Estadística descriptiva
Estadística
Understanding the probabilistic nature of producing quality or defective items on production lines can be complex Analyzing the outcomes of random phenomena through a dataset is not a straightforward task Therefore, we will address this issue gradually moving forward.
This unit introduces the statistical analysis of observations from any study we will review in the text, focusing on how to conduct a descriptive statistical analysis of a set of observations intended for investigation.
The unit begins by defining statistics and discussing the concepts of population and sample, followed by a comparison between statistics and probability It then covers statistical variables and their classification based on measurement scales A brief overview of sampling techniques and sample size is provided, leading to definitions and examples of parameters and statistics, as well as an exploration of common central measures in descriptive statistics The importance of understanding multiple central measures to grasp the behavior of observations is emphasized, introducing measures of deviation and shape through the skewness coefficient Finally, the application of these concepts to investments is demonstrated.
After examining the introduction of the unit, it is clear that humans felt the need to develop a science dedicated to simplifying information into numerical values for better and easier interpretation of the phenomena around them, which they named statistics So, what do we understand by statistics?
Statistics is a branch of mathematics that offers methods for collecting, organizing, and analyzing information It enables the extraction of various conclusions that can aid in decision-making and experimental design.
The current role of statistics is pivotal, serving as an effective method to accurately describe values across various domains, including economics, politics, social sciences, psychology, chemistry, biology, and physics It functions as a vital tool for relating and analyzing these data sets, leading to its classification into multiple fields Notably, certain areas of application have gained significant relevance in today's society.
En el presente texto estudiamos:
La estadística descriptiva se estudia esta unidad, mientras que la inferencial se revisa en las unidades 2, 3, 4 y
5 Por último, en la unidad 6 veremos la regresión lineal.
Población y muestra
The foundation of statistics lies in sets of numbers derived from counting or measuring experimental outcomes When collecting statistical data, it is crucial to ensure that the information is both complete and accurate Statisticians face the initial challenge of determining what information to gather and in what quantities For instance, conducting a census requires obtaining a comprehensive and precise population count Similarly, when engineers or physicists aim to measure the number of collisions per second among gas molecules, they must first accurately identify the nature of the objects being counted This highlights the importance of understanding how data sets are obtained in the field Given the diverse nature of the phenomena we can analyze, it is essential to define the data sets we will review.
Se llama población al conjunto de todos los elementos de un tipo particular cuyo conocimiento es de nuestro interés.
Each element involved in defining a population is an individual or object These elements are referred to as such because the original focus of statistics was in the field of demography.
Con frecuencia, la información disponible para un estudio consta de una porción o subconjunto de la pobla- ción Por este motivo, introducimos un segundo concepto, muestra de una población.
Se llama muestra a cualquier subconjunto de la población, en realidad en el texto nos interesan los subconjuntos no vacíos y finitos.
1 Si el conjunto de datos de interés está constituido por todos los estudiantes de licenciatura en el Tecnoló- gico de Tlalnepantla, cada uno de los estudiantes será un individuo estadístico, mientras que el conjunto de todos los estudiantes será la población Una muestra podría ser el conjunto de todos los estudiantes del cuarto semestre de la licenciatura en administración.
2 La producción de autos de una armadora ubicada en Morelos En este ejemplo, la población es cada uno de los autos ensamblados (individuos estadísticos); por su parte, una muestra se puede proponer como los autos subcompactos fabricados en mayo.
3 El estudio de ciertos experimentos químicos En este caso, cada uno de los experimentos será un individuo estadístico y el conjunto de todos los posibles experimentos en esas condiciones será la población, mien- tras que una muestra podría ser un conjunto de resultados experimentales en ciertas condiciones.
4 El conjunto de mediciones, en toneladas, de la carga máxima soportada por los cables de acero produci- dos por la compaủớa CM En este caso, los individuos se refieren a los cables producidos por esta empresa durante un periodo determinado.
In probability courses, random variables are thoroughly examined and defined by specific behaviors, leading to their distinct naming For instance, a normal random variable follows a normal distribution, which is characterized by a bell-shaped curve, commonly referred to as the Gaussian bell The behavior of a random variable is essential for understanding its properties and applications in statistical analysis.
1.2 Población y muestra 5 determinado por diferentes medidas que llamamos parámetros, que pueden ser de localidad, escala o forma En el caso de una variable aleatoria normal, se trata de la media o parámetro de localidad, m, y la desviación estándar o parámetro de escala s Un repaso de la distribución normal lo veremos en la unidad 2, junto con algunas otras distribuciones de gran importancia para la estadística inferencial
When discussing parameters, we implicitly assume knowledge of the behavior of the entire population In probability theory, we begin with the understanding of the distribution parameters and calculate the likelihood of specific values occurring within the population (sample values).
Inferential statistics involves the reverse process of probability, where observations or data are analyzed to infer characteristics about a population and its parameters This reverse process is crucial in statistical problems, as practitioners often work with observed values without knowing the underlying distribution and parameters that define the population For instance, an industrial engineer planning inventory management in a supply chain needs to forecast warehouse demand, relying on historical demand data Similarly, a civil engineer requires prior information on the frequency and intensity of earthquakes at a construction site, along with a preliminary study of the soil conditions.
In this unit, we thoroughly examine various techniques for descriptive data management, enabling us to gain intuitive insights into population behavior Understanding this material is essential for accurately describing production processes, company logistics, inventory challenges, and engineering issues related to measurements, such as material hardness and metal conductivity.
Previously, when defining a population, we referred to its elements as individuals Additionally, as illustrated in examples 1.1, these individuals can be described by one or more of their properties or characteristics, leading to the definition of the term "character."
Se llama carácter de un individuo u objeto a cualquier característica o propiedad por medio de la cual es posible clasificar y estudiar a dicho individuo.
Veamos algunos ejemplos de carácter para poder utilizar esta definición con mayor libertad.
1 Si los individuos son personas, entonces el sexo, el estado civil, el número de hermanos o su estatura son caracteres.
2 Si los individuos son computadoras, entonces un carácter podría ser la rapidez del procesador y la capaci- dad del disco duro, entre otras
3 Si el individuo es una reacción química, entonces el tiempo de la reacción, la cantidad de producto obte- nido o si éste es ácido o básico son posibles caracteres.
• Cualitativo o no métrico, si no admite medición numérica.
• Cuantitativo o métrico, si es contable o medible numéricamente
Qualitative and quantitative characteristics are essential concepts in data analysis Qualitative data, also known as non-metric data, refers to categorical attributes that describe a subject, indicating the presence or absence of specific traits without numerical value For instance, identifying someone as a woman excludes the possibility of them being a man, highlighting the binary nature of gender In contrast, quantitative data consists of metrics that reflect differences in quantity, allowing for relative measurements This type of data is crucial for assessing variables such as labor demand or atmospheric ozone levels Additionally, a statistical variable is formed by the various values that a quantitative characteristic can take, which can be classified into two types: discrete and continuous.
Una variable estadística es discreta cuando solo permite valores aislados que pueden ser numerables y proviene de un conteo.
En cierta población, la variable que representa al número de hermanos puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3, 4 y
5 Este tipo de variables se caracterizan por obtenerse mediante un proceso de conteo (véase el tema seme- janza con las variables aleatorias discretas de la teoría de las probabilidades).
Una variable estadística es continua cuando admite todos los valores de un intervalo y proviene de una medición.
1 En cierta población, la variable que representa la estatura de una persona adulta que se mide, puede tomar cualquier valor en el intervalo 135-215 cm
2 La variable temperatura de una persona puede tomar cualquier valor en el intervalo 20-41 ºC.
Como se puede ver, este tipo de variables se caracterizan porque se obtienen por medio de mediciones.
Escalas de medición de una variable
Se mencionó que tenemos dos tipos de datos: cualitativos o no métricos y cuantitativos o métricos En esta sección discutimos un poco más sobre sus escalas de medición.
Escalas de medidas cualitativas o no métricas
Las medidas no métricas pueden tener escalas nominales y ordinales.
The nominal scale, also known as the categorical scale, utilizes numbers to label or identify subjects or objects without implying any order The assigned numbers merely indicate the frequency of occurrences within each category of the variable being studied For instance, numbers assigned to gender or marital status only indicate the presence or absence of the specific attribute This scale is suitable for discrete variables and is used to classify populations effectively.
Ejemplos 1.5 Escala nominal o de categorías
1 El sector económico se clasifica en: primario, industrial y de servicios.
2 Profesión: ingeniero, médico, matemático, abogado, etcétera.
3 Propiedad del suelo: agrícola, forestal, urbano, etcétera.
4 Sexo o género de la persona: masculino y femenino.
5 Colores de un objeto: blanco, negro, rojo, entre otros.
An ordinal scale is a qualitative measurement that offers a higher level of precision than a nominal scale It allows for the classification and ordering of variables based on the quantity of an attribute possessed This type of scale facilitates the establishment of an order among classes using an ascending or descending gradient Ordinal scales are suitable exclusively for discrete variables and are useful for organizing data effectively.
Técnicas de muestreo
1 El director de una escuela primaria lleva un control de la edad en aủos de los alumnos de la escuela
2 El director de una escuela primaria mide las estaturas de los alumnos de la escuela.
3 El supervisor de una línea de producción de botes de jugo lleva el control sobre la cantidad de líquido envasa- do, con la finalidad de llevar un control por día.
4 El supervisor de una línea de producción de botellas de refresco lleva el control sobre la cantidad de botellas envasadas en la línea de producción que estén en alguno de los tres rangos (llenado alto, medio y bajo) estable- cidos por el departamento de control de calidad de la envasadora.
5 El gerente de mercadotecnia de una compaủớa recibe los informes sobre el volumen de ventas diarias de la compaủớa durante un aủo y le interesa conocer su utilidad diaria.
6 El gerente de mercadotecnia de una compaủớa recibe los informes sobre el volumen de ventas diarias de la compaủớa durante un aủo.
En cada uno de los ejercicios indique el tipo de escala que se utilizaría para llevar a cabo un estudio estadístico y explique.
7 En el caso de los promedios de los estudiantes de licenciatura en la universidad, el carácter se refiere a la cali-
ficación promedio de cada uno y es de tipo métrico continuo.
8 En el caso de los promedios de los grupos de licenciatura en la universidad, el carácter se refiere a la calificación promedio de los grupos y es de tipo métrico continuo
9 En el caso del gerente de mercadotecnia sobre el volumen de ventas diarias de la compaủớa durante un aủo, el carácter se refiere al volumen de ventas al día y es de tipo métrico discreto.
10 En el caso del gerente de mercadotecnia sobre el volumen de ventas diarias de la compaủớa durante un aủo, en donde interesaba la utilidad diaria, el carácter se refiere a la utilidad y es de tipo métrico discreto.
11 Cuando los individuos son personas, entonces el sexo y el estado civil son caracteres de tipo cualitativo.
12 Si el individuo es una reacción química, entonces si éste es ácido o básico se trata de un carácter de tipo no métrico.
Statisticians face a complex challenge when selecting a sample for opinion polls or electoral surveys, as accurately representing the preferences of the entire population is not an easy task Effective sampling must yield timely results that facilitate quick access to information about the population or a variable process Moreover, proper sampling is crucial for statistical problems where studying the entire population is prohibitively expensive or impractical, especially in cases where information may be lost For instance, in quality control for the lifespan of light bulbs, destructive testing is employed, analyzing samples until the bulbs cease to function.
In many cases, sampling yields more accurate results than a census, which is conducted when it is essential to analyze every case within a population The heavy workload associated with processing census data can lead to significant fatigue, potentially resulting in inadequate practices by researchers Additionally, populations can be highly dynamic, making it challenging to maintain a stable state long enough to accurately assess their characteristics.
On the other hand, there are countless laboratory cases or experiments that lack complete population data, as they can be conducted with an infinite number of repetitions In this context, it is essential to understand what we mean by sampling.
El muestreo es simplemente un conjunto de métodos para obtener muestras.
The goal of sampling is to acquire the maximum amount of information about a population's parameters at the lowest possible cost In essence, it aims to extract the most valuable insights from a small sample size.
When using sampling, it is essential to take necessary precautions to ensure the randomness of the samples Consequently, various techniques exist to achieve this Below, we will provide a brief overview of the most common methods used in probabilistic sampling.
Simple random sampling refers to sampling without replacement and is ideal when the characteristics of interest are highly homogeneous If there is significant heterogeneity, larger samples would be necessary to achieve acceptable precision, and undesirable samples may be selected.
Simple random sampling is a method that gives each possible and distinct sample an equal chance of selection This probability is calculated as 1 C n N, where N denotes the population size and n represents the sample size.
Una forma equivalente de seleccionar la muestra es elegir las unidades de una en una y en forma consecutiva y asignar una probabilidad de selección a las unidades en cada caso.
A random sample of 10 students was selected from the student population of the Tecnológico de Huatabampo for a survey to gather specific information To maintain the randomness of the selection, various methods can be employed, with the most common approach being to assign a unique number to each student Subsequently, using a random number table or a number-generating program, 10 random numbers are chosen to conduct interviews with the selected students.
In a study involving the student population of the Technological Institute of Huatabampo, we identified a total of 366 students, assigning them numbers from 0 to 365 Utilizing random number tables or a random number generator, we selected 10 students, resulting in the numbers 45, 78, 92, 184, 197, 236, 248, 269, 275, and 291 This process exemplifies the technique of simple random sampling.
When a population can be divided into several subpopulations, known as strata, based on specific characteristics that their members must possess, we consider using stratified sampling, provided that these conditions are met.
• La población se divide en subpoblaciones denominadas estratos, en las cuales los integrantes de cada uno cumplen ciertas propiedades comunes.
Stratified random sampling involves independently selecting a sample from each stratum, where samples are chosen using simple random sampling methods This widely used sampling technique does not have strict rules for determining the size of each stratum; however, it is recommended that the sizes be proportional to the relative sizes of the strata within the overall population.
• Los estimadores para los parámetros de la población completa se proponen como una combinación de los correspondientes a los parámetros de los estratos.
Parámetros y estadísticos
Statistical distributions can be summarized using key numbers derived from either a population or a sample, making it essential for researchers to classify these figures appropriately.
Parameters, derived from samples and referred to as statistics, are essential in the study of random variables We focus on three key types of parameters used to describe a random variable: location, scale, and shape Additionally, we will expand on this concept in statistics by exploring operations between variables, such as addition and averaging.
Para un estudio más detallado de los parámetros y estadísticos, véase la unidad 2 sobre distribuciones mues- trales.
Ahora bien, ¿qué es un parámetro?, ¿qué es un estadístico?
Los parámetros y estadísticos más comunes de la estadística descriptiva que estudiaremos en esta unidad se clasifican en dos tipos:
1 Medidas centrales: media, mediana, moda, media geométrica, media armónica, media ponderada.
2 Medidas de dispersión: rango, varianza y desviación estándar.
Medidas centrales
Si el conjunto de datos numộricos de una muestra de tamaủo n (o poblaciún de tamaủo N) es de la forma x 1, x 2,
…, x n (o para la población x 1, x 2, …, x N ) Podemos preguntar, ¿qué características del conjunto de números son de interés?
En esta sección discutiremos los métodos para describir su localización y en particular el centro de los datos.
Cuando una persona tiene en sus manos un conjunto de datos para analizarlos, en general una de sus primeras inquietudes consiste en calcular su promedio.
El seủor Luis Martớnez tiene las cantidades mensuales que ha ganado en el ỳltimo medio aủo ($10 800, $9 700,
$11 100, $8 950, $9 750 y $10 500) y desea conocer un valor que represente al salario promedio durante este tiempo.
When populations are homogeneous, with little variability in the characteristic of interest, sampling is straightforward and can be effectively conducted with a small sample size Conversely, if the population is heterogeneous, challenges arise in determining the appropriate sampling method to use.
De acuerdo con esto, podemos decir que es necesario preparar gente que sea capaz de muestrear en poblaciones heterogéneas.
En este caso, el seủor Luis calcularỏ su ingreso promedio al sumar los sueldos y dividir entre la cantidad de meses:
De esta forma, el sueldo promedio de los ỳltimos seis meses del seủor Luis es de $10 133.33.
Similar to the previous issue, there are numerous simple practical cases where, given a dataset, it is essential to identify a central value that reflects the influence of each observation on this central value The most suitable measure of central tendency for these purposes is defined below.
Given a finite set of sample data x₁, x₂,…, xₙ, the sample mean (arithmetic average) or statistic mean of the set is defined as the value that represents the average of the data It is denoted by x (x-bar or x-tilde) and is calculated as follows:
En la unidad 2 se verá una definición más precisa de estadístico media.
The unit presents a broader definition for μ that applies to both finite and infinite populations; however, the focus here is specifically on finite populations.
De forma similar, se simboliza con la letra griega miu (m) al parámetro media para las poblaciones finitas, x 1 , x 2 ,
…, x N y llamaremos media poblacional o parámetro media del conjunto a: x x x
From this point forward, the measure defined for a population will be identical to that for a sample, substituting n (sample size) with N (population size) Therefore, we will omit the definition of the measure for the population.
A continuación, se ilustra la definición de media muestral por medio de dos ejemplos
A piston manufacturer randomly samples 20 pistons to measure their average internal diameter The diameters, measured in centimeters, are provided in Table 1.1 Calculate the mean diameter of these pistons.
Como se trata de una muestra, utilizamos la fórmula de la definición de media muestral. x5 1 1 1 1 1 1 1 1 1
The mean serves as an average value of all observations, meaning each data point equally impacts the outcome Consequently, when outlier data significantly deviates from other values, the calculated average fails to accurately represent the true situation.
Suponga que se quiere estimar el sueldo promedio de los trabajadores de una fábrica, al elegir de manera aleatoria a 10 de todos los trabajadores y obtener las observaciones de la tabla 1.2.
Si se calcula el sueldo promedio obtenemos: x5 1 1 1 1 1 1 1 1
The statistic does not accurately represent the reality of the data, as the $25,000 salary is significantly higher than the other salaries, which greatly influences the average value.
En situaciones como la anterior, el uso del valor promedio no es tan acertado de manera que se suele recurrir a otra medida de tipo central.
Based on the previous subsection, it is clear that there is a need for an alternative central measure that minimizes the impact of extreme values compared to the mean This measure, known as the median, will be defined in the following section.
La mediana de un conjunto de datos es el valor central de los datos cuando estos se han ordenado en forma no decreciente en cuanto a su magnitud.
The sample data set, represented as x₁, x₂, …, xₙ, has its sample median denoted by x̃ To determine the sample median, the data must first be arranged in non-decreasing order, and then the values are renamed based on their position using tildes.
Enseguida, localizamos el punto medio de los datos ordenados pudiendo ocurrir alguno de los siguientes dos casos:
• Cuando la cantidad de observaciones es impar: el punto medio del ordenamiento es el dato que se encuentra en la posición n 1
• Cuando la cantidad de datos es par: en este caso resultan dos datos medios localizados en las posiciones n
2 1 1, por lo que la mediana se considera el promedio de estos datos medios.
Por último, el cálculo de la mediana se resume con la siguiente fórmula: x x x x n n n
, cuando la cantidad de datos es impar.
2 , cuando la cantidad de datos es par.
En el siguiente ejemplo mostramos el cálculo de la mediana
Ejemplo 1.19 Cálculo de la mediana
Sea el conjunto muestral de datos del ejemplo anterior referente a los sueldos promedios de los salarios En- cuentre la mediana de los salarios.
La tabla 1.3 muestra el conjunto de los 10 datos:
Al ordenar los salarios en forma no decreciente y renombrarlos obtenemos:
La cantidad de datos es 10, este es un número par Entonces, la mediana muestral se calcula con el promedio de los datos ordenados en las posiciones n
In certain studies, it is essential to identify the central value of a dataset, particularly when the measure of interest relies on its frequency Therefore, using the previously mentioned measures may not be appropriate This specific measure is known as the mode, which we will define below.
La moda de un conjunto de datos es el valor de éstos que se presenta en su distribución con mayor frecuencia.
The value of $25,000 stands out among other salaries, yet it does not affect the median Whether we replace $25,000 with $5,000 or $100,000, the average salary of the 10 workers remains $2,350 This illustrates that the median is a central measure that is insensitive to fluctuations in data.
Con respecto a la notación de la moda, a diferencia de las dos medidas centrales anteriores, no existe notación es- tándar, por lo que empleamos la letra M para la muestra.
En la lista se muestran las calificaciones de 20 exámenes de lingüística Encuentre la calificación que más se repite, es decir, la moda de la distribución de las calificaciones.
Si se realiza un conteo de los datos podemos verificar que re- sultan:
• Un dato con valor 6 y otro con valor 7.
Por último, la moda es igual a 9; la calificación que se repite más veces.
La moda presenta los siguientes problemas:
Por ejemplo, al calcular la moda de las muestras:
In both samples, the data points occur with equal frequency, indicating that there is no mode present Such samples are referred to as amodal or without mode This raises the question: when is a dataset considered amodal?
Por ejemplo, la moda de la muestra:
6, 7, 9, 4, 8, 6, 6, 8, 9, 6, 8, 6, 9, 3, 9 y 9 tiene al 6 y al 9 con mayor frecuencia, puesto que ambos se repiten cinco veces
Cuando el conjunto de datos tiene más de una moda se llama multimodal: bimodal si son dos modas, trimodal si son tres, etcétera.
So far, three well-known central values in descriptive statistics have been examined The first is the mean, defined as the arithmetic average; however, it was noted that there are data distributions for which this measure may not be suitable Therefore, alternative central measures are considered.
When calculating the mode, it is evident that it is completely opposite to the median in terms of sensitivity For instance, if a student with a score of 9 had instead received a 5, the mode would change to 5, resulting in six instances of 5 and five instances of 9 This illustrates that a single data point can significantly alter the mode, highlighting its sensitivity to changes.
Dos de estas fueron la mediana y la moda, ahora se verán otros tipos de medidas que en muchas ocasiones son de gran utilidad en la estadística descriptiva.
1 Valor geométrico o media geométrica La media geométrica de los datos x 1 , x 2 , …, x n se simbolizará por
MG, está definida como la raíz n-ésima del producto de las n mediciones.
Ejemplo 1.21 Valor geométrico o media geométrica
Calcule la media geométrica de las 20 calificaciones de los exá- menes psicológicos que se muestran en la tabla 1.6.
Si se emplea la fórmula 1.7 tenemos:
Otra aplicación importante de la media geométrica se presenta en las tasas de interés al considerar su factor de crecimiento medio, entendido como:
Factor de crecimiento 1 tasa de interés
Entonces, el factor de crecimiento medio es un valor medio de estos factores, y la mejor medida central que debe utilizarse es la media geométrica.
Medidas de dispersión
When analyzing the data distribution of a sample, it is insufficient to focus solely on central measures, as different datasets can yield identical central values Therefore, understanding the shape of the distribution is essential for a comprehensive analysis.
Si un conjunto de datos contiene los valores 20, 12, 15, 16, 13 y 14; un segundo conjunto los valores 5, 0, 50,
In both cases, the average is 15, as confirmed by the numbers 17, 8, and 10 However, when these data points are plotted on a number line, it becomes evident that the observations in the second set exhibit significantly greater dispersion, as illustrated in Figure 1.1.
Distribución de los datos del segundo conjunto
Distribución de los datos del primero conjunto
From the previous datasets, it is evident that a measure is needed to compare the dispersion of data These measures are referred to as dispersion or variability values of the dataset.
In summary, a measure of dispersion indicates how close or far values are from the mean or another measure of central tendency The following subsections present the most common measures of dispersion in descriptive statistics.
El primer valor que muestra cómo están dispersos los datos es muy sencillo y lo llamamos rango de las observa- ciones, lo denotaremos por r
The range is a measure of variability in data that indicates the size or length of the interval in which the values are distributed It is calculated by determining the difference between the highest and lowest values in the dataset.
Rango 5 El valor mayor menos el valor menor de los datos (1.10)
Para los datos muestrales de los dos conjuntos anteriores se tiene:
• En los datos anteriores en el primer conjunto su rango vale r 1 5 2 520 12 8 Es decir, los datos de este conjunto están distribuidos a lo largo de un intervalo de longitud 8.
• En el segundo conjunto su rango vale r 2 5 2 550 0 50 Es decir, los datos de este conjunto están distribui- dos a lo largo de un intervalo de longitud 50.
It is evident from the previous results that the elements in the second set exhibit a greater separation However, the outcome does not reflect how the data behaves in relation to its mean or any central value.
Sean una muestra x 1 , x 2 , …, x n , con n datos y valor medio x, los cuadrados de las desviaciones de cada uno de los datos con respecto a su valor medio son: x x
De manera que otra medida de dispersión de los datos que está relacionada directamente con su media aritmética es la siguiente.
Sea x x 1 , , 2 ,x n los valores de una muestra aleatoria, llamaremos:
The distinction between biased and unbiased variance is crucial in statistics Biased variance accurately represents a measure of dispersion as the average of the squared deviations, making it highly applicable in probability studies In contrast, unbiased variance is more suitable for statistical calculations and is commonly used in sample analysis, which is why it is referred to as sample variance.
Variance is defined as the average of the squared deviations from the mean, which means it is expressed in squared units, differing from the original data units This discrepancy is one reason to introduce an alternative measure of dispersion.
Se llama desviación estándar de un conjunto de datos a la raíz cuadrada positiva de la variancia, la cual depen- derá del tipo de variancia que se esté empleando.
Calcule la varianza insesgada y su desviación estándar correspondiente en cada uno de los dos conjuntos dados que se dieron al inicio de la sección Conjunto uno: 20, 12, 15, 16, 13 y 14; el segundo conjunto: 5, 0,
Sea el conjunto de 20, 12, 15, 16, 13 y 14, x515 Entonces de la fórmula 1.12: s n n x i x i
Para otro conjunto de datos 5, 0, 50, 17, 8 y 10, x515, pero su variancia insesgada: s n n x i x i n
De igual manera, en el primer conjunto de datos la desviación estándar es s n 2 1 5 325.6