thể được hiểu theo cách này.
Dạy học tri thức toán học lý thuyết là nền tảng quan trọng, giúp học sinh vận dụng các kiến thức này để giải quyết các bài toán thực tiễn Qua đó, học sinh có thể tiến hành xây dựng mô hình phản ánh thực tiễn một cách chính xác và hiệu quả.
Toán học đã phát triển từ thực tiễn và trong quá trình này, nó cũng kiểm định lại thực tiễn Do đó, việc hiểu đúng tư tưởng của mô hình hóa là rất quan trọng để nâng cao khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh.
Phương pháp mô hình hóa toán học
Sau đây là mô hình hóa do cô Lê Thị Hoài Châu đề xuất:
Quá trình mô hình hóa được mô tả qua bốn bước:
Để xây dựng mô hình phỏng thực tiễn, trước tiên cần xác định các yếu tố quan trọng nhất đặc trưng cho hệ thống đang xem xét Tiếp theo, cần thiết lập các quy tắc phản ánh mối quan hệ giữa những yếu tố này và các quy luật mà chúng phải tuân theo.
Bước hai trong quá trình giải quyết vấn đề là xây dựng mô hình toán học, tức là chuyển đổi mô hình định tính thành ngôn ngữ toán học Cần lưu ý rằng có thể có nhiều mô hình toán học khác nhau tùy thuộc vào các yếu tố được xem là quan trọng và các mối quan hệ được chú ý trong quá trình xây dựng mô hình định tính.
Bước ba trong quá trình giải quyết bài toán là sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và tìm ra giải pháp cho bài toán đã hình thành ở bước hai Trong mô hình toán học đã thiết lập, việc lựa chọn hoặc xây dựng phương pháp giải phù hợp là rất quan trọng.
Bước bốn trong quy trình là phân tích và kiểm định lại các kết quả từ bước ba, nhằm xác định mức độ phù hợp của mô hình và kết quả tính toán với vấn đề ban đầu Để đánh giá độ phù hợp, có thể cần áp dụng các phương pháp phân tích chuyên biệt liên quan đến vấn đề cụ thể Trong bước này, có thể xảy ra một trong hai khả năng.
Khả năng 1: Mô hình và các kết quả tính toán phù hợp với thực tế
Khi đó chỉ cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã thiết lập, các thuật toán đã sử dụng và kết quả thu được
Khả năng 2: Mô hình và kết quả không phù hợp với thực tế
Lúc này phải tìm ra nguyên nhân Có thể đặt ra những câu hỏi về:
Lời giải toán học có tính chất xác định, với các thuật toán và quy trình tính toán được thực hiện một cách rõ ràng Trong bối cảnh này, mô hình toán học cùng với mô hình định tính được xây dựng được xem là hợp lý và thỏa đáng.
• Tính thỏa đáng của mô hình toán học đã xây dựng Lúc này người ta tạm chấp nhận mô hình định tính đã thiết lập trước đó
Mô hình định tính cần được xem xét kỹ lưỡng về tính hợp lý, bao gồm việc phân tích dữ liệu một cách chính xác, lựa chọn các yếu tố quan trọng một cách hợp lý và xác lập các quy tắc liên kết giữa chúng.
Quy trình và mô hình hóa thừa nhận rằng mỗi thực tế có thể tương ứng với nhiều mô hình lý thuyết khác nhau Mục tiêu là xây dựng một mô hình toán học có khả năng đưa ra câu trả lời chấp nhận được, vì thực tế thường không chỉ có một câu trả lời duy nhất mà thường có nhiều câu trả lời phù hợp với các hoàn cảnh khác nhau.
Một số ví dụ
3.3.1 Ví dụ về đèn đường Đề bài
Hội đồng thành phố quyết định dựng một cây đèn đường trong công viên nhỏ hình tam giác sao cho nó chiếu sáng toàn bộ công viên
Hỏi: Người ta nên đặt cây đèn ở đâu?
• B1: Xây dựng mô hình phỏng theo thực tiễn
Công viên có thể xem như hình tam giác
Vùng chiếu sáng của đèn đường là hình tròn
Khi đó mối quan hệ là tam giác đó phải nằm trong hình tròn
• B2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét
Dựa vào mối quan hệ các dữ kiện bài toán, đưa bài toán về bài toán xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
• B3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán
- Vẽ tam giác (mô hình công viên)
- Tìm tâm: là giao của 3 đường trung trực tam giác
- Xác định vị trí của tâm trong thực tế
• B4: Phân tích và kiểm định kết quả thu được
- Trong thực tế công viên có thể là 1 tam giác có góc tù
Vậy đèn đặt ở ngoài công viên Vì vậy, cách giải quyết bài toán không hợp lý
Trong trường hợp công viên có hình dạng tam giác với các góc nhọn và diện tích lớn hơn bán kính chiếu sáng của đèn, việc chiếu sáng toàn bộ khu vực công viên là không khả thi Do đó, giải pháp này không thực tế Để tìm ra hướng giải quyết hợp lý cho bài toán này, cần xem xét nhiều yếu tố và mối quan hệ khác nhau, bao gồm hình dạng và kích thước thực tế của công viên, cũng như thông tin về bán kính chiếu sáng của đèn.
3.3.2 Ví dụ về sân nhà
Nick muốn làm một cái sân nhà hình chữ nhật cho ngôi nhà mới của mình Sân có chiều dài 5,25 m và chiều rộng là 3,00 m Ông cần 81 viên gạch/m 2
Hỏi: Nick cần bao nhiêu viên gạch để làm đủ sân nhà ông?
• B1: Xây dựng mô hình phỏng theo thực tiễn
Sân nhà có hình chữ nhật
Khi đó mối liên hệ là số gạch xây đủ sân hình chữ nhật đó
• B2: Xây dựng mô hình toán học cho vấn đề đang xét
Dựa vào mối quan hệ các dữ kiện bài toán, đưa bài toán về bài toán tìm số gạch biết diện tích mảnh vườn và mỗi m 2 cần 81 viên gạch
• B3: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán
Tìm diện tích hình chữ nhật: S = 5 , 25 3 , 00 = 157 , 5m 2
Tính ra số gạch cần xây là: 81 157500 = 1575 , 75 viên gạch
• B4: Phân tích và kiểm định kết quả thu được
Ta dễ dàng kiểm tra được kết quả thu được phù hợp với thực tiễn
THỰC NGHIỆM
Mục tiêu thực nghiệm
• Khảo sát, đánh giá hiệu quả khi dạy học mô hình hóa ở phổ thông
• Khảo sát đánh giá hiểu biết toán học của học sinh phổ thông ở tại thành phố Cần Thơ.
Nội dung và đối tượng thực nghiệm
Đối tượng thực nghiệm bao gồm hai lớp học: lớp 10A4 với 22 học sinh, trong đó 16 học sinh tham gia khảo sát chương trình PISA, và lớp 11A5 với 21 học sinh, có 20 học sinh tham gia khảo sát Lớp 10A4, là lớp chuyên hóa, thể hiện năng lực toán học vượt trội hơn so với lớp 11A5, lớp chuyên sinh, với điểm trung bình học kỳ I lần lượt là 83% và 77%.
Tiến hành thực nghiệm ở hai lớp 10A4 và 11A5 như sau:
Tiến hành dạy học mô hình hóa toán học ở lớp 11A5, nhưng không dạy mô hình này ở lớp 10A4
Sau đó tổ chức khảo sát cả hai lớp trên cùng một bài test (đề kèm theo ở mục 3.3.1) vào ngày 16/3/2012
Chúng tôi không chỉ đánh giá khả năng vận dụng toán học của học sinh theo chuẩn PISA, mà còn so sánh hiệu quả tổ chức dạy học mô hình hóa tại các trường phổ thông khi tiếp cận chương trình đánh giá PISA.
Phần nội dung gồm hai phần chính:
• Dạy học mô hình hóa ở lớp 11A5 (Giáo án giảng dạy ở bảng phụ lục 1)
• Tổ chức khảo sát ở hai lớp 11A5 và 10A4.
Phân tích tiên nghiệm
Đề thi kiểm tra đánh giá cho lớp 10A4 và 11A5 được lấy từ đề thi khảo sát chính thức của PISA năm nào đó.
2009 ĐỀ THI KIỂM TRA KỸ NĂNG HIỂU BIẾT TOÁN HỌC, VẬN DỤNG TOÁN HỌC TRONG ĐỜI
Một người nông dân trồng táo trong một mảnh vườn hình vuông Để bảo vệ vườn táo khỏi gió, ông đã trồng cây tùng xung quanh.
Sơ đồ minh họa mô hình cây táo và cây tùng chắn gió như sau:
1) Hoàn thành bảng sau: n Số cây táo
Số cây tùng chắn gió
2) Giả sử “n” là số hàng cây táo
Công thức tính số cây táo là: _
Công thức tính số cây tùng là:
Có giá trị “n” nào để số cây táo bằng số cây tùng chắn gió không?
Nếu có thì “n” là bao nhiêu?
3) Giả sử người nông dân đó muốn mở rộng diện tích khu vườn và trồng nhiều hàng táo hơn, khi đó số cây táo hay cây tùng chắn gió sẽ nhiều hơn? Vì sao?
Bài tập 2: Diện tích lục địa
Hình bên là bản đồ Châu Nam Cực
Câu hỏi: Ước tính diện tích của châu Nam
Cực bằng cánh sử dụng bản đồ
Trình bày cách tính và giải thích cánh ước tính của bạn
(Bạn có thể vẽ lên bản đồ nếu điều đó giúp cho việc ước tính của bạn)
Bản đồ Châu Nam Cực
Bài tập 3: Vận tốc của xe ôtô đua
Biểu đồ dưới đây cho thấy sự thay đổi vận tốc của một chiếc xe ôtô đua dọc theo quãng đường dài 3km trong chặng đua thứ 2:
Câu hỏi: Khoanh tròn câu trả lời đúng:
1) Ước lượng khoảng cách từ điểm bắt đầu của chặng đua đến điểm bắt đầu vào đường có đoạn thẳng dài nhất trên cả chặng đua thứ hai nói trên:
2) Trường hợp có vận tốc thấp nhất ghi nhận được trong cả chặng đua:
A Ở điểm bắt đầu chặng đua
3) Có nhận xét gì về vận tốc của xe khi ở khoảng 2.6 km và
A Vận tốc của xe không đổi
B Vận tốc xe ngày càng tăng
D Vận tốc xe không xác định được từ đồ thị
Quãng đường (km) Xuất phát
4) Dưới đây là hình ảnh của năm đường đua :
Xe đua đã chạy theo đường đua nào để có đồ thị vận tốc như biểu đồ vận tốc ở phần đầu?
Bài tập 4: Hình tam giác
Câu hỏi 1: Khoanh vào những hình vẽ tương ứng dưới đây:
Tam giác PQR là một tam giác vuông tại R Đoạn RQ ngắn hơn đoạn PR M là trung điểm của PQ và N là trung điểm của đoạn QR
S là một điểm ở trong tam giác Đoạn MN dài hơn đoạn MS
Câu hỏi 2: Cho tam giác ABC , có
P , , lần lược là trung điểm của
Xác định ít nhất một cặp tam giác đồng dạng, và lý giải cho quyết định đó?
Dưới đây là hình ảnh và mô hình hình học của một trang trại với mái nhà hình kim tự tháp, kích thước được ghi rõ trong hình.
Sàn tầng gác mái ABCD là một hình vuông, còn hình khối EFGHKLMN là hình hộp chữ nhật, trong đó
E , , , tương ứng là trung điểm của AT , BT , CT và DT Các cạnh bên của kim tự tháp đều có chiều dài là 12 m
1) Tính diện tích sàn gác mái nhà ABCD là: m 2
2) Độ dài EF là: EF = m
3) Nếu số đo của kim tự tháp không thay đổi, nhưng thay đ
AT m và các điểm E , F , G , H vẫn là trung điểm các cạnh như đã cho Khi đó chiều dài
EF có thay đổi không? Tại sao?
3.3.2 Đáp án và thang điểm
Dựa vào đáp án và thang điểm của bài test PISA năm 2009 cùng với các chuẩn đánh giá của PISA, chúng tôi đã tổng hợp và trình bày đáp án cũng như thang điểm một cách rõ ràng.
Bài tập 1: Vườn táo (7 điểm)
1) n Số cây táo Số cây tùng chắn gió
2) Công thức tính số cây táo là: n 2 1đ
Công thức tính số cây tùng là: 8n 1đ
Có và n = 8 thì cây táo bằng cây tùng 1đ
Trường hợp phần ba của câu hỏi trả lời
3) Số cây táo sẽ nhiều hơn 1đ
Giải thích: Dựa trên n 2 và 8n 1đ
Trường hợp Hiểu được mối quan hệ n 2 và 8n nhưng giải thích không rõ ràng thì cho 0.5đ
Bài tập 2: Diện tích lục địa (2 điểm)
- So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho với hình vuông hoặc hình chữ nhật Diện tích đã cho ở vào khoảng 12 000 000 km 2 đến 18 000 000 km 2
- So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho với hình tròn Diện tích đã cho ở vào khoảng 12 000 000 km 2 đến 18 000 000 km 2
- So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho bằng cách cộng diện tích một vài hình “tiêu chuẩn” Kết quả như trên
- So sánh và ước lượng diện tích hình đã cho bằng cách khác và cho kết quả đúng
Cho câu trả cánh tính đúng nhưng sai sót về mặt kết quả
Bài tập 3: Vận tốc của xe ôtô đua (4 điểm)
3) B Vận tốc xe ngày càng tăng 1đ
Bài tập 4: Hình tam giác (3 điểm)
Câu hỏi 1: Trả lời hình D 1đ
Trường hợp chỉ trả lời được 1 cặp tam giác đồng dạng thì chỉ được 0.5đ
Giải thích các tam giác đồng dạng theo các trường hợp đồng dạng như: c.c.c, c.gc, g.g 1đ
Bài tập 5: Trang trại (4 điểm)
Giải thích: vì EF = AB =
Câu hỏi này kiểm tra cả hai cấp độ của năng lực toán học phổ thông Cấp độ
Học sinh cần ghi nhớ và tái hiện kiến thức thông qua mô hình trồng táo của người nông dân, từ đó trả lời các câu hỏi với n bằng 1, 2, 3 và 4 Khi n bằng 7, các em sẽ phải kết nối và tích hợp thông tin để giải quyết bài toán, thể hiện khả năng tư duy ở cấp độ 2: kết nối và tích hợp.
Mức độ kiểm tra đã được nâng lên, yêu cầu học sinh cần tổng quát hóa và toán học hóa (cấp độ 3) thông qua việc phân tích lập luận và xây dựng công thức tổng quát cho số lượng cây táo và cây tùng chắn gió.
Câu hỏi này yêu cầu học sinh áp dụng kiến thức toán học để xác định giá trị n sao cho số cây táo bằng số cây tùng, đồng thời cần liên hệ thực tế để loại bỏ nghiệm n bằng không.
Học sinh cần liên hệ giữa các biểu thức toán học và lập luận phân tích để chứng minh rằng số cây táo nhiều hơn số cây tùng Việc áp dụng các phương pháp toán học sẽ giúp đưa ra kết luận chính xác về sự chênh lệch số lượng cây trồng này.
Trang 29 Đánh giá kỹ năng mô hình hóa toán học của học sinh Học sinh phải biết chia nhỏ bản đồ cho phù hợp và tính toán dựa trên công thức toán học
Cả ba câu chỉ đánh giá ở mức độ đọc hiểu được đường biểu diễn của một đồ thị
Câu hỏi 4 yêu cầu học sinh phải phân tích đồ thị và tư duy để hình thành đường biểu diễn thực tế của con đường Học sinh cần nhận thức rằng khi thay đổi hướng đi, người điều khiển xe cũng phải điều chỉnh tốc độ Đồng thời, độ dài của đoạn đường thẳng phản ánh mức độ ga mà người điều khiển sử dụng.
Câu hỏi này chỉ yêu cầu ở mức độ đọc hiểu đề và giải quyết bài toán
Câu hỏi này kiểm tra cấp độ tái hiện lại kiến thức tam giác đồng dạng
Hai câu hỏi này kiểm tra cấp độ tái hiện và giải quyết vấn đề bài toán
Câu hỏi này liên quan đến kiến thức về đường trung bình của tam giác, yêu cầu học sinh phân tích bài toán và nhận biết rằng độ dài cạnh EF chỉ phụ thuộc vào cạnh đáy AB, không phụ thuộc vào cạnh bên.
Các bài tập chủ yếu tập trung vào ba cấp độ năng lực hiểu biết toán học Mặc dù đề thi không quá khó, nhưng để đạt kết quả tốt, học sinh cần có kiến thức xã hội vững vàng và khả năng liên hệ thực tiễn để giải quyết vấn đề một cách hợp lý.
Kết quả khảo sát và phân tích hậu nghiệm
3.4.1 Đánh giá và bài học kinh nghiệm khi dạy học mô hình hóa Ư u đ i ể m:
• Gợi mở được phương pháp mô hình hóa
• Giúp các em nắm được khái niệm và các bước thực hiện
• Có ví dụ và phản ví dụ giúp các em hình dung ra được tình huống trong thực tiễn
• Thời gian ngắn nên chưa đặt ra được nhiều tình huống giúp học sinh phát triển tư duy và khả năng giải quyết vấn đề trong thực tiễn
Theo ý kiến của GVHD thực tập, thầy Trần Thành Điểm, bài dạy nhìn chung được đánh giá cao, sinh động và học sinh có khả năng hiểu và nắm vững phương pháp mô hình hóa toán học Các câu hỏi được đặt ra rõ ràng, dễ hiểu Tuy nhiên, thầy cho rằng nếu bài dạy mở rộng ra nhiều tình huống thực tiễn hơn, nó sẽ trở nên hấp dẫn và cuốn hút hơn Ví dụ, trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng, có thể xem xét tình huống gửi tiền trong thời gian dài hơn một năm hoặc tăng số tiền gửi để xem sự khác biệt trong lựa chọn Tương tự, trong bài toán đèn đường, việc thay đổi vị trí đặt đèn ở mé đường hoặc chọn loại đèn có bán kính chiếu sáng lớn hơn cũng là những điểm cần xem xét.
Ý kiến đóng góp của thầy rất hữu ích, và nếu được dạy lại phương pháp này, chúng tôi có thể mở rộng nhiều tình huống để giúp các em hình dung các tình huống thực tiễn phức tạp Điều này sẽ hỗ trợ các em phát triển năng lực tư duy và khả năng ứng xử Tuy nhiên, do thời gian hạn chế, chúng tôi chỉ có thể giới thiệu phương pháp qua một ví dụ đơn giản như đèn đường, mà chưa đủ thời gian để các em suy nghĩ và giải quyết nhiều tình huống thực tiễn khác.
Bảng tổng kết điểm lớp 10A4 và 11A5 theo từng phần:
Câu hỏi Điểm tối đa Điểm TB lớp 10A4
Tỉ lệ giữa điểm TB và điểm tối đa Điểm TB lớp 11A5
Tỉ lệ giữa điểm TB và điểm tối đa
Bảng tổng kết điểm lớp 10A4 và 11A5 theo từng bài tập
Bài tập tối đa Điểm Điểm TB lớp 10A4 Tỉ lệ giữa điểm TB và điểm tối đa Điểm TB lớp 11A5
Tỉ lệ giữa điểm TB và điểm tối đa
Kết quả khảo sát tại lớp 11A5 đạt 78% và lớp 10A4 đạt 79%, cho thấy sự tương đương giữa hai lớp Tuy nhiên, điểm số học kỳ lại chênh lệch rõ rệt, với lớp 11A5 chỉ đạt 77% trong khi lớp 10A4 lên tới 83% Điều này chứng tỏ rằng đề khảo sát PISA là khách quan và công bằng đối với các học sinh Dưới đây là đánh giá chi tiết từng câu hỏi của hai lớp.
Bài tập này cho thấy cả hai lớp đều có kết quả khả quan, với 86% cho lớp 10A4 và 88% cho lớp 11A5 Tuy nhiên, mỗi lớp lại có những ưu nhược điểm riêng ở từng phần và cấp độ.
Để trả lời tốt câu hỏi này, học sinh cần không chỉ quan sát mà còn phải suy luận từ các trường hợp cụ thể để áp dụng cho trường hợp tổng quát hơn, đặc biệt là với n = 7 Cả hai lớp đều đạt kết quả xuất sắc, với 100% học sinh tham gia đều trả lời đúng.
Biểu đồ thể hiện tỉ lệ điểm của hai lớp qua từng bài tập và điểm học kì I
BT1 BT2 BT3 BT4 BT5 T ổ ng Đ i ể m
Câu hỏi này chỉ ra rằng cả hai lớp đều có khả năng tái hiện và tổng quát hóa kiến thức ở mức độ tương đương, cho thấy sự đồng đều trong khả năng học tập của học sinh.
Câu hỏi này yêu cầu học sinh tổng hợp kết quả từ các trường hợp riêng thành công thức tính số cây táo và cây tùng chắn gió Học sinh cũng cần vận dụng các công thức để giải quyết bài toán với số lượng cây táo và cây tùng bằng nhau Nhìn chung, cả hai lớp đều thực hiện tốt và có khả năng hiểu và trả lời câu hỏi Kết quả đạt được ở câu hỏi này rất khả quan.
Lớp 11A5 đạt 95% và lớp 10A4 đạt 91% trong việc giải toán Tuy nhiên, nhiều học sinh gặp sai sót do không liên hệ được với thực tiễn, cụ thể là số cây trồng luôn lớn hơn 0 Lỗi này thường xảy ra khi các em chỉ tập trung vào việc giải quyết vấn đề mà quên đi các điều kiện của bài toán.
Cả hai lớp đều đạt được cấp độ tổng quát hóa và liên hệ thực tế tốt với tỷ lệ trên 90% bài làm chính xác Dù lớp 11A5 thể hiện tốt hơn, nhưng nhìn chung, cả hai lớp đều hoàn thành câu hỏi này một cách khá hiệu quả.
Câu hỏi yêu cầu học sinh liên hệ công thức toán học với bài toán thực tiễn, với tỷ lệ đáp ứng 65% cho lớp 11A5 và 63% cho lớp 10A4, cho thấy sự tương đồng giữa hai lớp Vấn đề chủ yếu là một số học sinh chưa giải thích được mối quan hệ giữa n^2 > 8n và các công thức liên quan Tuy nhiên, với mức độ hiểu biết trên 60%, có thể khẳng định rằng các em đã nắm bắt được vấn đề cơ bản.
Bài tập 2 là một bài toán khó, yêu cầu học sinh biết mô hình hóa toán học và đổi đơn vị giữa bản đồ và thực tế Lớp 11A5 có ưu thế hơn lớp 10A4 nhờ vào việc học mô hình hóa, nhưng kết quả kiểm tra không chênh lệch nhiều, với 63% điểm trung bình cho 11A5 và 61% cho 10A4 Nguyên nhân là lớp 11A5 gặp khó khăn trong việc đổi đơn vị và mô hình phức tạp, dẫn đến tính toán khó khăn, trong khi lớp 10A4, dù chưa học phương pháp này, vẫn có một số em mô hình hóa và tính toán chính xác Cả hai lớp đều gặp vấn đề chung là nhiều em không trình bày phương pháp giải, mặc dù có hiểu và mô hình hóa được bài toán.
Kết quả cho thấy lớp 11A5, dù được học mô hình hóa, chỉ đạt kết quả cao hơn lớp 10A4 khoảng 2%, một chênh lệch không đáng kể Trong khi đó, lớp 10A4, không được học phương pháp mô hình hóa, vẫn có trên 60% học sinh làm tốt câu hỏi này, với chỉ hai em bỏ cuộc Như vậy, trình độ mô hình hóa của hai lớp có thể coi là tương đương nhau.
Việc giảng dạy mô hình hóa ở các trường phổ thông cần được xem xét lại, vì mặc dù có phương pháp giảng dạy, nhưng thực tế vẫn gặp nhiều khó khăn trong việc áp dụng Những khó khăn này chủ yếu đến từ việc xây dựng mô hình phức tạp và việc chuyển đổi đơn vị Để cải thiện việc áp dụng mô hình hóa, cần chú trọng rèn luyện kỹ năng tính toán và phát triển tư duy đơn giản, chính xác cho học sinh.
Bài tập này đánh giá khả năng đọc hiểu biểu đồ và áp dụng thực tiễn để chọn câu trả lời phù hợp Kết quả cho lớp 10A4 đạt 69% và lớp 11A5 đạt 66% Mặc dù kết quả tổng thể không chênh lệch nhiều, nhưng sự khác biệt về cấp độ thể hiện rõ qua từng câu hỏi cụ thể.
Câu hỏi này nhằm đánh giá khả năng đọc hiểu đồ thị của học sinh, với kết quả cho thấy 75% học sinh lớp 11A5 và 56% học sinh lớp 10A4 có thể ước lượng chính xác.