Bất đẳng thức
Bài 1.Choa, b, clà các số thực thỏa mãn(a+b)(b+c)(c+a)6= 0 Chứng minh rằng
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Bài 2.Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a 3 b 2 −bc+c 2 + b 3 c 2 −ca+a 2 + c 3 a 2 −ab+b 2 + 9
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Bài 3.Cho dãy số (F n )vớiF 0 = 0, F 1 = 1 vàF n+2 = F n+1 +F n với mọi số tự nhiênn. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn ta có rFn+3
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 4.Cho hai số thựcx, y bất kỳ thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất củaP =xy−x.
Bài 5.Cho ba số thựcx, y, z thỏa mãn điều kiện x 2 +y 2 +z 2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất củaP =x+y+z+xy+yz+zx.
Bài 6.Cho các số dươnga, b, cthỏa mãna 2 +b 2 +c 2 +abc= 4 Chứng minh a p(b+ 2)(c+ 2) + b p(c+ 2)(a+ 2) + c p(a+ 2)(b+ 2) ≥1.
Bài 7.Choa, b, clà các số thực dương thoả mãnab+bc+ca= 3abc Chứng minh rằng s a 2 +b 2 a+b + s b 2 +c 2 b+c + s c 2 +a 2 c+a + 3 ≤√
Bài 8.Cho các số thựca, b, cthỏa mãn a+b+c= 0 a 2 +b 2 +c 2 = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:T =a 2 b+b 2 c+c 2 a.
Bài 9.Tìm tất cả các số thựck sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thựca, b, c ab+bc+ca≤ (a+b+c) 2
Bài 10.Cho các số thựcx, y thỏa mãn điều kiện: x 2 +y 2 = 5, x−y−3≥0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 1 x + 1 y − 2
Bài 11 Cho bất phương trình x 2 − (a+b)x +ab ≤ 0, trong đó a > b > 0 Gọi x 1 , x 2 ,ã ã ã , x n là cỏc nghiệm của bất phương trỡnh trờn Chứng minh rằng
Bài 12 Biết rằngx, y, z là các số thực dương thoả mãnx 2 +y 2 +z 2 +xyz = 4 Chứng minh rằng x+y+z >√ x+√ y+√ z.
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Bài 13.Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a(b+c) b 2 +bc+c 2 + b(c+a) c 2 +ca+a 2 + c(a+b) a 2 +ab+b 2 ≥2.
Bài 14.Cho hàm sốf :R→Rthỏa mãn điều kiện f(tanx) = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcf sin 2 x ãf(cos 2 x) (x∈R).
Bài 15 Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiệna 2 +b 2 +c 2 ≤ 3 Chứng minh rằng
Bài 16.Cho các số thựca, b, c∈[0; 1]thỏa mãn a+b+c= 2 Chứng minh rằng
1 Giả sử phương trình x 4 +ax 3 + 2x 2 +bx+ 1 = 0có ít nhất một nghiệm thực với a, b∈R Chứng minh rằng a 2 +b 2 ≥8.
2 Cho 3 số thực dươnga, b, cthỏa mãnab+bc+ca= 2vàa 2 +b 2 +c 2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP c.
Bài 18.Xét các số thực dương thỏa mãna+b+c= 3.
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 Chứng minh số nguyênk nhỏ nhất sao cho abc+ k ab+bc+ca ≥1 + k
3 với mọia, b, cthỏa mãn điều kiện trên làk= 10.
Bài 19.Tìm số thực dươngk lớn nhất sao cho với mọia, b, clà các số thực dương thỏa mãn a 4 +b 4 +c 4
=k thì ta luôn cóa, b, clà độ dài ba cạnh của một tam giác không tù.
Bài 20.Choa, b, clà các số thực dương thỏa mãn điều kiệna 2 b 2 + b 2 c 2 +c 2 a 2 ≥a 2 b 2 c 2 Chứng minh rằng a 2 b 2 c 3 (a 2 +b 2 ) + b 2 c 2 a 3 (b 2 +c 2 ) + c 2 a 2 b 3 (c 2 +a 2 ) ≥
Bài 21.Chox, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiệnx 3 +y 2 +z = 2√
3 + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 1 x + 1 y 2 + 1 z 3
Bài 22.Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãnx+y+z = 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 23.Cho ba số thực dươnga, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 24.Cho các số thực dươnga, b, cthỏaa+b+c= 2017 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 25.Choa, b, clà các số thực dương thỏa mãn3bc+ 4ac+ 5ab≤6abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 26.Chon số thực dươnga 1 , a 2 , , a n (n ≥2) Gọia= min{a 1 , a 2 , , a n } Chứng minh a 1 a 2 +a 2 a 3 +ã ã ã+a n a 1 ≤n+ (a 1 −a) 2 + (a 2 −a) 2 +ã ã ã+ (a n −a) 2 a 2
Bài 27.Cho a, b, clà ba số thực dương thỏa mãna 2 +b 2 +c 2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài 28.Cho các số dươnga, b, cvàabc= 1 Chứng minh rằng
1 a(a+ 1) +ab(ab+ 1) + 1 b(b+ 1) +bc(bc+ 1) + 1 c(c+ 1) +ca(ca+ 1) ≥ 3
Bài 29.Giả sửa, b, clà các số thực không âm thỏa mãn điều kiệna+b+c= 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 30.Cho ba số thực dươnga, b, ccó tổng bằng 3 Chứng minh rằng a 2 2a+ 1 + b 2
Bài 31.Cho ba số thực dươngx, y, z thỏa mãnxyz = 1 Chứng minh
Bài 32.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
, trong đóx, y, z là các số thực dương.
Dãy số
Bài 1.Cho(a n )xác định bởi công thức sau: a 0 = 1, a 1 = 4 a n+1 = 2a n + 3an−1
Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của2017.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
Bài 2.Cho dãy số(a n )thoả mãn
(n∈N ∗ ). Đặt b n = a 0 a 1 a n a n+1 Chứng minh rằng(b n )có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
Bài 3 Cho dãy số (un) thoả un > 0, un > un+1 ∀n ∈ N ∗ và dãy (sn) hội tụ với sn Pn i=1u i
2 Đặtb n = 1 u n+1 − 1 u n Chứng minh rằng dãy(b n )không bị chặn.
(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)
Bài 4.Cho dãy số(u n )được xác định như sau:
Bài 5.Cho dãy số(u n )thoả mãn
1 Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương củanđểu n >1.
2 Chứng minh rằng(u n )có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.
Bài 6.Cho số nguyên dương n Gọix n là nghiệm dương duy nhất của đa thức f n (t) =t 3 + 3t 2 − 12 n 2
Chứng minh rằng dãy(yn)được xác định bởiyn=n(nxn−2)có giới hạn Tìm giới hạn đó.
Bài 7.Cho dãy số(xn)được xác định như sau:
1 Xác định công thức củax n
Bài 8.Cho dãy số(u n )thoả mãn
Xét tính đơn điệu, bị chặn và tìm giới hạn (nếu có) của dãy số đã cho.
Bài 9.Dãy số(x n )xác định bởi x1 =a >0 x n+1 =x n + x n n, n = 1,2,3,
1 Chứng minh rằngx n ≥nvới mọi n≥2.
2 Chứng minh rằng dãyx n n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 10.Cho số thựca và dãy số
Chứng minh dãy số(x n )có giới hạn hữu hạn khin→ ∞.
Bài 11.Cho dãy số(x n )thỏa mãn
Xác định công thức tổng quát củax n và tìmlimx n
Bài 12.Xét dãy số(x n )xác định bởi
Chứng minh dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n → ∞ và tìm giới hạn đó trong trường hợp:
Bài 13.Cho dãy số(x n )với
Chứng minh(x n )có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 14.Cho dãy số(u n )được xác định bởi
1 Vớia= 2017, chứng minh(x n )có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2 Chứng minh(x n )có giới hạn hữu hạn với mọia≥1và tìm giới hạn đó.
Đa thức
Với mỗi số nguyên n không thuộc tập hợp {-1, 0, 1}, ký hiệu p(n) đại diện cho ước nguyên tố lớn nhất của n Tập hợp F bao gồm tất cả các đa thức f(x) có hệ số nguyên, thỏa mãn điều kiện f(n + p(n)) = n + p(f(n)) cho mọi số nguyên n lớn hơn 2017, trong đó f(n) thuộc tập hợp {-1, 0, 1}.
1 Tìm tất cả đa thức bậc nhất thuộcF.
2 F có bao nhiêu phần tử?
(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)
Cho số nguyên dương n, xét đa thức P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + + a_1 x + a_0 với các hệ số là số thực Biết rằng P(0), P(1), , P(n) đều là số nguyên Cần chứng minh rằng với mọi số nguyên m, P(m) cũng là số nguyên.
Bài 3.Tìm tất cả các đa thứcP(x)thỏa mãn
Bài 4.Cho đa thứcf(x) = x 2 +px+q vớip, q ∈Z Chứng minh rằng, tồn tạik ∈Zsao chof(k) =f(2017)f(2018).
Bài 5.Tìm tất cả các đa thứcP(x)hệ số thực thoả mãn với mọi số thực x sao cho:
Bài 6.Cho hai đa thứcP(x) = x 5 + 5x 4 + 5x 3 + 5x 2 + 1vàQ(x) = x 5 + 5x 4 + 3x 3 −5x 2 −1. Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại số tự nhiên x(0 ≤ x < p) thỏa mãn cả
P(x)vàQ(x)đều chia hết chopvà tìm các sốxđó.
Bài 7.Cho đa thứcP(x)bậc4có hệ số nguyên vàP(x)chia hết cho7với mọi số nguyên x Chứng minh rằng các hệ số củaP(x)đều chia hết cho7.
Bài 8.Chonlà số nguyên lớn hơn 1 Tìm tất cả các đa thứcP(x)hệ số thực, khác hằng số và thoả mãn điều kiện:P(x)P(x 3 )P(x 5 ) P(x 2n−1 ) =P(x n 2 ),∀x∈R
Bài 9.Tìm tất cả đa thứcP(x)hệ số thực thoả mãn với mọi số thực x sao cho:
Bài 10.Cho các đa thức bậc ba
1 Chứng minh rằng mỗi đa thứcP(x)vàQ(x)đều có một nghiệm dương duy nhất.
2 Gọi các nghiệm dương của đa thức P(x) vàQ(x)lần lượt là p và q Chứng minh rằng: √ p−√ q= 1.
Bài 11.Tìm tất cả các đa thứcP(x)thỏa mãn điều kiệnP(x+ 1) =P(x) + 2x+ 1.
Bài 12 Tìm tất cả các đa thức P(x) (không đồng nhất 0) có hệ số thưc sao cho: (P(x)) n =P(x n ),∀x∈Rvànlà số nguyên dương lớn hơn1.
Bài 13.Cho dãy đa thức(Pn) +∞ n=0 được xác địnhP0(x) =xvà:
1 Chứng minhP n 0 (x) = −2(n+ 1)Pn−1(x)với mọi số nguyên dương n;
Bài 14.Chứng minh rằng không tồn tại các đa thức khác hằngP(x)vàQ(x)sao cho
P(x) Q(x) =√ x 2018 + 2017 với mọi số thựcxsao choQ(x)6= 0.
1 Chứng minh đa thức có dạngP(x) =P(x+ 1)là đa thức hắng số.
2 Hãy tìm tất cả các đa thứcP(x)thoả mãn đẳng thức sau: xP(x−1) = (x−2017)P(x).
Bài 16.Chof(x) = a 0 x n +a 1 x n−1 + +an−1x+a n là đa thức với hệ số thực cóa 0 6= 0 và thoả mãn đẳng thức: f(x).f(2x 2 ) =f(2x 3 +x),∀x∈R (1.1)
1 Chứng minh rằng đa thứcf(x)không có nghiệm thực.
2 Hãy chỉ ra một đa thức thoả mãn điều kiện bài toán.
Bài 17.ChoP(x), Q(x), R(x)là các đa thức khác hằng, có hệ số thực và thỏa mãn
1 Chứng minh rằng phương trìnhQ(x) = R(x−3)có ít nhất hai nghiệm thực phân biệt.
2 Giả sử rằng tổng bậc của P(x), Q(x), R(x) là 5 và hệ số cao nhất của R(x) là 1. Tìm GTNN của biểu thứcM =P 2 (0) + 8Q 2 (3).
Bài 18.Cho hàm số f(x) =x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d(a, b, c, d∈R) thoả mãn f(−1) = 100, f(−2) = 200, f(−3) = 300.
Tính giá trị biểu thức
Hình học
Bài 1.Cho4ABCnhọn nội tiếp đường tròn(O)và điểmDdi động trên cungBCkhông chứaA(D 6=A) Trên AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho M D =M B;N C N D.
1 Chứng minh rằng đường caoDH trong tam giácDM N luôn đi qua một điểm cố định.
Trong tam giác EM B và F N C, hai đường thẳng DM, DN cắt nhau theo thứ tự tại các điểm E và F (với E, F khác D) Chúng ta cần chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp của hai tam giác này sẽ cắt nhau tại điểm K nằm trên đường thẳng BC Hơn nữa, đường cao KI của tam giác KM N luôn đi qua một điểm cố định.
(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)
Trong tam giác nhọn không cân ABC, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp, trong khi I là tâm của đường tròn nội tiếp Các điểm E và F là hình chiếu vuông góc của I trên các cạnh AC và AB Đoạn thẳng BI cắt AC và EF tại các điểm U và V, trong khi CV cắt BO tại điểm W.
1 Chứng minh rằngB, C, U, W cùng nằm trên một đường tròn.
2 IE cắtBO tạiZ, IF cắt CO tạiT.S là giao điểm của các tiếp tuyến với (O)tại B vàC Chứng minh rằngIS ⊥ZT.
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
Trong tam giác nhọn ABC, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp Các đường cao BE và CF được vẽ từ các đỉnh B và C M và N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BF và CE S là điểm giao nhau của đường thẳng đi qua các điểm này.
M song song vớiBOvà đường thẳng quaN song song vớiCO.P, Qtheo thứ tự là giao điểm thứ hai củaAB, AC và đường tròn tâmS bán kínhSA Chứng minh rằng
2 Trung điểm củaBE, CF, M N, P Qthẳng hàng.
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 4.Cho tam giácABC nhọn nội tiếp(O)cóI là tâm đường tròn nội tiếp GọiH, D là hình chiếu của A, I trênBC Đường thẳngAI cắt (O)tạiE khác A DE cắt (O) tại
F khácE GọiBC, AF cắt nhau tạiK.
1 Chứng minh rằngF I ⊥F Avà4điểmA, I, K, H thuộc cùng một đường tròn.
2 Gọi EH cắt (O) tạiL khác E F Lcắt BC tại J Chứng minh rằng tiếp tuyến tại (O)của F đi qua trung điểm củaJ K.
Trong tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE và CF giao nhau tại điểm H Điểm I được xác định là hình chiếu của D lên cạnh EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác HAB và đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF cắt nhau tại hai điểm P và Q, trong đó P và C nằm cùng phía so với đường cao AD.
1 Chứng minh rằngDI là đường phân giác của gócBIC.[
2 Chứng minh rằngP H, DE cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giácABC.
Trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB Đường tròn có đường kính AH và đường tròn (O) giao nhau tại điểm T khác A Đường thẳng AT cắt cạnh BC tại điểm Q, trong khi NP cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại điểm R.
1 Chứng minh rằngQR vuông gócAH.
Đường thẳng đối xứng với HM qua phân giác trong góc BHC cắt đoạn thẳng BC tại I Gọi K là hình chiếu của A trên HJ Cần chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác MIK tiếp xúc với đường tròn O.
Cho R và S trên đường tròn (O), với RS không phải là đường kính Tại điểm T trên đường thẳng RS, S là trung điểm của RT J là điểm trên cung nhỏ RS Từ R, dựng tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác JST tại hai điểm, gọi A là điểm gần R Đoạn AJ cắt đường tròn (O) tại điểm K Cần chứng minh rằng KT là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác JST.
Trong tam giác ABC, với tâm ngoại tiếp O và tâm nội tiếp I, điểm D là hình chiếu của I lên cạnh BC, trong khi M là trung điểm của BC Điểm K được xác định là điểm đối xứng của M qua đường thẳng AI Từ đó, có thể khẳng định rằng KD vuông góc với OI.
Bài 9.Cho tam giácABC (các góc đều nhỏ hơn120 o ) nội tiếp đường tròn tâm (O), có
Điểm Fermat F là điểm mà tổng độ dài từ F đến ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC là nhỏ nhất Gọi X, Y, Z là giao điểm thứ hai của các đoạn thẳng AF, BF, CF với đường tròn (O) Cần chứng minh rằng đường thẳng OF đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm của hai tam giác ABC và XYZ.
Trong bài 10, chúng ta xem xét tam giác nhọn ABC với AB < AC, nội tiếp đường tròn O Đường cao AH được kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC, với P và Q lần lượt là chân đường cao trên các cạnh AB và AC Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại điểm M, trong khi đường thẳng MA cắt đường tròn O tại một điểm khác.
1 Chứng minh rằngAK.AM =AQ.AC.
2 Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP Chứng minh rằng ba điểm
Trong tam giác ABC, với AB = 6 và I là tâm đường tròn nội tiếp, đường thẳng BI cắt AC tại điểm D Từ D, đường thẳng vuông góc với AC cắt AI tại điểm E Điểm J là điểm đối xứng với I qua D.
2 Gọi I 0 là điểm đối xứng với I qua AC Chứng minh điểm I 0 thuộc đường tròn ngoại tiếp của tam giácBDE.
Trong bài 12, cho tam giác ABC, ta dựng hai tam giác cân ABP và ACQ bên ngoài tam giác ABC với điều kiện AB = AP, AC = AQ và góc BAP = góc CAQ = 30 độ Hai đường thẳng BQ và CP cắt nhau tại điểm R, và O được xác định là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCR.
1 Tính số đó góc\BOC.
2 Chứng minh rằng các đường thẳngOAvà đường thẳngP Qvuông góc với nhau.
Trong tam giác nhọn ABC, O là tâm của đường tròn ngoại tiếp và I là tâm của đường tròn nội tiếp Các điểm D, E, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh BC, CA và AB Hơn nữa, H, Z, T là hình chiếu của các điểm D, E, F lên các đoạn thẳng EF, FD và DE Điểm S được xác định là giao điểm của các đoạn thẳng EF và ZT.
1 Chứng minh rằngH là trực tâm tam giác ASI.
2 GọiM là giao điểm thứ hai củaAI và(O) Đường tròn tâmM đi quaE, F và cắt (O)tại X, Y Chứng minh rằng năm điểmS, X, Y, Z, T thẳng hàng.
Cho đường tròn (O) với dây cung BC không phải là đường kính, điểm A di động trên đường tròn sao cho tam giác ABC luôn nhọn Các đường cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại điểm H Phân giác ngoài của góc BHC cắt các cạnh AB và AC tại các điểm M và N Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt phân giác AD của tam giác ABC tại điểm I Cần chứng minh rằng đường thẳng HI luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 15.Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC)nội tiếp đường tròn (O) Hai đường cao
Trong hình học, hai đường thẳng BE và CF cắt nhau tại điểm H Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB, đường thẳng đi qua M và vuông góc với AC sẽ cắt AOt tại điểm I Tiếp theo, IH sẽ cắt CM tại điểm D, trong khi BD cắt AC tại điểm N và AD cắt BC tại điểm P.
1 Chứng minh rằng tứ giácBCN M nội tiếp.
2 Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giácM N P luôn đi qua một điểm cố định.
Phương trình và hệ phương trình
Bài 1.Giải hệ phương trình:
Bài 3 Giải hệ phương trình
Bài 4.Giải bất phương trình:
Bài 6.Giải hệ phương trình: x√ 3 −6x 2 + 13x=y 3 +y+ 10 2x+y+ 2−√
Bài 7.Giải hệ phương trình xp y 2 + 3y+ 4 +y√ x 2 −x+ 1 =x+y (x 2 −x)√ x−y+ 1 = 2x 2 −3x+y+ 3 (x, y ∈R).
1 Giải phương trình sau trên tập số thực:
2 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
Bài 9.Giải hệ phương trình:
Bài 10.Giải hệ phương trình:
Bài 11.Giải hệ phương trình:
Bài 12 Giải hệ phương trình:
Phương trình hàm
Bài 1.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn f((x−y)f(x)−f(y)) + (x+ 1)f(y−x) +x= 0 ∀x, y ∈R.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Bài 2.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(x)f(x+y) =f(2x+y)−xf(x+y) +x ∀x, y ∈R
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 3.Cho hàm số f :N ∗ →N ∗ thoả mãn điều kiện: i Với mọim, n∈N ∗ ta cóf(m) +f(n)> mn. ii Với mọim, n∈N ∗ thì f(m) +f(n)−mnlà một ước của mf(m) +nf(n).
Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dươngN sao cho với mọi số nguyên tốp > N thì f(p) = p 2 (N ∗ là tập hợp các số nguyên dương).
Bài 4.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn điều kiện xf(x+xy) =xf(x) +f(x 2 )f(y) ∀x, y ∈R
Bài 5.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn đồng thời các điều kiện i) f(1) >0; ii) f(xy−1) + 2f(x)f(y) = 3xy−1 ∀x, y ∈R.
Bài 6.Tìm tất cả các hàm sốf : [2; +∞)→[2; +∞)thỏa mãn x≤f(x)≤2x+ 2 xf(1 +x) = (f(x)) 2 −1 với mọix∈[2; +∞).
Bài 7.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn f(f(x−y)) = f(x)−f(y) +f(x)f(y)−xy với mọi số thựcx, y.
Bài 8.Với mỗi số thực t, gọig(t)là số tất cả các hàm f :R→Rthỏa mãn f(xy+f(y)) =f(x)y+t ∀x, y ∈R. Tìm hàm sốg(t).
Bài 9.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn: f(x) = max y∈ R
Bài 10 Tìm tất cả các hàm số y = f(x)xác định trên tập hợp (0,+∞)thỏa mãn điều kiện x+√
Bài 11.Xác định tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn: f(xf(y)−yf(x)) = f(xy)−xy, ∀x, y ∈R.
Bài 12.Cho số thựcakhác 0, khác -1 Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn điều kiện f(f(x) +ay) = (a 2 +a)x+f(f(y)−x) ∀x, y ∈R.
1 Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn: f x− 1 x
2 Cho ví dụ một hàm sốf :N→Nthỏa mãn
Bài 14.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn: f(x 2 ) = f(x+y)f(x−y) +y 2 ∀x, y ∈R.
Bài 15.Cho hàm sốf :R→Rthỏa mãn hệ thức f(f(x+y)) =f(x+y) +f(x)f(y)−xy với mọi số thựcx, y.
Bài 16.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn điều kiện: f x 2 +f(y)
1 Chứng minh rằngf(x)là hàm lẻ trênR.
2 Tìm tất cả các hàm sốf(x)thỏa mãn điều kiện trên.
Bài 17.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rliên tục trênRthỏa: f(x+y)f(x−y) = (f(x)f(y)) 2 ∀x, y ∈R.
Bài 18.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn f x 2 + 2yf(x)
Bài 19.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn f x 2 −(f(y)) 2
Bài 20.Cho hàm sốf :R→Rthỏa mãnf(0)6= 0 và f x+y 2 +z 3
Bài 21.Tìm tất cả các hàm sốf :R→Rthỏa mãn điều kiện: f(2x+ 2y+f(x)) =f(f(y)) + 8x ∀x, y ∈R
Bài 22.Tìm tất cả các hàm sốf :N→Nthỏa mãn điều kiện: f(f(n)) + 2f(n) = 3n+ 12 ∀n ∈N.
Bài 23.Cho hàm sốf :R→Rthỏa mãn 3 tính chất sau:
Bài 24.GọiR + là tập hợp các số thực dương Xét hàm sốf :R + →R + thỏa mãn: f(1 +xf(y)) =yf(x+y) ∀x, y >0
1 Tìm tất cả các hàm sốf(x)là đơn ánh thỏa mãn điều kiện trên
2 Nếu hàm sốf(x)thỏa mãn điều kiện trên thìf(x)có song ánh không?
Số học
Bài 1.Chonlà số nguyên dương.Giả sử phương trình 1
√7 y = 1 n cómcặp nghiệm nguyên dương(x, y)vàm−1là số chính phương Chứng minhn là số chính phương.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
Bài 2.Tìm tất cả các số nguyên dươngnthỏa mãn với mọi k nguyên dương, tồn tại m nguyên dương sao chon là ước củam 4 +m 3 +m 2 +k.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
Bài 3 Chop > 3là số nguyên tố, xlà số nguyên dương sao cho x 3 −1chia hết cho p vàx 2 −1không chia hết chop.
1 Chứng minh rằngp≡1 (mod 3)và(x+ 1) p ≡x p + 1 (mod p 2 ).
2 Giả sửa, blà các số nguyên dương sao cho
Chứng minh rằngp 2 |a Ở đây ta kí hiệuC n k = n! k!.(n−k)! với1≤k ≤n.
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 4.Ta gọi một bộ các số nguyên(b m , b m+1 , , b n ) làhoàn hảonếu các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1 Tồn tại một số nguyêna >1sao chob k =a k + 1với mỗi k=m, m+ 1, n;
2 Với mỗi k = m, m+ 1, , n, tồn tại một số nguyên tố q và một số nguyên không âmtsao chob k =q t
Để chứng minh rằng nếu n−m là đủ lớn thì không tồn tại các bộ số nguyên hoàn hảo, chúng ta cần phân tích các điều kiện và tính chất của các bộ số này Đồng thời, việc tìm kiếm tất cả các bộ số nguyên hoàn hảo sao cho n−m là lớn nhất cũng là một bài toán thú vị trong lý thuyết số.
Bài 5.Tìm tất cả các bộ số nguyên (a, b, c, d)sao cho a 2 + 35 = 5 b 6 c 7 d
Bài 6.Tìm tất cả các số nguyêna, bđểa.2 n +bcó giá trị chính phương với mọin ∈N ∗
Bài 7.Tìm các số nguyên dươnga, b, c, dthỏa mãn a c = b d đồng thờia 2018 +b 2018 +c 2018 + d 2018 là số nguyên tố.
Bài 8.Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương(a, b, c)sao choa 2 + 2 b+1 = 3 c
Bài 9.Chox, y vàz là các số hữu tỉ sao chox 2 +y 2 +z,y 2 +z 2 +xvàz 2 +z 2 +y đều là các số nguyên Chứng minh2xlà số nguyên.
Bài 10 trình bày khái niệm về số tự nhiên kiểun, trong đó k là số tự nhiên thỏa mãn k = 0 hoặc là một số hạng của dãy 1; n+2; (n+2)²; (n+2)³; hoặc là tổng của một số hạng trong dãy này Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của một số kiểu 1, một số kiểu 2 và một số kiểu 3.
Bài 11 Tìm tất cả các cặp số nguyên(a, b)sao cho với mọi số nguyên dương n ta đều cóa n +b n+1 chia hết chon.
Bài 12.Choa;b;clà ba số nguyên thỏa mãn a+b+c=a 2 (c−b) +b 2 (a−c) +c 2 (b−a).
Chứng minh rằnga+b+cchia hết cho27.
Bài 13 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) sao cho (a 2 +b)(b 2 +a) là một lũy thừa của2.
Bài 14.Chok là một số nguyên dương bất kì sao chok ≥ 2 Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dươngn ≥ 2, ta luôn chọn được các số nguyên a 1 , a 2 , , a n sao choa 1 =k, a 1 < a 2 < < a n và(a 4 1 +a 4 2 + +a 4 n ) (a 1 +a 2 + +a n )
Bài 15.Choalà số nguyên dương thỏa mãn(a,10) = 1 Tìm số nguyên lớn nhất không biểu diễn được dưới dạnga 2 x+ 10ay+ 100z trong đóx, y, z là các số tự nhiên
Bài 16.Cho a, blà hai số thực phân biệt thỏa mãna p −b p là số nguyên dương với mỗi số nguyên tốp Chứng minh rằnga vàblà các số nguyên.
Bài 17.Giải phương trình (a 2 , b 2 ) + (a, bc) + (b, ac) + (c, ab) = 2017trên tập số nguyên dương, với kí hiệu(a, b)là ước chung lớn nhất của hai sốavàb.
Bài 18 Cho alà số nguyên dương không chính phương Kí hiệu A là tập tất cả các số nguyên dươngkthỏa mãn k= x 2 −a x 2 −y 2 (1)vớix, y là các số nguyên vàx >√ a Kí hiệu
B là tập tất cả các số nguyên dươngk thỏa mãn (1)vớix, y là các số nguyên thỏa mãn
Bài 19 Cho số nguyên dương n và số nguyên tố lẻ p là ước của 3 2 n + 1 Chứng minh p−1chia hết cho2 n+1
Bài 20.Tìm tất cả các số nguyên tốpsao cho 3 p−1 −1 p là số chính phương.
Bài 21 Choa vàb là các số nguyên dương thỏa mãn các điều kiện: a |b 2 , b 3 |a 4 ,a 5 | b 6 ,b 7 |a 8 , Chứng minh rằnga =b.
Tổ hợp
Bài toán yêu cầu tìm tập con S của tập hợp {1, 2, , 2017} với điều kiện không có hai phần tử nào trong S chia hết cho nhau và không có hai phần tử nguyên tố cùng nhau Mục tiêu là xác định số lượng phần tử tối đa có thể có trong tập S.
(Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG Tp HCM)
Vào dịp Tết, học sinh trong lớp thường gọi điện chúc mừng nhau Mỗi học sinh chỉ gọi cho tối đa ba bạn, và giữa hai bạn bất kỳ, không có quá một người chúc mừng cho người còn lại Đặc biệt, trong ba bạn bất kỳ, luôn có hai người mà một trong số đó sẽ gọi điện chúc mừng cho người còn lại Nhiệm vụ là tìm giá trị lớn nhất có thể của số học sinh trong lớp.
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
Bài 3 đề cập đến một bảng hình vuông kích thước m×m, trong đó mỗi ô chứa một số nguyên không âm Giả sử rằng nếu một hàng và một cột bất kỳ giao nhau tại ô có giá trị 0, thì tổng các số trong hàng đó cộng với tổng các số trong cột đó không nhỏ hơn m Cần chứng minh rằng tổng tất cả các số trong bảng hình vuông này lớn hơn hoặc bằng m^2.
Cho S là tập hợp gồm 2017 số nguyên tố phân biệt và M là tập hợp gồm 2018 số tự nhiên phân biệt, trong đó mỗi số trong M không phải là số chính phương và chỉ có ước nguyên tố thuộc S Cần chứng minh rằng có thể chọn ra từ M một số số sao cho tích của chúng là một số chính phương.
Trong một trường có 32 học sinh tham gia 33 câu lạc bộ, mỗi câu lạc bộ chỉ có 3 học sinh và không có câu lạc bộ nào có cùng 3 học sinh Do đó, theo nguyên lý Dirichlet, sẽ có ít nhất 2 câu lạc bộ chia sẻ ít nhất 1 học sinh chung.
Trên bảng ô vuông 34×34, mỗi ô được điền dấu + hoặc − Khi thực hiện thao tác, bạn có thể chọn một hàng hoặc một cột để đổi dấu tất cả các ô trong đó Câu hỏi đặt ra là sau một số lần thao tác, có thể đạt được số dấu + là bao nhiêu.
Bài 6 yêu cầu tìm số cách phân phát thư cho 19 nhà trong một dãy phố, với điều kiện là không có hai nhà liền kề nào nhận thư trong cùng một ngày và không có hơn hai nhà liền kề nào không nhận thư cùng một ngày Cần xác định số cách phân phối thư sao cho tuân thủ các quy tắc này.
Trong lớp 10 chuyên toán của một trường trung học phổ thông, có n (n ≥ 6) học sinh, trong đó một số đã quen biết nhau trước khi vào trường Mỗi học sinh quen biết tối thiểu n - [n + 2/2] học sinh khác Đặc biệt, trong bất kỳ nhóm ba học sinh nào, ít nhất hai học sinh đã có mối quan hệ quen biết.
Có thể chia học sinh của lớp thành hai nhóm khác nhau sao cho bất kỳ hai học sinh trong cùng một nhóm đều đã quen biết nhau Điều này chứng minh rằng việc phân loại học sinh dựa trên mối quan hệ quen biết là khả thi, giúp tạo ra sự gắn kết và tương tác hiệu quả hơn trong lớp học.
Bài 8 chứng minh rằng với tập hợp P = {P1, P2, , P2017} gồm 2017 điểm phân biệt nằm trong hình tròn tâm P1 và bán kính 1, tổng bình phương khoảng cách nhỏ nhất từ mỗi điểm Pk đến một điểm khác trong P (không phải Pk) thỏa mãn x1^2 + x2^2 + + x2017^2 ≤ 9.
Lập mọi tập con khác rỗng củaX.
Đối với mỗi tập con, chúng ta tính tích của tất cả các phần tử trong tập con đó Nếu tập con chỉ có một phần tử, tích sẽ là chính phần tử đó Vậy tổng của tất cả các tích từ các tập con là bao nhiêu?
Bài 10 yêu cầu tìm số lượng xâu kí tự a1a2 an có độ dài n, với các kí tự a1, a2, , an thuộc tập hợp {1, 2, , 9} Điều kiện là số lần xuất hiện của số 0 trong xâu kí tự phải là số chẵn.
Lớp chuyên Toán có 35 học sinh và thầy giáo chủ nhiệm dự định tổ chức một chương trình trải nghiệm với bốn chuyến đi Mỗi học sinh phải tham gia ít nhất một chuyến đi, đồng thời mỗi chuyến đi thứ k (k ∈ {2; 3; 4}) cần có ít nhất một học sinh đã tham gia chuyến đi thứ k – 1.
Tính số cách để thầy giáo thực hiện chương trình trải nghiệm đó.
Bài 12 chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n ≥ 3, tồn tại hai tập hợp con của các số nguyên dương, mỗi tập hợp có n phần tử, thỏa mãn ba điều kiện: (i) Hai tập hợp không có phần tử chung, (ii) Tổng các phần tử trong hai tập hợp bằng nhau, và (iii) Tổng bình phương các phần tử trong hai tập hợp cũng bằng nhau.
Trong một thị trấn có 2017 người, mỗi người đều sở hữu một chiếc mũ Vào ngày đầu năm mới, tất cả mọi người tặng mũ của mình cho một người khác trong thị trấn mà không giữ lại mũ Cần chứng minh rằng có thể chọn ra một nhóm gồm 673 người sao cho bất kỳ hai người trong nhóm này đều không tặng mũ cho nhau.
Bất đẳng thức
Choa, b, clà các số thực thỏa mãn(a+b)(b+c)(c+a)6= 0 Chứng minh rằng
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Lời giải Chúng ta có đẳng thức sau:
(a 2 −b 2 )(a 2 −c 2 ) = (a+b) 2 (a+c) 2 −2a(a+b)(b+c)(c+a) Điều cần chứng minh tương đương với
(a+b+c)(a+b)(a+c) b+c (2.2) Đặtx=b+c, y =c+a, z =a+b Khi đó (2.2) tương đương với y 2 z 2 x 2 +z 2 x 2 y 2 + x 2 y 2 z 2 + 2(xy+yz+zx)≥(x+y+z) yz x + zx y + xy z
⇔ y 2 z 2 x 2 +z 2 x 2 y 2 +x 2 y 2 z 2 +xy+yz+zx≥ xy(x+y) z +yz(y+z) x +zx(z+x) y
≥x 3 y 3 (zx+yz) +y 3 z 3 (xy+zx) +z 3 x 3 (yz+xy) (2.3) Đặtxy =m, yz =n, zx =p Khi đó (2.3) tương đương với m 4 +n 4 +p 4 +mnp(m+n+p)≥m 3 (n+p) +n 3 (m+p) +p 3 (m+n) (2.4) Đặtα=m+n−p, β =m+p−n, γ =n+p−m thìm= α+β
2 Khi đó (2.4) tương đương với α 2 (β−γ) 2 +β 2 (γ−α) 2 +γ 2 (α−β) 2 ≥0
Từ đây ta được đpcm.
Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a 3 b 2 −bc+c 2 + b 3 c 2 −ca+a 2 + c 3 a 2 −ab+b 2 + 9
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG Hà Nội)
Lời giải ĐặtX = P cyc a(b 2 −bc+c 2 ) = (a+b+c)(ab+bc+ca)−6abc Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được a 3 b 2 −bc+c 2 + b 3 c 2 −ca+a 2 + c 3 a 2 −ab+b 2 + 9
(a+b+c) 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta được
(a 2 +b 2 +c 2 ) 2 ≥X(a+b+c) Thật vậy, BĐT này tương đương với a 4 +b 4 +c 4 +abc(a+b+c)≥ab(a 2 +b 2 ) +bc(b 2 +c 2 ) +ca(c 2 +a 2 ) Đây là BĐT Schur bậc 4 nên BĐT cần chứng minh là đúng.
Cho dãy số (Fn) với F0 = 0, F1 = 1 và Fn+2 = Fn+1 +Fn với mọi số tự nhiên n. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dươngn ta có rF n+3
(Trường THPT chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội)
F n+1 , sau đó áp dụng BĐT AM-GM ta được xy s
Mặt khác BĐT cần chứng minh viết lại thành
√3. Áp dụng BĐT AM-GM ta được
√3. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Cho hai số thựcx, y bất kỳ thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất củaP =xy−x.
Lời giải Xétf(t) = √ t 2 + 1−tvớit ∈ R, ta cóf 0 (t) = t−√ t 2 + 1
0 ∀t ∈ R, suy ra f(t) nghịch biến trên R Mà (1) ⇔ f(x 2 (1−y)) = f(y+ 1) nên ta đượcx 2 (1−y) =y+ 1 ⇔y−1 = −2 x 2 + 1 ⇒P = −2x x 2 + 1 = (x−1) 2 x 2 + 1 −1≥ −1 Dấu "=" xảy ra⇔x= 1vày= 0.
Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là -1.
Cho ba số thực x, y, zthỏa mãn điều kiệnx 2 +y 2 +z 2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất củaP =x+y+z+xy+yz+zx
Lời giải Đặt t = a +b +c thì từ giả thiết ta được P = t + t 2 −1
2 Mặt khác ta có 3(x 2 +y 2 +z 2 )−(x+y+z) 2 = (x−y) 2 + (y−z) 2 + (z−x) 2 ≥0nên suy rat 2 ≤3hay t∈
, khảo sát hàm số này trên −√
3và min t∈[ − √ 3; √ 3 ]f(t) =−1 khi và chỉ khit=−1.
Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là -1 và giá trị lớn nhất củaP là1 +√
Cho các số dươnga, b, cthỏa mãna 2 +b 2 +c 2 +abc= 4 Chứng minh a p(b+ 2)(c+ 2) + b p(c+ 2)(a+ 2) + c p(a+ 2)(b+ 2) ≥1
Lời giải Ta sẽ chứng minh a+b+c≥√ abc+ 2 (2.5)
Từ giả thiết ta thấy tồn tại các số thực dươngx, y, z sao cho a= 2√ yz p(x+y)(x+z), b = 2√ zx p(y+z)(x+y), c= 2√ xy p(z+x)(y+z). Khi đó BĐT (2.5) trở thành
2(x+y)(y+z)(z+x). Áp dụng BĐT Minkowski ta được
(x+y+z) 3 + 9xyz Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được
Cuối cùng ta sẽ chứng minh
⇔x 3 +y 3 +z 3 ≥3xyz, luôn đúng theo BĐT AM-GM Vậy ta có (2.5) đúng, mà BĐT này tương đương với a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca≥2(a+b+c)
Trở lại bài toán, áp dụng lần lượt các BĐT AM-GM và Cauchy Schwarz ta được
2(ab+bc+ca) + 2(a 2 +b 2 +c 2 +ab+bc+ca) = 2(a+b+c) 2
Choa, b, clà các số thực dương thoả mãnab+bc+ca= 3abc Chứng minh rằng s a 2 +b 2 a+b + s b 2 +c 2 b+c + s c 2 +a 2 c+a + 3 ≤√
Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
√a+b Thực hiện tương tự với các BĐT tương ứng còn lại rồi cộng theo vế, ta được s a 2 +b 2 a+b + s b 2 +c 2 b+c + s c 2 +a 2 c+a −√
Lại áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được
Cho các số thực a, b, cthỏa mãn a+b+c= 0 a 2 +b 2 +c 2 = 6 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:T =a 2 b+b 2 c+c 2 a.
Lời giải Từ giả thiết ta tính đượcab+bc+ca=−3vàa 2 b 2 +b 2 c 2 +c 2 a 2 = 9. Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
Chứng minh tương tự ta đượca, b, c∈[−2; 2] Suy ra
⇔a 2 b 2 c 2 ≤4 Đặtp=a+b+c, q +bc+ca, rcthì ta cóp= 3, q=−3vàr 2 ≤4. Đặt S = ab 2 +bc 2 +ca 2 Dễ dàng tính được S +T = −3r và ST = 9r 2 −27 nên S và T là 2 nghiệm của phương trình X 2 + 3rX + 9r 2 −27 = 0 Phương trình này có
2 Ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất của
2 trên đoạn[−2; 2] Xem đây là 1 hàm số theorvà khảo sát hàm số này trên đoạn[−2; 2], ta đượcT ≤6.
p= 0 q=−3 r=−1 Theo định lý Viete thìa, b, clà 3 nghiệm của phương trình x 3 −3x+ 1 = 0.Dùng lượng giác để giải phương trình này ta tìm được(a, b, c)
.Vậy giá trị lớn nhất củaT là 6.
Tìm tất cả các số thựck sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi số thựca, b, c: ab+bc+ca≤ (a+b+c) 2
Lời giải Do BĐT (2.6) đúng với mọi số thực a, b, c nên cũng đúng với c = 0 và a 2b6= 0 Khi đó BĐT (2.6) trở thành
2 Không mất tính tổng quát giả sửa ≥b ≥ c, suy ra max
(a−b) 2 , (b−c) 2 , (c−a) 2 (a−c) 2 Khi đó BĐT (2.6) trở thành ab+bc+ca≤ (a+b+c) 2
3 +k(a−c) 2 ≤a 2 +b 2 +c 2 Mặt khác ta có ab+bc+ca≤ (a+b+c) 2
2 là tất cả các số thựck cần tìm.
Cho các số thựcx, y thỏa mãn điều kiện: x 2 +y 2 = 5, x−y−3≥0
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 1 x + 1 y − 2
2 =−2. Đặtu=x+yvàv =xythì ta đượcu∈[−1; 1]vàv ∈(−∞;−2] Khi đó ta có
• P + 1 = (uư1)(6ưu) + (3ưu)(v+ 2) v(5ưu) ≥0 ∀u∈[ư1; 1], v ∈(ư∞;ư2]. Dấu "=" xảy ra⇔x=−1, y = 2.
Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là -1 và giá trị lớn nhất củaP là 1
Cho bất phương trình x 2 −(a+b)x+ab≤0, (2.7) trong đú a > b > 0 Gọi x1, x2,ã ã ã , xn là cỏc nghiệm của bất phương trỡnh (2.7). Chứng minh rằng
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương
. Áp dụng BĐT AM-GM ta được x 2 1 +x 2 2 + .+x 2 n
Từ đây ta được đpcm.
Biết rằngx, y, zlà các số thực dương thoả mãnx 2 +y 2 +z 2 +xyz = 4 Chứng minh rằng x+y+z >√ x+√ y+√ z.
Dấu "=" xảy ra khi nào?
Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được√ x+√ y≤p
2(x+y). Đặtu=x+y, v =z Ta sẽ chứng minhu+v ≥√
2u+√ v Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử(x−1)(y−1)≥0⇔xy+ 1 ≥x+y.
Từ giả thiết ta đượcx, y, z ∈(0,2)và x 2 +y 2 +z 2 +xyz = 4
⇒u 2 +uv+v 2 ≥2u+v+ 2 ⇒(u+v) 2 ≥2u+v +uv+ 2 Áp dụng BĐT AM-GM ta được uv+ 2 ≥2√
Từ đây ta được đpcm.
Choa, b, clà các số thực dương Chứng minh rằng a(b+c) b 2 +bc+c 2 + b(c+a) c 2 +ca+a 2 + c(a+b) a 2 +ab+b 2 ≥2.
Lời giải Ta sẽ sử dụng các đẳng thức sau trong lời giải
X cyc a(b 2 +bc+c 2 ) = (a+b+c)(ab+bc+ca)
⇔X cyc a 2 (b 2 +bc+c 2 ) +a 2 (ab+bc+ca) b 2 +bc+c 2 ≥2 X cyc a 2
⇔X cyc a 2 b 2 +bc+c 2 ≥ a 2 +b 2 +c 2 ab+bc+ca
(ab+bc+ca)(a+b+c) Mặt khác, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được
Từ đó ta được đpcm.
Cho hàm sốf :R→Rthỏa mãn điều kiện f(tanx) = 1
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thứcf sin 2 x ãf(cos 2 x) (x∈R).
Lời giải Lời giải dưới đây là của hai tác giả Võ Quốc Bá Cẩn và Nguyễn Lê Phước. Đặtt = tanxthì ta có f(t) = 1
=Rnên từ trên, ta suy ra f(x) = x 2 +x−1 x 2 + 1 , ∀x∈R.
GọiP là biểu thức đã cho Đặta= sin 2 x, b = cos 2 xthì ta cóa, b≥0, a+b= 1và
4.Khảo sát hàm số g(u) = u 2 + 4u−1 u 2 −2u+ 2 trên đoạn
Từ đây, ta đi đến kết luận:
Nhận xét Có lẽ, bài toán này là một ”sự tương tự hóa” từ hai bài thi học sinh giỏi Quốc gia sau:
Hàm số f: R→R thỏa mãn điều kiện f(cotx) = sin 2x + cos 2x với mọi x thuộc khoảng (0, π) Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(sin 2x) + f(cos 2x trên R.
Cho hàm số f: R→R thỏa mãn điều kiện f(cotx) = sin 2x + cos 2x với mọi x thuộc khoảng (0, π) Nhiệm vụ là tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số g(x) = f(x) + f(1−x) trên đoạn [-1, 1].
Cho các số thực không âma, b, cthỏa mãn điều kiệna 2 +b 2 +c 2 ≤3 Chứng minh rằng
Lời giải Không mất tính tổng quát giả sửa= max{a, b, c} Ta sẽ chứng minh
Thật vậy BĐT này tương đương với a+ b
(a−c) 2 ≥0, luôn đúng với mọia, b, ckhông âm vàa= max{a, b, c}.
Mặt khác ta có (2.8) tương đương với
Mà áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta sẽ đượca+b+c≤p
3 (a 2 +b 2 +c 2 )≤ 3 Từ đây ta được đpcm.
Cho các số thựca, b, c∈[0; 1]thỏa mãna+b+c= 2 Chứng minh rằng
⇔(a+b)(a−b) 2 + (b+c)(b−c) 2 + (c+a)(c−a) 2 ≥0 (BĐT luôn đúng với mọia, b, cthỏa mãn điều kiện đề bài).
Không mất tính tổng quát giả sửc≥b ≥a, khi đó ta đượcc≥ 2
3(a 2 +b 2 +c 2 )−3abc−(a 3 +b 3 +c 3 ) Khi đó ta có f(a, b, c)−f a+b
Từ đây ta được điều phải chứng minh.
1 Giả sử phương trình x 4 +ax 3 + 2x 2 +bx+ 1 = 0 (2.9) có ít nhất một nghiệm thực vớia, b∈R Chứng minh rằnga 2 +b 2 ≥8.
2 Cho 3 số thực dươnga, b, cthỏa mãnab+bc+ca= 2vàa 2 +b 2 +c 2 = 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP c.
1 Gọixlà một nghiệm của phương trình (2.9), rõ ràngx6= 0 nên từ (2.9) ta được x 2 +ax+ 2 + b x + 1 x 2 = 0
. Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được ax+ b x
Áp dụng BĐT AM-GM ta được x+ 1 x
Từ đây ta được điều phải chứng minh.
2 Từ giả thiết ta tính đượca+b+c= 2√
2 Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
Chứng minh tương tự ta đượca, b, c∈
27 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi trong 3 số a, b, ccó 2 số bằng
Vậy giá trị lớn nhất củaP là 8√
Xét các số thực dương thỏa mãna+b+c= 3.
1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 Chứng minh số nguyênk nhỏ nhất sao cho abc+ k ab+bc+ca ≥1 + k
3 (2.10) với mọia, b, cthỏa mãn điều kiện trên làk = 10.
1 Đặt f(a, b, c) = abc+ 12 ab+bc+ca −5 Ta sẽ chứng minhf(a, b, c) ≥ 0 Thật vậy, ta có f(a, b, c)−f a+b
Không mất tính tổng quát giả sử a ≥ b ≥ c, khi đó 0 < c ≤ 1 nên c
4 Mặt khác, áp dụng lần lượt các BĐT Cauchy Schwarz và AM-GM ta được (ab+bc+ca)(a+b)(a+b+ 4c)≤3(a+b)(a+b+ 4c)≤ 1
2 thì ta được2t+c= 3vàf(t, t, c) =t 2 c+ 12 t 2 + 2tc−5 =c
4(c+ 1)(3−c) , áp dụng BĐT AM-GM ta được c(1−c)(5−c) = 1
0 Vậy ta được f(a, b, c) ≥ 0 hay abc + 12 ab+bc+ca ≥ 5 Dấu "=" xảy ra khi a=b=c= 1 Vậy giá trị nhỏ nhất củaPlà 5.
2 Do BĐT (2.10) đúng với mọi a, b, c nên cũng đúng vớia = b =x, c = 3−2xvới mọix∈
Khi đó BĐT (2.7) trở thành x 2 (3−2x) + k x 2 + 2x(3−2x) ≥1 + k
Khi đó ta đượck ≥max x∈D f(x).
Khảo sát hàm sốf(x)ta tìm đượcmax x∈D f(x) = 27 + 7√
6 Ta sẽ chứng minh BĐT (2.10) vớik = 27 + 7√
Khi đó (2.10) tương đương với r−1 + k(3−q)
Từ đây ta được đpcm Dok= 27 + 7√
6 ≈9,85nênk= 10chính là là số nguyên nhỏ nhất thoả bài toán.
Tìm số thực dươngklớn nhất sao cho với mọia, b, clà các số thực dương thỏa mãn a 4 +b 4 +c 4
=k (2.12) thì ta luôn cóa, b, clà độ dài ba cạnh của một tam giác không tù.
Lời giải Đặtx=a 2 , y =b 2 +c 2 Trong (2.12) chob=cta được k x 2 + y 2 2
⇔ 16x 2 y 2 +y 2 x 2 = 2k−10 Đặtt= x 2 y 2 , cố địnhk, xét hàm sốf(t) = 16t+1 t−(2k−10) Ta có lim t→+∞f(t) = +∞nên tồn tại h đủ lớn sao chof(h) >0, nếu k > 27
Từ bất đẳng thức f(h)f(1) = f(h)(27−2k) < 0, có thể suy ra rằng tồn tại t₀ ∈ (1; h) sao cho f(t₀) = 0, tức là tồn tại bộ ba số a, b, c thỏa mãn (2.12) và a² > b² + c² Tuy nhiên, theo định lý cosine, bộ ba số này không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác không tù Do đó, ta có k ≤ 27.
2 Tiếp theo ta sẽ chứng minh với mọia, b, c dương thỏa(a 4 +b 4 +c 4 )
Trong một tam giác không tù, với độ dài ba cạnh là a, b, c, ta có thể đặt x = a², y = b² + c² Giả sử a là cạnh lớn nhất, theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có a⁴ + b⁴ + c⁴ ≥ a⁴ + (b² + c²)².
Mặt khác doa= max{a, b, c}nêna+b > cvàa+c > b Từ đây ta được đpcm.
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a 2 b 2 + b 2 c 2 +c 2 a 2 ≥ a 2 b 2 c 2
Lời giải Thực hiện phép đổi biến (a, b, c) →
1 x,1 y,1 z thì ta có x 2 +y 2 +z 2 ≥ 1 và BĐT cần chứng minh trở thành z 3 x 2 +y 2 + y 3 z 2 +x 2 + z 3 x 2 +y 2 ≥
2 Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được x 3 y 2 +z 2 + y 3 z 2 +x 2 + z 3 x 2 +y 2 ≥ (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 x(y 2 +z 2 ) +y(z 2 +x 2 ) +z(x 2 +y 2 ). Áp dụng BĐT AM-GM ta được x y 2 +z 2
Chứng minh tương tự ta đượcy(z 2 +x 2 )≤ 2√
Chox, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiệnx 3 +y 2 +z = 2√
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = 1 x + 1 y 2 + 1 z 3
Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta được x 3
Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là 9 + 4√
Cho ba số thực dươngx, y, zthỏa mãnx+y+z = 9 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải Ta có x 3 x 2 +xy+y 2 − 2x−y
Chứng minh tương tự ta được y 3 y 2 +yz+z 2 ≥ 2y−z
Vậy giá trị nhỏ nhất củaS là 3.
Cho ba số thực dươnga, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Lời giải Áp dụng BĐT AM-GM ta được a+√ ab+√ 3 abc≤a+ a+ 4b
Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là −3
Cho các số thực dương a, b, cthỏa a+b+c = 2017 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải Từ giả thiết suy raa, b, c∈(0; 2017) Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
505 Dấu "=" xảy ra⇔ a=b = 504 c= 1009 Vậy giá trị nhỏ nhất củaM là 3026
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 3bc+ 4ac+ 5ab ≤ 6abc Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Lời giải Từ giả thiết ta có 3 a +4 b +5 c ≤6 Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
≥ 4 a+b + 8 c+a + 12 b+c. Thực hiện phép đổi biến(x, y, z) →
Ta sẽ chứng minh (x+ 3y+ 2z) 2 ≥ 12(xy+ 2yz) Thật vậy, BĐT này tương đương với (x−3y+ 2z) 2 ≥0, luôn đúng.
Vậy giá trị lớn nhất củaP là 3
Cho n số thực dương a 1 , a 2 , , a n (n ≥ 2) Gọi a = min{a 1 , a 2 , , a n } Chứng minh a 1 a 2 +a 2 a 3 +ã ã ã+a n a 1 ≤n+ (a 1 −a) 2 + (a 2 −a) 2 +ã ã ã+ (a n −a) 2 a 2
Doa = min{a1, a2, , an}nên S ≥0và S 0 ≥0 Mặt khác BĐT cần chứng minh tương đương
Choa, b, clà ba số thực dương thỏa mãna 2 +b 2 +c 2 = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Lời giải Áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
P ≥ s 3 ab c bc a + bc a.ca b +ca b ab c
3 Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là √
Cho các số dươnga, b, cvàabc= 1 Chứng minh rằng
1 a(a+ 1) +ab(ab+ 1) + 1 b(b+ 1) +bc(bc+ 1) + 1 c(c+ 1) +ca(ca+ 1) ≥ 3
Lời giải Thực hiện phép đổi biến(a, b, c)→ y x,z y,x z
Khi đó BĐT cần chứng minh sẽ trở thành x 2 y 2 +z 2 +xy+zx + y 2 z 2 +x 2 +yz+xy + z 2 x 2 +y 2 +zx+yz ≥ 3
4 Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được x 2 y 2 +z 2 +xy+zx+ y 2 z 2 +x 2 +yz+xy + z 2 x 2 +y 2 +zx+yz
⇔(x−y) 2 (2x 2 + 2y 2 +xy) + (y−z) 2 (2y 2 + 2z 2 +yz) + (z−x) 2 (2z 2 + 2x 2 +zx)≥0 (luôn đúng với mọix, y, z >0).
Giả sửa, b, c là các số thực không âm thỏa mãn điều kiệna+b+c= 3 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chứng minh tương tự ta được√ b 2 +b+ 4 ≥
Dấu "=" xảy ra⇔a =b =c= 1 Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là3√
3a+ 2 Chứng minh tương tự ta được √ b 2 +b+ 4 ≤ 2
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi có tronga, b, ccó hai số bằng 0, một số bằng 3 Vậy giá trị lớn nhất củaP là 8.
Cho ba số thực dươnga, b, ccó tổng bằng 3 Chứng minh rằng a 2 2a+ 1 + b 2
Lời giải BĐT cần chứng minh tương đương a 2a+ 1 + b
√a 2 +b 2 +c 2 + 6 ≥3. Đặtt =a 2 +b 2 +c 2 , sau đó áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được a
√t+ 6 Áp dụng BĐT AM-GM ta được
9t 2 (2t+ 3)(t+ 6) Sau đó, rất dễ thấyt≥3, suy ra9t 2 ≥(2t+ 3)(t+ 6) Từ đó ta được đpcm
Cho ba số thực dươngx, y, z thỏa mãnxyz = 1 Chứng minh
Lời giải Ta sẽ chứng minh BĐT sau x 3 x 3 + 2 + y 3 y 3 + 2 + z 3 z 3 + 2 ≥ 1 Thật vậy, áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta được x 3 x 3 + 2 + y 3 y 3 + 2 + z 3 z 3 + 2 ≥ (x 2 +y 2 +z 2 ) 2 x 4 +y 4 +z 4 + 2(x+y+z)
Mặt khác, cũng áp dụng BĐT Cauchy Schwarz ta được
9 x 3 + 2y 3 + 6 = 9 x 3 + 2 +y 3 + 2 +y 3 + 2 ≤ 1 x 3 + 2 + 2 y 3 + 2 Thực hiện tượng tự với các BĐT tương ứng còn lại rồi cộng theo vế, ta được
Bây giờ, áp dụng BĐT Holder, ta được
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
, trong đóx, y, z là các số thực dương.
Lời giải Từ giả thiết ta được
3z+ 7 x + 3 y 2 + 9 z 3 Áp dụng BĐT AM-GM ta được
Từ đó ta đượcP ≥ 3 Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 3 Vậy giá trị nhỏ nhất củaP là3.
Dãy số
Cho(an)xác định bởi công thức sau: a0 = 1, a1 = 4 a n+1 = 2a n + 3an−1 (n∈N ∗ ).
Chứng minh rằng trong dãy số trên không có số nào là bội của2017.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
Lời giải Phương trình đặc trưng của dãy số
Do đó ta tìm được công thức tổng quát của dãy số là a n = 5
Do đó ta thu được dãy chẵn và dãy lẽ như sau
Tức là ta cần chứng minh:
Ta sẽ đi chứng minh
Theo luật tương hỗ Gauss thì
Mà269không có dạng8k+ 1,8k−1nên2không là số chính phương mod269nên
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Bài toán này thuộc loại dãy số số học, yêu cầu người giải phải linh hoạt áp dụng các tính chất của dãy số Biến đổi số học đóng vai trò quan trọng trong việc giải quyết những bài toán tương tự Dưới đây là một số bài toán liên quan.
1 Cho dãy số (u n )vớiu n = 2 n + 2 Chứng minh rằng có vô số số hạng của dãy đã cho có tính chấtuk k.
2 Dãy số(u n )được xác định như sau
Chứng minh rằng với mọi cách chọn số nguyên a, b thì dãy trên hoặc không có số nào chia hết cho2017, hoặc có vô số số chia hết cho2017.
3 (Việt Nam TST 2012) Cho dãy(x n )thỏa
Cho dãy số(a n )thoả mãn
(n∈N ∗ ). Đặt b n = a 0 a 1 a n a n+1 Chứng minh rằng(bn)có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
(Trường THPT chuyên Khoa học Tự nhiên, ĐH KHTN, ĐHQG HN)
Hướng dẫn Dễ chứng minha n 6= 0,∀n ∈N Khi đó ta đặtx n = 1 a n và dãy truy hồi của x n được xác định như sau:
(x 0 = 3 x n+1 =x 2 n −2 Gọiαlà nghiệm lớn hơn1của phương trình α+ 1 α = 3.
Khi đó, ta chứng minh bằng quy nạp được xn =α 2 n + 1 α 2 n Mặt khác b n = x n+1 x 0 x 1 x n α 2 n+1 + 1 α 2 n+1 α+ 1 α α 2 + 1 α 2
Nhân cả tử và mẫu choα− 1 α và rút gọn mẫu, ta được b n α− 1 α α 2 n+1 + 1 α 2 n+1 α 2 n+1 − 1 α 2 n+1
Doα >1nên khi chon →+∞ta được limbn =α− 1 α = 5.
Cho dãy số(u n )thoảu n >0, u n > u n+1 ∀n∈N ∗ và dãy(s n )hội tụ vớis n =Pn i=1u i
2 Đặtb n = 1 u n+1 − 1 u n Chứng minh rằng dãy(b n )không bị chặn.
(Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp HCM)
Lời giải Lời giải dưới đây được lấy từ trang Star Education (https://www.facebook. com/NangKhieuToan/).
1 Lấy bất kỳ Dãy (s n ) hội tụ nên theo tính chất của dãy Cauchy, với
2 > 0 luôn tồn tạiN >0sao cho
Cố địnhm =N + 1 Do dãy giảm nên suy ra
Lại do dãy (s n ) hội tụ nên tiếp tục áp dụng (*) cho n = m+ 1, ta chứng minh được(u n )→0 Khi đó với
Từ (1) và (2) suy ra∀n >maxN, N 0 thìnu n < Vậy ta có đpcm.
2 Giả sử(b n )bị chặn bởic Ta có:
Suy ra 1 nu n ≤c+ 1, khin đủ lớn thoả mãn 1 nu 0 0đểbn < M với mọin Khi đó ta có
Ta thấy rằng với n đủ lớn, giả sử rằng n ≥ N 0 thì (n −1)M > 1 u 1 nên khi đó u n > 1
2(n−1)M Khi đó, tổng sn =a1+a2+ã ã ã+an> 1
1 k−1 cũng thế Điều này cho thấy sn →+∞, mâu thuẫn Vậy dãy(bn)không bị chặn.
Cho dãy số(u n )được xác định như sau:
Nhận xét về bài toán tìm công thức tổng quát của dãy và tính giới hạn của các hàm số liên quan Dưới đây là một số bài toán tương tự để tham khảo.
1 Cho dãy số (u n )xác định bởi
2 Cho dãy số (x n )như sau
3 Cho dãy số (x n )như sau:
Cho dãy số(u n )thoả mãn
1 Chứng minh rằng tồn tại vô số giá trị nguyên dương củanđểu n >1.
2 Chứng minh rằng(u n )có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn đó.
Lời giải Dễ chứng minh được u n >0, khi đó u n+2 = 1 + 1 u n u n+1 >1
Thực hiện tương tự, ta tiếp tục có u n+2 >1 + 1
Do đó, cứ làm tương tự thìu n sẽ bị kẹp giữa dãy chẵn và lẻ của(x n ):
Ta đi chứng minh(x n )có giới hạn hữu hạn Thật vậy, ta có
Xét hàm số f(x) = 1 + 1/x^2, với đạo hàm f'(x) = -2/x^3 < 0, cho thấy dãy lẻ là dãy tăng và bị chặn trên, do đó tồn tại giới hạn hữu hạn A Tương tự, dãy chẵn là dãy giảm và bị chặn dưới, dẫn đến sự tồn tại giới hạn hữu hạn B.
Ta đi chứng minhA=B Thật vậy, ta có mối liên hệ giữa A và B là
Trừ theo vế ta có
2, khi đó2A >4vô lí Do đóA=B, vậylimxn là nghiệm của phương trình
So sánh dãy số chẵn và lẻ để xác định giới hạn kẹp là một phương pháp đơn giản trong việc tìm giới hạn Kỹ thuật này tương tự như việc sử dụng dãy con trong toán học Dưới đây là một số bài toán tương tự để tham khảo.
1 Cho dãy số (xn)được xác định bởi công thức
Chứng minh dãyx n hội tụ và tínhlimx n
2 Cho dãy số (x n )được xác định bởi công thức
Chứng minh dãy(x n )hội tụ và tínhlimx n
3 Cho dãy số (x n )như sau:
Hãy tìm 1 số thực nằm bên trái dãy con {x 1 ;x 3 ;x 5 ; } và nằm bên phải dãy con
Cho số nguyên dương n Gọix n là nghiệm dương duy nhất của đa thức f n (t) =t 3 + 3t 2 − 12 n 2
Chứng minh rằng dãy(yn)được xác định bởiyn=n(nxn−2)có giới hạn Tìm giới hạn đó.
Lời giải Ta cóf n 0 (t) = 3t 2 + 6t >0 Do đó phương trình có nhiều nhất 1 nghiệm dương với mỗin Mặt khác f n (0) = −12 n 2 0nên phương trình có nghiệm duy nhất thuộc(0; 2).
Tiếp theo ta đi chứng minhlimnx n = 2 Thật vậy ,ta có fn
Nhận xét Đây là dạng toán dãy số sinh bởi phương trình, với dạng bài này ta thường có một số bước làm sau đây:
• Khảo sát tính đơn điệu của phương trình đã cho trên khoảng xác định nào đó
• Tìm sự tăng giảm của nghiệm phương trình.
• Xác định giới hạn của nghiệm bằng cách kẹp hay là dùng định lý Lagrange.
Sau đây là một số bài toán tương tự.
1 Với mỗi số nguyên dương n, xét hàm số f n (x) trên R được xác định bởi f n (x) x 2n +x 2n−1 + +x 2 +x+ 1.
(a) Chứng minh rằng hàm số f n (x)đạt giá trị nhỏ nhất tại1điểm duy nhất.
(b) Gọi giá trị nhỏ nhất của hàm sốf n là s n Chứng minh dãy số s n có giới hạn hữu hạn.
2 Kí hiệux n là nghiệm dương duy nhất của phương trình x n +xn−1+ +x=n+ 2.
Chứng minh rằng dãyx n hội tụ đến một số dương và tìm giới hạn đó.
3 Chonlà một số nguyên dương lớn hơn1 Chứng minh rằng phương trìnhx n =x+ 1 có một nghiệm dương duy nhất, kí hiệu làx n Chứng minh rằng limx n = 1và tính limn(x n −1).
Cho dãy số(x n )được xác định như sau:
1 Xác định công thức củax n
1 Ta chứng minh công thức x n = (−1) n (2017) n −1
Cho dãy số(u n )thoả mãn
Xét tính đơn điệu, bị chặn và tìm giới hạn (nếu có) của dãy số đã cho.
Lời giải Dễ chứng minh u n > 0,∀n ≥ 2 Xét f(x) = 1 4 ( 1 4) un trên (0; +∞), ta có f 0 (x) = 1 u n 1 4 u n (ln 1 4 ) 2 >0.
Ta đi chứng minh quy nạpu n ≤1 Thật vậy, ta có
2 Giả sử đúng tớin, ta chứng minh đúng vớin+ 1 Để ý rằng un≤1⇔f(un)≤f(1) ⇔un+1 ≤√
2 Vậy ta có điều phải chứng minh.
Mặt khác ta có u 2 > u 1 nên dãy tăng và bị chặn trên bởi 1 nên tồn tại giới hạn Đặt limu n =L Chuyển sang giới hạn, ta được L= 1
Dãy số(x n )xác định bởi x 1 =a >0 xn+1 =xn+ x n n, n = 1,2,3,
1 Chứng minh rằngx n ≥nvới mọi n≥2.
2 Chứng minh rằng dãy x n n có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
1 Ta sẽ chứng minh x n ≥n∀n ≥2bằng quy nạp.
• Giả sử điều cần chứng minh đúng vớin=k ≥2, tức là x k ≥2 Ta cần chứng minh điều đó cũng đúng vớin =k+ 1, tức là xk+1 =xk+ k x k ≥k+ 1.
Nhưng bất đẳng thức trên đúng vì nó tương đương với x 2 k −(k+ 1)xk+k≥0⇔(xk−1)(xk−k)≥0.
Do đó, điều cần chứng minh cũng đúng vớin =k+ 1, tức là theo nguyên lí quy nạp,x n ≥n∀n≥2.
2 Ta sẽ chứng minh dãy x n n đơn điệu giảm, tức là x n n ≥ x n+1 n+ 1,∀n ≥ 2 Thay x n+1 =x n + n x n vào bất đẳng thức trên, ta có x n n ≥ x n + n x n n+ 1 ⇔(n+ 1)x n ≥nx n + n 2 x n ⇔x n ≥n.
Bất đẳng thức này đúng nên nhận xét trên được chứng minh Hơn nữa, vì x n ≥ n,∀n ≥2⇔ x n n ≥1,∀n≥2hayx n n bị chặn dưới, tức là nó có giới hạn.
= 1 nên theo nguyên lí kẹplimx n n= 1.
Cho số thựcavà dãy số
Chứng minh dãy số(x n )có giới hạn hữu hạn khin→ ∞.
Do đó phương trìnhf(x) = xchỉ có tối đa 1 nghiệm trênR Mà ta cóg(0)
0 Vậy nên phương trình có nghiệm duy nhất Gọi nghiệm này làαthì
Cho dãy số(x n )thỏa mãn
Xác định công thức tổng quát củax n và tìmlimx n
Xét dãy số(x n )xác định bởi x 1 = 5 4 xn+1 = n+a n +xn− x 2 2 n ∀n= 1,2,3,
Chứng minh dãy số(x n )có giới hạn hữu hạn khin → ∞ và tìm giới hạn đó trong trường hợp:
2 Mặt khác, ta có u n+1 ư1 = u n 2ưu n
3. Tiếp theo, ta đi chứng minh dãy u2k+1 tăng và dãy u2k giảm Thật vây ta xét f(x) = 1 +x− x 2
1;3 2 là hàm giảm Nên ta cóf(f(x))là hàm tăng.
Ta có u 3 > u 1 nênf(f(u 3 )) > f(f(u 1 ))⇒ u 5 > u 3 Và làm tương tự với dãy chẵn ta có điều phải chứng minh.
Gọilimu 2k =A,limu 2k+1 =B thì ta có hệ phương trình
2 Trước hết xin phát biểu không chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 1 Cho dãy sốa n không âm mà số thựcq∈(0; 1)sao choa n+1 ≤qa n +b n với limb n = 0 Khi đólima n = 0.
Bạn đọc có thể tìm chứng minh bổ đề trên trong Kỉ yếu Gặp gỡ Toán học2017.
Quay lại bài toán Vớia= 1
2 Tương tự như câu trên, ta đi chứng minh được1≤u n ≤2.
Mà ta chứng minh được
10+ 1 2n Áp dụng bổ đề trên, ta suy ra đượclimu n =√
Chứng minh(x n )có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Lời giải Giả sử (x n )có giới hạn làa Khi đóa≥√
3vàalà nghiệm của phương trình a=√
3 Ta cóxn+1 =f(xn) vàa=f(a) Để ý rằng f 0 (x) = − 1
Cho dãy số(u n )được xác định bởi u 1 = 2017 139 u 2 n (2−9u n+1 ) = 2u n+1 (2−5u n ),∀n ≥1
Lời giải Ta cóun6= 0, ∀n≥1 Khi đó: u 2 n (2−9u n+1 ) = 2u n+1 (2−5u n )
−9 = 4 u 2 n − 10 un Đặtxn = 2 u n ∀n≥1 Khi đó ta có dãy mới(xn)được xác định bởi:
Dãy số (x_n) được chứng minh là dãy tăng khi thỏa mãn điều kiện 139 > 3nênx n+1 − x n > 0 Nếu dãy (x_n) bị chặn, do tính chất tăng và bị chặn, nó sẽ có giới hạn hữu hạn Giả sử lim x_n = a với a > 4034, ta có phương trình a = a^2 - 5a + 9, dẫn đến a = 3, nhưng điều này không thỏa mãn Do đó, kết luận rằng lim x_n = +∞ Từ đó, ta có v_n = u_1.
Để ýlimx n = +∞, ta được limv n = 278
1 Vớia= 2017, chứng minh(x n )có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
2 Chứng minh(x n )có giới hạn hữu hạn với mọia≥1và tìm giới hạn đó.
1 Vớia= 2017, khi đó[2017] = 2017và{2017}= 0 Do đó ta có x 1 = 2017; x 2 = x 2 1 −2{x1} 2
TH1: alà số nguyên Khi đó[a] =a,{a}= 0 Do đó ta có x 1 =a; x 2 = x 2 1 −2{x1} 2
TH2: alà số không nguyên Khi đó x 2 = a 2 −2{a} 2
2 cũng thuộc (1; 2). vậy theo nguyên lí quy nạp, suy ra 1 < x n < 2, n ≥ 2 Do đó {x n } x n −[x n ] =x n −1, ∀n= 2,3, Từ đó với mọin≥2, ta có x n+1 = x 2 n −2(x n −1) 2