ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019  I/ Phép thử ngẫu nhiên biến cố ngẫu nhiên:  Phép thử ngẫu nhiên:  việc thực thí nghiệm/ thực nghiệm, việc quan sát tượng tự nhiên số điều kiện CHƯƠNG 1: định Nó dẫn đến kết cục/kết kết cục khác (có kết cục) Và việc làm thực lần XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ  Quy ước: Một đồng xu có mặt Hình mặt Chữ gọi đồng xu Sấp Ngữa, với quy ước   Vd1: Tung đồng xu Sấp Ngữa (cân đối, đồng chất), xét xem mặt xuất (mặt lật lên)  Đây phép thử ngẫu nhiên? Ném đá xuống nước, xét xem đá chìm hay  Đây phép thử ngẫu nhiên?  Vd3: Hai vợ chồng cãi Xét xem họ có ly dị không  Đây phép thử ngẫu nhiên?  VD4:  Bắn phát súng vào bia  Đây phép thử NN?  Vd2: mặt Hình = Sấp , mặt Chữ = Ngữa  VD5:  Hộp có bi Trắng bi Xanh Lấy ngẫu nhiên bi xem màu  Đây phép thử NN?  VD6:  Hộp có bi Trắng Lấy ngẫu nhiên bi xem màu  Đây phép thử NN?  VD7: (Phim “Hãy yêu biết”)  Yêu người khác giới tính  Đây phép thử NN?  Từ trở ta nói phép thử có nghóa phép thử NN ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 Các kết cục phép thử NN gọi biến cố Có loại biến cố: bc ngẫu nhiên, bc chắn, bc có BcNN: bc xảy không xảy thực phép thử Ký hiệu A, B, C,… Bc chắn: bc xảy thực phép thử Ký hiệu Ω  Vd1:  Tung xúc xắc (cân đối, đồng chất), xét xem mặt xuất  (Con xúc xắc có mặt đánh số nút từ 1→6)    Đặt: A= bc xuất mặt có số nút 0, P(B) > Vaäy P(A).P(B) ≠ P(A.B) A,B xung khắc  A, B không độc lập   * Nhóm biến cố độc lập đôi: A,B,C độc lập đôi A,B đl ; A,C đl ; B,C đl * Nhóm biến cố độc lập toàn thể:  A,B,C độc lập tt A,B đl ; A,C đl ; B,C đl A,BC đl ; B,AC ñl ; C,AB ñl  Hay: P(AB)= P(A)P(B) ; P(AC)= P(A)P(C) ; P(BC)=  P(B)P(C) P(ABC)= P(A)P(B)P(C) 123 124 Quy ước: nhóm biến cố độc lập 31 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 VD1: ĐỘC LẬP TOÀN THỂ 3.2)CT NHÂN  * Nhóm n bc độc lập (toàn thể):  Nhóm biến cố A1, ,An độc lập (toàn thể) biến cố nhóm độc lập tích biến cố lại Nhận xét: Độc lập (toàn thể) → độc lập đôi  B= {1, 2, 4, 6}  P(B)= ½  C= {1, 3, 4, 7}  P(C)= ½  AB= {1, 2}  P(AB)= 2/8 = ¼  AC= {1, 3}  P(AC)= ¼  BC= {1,4}  P(BC)= ¼  ABC= {1}  P(ABC)= 1/8  Ta coù: P(AB)= P(A).P(B) ; P(AC)= P(A).P(C) ; P(BC)= P(B).P(C) nên A, B, C độc lập đôi Ta có: P(ABC)= P(A).P(B).P(C) nên A, B, C độc lập toàn theå 125            BT1: Tung đồng xu Sấp Ngữa lần A= bc lần mặt S B= bc lần mặt S C= bc lần mặt S A, B, C độc lập toàn thể? HD: Xác định kg mẫu Ω Đánh số biến cố sơ cấp Ta quay VD1 Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A= {1, 2, 3, 5}  P(A)= 4/8 = ½ 126 32)CT NHÂN 127     Vd3: Tung laàn xúc xắc Ai= bc lần tung i xuất mặt có số nút chẳn, i=1,3 Ta có: A1, A2, A3 độc lập toàn thể   Chủ yếu dựa vào giả thiết toán suy luận Muốn có “linh cảm” tốt làm nhiều tập!!!  Bài muốn chứng minh chặt chẽ không gian 128 mẫu có 63 = 216 trường hợp 32 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 3.2)CT NHÂN BT3:  Tổng quát:  * P(ABC) = P(A/BC).P(BC) = P(A/BC).P(B/C).P(C)  Nếu A, B, C độc lập toàn thể A*, B*, C* độc lập toàn thể?  HD:  1) A, B độc lập A, B* ; A*, B ; A*, B* độc lập  Nếu A,B,C độc lập toàn thể P(ABC)= P(A).P(B).P(C) * P(ABCD)= P(A/BCD).P(BCD) = P(A/BCD).P(B/CD).P(CD) = P(A/BCD).P(B/CD).P(C/D).P(D)    Nếu A,B,C,D độc lập toàn thể 2) A, B, C độc lập toàn thể A, B+C độc lập 3) A*, (B+C)* độc lập P(ABCD)= P(A).P(B).P(C).P(D) 129 Câu hỏi: Nắm cách ghi CT nhân chưa? 130 ÍCH LI CỦA CÔNG THỨC P(A)= 1-P(A*)  VD4: Có sinh viên thi hết môn với xác suất thi đậu 0,5 0,7 0,8 0,9  a) Tính xác suất có người thi rớt?  b) Tính xác suất có người thi đậu?  c) Tính xác suất có nhiều người thi đậu?  Giải:  a) Ai= bc người thứ i thi đậu  F= bc có người thi rớt  F*= bc có người thi rớt (tất thi đậu)  P(F*)= P(A1A2A3A4)= P(A1).P(A2).P(A3).P(A4)  b) K= bc có người thi đậu  K*= bc có người thi đậu (tất thi rớt)   P(K*)= P(A1*A2*A3*A4*)= P(A1*).P(A2*).P(A3*).P(A4*) c) L= bc có nhiều người thi đậu P(L*)= P(F*) 131 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ: Xét phép thử T Giả sử A1, ,An nhóm bc đầy đủ (và xktđ) F biến cố liên quan tới phép thử T (khi bc F xảy có bc Ai xảy ra) Cho biết xác suất P(Ai) , P(F/Ai) Tính P(F)? P(F)= P(F/A1)P(A1)+ +P(F/An)P(An) 132 33 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 5)CÔNG THỨC XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ:    5)CTXSÑÑ Thật vậy: Ω = A1+A2+…+An F= FΩ = F(A1+A2+…+An) = FA1+FA2+…+FAn → P(F)= P(FA1+FA2+…+FAn) = P(FA1)+P(FA2)+…+P(FAn) = P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2)+…+P(F/An)P(An) Vd1: Hộp có bi T, bi X Lấy bi (lấy ngẫu nhiên không hoàn lại) Tính xác suất lần lấy đượïc bi X? HD: Ta thấy khả lấy bi X lần phụ thuộc vào  Câu hỏi lớn:  Khó khăn áp dụng công thức xsđđ gì?  Gợi ý:  Ta nên phân chia trường hợp Ai cho dễ tính xác 133 suất P(Ai) P(F/Ai)  ta có nhóm gồm bc , xét xem chúng có đầy đủ xung khắc ? 134 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ VD1:  Vd2:  Xí nghiệp bút bi Thiên long có phân xưởng sản xuất  PX1: sản xuất 50% sp toàn XN ; PX2: sản xuất 30% ; PX3: sản xuất 20% (1 viết phân xưởng sản xuất)  Tỷ lệ phế phẩm tính số sp PX sản xuất là: 1%, 2%, 3%  Một sinh viên mua bút bi Thiên long Tính xác suất mua phải viết xấu? * F= bc lần lấy bi X A1= bc lần lấy bi T A2= bc lần lấy bi X A1,A2 nhóm bc đđ xk * P(A1)= 5/9 , P(A2)= 4/9 * P(F/A1)= 4/8 , P(F/A2)= 3/8 P(F)= P(F/A1)P(A1)+P(F/A2)P(A2) = (4/8).(5/9)+ (3/8).(4/9) = 4/9 lần 1: lấy bi X hay bi T → có trường hợp xảy 135 136 34 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 5)CTXSĐĐ 5)CTXSĐĐ  HDVD2: Cây viết xấu do: PXI sx, PXII sx, PXIII sx → có trường hợp xảy → ta có nhóm gồm bc , xét xem chúng có đầy đủ xung khắc đôi?  *Đặt Ai= bc viết PXi sản xuất, i=1,3 F= bc mua phải viết xấu  A1,A2,A3 tạo thành nhóm bc đđ xktđ  *P(A1)= 0,5 P(A2)= 0,3 P(A3)= 0,2  *P(F/A1)= 0,01 P(F/A2)= 0,02 P(F/A3)= 0,03  P(F)= P(F/A1)P(A1)+ P(F/A2)P(A2)+ P(F/A3)P(A3)  = 0,017= 1,7% Vậy xác suất mua phải viết xấu 1,7%    Câu hỏi ngược:  Biết mua phải viết xấu, tính xs viết PXI sản suất?   Giaûi: P(A1/F)= P(FA1) / P(F)= P(F/A1)P(A1) / P(F) = 0,01*0,5 / 0,017 = 0,294 137 138 5)CTXSÑÑ 5)CTXSÑÑ  Ta thấy: Trước mua viết xs viết PXI sản xuất 0,5 (P(A1)= 0,5) , bc F xảy (mua phải viết xấu) khả viết PXI sản xuất giảm (P(A1/F)= 0,294)  * Trước thực thí nghiệm (mua viết, xem tốt hay xấu) ta tính trước : xs viết PXI sx P(A1)= 0,5 , gọi xác suất tiền/ tiên nghiệm Nhận xét: Thường ta dùng sơ đồ để biểu diễn trường hợp (bcsc) ctxsđđ sau: VD1 F Sau thực thí nghiệm , bc F xảy → ta có xs viết PXI sx P(A1/F)= 0,294 , gọi xác suất hậu nghiệm *  P(Ai/F) = ? Gọi công thức Bayes 139 VD2 A1 F A2 A1 A2 A3 140 35 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 6)CTBAYES   6)Công thức Bayes: Lấy lại giả thiết công thức xs đầy đủ  Tính xác suất bc Ai với điều kiện bc F xảy ra:  P(Ai/F)= P(FAi) / P(F)= P(F/Ai)P(Ai) / P(F)  Vd0: Có hộp phấn, hộp có 10 viên phấn Hộp thứ có viên phấn T Hộp thứ có viên phấn T Hộp thứ có viên phấn T  Lấy ngẫu nhiên hộp (trong hộp), từ hộp lấy ngẫu nhiên viên phấn xem màu   Lưu ý: Nên tính P(F) trước tính P(Ai/F)  1) Tính xs lấy viên phấn T? 2) Biết viên phấn lấy viên phấn T, tính xs viên phấn thuộc hộp thứ 2? 142 141 6)CTBAYES 6)CTBAYES   HD VD0: Vd1: thứ thứ → có trường hợp xảy Có hộp phấn loại I, hộp phấn loại II Hộp loại I có viên phấn T, viên phấn X; hộp loại II có viên phấn T, viên phấn X  1) F= bc lấy viên phấn T  Lấy ngẫu nhiên hộp (trong hộp), từ hộp Viên phấn lấy xem màu thuộc hộp thứ Hi= bc lấy hộp thứ i lấy ngẫu nhiên viên phấn xem màu P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2)+P(F/H3)P(H3) = (6/10)(1/3)+(8/10)(1/3)+(7/10)(1/3) = 21/30 = 0,7  2) P(H2/F)= P(H2.F) / P(F) = P(F/H2)P(H2) / P(F) = (8/10)(1/3) / (21/30) = 8/21 143  1) Tính xs lấy viên phấn T?  2) Tính xs viên phấn lấy thuộc hộp loại I, biết viên phấn T? 144 36 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 6)CTBAYES  MỞ RỘNG VD (TỰ GIẢI) HDVd1:  Có hộp loại I, hộp loại II hộp loại III  Hộp loại I có viên phấn T viên phấn X  Hộp loại II có viên phấn T viên phấn X  Hộp loại III có viên phân T viên phấn X  a) Chọn ngẫu nhiên hộp (trong 12 hộp) từ hộp lấy ngẫu nhiên viên phấn Tính xác suất lấy T X?  b) Biết lấy T X, tính xác suất ta lấy từ hộp loại II? 1) Viên phấn lấy xem màu thuộc: hộp loại I hộp loại II → có trường hợp xảy * F= bc lấy viên phấn T Hi= bc lấy hộp loại i, i=1,2 * P(F)= P(F/H1)P(H1)+P(F/H2)P(H2) = (8/10)(2/3)+ (9/10)(1/3) = 5/6 2) P(H1/F)= P(FH1) / P(F)= P(F/H1)P(H1) / P(F) = (8/10)(2/3) / (5/6) = 48/75 145 146 PHAÂN BIỆT CT XS CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CT BAYES PHÂN BIỆT CT XS CÓ ĐIỀU KIỆN VÀ CT BAYES  VD2: Có người thi cuối kỳ với xác suất thi đậu người 0,7 ; 0,6 ; 0,8  1) Tính xác suất có người thi đậu?  2) Tính xác suất có người thi đậu? VD3: Hộp có bi T bi X Hộp có bi T bi X Lấy NN từ hộp bi, lấy NN từ hộp bi  Giải:  1) Gọi Ai biến cố người thứ i thi đậu 1) Tính xác suất lấy bi T bi X bi lấy 2) Biết lấy 3T 1X, tính xs bi X lấy hộp  Giải:  F= bc có người thi đậu  Ai= bc lấy i bi T từ hộp 1, i=0,1,2  P(F)= P(A1A2*A3*+A1*A2A3*+A1*A2*A3)  Bi= bc lấy i bi T từ hộp 2, i=0,1,2  = P(A1)P(A2*)P(A3*)+P(A1*)P(A2)P(A3*)+P(A1*)P(A2*)P(A3)  2) K= bc có người thi đậu  F= bc lấy bi T vaø bi X  P(F)= P(A2B1+A1B2) = P(A2)P(B1)+P(A1)P(B2)  P(A1/F)= P(A1F) / P(F) = P(A1B2) / P(F)  3) Biết có người TĐ, tính xs người thứ nhất?  P(K)= P(A1A2A3*+A1A2*A3+A1*A2A3)  3) P(A1/F) = P(A1F) / P(F) = P(A1A2*A3*) / P(F) 147 148  Đây công thức Bayes, kỳ ta!!! 37 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 Bình loạn: Qua công thức xsđđ Bayes bạn có cảm thấy 7)NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM “vô thường” đời! Trong đời,  Một biến cố A có xác suất P(A) nhỏ thực phép thử ta xem không xảy Ta gọi A biến cố  Vậy P(A) nhỏ? Tùy theo thực tế, lần lên câu: “giá như…”! Thí dụ: “giá biết lấy chồng sung sướng lấy chồng sớm rồi”, “giá biết lấy vợ chịu đau khổ không lấy rồi”, “giá chăm học thêm tý thi tùy theo người mà P(A) xem nhỏ hay không đậu rồi”,… Giả sử trước lấy vợ bạn ước tính xác suất bạn bị đau khổ P(A)= 50%; sau bạn lấy vợ, người vợ người cho “hiện đại”, bạn tính  xác suất bạn bị đau khổ P(A/F)= 80% Lúc bạn mong ước F đừng xảy ra, bạn biết F xảy bạn thực “phép thử” lấy vợ Đây phép thử mà bạn thực lần “quá đủ”! Thí dụ: Nếu bạn yêu người mà người không yêu bạn, bạn có 1/10 hy vọng người yêu bạn Với hy vọng bạn chờ đợi đời (từ lúc tóc đen, da mịn lúc tóc bạc, da nhăn) Thậm chí trước chết bạn cần người nói câu yêu bạn bạn mãn nguyện xuống suối vàng rùi (Y phim!) Vậy 1/10 không nhỏ chút hết! 150 149 NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM (tiếp theo)  Thí dụ: Một người phụ nữ cắt móng tay móng chân cắt da tay da chân tiệm “làm đẹp” Dụng cụ cắt dùng chung cho nhiều người, không khử trùng quy trình y tế (hiển nhiên rùi!!!) Giả sử trình cắt mà bị chảy máu xác suất để người bị lây nhiễm HIV 1/10.000 Vậy xác suất nhỏ không nhỏ? NGUYÊN LÝ BIẾN CỐ HIẾM (tiếp theo)   Thí dụ: Nhà có giấy phép xây dựng tầng, tự ý xây thêm tầng khả bị sập 1/100  Đó lựa chọn sinh tử “sắc đẹp hư ảo phù Đối với người “cẩn thận” số dung” “sự sống mong manh”!!! Nếu bị HIV rùi có cần cắt móng để làm đẹp không???!!! không nhỏ, người “ẩu, liều” số “chẳng đinh” cả!  Thực tế tiệm tấp nập “các chim ẩn chờ chết” !!! Thí dụ: Xác suất người đua xe bị chết 1/100 Đối với “yêng hùng xa lộ” số chẳng nghóa lý cả! Nó có nghóa người bình thường mà 151  Trong xác suất thường người ta xem 1%, 5% nhỏ 152 38 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 MỘT SỐ LƯU Ý BÀI TẬP 1:    Ta có biến cố A, B ; C thỏa P(C)>0 “Nếu A, B độc lập → P([AB]/C) = P(A/C) P(B/C)”  Điều hay sai? 154 153      Giải: Xét Ω= {1,2,3,4} A= {1,2} B= {1,3}, C= {1,4} P(A)= 2/4 , P(B)= 2/4 , P(AB)= P({1})= ¼ Vậy: P(AB) = P(A).P(B) nên A, B độc lập      P(AB/C)= P(ABC) /P(C) = (1/4) / (2/4) = 1/2 P(A/C) = P(AC) / P(C)= (ẳ) / (2/4) = ẵ P(B/C) = P(BC) / P(C)= (ẳ) / (2/4) = ẵ P(A/C).P(B/C) = (½).(½) = 1/4 Vậy P(AB/C) ≠ P(A/C).P(B/C) Vậy điều kiện dấu “=“ xảy ra? Bài tập 2: A1, A2 họ biến cố đầy đủ xung khắc C biến cố bất kỳ, P(B)>0 Ta có công thức sau: P(C)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) P(C/B)= P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) 1) Theo bạn công thức đúng? 2) Hãy chứng minh công thức cách “đường đường, chính”, nghóa cho 155          biến cố hổng phải qua thí dụ cá biệt? 156 39 ThS Phạm Trí Cao * Chương             21-01-2019 Giaûi: 1) Ω= {1,2,3,4,5,6} A1= {1,2} , A2= {3,4,5,6}, B= {2,3,4}, C= {2} P(C)= 1/6 P(A1/B)= P(A1B) / P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3 P(A2/B)= P(A2B) / P(B)= (2/6) / (3/6)= 2/3 P(C/A1B)= P(CA1B) / P(A1B)= (1/6) / (1/6)= P(C/A2B)= P(CA2B) / P(A2B)= / (2/6)= Ta coù: P(A1/B)P(C/A1B)+P(A2/B)P(C/A2B) = (1/3)(1)+(2/3)(0)= 1/3 P(C/B)= P(CB)/P(B)= (1/6) / (3/6)= 1/3 2) Bạn tự chứng minh, tập thi vị! TÓM LẠI:  Ta có định nghóa xác suất biến cố theo cổ điển Các công thức tính xác suất: Công thức cộng Công thức xác suất có điều kiện Công thức nhân Công thức xác suất đầy đủ Công thức Bayes 158 157 BÀI TẬP  Tuy nhiên tập người ta không nỡ để dạng toán cách “cô đơn, buồn chán” Thường người ta “hợp hôn” nhiều công thức tính xác suất toán Điều đòi hỏi ta phải biết phân biệt nên dùng công thức nào, cách kết hợp công thức nào, … nữa!  Sự “hợp hôn” có “hoàn hảo” hay không ta có “khéo tay hay làm” không!  Bài tập 1:  Hộp có viên bi đỏ, viên bi trắng Lấy bi từ hộp  Tính xs lấy bi T cách lấy sau:  a) C1: Lấy ngẫu nhiên bi (lấy lần bi)  b) C2: Lấy bi (không hoàn lại)  c) C3: Lấy có hoàn lại bi 159 160 40 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 Nhận xét BT1 (Dành cho Cao thủ nội công thâm hậu): HDBT1:   A= bc lấy bi T a) P(A)= C(2,3) / C(2,7)= 3/21  Ta tính xác suất P(A) theo định nghóa cổ điển: Nếu lấy ngẫu nhiên bi: P(A)= |A|/|Ω| = 3/21  b) P(A)= P(T1.T2) = P(T2/T1)P(T1) = (3/7).(2/6)  Nếu lấy bi: P(A)= |A|/|Ω| = 6/42 = 3/21  Nếu lấy có hoàn lại bi: P(A)= |A|/|Ω| = 9/49  Với C1 C2 |Ω| khác xác suaát      = 6/42 = 3/21 c) Do chọn có hoàn lại nên lần chọn thứ ta có giả thiết y lần chọn (Hộp có bi , có bi đỏ, bi trắng) → T1 T2 độc lập P(A)= P(T1.T2) = P(T1).P(T2) = (3/7).(3/7)= 9/49 Nhận xét: câu a b có xác suất 161 BT1: TÍNH XS LẤY ĐƯC BI TRẮNG? Lấy n bi N bi BT:  Với A biến cố ngẫu nhiên bất kỳ, cmr P(A) theo C1 C2 162 ỨNG DỤNG NHẬN XÉT BÀI TẬP Cách Cách Sai số Lấy bi bi, 0.1428570.183673 -0.040816 bi có bi T Lấy bi 70 bi, 70 bi coù 30 bi T 0.1801240.183673 -0.003549 Laáy bi 700 bi, 700 bi có 300 bi T Lấy bi 7000 bi,   Hộp có bi T, bi X, bi V Lấy bi từ hộp Tính xác suất lấy bi T, bi X bi V  Đa ùp số: 8/33 0.1833230.183673 -0.000350 163 7000 bi coù 3000 bi T 0.1836380.183673 -0.000035 164 41 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 BT3: BT3: 1a) Tính xác suất sản phẩm qua máy PL bị nhận nhầm?  1b) Tính xác suất sản phẩm qua máy PL nhận đúng?  2a) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại A, tính xác suất loại A?  2b) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại A, tính xác suất loại B?  3a) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại B, tính xác suất loại B?   Máy tự động sản xuất sản phẩm có tỷ lệ sản phẩm loại A 85%, tỷ lệ sản phẩm loại B 15% Sản phẩm sản xuất qua máy phân loại (PL) tự động, máy PL nhận sản phẩm loại A với tỷ lệ 90%, nhận sản phẩm loại B với tỷ lệ 80% 165 tính xác suất loại A? 166 GIẢI:  GIẢI: A= biến cố sản phẩm sản xuất loại A B= biến cố sản phẩm sản xuất loại B  3b) Biết máy PL kết luận sản phẩm loại B,   2b) P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F)  1a) F= biến cố sản phẩm bị máy PL nhận nhầm  3a) F= bc sản phẩm máy PL kết luận loại B  P(F)=  P(F)= P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B)  P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) = (0,1)(0,85)+(0,2)(0,15)  = (0,1)(0,85)+(0,8)(0,15)  2a) F= bc saûn phẩm máy PL kết luận loại A  P(B/F)= P(F/B)P(B) / P(F)  P(F)=  3b) P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F)   P(F/A)P(A)+P(F/B)P(B) = (0,9)(0,85)+(0,2)(0,15) P(A/F)= P(F/A)P(A) / P(F) 167 168 42 ThS Phạm Trí Cao * Chương 21-01-2019 Mời ghé thăm trang web: 169 https://sites.google.com/a/ueh.edu.vn/phamtri cao/ https://sites.google.com/site/phamtricao/ 43