Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ dùng từ phân tử BCS MITC3 + sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu (sub structures) Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ dùng từ phân tử BCS MITC3 + sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu (sub structures) Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ dùng từ phân tử BCS MITC3 + sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu (sub structures) Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ dùng từ phân tử BCS MITC3 + sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu (sub structures) Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ dùng từ phân tử BCS MITC3 + sử dụng thủ thuật chia nhỏ kết cấu (sub structures)
TỔNG QUAN
Giới thiệu
Tấm/vỏ là kết cấu quan trọng trong nhiều lĩnh vực như giao thông, xây dựng, cơ khí và hàng không vũ trụ Tuy nhiên, do tính chất mỏng manh, chúng dễ bị mất ổn định, dẫn đến sự quan tâm lớn từ các nhà khoa học về phân tích tĩnh, dao động và ổn định Mặc dù đã đạt được nhiều thành quả, việc giải quyết các hệ tuyến tính lớn với hàng triệu bậc tự do vẫn tốn nhiều thời gian và tài nguyên bộ nhớ máy tính, đòi hỏi hệ thống máy tính mạnh mẽ và phức tạp Để khắc phục vấn đề này, các nhà khoa học đã chia nhỏ kết cấu lớn thành các kết cấu con, được kết nối bằng giới hạn bề mặt, giúp giảm thời gian phân tích và tài nguyên bộ nhớ mà vẫn đảm bảo độ chính xác của kết quả.
Tấm/vỏ là một kết cấu phức tạp chịu tải trọng đa dạng, dẫn đến sự phát triển của nhiều lý thuyết khác nhau, bao gồm phương pháp giải tích và phương pháp số Trong khi phương pháp giải tích có thể áp dụng cho các kết cấu tấm/vỏ đơn giản, nó gặp khó khăn khi xử lý các bài toán phức tạp do tính toán phức tạp và độ chính xác không cao trong việc giải các phương trình toán học và xử lý số liệu.
Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học máy tính, các phương pháp số đã có những tiến bộ đáng kể, trong đó phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH) nổi bật với độ chính xác cao và khả năng phân tích các bài toán phức tạp Tuy nhiên, PTHH vẫn gặp phải một số hạn chế về kỹ thuật rời rạc phần tử, độ chính xác và tính ổn định Vì vậy, việc cải tiến các phương pháp phần tử hữu hạn hiện có là rất cần thiết để nâng cao hiệu quả phân tích.
2 vai trò quan trọng Hướng nghiên cứu này luôn mang tính thời sự trong nhiều thập kỷ qua
Trong phân tích tấm/vỏ bằng phương pháp phần tử sử dụng hàm xấp xỉ dạng C 0, hiện tượng "khóa cắt" (Shear locking) thường xảy ra khi chiều dày tấm/vỏ rất nhỏ, do năng lượng biến dạng đàn hồi từ các thành phần biến dạng cắt lớn hơn nhiều so với năng lượng từ các thành phần uốn Để khắc phục hiện tượng này, nhiều phương pháp đã được nghiên cứu như Discrete Shear Gap (DSG), Mindlin plate element (MIN) và Mixed Interpolation of Tensorial Components (MITC) Gần đây, Liu và cộng sự đã phát triển phương pháp phần tử hữu hạn trơn (S-FEM), dựa trên việc trung bình trường chuyển vị trong các miền, bao gồm các phương pháp làm trơn trên phần tử (CS-FEM), nút (NS-FEM) và cạnh (ES-FEM) Phương pháp S-FEM đã cải thiện độ chính xác cho các bài toán 2D, 3D, tấm/vỏ đồng nhất, composite và vật liệu phân lớp chức năng (FGM) Việc thêm hàm dạng nút bubble đã nâng cao độ chính xác của chuyển vị, giúp trường biến dạng của phần tử tấm 3 nút không còn hằng số CS-FEM thực hiện việc trung bình trường biến dạng trong mặt phẳng trên từng miền con của phần tử, thông qua tích phân của trường biến dạng trên diện tích miền con, và sử dụng định lý Green để chuyển đổi giữa các dạng tích phân.
Phân tích động học là một yếu tố then chốt trong nghiên cứu động lực học kết cấu, nhưng thường gặp phải thách thức với các hệ tuyến tính lớn và phức tạp, gây tốn thời gian Trong thập niên 1960, phương pháp tổ hợp thành phần giao động (CMS) đã trở thành công cụ phổ biến cho mô hình PTHH suy giảm trong phân tích động học Phương pháp CMS cho phép chia nhỏ mô hình kết cấu PTHH ban đầu thành các mô hình nhỏ hơn và kết nối chúng qua các giới hạn biên, thay vì phải phân tích một mô hình kết cấu PTHH lớn.
Phương pháp chia nhỏ kết cấu trong mô hình CMS giúp giảm đáng kể tài nguyên bộ nhớ và thời gian tính toán của máy tính.
Dựa trên ý tưởng của Hurty và Guyan
Tác giả Hurty W [11] đã nghiên cứu đề tài “Dynamic analysis of structural systems using component modes”
Tác giả Guyan R [12] đã nghiên cứu đề tài “Reduction of stiffness and mass matrices”
Craig và Bampton đề nghị một phương pháp (CMS) gọi là phương pháp Craig-Bampton
Tác giả Craig RR, Bampton MCC [13] đã nghiên cứu đề tài “Coupling of substructures for dynamic analysis.”
Những năm sau đó, các công trình nghiên cứu nhằm cải thiện phương pháp CMS
Nhóm tác giả Benfield WA, Hruda RF (1971) [14] nghiên cứu đề tài
The article discusses "Vibration Analysis of Structures through Component Mode Substitution," a method for determining the vibrations of complex structural systems by utilizing component mode oscillations This approach effectively simplifies the analysis of structural dynamics, allowing for more accurate assessments of vibrational behavior in engineering applications.
In 1975, author Rubin S conducted research on "Improved Component-Mode Representation for Structural Dynamic Analysis," focusing on enhancing the analysis of complex structural systems that can be divided into substructures Similarly, in 1971, Hintz R.M explored "Analytical Methods in Component Modal Synthesis," also aimed at analyzing complex structural systems through substructure division.
Nhóm tác giả Bennighof JK, Lehoucq RB (2004) [17] nghiên cứu đề tài “An automated multilevel substructuring method for eigenspace computation in linear elastodynamics”
Tác giả Rixen DJ (2004) [18] nghiên cứu đề tài “A dual Craig-Bampton method for dynamic substructuring” Nghiên cứu phương pháp mới, phương pháp Craig-Bampton kép
Nhóm tác giả Markovic D, Park KC, Ibrahimbegovic A (2007) [19] nghiên cứu đề tài “Reduction of substructural interface degrees of freedom in flexibilitybased component mode synthesis”
Sử dụng hệ số Lagrange cục bộ, Park và Park phát triển phương pháp dựa trên ma trận độ mềm CMS (F-CMS)
The research conducted by authors Park KC and Park YH in 2004 focuses on "Partitioned Component Mode Synthesis via a Flexibility Approach." They developed a method based on the flexibility matrix CMS (F-CMS) by utilizing local Lagrange coefficients.
Jin-Gyun Kim và Phill-Seung Lee đã phát triển một phương pháp Craig-Bampton nâng cao, nhằm xem xét ảnh hưởng của dao động thừa trong quá trình phân tích.
Nhóm tác giả Jin-Gyun Kim, Phill-Seung Lee (2014) [21] nghiên cứu đề tài
Phương pháp Craig-Bampton nâng cao được nghiên cứu nhằm cải thiện ma trận biến đổi bằng cách xem xét ảnh hưởng của dao động thừa Nghiên cứu này áp dụng phần tử MITC3 kết hợp với phương pháp Craig-Bampton nâng cao để kiểm tra bài toán số.
Nhóm tác giả Jin-Gyun Kim, Phill-Seung Lee (2015) [22] nghiên cứu đề tài
Phương pháp Craig-Bampton nâng cao là một nghiên cứu mới nhằm cải thiện ma trận biến đổi bằng cách xem xét ảnh hưởng của dao động thừa Nghiên cứu này áp dụng phần tử MITC3+ kết hợp với phương pháp Craig-Bampton nâng cao để kiểm tra bài toán số một cách hiệu quả.
Hiện nay, nghiên cứu về phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm/vỏ kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn và kỹ thuật chia nhỏ kết cấu (substructure) chưa được chú trọng nhiều, đặc biệt tại Việt Nam Do đó, tác giả quyết định chọn đề tài "Phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm vỏ sử dụng phần tử bCS-MITC3+ với kỹ thuật chia nhỏ kết cấu".
Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài này là phân tích dao động và ổn định của kết cấu tấm/vỏ bằng phương pháp Craig-Bampton và phương pháp Craig-Bampton nâng cao Nghiên cứu này nhằm giảm thiểu tài nguyên máy tính sử dụng, đồng thời đảm bảo tính chính xác của bài toán.
Nghiên cứu này đánh giá phương pháp Craig-Bampton và phương pháp Craig-Bampton nâng cao, kết hợp với phần tử hữu hạn bCS-MITC3+, nhằm phân tích dao động và ổn định cho các kết cấu tấm/vỏ Kết quả đạt được sẽ được so sánh với các kết quả tham khảo để xác định hiệu quả của các phương pháp này.
Nhiệm vụ của đề tài và giới hạn đề tài
Đề tài này nhằm áp dụng phương pháp Craig-Bampton và Craig-Bampton nâng cao kết hợp với phần tử tấm/vỏ phẳng tam giác ba nút bCS-MITC3+ để phân tích tần số riêng và ổn định của kết cấu tấm/vỏ Nghiên cứu sẽ giải quyết các bài toán kết cấu tấm/vỏ đàn hồi đẳng hướng thông qua lập trình tính toán bằng ngôn ngữ Matlab, từ đó so sánh kết quả phân tích tần số riêng và ổn định của kết cấu tấm/vỏ sử dụng phần tử hữu hạn bCS-MITC3+ kết hợp với các phương pháp đã nêu.
Phương pháp nghiên cứu
Đề tài này áp dụng phương pháp nghiên cứu Craig-Bampton và phiên bản nâng cao của nó, kết hợp với phần tử hữu hạn vỏ phẳng bCS-MITC3+ Mục tiêu là lập trình tính toán và mô phỏng một số bài toán liên quan đến kết cấu tấm và vỏ.
Kết quả mô phỏng số được so sánh với kết quả các nghiên cứu trước đó, để đánh giá hiệu quả và tính chính xác của nghiên cứu này
CÔNG THỨC PHẦN TỬ HỮU HẠN TRƠN BCS-MITC3+
Trường chuyển vị
Mô hình phần tử vỏ phẳng trong hệ tọa độ toàn cục (XYZ) và hệ tọa độ cục bộ (xyz) được trình bày trong Hình 2.1 Theo giả thuyết Reissner-Mindlin, trường chuyển vị được biểu diễn một cách chính xác, giúp phân tích và hiểu rõ hơn về hành vi của cấu trúc.
Trong bài viết này, các chuyển vị u 0, v 0, w 0 được xác định tại mặt trung bình Các góc β x và β y đại diện cho sự xoay quanh trục y và trục x của các đoạn thẳng pháp tuyến sau khi bị biến dạng, mặc dù chúng vẫn giữ hình dạng thẳng và không còn vuông góc với trục trung hòa.
Từ trường chuyển vị (2.1) các biến dạng được xác định như sau:
Biến dạng trong mặt phẳng: x y xy u x v y u v y x
Thay công thức (2.1) vào (2.2) ta được
Ta có thể viết lại (2.3) dưới dạng sau ε ε m z ε b (2.4)
Trong đó ε x y xy T , ε m là biến dạng màng, ε b là biến dạng uốn được xác định như sau
Biến dạng ngoài mặt phẳng (biến dạng cắt):
Hình 2.2 Các thành phần ứng suất phân bố theo bề dày tấm
Khi đó mối quan hệ giữa ứng suất và biến dạng được biểu diễn thông qua định luật Hooke như sau:
Trong đó D m , D s là các ma trận độ cứng vật liệu tương ứng
Trong đó: v, E là hệ số poisson và mô đun đàn hồi của vật liệu
Có thể viết lại công thức (2.7) và (2.8) như sau
Xây dựng phần tử vỏ phẳng tam giác 3 nút sử dụng hàm bubble trong hệ tọa độ cục bộ
Phần tử vỏ tam giác 3 nút sử dụng nút bubble tại trọng tâm được mô tả trong Hình 2.3 Mỗi nút ở đỉnh có 5 bậc tự do, bao gồm các chuyển vị u, v và độ võng w theo phương z, cùng với các chuyển vị xoay θ x và θ y quanh trục x và y Trong khi đó, nút bubble tại trọng tâm chỉ có 2 bậc tự do là θ x và θ y.
Hình 2.3 Phần tử tam giác 3 nút có nút bubble
Trường chuyển vị tại một điểm bất kỳ của phần tử được xấp xỉ như sau
Trong đó: N i và f k là các hàm nội suy bubble tương ứng với nút k được xác định từ các hàm nội suy song tuyến tính
Từ công thức (2.5), (2.13) và (2.14) các thành phần biến dạng trong mặt phẳng được xác định bằng đạo hàm của chuyển vị theo tọa độ được biểu diễn như sau
Trong đó: d e là vector chuyển vị nút của phần tử; B m là ma trận quạn hệ giữa biến dạng và chuyển vị
Các biến dạng uốn trong phần tử được xấp xỉ từ những chuyển vị nút của phần tử theo công thức
Trong đó: B b là ma trận quan hệ giữa biến dạng và chuyển vị uốn
Trong quá trình phân tích vỏ, hiện tượng "Shear locking" thường xảy ra Để khắc phục vấn đề này, kỹ thuật MITC3+ được áp dụng, giúp xấp xỉ các biến dạng cắt thông qua một hàm mới tại các "điểm buộc" (tying point) Hình 2.4 minh họa các điểm này, trong khi tọa độ của chúng được trình bày trong Bảng 1.
Hình 2.4 Điểm buộc của phần tử MITC3+
Bảng 2.1 Tọa độ các điểm buộc của phần tử MITC3+ với d=1/10000 Điểm buộc r s
Biến dạng cắt được xấp xỉ lại thông qua biến dạng cắt tại các điểm buộc theo công thức:
B B C C rt rt st rt st c s
A A C C st rt st rt st c r
Quan hệ giữa biến dạng cắt và các chuyển vị được viết lại
Phương pháp phần tử hữu hạn trơn bCS-MITC3+
Trong phương pháp phần tử hữu hạn trơn, biến dạng được làm trơn trên các miền trơn địa phương, giúp việc tính toán ma trận độ cứng không còn phụ thuộc vào phần tử mà dựa vào các miền này Mỗi phần tử tam giác được chia thành ba ô tam giác nhỏ (Δ1, Δ2, Δ3) bằng cách nối ba đỉnh với nút trọng tâm.
(central point) của phần tử như Hình 2.5
Hình 2.5 Ba tam giác con (Δ1, Δ2, Δ3) được tạo ra từ 3 nút 1,2,3 và điểm trọng tâm của tam giác
2.3.1 Xấp xỉ biến dạng màng trơn
Xét một miền con ΩC, biến dạng màng trơn ε m tại một điểmx c thuộc miền con được xác định như sau
(2.27) Trong đó: x x C là hàm làm trơn và thỏa mãn các điều kiện sau
(2.28) Để đơn giản, hàm x x C được chọn là một hằng số theo từng mảng
là diện tích của miền tam giác con đang xét Biến dạng màng trơn trở thành
(2.30) Áp dụng định lý phần kỳ (định lý Green) cho tích phân trong phương trình (2.30) Khi đó biến dạng màng trơn được viết lại
Trong đó: C là biên của ô phần tử con Biến dạng màng trơn được viết lại theo chuyển vị nút dCi của miền con ΩC
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị dương n trên đường biên , bao gồm n, n x và y Để tính tích phân dọc theo mỗi cạnh biên i (k), chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tích phân Gauss với hai điểm Phương trình liên quan sẽ được viết lại để phù hợp với các tính toán này.
0 x 1 0 eg eC nG i kn x i i n nG m k i C i kn y k i i
Trong đó:n , l eg eC k là số cạnh biên và chiều dài cạnh biên k, nG2là số điểm tích phân Gauss của cạnh biên ( k )
Ma trận độ cứng của phần tử màng sau khi được làm trơn trở thành
2.3.2 Xấp xỉ biến dạng uốn trơn
Tương tự như trên, ma trận biến dạng uốn trơn được xác định như sau
Mối quan hệ giữa ma trận biến dạng uốn trơn và chuyển vị nút dCi của miền con ΩC được biểu diễn như sau
Trong nghiên cứu này, các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị dương n, n, x, y được xác định trên đường biên Để tính tích phân dọc theo mỗi cạnh biên i (k), chúng tôi áp dụng phương pháp tích phân Gauss với hai điểm Phương trình được điều chỉnh để phù hợp với phương pháp này.
B eg eC nG i kn x i i n nG b k i C i kn y k i i
Trong nghiên cứu này, n là số cạnh biên và k là chiều dài cạnh biên của miền tam giác con, trong khi fi đại diện cho hàm bubble của phần tử tấm chịu uốn Số điểm tích phân Gauss trên cạnh biên Γ(k) được xác định là nG = 2.
Ma trận độ cứng của phần tử vỏ sau khi được làm trơn trở thành
2.3.3 Kỹ thuật nén các bậc tự do
Vì phần tử màng tam giác 3 nút sử dụng thêm nút bubble nên tao phải sử dụng kỹ thuật nén các bậc tự do của nút bubble
Kỹ thuật nén các bậc tự do đối với biến mạng màng
Phương trình cân bằng của phần tử màng khi chịu tác dụng của ngoại lực có dạng sau
Phương trình (2.43) được viết lại
Trong đó u1, u2 lần lượt là vector chuyển vị tại các nút ở đỉnh và nút bubble Thay (2.43) lại (2.44) ta được
Cuối cùng ta được ma trận độ cứng màng trơn như sau
Để kết nối ma trận độ cứng của từng phần tử trong hệ tọa độ địa phương thành ma trận độ cứng tổng thể trong hệ tọa độ chung, cần thực hiện việc chuyển đổi hệ tọa độ trước khi tiến hành ghép nối Ma trận chuyển đổi hệ tọa độ sẽ được gọi là.
Trong bài viết này, l và g đại diện cho hệ trục địa phương và hệ trục chung tương ứng Ma trận T có chức năng chuyển đổi các bậc tự do chung sang bậc tự do địa phương, bao gồm các cosin chỉ phương của các trục tọa độ địa phương trong hệ trục chung Tại mỗi nút, mối quan hệ giữa các bậc tự do địa phương và các bậc tự do chung được mô tả một cách rõ ràng.
0 0 0 d l g l g l g xl xg yl yg zl zg u c c c u v c c c v w c c c w c c c c c c c c c
Ma trận chuyển đổi T đối với phần tử tam giác 3 nút sẽ được biểu diễn dưới dạng : d d d
Cuối cùng ta xác định được ma trận độ cứng phần tử vỏ phẳng bCS–MITC3+ trong hệ tọa độ toàn cục như sau :
Trong các công thức (2.52), (2.53) và (2.54), ma trận độ cứng tổng thể trở thành một ma trận kỳ dị do bậc tự do góc xoắn bằng không (𝜃z=0) Để khắc phục vấn đề này, cần cộng thêm một giá trị nhỏ vào bậc tự do góc xoắn, đảm bảo rằng giá trị này không quá nhỏ để ma trận sửa đổi không trở thành ma trận kỳ dị, đồng thời cũng không quá lớn để không làm ảnh hưởng đến độ chính xác của kết quả tính toán.
Phương trình động học và ổn định phần tử hữu hạn trong hệ trục tọa độ toàn cục
K g 2 M d g 0 (2.55) m : ma trận chứa tỷ trọng khối lượng của vật liệu ρ và chiều dày h
Năng lượng biến dạng hình học cưỡng bức bởi ứng suất pre-buckling trong mặt phẳng σ 0 x 0 0 y xy 0 0 0 T được tính toán
Biến dạng hình học của kết cấu vỏ
Thay vào và lấy tích phân theo chiều dày của kết cấu vỏ, độ cứng hình học
PHƯƠNG PHÁP CRAIG-BAMTON VÀ CRAIG-BAMTON NÂNG CAO
Phương pháp Craig-Bampton [21]
Trong phương pháp Craig-Bampton (CB), kết cấu ban đầu được chia thành Ns substructure (Hình 3.1)
Substructure được kết nối với nhau bằng fixed interface ở điều kiện biên bề mặt Г (Hình 3.1)
Hình 3.1 (a) Kết cấu tổng thể, (b) Substructure i (i=1, 2, Ns) và điều kiện biên bề mặt Г (Ns số substructure), (c) Điều kiện biên bề mặt
Bài toán giá trị riêng tổng thể
Trong đó: i và i là giá trị riêng và vector riêng được tính trong kết cấu tổng thể, N g là số bật tự do trong kết cấu tổng thể
Trong phương pháp CB, chuyển vị tổng thể của vector ug được định nghĩa
Trong đó: T 0 : ma trận biến đổi, I b : ma trận đơn vị cho điều kiện biên, s: là được tính toán bởi bài toán giá trị riêng của substructure
Trong đó: N q (k) : số dạng dao động trong substructure thứ k, i (k) và i (k) : nghiệm riêng của substructure
Vector chuyển vị của substructure d s khai triển trội và dạng phần dư
Trong đó: d và r : ma trận dạng dao động trội và ma trận dạng dao động dư của substructure
Bỏ qua dao động dư, vector chuyển vị tổng thể d g được xấp xỉ bởi dạng dao động trội của substructure
Trong đó:T 0 là ma trận biến đổi suy giảm
Thay T 0 vào phương trình (2.55) , thu được phương trình động lực học suy giảm cho kết cấu bị phân chia
Trong đó: M p và K p là ma trận khối lượng suy giảm và ma trận độ cứng suy giảm, u p vàf p là vector chuyển vị xấp xỉ và vector lực
Từ phương trình (3.7), bài toán giá trị riêng suy giảm thu được
Trong đó λ và g là giá trị riêng và vector riêng được tính toán trong mô hình suy giảm, N p là số bậc tự do của mô hình suy giảm
Phương pháp Craig-Bampton nâng cao [21]
Trong phương pháp CB, ma trận biến đổi suy giảm T0 thường bỏ qua dạng dao động dư của substructure Tuy nhiên, khi xem xét ma trận dạng dao động dư, ma trận biến đổi có thể đạt được độ chính xác cao hơn.
Thay phương trình (3.12) vào (2.55), thu được phương trình động lực học suy giảm cho kết cấu phân chia
T T c b p d dt d d dt dt d d d dt dt dt
Các thành phần của ma trận
K b K -K K K b T c s c (3.22) Thay phương trình (3.15) vào phương trình (3.13) với f b 0và xét hàng thứ hai của ma trận, thu được
Thay phương trình (3.23) vào phương trình (3.12), d s được biểu diễn
Thay phương trình (3.26) vào phương trình (3.24) và lượt bỏ số hạng bậc cao, d s được xấp xỉ
F rs K s Φ Λ Φ d d T d (3.28) Thay d s từ phương trình (3.26) vào phương trình (3.3), thu được
Trong đó: T 1 là ma trận biến đổi nâng cao
T r chứa giá trị riêng λ, được xem như ma trận biến đổi có quan liên quan đến ảnh hưởng động lực học
Giá trị riêng λ trong ma trận T r là một đại lượng chưa xác định Để xấp xỉ giá trị riêng này, phương pháp O’Callanhan trong giảm thiểu Guyan được áp dụng Theo phương trình (3.12), khi f p = 0, ta có d p = -λd p, dẫn đến mối quan hệ giữa d p, M và K.
Thay phương trình (3.31) vào phương trình (3.29) , T r được định nghĩa lại
Thay thế định nghĩa của T r vào phương trình (3.31) và áp dụng ma trận biến đổi nâng cao T r được xác định trong phương trình (3.32), ta có thể xác định ma trận giảm bậc tự do cho khối lượng và độ cứng.
Bảng 3.1 Bảng so sánh giữa phương pháp CB và phương pháp CB nâng cao
Phương pháp CB Phương pháp CB nâng cao
Ma trận khối lượng suy giảm M p
Ma trận độ cứng suy giảm K p
Kích thước ma trận giảm bậc tự do N p N p
VÍ DỤ SỐ
Phân tích ổn định của tấm đồng nhất đẳng hướng
Trong bài toán khảo sát, hệ số ổn định được tính bằng công thức K = λ cr b² / (π² D), trong đó b là chiều dài theo phương y của tấm và λ cr là đặc trưng của vật liệu Các thông số vật liệu bao gồm modulus đàn hồi E = 2.0×10¹¹ N/m² và hệ số Poisson ν = 0.3.
4.2.1 Phân tích ổn định tấm tứ giác đồng nhất chịu nén một phương Điều kiện biên của tấm: liên kết gối tựa bốn cạnh và ngàm bốn cạnh của tấm Dạng hình học và chia lưới của tấm được biểu diễn (Hình 4.7) Bảng thể hiện sự hội tụ của hệ số ổn định với số phần tử mỗi cạnh N×N=8×8, 12×12, 16×16, 20×20 Biểu đồ biểu diễn sự hội tụ của hệ số ổn định được chuẩn hóa K h /K exact của tấm vuông đồng nhất với tỉ số t/b = 0.01, với K h , K exact : hệ số ổn định của các phương pháp số và nghiệm của hệ số phân tích ổn định [7], [36], [37], [38], [39]
Phân tích hệ số ổn định của tấm đồng nhất SSSS với tỉ số chiều dài-chiều rộng a/b = 1 và tỉ số chiều dày-chiều dày t/b = 0.1 đã được thực hiện Kết quả phân tích được trình bày trong Bảng 4.7 và được so sánh với một số kết quả khác.
Phương pháp bCS-MITC3+ đã cho kết quả tốt nhất khi so sánh với các phương pháp MITC3, MITC3+, DSG3 và ES-DSG3, theo các tài liệu tham khảo [7, 36, 37, 38, 39].
Hình 4.7 Tấm chữ nhật: (a) tấm chịu nén một trục (b) tấm chịu nén hai trục (c) tấm chịu cắt trong mặt phẳng (d) tấm được chia lưới
Bảng 4.7 trình bày hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với tỉ số chiều dài-chiều rộng a/b = 1 và tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b = 0.01, đồng thời xét đến điều kiện biên MITC3 và MITC3+ CS.
Bài viết phân tích hệ số ổn định của tấm đồng nhất dưới nhiều điều kiện biên khác nhau như SSSS, CCCC và FCFC, với tỉ số chiều dày-chiều dày trung bình là 0.05 và 0.1 Kết quả phân tích được trình bày trong Bảng 4.8, sử dụng phương pháp bCS-MITC3+ cùng với một số phương pháp số khác.
Kết quả phân tích bài toán với số phần tử mỗi cạnh N×N = 12×12 đã được so sánh với một số phương pháp số tham khảo như [7], [37], [40] Phương pháp bCS-MITC3+ cho thấy hiệu quả tốt nhất so với các phương pháp MITC3, MITC3+, DSG3 và ES-DSG3.
Bảng 4.8 trình bày hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với tỷ số chiều dài-chiều rộng a/b = 1 và nhiều tỷ số chiều dày-chiều rộng t/b trong điều kiện biên của phương pháp MITC3 và MITC3+.
Phân tích hệ số ổn định của tấm đồng nhất SSSS với tỉ số chiều dài- chiều rộng a/b = 0.5, 1, 1.5 2, 2.5 và tỉ số chiều dày-chiều dày t/b = 0.05, 0.1, 0.2 Bảng
4.9 trình bày kết quả phân tích bài toán của phương pháp bCS-MITC3+ và một số phương pháp số với số phần tử mỗi cạnh N×N = 12×12 Kết quả phân tích bài toán được so sánh với một số kết quả các phương pháp số tham khảo [7], [40], [41] Kết quả của phương bCS-MITC3+ cho kết quả tốt nhất so với các kết quả của các phương pháp MITC3, MITC3+, DSG3, ES-DSG3
Bảng 4.9 trình bày hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với nhiều tỷ số chiều dài-chiều rộng a/b và tỷ số chiều dày-chiều rộng t/b Các phương pháp được so sánh bao gồm MITC3, MITC3+, CS-MITC3+ và DSG3.
44 a/b t/b MITC3 MITC3+ CS-MITC3+ DSG3
Biểu đồ 4.10 Hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với nhiều tỉ số chiều dài-chiều rộng a/b và nhiều tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b
4.2.2 Phân tích ổn định tấm tứ giác đồng nhất chịu nén hai phương
Bài viết phân tích hệ số ổn định của tấm đồng nhất chịu nén hai phương dưới nhiều điều kiện biên khác nhau như SSSS, CCCC, và FCFC Hình 4.7 thể hiện dạng hình học và meshing của tấm Kết quả phân tích từ phương pháp bCS-MITC3+ được trình bày trong Bảng 4.10, với số phần tử mỗi cạnh là N×N×12 Những kết quả này được so sánh với các phương pháp số tham khảo [7,] [36], [38], [39], cho thấy phương pháp bCS-MITC3+ đạt hiệu quả tốt nhất.
45 các kết quả của các phương pháp MITC3, MITC3+, DSG3 và tương đương so với kết quả của ES-DSG3
Bảng 4.10 trình bày hệ số ổn định của tấm vuông đồng nhất với tỷ số chiều dài-chiều rộng a/b = 1 và tỷ số chiều dày-chiều rộng t/b = 0.01, được phân tích dưới nhiều điều kiện biên khác nhau.
4.2.3 Phân tích ổn định tấm tứ giác đồng nhất chịu cắt trong mặt phẳng
Bài viết phân tích hệ số ổn định của tấm đồng nhất chịu cắt trong mặt phẳng dưới nhiều điều kiện biên khác nhau như SSSS, CCCC, và SCSC, với tỉ số chiều dài-chiều rộng a/b là 1, 2, 3, và 4, cùng với tỉ số chiều dày t/b là 0.1 Hình dạng hình học và quá trình meshing của tấm được trình bày trong Hình 4.7 Kết quả phân tích bài toán bằng phương pháp bCS-MITC3+ và một số phương pháp số khác được tóm tắt trong Bảng 4.11, với số phần tử mỗi cạnh là N×N = 12×12.
Kết quả phân tích cho thấy phương pháp bCS-MITC3+ đạt hiệu suất tốt nhất so với các phương pháp MITC3, MITC3+, DSG3, và tương đương với phương pháp ES-DSG3, khi được so sánh với các kết quả từ các nghiên cứu trước [7], [41], [42].
Bảng 4.10 trình bày hệ số ổn định theo trục x của tấm vuông đồng nhất với tỷ số chiều dài-chiều rộng a/b và tỷ số chiều dày-chiều rộng t/b = 0.01 Các phương pháp được so sánh bao gồm MITC3, MITC3+, CS-MITC3+, DSG3, ES-DSG3, Meshfree và Exact.
Biểu đồ 4.11 Hệ số ổn định cắt x của tấm vuông đồng nhất với nhiều tỉ số chiều dài-chiều rộng a/b và tỉ số chiều dày-chiều rộng t/b=0.01
4.2.4 Phân tích ổn định vỏ hình ống chịu nén một trục
ĐÁNH GIÁ VÀ KẾT LUẬN
Những kết quả đạt được
Mô hình tính toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn đã chứng minh hiệu quả trong việc phân tích các kết cấu tấm và vỏ phức tạp, cũng như trong việc xử lý nhiều dạng điều kiện biên khác nhau.
Phần tử tam giác ba nút MITC3+ đã được cải tiến thành bCS-MITC3+, kết hợp lý thuyết biến dạng trơn, mang lại tốc độ hội tụ nhanh và độ chính xác cao hơn so với các phần tử tam giác ba nút và tứ giác bốn nút khác đã được công bố Kết quả dao động của bCS-MITC3+ cho thấy sự tương đương với các kết quả từ phương pháp chia nhỏ Craig-Bampton và Craig-Bampton nâng cao.
Phần tử tam giác ba nút bCS-MITC3+ cho kết quả phân tích ổn định tấm tối ưu hơn so với các phần tử tam giác ba nút và tứ giác bốn nút khác đã được công bố trên các tạp chí khoa học.
Những hạn chế còn tồn đọng
Phần tử tam giác ba nút bCS-MITC3+ trong phân tích ổn định vỏ vẫn chưa cho kết quả tối ưu hơn so với một số phần tử tam giác ba nút và tứ giác bốn nút đã được công bố trên các tạp chí khoa học.
Đề xuất hướng nghiên cứu tiếp theo
Phần tử tam giác ba nút MITC3+ kết hợp lý thuyết cắt bậc cao và lý thuyết biến dạng trơn, tạo ra phân tử mới bCS-MITC3+ Sự kết hợp này hứa hẹn mang lại kết quả khả quan hơn trong các ứng dụng kỹ thuật.
Phát triển phẩn tử tam giác ba nít MITC3+ kết hợp với ký thuyết biến dạng trơn giải quyết bài toán phi tuyến tĩnh học, phi tuyến động học
